О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие

О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие

Предложен метод расчета справедливой цены валютообменных опционов в модели рынка, описывающей кросс-курс валют суммой чисто разрывного случайного процесса и модифицированного процесса Орштейна – Уленбека. Запропоновано метод розрахунку справедливої ціни валютообмінних опціонів у моделі ринку, яка оп...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Теорія оптимальних рішень
Datum:2015
Hauptverfasser: Дериева, Е.Н., Кнопов, А.П.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112389
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузией / Е.Н. Дериева, А.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — С. 3-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-112389
record_format dspace
spelling Дериева, Е.Н.
Кнопов, А.П.
2017-01-20T21:03:39Z
2017-01-20T21:03:39Z
2015
О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузией / Е.Н. Дериева, А.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — С. 3-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
XXXX-0013
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112389
519.21
Предложен метод расчета справедливой цены валютообменных опционов в модели рынка, описывающей кросс-курс валют суммой чисто разрывного случайного процесса и модифицированного процесса Орштейна – Уленбека.
Запропоновано метод розрахунку справедливої ціни валютообмінних опціонів у моделі ринку, яка описує крос-курс валют за допомогою суми чисто розривного процесу та модифікованого процесу Орштейна – Уленбека.
We consider the model of financial market with asset price is governed by the sum of pure jamps process and modified Orstein-Uhlenbeck process and propose pricing scheme for foreign exchange option.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Теорія оптимальних рішень
О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие
Про розрахунок вартості валютообмінних опціонів у моделях із скачкообразною дифузією
Pricing foreign exchange option under jump-diffusion
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие
spellingShingle О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие
Дериева, Е.Н.
Кнопов, А.П.
title_short О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие
title_full О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие
title_fullStr О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие
title_full_unstemmed О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие
title_sort о расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузие
author Дериева, Е.Н.
Кнопов, А.П.
author_facet Дериева, Е.Н.
Кнопов, А.П.
publishDate 2015
language Russian
container_title Теорія оптимальних рішень
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Про розрахунок вартості валютообмінних опціонів у моделях із скачкообразною дифузією
Pricing foreign exchange option under jump-diffusion
description Предложен метод расчета справедливой цены валютообменных опционов в модели рынка, описывающей кросс-курс валют суммой чисто разрывного случайного процесса и модифицированного процесса Орштейна – Уленбека. Запропоновано метод розрахунку справедливої ціни валютообмінних опціонів у моделі ринку, яка описує крос-курс валют за допомогою суми чисто розривного процесу та модифікованого процесу Орштейна – Уленбека. We consider the model of financial market with asset price is governed by the sum of pure jamps process and modified Orstein-Uhlenbeck process and propose pricing scheme for foreign exchange option.
issn XXXX-0013
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/112389
citation_txt О расчете стоимости валютообменных опционов в моделях со скачкообразной диффузией / Е.Н. Дериева, А.П. Кнопов // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2015. — № 2015. — С. 3-9. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT derievaen orasčetestoimostivalûtoobmennyhopcionovvmodelâhsoskačkoobraznoidiffuzie
AT knopovap orasčetestoimostivalûtoobmennyhopcionovvmodelâhsoskačkoobraznoidiffuzie
AT derievaen prorozrahunokvartostívalûtoobmínnihopcíonívumodelâhízskačkoobraznoûdifuzíêû
AT knopovap prorozrahunokvartostívalûtoobmínnihopcíonívumodelâhízskačkoobraznoûdifuzíêû
AT derievaen pricingforeignexchangeoptionunderjumpdiffusion
AT knopovap pricingforeignexchangeoptionunderjumpdiffusion
first_indexed 2025-11-24T15:46:14Z
last_indexed 2025-11-24T15:46:14Z
_version_ 1850848574301011968
fulltext Теорія оптимальних рішень. 2015 3 ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ Предложен метод расчета спра- ведливой цены валютообменных опционов в модели рынка, описы- вающей кросс-курс валют суммой чисто разрывного случайного процесса и модифицированного процесса Орштейна – Уленбека.  Е.Е. Дериева, А.П. Кнопов, 2015 УДК 519.21 Е.Н. ДЕРИЕВА, А.П. КНОПОВ О РАСЧЕТЕ СТОИМОСТИ ВАЛЮТООБМЕННЫХ ОПЦИОНОВ В МОДЕЛЯХ СО СКАЧКООБРАЗНОЙ ДИФФУЗИЕЙ Введение. Валютообменные опционы явля- ются широко распространенным деривати- вом для эффективного управления рисками валютообменных операций. Первые оценки опционов такого типа были сделаны для мо- дели Блэка – Шоулса [1, 2], в которой пред- полагается, что волатильность рынка описы- вается броуновским движением. Значительно лучше финансовые процессы описывает мо- дель финансового рынка под управлением дробного броуновского движения [3, 4], по- скольку обладает свойством долговременной памяти, и модель с использованием процес- сов Орштейна – Уленбека [5]. Все эти моде- ли предполагают непрерывное изменение цен акций, хотя на самом деле, например, под действием неэкономических факторов, они могут меняться скачкообразно. В данной работе исследуется модель рын- ка, в которой динамика стоимости активов описывается с помощью суммы чисто раз- рывного процесса и процессов Орштейна – Уленбека, характеризующихся возвратом к среднему. Аналогичная задача расчета валю- тообменного опциона в модели дробной диффузии с дополнительными скачками бы- ла предложена Л. Ченом [6]. Задача расчета стоимости валютооб- менного опциона. Пусть  Pt ,,,  – ве- роятностное пространство с потоком σ-алгебр. Обозначим  , 0d tV V t  случай- ный процесс, описывающий стоимость внут- реннего бонда и  , 0f tV V t  – внешнего бонда. Е.Н. ДЕРИЕВА, А.П. КНОПОВ 4 Теорія оптимальних рішень. 2015 Данные процессы удовлетворяют следующим уравнениям: ,d d d t t tdV r V dt 1,d TV  (1) ,f f f t t tdV r V dt , 1,f TV  (2) где ,d tr f tr – процентные ставки соответственно для внутренней и иностранной валют. Легко видеть, что exp , T d d t t t V r dt         exp . T f f t t t V r dt         Предположим,  ],0[, TtSS t  процесс, описывающий динамику курса обмена валют на интервале времени [0, ]t T , тогда ожидаемый возврат инве- стиций равен   0 ln S SE T . В общем случае стоимость европейского валютообмен- ного опциона колл с ценой исполнения K и временем исполнения T дается формулой 0 0( , ) ,f d TC K T E S V KV      а стоимость соответствующего опциона пут – формулой     f T d VSKVETKP 00),( . Используем подход к оцениванию опционов, предложенный в 1998 г. М. Бладтом и Т. Ридберг [7]. В отличие от традиционных инструментов, осно- ванных на теории мартингалов [2, 5, 8], он не требует каких-либо ограничений на модель финансового рынка (полнота, безарбитражность). Расчет стоимости валютообменного опциона для модели рынка с мо- дифицированным процессом Орштейна – Уленбека. Пусть на вероятностном пространстве  Pt ,,,  задан винеровский процесс  , , 0t tW W t   . Процесс Орштейна – Уленбека определяется как решение стохастического дифференциального уравнения ,t t tdX aX dt dW    0 0 ,X x где 0a  и 0.  Это уравнение имеет решение 0 0 , t at at as t sX x e e e dW     являющееся марковским гауссовским процессом. В дальнейшем будем считать 0 1.x  Процесс Орштейна – Уленбека имеет следующие важные характеристики:   0,at tE X e  t  и   2 2 2 1 , 2 2 at t e Var X a a      .t  О РАСЧЕТЕ СТОИМОСТИ ВАЛЮТООБМЕННЫХ ОПЦИОНОВ ... Теорія оптимальних рішень. 2015 5 Поскольку среднее и вариация асимптотически стабильны, процесс можно использовать для моделирования финансовых активов, а чтобы избежать отри- цательных значений, удобнее использовать геометрический процесс Орштейна – Уленбека .tX e Будем предполагать, что процесс, описывающий динамику курса обмена валют, имеет вид 0 ,tY tS S e (3) а tY – сумма модифицированного процесса Орштейна – Уленбека и чисто раз- рывного процесса: 10 , t t Q t t as t s k k Y e e e dW J       (4) где tQ – случайное число скачков курса валют за период времени [0, ]t , процесс Пуассона с параметром , а случайные величины kJ – одинаково распределены с 2 2, . 2 J JN        Будем считать, что , ,t t kW Q J – независимы. Теорема 1. Пусть стоимость бондов внутренней и внешней валюты описы- вается уравнениями (1) и (2), а кросс-курс – уравнениями (3) и (4). Тогда спра- ведливая цена европейского валютообменного опциона на покупку (option call) с ценой исполнения K и временем исполнения T равна: ( , )C K T  = 3 2 2 0 0 2 0 1 0 ( ) 1 exp ( 1) ( ) ( ) , ! 4 T k f T aT n d n k e T V S e e d KV d k a                    (5) а справедливая цена европейского валютообменного опциона на продажу (option put) с ценой исполнения K и временем исполнения T равна: ),( TKP = 3 2 2 0 1 0 0 2 0 ( ) 1 ( ) exp ( 1) ( ) , ! 4 T k d n f T aT n k e T KV d V S e e d k a                      (6) где   0 0 0 1 2 2 2 2 ln 1 1 2 f T d n T aT J S V e KV d e e n a              , Е.Н. ДЕРИЕВА, А.П. КНОПОВ 6 Теорія оптимальних рішень. 2015     2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 n T T aTJ J n T aT J n d e e e n ad e e n a                   и имеет место равенство: fd VSTKPKVTKC 000 ),(),(  . (7) Доказательство. Сначала рассчитаем стоимость опциона колл.  0 0 0( , ) TY f dC K T E S e V KV       =  0 0 0 0 0 0 ,T TY Yf d f d A A AE S e V KV I E S e V I E KV I             где   0 0 0 0 0 0 ln ,T d Y f d T f KV A S e V KV Y S V               1, , ( ) 0, . A A I A      Поскольку процессы , ,t t kW Q J – независимы, случайная величина 10 T n T T as n s k k e e e dW J        является гауссовской со средним и дисперсией соответственно:   2 , 2 T J n n n m E e         2 2 2 2 21 1 . 2 T aT n n JVar e e n a          Очевидно,  0 1 0 0 ln , d n n nf KV d S V                 где .n n n n m     Вычислим математические ожидания по отдельности. 0 0 0 ( ) / ! T n d d A A T n e T E KV I E KV I Q n n                1 0 0 0 0 ( ) ( ) / ! ! n n T n T n d d A T d n n e T e T KV E I Q n KV E I n n                    0 1 0 ( ) ( ), ! T n d n n e T KV d n      0 0 0 0 0 ( ) / ! T T T n Y Yf f A A T n e T E S e V I E S e V I Q n n              1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) / ! ! T T n n T n T n Y Yf f A T d n n e T e T V E S e I Q n V S E e I n n                      О РАСЧЕТЕ СТОИМОСТИ ВАЛЮТООБМЕННЫХ ОПЦИОНОВ ... Теорія оптимальних рішень. 2015 7 1 2 0 0 2 0 ( ) 1 ( ) exp ! 22n T n f x n n nnd e T x m V S e dx n                 2 2 1 0 0 0 ( ) exp 1 ! 2 T n n f n n n n n n e T d m V S m n                            2 2 2 0 0 2 0 ( ) 1 exp 1 . ! 4 T n f T T aT n n e T V S e e e d n a                 Аналогично ),( TKP      2 2 2 0 1 0 0 2 0 ( ) 1 ( ) 1 . ! 4 T n d n f T T aT n n e T KV d V S xp e e e d n a                     Таким образом,  0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( , ) ( , ) . ! T n f d f d n e T C K T P K T V S KV V S KV n         ■ Расчет стоимости валютообменного опциона для модели рынка с мо- дифицированным дробным процессом Орштейна – Уленбека. Переходим к более общему случаю, заменив в вышеописанной модели винеровский процесс на дробное броуновское движение. Дробное броуновское движение  , , 0H H t tB B t   с параметром Херста (0,1)H – это заданный на вероятностном пространстве  P,, гауссов- ский случайный процесс с 0H tE B    , 0,t  и H H t sE B B     22 21 , 2 HH Ht s t s    0, st . Далее будем считать 2/1H . Дробный процесс Орштейна – Уленбека определяется как: 0 0 , t H t t as H t sX x e e e dB     а сходимость интеграла следует из [2, 8]. Случайный процесс H tX – решение стохастического дифференциального уравнения: ( ) ,H H a t H t t tdX X dt e dB    и в момент времени T имеет среднее и дисперсию соответственно ,H T Tm E X e    2 22 2 ( ) 0 0 (2 1) . T T HH T a s u TVar X H H e e s u dsdu            (8) Е.Н. ДЕРИЕВА, А.П. КНОПОВ 8 Теорія оптимальних рішень. 2015 Пусть ,t kQ J такие же как в предыдущей задаче, , ,H t t kB Q J – независимы, а процесс, описывающий кросс-курс валют, имеет вид 0 ,tZ tS S e (9) 10 . t t Q t t as H t s k k Z e e e dB J       (10) Теорема 2. Пусть стоимость бондов внутренней и внешней валюты опи- сывается уравнениями (1) и (2), а кросс-курс – уравнениями (9) и (10). Тогда стоимость европейского валютообменного опциона колл с ценой исполнения K и временем исполнения T равна ),( TKC 2 0 0 2 0 1 0 ( ) exp ( ) ( ) , ! 2 T k f T n d n k e T V S e d KV d k                  ),( TKP 2 0 1 0 0 2 0 ( ) ( ) exp ( ) , ! 2 T k d n f T n k e T KV d V S e d k                    0 0 0 1 2 2 ln , f T d n J S V e KV d n          2 2 2 1 2 2 2 2 . n T J J n J n d e n d n             Доказательство проводится аналогично доказательству предыдущего утверждения, достаточно только заметить, что математическое ожидание для 10 T n T T as H n s k k e e e dB J        равно 2 , 2 T J n n n m E e        а дисперсия 2 2 2 ,n n JVar n         где 2 определена в соотношении (8). ■ Заключение. В работе выведены точные формулы для расчета валюто- обменных опционов европейского типа (с точной датой погашения) для обоб- щенной модели рынка, учитывающей скачкообразные изменения кросс-курса под воздействием неэкономических факторов, для полных и неполных рынков. О.М. Дерієва, О.П. Кнопов ПРО РОЗРАХУНОК ВАРТОСТІ ВАЛЮТООБМІННИХ ОПЦІОНІВ У МОДЕЛЯХ ІЗ СКАЧКООБРАЗНОЮ ДИФУЗІЄЮ Запропоновано метод розрахунку справедливої ціни валютообмінних опціонів у моделі рин- ку, яка описує крос-курс валют за допомогою суми чисто розривного процесу та модифікова- ного процесу Орштейна – Уленбека. О РАСЧЕТЕ СТОИМОСТИ ВАЛЮТООБМЕННЫХ ОПЦИОНОВ ... Теорія оптимальних рішень. 2015 9 O.M. Deriyeva, O.P. Knopov PRICING FOREIGN EXCHANGE OPTION UNDER JUMP-DIFFUSION We consider the model of financial market with asset price is governed by the sum of pure jamps process and modified Orstein-Uhlenbeck process and propose pricing scheme for foreign exchange option. 1. Mamon R. Three ways to solve for bond prices in the Vasicek model // Appl. Math. Decis. Sci. – 2004. – 8(1). –– P. 1 – 14. 2. Norros I., Valkeila A., Irtamo J. An elementary approach to a Girsanov formula and other ana- lytical results on fractional Brownian motions // Bernoulli. – 1999. – 5(4) – P. 571 – 587. 3. Cheredito P., Kawaguchi H., Maejima M. Fractional Ornstein-Uhlenbeck processes // Electron- ic Journal of Probability. – 2003. – 8(3). – P. 1 – 14. 4. Cheredito P. Arbitrage in fractional Brownian motion models // Finance and Stochastics. – 2003. – 7(4). – P. 533 – 553. 5. Mishura Yu., Rizhniak G., Zubchenko V. European call option issued on a bond governed by a geometric or a fractional geometric Ornstein-Uhlenbeck process // Modern Stochastics: Theory and Applications 1. – 2014. – P. 95 – 108. 6. Chen Li. Pricing Foreign Exchange Option Under Fractional Jump-Diffusions // Progress in Applied Mathematics. – 2013. – 5(2). – P. 48 – 54. 7. Bladt M.T., Rydberg H. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumption // Insurance: Mathematics and Economics. – 1998. – 22(1). – P. 65 – 73. 8. Duncan T.E., Hu Y., & Duncan B.P. Stochastic calculus for factional Brownian motion I // Theory. SIAM Journal on Control and Optimization. – 2000. – 38(2).– P. 582 – 612. Получено 02.12.2014

Ähnliche Einträge