Modification of the Basic Two-Sided Method for Solving Integral Equations

The research considers the problem of constructing guaranteed two-sided approximations of the solution of an integral equation of a certain kind. Classical methods typically yield only approximation of the solution at the certain points, but at other points there are general theoretical approximatio...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2026
Автори:	Сеньо, Петро, Заяць, Артур
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026
Онлайн доступ:	https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360580
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences
Завантажити файл:

Репозитарії

Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences

_version_	1867479057138974720
author	Сеньо, Петро Заяць, Артур
author_facet	Сеньо, Петро Заяць, Артур
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Петро Сеньо", "institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка" }, { "author": "Артур Заяць", "institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка" } ]
author_sort	Сеньо, Петро
baseUrl_str	http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2026-06-08T08:10:39Z
description	The research considers the problem of constructing guaranteed two-sided approximations of the solution of an integral equation of a certain kind. Classical methods typically yield only approximation of the solution at the certain points, but at other points there are general theoretical approximations without rigorous error bounds, whereas for problems with uncertainty in parameters or initial conditions it is essentially important to obtain upper and lower bounds that definitely contain the sought solution. Classical interval methods for solving such equations based on interval analogues of the Taylor series require automatic differentiation of high orders and are characterized by the accumulation of error on large intervals, that significantly complicates their practical application. In [1] it presents an iterative two-sided algorithm for solving equations of aforesaid form based on the mathematics of functional intervals with quadratic convergence, in which, however, the choice of the interval length that provides the given accuracy and the number of iterations of narrowing the linear functional interval of the solution are determined implicitly. In this paper a theorem is proved that yields an estimate for the functional uncertainty of the two-sided approximation at the right boundary of the interval, an explicit expression of the partition step ensuring the prescribed accuracy of the approximation in a single construction, and a logarithmic estimate of the number of iterations of narrowing of the linear functional interval of the solution on given interval by the basic algorithm of [1]. Based on this proven theorem, a modified algorithm is proposed that provides the desired narrowing of the two-sided approximation of the desired solution in one step. The algorithm is tested on two numerical experiments, which results confirm the theoretical conclusions. This substantially reduces the number of algorithm iterations.
doi_str_mv	10.32626/2308-5878.2026-30.148-167
first_indexed	2026-06-09T01:00:13Z
format	Article
fulltext	ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 148 УДК 517.968:519.6:303.732.44 DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.148-167 Сеньо П. С. ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua Заяць А. Р. ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В роботі розглядається задача побудови гарантованих дво- сторонніх наближень розв’язку інтегральних рівнянь певних класів. Класичні методи, як правило, дають лише наближення розв’язку в окремих точках, а в інших точках – загальні теоре- тичні апроксимації без строгих оцінок похибки, тоді як для за- дач із невизначеністю параметрів або початкових умов прин- ципово важливо отримати верхню та нижню межі, між якими гарантовано міститься шуканий розв’язок. Класичні інтерва- льні методи розв’язування таких рівнянь на основі інтерваль- них аналогів рядів Тейлора потребують автоматичного дифе- ренціювання високих порядків та характеризуються накопи- ченням похибки на великих проміжках, що суттєво ускладнює їх практичне застосування. У [1] запропоновано ітераційний двосторонній алгоритм розв’язування рівнянь зазначеного ви- ду на основі математики функціональних інтервалів із квадра- тичною збіжністю, у якому, однак, вибір довжини інтервалу, що забезпечує задану точність, та число ітерацій звуження лі- нійного функціонального інтервалу розв’язку визначаються неявно. У цій роботі доведено теорему, що дає оцінку функці- ональної невизначеності двосторонньої апроксимації на правій межі інтервалу, явний вираз кроку розбиття, який забезпечує задану точність апроксимації за одну побудову, та логарифмі- чну оцінку кількості ітерацій звуження лінійного функціона- льного інтервалу розв’язку на заданому проміжку базовим ал- 4 Стаття надійшла до редакції: 11.05.2026 Рекомендовано до друку: 25.05.2026 Оприлюднено (online): 29.05.2026 Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 © Сеньо П. С., Заяць А. Р., 2026 ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 149 горитмом з [1]. На основі доведеної теореми запропоновано модифікований алгоритм, який забезпечує бажане звуження двосторонньої апроксимації шуканого розв’язку за один крок. Алгоритм апробовано двома числовими експериментами, ре- зультати яких підтверджують теоретичні висновки. Це суттєво зменшує число ітерацій алгоритму. Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рів- няння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз. Вступ. Задача побудови гарантованих двосторонніх апроксима- цій розв’язку загальної початкової задачі, зокрема, інтегральних рів- нянь є одною з центральних задач чисельного аналізу. Класичні ме- тоди, як правило, дають лише наближення розв’язку в окремих точ- ках, а в інших точках – загальні теоретичні апроксимації без строгих оцінок похибки, тоді як для задач із невизначеністю параметрів або початкових умов принципово важливо отримати верхню та нижню межі, між якими гарантовано міститься шуканий розв’язок. Одним із перших систематичних підходів до побудови таких двос- торонніх наближень є метод С. А. Чаплигіна розв’язування задачі Коші. Проте практичне застосування методу Чаплигіна пов’язане зі значними труднощами. Зокрема, необхідно аналітично знайти початкові верхнє та нижнє наближення, що задовольняють відповідні диференціальні нерів- ності, що є нетривіальною задачею. Крім цього, кожна ітерація потребує розв’язування лінеаризованого диференціального рівняння, що усклад- нює реалізацію та збільшує обсяг проміжних обчислень. Інший напрям побудови двосторонніх методів ґрунтується на інте- рвальному аналізі [13]. Класичні інтервальні методи розв’язування зви- чайних диференціальних рівнянь, зокрема метод Мура, для отримання гарантованих включень розв’язку будують на основі інтервальних ана- логів рядів Тейлора за часовою змінною. Основним обмеженням класи- чних інтервальних підходів є накопичення похибки на великих часових проміжках, що спричинене, зокрема, перемноженням інтервальних мат- риць. Крім того, ці методи потребують автоматичного диференціювання високих порядків, що суттєво ускладнює їх реалізацію [9, 10, 11]. У [1] запропонований метод пропонує ідею побудови двосторонніх наближень розв’язку задачі на основі математики функціональних інтер- валів [2, 3, 6, 7, 8, 12]. Він не має недоліків методу Чаплигіна, і на відмі- ну від інтервальних методів на основі інтервальних аналогів ряду Тейло- ра, не потребує автоматичного диференціювання. Крім цього, адаптив- ний вибір довжини кроку автоматично реагує на ступінь нелінійності задачі, а квадратична збіжність ширини апроксимації забезпечує ефекти- вне звуження невизначеності розв’язку на кожній ітерації. ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 150 Однак вибір довжини інтервалу 1i ih b b  , де 1b a , 1ib  ( 0,1, , 1i n   ), nb b , що забезпечує задану точність  ширини фун- кціонального інтервалу на правій межі, у точці 1ib  здійснюється неявно. У разі, коли побудована ширина перевищує  , алгоритм виконує мак- симально допустиме ітераційне звуження лінійного функціонального інтервалу розв’язку без явної верхньої оцінки числа цих ітерацій. Це вимагає розв’язування додаткових проміжних задач Коші, що суттєво збільшує кількість ітерацій при реалізації базового алгоритму з [1]. У цій роботі аналізуючи нову запропоновану модифікацію базо- вого алгоритму продовжено дослідження, розпочаті у [1]. В ній пока- зано, що запропонований метод суттєво зменшує кількість кроків, необхідних для його реалізації, порівняно з методом з роботи [1] і не містить розглянутих нижче недоліків. Теоретичними основами ново- го алгоритму та його характеристик є висновки доведеної нижче в цій роботі теореми 1. Постановка задачі та загальна схема її розв’язання. Нехай потрібно розв’язати інтегральне рівняння          , , , , x a y x f x K x s y s ds x a b   (1) де  f x – диференційована функція,  – дійсний параметр, ядро  , ,K x s y – інтегровне у відповідній області та задовольняє по змін- ній y умову Ліпшиця з константою 0L  . Розв’язок рівняння (1) шукаємо у вигляді послідовності розв’язків цього ж рівняння у відповідно визначених точках ib ( 0,1, ,i n  ), 0b a , nb b , а на кожному проміжку  1,i ib b  розв’язок подається у вигляді параболічних функціональних інтерва- лів (параболічних паралелограмів [3, 5]). Схема розв’язання. У [5] розглядається загальна початкова задача: потрібно знайти таку функцію  y y x , що задовольняє рівність        , , ', , , у точці , , k g x F x y y y x a y a c    де   , , k y y  похідні цієї функції відповідних порядків. Зокрема, час- тинним випадком її є і інтегральне рівняння (1) (при    g x y x ,     , , x a F f x K x s y s ds   ,  c f a ). Оскільки, за припущен- ням, функція  f x диференційовна, ядро   , ,K x s y s – інтегровне, то існує похідна правої частини рівняння (1): ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 151            ' , , , , x a f x K x s y s ds f x K x x y x   Отже, існує і похідна  y x шуканого розв’язку такої задачі Коші:        , , y x f x K x x y x   (2)     .y a f a (3) Отже розв’язок рівняння (1) можна знайти як розв’язок цієї за- дачі Коші за допомогою алгоритму з [5]. Для розв’язання задач такого типу у [5] запропоновано підхід на основі побудови лінійного функціонального інтервалу (ЛФІ) розв’яз- ку, що містить дотичну до розв’язку у початковій точці. Підстанов- кою ЛФІ в ядро рівняння одержуємо ЛФІ похідної, а на основі обме- жень на похідну будуємо параболічний паралелограм [3]. У [1] на цій основі запропоновано базовий алгоритм розв’язу- вання рівняння (1). Суть полягає в наступному. Алгоритм 1. 1. Вибираємо ib a . 2. Реалізуючи висновок леми 1 [3], вибираємо початковий ліній- ний функціональний інтервал (ЛФІ) розв’язку рівняння (1):      , , , y x a b k x m k x m   (4) такі щоб він містив дотичну       y x y a x a y a   до шуканого розв’язку у точці x a , де         , , , , 0.k y a k y a m y a k a m y a k a               , , 0.m y a ka m y a ka      (5) Цю дотичну можна побудувати, оскільки у початковій точці x a значення  y a розв’язку  y x та його похідної  y x відомі. 3. Визначаємо в інтервалі  ,a b точку 1ib  , до якої, включно з нею, виконуються подвійні нерівності      k x y x k x    та      k x y x k x  (див. [3]). 3.1. Підставляємо ЛФІ (4) в ядро  K  рівняння (1) та виконав- ши всі відповідні операції згідно його аналітичного виразу, одержує- мо лінійний функціональний інтервал похідної шуканого розв’язку у вигляді таких списків значень:  1{ }m i ix  – список точок розбиття інтервалу  ,a b характерними точками [2] ядра рівняння (1); ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 152  1{ }m iiy  , 1{ }m i iy  – списки значень верхніх та нижніх кусково- лінійних обмежувальних функцій цього ЛФІ в точках розбиття;  1 1{ }m i ik   , 1 1{ }m i ik   – списки кутових коефіцієнтів верхніх та нижніх, відповідно, кусково-лінійних обмежувальних функцій цього лі- нійного функціонального інтервалу;  1 1{ }m i im   , 1 1{ }m i im   – списки коефіцієнтів зміщення верхніх та ниж- ніх, відповідно, кусково-лінійних обмежувальних функцій цього лінійного функціонального інтервалу. 3.2. Зі списків 1 1{ }m i ik   , 1 1{ }m i ik   , 1 1{ }m i im   , 1 1{ }m i im   , вибираємо пе- рші елементи 1k , 1k , 1m , 1m , відповідно, та будуємо прямі:    1 1 1 1 , .w ny x k x m y x k x m    (6) 4. На основі отриманих прямих, згідно теореми 1 з [1], будуємо пара- болічний функціональний інтервал      a ap x y x p x  ,  , ix a b , де:         2 2 1 1 / 2 ,ap x y a k x a m x a     (7)         2 2 1 1 / 2 ,ap x y a k x a m x a     (8) 5. Знаходимо значення  ap x та  ap s , де   / 2is a b  і бу- дуємо параболи  sp x та  sp x , де:         2 2 1 1 / 2 s ap x p s k x s m x s     (9)         2 2 1 1 / 2 .s ap x p s k x s m x s     (10) Параболи (9), (10) проходять через точки   , as p s та   , as p s , відповідно. 6. Знаходимо значення  isp b та  s ip b і парабол (9)–(10) у то- чці ix b , відповідно, і одержуємо інтервал    , ss i ip b p b    , який гарантовано містить значення розв’язку  iy b у точці ib . 7. Обчислюємо функціональну невизначеність    i s isp b p b   розв’язку рівняння (1) у точці ix b . 7.1. Якщо   , де  – задана бажана точність апроксимації розв’язку рівняння (1) у точці ix b , тоді будуємо інший гіпотетичний початковий інтервал     1, ,i ib b l x , 1,2,i   розв’язку рівняння (1), ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 153 послідовно обчислюючи кутові коефіцієнти та зміщення прямих  l x та  l x так. Обчислюємо кутові коефіцієнти прямих  l x ,  l x , що проходять через точки   ,a y a ,   , as p s ,   , as p s , відповідно:         , . aa p s y ap s y a k k s a s a      (11) Знаходимо     , ,k y a k y a     (12) та   max , .   (13) Будуємо новий початковий лінійний функціональний інтервал розв’язку рівняння (1). Тоді нові коефіцієнти обмежувальних функцій ЛФІ розв’язку будуть такими:    new new new , ,k y a m y a k a   (14)    new new new , .k y a m y a k a   (15) Переходимо до пункту 3. 7.2. Якщо функціональна невизначеність розв’язку рівняння (1)   , то згідно з [3],        / 2i s i s iy b p b p b  . Тому далі розв’язуємо нове інтегральне рівняння (1) на інтервалі  1,i ib b  . 8. Якщо 1ib b  , то кінець алгоритму. В цьому алгоритмі ітераційне звуження ЛФІ розв’язку виконується без явної апріорної оцінки числа цих ітерацій. Однак висновки лем та теорем роботи [5] дають змогу модифікувати цей алгоритм так, щоб ба- жана точність  апроксимації розв’язку рівняння на кінцях кожного проміжку  1,i ib b  досягалася за один крок алгоритму. Теоретичними основами запропонованої нижче модифікації є висновки Теореми 1. Теорема 1. Нехай функція f один раз неперервно диференційо- вна на  ,a b , ядро  , ,K x s y інтегровне у відповідній області та задовольняє умові Ліпшиця за змінною y зі сталою 0L  . Нехай на першому інтервалі  1,a b існують лінійні функції ,g g вигляду (6), що проходять через спільну точку   ,a y a , такі що        1 , , .g x y x g x x a b   (16) Тоді: ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 154 Пункт 1). Якщо параболи ap , ap , (8) є первісними обмежува- льних прямих g , g при початковій умові    y x y a , а параболи sp , sp (9), (10) проходять через точки   , as p s ,   , as p s , відпо- відно, де  1 / 2s a b  , то ці чотири параболи утворюють параболіч- ний паралелограм [3, 5], що містить розв’язок рівняння (1):        1 , , ;s sp x y x p x x a b   Пункт 2). функціональна невизначеність [4]      1 1 1s sb p b p b   у правій межі 1b інтервалу  1,a b дорівнює   2 1 · , 4 K h b   (17) де 1h b a  , 11Δ 0K k k   ; Пункт 3). при заданій функціональній невизначеності  розв’язку рівняння (1) у точці b з проміжку  1,a b крок розбиття 2 /h K   (18) забезпечує рівність  a h   за одну побудову параболічного паралелограма; Пункт 4). для рекурентно побудованої послідовності ЛФІ розв’язку з відхиленнями   0 i   ( 1,2,i  ), визначеної у виведенні нижче, за умови 1i iC C  та 1  , для досягнення N   достатньо  2 1 1 log / / 6N    (19) ітерацій. Доведення. Пункт 1). Інтегруючи нерівність (16) від a до x та використо- вуючи   ay a y , згідно леми 1 з [5], отримуємо        1 , , ,a ap x y x p x x a b   оскільки ap , ap є первісними функцій g , g , відповідно, і ,g g проходять через спільну точку   ,a y a , то 11g m Ka   . Тому             22 2 / 2 / 2 .a ap x p x K x a Ka x a K x a       (20) Звідси маємо     2 1 1 / 2a ap b p b Kh  , а у середній точці s – ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 155     2 . 8 a a K h p s p s  (21) Оскільки ,g g лінійні функції, то   1 ' g x k ,  ' 1g x k сталі, отже диференціюванням (16) маємо    1 1 1 , , ,k y x k x a b  (22) тобто виконуються умови леми 2 з [5]. Тому, згідно з лемами 1, 2 та теоремами 1, 2 з [5], функціональний інтервал розв’язку задачі Ко- ші (2), (3) існує і він є одночасно функціональним інтервалом розв’язку рівняння (1). Врахувавши (9), (10), (21) та зробивши заміну змінних u x s  , переконуємось, що рівняння      ss sD x p x p x  після підстанов- ки (9), (10) та (21) із заміною u x s  набуває вигляду   2 2 . 8 2 2 s h u u h D u K          (23) Оскільки Δ 0K  , то рівняння 0sD  зводиться до 2 24 4 0u uh h   . Додатний його корінь   * 2 1 , 2 h u   Отже, параболи sp та sp перетинаються у точці: * * . 2 h x s u a    (24) Оскільки 1/ 2 1 , то  * 1,x s b , тобто перетин парабол  sp x ,  sp x відбувається в межах інтервалу  1,a b . Пункт 2). Підставляючи (9), (10) у різницю      1 1 1 s sD b p b p b  (25) Позначимо 1 1 1 1 1 1 , .k k k m m m      Тоді різниця (25), враховуючи (9), (10), набуває такого вигляду:           2 2 1 1 1 1 1 / 2 .a aD b p s p s k b s m b s         Аналогічно, врахувавши (7), (8), маємо         2 2 1 1 / 2 .a ap s p s k s a m s a      Оскільки  1 / 2s a b  , то ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 156 2 2 2 2 1 1 2 0, 2 , 2 h b a s b a s      Отже   2 1 1Δ / 4D b k h  . Тому   2 2 1 1 1 1 · · . 4 4 h h b k k k     Пункт 3). Із рівності (17) та того, що    b a h      , без- посередньо отримуємо 1 1 2 / .h k k   Пункт 4). Розглянемо рекурентно побудовану послідовність ЛФІ розв’язку з відхиленнями   0 i   ( 1,2,i  ), що визначається так. На ітерації i ЛФІ розв’язку має кутові коефіцієнти      i i ik y b   ,      i i ik y b   та проходить через   ,i ib y b . Підстановкою цього ЛФІ в ядро рівняння (1) одержуємо ЛФІ похід- ної з обмежувальними прямими, що проходять через   ,i ib y b з кутовими коефіцієнтами     1 1 i i k k . Інтервал  1,i ib b  визначається співвідношенням    i i iC h   , де   1 i i ih b b  ,     1 1max , ii iC k k        ,       1 1 i ii k k   . Покладемо    1 / 4 i i iC h    ,    1 i i ib   та     2: ( ) / 2 i i i L h   . За означенням послідовності, на ітерації i ЛФІ розв’язку має ширину            1 2 , , . i i i i i i ik k x b x b x b b      Підстановка ЛФІ розв’язку в ядро з умовою Ліпшиця ядра дає     2 . i i L   (26) Покажемо, що    1 / 4 i i     . Оскільки на ітерації i обмежува- льні прямі ЛФІ похідної проходять через   ,i ib y b з кутовими кое- фіцієнтами   1 i k ,   1 i k , тобто                    1 1 , , i i i i i i i ig x y b k x b g x y b k x b       то верхня парабола (7), застосована до інтервалу  1,i ib b  , набуває вигляду ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 157              2 1 / 2, i i i i i i ib p x y b y b x b k x b     тому в середній точці     / 2 i i is b h                  2 1 / 2 / 8. i i i i i i i ib p s y b y b h k h    Кутовий коефіцієнт прямої через   ,i ib y b та       , i ii i bs p s      – це січна, нахил якої                  1 / 4. i i i i ib i i ii i p s y b k y b k h s b       Звідси відхилення       1 / 4 i i i k h  , аналогічно       1 / 4 ii i k h  . За означенням        1 max , / 4 ii i i iC h            . Із співвідношення    i i iC h   маємо        1 1 1 1 / 4, · . i i i i ih C        (27) Покажемо, що за умови 1i iC C  виконується    1 / 4 i i h h   . З (27) маємо          1 1 1 1 / / 4 / 4 / 4. i i i i i i i ih C C C h          Оцінимо i . З Пункту 2, застосованого до  1,i ib b  , та з (26) маємо           2 2 / 4 / 2 . i i i i i ih L h       Тоді         2 1 1 1 1 1 1 · · . 4 16 64 i i i i i i h h                  Ітеруючи,  1 1 64 i i      . З нерівності i i  умова N   випливає з нерівності  1 1 64 N      , тобто  2 11 log / / 6N    , що дає рівність (19). Умова 1i iC C  справджується для достатньо малих  1  (зокрема при    1 iL y b  ), оскільки  i iC y b  зни- зу при звуженні ЛФІ. Теорема доведена. ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 158 Наслідок. Кожна ітерація пунктів 7-8 алгоритму 1 з [1] відпо- відає одній ітерації послідовності, описаної в умовах Теореми 1, з тими самими величинами       , , , , i i i i ih C   . Тому за Пунктом 4 Теореми 1 базовий алгоритм 1 з [1] досягає точності  на кожному інтервалі за щонайбільше N ітерацій пунктів 7-8. Запропонований модифікований алгоритм 2 (див. нижче) замінює усі ці проміжні ітерації однією побудовою параболічного паралелограма із кро- ком h за формулою (18) і забезпечує точну рівність  '1b  між кожними парами точок кінців інтервалів  1, i ib b  за одну побудову лінійного функціонального інтервалу ядра інтегрального рівняння (1). Алгоритм 2. 1. Виконуємо пункт 1 алгоритму 1 і вибираємо початковий ЛФІ розв’язку (4) з коефіцієнтами, обчисленими за (5). 2. Визначаємо в інтервалі  ,a b точку ib , до якої, включно з нею, виконується подвійна нерівність       .g x y x g x Для цього: Виконуємо пункт 2 алгоритму 1 і одержуємо ЛФІ похідної підс- тановкою ЛФІ розв’язку в ядро рівняння (1). Будуємо обмежувальні прямі (6) та визначаємо ib як меншу з двох точок перетину цих пря- мих з горизонтальними прямими k та k , відповідно. 3. На основі одержаних прямих (6) формуємо параболічний фу- нкціональний інтервал. Для цього будуємо параболи (7), (8), які за- безпечують таку подвійну нерівність:         , для всіх , .a a ip x y x p x x a b   4. Знаходимо значення  ap s та  ap s парабол (7), (8) у серед- ній точці   / 2is a b  та за формулами (9), (10) будуємо параболи  sp x та  sp x , що проходять через точки   , as p s та   , as p s , відповідно. 5. Обчислюємо значення парабол (9), (10) у точці ix b та одержу- ємо інтервал    ,s i isp b p b    і, відповідно, функціональну невизначе- ність     _ _s sp b i p b i  розв’язку рівняння (1) у точці ix b . 6. Якщо функціональна невизначеність     ,s i s ip b p b    ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 159 де  – задана бажана ширина двосторонньої апроксимації розв’язку рівняння (1) у цій точці, тоді згідно з [3],        / 2,i s i s iy b p b p b  і переходимо на пункт 1 цього алгоритму, розв’язуючи інтегральне рівняння (2), але вже на інтервалі  1, i ib b  . 7. Якщо ж ,  тоді обчислюємо крок h за формулою (18) та покладаємо  ' ' , ' / 2.i ib a h s a b    Знаходимо значення парабол (7), (8) у новій середній точці s та одержуємо параболи (9), (10), які вже проходять через нові точки   , as p s  та   , as p s  . Покладаємо, згідно [3],       ' ' ' ' ' / 2.i s i s iy b p b p b  і переходимо на пункт 1 цього алгоритму, розв’язуючи інтегральне рівняння (2), але вже на інтервалі ' 1,i ib b      . 8. Якщо при виконанні пункту 6 або пункту 7 цього алгоритму отримуємо рівність ' ,ib b то кінець алгоритму. Числові експерименти. Для апробації запропонованого моди- фікованого алгоритму 2 розглянуто дві тестові задачі. Усі обчислення виконано в арифметиці довільної точності ( BigDecimal , 16 значущих цифр); початкове відхилення 1 ,5.  Приклад 1. На проміжку  1,2 побудувати гарантовані двосто- ронні апроксимації розв’язку інтегрального рівняння     1 1 2 x y x y s ds   у вигляді кусково-квадратичного функціонального інтервалу, забезпе- чуючи у точках розбиття даного інтервалу гарантоване зменшення фун- кціональної невизначеності розв’язку із заданою точністю 610  . Точним аналітичним розв’язком рівняння прикладу 1 є   2y x x . Тут      1 , , 2 , , / 1 / ;K x y x y K x y y y      на першому інтервалі   · 0,45,y y a h   звідки 1 / 0,45 1 ,5, 1 ,5.L L   ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 160 За формулою (18) на першому інтервалі 31,153 10h   , ' 1 1,0011532865b a h   , що згідно з (17) забезпечує рівність  '1b  . Таблиця 1 Двостороння кусково-параболічна апроксимація розв’язку прикладу 1, одержана базовим алгоритмом на проміжку  , a b № 1ib  ib  isp b  s ip b   iy b N 1 1,000000 1,001398 1,002797 1,002797 96,2·10 1,002797 4 2 1,001398 1,003261 1,006532 1,006532 81,5·10 1,006532 3 3 1,003261 1,004785 1,009593 1,009593 98,3·10 1,009593 3 4 1,004785 1,010327 1,020761 1,020761 74,4·10 1,020761 3 5 1,010327 1,015857 1,031966 1,031965 74,0·10 1,031965 3 4n 1,998008 1,998257 3,993026 3,993026 112,3·10 3,993026 2 3n 1,998257 1,998475 3,993897 3,993897 111,6·10 3,993897 2 2n 1,998475 1,998666 3,994659 3,994659 81,4·10 3,994659 1 1n 1,998666 1,998832 3,995326 3,995326 81,0·10 3,995326 1 n 1,998832 2,000000 3,999994 3,999994 75,1·10 3,999994 1 тут 1ib  – ліва межа інтервалу; ib – права межа;  isp b ,  s ip b – значення парабол (9), (10) на правій межі інтервалу  1,i ib b ,    i s isp b p b   – функціональна невизначеність у точці ib ,  iy b – значення розв’язку у точці ib , n – загальна кількість інтерва- лів розбиття інтервалу  , a b . Таблиця 2 Двостороння кусково-параболічна апроксимація розв’язку прикладу 1, одержана модифікованим алгоритмом на проміжку  , a b № 1ib  ib  isp b  s ip b   iy b N 1 1,000000 1,001155 1,002311 1,002310 61,0·10 1,002310 1 2 1,001155 1,002310 1,004626 1,004625 710,0·10 1,004625 1 ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 161 Продовження таблиці 2 3 1,002310 1,003466 1,006944 1,006943 710,0·10 1,006944 1 4 1,003466 1,004622 1,009267 1,009266 61,0·10 1,009266 1 5 1,004622 1,005780 1,011593 1,011592 61,0·10 1,011593 1 4n 1,995642 1,996186 3,984759 3,984759 71,1·10 3,984759 1 3n 1,996186 1,996663 3,986662 3,986662 88,5·10 3,986662 1 2n 1,996663 1,997078 3,988322 3,988321 86,5·10 3,988321 1 1n 1,997078 1,998710 3,994842 3,994841 61,0·10 3,994842 1 n 1,998710 2,000000 4,000000 3,999999 76,2·10 4,000000 1 В цій таблиці використані такі ж позначення як і в таблиці 1. Рис. 1. Графіки кусково-параболічних обмежувальних функцій і розв’язку прикладу 1 на перших п’ятьох інтервалах розбиття інтервалу  , a b Рис. 2. Графіки кусково-параболічних обмежувальних функцій і розв’язку прикладу 1 на останніх п’ятьох інтервалах розбиття інтервалу  , a b ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 162 На рисунках 1, 2 суцільними лініями зображено графіки обме- жувальних парабол ap (7), ap (8), sp (9), sp (10), а пунктирною сірою лінією – точний розв’язок  y x рівняння. Приклад 2. На проміжку  0,1 побудувати гарантовані двосто- ронні апроксимації розв’язку інтегрального рівняння     0 · 2 2 xx x sy x x y s ds   у вигляді кусково-квадратичного функціонального інтервалу, забезпе- чуючи у точках розбиття даного інтервалу гарантоване зменшення фун- кціональної невизначеності розв’язку із заданою точністю 610  . Точним аналітичним розв’язком рівняння прикладу 2 є    2 1x xy x e  . Тут      x s x sλ 1 , K x, y x 2 · y, K x, y x / y 2 ,         0,1 0,1 2 2, 2.x sL max L    За формулою (18) на першому інтервалі 31,394 10h   , ' 1 0,0013940923b a h   , що згідно з (17) забезпечує рівність  '1b  . Таблиця 3 Двостороння кусково-параболічна апроксимація розв’язку прикладу 2, одержана базовим алгоритмом на проміжку  , a b № 1ib  ib  isp b  s ip b   iy b N 1 0,000000 0,007682 0,007694 0,007694 85,7·10 0,007694 5 2 0,007682 0,022677 0,022777 0,022777 74,5·10 0,022777 4 3 0,022677 0,037454 0,037727 0,037727 74,3·10 0,037727 4 4 0,037454 0,042668 0,043024 0,043024 81,8·10 0,043024 4 5 0,042668 0,055541 0,056146 0,056147 73,1·10 0,056146 3 4n 1,000000 1,000000 1,264230 1,264230 141,4·10 1,264230 1 3n 1,000000 1,000000 1,264231 1,264231 153,6·10 1,264231 1 2n 1,000000 1,000000 1,264231 1,264231 151,0·10 1,264231 1 ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 163 Продовження таблиці 3 1n 1,000000 1,000000 1,264231 1,264231 162,0·10 1,264231 1 n 1,000000 1,000000 1,264231 1,264231 165,0·10 1,264231 1 В цій таблиці використані такі ж позначення як і в таблиці 1. Таблиця 4 Двостороння кусково-параболічна апроксимація розв’язку прикладу 2, одержана модифікованим алгоритмом на проміжку  , a b № 1ib  ib  isp b  s ip b   iy b N 1 0,000000 0,001387 0,001388 0,001387 61,0·10 0,001388 1 2 0,001387 0,002775 0,002777 0,002776 710,0·10 0,002776 1 3 0,002775 0,004162 0,004166 0,004165 710,0·10 0,004165 1 4 0,004162 0,005549 0,005556 0,005555 61,0·10 0,005555 1 5 0,005549 0,006937 0,006946 0,006945 61,0·10 0,006946 1 4n 0,999999 1,000000 1,264241 1,264241 145,0·10 1,264241 1 3n 1,000000 1,000000 1,264241 1,264241 141,3·10 1,264241 1 2n 1,000000 1,000000 1,264241 1,264241 152,7·10 1,264241 1 1n 1,000000 1,000000 1,264241 1,264241 164,0·10 1,264241 1 n 1,000000 1,000000 1,264241 1,264241 151,4·10 1,264241 1 В цій таблиці використані такі ж позначення як і в таблиці 1. Рис. 3. Графіки кусково-параболічних обмежувальних функцій і розв’язку прикладу 2 на перших п’ятьох інтервалах розбиття інтервалу  , a b ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 164 Рис. 4. Графіки кусково-параболічних обмежувальних функцій і розв’язку прикладу 2 на останніх п’ятьох інтервалах розбиття інтервалу  , a b На цих рисунках використані такі ж позначення як і на рисун- ках 1-2. Висновки. У роботі сформульовано і доведено теорему, яка об- ґрунтовує коректність запропонованого модифікованого алгоритму розв’язування інтегрального рівняння вказаного виду. Виведено то- тожність (17) для функціональної невизначеності параболічного па- ралелограма у правій межі інтервалу, явний вираз (18) кроку розбиття h , який забезпечує досягнення заданої точності  за одну побудову, та у випадку виконання умови Ліпшиця ядра – логарифмічну оцін- ку (19) числа ітерацій пунктів 7-8 базового алгоритму з [1]. Запропо- нований модифікований алгоритм замінює всі N ітерацій однією побудовою параболічного паралелограма із кроком h . Результати числових експериментів підтверджують отримані теоретичні виснов- ки та коректність запропонованого алгоритму. Список використаних джерел: 1. Сеньо П. С., Заяць А. Р. Ітераційний двосторонній метод розв’язування інтегральних рівнянь. Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформатика. 2026. Вип. 36. С. 255-265. DOI: 10.30970/vam.2026.36.14038. 2. Сеньо П. С. Арифметика лінійних функціональних інтервалів. Вісник Львівського університету. Серія прикладна математика та інформати- ка. 2014. Вип. 21. С. 38-57. DOI: 10.30970/vam.2014.21.8541. 3. Сеньо П. С. Двосторонні методи розв’язування задачі Коші на підставі математики функціональних інтервалів. Вісник Львівського університе- ту. Серія прикладна математика та інформатика. 2017. Вип. 25. С. 18- 37. DOI: 10.30970/vam.2017.25.8475. 4. Senio P. S. Matrix representation of Taylor’s formula for mappings in finite dimensional spaces. Математичні Студії. 2019. Т. 51, № 1. С. 92-106. DOI: 10.15330/ms.51.1.92-106. ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 165 5. Сеньо П. С. Застосування математики функціональних інтервалів для розв’язування деяких типів загальної початкової задачі. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2026. Вип. 29. С. 134-150. DOI: 10.32626/2308-5878.2026-29.134-150. 6. Сеньо П. С. Топологія простору лінійних функціональних інтервалів. Мате- матичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. 2014. Вип. 11. С. 209-223. DOI: 10.32626/2308-5878.2014-11.209-223. 7. Сеньо П. С. Деякі застосування математики функціональних інтервалів. Ма- тематичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні нау- ки. 2016. Вип. 13. С. 182-193. DOI: 10.32626/2308-5878.2016-13.182-193. 8. Сеньо П. С. Методи локалізації функціональних невизначеностей для аналізу систем: автореф. дис. … д-ра фіз.-мат. наук: 01.05.04 – системний аналіз і теорія оптимальних рішень. Київ: Київ. нац. ун-т імені Тараса Шевченка, 2019. 36 с. 9. Lin Y., Stadtherr M. A. Validated solutions of initial value problems for para- metric ODEs. Applied Numerical Mathematics. 2007. Vol. 57, № 10. P. 1145- 1162. DOI: 10.1016/j.apnum.2006.10.006. 10. Duracz J., Farjudian A., Konečný M., Taha W. Function Interval Arithmetic. Mathematical Software – ICMS 2014: 4th International Congress, Seoul, Ko- rea. Cham: Springer, 2014. P. 677-684. (Lecture Notes in Computer Science; vol. 8592). DOI: 10.1007/978-3-662-44199-2_101. 11. Gu D.-K., Liu L.-W., Duan G.-R. Functional interval observer for the linear systems with disturbances. IET Control Theory & Applications. 2018. Vol. 12, № 18. P. 2562-2568. DOI: 10.1049/iet-cta.2018.5113. 12. Сеньо П. С. Методи розв'язування граничних задач на основі математики функціональних інтервалів. Математичне та комп'ютерне моделюван- ня. Серія: Фізико-математичні науки. 2018. Вип. 17. С. 133-144. DOI: 10.32626/2308-5878.2018-17.133-144. 13. Alefeld G., Herzberger J. Introduction to Interval Computations. New York: Academic Press, 1983. 352 p. References: 1. Seno P. S., Zaiats A. R. Iteratsiinyi dvostoronnii metod rozviazuvannia intehral- nykh rivnian. Visnyk Lvivskoho universytetu. Seriia prykladna matematyka ta informatyka. 2026. Vol. 36. Р. 255-265. DOI: 10.30970/vam.2026.36.14038. 2. Seno P. S. Aryfmetyka liniinykh funktsionalnykh intervaliv. Visnyk Lvivskoho universytetu. Seriia prykladna matematyka ta informatyka. 2014. Vol. 21. Р. 38-57. DOI: 10.30970/vam.2014.21.8541. 3. Seno P. S. Dvostoronni metody rozviazuvannia zadachi Koshi na pidstavi matematyky funktsionalnykh intervaliv. Visnyk Lvivskoho universytetu. Seriia prykladna matematyka ta informatyka. 2017. Vol. 25. P. 18-37. DOI: 10.30970/vam.2017.25.8475. 4. Senio P. S. Matrix representation of Taylor’s formula for mappings in finite dimensional spaces. Matematychni Studii. 2019. T. 51, № 1. P. 92-106. DOI: 10.15330/ms.51.1.92-106. 5. Seno P. S. Zastosuvannia matematyky funktsionalnykh intervaliv dlia rozviazuvannia deiakykh typiv zahalnoi pochatkovoi zadachi. Matematychne ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 166 ta kompiuterne modeliuvannia. Seriia: Fizyko-matematychni nauky. 2026. Vol. 29. P. 134-150. DOI: 10.32626/2308-5878.2026-29.134-150. 6. Seno P. S. Topolohiia prostoru liniinykh funktsionalnykh intervaliv. Matematychne ta kompiuterne modeliuvannia. Seriia: Fizyko-matematychni nauky. 2014. Vol. 11. P. 209-223. DOI: 10.32626/2308-5878.2014-11.209-223. 7. Seno P. S. Deiaki zastosuvannia matematyky funktsionalnykh intervaliv. Matematychne ta kompiuterne modeliuvannia. Seriia: Fizyko-matematychni nauky. 2016. Vol. 13. P. 182-193. DOI: 10.32626/2308-5878.2016-13.182-193. 8. Seno P. S. Metody lokalizatsii funktsionalnykh nevyznachenostei dlia analizu system: avtoref. dys. … d-ra fiz.-mat. nauk: 01.05.04 – systemnyi analiz i teoriia optymalnykh rishen. Kyiv: Kyiv. nats. un-t imeni Tarasa Shevchenka, 2019. 36 p. 9. Lin Y., Stadtherr M. A. Validated solutions of initial value problems for para- metric ODEs. Applied Numerical Mathematics. 2007. Vol. 57, № 10. P. 1145- 1162. DOI: 10.1016/j.apnum.2006.10.006. 10. Duracz J., Farjudian A., Konečný M., Taha W. Function Interval Arithmetic. Mathematical Software – ICMS 2014: 4th International Congress, Seoul, Ko- rea. Cham: Springer, 2014. P. 677-684. (Lecture Notes in Computer Science; vol. 8592). DOI: 10.1007/978-3-662-44199-2_101. 11. Gu D.-K., Liu L.-W., Duan G.-R. Functional interval observer for the linear systems with disturbances. IET Control Theory & Applications. 2018. Vol. 12, № 18. P. 2562-2568. DOI: 10.1049/iet-cta.2018.5113. 12. Seno P. S. Metody rozviazuvannia hranychnykh zadach na osnovi matema- tyky funktsionalnykh intervaliv. Matematychne ta kompiuterne mode- liuvannia. Seriia: Fizyko-matematychni nauky. 2018. Vol. 17. P. 133-144. DOI: 10.32626/2308-5878.2018-17.133-144. 14. Alefeld G., Herzberger J. Introduction to Interval Computations. New York: Academic Press, 1983. 352 p. MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS The research considers the problem of constructing guaranteed two- sided approximations of the solution of an integral equation of a certain kind. Classical methods typically yield only approximation of the solution at the certain points, but at other points there are general theoretical ap- proximations without rigorous error bounds, whereas for problems with uncertainty in parameters or initial conditions it is essentially important to obtain upper and lower bounds that definitely contain the sought solution. Classical interval methods for solving such equations based on interval an- alogues of the Taylor series require automatic differentiation of high orders and are characterized by the accumulation of error on large intervals, that significantly complicates their practical application. In [1] it presents an it- erative two-sided algorithm for solving equations of aforesaid form based on the mathematics of functional intervals with quadratic convergence, in which, however, the choice of the interval length that provides the given accuracy and the number of iterations of narrowing the linear functional in- ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 148-167. 167 terval of the solution are determined implicitly. In this paper a theorem is proved that yields an estimate for the functional uncertainty of the two- sided approximation at the right boundary of the interval, an explicit ex- pression of the partition step ensuring the prescribed accuracy of the ap- proximation in a single construction, and a logarithmic estimate of the number of iterations of narrowing of the linear functional interval of the solution on given interval by the basic algorithm of [1]. Based on this proven theorem, a modified algorithm is proposed that provides the desired narrowing of the two-sided approximation of the desired solution in one step. The algorithm is tested on two numerical experiments, which results confirm the theoretical conclusions. This substantially reduces the number of algorithm iterations. Key words: functional intervals, integral equations, two-sided ap- proximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, sys- tem analysis. Математичне та комп'ютерне моделювання Серія: Фізико-математичні науки Редакційна колегія: Zb_F-M_1.pdf Гвоздєв М. І. ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua Сидоров М. В. ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор... Список використаних джерел: References: The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe... Громик А. П. ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com Конет І. М. ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net Пилипюк Т. М. ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки. Список використаних джерел: References: HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions. Гук Н. А. ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua Сіліч-Балгабаєва В. Б. ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua Степанова Н. І. ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології. Список використаних джерел: References: DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies. Жолтовський О. О. ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com Черевко І. М. ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання. Список використаних джерел: References: THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling. Zelenskiy O. V. ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com ULTRA EXPONENT MATRICES Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling. References: УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання. Мусій Р. С. ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua Кунинець А. В. ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua Свідрак І. Г. ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua Тимошенко Н. М. ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua Шиндер В. К. ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила. Список використаних джерел: References: DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force. Zb_F-M_2.pdf Нікітін А. В. ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua Шведюк В. В. ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів. Список використаних джерел: References: STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space. Пархоменко В. Г. ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ... Список використаних джерел: References: Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t... Савченко А. В. ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн... Список використаних джерел: References: APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer... Сеньо П. С. ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua Заяць А. Р. ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз. Список використаних джерел: References: MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis. Янбеков Р. Я. ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння. Список використаних джерел: References: Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation. Відомості про авторів Алфавітний покажчик авторів Зміст end.pdf Математичне та комп’ютерне моделювання Серія: Фізико-математичні науки
id	mcm-mathkpnueduua-article-360580
institution	Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-06-09T01:00:13Z
publishDate	2026
publisher	Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
record_format	ojs
resource_txt_mv	mcm-mathkpnueduua/11/b1148775daecb20bd928e40a9a45fe11.pdf
spelling	mcm-mathkpnueduua-article-3605802026-06-08T08:10:39Z Modification of the Basic Two-Sided Method for Solving Integral Equations Модифікація базового двостороннього методу розв’язування інтегральних рівнянь Сеньо, Петро Заяць, Артур The research considers the problem of constructing guaranteed two-sided approximations of the solution of an integral equation of a certain kind. Classical methods typically yield only approximation of the solution at the certain points, but at other points there are general theoretical approximations without rigorous error bounds, whereas for problems with uncertainty in parameters or initial conditions it is essentially important to obtain upper and lower bounds that definitely contain the sought solution. Classical interval methods for solving such equations based on interval analogues of the Taylor series require automatic differentiation of high orders and are characterized by the accumulation of error on large intervals, that significantly complicates their practical application. In [1] it presents an iterative two-sided algorithm for solving equations of aforesaid form based on the mathematics of functional intervals with quadratic convergence, in which, however, the choice of the interval length that provides the given accuracy and the number of iterations of narrowing the linear functional interval of the solution are determined implicitly. In this paper a theorem is proved that yields an estimate for the functional uncertainty of the two-sided approximation at the right boundary of the interval, an explicit expression of the partition step ensuring the prescribed accuracy of the approximation in a single construction, and a logarithmic estimate of the number of iterations of narrowing of the linear functional interval of the solution on given interval by the basic algorithm of [1]. Based on this proven theorem, a modified algorithm is proposed that provides the desired narrowing of the two-sided approximation of the desired solution in one step. The algorithm is tested on two numerical experiments, which results confirm the theoretical conclusions. This substantially reduces the number of algorithm iterations. В роботі розглядається задача побудови гарантованих двосторонніх наближень розв’язку інтегральних рівнянь певних класів. Класичні методи, як правило, дають лише наближення розв’язку в окремих точках, а в інших точках – загальні теоретичні апроксимації без строгих оцінок похибки, тоді як для задач із невизначеністю параметрів або початкових умов принципово важливо отримати верхню та нижню межі, між якими гарантовано міститься шуканий розв’язок. Класичні інтервальні методи розв’язування таких рівнянь на основі інтервальних аналогів рядів Тейлора потребують автоматичного диференціювання високих порядків та характеризуються накопиченням похибки на великих проміжках, що суттєво ускладнює їх практичне застосування. У [1] запропоновано ітераційний двосторонній алгоритм розв’язування рівнянь зазначеного виду на основі математики функціональних інтервалів із квадратичною збіжністю, у якому, однак, вибір довжини інтервалу, що забезпечує задану точність, та число ітерацій звуження лінійного функціонального інтервалу розв’язку визначаються неявно. У цій роботі доведено теорему, що дає оцінку функціональної невизначеності двосторонньої апроксимації на правій межі інтервалу, явний вираз кроку розбиття, який забезпечує задану точність апроксимації за одну побудову, та логарифмічну оцінку кількості ітерацій звуження лінійного функціонального інтервалу розв’язку на заданому проміжку базовим алгоритмом з [1]. На основі доведеної теореми запропоновано модифікований алгоритм, який забезпечує бажане звуження двосторонньої апроксимації шуканого розв’язку за один крок. Алгоритм апробовано двома числовими експериментами, результати яких підтверджують теоретичні висновки. Це суттєво зменшує число ітерацій алгоритму. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360580 10.32626/2308-5878.2026-30.148-167 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 148-167 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 148-167 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360580/349680 Авторське право (c) 2026 Петро Сеньо, Артур Заяць
spellingShingle	Сеньо, Петро Заяць, Артур Modification of the Basic Two-Sided Method for Solving Integral Equations
title	Modification of the Basic Two-Sided Method for Solving Integral Equations
title_alt	Модифікація базового двостороннього методу розв’язування інтегральних рівнянь
title_full	Modification of the Basic Two-Sided Method for Solving Integral Equations
title_fullStr	Modification of the Basic Two-Sided Method for Solving Integral Equations
title_full_unstemmed	Modification of the Basic Two-Sided Method for Solving Integral Equations
title_short	Modification of the Basic Two-Sided Method for Solving Integral Equations
title_sort	modification of the basic two-sided method for solving integral equations
url	https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360580
work_keys_str_mv	AT senʹopetro modificationofthebasictwosidedmethodforsolvingintegralequations AT zaâcʹartur modificationofthebasictwosidedmethodforsolvingintegralequations AT senʹopetro modifíkacíâbazovogodvostoronnʹogometodurozvâzuvannâíntegralʹnihrívnânʹ AT zaâcʹartur modifíkacíâbazovogodvostoronnʹogometodurozvâzuvannâíntegralʹnihrívnânʹ

Modification of the Basic Two-Sided Method for Solving Integral Equations

Репозитарії

Схожі ресурси