Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером

Предложена нелинейная математическая модель колебаний топлива в трубопроводе с нелинейным газожидкостным демпфером. Газожидкостный демпфер является сосредоточенным упругим элементом с малой жёсткостью. На основании полученной модели исследованы нелинейные колебания системы. Предложенная методика поз...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Филипковский, С.В., Аврамов, К.В., Пирог, В.А., Тонконоженко, А.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут гідромеханіки НАН України 2014
Schriftenreihe:	Прикладна гідромеханіка
Schlagworte:	Науковi статтi
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116477
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером / С.В. Филипковский, К.В. Аврамов, В.А. Пирог, А.М. Тонконоженко // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 2. — С. 76-83. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116477
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1164772025-02-23T17:05:32Z Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером Нелінійні повздовжні коливання палива в трубопроводі ракети с газорідинним демпфером Nonlinear longitudinal oscillations of fuel in the pipeline of liquid rocket engine with a gas-liquid damper Филипковский, С.В. Аврамов, К.В. Пирог, В.А. Тонконоженко, А.М. Науковi статтi Предложена нелинейная математическая модель колебаний топлива в трубопроводе с нелинейным газожидкостным демпфером. Газожидкостный демпфер является сосредоточенным упругим элементом с малой жёсткостью. На основании полученной модели исследованы нелинейные колебания системы. Предложенная методика позволит уточнить расчеты колебаний жидкости в трубопроводах с газожидкостным демпфером. Запропоновано нелінійну математичну модель коливань палива в трубопроводі з нелінійним газорідинним демпфером. Газорідинний демпфер є зосередженим пружним елементом з малою жорсткістю. На підставі отриманої моделі досліджені нелінійні коливання системи. Запропонована методика дозволить уточнити розрахунки коливань рідини в трубопроводах з газорідинним демпфером. The nonlinear mathematical model of fuel fluctuations in the pipeline with a nonlinear gas-liquid damper is offered. The gas-liquid damper is the concentrated elastic element with small rigidity. On the basis of the received model nonlinear fluctuations of system are investigated. The offered technique will allow specify calculations of liquid fluctuations in pipeline with a gas-liquid damper. 2014 Article Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером / С.В. Филипковский, К.В. Аврамов, В.А. Пирог, А.М. Тонконоженко // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 2. — С. 76-83. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116477 629.76/.78.001.67 ru Прикладна гідромеханіка application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Науковi статтi Науковi статтi
spellingShingle	Науковi статтi Науковi статтi Филипковский, С.В. Аврамов, К.В. Пирог, В.А. Тонконоженко, А.М. Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером Прикладна гідромеханіка
description	Предложена нелинейная математическая модель колебаний топлива в трубопроводе с нелинейным газожидкостным демпфером. Газожидкостный демпфер является сосредоточенным упругим элементом с малой жёсткостью. На основании полученной модели исследованы нелинейные колебания системы. Предложенная методика позволит уточнить расчеты колебаний жидкости в трубопроводах с газожидкостным демпфером.
format	Article
author	Филипковский, С.В. Аврамов, К.В. Пирог, В.А. Тонконоженко, А.М.
author_facet	Филипковский, С.В. Аврамов, К.В. Пирог, В.А. Тонконоженко, А.М.
author_sort	Филипковский, С.В.
title	Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером
title_short	Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером
title_full	Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером
title_fullStr	Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером
title_full_unstemmed	Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером
title_sort	нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Науковi статтi
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116477
citation_txt	Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером / С.В. Филипковский, К.В. Аврамов, В.А. Пирог, А.М. Тонконоженко // Прикладна гідромеханіка. — 2014. — Т. 16, № 2. — С. 76-83. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Прикладна гідромеханіка
work_keys_str_mv	AT filipkovskijsv nelinejnyeprodolʹnyekolebaniâtoplivavtruboprovoderaketysgazožidkostnymdempferom AT avramovkv nelinejnyeprodolʹnyekolebaniâtoplivavtruboprovoderaketysgazožidkostnymdempferom AT pirogva nelinejnyeprodolʹnyekolebaniâtoplivavtruboprovoderaketysgazožidkostnymdempferom AT tonkonoženkoam nelinejnyeprodolʹnyekolebaniâtoplivavtruboprovoderaketysgazožidkostnymdempferom AT filipkovskijsv nelíníjnípovzdovžníkolivannâpalivavtruboprovodíraketisgazorídinnimdempferom AT avramovkv nelíníjnípovzdovžníkolivannâpalivavtruboprovodíraketisgazorídinnimdempferom AT pirogva nelíníjnípovzdovžníkolivannâpalivavtruboprovodíraketisgazorídinnimdempferom AT tonkonoženkoam nelíníjnípovzdovžníkolivannâpalivavtruboprovodíraketisgazorídinnimdempferom AT filipkovskijsv nonlinearlongitudinaloscillationsoffuelinthepipelineofliquidrocketenginewithagasliquiddamper AT avramovkv nonlinearlongitudinaloscillationsoffuelinthepipelineofliquidrocketenginewithagasliquiddamper AT pirogva nonlinearlongitudinaloscillationsoffuelinthepipelineofliquidrocketenginewithagasliquiddamper AT tonkonoženkoam nonlinearlongitudinaloscillationsoffuelinthepipelineofliquidrocketenginewithagasliquiddamper
first_indexed	2025-11-24T02:22:09Z
last_indexed	2025-11-24T02:22:09Z
_version_	1849636609715077120
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 2. С. 76 – 83 УДК 629.76/.78.001.67 НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОПЛИВА В ТРУБОПРОВОДЕ РАКЕТЫ С ГАЗОЖИДКОСТНЫМ ДЕМПФЕРОМ С. В. ФИ Л И П К ОВ CК И Й∗, К. В. А В РА МО В∗, В. А. П И Р ОГ∗∗, А. М. ТО Н К ОН О Ж ЕН К О∗∗ ∗ Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков 61046, Харьков, ул.Д.Пожарского, 2/10 ∗∗ Конструкторское бюро “Южное” им. М.К. Янгеля, Днепропетровск kvavr@kharkov.ua Получено 19.10.2013 Предложена нелинейная математическая модель колебаний топлива в трубопроводе с нелинейным газожидкостным демпфером. Газожидкостный демпфер является сосредоточенным упругим элементом с малой жёсткостью. На осно- вании полученной модели исследованы нелинейные колебания системы. Предложенная методика позволит уточнить расчеты колебаний жидкости в трубопроводах с газожидкостным демпфером. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: трубопровод, газожидкостный демпфер, нелинейные колебания, скелетная кривая, амплитудно-частотная характеристика Запропоновано нелiнiйну математичну модель коливань палива в трубопроводi з нелiнiйним газорiдинним демпфе- ром. Газорiдинний демпфер є зосередженим пружним елементом з малою жорсткiстю. На пiдставi отриманої моделi дослiдженi нелiнiйнi коливання системи. Запропонована методика дозволить уточнити розрахунки коливань рiдини в трубопроводах з газорiдинним демпфером. КЛЮЧОВI СЛОВА: трубопровiд, газорiдинний демпфер, нелiнiйнi коливання, кiстякова крива, амплiтудно- частотна характеристика The nonlinear mathematical model of fuel fluctuations in the pipeline with a nonlinear gas-liquid damper is offered. The gas-liquid damper is the concentrated elastic element with small rigidity. On the basis of the received model nonlinear fluctuations of system are investigated. The offered technique will allow specify calculations of liquid fluctuations in pipeline with a gas-liquid damper. KEY WORDS: pipeline, gas-liquid damper, nonlinear oscillation, skeletal curve, amplitude-frequency characteristic ВВЕДЕНИЕ В топливной системе жидкостной ракеты бак окислителя обычно расположен над баком горю- чего. Длина трубопровода окислителя такова, что частота продольных колебаний жидкости в нём может приблизиться к собственной частоте про- дольных колебаний корпуса ракеты. В этом слу- чае резонансные колебания топлива в трубопрово- де могут привести к потере работоспособности ра- кеты. Для снижения первой собственной частоты колебаний жидкости применяют устройство, на- зываемое газожидкостным демпфером [1]. Теоретические основы проектирования и кон- струкции гидравлических агрегатов летательных аппаратов рассмотрены в книге [2]. В моногра- фии [1] изложена методика анализа колебаний то- пливных баков с жидкостью и динамических ха- рактеристик упруго подвешенных топливных ма- гистралей. В [3] исследованы автоколебания, во- зникающие в результате взаимодействия движе- ний корпуса ракеты с колебаниями двигательной установки. В статье [4] приведен обзор основных ре- зультатов исследований в области динамики жидкостных ракетных двигательных установок и продольной устойчивости жидкостных ракет- носителей, которые во всех случаях получены на основе линейной теории. В то же время, примене- ние нелинейной теории даёт возможность рассчи- тать новые режимы, которые могут возникнуть в полёте. Так, в [5] исследованы бифуркационные режимы поведения трубопровода и показано су- ществование альтернативных положений динами- ческого равновесия трубопровода с протекающей жидкостью. В статье [6] предложена методика выбора пара- метров демпфера колебаний, основанная на опре- делении первой собственной частоты трубопрово- 76 c© С. В. Филипковский, К. В. Аврамов, В. А. Пирог, А. М. Тонконоженко, 2014 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 2. С. 76 – 83 да с демпфером по формулам для системы с одной степенью свободы. В представленной выше литературе использо- ваны линеаризованные модели динамики топлив- ных магистралей и агрегатов. Газожидкостный демпфер, который является основным элементом гашения колебаний, обладает нелинейными свой- ствами. В этой статье предложена нелинейная математическая модель колебаний окислителя в трубопроводе с нелинейным газожидкостным дем- пфером. На основании полученной модели иссле- дованы нелинейные колебания системы. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ Схема топливоподающего тракта с демпфером представлена на рис. 1. Из бака 1 по трубопро- воду 2, на конце которого установлен газожидко- стный демпфер колебаний 3, топливо подаётся в шнекоцентробежный насос турбонасосного агрега- та (ТНА) 4. Рис. 1. Схема трубопровода окислителя Рассмотрим математическую модель колебаний топлива. Скорость течения жидкости мала по сравнению со скоростью звука в трубе. Жид- кость считаем сжимаемой, а стенки труб упруги- ми. Динамика жидкости в трубопроводе описыва- ется уравнением Эйлера и уравнением неразрыв- ности, которые при принятых допущениях имеют следующий вид [2]: − ∂p ∂x = ρ ∂v ∂t , − ∂p ∂t = c2 0ρ ∂v ∂x , (1) где p, v – давление и скорость жидкости; x – осевая координата трубопровода; t – время; ρ – плотность жидкости; F – площадь поперечного сечения тру- бопровода; c0 – скорость звука в круглой дефор- мируемой трубе. Газожидкостный демпфер описывается сосредо- точенным упругим элементом с малой жeстко- стью [3]. Он представляет собой (рис. 2) полость 1, верхняя часть которой заполнена инертным га- зом 2. При колебаниях давления в трубопроводе 3 жидкость 4 перетекает через отверстия 5 в полость и обратно, при этом газ выполняет функцию упру- гого элемента с малой жeсткостью. Количество га- за в полости регулируется подачей через клапан 6 и сбросом через клапан 7. Рис. 2. Схема газожидкостного демпфера Математическая модель газожидкостного дем- пфера основана на допущении, что сжимаемостью жидкости по сравнению со сжимаемостью газа можно пренебречь [1]. В этом случае изменение объёма газа в демпфере описывается так: dVT dt = −F (vT3 − vT2) , (2) С. В. Филипковский, К. В. Аврамов, В. А. Пирог, А. М. Тонконоженко 77 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 2. С. 76 – 83 где VT – объем газа в демпфере; vT2, vT3 – скоро- сти на входе и выходе из демпфера. Скорость жид- кости в трубопроводе складывается из постоянной составляющей и колебаний, описываемых уравне- ниями (1). Тогда vT2 = v0 + v2, vT3 = v0 + v3; где v0 – постоянная составляющая скорости; v2, v3 – колебания скорости. Полагаем, что газ сжимается и расширяется адиабатически: p0 pT = ( VT V0 )γ , (3) где p0 – постоянная составляющая давления; V0 – начальный объем газа в демпфере; pT – текущее давление; γ – показатель адиабаты. Продиффе- ренцируем уравнение (3) по времени и получим: dVT dt = V0 γp0 ( 1 + p p0 )χ ∂pT ∂t , (4) где pT = p0 + p; p – колебания давления; χ = = −(1 + γ)/γ. Соотношение (4) введем в (2) и произведем ра- зложение в ряд Тейлора, учитывая, что \|p/p0\| < 1. В результате придём к следующему уравнению: v3 − v2 = −V0 F γ p0 [ 1 + χ p p0 + + χ (χ − 1) 2 p2 p2 0 + ... ] ∂p ∂t . (5) Полагаем, что ТНА работает с постоянной прои- зводительностью и отсутствуют колебания расхо- да жидкости на выходе из демпфера. Сохраним в разложении (5) члены включительно до третьей степени p/p0. Продифференцировав (5) по време- ни и подставив в первое уравнение (1), получим граничное условие на конце трубы с демпфером: ∂p ∂x ∣ ∣ ∣ ∣ x=L + V0 Fγp0 ∂ ∂t {[ 1 + χ p p0 + + χ(χ − 1) 2 p2 p2 0 ] ∂p ∂t }∣ ∣ ∣ ∣ x=L = 0. (6) В дальнейшем исследовании используем безра- змерные параметры σ = p/p0, κ = x/L, τ = tc0/L, $ = ωL/c0; где L – длина трубы. Тогда уравне- ния (1) и (6) в безразмерных параметрах прини- мают следующий вид: σ̈ − σ′′ = 0, (7) [σ′ + A1σ̈ + A2(σ̇ 2 + σσ̈)+ +A3(2σσ̇2 + σ2σ̈) ] κ=1 = 0, (8) где A1 = ρV0c 2 0 γFp0L , A2 = ρχV0c 2 0 γFp0L , A3 = ρχ(χ − 1)V0c 2 0 2γFp0L , σ̇ = ∂σ ∂τ , σ′ = ∂σ ∂κ . При номинальном режиме полёта ракеты в баке поддерживается заданное давление наддува. То- гда на конце трубы, соединённом с баком, гранич- ное условие принимает вид, не зависящий явно от времени σ\|κ=0 = 0. Решаемая задача описывае- тся линейными уравнениями в частных произво- дных (7) и нелинейными граничными условия- ми (8). 2. УРАВНЕНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Для решения уравнения колебаний с нелиней- ным граничным условием (7), (8) используем ме- тод взвешенных невязок [7], который выражается следующими соотношениями: ∫ Ω WiRΩdΩ + ∫ Γ W iRΓdΓ = 0, (9) где RΩ – оператор дифференциального уравне- ния (7); RΓ – оператор граничного условия (8); Ω – область, в которой выполняются уравнения (7); Γ – граница области, на которой выполняются условия (8); Wi и W i – весовые функции в области и на границе. Давление в трубе аппроксимируем следующим выражением: σ(κ, τ ) = N ∑ i=1 αi(τ ) sin($iκ), (10) где αi(τ ) – обобщённые координаты системы; $i – собственные частоты колебаний жидкости в тру- бопроводе с линеаризованными граничными усло- виями. Для определения оставим только первые члены рядов (5) и (10). В результате получим трансцендентное уравнение относительно частоты колебаний: cos $ = A1$ sin $. (11) 78 С. В. Филипковский, К. В. Аврамов, В. А. Пирог, А. М. Тонконоженко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 2. С. 76 – 83 Разложение (10) введём в уравнение (9). В ре- зультате получим нелинейную динамическую сис- тему с N степенями свободы: α̈i = N ∑ j=1 di,jαj + N ∑ m=1 N ∑ n=1 di,m,nα̇mα̇n+ + N ∑ m=1 N ∑ n=1 d̃i,m,nαmα̈n+ + N ∑ k=1 N ∑ m=1 N ∑ n=1 _ di,k,m,nαkα̇mα̇n+ + N ∑ k=1 N ∑ m=1 N ∑ n=1 ^ di,k,m,nαkαmα̈n, (12) где di,j, di,m,n, d̃i,m,n, _ di,k,m,n, ^ di,k,m,n – коэффици- енты, зависящие от параметров системы. Нелиней- ную динамическую систему (12) разрешим относи- тельно вторых производных α̈i. В результате полу- чим динамическую систему, которую представим в следующем общем виде: α̈i = Φi(αm, υk), (i, m, k) = 1, N, (13) где Φi – полиномы, содержащие первые, вторые и третьи степени обобщённых координат и их скоро- стей; υk = α̇k – обобщённые скорости. 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ Исследуем нелинейные колебания давления, ко- торые описываются динамической системой (12). Для этого воспользуемся методом нелинейных нормальных форм (ННФ) [8]. Следуя методу ННФ, все фазовые координаты выражаем через одну пару координат [8]. В каче- стве независимой пары фазовых координат выбе- рем обобщённую координату α = α1 и обобщённую скорость υ = υ1 = α̇1. Представим ННФ в следу- ющем виде: αn(α, υ) = ϑn,1α + ϑn,2υ + ϑn,3α 2+ +ϑn,4αυ + ϑn,5υ 2 + ϑn,6α 3+ +ϑn,7α 2υ + ϑn,8αυ2 + ϑn,9υ 3 , υn(α, υ) = ϑN+n,1α + ϑN+n,2υ + ϑN+n,3α 2+ +ϑN+n,4αυ + ϑN+n,5υ 2 + ϑN+n,6α 3+ +ϑN+n,7α 2υ + ϑN+n,8αυ2 + ϑN+n,9υ 3, (14) где n = 2, N – номера обобщённых координат. То- гда ННФ описывается следующей системой урав- нений в частных производных [8]: υn(α, υ) = ∂αn(α, υ) ∂α + + ∂αn(α, υ) ∂υ Φ1 [αm(α, υ), υk(α, υ)] , Φn [αm(α, υ), υk(α, υ)] = ∂υn(α, υ) ∂α α+ + ∂υn(α, υ) ∂υ Φ1 [αm(α, υ), υk(α, υ)] . (15) Приравняв коэффициенты при одинаковых сте- пенях αmυn и сохранив слагаемые со степенями m + n = 1, 3, получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов ϑn,m; n = 2, N, N + 2, 2N ; m = 1, 9. Коэффициенты при пер- вых степенях α и υ в уравнениях (15) являются квадратными членами относительно ϑn,1 и ϑn,2. Приравняв коэффициенты при α и υ в левых и правых частях (15), получим систему квадратных алгебраических уравнений относительно ϑn,1 и ϑn,2. Решение этой системы содержит три действи- тельных корня, которые соответствуют формам колебаний линеаризованной системы (15). Подста- вив каждое из этих решений в выражения для ко- эффициентов при квадратных произведениях α и υ (17), получим три системы линейных уравнений для определения ϑn,m, m = 3, 5. Аналогично опре- делим коэффициенты ϑn,m, m = 6, 9 при кубиче- ских произведениях α и υ. В результате решения этих систем линейных алгебраических уравнений получим приближенное представление ННФ (14). Теперь исследуем движение по ННФ. Для этого ННФ (14) введем в 1-е уравнение системы (12). В результате для каждой ННФ получим одно обыкновенное дифференциальное уравнение, опи- сывающее движение по ней: α̈ + B1α̇ + B2α + B3α 2 + B4αα̇ + B5α̇ 2+ +B6α 3 + B7α 2α̇ + B8αα̇2 + B9α̇ 3 = 0, (16) где Bm, m = 1, 9 – известные коэффициенты. 4. УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ Колебания корпуса ракеты в полёте сопрово- ждаются периодическим движением днища бака. Силы инерции прилегающей к днищу жидкости С. В. Филипковский, К. В. Аврамов, В. А. Пирог, А. М. Тонконоженко 79 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 2. С. 76 – 83 создают колебания давления на входе в трубопро- вод [3]. Тогда давление на входе в трубопровод яв- ляется периодической функцией времени, что опи- сывается следующим граничным условием: p\|x=0 = pB sin ωt, где pB и ω – амплитуда и частота возмущающего воздействия. Примем такую аппроксимацию дав- ления в трубе: σ(κ, τ ) = N ∑ i=1 [α2i−1(τ ) sin $iκ+ +α2i(τ ) cos $iκ] , (17) где αj(τ ), j = 1, 2N – обобщенные координаты сис- темы. В качестве весовых функций метода взве- шенных невязок, который описывается соотноше- нием (9), возьмем W2i−1 = sin$iκ, W2i = cos $iκ. (18) Подставив (17) в (7) и (8), получим соответ- ственно RΩ и RΓ. Подставив эти результаты вме- сте с (17) в (9), получим систему обыкновен- ных дифференциальных уравнений, описываю- щую вынужденные колебания: 2N ∑ k=1 ej,kα̈k + 2N ∑ k=1 ēj,kαk + 2N ∑ m=1 2N ∑ n=1 êj,m,nα̇mα̇n+ + 2N ∑ m=1 2N ∑ n=1 ẽj,m,nαmα̈n+ + 2N ∑ k=1 2N ∑ m=1 2N ∑ n=1 _ e j,k,n,mαkα̇mα̇n+ + 2N ∑ k=1 2N ∑ m=1 2N ∑ n=1 ^ e j,k,m,nαkαmα̈n−zj sin $τ = 0 , (19) где j = 1, 2N – номера уравнений; ej,k, ēj,k, êj,m,n, ẽj,m,n, _ ej,k,m,n, ^ e j,k,m,n – коэффициенты, которые зависят от параметров системы; z2i−1 = 0, z2i = pB/p0. Для исследования вынужденных колебаний в системе (19) воспользуемся методом гармониче- ского баланса [9]. Тогда движение системы пред- ставим так: αj(τ ) = aj sin $τ, где aj – неизвестные коэффициенты. Следуя мето- ду гармонического баланса, получим систему не- линейных алгебраических уравнений для опреде- ления aj в следующем виде: 2N ∑ k=1 gj,kak$2 + 2N ∑ k=1 ḡj,kak+ + 2N ∑ m=1 2N ∑ n=1 ĝj,m,naman$2 + 2N ∑ m=1 2N ∑ n=1 g̃j,m,naman$2+ + 2N ∑ k=1 2N ∑ m=1 2N ∑ n=1 _ g j,k,n,makaman$2+ + 2N ∑ k=1 2N ∑ m=1 2N ∑ n=1 ^ g j,k,m,nakaman − zj = 0 , (20) где gj,k, ḡj,k, ĝj,m,n, g̃j,m,n, _ g j,k,m,n, ^ g j,k,m,n – изве- стные коэффициенты. 5. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ Исследуемый трубопровод имеет следующие па- раметры: L = 12 м; F = 0.126 м2; V0 = 0.04 м3; c0 = 543.26 м/с; ρ = 1128.5 кг/м3; γ = 1.667. При анализе свободных колебаний оставим в ра- зложении (10) три первых слагаемых. Из числен- ного решения уравнения (11) получим первые три частоты свободных колебаний: $1 = 0.27164, $2 = 3.16549, $3 = 6.29520. Эти значения близки к ре- зультатам аналитического решения задачи мето- дом четырёхполюсника [6]. Проводился расчет нелинейной нормальной формы колебаний на основании метода, рассмо- тренного в разделе 3. Для исследования сходи- мости результатов расчета свободных колебаний давления численно исследовались динамические системы (13) с одной, двумя и тремя степенями свободы. В качестве примера на рис. 3 представ- лена проекция численно полученной нелинейной нормальной формы системы (13) с тремя степе- нями свободы на подпространство фазового про- странства (α3, υ, α). Как видно из этого рисунка, нелинейная нормальная форма существенно отли- чается от плоскости, что говорит о значительном вкладе нелинейных слагаемых в уравнения коле- баний (15). Рассмотрим движение по ННФ, которое опи- сывается уравнением (16). Для исследования ди- намики этой системы воспользуемся методом гар- монического баланса [9]. Результаты расчетов представлены на скелетных кривых (рис. 4). Ци- фрой 1 показана скелетная кривая, полученная расчетом динамической системы с одной степенью свободы, а цифрами 2 и 3 показаны расчеты дина- мических систем с двумя и тремя степенями сво- боды соответственно. Как видно из этих расчетов, 80 С. В. Филипковский, К. В. Аврамов, В. А. Пирог, А. М. Тонконоженко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 2. С. 76 – 83 скелетные кривые динамических систем с 2 и 3 степенями свободы чрезвычайно близки, что сви- детельствует о сходимости полученных результа- тов. Подчеркнем, что все скелетные кривые явля- ются мягкими. Рис. 3. Проекция ННФ на подпространство фазового пространства Рис. 4. Скелетные кривые колебаний жидкости в трубопроводе При анализе вынужденных колебаний в разло- жении (17) использовалось различное число сла- гаемых для исследования сходимости. Нами про- водились расчеты при следующем числе слагае- мых в (17): N = 1; N = 2; N = 3. Амплиту- ды возмущающей силы z2i принимались равными 0.1. Систему (20) анализируем методом продолже- ния решений по параметру [10, 11]. На пологих участках АЧХ пошагово меняем параметр $. На крутых участках АЧХ в качестве параметра про- должения выбираем наиболее быстро меняющую- ся амплитуду aj. Неизвестные параметры вычи- сляем итерационной процедурой. Результаты ана- лиза сходимости в области первого основного резо- нанса приводятся на рис. 5. По оси ординат отло- жен безразмерный размах колебаний давления на конце трубопровода (κ = 1): ᾱ = N ∑ i=1 \|a2i−1 sin$i+ +a2i cos$i\|, а по оси абсцисс – частота возмуща- ющей силы. На этом рисунке цифрами 1, 2 и 3 обозначены решения при следующих числах сла- гаемых в разложении (17): N = 1, N = 2, N = 3. Как видно из этого рисунка, ветви 2 и 3 доста- точно близки, поэтому можно сделать вывод, что наблюдается сходимость решения. Рис. 5. Результаты анализа сходимости вынужденных колебаний На рис. 6 представлен участок амплитудно- частотной характеристики в области первого основного резонанса. Устойчивые вынужденные колебания показаны сплошной линией, а неустой- чивые — штриховой линией. Скелетная кривая по- казана штрихпунктирной линией. На этом рисун- ке цифрами 1, 2, 3 обозначены результаты расче- тов при z2i = 0.1; z2i = 0.05; z2i = 0.01. Периодические колебания давления ᾱ раскла- дывались в ряд Фурье. Основной вклад в колеба- ния давления ᾱ, представленные на рис. 6, вносят первые гармоники ряда Фурье. Результаты анализа вынужденных колебаний в области второго основного резонанса при z2i = 0.1 С. В. Филипковский, К. В. Аврамов, В. А. Пирог, А. М. Тонконоженко 81 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 2. С. 76 – 83 Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика в области первого основного резонанса приведены на рис. 7, 8. В области второго резонан- са преобладает третья гармоника ряда Фурье. На рис. 7 показана амплитудно-частотная характери- стика первой гармоники ряда Фурье, а на рис. 8 — третьей гармоники ряда Фурье. Устойчивые реше- ния показываются сплошной линией, а неустойчи- вые — штриховой. ВЫВОДЫ В статье предложен новый подход к анализу ди- намики питающих магистралей ракетоносителей с газожидкостным демпфером. Основой подхода яв- ляется новая нелинейная модель газожидкостного демпфера. На основании этого подхода исследова- ны свободные и вынужденные нелинейные колеба- ния в системе. Применение этого подхода позво- ляет более точно определить резонансные режи- мы колебаний в питающих магистралях и выбрать уточненные параметры газожидкостного демпфе- ра колебаний. Свободные нелинейные колебания системы происходят по нелинейным нормальным формам Шоу-Пьера. Первые две скелетные кривые сво- бодных колебаний являются мягкими. Такое по- ведение системы объясняется физическими свой- ствами газожидкостного демпфера, в котором при уменьшении объёма давление нарастает по степен- ному закону. Исследование вынужденных периодических ко- лебаний показало, что при частотах меньше $1 возможны устойчивые режимы с различными ам- плитудами. В области первого резонанса в колеба- Рис. 7. Амплитудно-частотная характеристика первой гармоники в области второго резонанса Рис. 8. Амплитудно-частотная характеристика третьей гармоники в области второго резонанса ниях системы преобладает первая гармоника ряда Фурье, а в области второго резонанса — третья гармоника. Предложенная методика позволяет уточнить расчеты колебаний жидкости в магистралях с га- зожидкостным демпфером. Результаты исследова- ний использованы в ГП КБ “Южное” при про- ектировании топливных трубопроводов космиче- ских ракет. 1. Колесников К. С., Самойлов Е. А., Рыбак С. А. Динамика топливных систем ЖРД.– М.: Маши- ностроение, 1975.– 172 с. 2. Башта Т. М. Гидравлические приводы летатель- ных аппаратов.– М.: Машиностроение, 1967.– 498 с. 82 С. В. Филипковский, К. В. Аврамов, В. А. Пирог, А. М. Тонконоженко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2014. Том 16, N 2. С. 76 – 83 3. Натанзон М. С. Продольные автоколебания жид- костной ракеты.– М.: Машиностроение, 1977.– 206 с. 4. Пилипенко В. В., Довготько Н. И., Пилипен- ко О. В. Динамика гидромеханических систем // Техн. механика.– 2008.– №2.– С. 3–16. 5. Limarchenko, Timokhin O. A. Bifurcation dynami- cs of pipeline with liquid // Фiзико-математичне моделювання та iнформацiйнi технологiї.– 2012.– Вип. 16.– С. 86–92. 6. Аврамов К. В., Филипковский С. В., Федо- ров В. М., Пирог В. А. Дискретные модели колеба- ний перекачиваемой жидкости в трубопроводах с газожидкостным демпфером // Вопросы проекти- рования и производства конструкций летательных аппаратов.– 2009.– №3(59).– С. 89–96. 7. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.– М.: Мир, 1986.– 320 с. 8. Shaw S. W., Pierre C. Normal modes for nonlinear vi- bratory systems // J. Sound and Vibr.– 1993.– 164.– P. 85–124. 9. Аврамов К. В., Михлин Ю. В. Нелинейная ди- намика упругих систем.– М.–Ижевск: НИЦ “Регу- лярная и хаотическая динамика”, 2010.– 704 с. 10. Deuflhard P., Fiedler B., Kunkel P. Efficient numeri- cal path following beyond critical points // SIAM J. Numerical Anal.– 1987.– 24.– P. 912–927. 11. Seydel R. Nonlinear computation // Int. J. of Bi- furcation and Chaos.– 1997.– 7.– P. 2105–2126. С. В. Филипковский, К. В. Аврамов, В. А. Пирог, А. М. Тонконоженко 83

Нелинейные продольные колебания топлива в трубопроводе ракеты с газожидкостным демпфером

Institution

Ähnliche Einträge