Data-Driven Approach to Inverse Bifurcation Problems of Thin-Walled Systems Based on Neural Networks
The paper addresses the problem of predicting the bifurcation behaviour of thin-walled systems subjected predominantly to compressive loads in the presence of local impulsive disturbances. Under conditions of nonlinear deformation, such systems may exhibit multiple equilibrium states, and their dyna...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Zugang: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360650 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1867479057215520768 |
|---|---|
| author | Гук, Наталія Сіліч-Балгабаєва, Валентина Степанова, Наталія |
| author_facet | Гук, Наталія Сіліч-Балгабаєва, Валентина Степанова, Наталія |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Наталія Гук",
"institution": "Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара"
},
{
"author": "Валентина Сіліч-Балгабаєва",
"institution": "Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара"
},
{
"author": "Наталія Степанова",
"institution": "Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара"
}
] |
| author_sort | Гук, Наталія |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-08T08:10:39Z |
| description | The paper addresses the problem of predicting the bifurcation behaviour of thin-walled systems subjected predominantly to compressive loads in the presence of local impulsive disturbances. Under conditions of nonlinear deformation, such systems may exhibit multiple equilibrium states, and their dynamics are characterised by high sensitivity to loading parameters and initial conditions, which complicates the application of classical analytical and numerical methods.
A data-driven approach to solving the inverse bifurcation problem is proposed, based on the use of neural network models for the identification and prediction of critical states from time series of measured displacements. A dynamic neural network based on a multilayer perceptron is developed, incorporating the time history of the deformation process through the introduction of regressors and delay elements, which allows the inertial properties of the system to be taken into account. The inverse problem is formulated as the task of predicting the onset of a bifurcation transition by minimising an error functional between observed and reference data. The output of the neural network is interpreted as a continuous estimate of the system’s proximity to a critical state, followed by binary classification.
Computational experiments have been conducted to confirm the accuracy and efficiency of the proposed approach. It is shown that the neural network model provides reliable prediction of bifurcation in a time shorter than the time of its occurrence, and also demonstrates robustness to variations in parameters and external disturbances. The obtained results indicate the potential of data-driven methods for analysis, identification, and early diagnosis of stability loss in thin-walled structures. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-30.48-62 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:00:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
48
УДК 539.3:519.7:004.83
DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.48-62
Гук Н. А.
ORCID: 0000-0001-7937-1039,
д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний
університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна,
E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua
Сіліч-Балгабаєва В. Б.
ORCID: 0000-0002-9490-3600,
канд. техн. наук, Дніпровський національний
університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна,
E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua
Степанова Н. І.
ORCID: 0000-0002-9490-3600,
канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний
університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна,
E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua
DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ
ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ
НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ
У роботі розглянуто задачу прогнозування біфуркаційної
поведінки тонкостінних систем, що перебувають під дією пе-
реважаючих стискаючих навантажень за наявності локальних
імпульсних збурень. В умовах нелінійного деформування такі
системи можуть демонструвати множинність рівноважних
станів, а їхня динаміка характеризується високою чутливістю
до параметрів навантаження та початкових умов, що усклад-
нює застосування класичних аналітичних і числових методів.
В роботі запропоновано data-driven підхід до розв’язання
оберненої задачі біфуркації, який ґрунтується на використанні
нейромережевих моделей для ідентифікації та прогнозування
критичних станів за часовими послідовностями вимірюваних
значень переміщень. Побудовано динамічну нейронну мережу
на основі багатошарового персептрона з урахуванням часової
передісторії процесу деформування через введення регресорів
і елементів затримки, що дозволяє враховувати інерційні влас-
тивості системи. Обернену задачу сформульовано як задачу
3 Стаття надійшла до редакції: 12.05.2026
Рекомендовано до друку: 19.05.2026
Оприлюднено (online): 29.05.2026
Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0
© Гук Н. А., Сіліч-Балгабаєва В. Б., Степанова Н. І., 2026
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
49
прогнозування настання біфуркаційного переходу на основі
мінімізації функціоналу похибки між спостережуваними та
еталонними даними. Вихід нейронної мережі інтерпретується
як неперервна оцінка ступеня наближення системи до критич-
ного стану з подальшою бінарною класифікацією.
Проведено обчислювальні експерименти, що підтверджують
точність і ефективність запропонованого підходу. Показано, що
нейромережева модель забезпечує достовірне прогнозування бі-
фуркації за час, менший, ніж час її реалізації, а також демонструє
стійкість до варіацій параметрів і зовнішніх збурень. Отримані ре-
зультати свідчать про перспективність застосування data-driven
методів для задач аналізу, ідентифікації та ранньої діагностики
втрати стійкості тонкостінних конструкцій.
Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втра-
та стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven
підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка,
ідентифікація параметрів, інформаційні технології.
Вступ. Особливе місце в механіці руйнування посідає дослі-
дження закритичної поведінки елементів конструкцій, оскільки саме
на цій стадії формуються передумови аварій та катастрофічних від-
мов. У закритичній області функціонування тонкостінні системи де-
монструють складну нелінійну динаміку, окремі елементи поступово
втрачають несучу здатність, що спричиняє перерозподіл навантажень
і ініціює каскадні процеси деградації. Такі внутрішні механізми взає-
модії мають високий ступінь невизначеності та слабку формалізова-
ність у межах класичних аналітичних моделей.
У цьому контексті перспективним є використання data-driven під-
ходів, зокрема нейронних мереж, які дозволяють відновлювати прихова-
ні закономірності закритичної поведінки на основі експериментальних
або згенерованих розрахункових даних. Застосування таких методів від-
криває нові можливості для розв’язання обернених задач біфуркації,
пов’язаних з ідентифікацією критичних станів, параметрів системи та
сценаріїв втрати стійкості в тонкостінних конструкціях.
Огляд сучасних досліджень. Дослідження біфуркаційної пове-
дінки тонкостінних конструкцій є ключовим напрямом сучасної ме-
ханіки деформівного твердого тіла, оскільки саме втрата стійкості
визначає граничні режими експлуатації тонкостінних конструкцій.
Класичні аналітичні підходи до опису таких явищ базуються на стро-
гих математичних постановках задач стійкості та біфуркації в межах
нелінійних рівнянь. Зокрема, у роботі [1] запропоновано асимптотич-
ну багатомасштабну формалізацію задачі біфуркації, що дає змогу
отримувати узагальнені функціонали втрати стійкості з високою точ-
ністю. Такі підходи забезпечують фізичну інтерпретованість і є осно-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
50
вою аналізу нестійкостей у процесах формоутворення, однак вони
здебільшого орієнтовані на розв’язання прямих задач і мають обме-
жену придатність для аналізу спостережуваних систем.
Подальший розвиток отримали аналітичні методи оберненої біфур-
кації, які дозволяють не лише прогнозувати втрату стійкості, а й керува-
ти цим процесом через оптимізацію параметрів конструкції. У цьому
контексті у роботі [2] обернені задачі біфуркації формалізовано в рамках
рівнянь фон Кармана. Такий підхід дозволяє визначати оптимальні роз-
поділи товщини, кривини або зовнішнього навантаження, а також про-
гнозувати критичні стани конструкцій. Водночас складність нелінійних
рівнянь і висока обчислювальна вартість обмежують застосування таких
методів у задачах багатопараметричного аналізу.
Числові методи, зокрема метод скінченних елементів, стали ос-
новним інструментом дослідження біфуркаційної поведінки складних
конструкцій. Як показано у [3], геометричні параметри тонкостінних
композитних конструкцій, зокрема форма та розташування отворів,
суттєво впливають на критичні навантаження втрати стійкості. Для
дослідження цих залежностей застосовуються методи планування
експерименту, однак вони потребують значної кількості числових
розрахунків, що робить їх малоефективними у задачах оперативної
ідентифікації та проектування тонкостінних систем.
Складність багатопараметричних систем і висока обчислювальна
вартість традиційних методів стимулювали розвиток альтернативних
підходів, зокрема методів машинного навчання. У роботі [4] показано,
що багатошарові нейронні мережі дозволяють ефективно апроксимувати
залежність між геометричними параметрами тонкостінних елементів та
їх критичними навантаженнями. Використання даних, отриманих за до-
помогою числових методів (FSM, ENFM), забезпечує високу точність
прогнозування, а також можливість ідентифікації форм втрати стійкості
з точністю до 98%. Це свідчить про значний потенціал нейронних мереж
як швидкої альтернативи класичним методам обчислень.
Подальший розвиток отримали гібридні підходи, що поєднують
нейронні мережі та еволюційні алгоритми. У роботі [5] запропонова-
но метод BP-GA для оберненого проєктування тонкостінних підсиле-
них конструкцій. Нейронна мережа використовується для побудови
відображення між геометричними параметрами та критичними нава-
нтаженнями, тоді як генетичний алгоритм забезпечує глобальну оп-
тимізацію. Отримані результати демонструють високу точність, зок-
рема похибка становить близько 5%, що підтверджує ефективність
data-driven підходів у обернених задачах аналізу біфуркації.
Схожі підходи застосовуються і для складних багатокоміркових
систем. У роботі [6] показано, що топологія та кількість комірок сут-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
51
тєво впливають на енергопоглинальні властивості та критичні режи-
ми деформації. Для оптимізації використовуються еволюційні алго-
ритми (NSGA-II), однак такі методи залишаються витратними, особ-
ливо для розв’язання задач багатокритеріальної оптимізації та в разі
необхідності швидкої оцінки стану системи.
Актуальним напрямом є розробка методів визначення парамет-
рів матеріалів із заданими властивостями. В роботі [7] показано, що
використання глибинних нейронних мереж у поєднанні з генетични-
ми алгоритмами дозволяє ефективно розв’язувати задачі дизайну ґра-
тчастих структур із підвищеною здатністю до втрати стійкості. Поді-
бні data-driven методи забезпечують суттєве покращення характерис-
тик порівняно з класичними конструкціями.
У задачах проєктування матеріалів із нелінійною механічною
відповіддю [8] нейронні мережі застосовуються для швидкої апрок-
симації залежності між геометрією структури та її механічною пове-
дінкою. Поєднання з еволюційними стратегіями дозволяє ефективно
знаходити конфігурації з наперед заданими властивостями, що особ-
ливо важливо для задач керування процесами деформування.
В умовах невизначеності особливого значення набуває врахування
випадкових геометричних недосконалостей. У роботі [9] показано, що
моделювання таких факторів у вигляді випадкових полів у поєднанні з
методом Монте-Карло та скінченно-елементним аналізом вимагає вели-
ких обчислювальних потужностей. Разом з тим, використання нейроме-
режевих моделей дозволяє суттєво прискорити обчислення при збере-
женні високої точності прогнозування появи критичних навантажень.
Для задач нелінійної динаміки тонкостінних систем типовою є бі-
фуркаційна поведінка, що характеризується множинністю рівноважних
станів [10]. Поєднання аналітичних методів з чисельним інтегруванням
дозволяє отримати біфуркаційні діаграми, однак значна чутливість до
параметрів і відмінності між лінеаризованими та нелінійними моделями
ускладнюють точне прогнозування критичних режимів, що вимагає до-
даткових експериментальних досліджень для підтвердження адекватнос-
ті моделей і підвищення достовірності отриманих результатів.
Загалом аналіз сучасних підходів показує, що класичні аналітичні
та числові методи забезпечують високу фізичну точність, однак є обме-
женими з точки зору обчислювальної ефективності та придатності до
розв’язання задач оберненої ідентифікації. Натомість сучасні data-driven
методи, зокрема нейронні мережі у поєднанні з генетичними алгорит-
мами, демонструють високу швидкодію, здатність до узагальнення та
ефективність у багатопараметричних задачах біфуркації.
Таким чином, сучасний стан досліджень чітко вказує на необ-
хідність розвитку нових обчислювальних методів на основі нейрон-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
52
них мереж і data-driven підходів, які дозволять подолати обмеження
класичних моделей і забезпечують ефективне розв’язання обернених
задач біфуркації тонкостінних систем.
Постановка задачі. Розглядається поведінка тонкостінного
елемента конструкції, що перебуває під дією номінальних стискаю-
чих навантажень, близьких до критичних, за наявності локального
ударного впливу. За певного рівня навантаження система досягає
стану втрати стійкості, що відповідає біфуркації типу граничної точ-
ки для відповідної нелінійної крайової задачі. У цих умовах локальне
динамічне збурення може призводити до принципово різних сценарі-
їв подальшої еволюції системи: до затухання коливань поблизу до-
критичного стану рівноваги; до розвитку нестійкості з наростанням
амплітуди деформацій і переходом до закритичної форми, що супро-
воджується руйнуванням конструкції.
Задача ускладнюється наявністю двомасштабної динаміки про-
цесу: «повільного» квазістатичного деформування та «швидкого»
динамічного впливу, а також можливістю одноразових або повторних
ударних навантажень. Критерієм уразливості системи визначено реа-
лізацію закритичної форми деформування із заданим рівнем дефор-
мацій, що відрізняється від початкового докритичного стану.
У межах сформульованої постановки задачі основними завдан-
нями є:
прогнозування сценарію подальшої поведінки системи (стабіліза-
ція або розвиток нестійкості) на основі аналізу її ретроспективної
динаміки на інтервалі часу, меншому за характерний час форму-
вання закритичного стану;
ідентифікація ефективних критичних навантажень, що відповіда-
ють спостережуваній поведінці системи з урахуванням динаміч-
них збурень і нелінійних ефектів.
Розв’язання зазначених задач передбачає використання сучасних
підходів до аналізу нелінійних систем, зокрема методів обернених задач
і data-driven моделей, орієнтованих на обробку динамічної інформації та
виявлення прихованих закономірностей біфуркаційної поведінки.
Математична модель прямої та оберненої задач. Стан тонкос-
тінного оболонкового елемента описується вектор-функцією переміщень
, , ˆ, ,iU X H u X H w X H та залежить від невідомих функцій
H X , що характеризують фізичні, механічні та конструктивні власти-
вості оболонки. Система рівнянь рівноваги зображується в такий спосіб:
1 , , ,1 1
1
0;
2
ijkl ijkl
l tt j k l j kl k l iu C H u C B H w w w q
(1)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
53
2
2 , 2 1 0,
, , , 1,2,
ijkl ijkl
l tt ij kl kl ij ijuw C H w C H B H w q
i j k l
(2)
де iu – тангенціальні переміщення точок серединної поверхні оболо-
нки в поздовжньому та окружному напрямках 1 2, x x ; w – нормальні
переміщення точок серединної поверхні оболонки; t – час; kl – тен-
зор тангенціальної деформації; 1
ijkl
C H , 2
ijkl
C H – жорсткість оболонки
на розтягання-стискання та згинальна жорсткість; 11
ˆ 0B ; 22
ˆ 1
ˆB
R
;
12
ˆ 0B ; , , , 1,2i j k l , якщо i j , то k l , та почергово 1k , 2l ,
2k , 1l .
Для опису умов закріплення оболонки вводяться коефіцієнти
пружності опор 1 2 1 21 2, , , 1 ,2, , , 3 4ˆ ˆ , ,
ij pn
k x x i j k x x p n , що обме-
жують тангенціальні й згинальні переміщення на границі 1Γ , 2Γ від-
повідно. При цьому значення 1 21 , ˆijk x x , 1 22 , ˆ pn
k x x забез-
печують тверде защемлення краю, а 1 21 , 0ˆijk x x ,
1 22 , 0 ˆ
pn
k x x – відповідно вільне обпирання краю.
Розв’язання прямої задачі передбачає визначення компонентів на-
пружено-деформованого стану тонкостінної системи на основі системи
нелінійних диференціальних рівнянь (1), (2) із відповідними граничними
умовами в моменти часу t . В такий спосіб утворюється часовий ряд,
елементами якого є стани оболонки у фіксовані моменти часу.
Однак у реальних умовах експлуатації параметри навантаження
та стану системи часто є частково невідомими, а інформація про по-
ведінку об’єкта доступна лише у вигляді вимірюваних кінематичних
характеристик, зокрема переміщень, у дискретні моменти часу. Це
зумовлює необхідність переходу до оберненої задачі, у якій за відо-
мими спостережуваними даними необхідно відновити динамічні ха-
рактеристики системи та спрогнозувати її критичну поведінку.
Обернена задача полягає у прогнозуванні біфуркаційної поведі-
нки тонкостінної системи на основі аналізу виміряних переміщень у
послідовні моменти часу. Необхідно за заданою часовою послідовні-
стю спостережуваних станів системи визначити наближення до кри-
тичного режиму та момент втрати стійкості.
Метод розв’язання. Для розв’язання оберненої задачі в роботі
використовується нейромережева модель на основі багатошарового
персептрона, яка здійснює апроксимацію нелінійного відображення
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
54
між часовими послідовностями переміщень і характеристиками бі-
фуркаційної поведінки. З метою врахування передісторії наванта-
ження та динаміки системи застосовується структура з обробкою ча-
сових послідовностей, яка виконує функції дискретного динамічного
фільтра 1Φ z . Така структура дозволяє інтегрувати інформацію
про попередні стани системи та забезпечує формування прогнозу її
подальшої поведінки як динамічного об’єкта.
Для надання динамічних властивостей використано елемент ча-
сової затримки з оператором 1 Δs tz e , де період дискретизації Δt
відповідає інтервалу знімання вимірювальної інформації. Застосу-
вання елементів затримки дозволяє враховувати передісторію проце-
су та формувати часові залежності у вхідних даних.
Схему динамічного базового процесорного елемента з викорис-
танням елементів затримки наведено на рис. 1.
Рис. 1. Схема динамічного базового процесорного елемента
з використанням елементів затримки
Кількість елементів затримки в структурі базового елемента ви-
значається числом дискретних значень вхідного вектора, що врахо-
вуються під час формування часової послідовності
, 1 , , nw w t w t w t n .
Розв’язання оберненої задачі потребує розширення вхідного прос-
тору моделі через включення до неї не лише регресорів, що описують
поточні вхідні параметри, але й змінних, які характеризують значення
шуканого розв’язку на попередніх часових кроках. Таким чином забезпе-
чується врахування динамічної пам’яті системи та її часової залежності.
Для реалізації такого підходу використовується схема узагальнено-
го навчання, яка базується на обробці експериментальних даних типу
«вхід–вихід» об’єкта спостереження. У межах даної постановки побудо-
ва прямої моделі в заданому класі функцій не потребує повної апріорної
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
55
інформації про структуру внутрішніх зв’язків та операторів об’єкта ке-
рування, за винятком припущень щодо стійкості та обмеженості всіх
його траєкторій W t на розглянутому інтервалі часу 0t .
Результатом ідентифікації динамічної моделі реального об’єкта
спостереження є набір параметрів нейромережевої моделі, отриманих за
алгоритмом зворотного поширення похибки. Ці параметри забезпечують
наближення функцій виходу моделі до експериментально спостережува-
них даних із точністю, що визначається похибкою навчання. У результа-
ті навчання формуються оцінки вектора стану об’єкта, який у загальному
випадку описується параметрично нелінійним рівнянням:
1 1, , , k k k m kt f W t W t t .
Розглянута задача передбачає прогнозування біфуркаційної поведі-
нки системи у фіксовані дискретні моменти часу kt . При цьому горизонт
прогнозу є меншим за характерний час розвитку біфуркаційного проце-
су, що надає можливість здійснювати випереджальну оцінку критичних
режимів на основі неповної інформації про еволюцію системи.
З огляду на складність та нелінійний характер відображення між
спостережуваними даними та критичними станами, задача прогнозу-
вання розв’язується із використанням ансамблю нейронних мереж.
Такий підхід забезпечує підвищення стійкості та узагальнювальної
здатності моделі за рахунок агрегації розв’язків декількох незалежно
навчених нейромережевих структур.
Кожна мережа містить m входів, які формуються як послідов-
ність
1 1
, , , , , 1,
m
t t t Stt t k m
W W W W W W S N
, вона здійс-
нює відображення
1
m m
ttW F W , де m – число входів, обумовле-
ним числом вимірювань параметрів стану конструкції N і відповід-
них дискретних моментів часу n . Вигляд матриці навчання ансамб-
лю нейронних мереж наведено в таблиці 1.
Таблиця 1
Матриця навчання ансамблю нейронних мереж
Входи Вихід
W1 W2 ……. Wm μ k
W2 W3 ……. Wm + 1 μ k μ k + 1
W3 W4 ……. Wm + 2 μ k + 1 μ k + 2
……. ……. ……. ……. ……. …….
Wn – m + 1 Wn – m + 2 ……. Wn μ k + n – m μ k + n – m + 1
Нейронна мережа формує вихідне значення 0,1HM , яке ін-
терпретується як міра наближення системи до біфуркаційного стану
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
56
або ймовірність його реалізації. Остаточна класифікація здійснюється
через порогове перетворення:
1, ,
0, .
HM
HM
Такий підхід дозволяє аналізувати динаміку наближення до бі-
фуркації та прогнозувати передкритичні стани.
Аналіз результатів. Запропонований в роботі підхід було засто-
совано для аналізу поведінки кругової циліндричної оболонки, що
перебуває під дією номінальних стискаючих навантажень, близьких
до критичних, за наявності локального ударного впливу. Оболонка з
параметрами 0.64 мL , 0.16 мR , 0.001 мh , 0 200 ГПаE ,
0.3 , 250 МПаT , 100 ГПаTE , 3 37.9 10 кг м знахо-
диться під дією номінального навантаження – рівномірного нормаль-
ного зовнішнього тиску 0, 100 КПаx y zq q q . На торцях оболон-
ки виконуються умови шарнірного обпирання з можливістю вільного
зсуву в напрямку осі 1x симетрично щодо площини / 2x L .
Розв’язання прямої задачі деформування тонкостінної оболонки
здійснювалося за допомогою пакета прикладних програм, що реалізує
метод скінченних елементів. Теоретичне біфуркаційне значення параме-
тра навантаження становило 1.52кр . Імпульсний вплив здійснюється
в області 1 2Ω , , / 2 / 40, /140 x y R x L L y R через дода-
вання імпульсного навантаження 0xp X , 0yp X ,
/zp X F S за час 0.002 с , де F – амплітуда рівнодіючого нор-
мального навантаження, S – площа області 1Ω , 0 0.0025 сT ,
0.05 сT ;
0 0 0
0 0
0 0 0
0
4 / , 0.25 ,
1, 0.25 0.75 ,
Φ ,
4 / , 0.75 ,
0, .
t T T t T
T t T
t
t T T t T
t T
.
З результатів розрахунків прямих задач деформування випливає,
що для 0.5 / 1кр при імпульсному впливі з амплітудою
крF F може відбутися втрата стійкості оболонки. Кінцева форма
деформування, що утворюється в момент втрати стійкості, залежить
від рівня навантажень і F .
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
57
На рис. 2 наведено залежність кр крF , що відокремлює область
втрати стійкості від області коливань. У разі, коли виконуються умови
кр , кр крF F , імпульсний вплив призводить до коливань обо-
лонки за нижчими власними формами, які мають ознаки затухання і не
супроводжуються втратою стійкості. У разі 0 / 0.5кр в міру зрос-
тання амплітуди F в оболонці відбувається наростання деформацій,
переважно локалізованих у зоні імпульсного впливу, з подальшим фор-
муванням на поверхні оболонки локальної вм’ятини. При цьому коли-
вання набувають загасаючого характеру.
Рис. 2. Області втрати стійкості та коливань, відокремлені кривою кр крF
Рис. 3 демонструє характер динамічної поведінки оболонки під ді-
єю імпульсного впливу різної інтенсивності. На рис. 4 наведено форми
деформування перерізу оболонки в часі за різних значень амплітуди F .
Рис. 3 – Динамічна поведінка оболонки при імпульсному впливі
в критичній зоні значень F при 0,9 кр
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
58
F,Кн
t,c
0.0030 0.0073 0.012 0.016 0.020 0.024 0.029 0.033 0.037 0.041 0.046 0.050
0,56
0,64
0,72
0,80
Рис. 4. Форми деформування
З розв’язання прямих задач за різних значень параметрів наван-
таження було побудовано навчальну вибірку. Далі відбувалося нав-
чання динамічної мережі на наведеній навчальній вибірці. Для ство-
рення адекватної нейромережевої моделі здійснено аналіз основних її
параметрів: величини кроку на k -му інтервалі, глибини регресора,
числа шарів в прихованому шарі, числа нейронів. Глибина регресора
визначає обсяг урахованої часової передісторії.
На рис. 5 наведено результати навчання моделі при різних зна-
ченнях глибини регресора: 5 n (рис. 5, а), 10n (рис. 5, б). З ана-
лізу отриманих залежностей можна бачити, що збільшення глибини
регресора ( 10n ) призводить до зростання інерційності динамічної
нейронної мережі, що проявляється у розширенні пікових ділянок
відгуку. Водночас спостерігається певне зменшення амплітуди піків,
що свідчить про покращення відтворювальних властивостей моделі
та її здатності до узагальнення динаміки процесу. Але помилка мере-
жі при 5 n значно менша, ніж при 1 0n .
а)
б)
Рис. 5. Навчання динамічної мережі з різною
глибиною регресора: а) 5n ; б) 1 0n
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
59
З аналізу подібних залежностей при зміні інших параметрів було
обрано конфігурацію нейронної мережі, так величина кроку на k -му
інтервалі дорівнювала 0.0001t , глибина регресора – 5, число прихо-
ваних шарів – 4; число нейронів в шарі – 10; число мереж в ансамблі – 3.
Таблиця 2 ілюструє здатність нейромережевої моделі прогнозувати
біфуркаційний перехід тонкостінної оболонки за час *t . Отримані дані
свідчать про достатню точність класифікації стану системи. Зокрема,
показано, що в умовах, коли параметр HM змінюється в діапазоні
0.7 1 , що відповідає наближенню до критичного стану, нейронна
мережа коректно ідентифікує настання біфуркації. При цьому похибка
прогнозування є практично нульовою, що підтверджує здатність моделі
адекватно відтворювати нелінійну динаміку системи та виявляти крити-
чні режими її функціонування. Отримані результати демонструють ефе-
ктивність запропонованого підходу для задач раннього виявлення втрати
стійкості на основі аналізу часових даних.
Таблиця 2
Результати тестування здатності нейронної
мережі до прогнозування стану
№ варіанту
розрахунку дійсн HM Момент часу
*
t
1 0 0.11 0.016
2 0 0.05 0.020
3 0 0.14 0.016
4 1 0.77 0.012
8 1 0.85 0.020
9 0 0.15 0.073
10 0 0.17 0.010
19 1 0.89 0.016
20 1 0.93 0.012
Висновки. У роботі розглянуто задачу прогнозування біфурка-
ційної поведінки тонкостінних систем в умовах дії стискаючих та
локальних імпульсних навантажень. На відміну від традиційних під-
ходів, що базуються на розв’язанні прямих задач і характеризуються
значною обчислювальною складністю, застосовано data-driven підхід
до розв’язання оберненої задачі ідентифікації та прогнозування бі-
фуркацій на основі нейронних мереж.
Побудовано нейромережеву модель динамічного типу, що вра-
ховує часову передісторію процесу за рахунок використання регресо-
рів і елементів затримки. Така структура дозволяє відтворювати нелі-
нійну динаміку тонкостінної системи та формувати прогноз її поведі-
нки за час, менший, ніж час реалізації біфуркаційного переходу.
Показано, що якість прогнозування істотно залежить від параметрів
нейронної мережі, зокрема глибини регресора, що визначає обсяг урахо-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
60
ваної часової інформації. Встановлено компроміс між інерційністю мо-
делі та точністю відтворення динамічних характеристик системи, що
підтверджує необхідність обґрунтованого підбору параметрів мережі.
Результати обчислювального експерименту свідчать про ефек-
тивність запропонованого підходу, нейромережева модель забезпечує
точне прогнозування настання біфуркації та коректну класифікацію
станів системи з мінімальною похибкою. Використання неперервного
виходу нейронної мережі з подальшою бінарною інтерпретацією до-
зволяє не лише фіксувати факт біфуркації, але й оцінювати ступінь
наближення системи до критичного стану.
Отримані результати підтверджують доцільність застосування data-
driven підходу до розв’язання обернених задач біфуркації тонкостінних
систем. Запропонований підхід може бути використаний для задач ран-
ньої діагностики втрати стійкості, підвищення живучості конструкцій та
розробки інтелектуальних систем моніторингу їхнього технічного стану.
Список використаних джерел:
1. Kwon Y., Triantafyllidis N. General asymptotic formulation for the bifurcation
problem of thin walled structures in contact with rigid surfaces. KSME Internation-
al Journal. 2000. Vol. 14. P. 48-56. DOI: https://doi.org/10.1007/BF03184770.
2. Obodan N., Аdlucky V. Prediction and Control of Buckling: The Inverse Bi-
furcation Problems for von Karman Equations. 2020. DOI: https://doi.org/-
10.1007/978-3-319-99918-0_11.
3. Bin Kamarudin M. N., Mohamed Ali J. S., Aabid A., Ibrahim Y. E. Buckling
Analysis of a Thin-Walled Structure Using Finite Element Method and Design
of Experiments. Aerospace. 2022. Vol. 9. Art. 541. DOI: https://doi.org/-
10.3390/aerospace9100541.
4. Seyed M. M., Jurgen B., Iman H., Rasoul K. Predicting the buckling behaviour
of thin-walled structural elements using machine learning methods. Thin-
Walled Structures. 2023. Vol. 184. Art. 2023, 110518. DOI:
https://doi.org/10.1016/j.tws.2022.110518.
5. Lyu Y., Niu Y., He T. et al. An Efficient Method for the Inverse Design of Thin-
Wall Stiffened Structure Based on the Machine Learning Technique. Aerospace.
2023. Vol. 10. Art 761. DOI: https://doi.org/10.3390/aerospace10090761.
6. Wu S., Zheng G., Sun G. et al. On design of multi-cell thin-wall structures for
crashworthiness. Int. J. Impact Eng. 2016. Vol. 88. P. 102-117. DOI:
10.1016/j.ijimpeng.2015.09.003.
7. Maurizi M., Gao C., Berto F. Inverse design of truss lattice materials with su-
perior buckling resistance. NPJ Comput. Mater. 2022. Vol. 8. Art. 247. DOI:
https://doi.org/10.1038/s41524-022-00938-w.
8. Deng B., Zareei A., Ding X. et al. Inverse Design of Mechanical Metamaterials with
Target Nonlinear Response via a Neural Accelerated Evolution Strategy. Adv. Ma-
ter. 2022. Vol. 34. Atr. 2206238. DOI: https://doi.org/10.1002/adma.202206238.
9. Schweizer M., Fina M., Wagner W. et al. Artificial neural networks for ran-
dom fields to predict the buckling load of geometrically imperfect struc-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
61
tures. Comput Mech. 2025. Vol. 76. P. 181-204. DOI: https://doi.org/-
10.1007/s00466-024-02595-w.
10. Ma S., Huang T., Yan Y. et al. Bifurcation analysis of thin-walled structures
trimming process with state-dependent time delay. International Journal of
Mechanical Sciences. 2024. Vol. 271. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2024.109159.
References:
1. Kwon Y., Triantafyllidis N. General asymptotic formulation for the bifurcation
problem of thin walled structures in contact with rigid surfaces. KSME Internation-
al Journal. 2000. Vol. 14. P. 48-56. DOI: https://doi.org/10.1007/BF03184770.
2. Obodan N., Аdlucky V. Prediction and Control of Buckling: The Inverse Bi-
furcation Problems for von Karman Equations. 2020. DOI: https://doi.org/-
10.1007/978-3-319-99918-0_11.
3. Bin Kamarudin M. N., Mohamed Ali J. S., Aabid A., Ibrahim Y. E. Buckling
Analysis of a Thin-Walled Structure Using Finite Element Method and Design
of Experiments. Aerospace. 2022. Vol. 9. Art. 541. DOI:
https://doi.org/10.3390/aerospace9100541.
4. Seyed M. M., Jurgen B., Iman H., Rasoul K. Predicting the buckling behaviour
of thin-walled structural elements using machine learning methods. Thin-
Walled Structures. 2023. Vol. 184. Art. 2023, 110518. DOI:
https://doi.org/10.1016/j.tws.2022.110518.
5. Lyu Y., Niu Y., He T. et al. An Efficient Method for the Inverse Design of Thin-
Wall Stiffened Structure Based on the Machine Learning Technique. Aerospace.
2023. Vol. 10. Art 761. DOI: https://doi.org/10.3390/aerospace10090761.
6. Wu S., Zheng G., Sun G. et al. On design of multi-cell thin-wall structures for
crashworthiness. Int. J. Impact Eng. 2016. Vol. 88. P. 102-117. DOI:
10.1016/j.ijimpeng.2015.09.003.
7. Maurizi M., Gao C., Berto F. Inverse design of truss lattice materials with su-
perior buckling resistance. NPJ Comput. Mater. 2022. Vol. 8. Art. 247. DOI:
https://doi.org/10.1038/s41524-022-00938-w.
8. Deng B., Zareei A., Ding X. et al. Inverse Design of Mechanical Metamaterials with
Target Nonlinear Response via a Neural Accelerated Evolution Strategy. Adv. Ma-
ter. 2022. Vol. 34. Atr. 2206238. DOI: https://doi.org/10.1002/adma.202206238.
9. Schweizer M., Fina M., Wagner W. et al. Artificial neural networks for ran-
dom fields to predict the buckling load of geometrically imperfect struc-
tures. Comput Mech. 2025. Vol. 76. P. 181-204. DOI: https://doi.org/-
10.1007/s00466-024-02595-w.
10. Ma S., Huang T., Yan Y. et al. Bifurcation analysis of thin-walled structures
trimming process with state-dependent time delay. International Journal of
Mechanical Sciences. 2024. Vol. 271. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2024.109159.
DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE
BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED
SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS
The paper addresses the problem of predicting the bifurcation behav-
iour of thin-walled systems subjected predominantly to compressive loads
in the presence of local impulsive disturbances. Under conditions of non-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 48-62.
62
linear deformation, such systems may exhibit multiple equilibrium states,
and their dynamics are characterised by high sensitivity to loading parame-
ters and initial conditions, which complicates the application of classical
analytical and numerical methods.
A data-driven approach to solving the inverse bifurcation problem is
proposed, based on the use of neural network models for the identification
and prediction of critical states from time series of measured displace-
ments. A dynamic neural network based on a multilayer perceptron is de-
veloped, incorporating the time history of the deformation process through
the introduction of regressors and delay elements, which allows the inertial
properties of the system to be taken into account. The inverse problem is
formulated as the task of predicting the onset of a bifurcation transition by
minimising an error functional between observed and reference data. The
output of the neural network is interpreted as a continuous estimate of the
system’s proximity to a critical state, followed by binary classification.
Computational experiments have been conducted to confirm the accu-
racy and efficiency of the proposed approach. It is shown that the neural
network model provides reliable prediction of bifurcation in a time shorter
than the time of its occurrence, and also demonstrates robustness to varia-
tions in parameters and external disturbances. The obtained results indicate
the potential of data-driven methods for analysis, identification, and early
diagnosis of stability loss in thin-walled structures.
Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse
problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, pre-
diction, nonlinear dynamics, parameter identification, information tech-
nologies.
Математичне та комп'ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
Редакційна колегія:
Zb_F-M_1.pdf
Гвоздєв М. І.
ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua
Сидоров М. В.
ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua
метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи
Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор...
Список використаних джерел:
References:
The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System
Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe...
Громик А. П.
ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com
Конет І. М.
ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net
Пилипюк Т. М.
ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua
ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ
Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Список використаних джерел:
References:
HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY
Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions.
Гук Н. А.
ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua
Сіліч-Балгабаєва В. Б.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua
Степанова Н. І.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua
DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ
Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології.
Список використаних джерел:
References:
DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS
Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies.
Жолтовський О. О.
ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com
Черевко І. М.
ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання.
Список використаних джерел:
References:
THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY
Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling.
Zelenskiy O. V.
ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com
ULTRA EXPONENT MATRICES
Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling.
References:
УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ
Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання.
Мусій Р. С.
ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua
Кунинець А. В.
ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua
Свідрак І. Г.
ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua
Тимошенко Н. М.
ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua
Шиндер В. К.
ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua
ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА
Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила.
Список використаних джерел:
References:
DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE
Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force.
Zb_F-M_2.pdf
Нікітін А. В.
ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua
Шведюк В. В.
ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua
СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА
Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів.
Список використаних джерел:
References:
STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS
Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space.
Пархоменко В. Г.
ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua
аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса
Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ...
Список використаних джерел:
References:
Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics
Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t...
Савченко А. В.
ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua
Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем
Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн...
Список використаних джерел:
References:
APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS
Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer...
Сеньо П. С.
ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua
Заяць А. Р.
ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua
МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз.
Список використаних джерел:
References:
MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS
Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis.
Янбеков Р. Я.
ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua
дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна
Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння.
Список використаних джерел:
References:
Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function
Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation.
Відомості про авторів
Алфавітний покажчик авторів
Зміст
end.pdf
Математичне та комп’ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
|
| id | mcm-mathkpnueduua-article-360650 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:00:13Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | mcm-mathkpnueduua/00/000da1b22d397bbc9554f3d023ceb700.pdf |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3606502026-06-08T08:10:39Z Data-Driven Approach to Inverse Bifurcation Problems of Thin-Walled Systems Based on Neural Networks Data-driven підхід до обернених задач біфуркації тонкостінних систем на основі нейронних мереж Гук, Наталія Сіліч-Балгабаєва, Валентина Степанова, Наталія The paper addresses the problem of predicting the bifurcation behaviour of thin-walled systems subjected predominantly to compressive loads in the presence of local impulsive disturbances. Under conditions of nonlinear deformation, such systems may exhibit multiple equilibrium states, and their dynamics are characterised by high sensitivity to loading parameters and initial conditions, which complicates the application of classical analytical and numerical methods. A data-driven approach to solving the inverse bifurcation problem is proposed, based on the use of neural network models for the identification and prediction of critical states from time series of measured displacements. A dynamic neural network based on a multilayer perceptron is developed, incorporating the time history of the deformation process through the introduction of regressors and delay elements, which allows the inertial properties of the system to be taken into account. The inverse problem is formulated as the task of predicting the onset of a bifurcation transition by minimising an error functional between observed and reference data. The output of the neural network is interpreted as a continuous estimate of the system’s proximity to a critical state, followed by binary classification. Computational experiments have been conducted to confirm the accuracy and efficiency of the proposed approach. It is shown that the neural network model provides reliable prediction of bifurcation in a time shorter than the time of its occurrence, and also demonstrates robustness to variations in parameters and external disturbances. The obtained results indicate the potential of data-driven methods for analysis, identification, and early diagnosis of stability loss in thin-walled structures. У роботі розглянуто задачу прогнозування біфуркаційної поведінки тонкостінних систем, що перебувають під дією переважаючих стискаючих навантажень за наявності локальних імпульсних збурень. В умовах нелінійного деформування такі системи можуть демонструвати множинність рівноважних станів, а їхня динаміка характеризується високою чутливістю до параметрів навантаження та початкових умов, що ускладнює застосування класичних аналітичних і числових методів. В роботі запропоновано data-driven підхід до розв’язання оберненої задачі біфуркації, який ґрунтується на використанні нейромережевих моделей для ідентифікації та прогнозування критичних станів за часовими послідовностями вимірюваних значень переміщень. Побудовано динамічну нейронну мережу на основі багатошарового персептрона з урахуванням часової передісторії процесу деформування через введення регресорів і елементів затримки, що дозволяє враховувати інерційні властивості системи. Обернену задачу сформульовано як задачу прогнозування настання біфуркаційного переходу на основі мінімізації функціоналу похибки між спостережуваними та еталонними даними. Вихід нейронної мережі інтерпретується як неперервна оцінка ступеня наближення системи до критичного стану з подальшою бінарною класифікацією. Проведено обчислювальні експерименти, що підтверджують точність і ефективність запропонованого підходу. Показано, що нейромережева модель забезпечує достовірне прогнозування біфуркації за час, менший, ніж час її реалізації, а також демонструє стійкість до варіацій параметрів і зовнішніх збурень. Отримані результати свідчать про перспективність застосування data-driven методів для задач аналізу, ідентифікації та ранньої діагностики втрати стійкості тонкостінних конструкцій. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360650 10.32626/2308-5878.2026-30.48-62 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 48-62 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 48-62 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360650/349669 Авторське право (c) 2026 Наталія Гук, Валентина Сіліч-Балгабаєва, Наталія Степанова |
| spellingShingle | Гук, Наталія Сіліч-Балгабаєва, Валентина Степанова, Наталія Data-Driven Approach to Inverse Bifurcation Problems of Thin-Walled Systems Based on Neural Networks |
| title | Data-Driven Approach to Inverse Bifurcation Problems of Thin-Walled Systems Based on Neural Networks |
| title_alt | Data-driven підхід до обернених задач біфуркації тонкостінних систем на основі нейронних мереж |
| title_full | Data-Driven Approach to Inverse Bifurcation Problems of Thin-Walled Systems Based on Neural Networks |
| title_fullStr | Data-Driven Approach to Inverse Bifurcation Problems of Thin-Walled Systems Based on Neural Networks |
| title_full_unstemmed | Data-Driven Approach to Inverse Bifurcation Problems of Thin-Walled Systems Based on Neural Networks |
| title_short | Data-Driven Approach to Inverse Bifurcation Problems of Thin-Walled Systems Based on Neural Networks |
| title_sort | data-driven approach to inverse bifurcation problems of thin-walled systems based on neural networks |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/360650 |
| work_keys_str_mv | AT guknatalíâ datadrivenapproachtoinversebifurcationproblemsofthinwalledsystemsbasedonneuralnetworks AT sílíčbalgabaêvavalentina datadrivenapproachtoinversebifurcationproblemsofthinwalledsystemsbasedonneuralnetworks AT stepanovanatalíâ datadrivenapproachtoinversebifurcationproblemsofthinwalledsystemsbasedonneuralnetworks AT guknatalíâ datadrivenpídhíddoobernenihzadačbífurkacíítonkostínnihsistemnaosnovínejronnihmerež AT sílíčbalgabaêvavalentina datadrivenpídhíddoobernenihzadačbífurkacíítonkostínnihsistemnaosnovínejronnihmerež AT stepanovanatalíâ datadrivenpídhíddoobernenihzadačbífurkacíítonkostínnihsistemnaosnovínejronnihmerež |