Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші
На основі акустичної моделі емульсії, яка враховує локальну термічну взаємодію між її мікроструктурними елементами, досліджено низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші типу рідина-рідина або рідина-газ. Обгрунтовано уточнену методику формування макроскопічних тер...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1012 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші / В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 43-49. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1012 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10122025-02-09T16:55:33Z Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші On the low-frequency asymptotics of sound velocity in concentrated dispersed mixture Олійник, В.Н. На основі акустичної моделі емульсії, яка враховує локальну термічну взаємодію між її мікроструктурними елементами, досліджено низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші типу рідина-рідина або рідина-газ. Обгрунтовано уточнену методику формування макроскопічних термодинамічних параметрів такого середовища. Дано оцінку поправки, яку вносить обчислення ефективної питомої теплоємності на основі масових часток речовин-компонент. Це дозволило пояснити удавану суперечність, спричинену неправильним нормуваннями при обчисленні величини дисперсійного стрибка швидкості звуку. На основе акустической модели эмульсии, учитывающей локальное термическое взаимодействие между ее микроструктурными элементами, исследована низкочастотная асимптотика скорости звука в концентрированной дисперсной смеси типа жидкость-жидкость или жидкость-газ. Обоснована уточненная методика формирования макроскопических термодинамических параметров такой среды. Дана оценка поправки, которую вносит вычисление эффективной удельной теплоемкости на основе массовых долей веществ-компонент. Это позволило объяснить кажущееся противоречие, вызванное неправильной нормировкой при вычислении величины дисперсионного скачка скорости звука. The low-frequency asymptotics of sound velocity in the liquid-liquid or liquid-gas dispersed mixture has been studied on the basis of the acoustic model of emulsion with the allowance for local thermal interaction between its microstructural elements. An improved technique for forming the macroscopic thermodynamic parameters of such medium is validated. The correction due to calculating the effective specific heat on the basis of the mass shares of matters-components is estimated. This provides the explanation of an imaginary contradiction caused by incorrect normalization when computing the dispersion jump of sound velocity. 2006 Article Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші / В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 43-49. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1012 534.22 uk application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
На основі акустичної моделі емульсії, яка враховує локальну термічну взаємодію між її мікроструктурними елементами, досліджено низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші типу рідина-рідина або рідина-газ. Обгрунтовано уточнену методику формування макроскопічних термодинамічних параметрів такого середовища. Дано оцінку поправки, яку вносить обчислення ефективної питомої теплоємності на основі масових часток речовин-компонент. Це дозволило пояснити удавану суперечність, спричинену неправильним нормуваннями при обчисленні величини дисперсійного стрибка швидкості звуку. |
| format |
Article |
| author |
Олійник, В.Н. |
| spellingShingle |
Олійник, В.Н. Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші |
| author_facet |
Олійник, В.Н. |
| author_sort |
Олійник, В.Н. |
| title |
Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші |
| title_short |
Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші |
| title_full |
Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші |
| title_fullStr |
Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші |
| title_full_unstemmed |
Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші |
| title_sort |
про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1012 |
| citation_txt |
Про низькочастотну асимптотику швидкості звуку в концентрованій дисперсній суміші / В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2006. — Т. 9, N 4. — С. 43-49. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT olíjnikvn pronizʹkočastotnuasimptotikušvidkostízvukuvkoncentrovaníjdispersníjsumíší AT olíjnikvn onthelowfrequencyasymptoticsofsoundvelocityinconcentrateddispersedmixture |
| first_indexed |
2025-11-28T05:05:24Z |
| last_indexed |
2025-11-28T05:05:24Z |
| _version_ |
1850009279460802560 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 43 – 49
УДК 534.22
ПРО НИЗЬКОЧАСТОТНУ АСИМПТОТИКУ
ШВИДКОСТI ЗВУКУ В КОНЦЕНТРОВАНIЙ
ДИСПЕРСНIЙ СУМIШI
В. Н. О Л IЙ Н ИК
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 03.10.2006
На основi акустичної моделi емульсiї, яка враховує локальну термiчну взаємодiю мiж її мiкроструктурними еле-
ментами, дослiджено низькочастотну асимптотику швидкостi звуку в концентрованiй дисперснiй сумiшi типу рi-
дина – рiдина або рiдина – газ. Обгрунтовано уточнену методику формування макроскопiчних термодинамiчних па-
раметрiв такого середовища. Дано оцiнку поправки, яку вносить обчислення ефективної питомої теплоємностi на
основi масових часток речовин-компонент. Це дозволило пояснити удавану суперечнiсть, спричинену неправильним
нормуваннями при обчисленнi величини дисперсiйного стрибка швидкостi звуку.
На основе акустической модели эмульсии, учитывающей локальное термическое взаимодействие между ее микро-
структурными элементами, исследована низкочастотная асимптотика скорости звука в концентрированной дис-
персной смеси типа жидкость –жидкость или жидкость – газ. Обоснована уточненная методика формирования ма-
кроскопических термодинамических параметров такой среды. Дана оценка поправки, которую вносит вычисление
эффективной удельной теплоемкости на основе массовых долей веществ-компонент. Это позволило объяснить ка-
жущееся противоречие, вызванное неправильной нормировкой при вычислении величины дисперсионного скачка
скорости звука.
The low-frequency asymptotics of sound velocity in the liquid-liquid or liquid-gas dispersed mixture has been studied on
the basis of the acoustic model of emulsion with the allowance for local thermal interaction between its microstructural
elements. An improved technique for forming the macroscopic thermodynamic parameters of such medium is validated.
The correction due to calculating the effective specific heat on the basis of the mass shares of matters-components is
estimated. This provides the explanation of an imaginary contradiction caused by incorrect normalization when computing
the dispersion jump of sound velocity.
ВСТУП
Рiдкi та газо-рiдиннi дисперснi сумiшi досить
часто зустрiчаються у природi й технiцi [1 – 7].
До них можна вiднести рiзноманiтнi емульсiї,
бульбашковi середовища, пiни на основi води та
поверхнево-активних речовин, крапельнi аерозолi,
туман (див. рис. 1). Тому дослiдження особливо-
стей поширення звуку в таких середовищах є ва-
жливим теоретичним i прикладним завданням.
Складнiсть внутрiшньої будови емульсiй та су-
спензiй (у тому числi, бульбашкових) зумовлює
появу багатьох механiзмiв, якi можуть впливати
на їхнi акустичнi властивостi [1,3,5,8 –12]. Один з
них грунтується на зв’язку змiни об’єму суцiльно-
го середовища i тиску в ньому зi змiною темпера-
тури [13, 14]. Зокрема, в акустичному наближеннi
можна говорити про формування теплової хвилi,
яка супроводжує хвилю звукову [1, 14].
Слiд вiдзначити, що тепловi процеси iстотно
впливають на поширення звуку навiть у гомоген-
них суцiльних середовищах. Так, оскiльки при пе-
реходi у теплову форму механiчна енергiя втрача-
ється необоротно, теплова хвиля завжди буде нео-
днорiдною i породжуватиме акустичну дисипацiю.
Однак для бiльшостi реальних газiв i рiдин термiч-
на дисипацiя стає вiдчутною лише у дуже високо-
частотному дiапазонi або на великих вiдстанях по-
ширення сигналу. Бiльш значними тепловi втрати
можуть бути, наприклад, при поширеннi звуку в
трубi з високою теплопровiднiстю (кiрхгофiвська
дисипацiя) [14].
Урахування термодинамiчних властивостей ви-
являється важливим також при визначеннi вели-
чини швидкостi поширення звуку в газах. Насам-
перед, згадаємо про оцiнку Ньютона, яка прибли-
зно на 15 % занижує швидкiсть звуку в повiтрi
внаслiдок нехтування локальними коливаннями
температури при його перiодичному розрiдженнi –
стисканнi. У нормальних умовах бiльш правиль-
ний опис дає теорiя Лапласа, яка передбачає адi-
абатичний характер деформування газу [14]. Вза-
галi кажучи, на дуже високих частотах можливий
перехiд до iзотермiчного (ньютонiвського) хара-
ктеру деформування, але за цих умов поширення
звуку практично припиняється внаслiдок сильно-
го зростання термiчної дисипацiї [1, 14].
По-iншому протiкають акустичнi процеси у дис-
персних сумiшах. Зокрема, як вказано М. О. Iса-
ковичем у статтi [1], вплив термомеханiчної зв’я-
заностi може призводити до появи специфiчного
механiзму дисперсiї й дисипацiї звуку в емульсi-
c© В. Н. Олiйник, 2006 43
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 43 – 49
а б
в г
Рис. 1. Типовi приклади рiдких i газо-рiдинних дисперсних сумiшей:
а – водна емульсiя полiмеру; б – повiтрянi бульбашки у водi; в – мильна пiна; г – крапельний аерозоль води у повiтрi
ях, пов’язаного з теплообмiном в околi мiкростру-
ктурного елемента середовища – зерна емульсiї.
Так, поки теплова хвиля залишається довшою за
мiкроструктурний масштаб (розмiр зерна), аку-
стичний процес буде локально iзотермiчним i, во-
дночас, адiабатичним для середовища в цiлому.
Тодi швидкiсть звукової хвилi можна визначити
на основi осереднених ефективних параметрiв су-
мiшi, виходячи з вiдповiдних фiзичних констант
речовин-компонент. Для бiльш високих частот у
локальному розумiннi процес також наближається
до адiабатичного. Тут об’ємна стисливiсть, а отже
i швидкiсть звуку, виражається через адiабатичнi
стисливостi фаз з урахуванням їхнiх об’ємних кон-
центрацiй. Описаний сценарiй перебудови акусти-
чних процесiв має яскраво виражений релаксацiй-
ний характер. При цьому за рахунок локального
мiжфазного перетiкання тепла виникає загасання
акустичних сигналiв, яке на кiлька порядкiв пе-
ревищує дисипацiю у кожнiй з компонент, узятiй
окремо. Зрозумiло, що такий пiдхiд працює лише
доти, доки акустичнi хвилi залишаються довгими
у порiвняннi з розмiром зерна та вiдстанями мiж
сусiднiми зернами.
Зауважимо, що модель Iсаковича побудовано
з використанням гiпотези про термiчну незале-
жнiсть мiкроструктурних елементiв. Це дозволи-
ло розглядати кожне зерно емульсiї як осередок,
який пульсує у необмеженому просторi, зайнято-
му речовиною-наповнювачем. Як вiдзначено у до-
слiдженнi [12], такий пiдхiд може виявитись не-
прийнятним для концентрованих дисперсних сумi-
шей, особливо якщо масовi й термодинамiчнi ха-
рактеристики диспергованої фази i компоненти-
наповнювача є величинами одного порядку. Ви-
ходячи з цього, було запропоновано вдосконале-
ну модель з урахуванням термiчної взаємодiї при
синхронних пульсацiях околiв сусiднiх зерен.
Аналiз даних, одержаних у роботi [12], дозволив
вказати частотнi межi застосування удосконаленої
моделi та випадки, в яких вона дає результати, що
збiгаються з прогнозом моделi Iсаковича [1]. Було
пiдтверджено характер “високочастотної” акусти-
чної асимптотики, коли обидвi речовини-фази за-
44 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 43 – 49
знають адiабатичних деформацiй. Проте вiдкри-
тим залишилось питання про низькочастотну ме-
жу швидкостi поширення звуку – жодна з двох
моделей не дозволила одержати її значення, обра-
ховане на основi об’ємно-осереднених параметрiв.
Саме тому метою даної статтi є обгрунтування
уточненої методики визначення ефективних тер-
модинамiчних параметрiв рiдкої (газо-рiдинної)
дисперсної сумiшi на низьких частотах.
1. МАТЕМАТИЧНА ПОСТАНОВКА I АНА-
ЛIТИЧНИЙ РОЗВ’ЯЗОК
Коротко нагадаємо основнi положення, покла-
денi в основу моделi. Це тим бiльш доцiльно, що
стаття [12] мiстить у постановочнiй частинi кiль-
ка прикрих помилок, якi ускладнюють сприйнят-
тя матерiалу читачем1.
Розглянемо типову структуру двофазної сумiшi,
мiкроструктурнi елементи (зерна) якої дисперго-
ванi рiвномiрно i близькi за розмiрами та формою
(рис. 2). Нехай у такому середовищi поширюється
монохроматична звукова хвиля. Якщо її довжина
набагато перевищуватиме мiкроструктурний мас-
штаб, то сусiднi елементи пiд час повного перiоду
коливання будуть знаходитись пiд дiєю акустично-
го тиску, який гармонiчно змiнюється у часi та має
практично одну й ту саму амплiтуду p. Виходячи
з цього, вважаємо, що на групу сусiднiх елемен-
тiв дiє стацiонарний тиск peiωt (тут ω=2πf , f –
частота).
Як i у статтi [12], припустимо, що мiж сусiднiми
елементами має проходити межа, на якiй дорiвню-
ють нулю нормальнi компоненти теплового потоку
(див. також [2]). Оскiльки i звукова, i теплова хви-
лi виникають виключно за рахунок об’ємного де-
формування середовища [13], обмежимося розгля-
дом тiльки пульсуючих рухiв. Таке спрощення дає
право наближено розглядати елемент мiкростру-
ктури як двошарову сферично-симетричну стру-
ктуру – кулю радiуса r0, заповнену диспергова-
ною фазою, оточену концентричним сферичним
шаром несучої фази товщини h0 (див. праву ча-
стину рис. 2).
При поширеннi гармонiчної хвилi з круговою ча-
стотою ω швидкiсть звуку c та коефiцiєнт загасан-
ня δ пов’язанi з густиною ρ, об’ємною деформацi-
єю s i амплiтудою акустичного тиску p спiввiдно-
шенням [1]
k̄ =
ω
c
− iδ = ω
√
ρs/p . (1)
1Згаданi технiчнi помилки не вплинули на кiнцевi аналi-
тичнi вирази для швидкостi звуку i коефiцiєнта загасання,
а також на одержанi чисельнi результати.
Осереднена густина емульсiї визначається як
ρ = ερ1 + (1 − ε)ρ2,
де ρj – густини фаз; ε – об’ємна доля (концентра-
цiя) диспергованої фази,
ε ≡ V1
V1 + V2
=
1
(1 + h0/r0)3
,
0 < ε < 1;
Vj – об’єм, який займає вiдповiдна фаза. Тут i в
подальшому iндекс j=1 вiдповiдає фiзичнiй хара-
ктеристицi диспергованої, а j=2 – несучої фази.
Величинами без iндексiв позначенi макроскопiчнi
характеристики дисперсної сумiшi у цiлому.
Осереднена об’ємна деформацiя сумiшi виража-
ється через розподiли об’ємних деформацiй sj у
кожнiй iз фаз:
s =
1
V1 + V2
[
∫
V1
s1dV1 +
∫
V2
s2dV2
]
. (2)
Останнi визначаються через термодинамiчнi рiв-
няння стану, лiнеаризованi для випадку малих
збурень кожної з фаз [13]:
sj = p(βj − αjTj). (3)
Тут βj – iзотермiчнi стисливостi; αj – коефiцiєн-
ти температурного розширення; Tj – просторовi
розподiли температур фаз при пульсацiях пiд дi-
єю гармонiчного тиску. У межах мiкроструктур-
ного елемента всi величини у правiй частинi рiв-
няння (3), за виключенням Tj , є константами. Роз-
подiли ж температур задовольняють рiвняння те-
плопровiдностi з вiдповiдними комплексними хви-
льовими числами n̄j =(1+i)nj [1]:
∇2Tj − 2in2
jT − 2in2
j
Θαj
ρjCPj
= 0,
nj =
√
ωρjCPj
2κj
,
(4)
де ∇2 – оператор Лапласа; Θ – температура сере-
довища у станi рiвноваги; CPj – статичнi питомi
теплоємностi; κj – теплопровiдностi; i=
√
−1.
Формулювання температурних граничних умов
на межi фаз (поверхнях зерен) не викликає тру-
днощiв – для них мають бути неперервними поле
температур та нормальний тепловий потiк через
поверхню зерна емульсiї:
T1 = T2, κ1
dT1
dr
= κ2
dT2
dr
, r = r0. (5)
В. Н. Олiйник 45
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 43 – 49
dT/dn=0
~2r0
~2h0
→
r0
h0
dT/dn=0
Рис. 2. Схема переходу до спрощеної геометрiї мiкроструктурних елементiв
дисперсної сумiшi (нульовi iзолiнiї показанi штриховими кривими)
Тут r – локальна радiальна координата, яку вiд-
раховуємо вiд центру зерна. Згiдно зi зробленими
припущеннями, внаслiдок синхронностi пульсацiй
температурну граничну умову на зовнiшнiй межi
мiкроструктурного елемента слiд задати як вiдсу-
тнiсть нормальної складової теплового потоку:
dT2
dr
= 0, r = r0 + h0. (6)
Поля температур, якi задовольняють рiвнян-
ня (4), мають такий вигляд:
T1(r) =
Θα1
ρ1CP1
+ A
sh n̄1r
r
,
T2(r) =
Θα2
ρ2CP2
+
B
r
[
n̄2(r0 + h0)×
×ch n̄2(r − r0 − h0) + sh n̄2(r − r0 − h0)
]
.
(7)
Довiльнi коефiцiєнти A та B однозначно визнача-
ються з граничних умов (5). Зауважимо, що умо-
ва (6) виконується автоматично за рахунок спецi-
альним чином вибраної функцiональної залежно-
стi для T2(r).
Визначимо осереднену об’ємну деформацiю се-
редовища. Спiввiдношення об’ємiв диспергованої
та несучої фаз у мiкроструктурному елементi су-
мiшi буде таким самим, як i у середовищi в цiлому.
Тому вiд iнтегрування по повних фазових об’ємах
V1 i V2 можна перейти до iнтегрування у межах
сферичного елемента:
s ≈ 3
(r0 + h0)3
[
r0
∫
0
s1r
2dr +
r1
∫
r0
s2r
2dr
]
. (8)
Опускаючи очевиднi перетворення, з фор-
мул (5) – (8) отримуємо
s
p
= βLL − 3i εΘ
ωr2
0
[
α1
ρ1CP1
− α2
ρ2CP2
]2
×
×√
κ1κ2 FT (n̄1r0, n̄2r0, n̄2h0).
(9)
βLL = ε
[
β1 −
Θα2
1
ρ1CP1
]
+ (1 − ε)
[
β2 − Θα2
2
ρ2CP2
]
.
Тут βLL – так звана “лаплас-лапласiвська” сти-
сливiсть емульсiї, характерна для частот, на яких
процес об’ємної деформацiї є адiабатичним як для
емульсiї в цiлому, так i у масштабi мiкронеоднорi-
дностi [1, 12].
Для безрозмiрного спiвмножника, який хара-
ктеризує залежнiсть акустичних параметрiв вiд
термiчних хвильових розмiрiв мiкроструктурного
елемента, у спiввiдношеннi (9) введено позначення
FT =
ϕ11ϕ22
√
κ1
κ2
ϕ11ϕ21 +
√
κ2
κ1
ϕ12ϕ22
, (10)
46 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 43 – 49
де
ϕ11 = n̄1r0 − th n̄1r0;
ϕ12 = th n̄1r0;
ϕ21 =
[
n̄2(r0 + h0) − th n̄2h0
]
;
ϕ22 = n̄2h0 +
(
n̄2
2r0(r0 + h0) − 1
)
th n̄2h0.
Пiдставляючи вирази (9) i (10) у вихiдну залеж-
нiсть (1), одержуємо остаточну формулу для обчи-
слення c i δ:
ω
c
− iδ =
ω
cLL
[
1− 3i
ωr2
0
Θερc2
LL×
×√
κ1κ2
(
α1
ρ1CP1
− α2
ρ2CP2
)2
FT
]1/2
,
(11)
де cLL =1/
√
ρβLL – лаплас-лапласiвська (адiабати-
чна) швидкiсть звуку в сумiшi.
Частотно залежний член у формулi (11) пропор-
цiйний до [α1/(ρ1CP1)−α2/(ρ2CP2)]
2. Тому чим
сильнiше вiдрiзнятимуться густини, питомi тепло-
ємностi й коефiцiєнти температурного розширен-
ня фаз, тим яскравiше будуть вираженi дисперсiя
й дисипацiя у середовищi.
2. АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛIЗ
Дослiдимо низькочастотну асимптотику швид-
костi звуку в дисперсних сумiшах. Спрямувавши
ω→0 i зберiгаючи старшi члени розкладу за ма-
лим параметром, одержимо
ϕ11 ≈ n̄3
1r
3
0/3,
ϕ12 ≈ n̄1r0,
ϕ21 ≈ n̄2r0,
ϕ22 ≈ n̄2h0n̄
2
2r0(r0 + h0) + n̄3
2h
3
0/3.
Додатково приймемо до уваги геометричну тото-
жнiсть
ϕ22 = n̄2h0n̄
2
2r0(r0 + h0) + n̄3
2h
3
0/3 =
= n̄3
2r
3
0
[
(1 + h0/r0)
3 − 1
]
/3 = n̄3
2r
3
0(1 − ε)/(3ε).
Тодi з формули (11) отримуємо
ch
lf =cLL
[
1 + Θ
ε(1 − ε)ρ1ρ2CP1CP2
ερ1CP1 + (1 − ε)ρ2CP2
×
×ρc2
LL
(
α1
ρ1CP1
− α2
ρ2CP2
)2]−1/2
.
(12)
Оскiльки величину cLL утворено на основi ком-
бiнацiї механiчних i термодинамiчних параметрiв
фаз, останнiй вираз не є зручним для безпосере-
днього аналiзу. Проте вiн, на вiдмiну вiд оцiнки
на основi моделi з незалежними зернами, симетри-
чний вiдносно фiзичних параметрiв компонент. Це
вiдповiдає уявленню про те, що при проходжен-
нi низькочастотного звуку несуча й диспергована
фази емульсiї мають бути “рiвноправними” [12].
Як уже згадувалось, згiдно з припущенням Iса-
ковича, у низькочастотному наближеннi величину
швидкостi звуку в дисперснiй сумiшi можна оцiни-
ти, вважаючи, що при iзотермiчному розрiджен-
нi – стисканнi зерна всi макроскопiчнi параметри
будуть адитивними вiдносно вiдповiдних параме-
трiв фаз [1]:
β = εβ1 + (1 − ε)β2 ,
α = εα1 + (1 − ε)α2,
CP = εCP1 + (1 − ε)CP2.
(13)
Це дозволяє вiдразу записати асимптотичне зна-
чення швидкостi звуку при ω→0 на основi рiвнянь
стану “осередненого” однорiдного середовища [13]:
cI
LN =
[
ρβ − Θ
α2
CP
]
−1/2
. (14)
Така швидкiсть звуку дiстала назву iзотермiчно-
адiабатичної або ж лаплас-ньютонiвської [14].
Легко пересвiдчитися, що термодинамiчна мо-
дель емульсiї, навiть якщо враховувати взаємодiю
мiж зернами, при зменшеннi частоти не забезпечує
виходу на значення cLN . Для того, щоб зрозумiти
суть цих розбiжностей, перепишемо формулу (12)
у виглядi, максимально близькому до (14) – з видi-
ленням осереднених макроскопiчних параметрiв.
Пiсля нескладних перетворень, суть яких полягає
у зведеннi коефiцiєнтiв при αj, маємо
cM
LN ≡ ch
lf =
=
[
ρβ − Θ
ρα2
ερ1CP1 + (1 − ε)ρ2CP2
]
−1/2
.
(15)
Таким чином, одержано вираз, аналогiчний до
формули (14), але для середовища, в якому еквi-
валентна питома теплоємнiсть розраховується на-
ступним чином:
CM
P =
ερ1CP1 + (1 − ε)ρ2CP2
ρ
. (16)
Видно, що CM
P буде вже нелiнiйною функцiєю
вiд ε.
В. Н. Олiйник 47
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 43 – 49
Таблиця. Фiзичнi параметри речовин – фаз дисперсної сумiшi,
використанi при розрахунках (за [15, 16])
речовина ρi, кг/м
3
βi, 1/Па CPi, кал/(кг·K) αi, 1/K
водень 8.89·10−2 1/P0 3.41·103 1/Θ
повiтря 1.29 1/P0 2.41·102 1/Θ
бензол 8.79·102 7.70·10−10 4.07·102 1.06·10−3
вода 103 4.35·10−10 103 1.50·10−4
ртуть 1.36·104 3.91·10−11 3.30·101 1.81·10−4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
C
P
/C
P
M
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
Рис. 3. Вiдношення питомих теплоємностей
дисперсної сумiшi, обчислених
за формулами (13) та (16)
Аналiз показує, що така оцiнка є бiльш ко-
ректною, нiж обчислення cLN за методикою [1].
Справдi, згiдно з означенням, питома теплоєм-
нiсть речовини вводиться з розрахунку на оди-
ницю її маси [13]. Загальна ж теплоємнiсть дис-
персної сумiшi складається з суми теплоємностей
компонент, якi мають визначатися саме на основi
масових, а не об’ємних їхнiх часток.
Виникає важливе питання: наскiльки суттєвою
є запропонована поправка з практичної точки зо-
ру. Iншими словами, наскiльки можуть вiдрiзня-
тись величини cI
LN i cM
LN для реальних комбiнацiй
речовин-компонент (див. таблицю).
Насамперед, звернемося до рис. 3, на якому зо-
бражено залежнiсть вiдношення двох розглянутих
оцiнок питомої теплоємностi дисперсного середо-
вища вiд об’ємних концентрацiй фаз. Тут i на на-
ступних графiках крива 1 вiдповiдає сумiшi повi-
тря – вода, крива 2 – бензол – вода, крива 3 – во-
день – вода, а крива 4 – вода – ртуть.
Зрозумiло, що вiдмiнностi виявляються тим
сильнiшими, чим бiльше вiдрiзняються густини й
питомi теплоємностi компонент. Легко перекона-
тися, що для кожної з пар iснує екстремальне зна-
чення концентрацiї 0≤εextr≤1, при якому вiдно-
шення CP /CM
P буде найбiльшим або найменшим:
(
CP
CM
P
)
extr
=
[
√
ρ1/ρ2 +
√
CP1/CP2
√
ρ1CP1/(ρ2CP2) + 1
]2
при εextr =
1
1 +
√
ρ1CP1/(ρ2CP2)
.
Вид i величина екстремуму суттєвим чином зале-
жить вiд спiввiдношень фiзичних характеристик
компонент сумiшi.
Розрахунок показує, що термiчний доданок у
виразi для лаплас-ньютонiвської стисливостi су-
мiшi є вiдносно невеликим. Тому навiть для дис-
персних середовищ з сильно неоднорiдними ком-
понентами рiзниця мiж cI
LN i cM
LN практично нiко-
ли не перевищує 1÷2 % (рис. 4). Однак при нор-
мованому представленнi величини дисперсiйного
стрибка
∆c =
c − cLN
cLL − cLN
,
використання значення cI
LN , запропонованого Iса-
ковичем [1], може призводити до невиправдано
великих похибок (див. рис. 5). Дiйсно, оскiльки
при переходi вiд лаплас-ньютонiвського до лаплас-
лапласiвського режиму швидкiсть звуку зростає у
середньому всього на 10÷13 %, то за певних умов
вiдхилення низькочастотного значення ∆c вiд ну-
ля може досягати 10÷20 %. Для такої ж специфi-
чної емульсiї, як вода – ртуть, розбiжнiсть виявля-
ється ще бiльшою – вiд 75 до 100 % (для зручностi
сприйняття графiка останню залежнiсть не пока-
зано).
Таким чином, “неточнiсть” результатiв, пред-
ставлених у статтi [12] (∆c 6=0 при ω→0)2, є уда-
ваною i пояснюється неадекватним нормуванням.
Тому, характеризуючи локально-iзотермiчний
2У цитованiй роботi у пiдписах до графiкiв слiд чита-
ти: “неперервнi кривi вiдповiдають моделi з урахуванням
взаємодiї зерен, а штриховi – моделi Iсаковича”.
48 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2006. Том 9, N 4. С. 43 – 49
акустичний процес, слiд використовувати саме
модифiковане значення лаплас-ньютонiвської
швидкостi звуку, обчислене за формулою (15).
ВИСНОВКИ
На базi модифiкованої моделi термiчного фор-
мування акустичних властивостей рiдких i газо-
рiдинних дисперсних сумiшей з урахуванням тер-
мiчної взаємодiї мiж зернами диспергованої фази
дослiджено низькочастотну асимптотику швидко-
стi поширення звуку в таких середовищах. Зав-
дяки фiзичному обгрунтуванню методики обра-
хунку ефективної теплоємностi уточнено формулу
для лаплас-ньютонiвської швидкостi звуку. Вказа-
нi випадки, для яких одержана поправка матиме
найбiльший вплив.
1. Исакович М. А. О распространении звука в эмуль-
сиях // ЖЭТФ.– 1948.– 18, вып. 10.– С. 905–912.
2. Хабеев Н. С., Шагапов В. Ш. О некоторых осо-
бенностях распространения звука в бинарных пу-
зырьковых средах // Изв. АН СССР. МЖГ.–
1990.– N 3.– С. 42–50.
3. Губайдуллин Д. А., Ивандаев А. И. Влияние по-
лидисперсности на распространение звука в сме-
сях газа с паром и каплями жидкости // ПТМФ.–
1993.– 34, N 4.– С. 75–82.
4. Вафина Ф. И., Гольдфарб И. И., Шрайбер И. Р.
Влияние теплообмена на распространение звука в
пене // Акуст. ж.– 1992.– 38, N 2.– С. 260–269.
5. Knudsen V. O., Wilson J. V., and Anderson N. S.
The attenuation of audible sound in fog and smoke //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1948.– 20, N 6.– P. 849–857.
6. Laird D. T., Kendig P. M. Attenuation of sound
in water containing air bubbles // J. Acoust. Soc.
Amer.– 1953.– 24, N 1.– P. 29–32.
7. Epstein P. S., Carhart R. R. The absorption of sound
insuspensions and emulsions. I. Water fog in air //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1953.– 25, N 3.– P. 553–565.
8. The propagation of sound in composite media Uri-
ck R. J. and Ament W. S. // J. Acoust. Soc. Amer.–
1949.– 21, N 2.– P. 115–119.
9. Temkin S., Dobbins R. A. Attenuation and dispersi-
on of sound by particulate-relaxation processes //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1966.– 40, N 2.– P. 317–324.
10. Temkin S. Sound speeds in suspensions in
thermodynamic equilibrium // Phys. Fluids.
A.– 1992.– 4, N 11.– P. 2399–2409.
11. Allegra J. R., Hawley S. A. Attenuation of sound
in suspensions and emulsions: Theory and experi-
ments // J. Acoust. Soc. Amer.– 1972.– 51, N 5,
Pt 2.– P. 1545–1564.
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
c L
N
M
/c
L
N
I
0.98
0.99
1
1.01
1
2
34
Рис. 4. Вiдношення двох оцiнок низькочастотної
швидкостi звуку в дисперснiй сумiшi
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
(c
L
N
M
-c
L
N
I )
/(
c L
L
-c
L
N
I )
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
1
2
3
Рис. 5. Похибка при обчисленнi нормованого
дисперсiйного стрибка для ω→0
12. Олiйник В. Н. Термiчнi дисперсiя й дисипацiя зву-
ку в концентрованих дисперсних рiдких та газо-
рiдинних середовищах // Акуст. вiсн.– 2001.– 4,
N 4.– С. 51–63.
13. Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е. М.
Курс общей физики. Механика и молекулярная
физика.– М.: Наука, 1965.– 384 с.
14. Стретт Дж. В. (лорд Рэлей) Теория звука: том 2.–
М.: ГИФМЛ, 1955.– 475 с.
15. Чайлдс У. Физические постоянные.– М.: Физмат-
гиз, 1962.– 80 с.
16. Кэй Дж., Лэби Т. Таблицы физических и химиче-
ских постоянных.– М.: ГИФМЛ, 1962.– 247 с.
В. Н. Олiйник 49
|