Hyperbolic Boundary Value Problems of Mathematical Physics in a Piecewise Homogeneous Wedge-Shaped Cylindrical-Circular Layer With а Cavity
The unique exact analytical solutions of hyperbolic boundary value problems of mathematical physics in piecewise homogeneous by the radial variable r, wedge-shaped by the angular variable φ, cylindrical-circular layer with а cavity were constructed at first time by the method of classical integral a...
Gespeichert in:
| Datum: | 2026 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка
2026
|
| Online Zugang: | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361365 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences| _version_ | 1867479062062039040 |
|---|---|
| author | Громик, Андрій Конет, Іван Пилипюк, Тетяна |
| author_facet | Громик, Андрій Конет, Іван Пилипюк, Тетяна |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Андрій Громик",
"institution": "Заклад вищої освіти «Подільський державний університет»"
},
{
"author": "Іван Конет",
"institution": "Волинський національний університет імені Лесі Українки"
},
{
"author": "Тетяна Пилипюк",
"institution": "Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка"
}
] |
| author_sort | Громик, Андрій |
| baseUrl_str | http://mcm-math.kpnu.edu.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-08T08:10:39Z |
| description | The unique exact analytical solutions of hyperbolic boundary value problems of mathematical physics in piecewise homogeneous by the radial variable r, wedge-shaped by the angular variable φ, cylindrical-circular layer with а cavity were constructed at first time by the method of classical integral and hybrid integral transforms in combination with method of main solutions (influence matrices and Green’s matrices) in the proposed article.
The cases of assigning on the wedge's verge the boundary conditions of the 1st kind (Dirichlet) and the 2nd kind (Neumann) and their possible combinations (Dirichlet – Neumann, Neumann – Dirichlet) are considered.
Finite Fourier integral transform by an angular variable φ, an integral Fourier transform on the Cartesian semiaxis by an applicative variable z and hybrid Weber-type integral transform on the polar axis (R0; +∞) with n conjugate points by the radial variable were used to construct solutions of investigated boundary value problems.
The consistent application of integral transforms by geometric variables allows us to reduce the three-dimensional initial boundary-value problems of conjugation to the Cauchy problem for an ordinary linear inhomogeneous 2nd order differential equation whose unique solution is written in a closed form.
The application of inverse integral transforms to the obtained solution in the space of images restores in an explicit form in the space of the originals the solutions of the considered hyperbolic boundary value problems of mathematical physics through their integral image.
At the same time, the main solutions of the problems are obtained in an explicit form. |
| doi_str_mv | 10.32626/2308-5878.2026-30.31-47 |
| first_indexed | 2026-06-09T01:00:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
31
УДК 517.958;517.956.42
DOІ: 10.32626/2308-5878.2026-30.31-47
Громик А. П.
ORCID: 0000-0003-3071-9756,
канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський
державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна,
E-mail: gapon74@gmail.com
Конет І. М.
ORCID: 0000-0002-4241-0548,
д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний
університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна,
E-mail: konet51@ukr.net
Пилипюк Т. М.
ORCID: 0000-0002-4676-9830,
канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний
університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна,
E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua
ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ
ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ
ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ
У пропонованій статті методом класичних інтегральних і
гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом
головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) впер-
ше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки гіперболічних
крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за
радіальною змінною r клиновидному за кутовою змінною φ
циліндрично-круговому шарі з порожниною.
Розглянуто випадки задання на гранях клина крайових
умов 1-го роду (Діріхле), 2-го роду (Неймана) та їх можливих
комбінацій (Діріхле-Неймана, Неймана-Діріхле).
Для побудови розв’язків досліджуваних початково-крайових
задач застосовано скінченне інтегральне перетворення Фур’є що-
до кутової змінної φ, скінченне інтегральне перетворення Фур’є
на декартовому сегменті щодо аплікатної змінної z та гібридне ін-
тегральне перетворення типу Вебера на полярній осі (R0; +∞) з n
точками спряження щодо радіальної змінної.
2 Стаття надійшла до редакції: 18.05.2026
Рекомендовано до друку: 20.05.2026
Оприлюднено (online): 29.05.2026
Ця стаття розповсюджується на умовах ліцензії CC Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0
© Громик А. П., Конет І. М., Пилипюк Т. М., 2026
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
32
Послідовне застосування інтегральних перетворень за гео-
метричними змінними дозволяє звести тривимірні початково-
крайові задачі спряження до задачі Коші для звичайного лі-
нійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го поряд-
ку, єдиний розв’язок якої виписано в замкнутому вигляді.
Застосування обернених інтегральних перетворень до оде-
ржаного розв’язку в просторі зображень відновлює в явному
вигляді у просторі оригіналів розв’язки розглянутих гіпербо-
лічних крайових задач математичної фізики через їх інтегра-
льне зображення.
При цьому головні розв’язки задач одержано в явному ви-
гляді.
Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та кра-
йові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гіб-
ридні інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Вступ. Теорія крайових і мішаних (початково-крайових) задач
для різних типів диференціальних рівнянь з частинними похідними,
зокрема рівнянь математичної фізики, – важливий розділ сучасної
теорії диференціальних рівнянь, який в цей час інтенсивно розвива-
ється. Її актуальність обумовлена як значимістю її результатів для
розвитку багатьох розділів математики, так і численними застосуван-
нями її досягнень при дослідженні різноманітних математичних мо-
делей різних процесів і явищ фізики, хімії, біології, медицини, еко-
номіки, механіки, техніки, новітніх технологій.
Вагомі результати з теорії задачі Коші та початково-крайових
задач для гіперболічних рівнянь і їх систем одержано в [1-8] та в пра-
цях інших вітчизняних і зарубіжних математиків.
Добре відомо, що складність досліджуваних крайових задач сут-
тєво залежить як від властивостей коефіцієнтів рівнянь (різні види
виродженостей і особливостей), так і від геометричної структури об-
ласті (гладкість межі, наявність кутових точок, обмеженість, необме-
женість тощо), в якій розглядається задача. На цей час досить деталь-
но вивчено властивості розв՚язків і розвинуто різноманітні методи
побудови розв՚язків (точні та наближені) крайових задач для ліній-
них, квазілінійних і деяких нелінійних рівнянь різних типів (еліптич-
них, параболічних, гіперболічних) в однозв’язних областях (однорід-
них середовищах), які обумовлені згаданими вище властивостями
коефіцієнтів рівнянь і геометрією області, та побудовано функціона-
льні простори коректності задач в сенсі Адамара.
Водночас багато важливих прикладних задач термомеханіки, те-
плофізики, дифузії, теорії пружності, теорії електричних кіл, теорії
коливань, механіки деформівного твердого тіла приводять до крайо-
вих і мішаних задач для диференціальних рівнянь з частинними похі-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
33
дними різних типів не тільки в однорідних середовищах, коли коефі-
цієнти рівнянь є неперервними функціями, але й в неоднорідних і
кусково-однорідних середовищах, коли коефіцієнти рівнянь є куско-
во-неперервними функціями чи, зокрема, кусково-сталими [9-11].
Відомо, що крім методу відокремлення змінних (методу Фур’є)
та його узагальнень, одним із важливих і ефективних методів ви-
вчення лінійних крайових і мішаних задач для диференціальних рів-
нянь з частинними похідними в однорідних середовищах є метод
інтегральних перетворень, який дає можливість побудувати в аналі-
тичному вигляді точні розв’язки розглянутих задач через їх інтегра-
льне зображення.
У той же час для досить широкого класу лінійних крайових за-
дач у кусково-однорідних середовищах ефективним методом побудо-
ви їх розв՚язків виявився метод гібридних інтегральних перетворень,
що породжені відповідними гібридними диференціальними операто-
рами, коли на кожній компоненті зв’язності кусково-однорідного се-
редовища розглядаються або ж різні диференціальні оператори, або ж
диференціальні оператори того ж самого вигляду, але з різними на-
борами коефіцієнтів [12-14].
У цій статті методом класичних інтегральних і гібридних інтег-
ральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків впе-
рше побудовано інтегральні зображення єдиних точних аналітичних
розв’язків гіперболічних початково-крайових задач математичної
фізики в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круго-
вому шарі порожниною.
Постановка задачі. Розглянемо задачу побудови обмеженого на
множині
1 1
1 0
1 1
( , , , ) : 0; ( ; ), 0,
n n
n j j j
j j
D t r z t r I І R R R
1 0 0 1 2 1 2; (0; ), 0 2 ; ( ; ), 0; 0n jR z l l l l l
класичного розв’язку лінійних диференціальних рівнянь з частинни-
ми похідними гіперболічного типу 2-го порядку [15]
2 22 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
1
( , , , );
; 1, 1
j j
rj zj j j j j
j
u a
a a u u f t r z
r rt r r z
r I j n
(1)
з початковими умовами
1 2
0 0( , , ); ( , , );
j
j t j t j
u
u g r z g r z
t
;jr I 1, 1j n , (2)
крайовими умовами
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
34
1 2
1 2
1 2
1 2
( , , ); ( , , );
0; 0; 1,2; 1, 1,
j j j j
z l z l
p
h u w t r h u w t r
z z
h h h p j n
(3)
0
0 0 1
11 11 1 0
0 0 0 0
11 11 11 11
( , , ); 0,
0, 0; 0; 0,1,
s
n
s
r R r
u
u g t z
r r
s
(4)
одними з крайових умов на гранях клина [12]
0
0 1 1( , , ); ( , , ); 1, 1,j j j ju g t r z u w t r z j n (5)
00 2 2( , , ); ( , , ); 1, 1,
j
j j j
u
u g t r z w t r z j n
(6)
00 3 3( , , ); ( , , ); 1, 1,
j
j j j
u
g t r z u w t r z j n
(7)
00 4 4( , , ); ( , , ); 1, 1
j j
j j
u u
g t r z w t r z j n
(8)
та умовами спряження [6]
1 1 2 2 1 0; 1,2; 1, ,
k
k k k k
j j k j j k
r R
u u j k n
r r
(9)
де
,, , , , ,k k
rj j zj j p js jsa a a h – деякі сталі;
2 1 1 2 0;k k k k
jk j j j jс 1 2 0;k kc c
1 2 1( , , , ) ( , , , ), ( , , , ), , ( , , , ) ;nf t r z f t r z f t r z f t r z
1 1 1 1
1 2 1( , , ) ( , , ), ( , , ), , ( , , )ng r z g r z g r z g r z ;
2 2 2 2
1 2 1( , , ) ( , , ), ( , , ), , ( , , )ng r z g r z g r z g r z
0( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ); ( 1,2; 1,4 ; 1, 1)s
j pj pjw t r g t z g t r z w t r z s p j n
– задані дійсні обмежені неперервні функції;
1 2 1( , , , ) ( , , , ), ( , , , ), , ( , , , )nu t r z u t r z u t r z u t r z
– шукана дійсна двічі неперервно диференційовна функція.
Зауважимо, що:
1) у випадку 0j ( 1, 1j n ) рівняння (1) є класичним тривимір-
ним неоднорідним рівнянням коливань (хвильовим рівнянням, рі-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
35
внянням Д’аламбера) для ортотропного середовища у циліндрич-
ній системі координат;
2) якщо 11 11 12 12 21 1 21 22 20, 1; 0, 1; , 0; ,k k k k k k k k kE E
22 0,k де 1 2,k kE E – модулі Юнга ( 1,k n ), то умови спряження (9)
збігаються з класичними умовами ідеального механічного контакту.
Таким чином, гіперболічні початково-крайові задачі спряження
(1)-(4), (5), (9); (1)-(4), (6), (9); (1)-(4), (7), (9); (1)-(4), (8), (9) можна
розглядати як узагальнені математичні моделі коливних процесів у
кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому шарі з
порожниною.
Основна частина. Припустимо, що розв’язки гіперболічних по-
чатково-крайових задач (1)-(4), (5), (9); (1)-(4), (6), (9); (1)-(4), (7), (9);
(1)-(4), (8), (9) існують і задані й шукані функції задовольняють умо-
ви застосовності залучених далі прямих та обернених інтегральних і
гібридних інтегральних перетворень [6, 12].
Згідно з [12] визначимо скінченні пряме ,m ikF та обернене 1
,m ikF ін-
тегральні перетворення Фур’є щодо кутової змінної за формулами:
0
, , ,
0
[ ( )] ( ) ( ) ,m ik m ik m ikF f f U d f
(10)
1
, , , ,
0 0
2
[ ] ( ) ( ),ik
m ik m ik m m ik m ik
m
F f f U f
(11)
де
,11 ,11 ,11
0
( ) sin( ); ;m m m
m
U
,12 ,12 ,12
0
(2 1)
( ) sin( ); ;
2
m m m
m
U
,21 ,21 ,21 ,12( ) cos( ); ;m m m mU
,22 ,22 ,22 ,11( ) cos( ); ;m m m mU
11 12 21 22 11 12 21 22
0 0 0 0
1
0; ; 1; 1;
2
m m m m 1,2,3, .m
Безпосередньо перевіряється, що для інтегрального оператора
,m ikF виконується тотожність
2
2
, , , ,2
; , 1,2,m ik m ik m ik m ik
d f
F f i k
d
(12)
де
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
36
1
,11 0
0
(0) ( 1) ( )m
m
m
f f
;
0
,12
0
(2 1)
(0) ( 1) ;
2
m
m
m df
f
d
,21 0
00
(2 1)
( 1) ( );
2
m
m
df m
f
d
0
,22
0
( 1) .m
m
df df
d d
Інтегральний оператор ,m ikF , який діє за формулою (10), внаслі-
док тотожності (12) ставить у відповідність тривимірним початково-
крайовим задачам спряження (1)-(4), (5), (9); (1)-(4), (6), (9); (1)-(4),
(7), (9); (1)-(4), (8), (9) задачу побудови обмеженого на множині
1 2( , , ) : 0; ; ( ; )nD t r z t r I z l l класичного розв’язку двовимі-
рних диференціальних рівнянь гіперболічного типу 2-го порядку
2 22 2
, ,2 2 2
, ,2 2 2 2
,
1
( , , ); ; 1, 1
jm ik jm ik
rj zj jm ik j jm ik
jm ik j
u
a a u u
r rt r r z
G t r z r I j n
(13)
з початковими умовами
,1 2
, , ,0
0
( , , )
( , , ) ( , ); ( , ),
jm ik
jm ik jm ik jm ikt
t
u t r z
u t r z g r z g r z
t
(14)
крайовими умовами
1 2
1 2
1 , , 2 , ,( , ); ( , );jm ik jm ik jm ik jm ik
z l z l
h u w t r h u w t r
z z
(15)
0
1, ,0 0
11 11 1 , 0 , ( , ); 0; 0,1
s
n m ik
m ik m ik s
r R r
u
u g t z s
r r
(16)
та умовами спряження
, 1, ,1 1 2 2 0; 1,2; 1, ,
p
p p p p
pm ik p m ikj j j j
r R
u u j p n
r r
(17)
де
2 2 1
, , , , ,( , , ) ( , , ) ( , , ); .jm ik m ik j m ik jm ik rj j m ikG t r z f t r z a r t r z a a
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
37
До двовимірної крайової задачі (13)-(17) застосуємо скінченне
інтегральне перетворення Фур’є на декартовому сегменті 1 2( ; )l l
щодо змінної z [6]:
2
1
1( ) ( ) ( ) ,
l
s s s
l
f z f z V z l dz f
(18)
11
2
1 1
[ ] ( ) ,
s
s s s
s s
V z l
f f f z
V z l
(19)
1 2
2
2
1 22
1 2
0 ;
.
s s s s s
z l z l
d f df df
f V h f V l h f
dz dzdz
l l l
(20)
У формулах (18)-(20) використовується спектральна функція
(ядро перетворення)
1 1 1
1
2 2
1
cos ( ) sin ( )
( ) ,s s s
s
s
z l h z l
V z l
h
квадрат норми якої
2
1 2 1 22 2
1 1 2 2 2 2
1 2
( ) ( ) .
2 2
l
s
s s
l s s
h h h hl
V z l V z l dz
h h
При цьому
2 2 2 2
1 2
0 ; ;s s
s s
s s
V V l
h h
1s s
– монотонно зростаюча послідовність дійсних різних додат-
них коренів трансцендентного рівняння
2
1 2
1 2
,
h h
ctg l
h h
які утворюють дискретний спектр.
Інтегральний оператор s , який діє за формулою (18), внаслідок
тотожності (20) ставить у відповідність початково-крайовій задачі
спряження (13)-(17) задачу побудови обмеженого на множині
( , ) : 0; nD t r t r I класичного розв’язку одновимірних дифе-
ренціальних рівнянь В -гіперболічного типу
,
2
, , 2 2 2 2
, , , , , ,2
[ ] ( , );
; 1, 1
jm ik
jm ik s
rj jm ik s zj s j jm ik s jm ik s
j
u
a B u a u P t r
t
r I j n
(21)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
38
з початковими умовами
, ,1 2
, . , , , ,0
0
( , )
( , ) ( ); ( ),
jm ik s
jm ik s jm ik s jm ik st
t
u t r
u t r g r g r
t
(22)
крайовими умовами
0
1, , ,0 0
11 11 1 , , 0 , , ( ); 0; 0,1
p
n m ik s
m ik s m ik s p
rr R
u
u g t p
r r
(23)
та умовами спряження
, , 1, , ,1 1 2 2 0;
1,2; 1, ,
p
p p p p
pm ik s p m ik sj j j j
r R
u u
r r
j p n
(24)
де
,
22
,
2 2
1
jm ik
jm ik
B
r rr r
– класичний диференціальний оператор
Бесселя [12],
2 1 2 2
, , , , , ,( , ) ( , ) (0) ( , ) ( ) ( , ).jm ik s jm ik s zj s jm ik zj s jm ikP t r G t r a V w t r a V l w t r
До одновимірної початково-крайової задачі спряження (21)-(24)
застосуємо гібридне інтегральне перетворення типу Вебера на поляр-
ній осі nI з n точками спряження щодо радіальної змінної r [6]:
0
( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ),n
R
M f r f r V r r rdr f
(25)
1
( )
0
( ) ( ) ( , ) ( ) ( ),nM f f V r d f r
(26)
1
0
1
2 2
( ) ( , )
1
1
2 0
1 11 0 1 1 0 11 11
[ ( )] ( ) ( ) ( , )
( , ) .
k
k
Rn
n m ik k k k
k R
r R
M B f r f f r V r rdr
df
a R V R f
dr
(27)
У формулах (25)-(27) беруть участь, виписані в [6], спектральна
функція ( , )V r , вагова функція ( )r , спектральна щільність ( )
та гібридний диференціальний оператор Бесселя
, 1, ,
2 2
( , ) 1 1
1
( ) ( ) ( ) ,
jm ik n m ik
n
m ik j j j n n
j
B a r R R r B a r R B
де ( )x – одинична функція Гевісайда [12], 2 2 ,rk ka a
2
k – деякі сталі.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
39
Запишемо диференціальні рівняння (21) та початкові умови (22)
у матричній формі
1 ,
2 ,
1, ,
2
2 2
1 1 1 , ,2
2
2 2
2 2 2 , ,2
2
2 2
1 1, 1, , ,2
( , )
( , )
..............................................................
( , )
m ik
m ik
n m ik
s m ik s
s m ik s
n n s n m ik s
a B q u t r
t
a B q u t r
t
a B q u t r
t
1 , ,
2 , ,
1, , ,
( , )
( , )
,
.......................
( , )
m ik s
m ik s
n m ik s
P t r
P t r
P t r
(28)
1
1 , ,1 , ,
1
2 , , 2 , ,
1
1, , ,
1, , ,0
1 , ,
2 , ,
( )( , )
( , ) ( )
;
................... .................
( , ) ( )
( , )
( , )
....................
m ik sm ik s
m ik s m ik s
n m ik s
n m ik st
m ik s
m ik s
g ru t r
u t r g r
u t r g r
u t r
u t r
t
u
2
1 , ,
2
2 , ,
2
1, , ,
1, , ,0
( )
( )
,
..................
( , ) ( )
m ik s
m ik s
n m ik s
n m ik st
g r
g r
t r g r
(29)
де
2 2 2 2 ;js zj s jq a 1, 1.j n
Інтегральний оператор ( )nM , який діє за формулою (25), зобра-
зимо у вигляді операторної матриці-рядка
1 2
0 1
1
( ) 1 1 2 2
1 1
( , ) ( , )
( , ) ( , )
n
n n
R R
n
R R
R
n n n n
R R
M V r rdr V r rdr
V r rdr V r rdr
(30)
і застосуємо за правилом множення матриць до задачі (28), (29). Вна-
слідок тотожності (27) одержуємо задачу Коші для звичайного неод-
норідного диференціального рівняння 2-го порядку
21 1
2 2 2
, , , ,2
1 1
1
2 0
1 11 0 1 1 0 0 ,
( , ) ( , )
( , ) ( , ),
n n
j js jm ik s jm ik s
j j
m ik
d
q u t P t
dt
a R V R g t
(31)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
40
1 1 1 1
1 2
, , , , , , , ,
1 1 1 10 0
( , ) ( ), ( , ) ( ),
n n n n
jm ik s jm ik s jm ik s jm ik s
j j j jt t
d
u t g u t g
dt
(32)
де
1
, , , ,( , ) ( , ) ( , ) ; 1, 1,
j
j
R
jm ik s jm ik s j j
R
u t u t r V r rdr j n
1
, , , ,( , ) ( , ) ( , ) ; 1, 1,
j
j
R
jm ik s jm ik s j j
R
P t P t r V r rdr j n
1
, , , ,( ) ( ) ( , ) , 1, 1, 1,2.
j
j
R
p p
j jjm ik s jm ik s
R
g g r V r rdr j n p
Припустимо, не зменшуючи загальності розв’язку задачі, що
2 2 2 2
1 2 1, 1max , , ...,s s n s sq q q q і покладемо всюди
2 2 2
1 ;j s jsq q 1, 1.j n
Задача Коші (31), (32) набуває вигляду
2 2
, , 2 1
, , , , 0 1 1 0 0 , ,2 0
11
( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
m ik s
s m ik s m ik s m ik s
d u a
u P t R V R g t
dt
(33)
1 2
, , , , , , , ,0
0
( , ) ( ), ( , ) ( ),m ik s m ik s m ik s m ik st
t
d
u t g u t g
dt
(34)
де
1
2 2 2 2 2
, , , , 1 1
1
( , ) ( , ); ( , ) ;
n
m ik s jm ik s s z s
j
u t u t a
1 1
, , , , , , , ,
1 1
( , ) ( , ); ( ) ( ); 1,2.
n n
p p
m ik s jm ik s m ik s jm ik s
j j
P t P t g g p
Відомо [6], що єдиним розв’язком задачі Коші (33), (34) є функ-
ція
2 1
, , , , , ,
, ,
0
( , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( )
( , , ) ( , ) ,
m ik s s m ik s s m ik s
t
s m ik s
d
u t N t g N t g
dt
N t P d
(35)
де розв’язуюча функція (функція Коші) має вигляд
1
2 2 2 2 2
1 1
sin( ( , ) )
( , , ) , ( , ) .
( , )
s
s s z s
s
t
N t a
Оскільки суперпозиція операторів ( )nM та
1
( )nM
є одиничним
оператором
1 1
( ) ( ) ( ) ( )( ),n n n nM M M M I то оператор
1
( ) ,nM
як
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
41
обернений до оператора (30), зобразимо у вигляді операторної мат-
риці-стовпця
1
0
21
( ) 0
1
0
( , )
( , )
( , )
n
n
V r d
V r d
M
V r d
(36)
і застосуємо за правилом множення матриць до матриці-елемента
, , ( , )m ik su t , де функція , , ( , )m ik su t визначена за формулою (35).
Одержуємо єдиний розв’язок одновимірної гіперболічної початково-
крайової задачі спряження (21)-(24):
, , , ,
0
( , ) ( , ) ( , ) ; 1, 1.jm ik s m ik s ju t r u t V r d j n
(37)
Застосувавши послідовно до функцій , , ( , ),jm ik su t визначених
формулами (37), обернені оператори 1
s
та 1
,m ikF , і виконавши не-
складні перетворення, одержуємо функції
0 2
1
1
1 0 0
( , , , )
( , , , , , , ) ( , , , )
p
p
j
R ltn
ik
jp p p
p R l
u t r z
E t r z f d d d d
0 2
1 1
0 2
1 1
2
1 1
1
1
1 0
1
2
1 0
1
2 1
1 0
2
( , , , , , , ) ( , , )
( , , , , , , ) ( , , )
( , , , , , , )
p
p
p
p
p
p
R ln
ik
jp p p
p R l
R ln
ik
jp p p
p R l
R ltn
ik
p jp p
p R l
zp j
E t r z g d d d
t
E t r z g d d d
a Q t r z d d d
a W
0
1
1
1
,1
1 0 0
2
,2
( , , , , , ) ( , , )
( , , , , , ) ( , , )
p
p
Rtn
ik
p p
p R
ik
jp p p
t r z w
W t r z w d d d
(38)
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
42
0 2
1
0
0 0
( , , , , , ) ( , , ) ; 1, 1,
lt
ik
jr
l
W t r z g d d d j n
які визначають єдині розв’язки гіперболічних початково-крайових
задач спряження (1)-(4), (5), (9); (1)-(4), (6), (9); (1)-(4), (7), (9); (1)-(4),
(8), (9) при відповідних значеннях ik (11), (12), (21), (22).
У формулах (38) застосовано компоненти
,
, ,
0 0
2
( , , , , , , ) ( , , , , ) ( ) ( )ik ik m ik
jp m jp m ik m ik
m
E t r z K t r z U U
матриці впливу (функції впливу), функції Гріна
,
, ,
0 0
2
( , , , , , , ) ( , , , , ) ( , , ) ( ),ik ik m ik
jp m jp m ik m ik
m
Q t r z K t r z U
компоненти
,1 1( , , , , , ) ( , , , , , , )ik ik
jp jpW t r z E t r z l
нижньої аплікатної матриці Гріна (нижні аплікатні функції Гріна),
компоненти
,2 2( , , , , , ) ( , , , , , , )ik ik
jp jpW t r z E t r z l
верхньої аплікатної матриці Гріна (верхні аплікатні функції Гріна) та
компоненти
1
2 0
1 11 0 1 1 0( , , , , , ) ( , , , , , , )ik ik
jr jW t r z a R E t r R z
радіальної матриці Гріна (радіальні функції Гріна) відповідних поча-
тково-крайових задач, де
,
1 0
( , , , , ) ( , , ) ( , ) ( , )m ik
jp s j p
s
K t r z N t V r V d
1 1
2
1
; , 1, 1.
s s
s
V z l V l
j p n
V z l
Проаналізуємо формули (38) залежно від типу крайових умов на
гранях кусково-однорідного клиновидного циліндрично-кругового
шару. Розглянемо, наприклад, випадок крайових умов (5) (умови Ді-
ріхле). У цьому випадку функції Гріна мають вигляд
11
,11 1
1 12
010
( , , , , , , )
2
( , , , , ) ( , , ) ( 1) ( , , ) sin .
jp
m m
jp p p
m
Q t r z
m
mK t r z g w
Якщо визначити тангенціальні функції Гріна
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
43
11 ,11
,1
2
010
11 1 ,11
,2
2
010
2
( , , , , , , ) ( , , , , )sin ,
2
( , , , , , , ) ( 1) ( , , , , )sin ,
m
jp jp
m
m m
jp jp
m
m
W t r z mK t r z
m
W t r z mK t r z
то розв’язок задачі (1)-(4), (5), (9) можемо записати у вигляді
0 2
1 1
0 2
1 1
0 2
1 1
1
11
1 0 0
1
11 1
1 0
1
11
1 0
( , , , )
( , , , , , , ) ( , , , )
( , , , , , , ) ( , , )
( , , , , , , )
p
p
p
p
p
p
j
R ltn
jp p
p R l
R ln
jp p
p R l
R ln
jp p
p R l
u t r z
E t r z f d d d d
E t r z g d d d
t
E t r z g
2
1 1
0
1
2
1
112
,1 1
1 0
11 1
,2 1
1
2 11 1
,1
1 0 0
11
,2
( , , )
( , , , , , , ) ( , , )
( , , , , , , ) ( , , )
( , , , , , ) ( , , )
(
p
p
p
p
R ltn
jpp p
p R l
jp p p
Rtn
zp jp p
p R
jp
d d d
a W t r z g
W t r z w d d d
a W t r z w
W t
0 2
1
2
11
0
0 0
, , , , , ) ( , , )
( , , , , , ) ( , , ) ; 1, 1.
p p
lt
jr
l
r z w d d d
W t r z g d d d j n
(39)
З використанням властивостей функцій впливу і функцій Гріна
безпосередньо перевіряємо, що функції ( , , , ),ju t r z визначені форму-
лами (39), задовольняють рівняння (1), початкові умови (2), крайові умо-
ви (3)-(5) та умови спряження (9) в сенсі теорії узагальнених функцій.
Єдиність розв’язку (39) випливає із його структури (інтегрального
зображення) та єдиності головних розв’язків (функцій впливу та функцій
Гріна) гіперболічної початково-крайової задачі (1)-(4), (5), (9).
Можна довести, що при відповідних умовах на вихідні дані, формули
(39) визначають обмежений класичний розв’язок розглянутої задачі.
Підсумком викладеного вище є така теорема.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
44
Теорема. Якщо функції ( , , , ),jf t r z ( , , ),s
jg r z ( , , ),s
jw t r
1 ( , , ),jg t r z 1 ( , , ),jw t r z ( 1,2; 1, 1)s j n задовольняють умови:
1) двічі неперервно диференційовні за кожною змінною;
2) мають обмежену варіацію за кожною із просторових змінних;
3) абсолютно сумовні з ваговою функцією ( ) ( )r r r за змінною
r на кусково-однорідній полярній осі ;nI
4) справджують умови спряження (9);
5) функція 0 ( , , )g z задовольняє умови 1), 2), то гіперболічна по-
чатково-крайова задача (1)-(4), (5), (9) має єдиний обмежений
класичний розв’язок, який визначається за формулами (39).
Випадки крайових умов (6), (7), (8) на гранях клина можна про-
аналізувати аналогічно.
Зауваження 1. У випадку 0rj j zj ja a a a формули (38)
визначають структури розв՚язків розглянутих задач в ізотропному
кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому шарі з
порожниною.
Зауваження 2. Випадок зміни в межах 1 2 можна
звести до розглянутого заміною 1 0 2 1( ) .
Зауваження 3. Параметри 1 2,h h дозволяють виділяти з фор-
мул (38) розв’язки початково-крайових задач у випадках задання на
площинах 1 2,z l z l крайових умов 1-го й 2-го роду та їх можли-
вих комбінацій.
Зауваження 4. Параметри 0 0
11 11, дозволяють виділяти із фо-
рмул (38) розв’язки крайових задач спряження у випадках задання на
радіальній поверхні 0r R крайової умови 1-го роду ( 0 0
11 110, 1 ),
2-го роду ( 0 0
11 111, 0 ) та 3-го роду ( 0 0
11 111, 0h ).
Зауваження 5. Аналіз розв’язків (38) залежно від аналітичного
виразу вихідних даних задач проводиться безпосередньо із загальних
структур.
Висновки. Методом класичних інтегральних і гібридних інтег-
ральних перетворень у поєднанні з методом головних розв՚язків (фу-
нкцій впливу та функцій Гріна) вперше побудовано єдині точні аналі-
тичні розв’язки гіперболічних крайових задач у кусково-однорідному
клиновидному циліндрично-круговому шарі з порожниною. Одержа-
ні інтегральні зображення розв՚язків носять алгоритмічний характер,
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
45
неперервно залежать від параметрів і даних задачі та можуть бути
використані як у подальших теоретичних дослідженнях, так і в прак-
тиці інженерних розрахунків математичних моделей коливних про-
цесів у кусково-однорідних середовищах, які описуються циліндрич-
ною системою координат.
Список використаних джерел:
1. Hadamard J. Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles
linéaires hyperboliques: leçons professées à l'Université Yale. Paris: Hermann
et cie, 1932. 542 р.
2. Gårding L. Cauchy's Problem for Hyperbolic Equations: Winter And Spring
Quarters. University of Chicago, 1957. 240 р.
3. Митропольський Ю. А., Хома Г. П., Громяк М. И. Асимптотические ме-
тоды исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа.
Киев: Наук. думка, 1991. 232 с.
4. Самойленко А. М., Ткач Б. П. Численно-аналитические методы в теории
периодических решений уравнений с частными производными. Киев:
Наук. думка, 1992. 208 с.
5. Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково-
однорідних просторових середовищах. Кам’янець-Подільський: Абетка-
Світ, 2013. 120 с.
6. Конет І. М., Пилипюк Т. М. Гіперболічні крайові задачі в кусково-
однорідних циліндрично-кругових середовищах. Кам’янець-Подільський:
Абетка-Світ, 2017. 84 с.
7. Конет І. М., Пилипюк Т. М. Крайові задачі в кусково-однорідних цилінд-
рично-кругових середовищах. Чернівці: Технодрук, 2019. 200 с.
8. Громик А. П., Конет І. М. Гіперболічні крайові задачі математичної фізи-
ки в кусково-однорідних циліндричних середовищах. Кам’янець-
Подільський: ПП «Видавництво Абетка світ», 2020. 200 с.
9. Сергиенко И. В., Скопецкий В. В., Дейнека В. С. Математическое моде-
лирование и исследование процессов в неоднородных средах. Киев: Наук.
думка, 1991. 432 с.
10. Дейнека В. С., Сергиенко И. В., Скопецкий В. В. Модели и методы реше-
ния задач с условиями сопряжения. Киев: Наук. думка, 1998. 614 с.
11. Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Модели и методы решения задач в неод-
нородных средах. Киев: Наук. думка, 2001. 606 с.
12. Конет І. М., Ленюк М. П. Стаціонарні та нестаціонарні температурні поля
в циліндрично-кругових областях. Чернівці: Прут, 2001. 312 с.
13. Громик А. П., Конет І. М., Ленюк М. П. Температурні поля в кусково-
однорідних просторових середовищах. Кам’янець-Подільський: Абетка-
Світ, 2011. 200 с.
14. Конет І. М., Пилипюк Т. М. Параболічні крайові задачі в кусково-
однорідних середовищах. Кам’янець-Подільський: Абетка-Світ, 2016.
244 с.
15. Самойленко В. Г., Конет І. М. Рівняння математичної фізики. Київ: ВПЦ
«Київський університет», 2014. 283 с.
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
46
References:
1. Hadamard J. Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles
linéaires hyperboliques: leçons professées à l'Université Yale. Paris: Hermann
et cie, 1932. 542 p.
2. Gårding L. Cauchy's Problem for Hyperbolic Equations: Winter And Spring
Quarters. University of Chicago, 1957. 240 p.
3. Mytropolskyi Yu. A., Khoma H. P., Hromiak M. Y. Asymptotycheskye meto-
dy yssledovanyia kvazyvolnovykh uravnenyi hyperbolycheskoho typa. Kyev:
Nauk. dumka, 1991. 232 p.
4. Samoilenko A. M., Tkach B. P. Chyslenno-analytycheskye metody v teoryy
peryodycheskykh reshenyi uravnenyi s chastnymy proyzvodnymy. Kyev:
Nauk. dumka, 1992. 208 p.
5. Konet I. M. Hiperbolichni kraiovi zadachi matematychnoi fizyky v kuskovo-
odnoridnykh prostorovykh seredovyshchakh. Kamianets-Podilskyi: Abetka-
Svit, 2013. 120 p.
6. Konet I. M., Pylypiuk T. M. Hiperbolichni kraiovi zadachi v kuskovo-
odnoridnykh tsylindrychno-kruhovykh seredovyshchakh. Kamianets-
Podilskyi: Abetka-Svit, 2017. 84 p.
7. Konet I. M., Pylypiuk T. M. Kraiovi zadachi v kuskovo-odnoridnykh tsylin-
drychno-kruhovykh seredovyshchakh. Chernivtsi: Tekhnodruk, 2019. 200 p.
8. Hromyk A. P., Konet I. M. Hiperbolichni kraiovi zadachi matematychnoi
fizyky v kuskovo-odnoridnykh tsylindrychnykh seredovyshchakh. Kamianets-
Podilskyi: PP «Vydavnytstvo Abetka svit», 2020. 200 p.
9. Serhyenko Y. V., Skopetskyi V. V., Deineka V. S. Matematycheskoe
modelyrovanye y yssledovanye protsessov v neodnorodnykh sredakh. Kyev:
Nauk. dumka, 1991. 432 p.
10. Deineka V. S., Serhyenko Y. V., Skopetskyi V. V. Modely y metody reshenyia
zadach s uslovyiamy sopriazhenyia. Kyev: Nauk. dumka, 1998. 614 p.
11. Deineka V. S., Serhyenko Y. V. Modely y metody reshenyia zadach v ne-
odnorodnykh sredakh. Kyev: Nauk. dumka, 2001. 606 p.
12. Konet I. M., Leniuk M. P. Statsionarni ta nestatsionarni temperaturni polia v
tsylindrychno-kruhovykh oblastiakh. Chernivtsi: Prut, 2001. 312 p.
13. Hromyk A. P., Konet I. M., Leniuk M. P. Temperaturni polia v kuskovo-
odnoridnykh prostorovykh seredovyshchakh. Kamianets-Podilskyi: Abetka-
Svit, 2011. 200 p.
14. Konet I. M., Pylypiuk T. M. Parabolichni kraiovi zadachi v kuskovo-odnoridnykh
seredovyshchakh. Kamianets-Podilskyi: Abetka-Svit, 2016. 244 p.
15. Samoilenko V. H., Konet I. M. Rivniannia matematychnoi fizyky. Kyiv: VPTs
«Kyivskyi universytet», 2014. 283 p.
HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS
OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE
HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL-
CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY
The unique exact analytical solutions of hyperbolic boundary value prob-
lems of mathematical physics in piecewise homogeneous by the radial variable
r, wedge-shaped by the angular variable φ, cylindrical-circular layer with а cav-
ISSN 2308-5878. Mathematical and computer modelling.
Series: Physical and mathematical sciences. 2026. Issue 30. P. 31-47.
47
ity were constructed at first time by the method of classical integral and hybrid
integral transforms in combination with method of main solutions (influence
matrices and Green’s matrices) in the proposed article.
The cases of assigning on the wedge's verge the boundary conditions of
the 1st kind (Dirichlet) and the 2nd kind (Neumann) and their possible
combinations (Dirichlet – Neumann, Neumann – Dirichlet) are considered.
Finite Fourier integral transform by an angular variable φ, an integral
Fourier transform on the Cartesian semiaxis by an applicative variable z
and hybrid Weber-type integral transform on the polar axis (R0; +∞) with n
conjugate points by the radial variable were used to construct solutions of
investigated boundary value problems.
The consistent application of integral transforms by geometric varia-
bles allows us to reduce the three-dimensional initial boundary-value prob-
lems of conjugation to the Cauchy problem for an ordinary linear inhomo-
geneous 2nd order differential equation whose unique solution is written in
a closed form.
The application of inverse integral transforms to the obtained solution
in the space of images restores in an explicit form in the space of the origi-
nals the solutions of the considered hyperbolic boundary value problems of
mathematical physics through their integral image.
At the same time, the main solutions of the problems are obtained in an
explicit form.
Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, con-
jugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main
solutions.
Математичне та комп'ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
Редакційна колегія:
Zb_F-M_1.pdf
Гвоздєв М. І.
ORCІD: 0000-0003-4022-9777, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: mykyta.hvozdev@nure.ua
Сидоров М. В.
ORCІD: 0000-0001-8022-866X, д-р фіз.-мат. наук, професор, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: maxim.sidorov@nure.ua
метод двобічних наближень у ЧИСЕЛЬНОМУ аналізі задачі Нав’є, що є математичноЮ моделлю одновимірної мікроелектромеханічної системи
Ключові слова: мікробалка, задача Нав’є, ізотонний опертор, інваріантний конусний відрізок, крайова задача, математичне моделювання, мікроелектромеханічна система, метод двобічних наближень, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння четвертого пор...
Список використаних джерел:
References:
The Method of Two-Sided Approximations in the Numerical Analysis of the Navier Problem as a Mathematical Model of a One-Dimensional Microelectromechanical System
Key words: boundary value problem, deflection, fourth-order semilinear ordinary differential equation, Green’s function, Hammerstein equation, invariant cone segment, isotone operator, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microbe...
Громик А. П.
ORCID: 0000-0003-3071-9756, канд. техн. наук, Заклад вищої освіти «Подільський державний університет», м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: gapon74@gmail.com
Конет І. М.
ORCID: 0000-0002-4241-0548, д-р фіз.-мат. наук, професор, Волинський національний університет імені Лесі Українки, м. Луцьк, Україна, E-mail: konet51@ukr.net
Пилипюк Т. М.
ORCID: 0000-0002-4676-9830, канд. фіз.-мат. наук, Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський, Україна, E-mail: pylypyuk.tetiana@kpnu.edu.ua
ГІПЕРБОЛІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ В КУСКОВО-ОДНОРІДНОМУ КЛИНОВИДНОМУ ЦИЛІНДРИЧНО-КРУГОВОМУ ШАРІ З ПОРОЖНИНОЮ
Ключові слова: гіперболічне рівняння, початкові та крайові умови, умови спряження, інтегральні перетворення, гібридні інтегральні перетворення, головні розв’язки.
Список використаних джерел:
References:
HYPERBOLIC BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS IN A PIECEWISE HOMOGENEOUS WEDGE-SHAPED CYLINDRICAL- CIRCULAR LAYER WITH А CAVITY
Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, conjugation conditions, integral transforms, hybrid integral transforms, main solutions.
Гук Н. А.
ORCID: 0000-0001-7937-1039, д-р фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: huk_n@365.dnu.edu.ua
Сіліч-Балгабаєва В. Б.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. техн. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: v_silichbalgabaeva@365.dnu.edu.ua
Степанова Н. І.
ORCID: 0000-0002-9490-3600, канд. фіз.-мат. наук, Дніпровський національний університет імені Олеся Гончара, м. Дніпро, Україна, E-mail: stepanova_n@365.dnu.edu.ua
DATA-DRIVEN ПІДХІД ДО ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ БІФУРКАЦІЇ ТОНКОСТІННИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ
Ключові слова: тонкостінні системи, біфуркація, втрата стійкості, обернені задачі, нейронні мережі, data-driven підхід, динамічні системи, прогнозування, нелінійна динаміка, ідентифікація параметрів, інформаційні технології.
Список використаних джерел:
References:
DATA-DRIVEN APPROACH TO INVERSE BIFURCATION PROBLEMS OF THIN-WALLED SYSTEMS BASED ON NEURAL NETWORKS
Key words: thin-walled systems, bifurcation, loss of stability, inverse problems, neural networks, data-driven approach, dynamic systems, prediction, nonlinear dynamics, parameter identification, information technologies.
Жолтовський О. О.
ORCID: 0009-0009-9245-1725, аспірант, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: olekszholt@gmail.com
Черевко І. М.
ORCID: 0000-0002-2690-2091, д-р фіз-мат. наук, професор, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, м. Чернівці, Україна, E-mail: i.cherevko@chnu.edu.ua
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ
Ключові слова: крайова задача, запізнення, метод сплайн-колокацій, кубічні сплайни, комп’ютерне моделювання.
Список використаних джерел:
References:
THE APPLICATION OF SPLINE FUNCTION METHOD TO THE MODELING OF LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH DELAY
Key words: boundary value problem, delayed argument, spline collocation method, cubic splines, computer modeling.
Zelenskiy O. V.
ORCІD: 0000-0002-4969-0132, Cand. of Phys. and Math. Sciences, Kamianets-Podilskyi Ivan Ohiienko National University, Kamianets-Podilskyi, Ukraine, E-maіl: esteticcode@gmail.com
ULTRA EXPONENT MATRICES
Key words: exponent matrix, reduced exponent matrix, admissible quiver, ultra exponent matrix, rigid quiver, weight function, mathematical modelling.
References:
УЛЬТРА МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ
Ключові слова: матриця показників, зведена матриця показників, допустимий сагайдак, ультра матриця показників, жорсткий сагайдак, вагова функція, математичне моделювання.
Мусій Р. С.
ORCІD: 0000-0002-7169-2206, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: musiy@lp.edu.ua
Кунинець А. В.
ORCІD: 0000-0003-2481-3236, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: andrii.v.kunynets@lpnu.ua
Свідрак І. Г.
ORCІD: 0000-0003-1811-2011, канд. техн. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: inha.h.svidrak@lpnu.ua
Тимошенко Н. М.
ORCІD: 0000-0002-5595-6531, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: nadiia.m.tymoshenko@lpnu.ua
Шиндер В. К.
ORCІD: 0000-0002-9414-5619, канд. фіз.-мат. наук, Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна, E-maіl: valentyn.k.shynder@lpnu.ua
ВИЗНАЧЕННЯ ТА АНАЛІЗ ТЕПЛА ДЖОУЛЯ І ПОНДЕРОМОТОРНОЇ СИЛИ У ПОРОЖНИСТОМУ МІДНОМУ ЦИЛІНДРІ ЗА ДІЇ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ІМПУЛЬСА
Ключові слова: порожнистий електропровідний циліндр, електромагнітний імпульс, осьова компонента вектора напруженості магнітного поля, тепло Джоуля, пондеромоторна сила.
Список використаних джерел:
References:
DETERMINATION AND ANALYSIS OF JOULE HEAT AND PONDEROMOTIVE FORCE IN A HOLLOW COPPER CYLINDER UNDER THE ACTION OF AN ELECTROMAGNETIC IMPULSE
Key words: hollow conductive cylinder, electromagnetic impulse, axial component of the magnetic field intensity vector, Joule heating, ponderomotive force.
Zb_F-M_2.pdf
Нікітін А. В.
ORCІD: 0000-0001-5137-0114, д-р фіз.-мат. наук, професор, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: anatolii.nikitin@oa.edu.ua
Шведюк В. В.
ORCІD: 0009-0002-2906-0958, аспірант, Національний університет «Острозька академія», м. Острог, Україна, E-maіl: volodymyr.v.shvediuk@oa.edu.ua
СТІЙКІСТЬ ДЕТЕРМІНОВАНОЇ ТА УСЕРЕДНЕНОЇ СИСТЕМ РАДІОФІЗИЧНИХ ПРОЦЕСІВ У МІКРОКОНТРОЛЕРНИХ СИСТЕМАХ БПЛА
Ключові слова: БПЛА, стійкість детермінованої системи, власні значення, метод Ляпунова, радіофізичні процеси, мікроконтролер, простір станів.
Список використаних джерел:
References:
STABILITY OF DETERMINISTIC AND AVERAGED SYSTEMS OF RADIOPHYSICAL PROCESSES IN UAV MICROCONTROLLER SYSTEMS
Key words: UAV, stability of deterministic system, eigenvalues, Lyapunov functions, radiophysical processes, microcontroller, state space.
Пархоменко В. Г.
ORCІD: 0009-0008-7309-0875, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: vladyslav.parkhomenko1@nure.ua
аналіз методОМ двобічних наближень стаціонарної реактивно-дифузивної моделі у сферичній гранулі з кінетикою арреніуса
Ключові слова: гетеротонний оператор, інтегральне рівняння Гаммерштейна, метод двобічних наближень, напівлінійне еліптичне рівняння з оператором Лапласа, нелінійна крайова задача, радіально-симетричний додатний розв’язок, реакційно-дифузійна система, ...
Список використаних джерел:
References:
Analysis by the Method of Two-Sided Approximations of a Stationary Reaction–Diffusion Model in a Spherical Pellet with Arrhenius Kinetics
Key words: Green’s function, Hammerstein integral equation, heterotone operator, method of two-sided approximations, nonlinear boundary value problem, positive radially symmetric solution, reaction–diffusion system, semilinear elliptic equation with t...
Савченко А. В.
ORCІD: 0009-0004-7547-8655, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: anton.savchenko@nure.ua
Застосування методу двобічних наближень до аналізу впливу типів закріплення кінців на статичний прогин балки в моделях мікроелектромеханічних систем
Ключові слова: балка, жорстке закріплення, ізотонний оператор, інваріантний конусний відрізок, консольна балка, крайова задача, крайові умови для балки, математичне моделювання, метод двобічних наближень, мікроелектромеханічна система, прогин, рівнянн...
Список використаних джерел:
References:
APPLICATION OF THE METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS TO THE ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF BEAM END CONDITIONS ON THE STATIC DEFLECTION OF A BEAM IN MICROELECTROMECHANICAL SYSTEMS
Key words: beam, clamped support, isotone operator, invariant cone segment, cantilever beam, boundary value problem, beam boundary conditions, mathematical modeling, method of two-sided approximations, microelectromechanical system, deflection, Hammer...
Сеньо П. С.
ORCІD: 0009-0005-7979-2905, д-р фіз.-мат. наук, професор, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: petro.seno@lnu.edu.ua
Заяць А. Р.
ORCІD: 0009-0004-7793-0238, аспірант, Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів, Україна E-maіl: artur.zaiats@lnu.edu.ua
МОДИФІКАЦІЯ БАЗОВОГО ДВОСТОРОННЬОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Ключові слова: функціональні інтервали, інтегральні рівняння, двосторонні апроксимації, параболічний паралелограм, математичне моделювання, системний аналіз.
Список використаних джерел:
References:
MODIFICATION OF THE BASIC TWO-SIDED METHOD FOR SOLVING INTEGRAL EQUATIONS
Key words: functional intervals, integral equations, two-sided approximations, parabolic parallelogram, mathematical modelling, system analysis.
Янбеков Р. Я.
ORCІD: 0009-0004-6588-7121, Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, Україна, E-maіl: ravil.yanbekov@nure.ua
дослідження одновимірних стаціонарних задач термохімії методом двобічних наближень на основі використання функції Гріна
Ключові слова: математичне моделювання, термохімічні процеси, метод двобічних наближень, функція Гріна, перша крайова задача, напівлінійне звичайне диференціальне рівняння.
Список використаних джерел:
References:
Analysis of One-Dimensional Steady-State Thermochemical Problems Using the Method of Two-Sided Approximations with Green’s Function
Key words: mathematical modelling, thermochemical processes, two-sided approximation method, Green’s function, first boundary value problem, semilinear ordinary differential equation.
Відомості про авторів
Алфавітний покажчик авторів
Зміст
end.pdf
Математичне та комп’ютерне моделювання
Серія: Фізико-математичні науки
|
| id | mcm-mathkpnueduua-article-361365 |
| institution | Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-09T01:00:17Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | mcm-mathkpnueduua/a2/fa114b37b5a0db30c6589cfe6ec61da2.pdf |
| spelling | mcm-mathkpnueduua-article-3613652026-06-08T08:10:39Z Hyperbolic Boundary Value Problems of Mathematical Physics in a Piecewise Homogeneous Wedge-Shaped Cylindrical-Circular Layer With а Cavity Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому шарі з порожниною Громик, Андрій Конет, Іван Пилипюк, Тетяна The unique exact analytical solutions of hyperbolic boundary value problems of mathematical physics in piecewise homogeneous by the radial variable r, wedge-shaped by the angular variable φ, cylindrical-circular layer with а cavity were constructed at first time by the method of classical integral and hybrid integral transforms in combination with method of main solutions (influence matrices and Green’s matrices) in the proposed article. The cases of assigning on the wedge's verge the boundary conditions of the 1st kind (Dirichlet) and the 2nd kind (Neumann) and their possible combinations (Dirichlet – Neumann, Neumann – Dirichlet) are considered. Finite Fourier integral transform by an angular variable φ, an integral Fourier transform on the Cartesian semiaxis by an applicative variable z and hybrid Weber-type integral transform on the polar axis (R0; +∞) with n conjugate points by the radial variable were used to construct solutions of investigated boundary value problems. The consistent application of integral transforms by geometric variables allows us to reduce the three-dimensional initial boundary-value problems of conjugation to the Cauchy problem for an ordinary linear inhomogeneous 2nd order differential equation whose unique solution is written in a closed form. The application of inverse integral transforms to the obtained solution in the space of images restores in an explicit form in the space of the originals the solutions of the considered hyperbolic boundary value problems of mathematical physics through their integral image. At the same time, the main solutions of the problems are obtained in an explicit form. У пропонованій статті методом класичних інтегральних і гібридних інтегральних перетворень у поєднанні з методом головних розв’язків (матриць впливу та матриць Гріна) вперше побудовано єдині точні аналітичні розв’язки гіперболічних крайових задач математичної фізики в кусково-однорідному за радіальною змінною r клиновидному за кутовою змінною φ циліндрично-круговому шарі з порожниною. Розглянуто випадки задання на гранях клина крайових умов 1-го роду (Діріхле), 2-го роду (Неймана) та їх можливих комбінацій (Діріхле-Неймана, Неймана-Діріхле). Для побудови розв’язків досліджуваних початково-крайових задач застосовано скінченне інтегральне перетворення Фур’є щодо кутової змінної φ, скінченне інтегральне перетворення Фур’є на декартовому сегменті щодо аплікатної змінної z та гібридне інтегральне перетворення типу Вебера на полярній осі (R0; +∞) з n точками спряження щодо радіальної змінної. Послідовне застосування інтегральних перетворень за геометричними змінними дозволяє звести тривимірні початково-крайові задачі спряження до задачі Коші для звичайного лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку, єдиний розв’язок якої виписано в замкнутому вигляді. Застосування обернених інтегральних перетворень до одержаного розв’язку в просторі зображень відновлює в явному вигляді у просторі оригіналів розв’язки розглянутих гіперболічних крайових задач математичної фізики через їх інтегральне зображення. При цьому головні розв’язки задач одержано в явному вигляді. Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка 2026-05-29 Article Article Рецензована Стаття application/pdf https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361365 10.32626/2308-5878.2026-30.31-47 Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences; 2026: Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences. Issue 30; 31-47 Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки; 2026: Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 30; 31-47 2308-5878 10.32626/2308-5878.2026-30 uk https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361365/349590 Авторське право (c) 2026 Андрій Громик, Іван Конет, Тетяна Пилипюк |
| spellingShingle | Громик, Андрій Конет, Іван Пилипюк, Тетяна Hyperbolic Boundary Value Problems of Mathematical Physics in a Piecewise Homogeneous Wedge-Shaped Cylindrical-Circular Layer With а Cavity |
| title | Hyperbolic Boundary Value Problems of Mathematical Physics in a Piecewise Homogeneous Wedge-Shaped Cylindrical-Circular Layer With а Cavity |
| title_alt | Гіперболічні крайові задачі математичної фізики в кусково-однорідному клиновидному циліндрично-круговому шарі з порожниною |
| title_full | Hyperbolic Boundary Value Problems of Mathematical Physics in a Piecewise Homogeneous Wedge-Shaped Cylindrical-Circular Layer With а Cavity |
| title_fullStr | Hyperbolic Boundary Value Problems of Mathematical Physics in a Piecewise Homogeneous Wedge-Shaped Cylindrical-Circular Layer With а Cavity |
| title_full_unstemmed | Hyperbolic Boundary Value Problems of Mathematical Physics in a Piecewise Homogeneous Wedge-Shaped Cylindrical-Circular Layer With а Cavity |
| title_short | Hyperbolic Boundary Value Problems of Mathematical Physics in a Piecewise Homogeneous Wedge-Shaped Cylindrical-Circular Layer With а Cavity |
| title_sort | hyperbolic boundary value problems of mathematical physics in a piecewise homogeneous wedge-shaped cylindrical-circular layer with а cavity |
| url | https://mcm-math.kpnu.edu.ua/article/view/361365 |
| work_keys_str_mv | AT gromikandríj hyperbolicboundaryvalueproblemsofmathematicalphysicsinapiecewisehomogeneouswedgeshapedcylindricalcircularlayerwithacavity AT konetívan hyperbolicboundaryvalueproblemsofmathematicalphysicsinapiecewisehomogeneouswedgeshapedcylindricalcircularlayerwithacavity AT pilipûktetâna hyperbolicboundaryvalueproblemsofmathematicalphysicsinapiecewisehomogeneouswedgeshapedcylindricalcircularlayerwithacavity AT gromikandríj gíperbolíčníkrajovízadačímatematičnoífízikivkuskovoodnorídnomuklinovidnomucilíndričnokrugovomušarízporožninoû AT konetívan gíperbolíčníkrajovízadačímatematičnoífízikivkuskovoodnorídnomuklinovidnomucilíndričnokrugovomušarízporožninoû AT pilipûktetâna gíperbolíčníkrajovízadačímatematičnoífízikivkuskovoodnorídnomuklinovidnomucilíndričnokrugovomušarízporožninoû |