Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I

Для множеств сложных восстанавливаемых систем, циклически соединенных в комплекс с временным резервом, марковским потоком отказов элементов и индивидуальной функцией распределения времени обслуживания элементов, число которых возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов этих элементов та...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2007
Main Author:	Макаричев, А.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2007
Series:	Электронное моделирование
Subjects:	Точность, надежность, диагностика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101816
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 5. — С. 63-73. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101816
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1018162025-02-09T13:49:01Z Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I Reliability of Cyclic Combinations to the Complex of Complicate Restored Systems with Float Time.I Макаричев, А.В. Точность, надежность, диагностика Для множеств сложных восстанавливаемых систем, циклически соединенных в комплекс с временным резервом, марковским потоком отказов элементов и индивидуальной функцией распределения времени обслуживания элементов, число которых возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов этих элементов так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания ограничена сверху величиной меньше единицы, с дисциплиной обслуживания требований в порядке их возникновения, найдено асимптотическое распределение времени безотказной работы комплексов с момента исправности всех элементов всех сложных систем. Для множин складних вiдновлювальних систем, циклічно з’єднаних у комплекс з резервом часу, маркiвським потоком вiдмов елементiв та iндивiдуальною функцiєю розподiлу часу обслуговування елементiв, число яких зростає зворотньо пропорцiйно iнтенсивностi вiдмов цих елементiв так, що сумарне навантаження на систему обслуговування обмежене зверху величиною, яка є меншою за одиницю, з дисципліною обслуговування вимог у порядку їхнього виникнення, знайдено асимптотичний розподiл часу безвідмовної Asymptotic time distribution of failure-free work of complexes is found from the serviceability moment for all elements of all complex systems. It obtains for the sets of complicate reducible systems, which are linked into a complex, and have a float time, a Markov’s flow of element faults. Individual function of elements service time distribution are intrinsic for these systems too. At that the elements number increase inversely proportional of their fault intension so that a summary load on a service system is bounded above by a value less than one. Demands service discipline is by way of their appearance. 2007 Article Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 5. — С. 63-73. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101816 519.21 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Точность, надежность, диагностика Точность, надежность, диагностика
spellingShingle	Точность, надежность, диагностика Точность, надежность, диагностика Макаричев, А.В. Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I Электронное моделирование
description	Для множеств сложных восстанавливаемых систем, циклически соединенных в комплекс с временным резервом, марковским потоком отказов элементов и индивидуальной функцией распределения времени обслуживания элементов, число которых возрастает обратно пропорционально интенсивности отказов этих элементов так, что суммарная нагрузка на систему обслуживания ограничена сверху величиной меньше единицы, с дисциплиной обслуживания требований в порядке их возникновения, найдено асимптотическое распределение времени безотказной работы комплексов с момента исправности всех элементов всех сложных систем.
format	Article
author	Макаричев, А.В.
author_facet	Макаричев, А.В.
author_sort	Макаричев, А.В.
title	Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I
title_short	Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I
title_full	Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I
title_fullStr	Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I
title_full_unstemmed	Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I
title_sort	надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. i
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Точность, надежность, диагностика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101816
citation_txt	Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I / А.В. Макаричев // Электронное моделирование. — 2007. — Т. 29, № 5. — С. 63-73. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT makaričevav nadežnostʹcikličeskihsoedinenijvkomplekssložnyhvosstanavlivaemyhsistemsvremennymrezervomi AT makaričevav reliabilityofcycliccombinationstothecomplexofcomplicaterestoredsystemswithfloattimei
first_indexed	2025-11-26T11:41:11Z
last_indexed	2025-11-26T11:41:11Z
_version_	1849852977743921152
fulltext	ÓÄÊ 519.21 À. Â. Ìàêàðè÷åâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé àâòîìîáèëüíî-äîðîæíûé óíèâåðñèòåò (Óêðàèíà, 61002, Õàðüêîâ, óë. Ïåòðîâñêîãî, 25, òåë.: (057) 7073737, å-mail: hm@khadi.kharkov.ua) Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé â êîìïëåêñ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ñ âðåìåííûì ðåçåðâîì. I (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Â.Ã. Òîöåíêî) Äëÿ ìíîæåñòâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì, öèêëè÷åñêè ñîåäèíåííûõ â êîìïëåêñ ñ âðåìåííûì ðåçåðâîì, ìàðêîâñêèì ïîòîêîì îòêàçîâ ýëåìåíòîâ è èíäèâèäóàëüíîé ôóíê- öèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ ýëåìåíòîâ, ÷èñëî êîòîðûõ âîçðàñòàåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ýòèõ ýëåìåíòîâ òàê, ÷òî ñóììàðíàÿ íàãðóçêà íà ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ îãðàíè÷åíà ñâåðõó âåëè÷èíîé ìåíüøå åäèíèöû, ñ äèñöèïëèíîé îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé â ïîðÿäêå èõ âîçíèêíîâåíèÿ, íàéäåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðå- äåëåíèå âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòû êîìïëåêñîâ ñ ìîìåíòà èñïðàâíîñòè âñåõ ýëåìåíòîâ âñåõ ñëîæíûõ ñèñòåì. Äëÿ ìíîæèí ñêëàäíèõ âiäíîâëþâàëüíèõ ñèñòåì, öèêë³÷íî ç’ºäíàíèõ ó êîìïëåêñ ç ðå- çåðâîì ÷àñó, ìàðêiâñüêèì ïîòîêîì âiäìîâ åëåìåíòiâ òà iíäèâiäóàëüíîþ ôóíêöiºþ ðîçïîäiëó ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ åëåìåíòiâ, ÷èñëî ÿêèõ çðîñòàº çâîðîòíüî ïðîïîðöiéíî iíòåíñèâíîñòi âiäìîâ öèõ åëåìåíòiâ òàê, ùî ñóìàðíå íàâàíòàæåííÿ íà ñèñòåìó îáñëóãîâóâàííÿ îáìå- æåíå çâåðõó âåëè÷èíîþ, ÿêà º ìåíøîþ çà îäèíèöþ, ç äèñöèïë³íîþ îáñëóãîâóâàííÿ âèìîã ó ïîðÿäêó ¿õíüîãî âèíèêíåííÿ, çíàéäåíî àñèìïòîòè÷íèé ðîçïîäië ÷àñó áåçâ³äìîâíî¿ ðîáîòè êîìïëåêñiâ ç ìîìåíòó ñïðàâíîñòi óñiõ åëåìåíòiâ óñiõ ñêëàäíèõ ñèñòåì. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êîìïëåêñû ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì c âðåìåííûì ðåçåðâîì. Ðàññìîòðèì êîìïëåêñ N, â êîòîðîì ðàáîòàþò N îäíîòèïíûõ ñëîæíûõ âîññòà- íàâëèâàåìûõ ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç n ýëåìåíòîâ. Êàæäûé ýëåìåíò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ìîæåò îòêàçàòü. Â ìîìåíò åãî îòêàçà â îäíîé èç ñëîæíûõ ñèñòåì âîçíèêàåò òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå, êîòîðîå íåìåäëåííî ïîñòóïàåò â ðåìîíòíûé îðãàí (ÐÎ), ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ïàðó P C d� ( , ), ãäå C — ñòðóêòóðà; d — äèñöèïëèíà îáñëóæèâàíèÿ. Ðåìîíòíûé îðãàí îñóùåñòâëÿåò âîññòàíîâëåíèå (ðåìîíò èëè çàìåíó íà íîâûé, èäåíòè÷íûé èñõîäíîìó). Âîñ- ñòàíîâëåííûé ýëåìåíò çàíèìàåò ñâîå ìåñòî â ñëîæíîé ñèñòåìå, â êîòîðîé ïðîèçîøåë îòêàç, à òðåáîâàíèå íà îáñëóæèâàíèå íåìåäëåííî ïîêèäàåò ÐÎ. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007 Ò. 29. ¹ 5 63 �� Ïðîöåññ îáñëóæèâàíèÿ íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ êîìïëåêñà N â ìîìåíò âðåìåíè t è äëÿ j-é ñëîæíîé ñèñòåìû îïèøåì ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëàìè x t x t x t x tN ( ) ( ( ), ( ),..., ( ))� 1 2 è x t x t x tj j n j ( ) ( ( ),..., ( ))� 1 , ãäå x t x t xi j i j i j� � � �( ) ( ) — äëèíà òðåáîâàíèÿ, ò. å. âðåìÿ åãî îáñëóæèâàíèÿ ñî ñêîðîñòüþ, ðàâíîé åäèíèöå; x ti j� ( ) — âûðàáîòàíàÿ äëèíà òðåáîâàíèÿ; x ti j� ( ) — îñòàòî÷íàÿ äëèíà òðåáîâàíèÿ íà îáñëóæèâàíèå i-ãî ýëåìåíòà j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, i n�1 2, ,..., , j N�1 2, ,..., ; x ti j ( ) �0, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t i-é ýëåìåíò j-é ñëîæíîé ñèñòåìû èñïðàâåí, x t x t x ti j i j i j ( ) ( ( ), ( ))� � � , åñëè ýòîò ýëåìåíò íåèñïðàâåí. Ñîñòîÿíèå êîìïëåêñà â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ v t e t e t e tN ( ) ( ( ), ( ),..., ( ))� 1 2 èç N äâîè÷íûõ âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà e tj ( ) � � ( ( ), ( ),..., ( ))e t e t e tj j n j 1 2 , j N�1 2, ,..., . Çäåñü e ti j ( ) �0, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t i-é ýëåìåíò j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà íàõîäèòñÿ â èñïðàâíîì ñîñ- òîÿíèè, è e ti j ( ) �1, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t îí íàõîäèòñÿ â íåèñïðàâíîì ñîñòîÿíèè, i n�1 2, ,..., , j N�1 2, ,..., . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîòîê îòêàçîâ ýëåìåíòîâ, âîçíèêàþùèé â êàæäîé ñëîæíîé ñèñòåìå, ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, ò. å. óäîâëåòâîðÿåò äâóì óñëîâèÿì. 1. Åñëè â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t j-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà íà- õîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè e j , òî âåðîÿòíîñòü îòêàçà íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , ]t t h� èñïðàâíîãî i-ãî ýëåìåíòà j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà ïðè h� 0 ñîñòàâëÿåò � i je N h o h( ) ( ) � � 1 . 2. Â êàêîì áû èç ñîñòîÿíèé e tj ( ) íè íàõîäèëàñü j-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà êîìïëåêñà â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t, âåðîÿòíîñòü îòêàçà äâóõ è áîëåå ýëåìåíòîâ ýòîé ñèñòåìû íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , ]t t h� ðàâíà o h( ) ïðè h� 0. Åñëè ñîñòîÿíèÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ k-é è l-é ñëîæíûõ ñèñòåì ñîâïàäàþò, ò. å. e ek l � , òî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ â ýòèõ ñèñòå- ìàõ îäèíàêîâû: äëÿ ëþáîãî i äëÿ âñåõ 1� � �k l N � i ke N( ) �1 � � � i le N( ) 1 . Ïóñòü � �N e N e j j � � � 1 1 max ( ) , ãäå � ( )e Nj �1 — ñóììàðíàÿ èíòåíñèâ- íîñòü (èíòåíñèâíîñòü îòêàçà õîòÿ áû îäíîãî èç èñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, íàõîäÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè e j ), � �( ) ( ) : e N e Nj i j i ei j � � � � 1 1 0 , j N�1 2, ,..., . Äëèíû òðåáîâàíèé (ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ èëè ðàçëè÷íûõ îòêàçîâ îä- íîãî è òîãî æå ýëåìåíòà) åñòü íåçàâèñèìûå ïîëîæèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. À. Â. Ìàêàðè÷åâ 64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 5 Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: G xi ( ) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû òðåáîâàíèÿ ïî îáñëóæèâàíèþ i-ãî ýëåìåíòà j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, i n�1 2, ,..., , j N�1 2, ,..., ; m x dG xn i n i x ( ) ( )� � 0 — åå n-é ìîìåíò; G x G xi i n i0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )� � � � — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû ïåðâîãî âîç- íèêøåãî â j-é ñëîæíîé ñèñòåìå òðåáîâàíèÿ íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè; m x dG xn n x ( ) ( ) 0 0 0 � � — åå n-é ìîìåíò; � � � 0 1 0 1 0 1 0 0� � � ( ) ( ) ( )m mi i n — íà÷àëüíàÿ íàãðóçêà íà ÐÎ òðåáîâàíèé íà îáñëóæèâàíèå ýëåìåíòîâ ñëîæíûõ ñèñòåì êîìïëåêñà N; G x G x i n i( ) min ( ) , ..., � �1 — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàêñèìóìà èç âñåõ äëèí òðåáîâàíèé èç j-é ñëîæíîé ñèñòåìû; m x dG xn n x � � ( ) 0 è � �� m 1 — åãî n-é ìîìåíò, j N�1 2, , ..., . Îòêàçû ýëåìåíòîâ íåêîòîðîé ñëîæíîé ñèñòåìû íà ïåðèîäå ðåãåíå- ðàöèè êîìïëåêñà ìîãóò ïðèâåñòè âñþ ñëîæíóþ ñèñòåìó ê îòêàçó. Ìíî- æåñòâî E ej j �{ } âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé j-é ñëîæíîé ñèñòåìû äåëèòñÿ íà äâà íåïóñòûå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà èñïðàâíûõ E j � è íåèñïðàâ- íûõ E j � ñîñòîÿíèé j-é ñëîæíîé ñèñòåìû êîìïëåêñà, j N�1 2, ,..., . Ïðåäïîëà- ãàåì òàêæå, ÷òî E E E N � � � � � � 1 2 ... . Ïóñòü e ej i j i n � � 1 — ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ â j-é ñëîæíîé ñèñòåìå è min e E j j j e s � � , j N�1 2, ,..., . Åñëè ÷èñëî íåèñïðàâíûõ ýëåìåíòîâ â êîìïëåêñå íå ïðåâîñõîäèò s�1, òî ýòà ñèñòåìà èñïðàâíà. Îòêàç êîìïëåêñà íàñòóïàåò, åñëè â òå÷åíèå ñëó÷àéíîãî âðåìåíè � â êîìïëåêñå îêàæóòñÿ íåèñïðàâíûìè k ñëîæíûõ ñèñòåì ñ íîìåðàìè mod ( ),..., mod ( )N Nl l k� �1 , 0 1� � �l N . Ýòî ñâÿçàíî â íàëè÷èåì â êîìïëåêñå âðåìåííîãî ðåçåðâà. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî sk 1. Ìíîæåñòâî E v{ }âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé êîìïëåê- ñà ñîñòîèò èç äâóõ íåïóñòûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ èñïðàâíûõ E � è âîçìîæíûõ íåèñïðàâíûõ E � ñîñòîÿíèé êîìïëåêñà: v t E( ) � , åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t âñå ñëîæíûå ñèñòåìû èñïðàâíû, è v t E( ) � , åñëè õîòÿ áû îäíà ñëîæíàÿ ñèñòåìà êîìïëåêñà íåèñïðàâíà. Ïóñòü H u P u( ) ( )� �� . Îòêà- çàâøèå ýëåìåíòû îáñëóæèâàþòñÿ â ÐÎ â ïîðÿäêå ïîñòóïëåíèÿ (ñîãëàñíî äèñöèïëèíå d 1 èç êëàññà êîíñåðâàòèâíûõ äèñöèïëèí). Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007 Ò. 29. ¹ 5 65 Ïóñòü � � �� inf{ : ( ) , [ , ] ( ) ( ,..., ) }t v x E x t t v 0 0 0 0 — âðåìÿ äî ïåðâîãî îòêàçà êîìïëåêñà ïðè óñëîâèè, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t �0 âñå ýëåìåíòû âñåõ ñëîæíûõ ñèñòåì êîìïëåêñà èñïðàâíû (èíäåêñ N äëÿ óïðî- ùåíèÿ çàïèñè çäåñü è â äàëüíåéøåì îïóñêàåì). Ïðîâåäåì àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç âåëè÷èíû �, êîãäà âðåìÿ áåçîò- êàçíîé ðàáîòû ýëåìåíòîâ â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ è ÷èñëî ñëîæíûõ ñèñòåì âîçðàñòàþò òàê, ÷òî ñóììàðíàÿ íàãðóçêà íà ÐÎ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ìàëîé, íî îãðàíè÷åíà âåëè÷èíîé ìåíüøå åäèíèöû. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîõîäèìûõ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì v t( ) ñîñòîÿ- íèé êîìïëåêñà îò íà÷àëà ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè äî ìîìåíòà åãî ïåðâîãî îòêàçà íà ýòîì ïåðèîäå îáðàçóåò ïóòü � �{ , ,..., }v v vr1 2 , v El � ïðè l r� è v Er � . Ïóòü �íàçîâåì l 1 , l 2 , ..., lk ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì, åñëè ïåðâûé îòêàç êîìïëåêñà íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè íàñòóïèë â ðåçóëüòàòå îòêàçà l 1 , l 2 , ... ..., lk ñëîæíûõ ñèñòåì, â ìîìåíò îòêàçà â êàæäîé èç ýòèõ k ñëîæíûõ ñèñòåì áûëè íåèñïðàâíû ðîâíî s ýëåìåíòîâ è áîëüøå îòêàçîâ ýëåìåíòîâ äî ýòîãî ìîìåíòà â ýòèõ ñëîæíûõ ñèñòåìàõ íå áûëî (l l rr N� �mod ( ), r k�1,..., , 0 1� � �l N ). Ìíîæåñòâî òàêèõ ïóòåé îáîçíà÷èì �c l l lk1 2 , ,..., . Ïóòü � íàçîâåì k ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì, åñëè äëÿ íåêîòîðûõ l 1 , l 2 , ..., lk ýòîò ïóòü ÿâëÿåòñÿ l 1 , l 2 , ..., lk ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì. Êëàññ k ñëàáîìîíîòîííûõ ìèíèìàëüíûõ ïóòåé îáîçíà÷èì�c k( ). Ïóñòü � — 1, 2, ..., k ñëàáîìîíîòîííûé ìèíèìàëüíûé ïóòü. Ðàññìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ ñîñòîÿíèå i-é ñëîæíîé ñèñòåìû íà ýòîì ïóòè, i k�1 2, ,..., . Ïóñòü 0 1 2 , , ,...,e e ei i s i — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé i-é ñèñòåìû äî ìîìåíòà åå îòêàçà. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îáðàçóåò ìîíîòîííûé ìèíè- ìàëüíûé ïóòü � i , ïî êîòîðîìó i-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà èç ñîñòîÿíèÿ { }0 ïðè- õîäèò ê îòêàçó è � �� i i i i i s ie e s ) ( ) ( )... ( )� � 1 2 0 0 1 1 , i k�1,..., , ãäå i i is1 2 , ,..., — íîìåðà ïîñëåäîâàòåëüíî îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ i-é ñëîæ- íîé ñèñòåìû íà ïóòè � i . Ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ìèíèìàëüíûõ ïóòåé, íà êîòîðûõ i-ÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà ìîæåò îòêàçàòü îáîçíà÷èì� 0 i . Ïóñòü B x x x P x v x xj j j sk j sk sk1 2 1 1 2 1 1 , , ..., ( , , ..., , , ( )�� x 1 �} — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íå çàêîí÷èòñÿ ê ìî- ìåíòó x 1 è îòêàçàâøèé â ìîìåíò x 1 ýëåìåíò j 1 íå áóäåò âîññòàíîâëåí äî ìîìåíòà âðåìåíè x xsk � � 1 � ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòîò ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò x �0 è â ìîìåíòû x x xsk1 2 , ,..., (0 1 2 � � � �x x xsk... ) ïîñëå- äîâàòåëüíî îòêàçàëè ýëåìåíòû j j jsk1 2 , ,..., èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì è áîëüøå îòêàçîâ ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì íà îòðåçêå âðåìå- íè [ , ]0 xsk íå áûëî. Çäåñü v xj 1 1 ( ) — âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ÐÎ ýëåìåíòà j 1 , îòêàçàâøåãî â ìîìåíò âðåìåíè x 1 îò íà÷àëà ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè, ïðè À. Â. Ìàêàðè÷åâ 66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 5 äèñöèïëèíå îáñëóæèâàíèÿ ñî ñêîðîñòüþ åäèíèöà òðåáîâàíèé â ïîðÿäêå ïîñòóïëåíèÿ. Ýòà âåðîÿòíîñòü íå çàâèñèò îò íîìåðîâ ýëåìåíòîâ, îòêàçàâ- øèõ ïîñëå ìîìåíòà âðåìåíè x 1 . Îáîçíà÷èì qc j j j k sk1 2 1 2 , , ..., ( , , ..., )� � � âåðîÿòíîñòü îòêàçà êîìïëåêñà íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè ïî òàêèì 1, 2, ..., k ñëàáîìîíîòîííûì ìèíèìàëüíûì ïóòÿì, ÷òî îòêàç i-é ñëîæíîé ñèñòåìû ïðîèçîéäåò íà ìîíîòîííîì ìèíè- ìàëüíîì ïóòè � i (i k�1 2, ,..., ), à ïåðåñòàíîâêà j j jsk1 2 , ,..., îïðåäåëÿåò ïîðÿ- äîê îòêàçîâ ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì. Ïóñòü �e ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðà e âûäåëåíèåì ïåðâûõ k êîìïîíåíò, ò.å. �e îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì. Íàáîð j j jsk1 2 , ,..., îïðåäåëÿåò ïîñëåäîâàòåëü- íîñòü ñîñòîÿíèé � � � �0 1 2 , , ,...,e e esk , êîòîðûå ïðîõîäèò ïîäêîìïëåêñ èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñòåì äî îòêàçà âñåãî êîìïëåêñà íà 1, 2, ..., k ñëàáîìîíîòîííîì ìèíèìàëüíîì ïóòè. Ïóñòü � �( ) ( )� � � � � e N e Nr r k 1 1 1 åñòü ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ýëåìåíòîâ èç ïåðâûõ k ñëîæíûõ ñèñ- òåì, íàõîäÿùèõñÿ â ñîñòîÿíèè �e . Îáîçíà÷èì � � � �{( , ,..., ) :x x x xsk1 2 1 0 � � �x xsk2 ... }è ïîëîæèì J j j E aN B x xN sk j j jsk( ,..., ) ... exp( ) ( , , , ..., 1 1 1 1 2 � � � � � 2 1 ,..., , ...x dx dxsk sk�� , ãäå a x e x x e x xsk sk sk� � � � � � � � � � � � � �( ) ( )( ) ... ( )( )0 1 1 2 1 1 1 . Ëåììà 1. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî q N J jc j j j k i i k sk N sk1 2 1 2 1 1 , , ..., ( , , ..., ) ( ) ( ,.� � � � � � � � .., )jsk . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ââåäåííûì îáîçíà÷åíèÿì ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ... q E Nj j k j sk � � � � � � � 1 1 1 1 0 0 , ..., ( , ..., ) ... ( ) exp[ ( )� � � � � N x� � � 1 1 ] � � � � � � � � �j e N e N x x 2 1 1 1 1 2 1 ( ) exp[ ( ) ( )]... ... ( ) exp[ ( ) ( )]� �j sk sk sk sksk e N e N x x� � � � � � � � � �1 1 1 1 1 � � �B x x dx dx dxj j sk sk i isk1 1 1 2 1, ..., ( , ..., , , ..., ( ) �� k sk N sk N J j j � ( ,..., ) 1 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Ëåììà 1 äîêàçàíà. Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007 Ò. 29. ¹ 5 67 Ïóñòü B x x P x v x x xsk sk� � � � � �� ( , , ( ) } 1 1 1 1 � — óñëîâíàÿ âåðîÿò- íîñòü òîãî, ÷òî â êîìïëåêñå � 1 0 ,��G (íà ñâîáîäíîì ïåðèîäå ïàðàìåòð âõî- äÿùåãî ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà òðåáîâàíèé ðàâåí � ( )0 , à íà ïåðèîäå çàíÿ- òîñòè — �; ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëèíû òðåáîâàíèÿ G x( ) [1]) ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íå çàêîí÷èòñÿ äî ìîìåíòà âðåìåíè x 1 è òðåáîâàíèå, âîçíèê- øåå â ìîìåíò âðåìåíè x 1 íå çàâåðøèò ñâîå îáñëóæèâàíèå â ÐÎ ê ìîìåíòó âðåìåíè x xsk � 1 ïðè óñëîâèè, åñëè ýòîò ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0 è â ìîìåíò âðåìåíè x 1 âîçíèêëî òðåáîâàíèå â ÐÎ êîìïëåêñà (v x( ) 1 — âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ÐÎ âîçíèêøåãî òðåáîâàíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè x 1 îò íà÷àëà ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè). Ëåììà 2. Cïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî B x x x B xj j j sk j j jsk sk1 2 1 2 1 2 1 , , ..., , , ..., ( , , ..., , ( ,�� x x B x xsk sk2 1 ,..., ( ,� � � � . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äåéñòâèòåëüíî, ñóùåñòâóåò èìïëèêàöèÿ �� x v x x x x v x x xj sk j sk1 1 1 1 1 1 1 1, ( ) } , ( ) } � � � � , èç êîòîðîé ñëåäóåò ïåðâîå èç äâóõ íåðàâåíñòâ â óòâåðæäåíèè ëåììû â ñèëó ïîëîæèòåëüíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �. Ïóñòü � � � � � �( )1 1kN è � � � � ( ) — äëèíà ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè â êîìï- ëåêñå � 1 0 ,� � � G ; s x � � � [ ]( ) 1 — ñóììàðíàÿ îñòàòî÷íàÿ äëèíà äîîáñëóæèâàíèÿ âñåõ òðåáîâàíèé â ÐÎ êîìïëåêñà � 1 0 ,� � � G â ìîìåíò âðåìåíè x 1 . Òîãäà èç òåîðåìû 1 [1] è ñëåäñòâèÿ 1 [1] ïîëó÷àåì èìïëèêàöèè �� ( ) , [ , ]( ) } ( ) , [ ](x s x d x x x s xj sk1 1 1 1 1 1 1 � � � � �) } � �x xsk 1 � �� ( ) , [ ]( ) }x s x x xsk1 1 1 . (1) Ïðè äèñöèïëèíå d 1 ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà s x d v xj j 1 1 1 1 1 [ , ] ( )� , s x v x � � [ ] ( ) 1 1 � . (2) Èç (1) è (2) ñëåäóåò, ÷òî P x v x x x P x v x x xj sk sk�� 1 1 1 1 1 1 1, ( ) } , ( ) } � � � . Îòñþäà ñîãëàñíî ïðèíÿòûì îáîçíà÷åíèÿì çàïèøåì B x x x B x xj j j sk sk sk1 2 1 2 1 , , ..., ( , , ..., ( ,� � � � . Èç ïåðâîãî è ïîñëåäíåãî â ýòîì äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèé â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñëåäóåò B x x x B xj j j sk j j jsk sk1 2 1 2 1 2 1 , , ..., , , ..., ( , , ..., , ( ,�� x x B x xsk sk2 1 ,..., ( ,� � � � . Ëåììà 2 äîêàçàíà. À. Â. Ìàêàðè÷åâ 68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 5 Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: T m � � � � � � 1 0 1 1 ( ) ( ) — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äëèíû ïåðèîäà ðåãåíå- ðàöèè [2] êîìïëåêñà � 1 0 ,��G ; v � — ñòàöèîíàðíîå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ òðåáîâàíèÿ â ÐÎ ýòîãî êîìï- ëåêñà ïðè äèñöèïëèíå îáñëóæèâàíèÿ d 1 . Ëåììà 3. Ïóñòü ��1 è msk � �. Òîãäà ... ( , ... [ ] ... �� 0 1 1 2 1 2 x x x sk sk s sk B x x dx dx dx E v � � � k sk T � � � � 1 1( )! � . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñäåëàåì â ðàññìàòðèâàåìîì êðàòíîì èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííûõ: t x xsk1 1 � � , t x xsk2 1 1 � � � , ..., t x xsk� � � 1 2 1 , t x� 1 . Ïîñ- ëå ýòîãî èñêîìûé èíòåãðàë çàïèøåì â âèäå t t t tsk P t v t t dtdt 1 2 1 0 0 1 1 � � � ... , ... , ( ) } ...�� dtsk� � 1 � � � � � � t t sk tsk dt dt P t v t t 1 1 0 1 1 0... ... ... , ( )�� 1 }dt. (3) Èç ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ ðåãåíåðèðóþùèõ ïðîöåññîâ [2, 3] ñëåäóåò, ÷òî t P t v t t dt P v t T � � 0 1 1 �� , ( ) } } . (4) Ñîãëàñíî (3), (4) è ïðèíÿòûì îáîçíà÷åíèÿì èñêîìûé èíòåãðàë ïðèíèìàåò âèä ... } ... ...t t t sk sk P v t dt dt T 1 2 1 1 1 1 � � � � �� t sk skt sk P v t dt T E v sk 1 0 1 2 1 1 1 2 1 [ ] ( )! } [ ] ( ) � � � � ! T � � �, òàê êàê ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � � è ��1. Ëåììà 3 äîêàçàíà. Îáîçíà÷èì � ( ) {( ,..., ) : ... }z x x x x zsk sk� � � � � 1 1 0 è � � ( ) ... ... ( )! . ( ) z dx dx z sk z sk sk � � �� 1 Ëåììà 4. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà ïðè N �� J j j E B x x xN sk j j j sk sk( ,..., ) ... ( , ,..., , , , ..., 1 1 2 1 2 � � � �� dx dx dxsk1 2 0... � � . Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007 Ò. 29. ¹ 5 69 Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî � 0 è çàôèêñèðóåì. Ñîãëàñíî ëåììå 3 äëÿ âûáðàííîãî � 0 ñóùåñòâóåò z z� ( )� òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî z z ( )� ... ( , ... \ ( ) �� z sk skB x x dx dx dx � � � 1 1 2 2 . (5) Èç íåðàâåíñòâà 1 1 1 � � � � exp( )aN ïðè a 0 è ëåììû 2 ñëåäóþò íåðàâåíñòâà [ exp( )] ( , ,..., , , , ..., 1 1 1 2 1 2 � � �aN B x x xj j j sk sk �� B x x x B x xj j j sk sk sk1 2 1 2 1 , , ..., ( , , ..., ( ,� � � . (6) Èç (5), (6) è ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî ... [ exp( )] ( ,..., \ ( ) , , ..., �� z j j j skaN B x xsk1 1 1 1 2 , ...�� dx dxsk1 2 � . (7) Ïî îïðåäåëåíèþ a x zsk� �� . Äëÿ âûáðàííîãî z z ( )� ñóùåñòâóåò òàêîå N N z� ( ( ))� , ÷òî äëÿ ëþáîãî N N z ( ( ))� 0 1 1 2 1 1 � � � � � � � � � exp( ) exp( ) ( ) aN zN z � � � . Îòñþäà è èç íåðàâåíñòâà 0 11 1 � �B x xj j sk sk... ( , ..., � ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N z ( ( ))� ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ... [ exp( )] ( ,..., , ( ) , ..., �� z j j skaN B x x dxsk1 1 1 1 �� 1 2 ... dxsk � � . (8) Èç (7) è (8) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ N N z ( ( ))� ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî J j j E B x x dxN sk j j sk sk( ,..., ) ... ( ,..., , ) ... ,..., 1 1 1 1 � � dxsk�� ! " # # $ % & & � � �. Ëåììà 4 äîêàçàíà. Ïóñòü � � � � � ! " # $ % &1 k N , � �( ) ( )0 0 1 � � � ! " # $ % & k N , B x x P xj sk0 1 1 1 � ( , , ,�� ' � v x x xj sk0 1 1 � � �( ) }� è B x x P x v x x xj sk j sk0 1 1 0 1 1 1 ( , , , ( ) }�� ' � � — ñîîòâåòñòâåííî óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî íà÷àâøèñü â ìîìåíò âðå- ìåíè x �0 ïåðèîä ðåãåíåðàöèè â êîìïëåêñàõ N � ( ) ,0 0� G è N � ( ),0 0 G íå çàêîí- ÷èòñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè x 1 è âîçíèêøåå â ìîìåíò âðåìåíè x 1 â ÐÎ òðåáîâàíèå, òèï êîòîðîãî ñîâïàäàåò c íîìåðîì ýëåìåíòà j 1 , îáîçíà÷àå- ìîãî ÷åðåç j, íå çàâåðøèò ñâîå îáñëóæèâàíèå â ÐÎ äî ìîìåíòà âðåìåíè xsk � �, åñëè ïåðèîä ðåãåíåðàöèè íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè x �0 è â ìî- ìåíò âðåìåíè x 1 â ÐÎ âîçíèêëî òðåáîâàíèå c íîìåðîì j ýëåìåíòà À. Â. Ìàêàðè÷åâ 70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 5 j x xsk1 1 0( � � �; v xj 0 1 � ( ) è v xj 0 1 ( ) — ñîîòâåòñòâåííî âðåìåíà ïðåáûâàíèÿ òðåáîâàíèÿ j-ãî òèïà, ïîñòóïèâøåãî â ìîìåíò âðåìåíè x 1 â ÐÎ êîìïëåêñîâ N � ( ) ,0 0� G è N � ( ),0 0 G . Îáîçíà÷èì � � ( )t ÷èñëî òðåáîâàíèé ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïàðàìåòðîì �, âîçíèêøèõ íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ( , ]t t 1 â êîìï- ëåêñå � 1 0 ,��G . Ëåììà 5. Ïóñòü ��1 è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ìîìåíò msk � �. Òîãäà ïðè N �� E B x x dx dx E Bj j sk sk sk... ( ,..., , ... ... , ..., � � � � � � 1 1 1 �� 0 1 1 1 0 j sk skx x dx dx� � �( , , ...�� . Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âûáåðåì ëþáîå ÷èñëî� 0. Èç ëåììû 3 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî z z� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî z z ( )� ... ( , ... \ ( ) �� z sk skB x x dx dx dx � � � 1 1 2 6 . (9) Èç ëåììû 2 âûòåêàþò íåðàâåíñòâà B x x B x xj j sk sk sk1 1 1 , ..., ( , ..., , ( ,�� , B x x B x xj sk sk0 1 1 1 � �( , , ( ,�� . (10) Èç (9), (10) è ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî E B x x dx dx z j j sk sk sk... ( ,..., , ... \ ( ) , ..., �� 1 1 1 6 �� , (11) E B x x dx dx z j sk sk... ( , , ... \ ( ) �� 0 1 1 1 6 �� . Èç àêñèîìû íåïðåðûâíîñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ âûáðàííîãî � ñó- ùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî l l� ( )� , ÷òî äëÿ ëþáîãî l l ( )� P z l z ( ( ) ) ( ) � � � � � 6 . Îòñþäà è íåðàâåíñòâà x x zsk1 � � ñëåäóåò, ÷òî P x l P x l P z l z ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) � � � � � � � � � � � 1 1 6 . Ïóñòü Rl � — ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïåðâûå l òðåáî- âàíèé ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïàðàìåòðîì � � âñå áóäóò èç ðàçëè÷íûõ Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007 Ò. 29. ¹ 5 71 ñèñòåì. Èç ëåììû 2 [1] ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âûáðàííîãî � ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N N� ( )� , ïðè êîòîðîì äëÿ ëþáîãî N N ( )� P R z l( ) ( ) � �1 6 � � . Ïóñòü A x l Rl� � � � { ( ) }� � 1 è I A( ) — cëó÷àéíîå ñîáûòèå A. Òîãäà B x x x P x v x xj j j sk j sk sk1 2 1 1 2 1 1 , , ..., ( , , ..., , , ( )�� x 1 �} � � � �P I A x v x I A x xj sk�� ( ) , ( ) ( ) } 1 1 1 � � �P I A x v x I A x x j sk�� ( ) , ( ) ( ) } 1 1 1 . (12) Àíàëîãè÷íî B x x P x v x x xj sk j sk0 1 0 1 0 1 1 1 � � � � � �( , , , ( ) }�� P I A x v x I A x xj sk�� 0 1 0 1 1 ( ) , ( ) ( ) } � � � � �P I A x v x I A x xj sk�� 0 1 0 1 1 ( ) , ( ) ( ) }. (13) Èç ëåììû 4 [1] ñëåäóåò, ÷òî �� (� �I A x v x I A x xj sk( ) , ( ) ( ) } 1 1 1 � � � � � � � � �� (� � 0 1 0 1 1 I A x v x I A x xj sk( ) , ( ) ( ) }. (14) Ïîñêîëüêó P I A x v x I A x x P A x l Pj sk( ( ) , ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ) (� � � �1 1 1 1 � � � � � R z l ) ( ) ,� � 3� P I A x v x I A x x P A z j sk( ( ) , ( ) ( ) ) ( ) ( ) � � � 0 1 0 1 1 3 � � � � � � � , (15) èç (12)—(15) íàõîäèì B x x B x x z j j sk j sk sk1 1 1 1 2 3 ... ( ,..., , ( , , ( ) �� ' � � � � . (16) Èç ñâîéñòâà èíòåãðàëà è (16) ñëåäóåò E B x x dx dx E z j j sk sk sk... ( ,..., , ... ... ( ) , ..., � � � � 1 1 1 �� ( ) ( , , ... z j sk skB x x dx dx � � � � 0 1 1 1 �� E B x x B x x z j j sk j sk sk... ( ,..., , ( , , , ..., �( ) 1 1 1 0 1 �� dx dxsk1 ... � � � � � ... ( ) ... � � ( )z sk z dx dx 2 3 2 3 1 � � . (17) À. Â. Ìàêàðè÷åâ 72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2007. V. 29. ¹ 5 Èç (11) è (17) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî N N ( )� E B x x dx dx E Bj j sk sk sk... ( ,..., , ... ... , ..., � � � � � � 1 1 1 �� 0 1 1 1 j sk skx x dx dx� � �( , , ...�� E B x x dx dx z j j sk sk sk... ( ,..., ) ... \ ( ) , ..., � � 1 1 1 E B x x dx dx z j sk sk... ( , , ... \ ( )� � � � � � 0 1 1 1 �� E B x x dx dx E B z j j sk sk sk... ( ,..., , ... ( ) , ..., � 1 1 1 0 �� j sk sk z x x dx dx1 1 1 � � �( , , ... ( ) �� 6 6 2 3 . Ëåììà 5 äîêàçàíà. Asymptotic time distribution of failure-free work of complexes is found from the serviceability moment for all elements of all complex systems. It obtains for the sets of complicate reducible systems, which are linked into a complex, and have a float time, a Markov’s flow of element faults. Individual function of elements service time distribution are intrinsic for these systems too. At that the elements number increase inversely proportional of their fault intension so that a summary load on a service system is bounded above by a value less than one. Demands service discipline is by way of their appearance. 1. Ìàêàðè÷åâ À. Â. Àñèìïòîòè÷åñêèå îöåíêè ïåðèîäà ðåãåíåðàöèè êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì ïðè ðàçëè÷íûõ äèñöèïëèíàõ îáñëóæèâàíèÿ//Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2003. — 25, ¹ 2. — Ñ. 83—97. 2. Êëèìîâ Ã. Ï. Ñòîõàñòè÷åñêèå ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ. — M. : Íàóêà, 1967. — 244 ñ. 3. Êîêñ Ä., Ñìèò Â. Òåîðèÿ âîññòàíîâëåíèÿ. — Ì. : Ñîâ. ðàäèî, 1967. — 299 ñ. Ïîñòóïèëà 23.06.06 ÌÀÊÀÐÈ×ÅÂ Àëåêñàíäð Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû âûñøåé ìàòå- ìàòèêè Õàðüêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àâòîìîáèëüíî-äîðîæíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòå- òà. Â 1981 ã. îêîí÷èë Ìîñêîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà è èõ ïðèìåíåíèå, òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæè- âàíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ íàäåæíîñòè, òåîðèÿ îïòèìèçàöèè õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ðàñøèðÿþùèåñÿ êîìïëåêñû ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì. Íàäåæíîñòü öèêëè÷åñêèõ ñîåäèíåíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2007 Ò. 29. ¹ 5 73

Надежность циклических соединений в комплекс сложных восстанавливаемых систем с временным резервом. I

Institution

Similar Items