Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга
Приведены результаты теоретических расчетов поглощенной мощности, тензоров импеданса и магнитосопротивлений анизотропных сверхпроводников второго рода в модели периодического потенциала пиннинга при наличии эффекта Холла....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116836 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга / В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хоп // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 1. — С. 89-100. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-116836 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1168362025-02-09T14:26:51Z Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга Hall-effect and microwave absorption by vortices in anisotropic superconductor with periodic pinning potential Шкловский, В.А. Данг Тхи Бик Хоп Вихревая материя в сверхпроводниках Приведены результаты теоретических расчетов поглощенной мощности, тензоров импеданса и магнитосопротивлений анизотропных сверхпроводников второго рода в модели периодического потенциала пиннинга при наличии эффекта Холла. Наведено результати теоретичних розрахунків потужності, яка поглиналася, тензорів імпедансу та магнітоопорів анізотропних надпровідників другого роду в моделі періодичного потенціалу пінінга за наявністю ефекта Холла. The results of the theoretical calculation of microwave absorption, tensor of impedance and magnetoresistivity of the type-II superconductor in the framework of the model of periodic pinning potential in the presence of the Hall effect are presented in the work. 2010 Article Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга / В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хоп // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 1. — С. 89-100. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 74.25.F; 74.25.Uv; 74.25.Sv. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116836 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Вихревая материя в сверхпроводниках Вихревая материя в сверхпроводниках |
| spellingShingle |
Вихревая материя в сверхпроводниках Вихревая материя в сверхпроводниках Шкловский, В.А. Данг Тхи Бик Хоп Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга Физика низких температур |
| description |
Приведены результаты теоретических расчетов поглощенной мощности, тензоров импеданса и магнитосопротивлений анизотропных сверхпроводников второго рода в модели периодического потенциала пиннинга при наличии эффекта Холла. |
| format |
Article |
| author |
Шкловский, В.А. Данг Тхи Бик Хоп |
| author_facet |
Шкловский, В.А. Данг Тхи Бик Хоп |
| author_sort |
Шкловский, В.А. |
| title |
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| title_short |
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| title_full |
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| title_fullStr |
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| title_full_unstemmed |
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| title_sort |
холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Вихревая материя в сверхпроводниках |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/116836 |
| citation_txt |
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике с периодическим потенциалом пиннинга / В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хоп // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 1. — С. 89-100. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT šklovskijva holléffektimikrovolnovoepogloŝenievihrâmivanizotropnomsverhprovodnikesperiodičeskimpotencialompinninga AT dangthibikhop holléffektimikrovolnovoepogloŝenievihrâmivanizotropnomsverhprovodnikesperiodičeskimpotencialompinninga AT šklovskijva halleffectandmicrowaveabsorptionbyvorticesinanisotropicsuperconductorwithperiodicpinningpotential AT dangthibikhop halleffectandmicrowaveabsorptionbyvorticesinanisotropicsuperconductorwithperiodicpinningpotential |
| first_indexed |
2025-11-26T20:19:34Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:19:34Z |
| _version_ |
1849885589912944640 |
| fulltext |
© В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хопa, 2010
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1, c. 89–100
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями
в анизотропном сверхпроводнике с периодическим
потенциалом пиннинга
В.А. Шкловский1,2, Данг Тхи Бик Хоп1
1Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина
E-mail: shklovskij@univer.kharkov.ua
2Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт», Институт теоретической
физики, ул. Академическая, 1, Харьков, 61108,Украина
Статья поступила в редакцию 16 июля 2009 г., после переработки 28 августа 2009 г.
Приведены результаты теоретических расчетов поглощенной мощности, тензоров импеданса и магни-
тосопротивлений анизотропных сверхпроводников второго рода в модели периодического потенциала
пиннинга при наличии эффекта Холла.
Наведено результати теоретичних розрахунків потужності, яка поглиналася, тензорів імпедансу та
магнітоопорів анізотропних надпровідників другого роду в моделі періодичного потенціалу пінінга за
наявністю ефекта Холла.
PACS: 74.25.F– Транспортные свойства;
74.25.Uv Вихревые фазы (включая вихревые решетки, вихревые жидкости и вихревые стекла);
74.25.Sv Критические токи.
Ключевые слова: пиннинг, Холл-эффект, анизотропия, критический ток, микроволновое поглощение,
тензор импеданса и магнитосопротивлений.
1. Введение
Хорошо известно, что резистивные свойства сверх-
проводников второго рода в смешанном состоянии
определяются динамикой вихрей, которая в присут-
ствии центров пиннинга может быть описана как дви-
жение вихрей в некотором потенциале пиннинга. В
простейшем случае такой потенциал пиннинга предпо-
лагается периодическим и одномерным, и недавно в
работе [1] нами была исследована простая теоретиче-
ская модель, с помощью которой было проанализиро-
вано влияние постоянного субкритического тока и вы-
званного им направленного двумерного движения
вихрей в таком потенциале пиннинга на радиочастот-
ное или микроволновое поглощение переменного тока
малой амплитуды. Основными результатами работы
[1] явились зависимости тензоров продольного и попе-
речного (по отношению к направлению транспортного
и переменного тока) импеданса, а также поглощенной
мощности от величины плотности субкритического
постоянного тока 0j , частоты переменного тока ω и
угла φ между направлением коллинеарных токов j0 и
j1(t) по отношению к каналам одноосного периодиче-
ского потенциала пиннинга.
Однако в работе [1] не было исследовано влияние
холловского слагаемого в уравнении движения вихря и
возможной анизотропии вязкого слагаемого на дву-
мерную динамику и резистивные свойства вихревого
ансамбля как на постоянном (докритическом), так и на
малом переменном токе. Следует отметить, что хотя
угол Холла Hθ (а следовательно, и безразмерный ко-
эффициент Холла є , см. определение є перед урав-
нением (5)) для большинства сверхпроводников мал
(т.е. 1<<є ), в ряде случаев при достаточно низких
температурах [2] в пленках YBCO, NbSe2 и Nb наблю-
даются аномально большие значения є , т.е. tg 1≥Hθ .
В отсутствие пиннинга (пункт 2.2) это означает, что
скорость вихрей V в этом случае направлена преиму-
щественно вдоль направления j1(t), в то время как при
малом угле Холла ( tg 1<<Hθ ) направления V и j1(t)
практически ортогональны. Включение в рассмотрение
динамики вихря холловского слагаемого обусловлено
В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хоп
90 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1
тем, что, как будет показано ниже, поглощение вихря-
ми на переменном токе существенно зависит как от
величины є , так и от частоты ω и угла φ . Более того,
наш анализ показывает, что резистивные характери-
стики образца на докритическом постоянном токе не
зависят от величины константы Холла. Иными слова-
ми, извлечение величины є из данных экспериментов
на постоянном токе невозможно, а величину є можно
определить из анализа поглощения мощности на пере-
менном токе. Физическая причина такого поведения
поперечного резистивного отклика на постоянном
(докритическом) токе связана с подавлением холлов-
ского отклика вследствие пиннинга вихрей в попереч-
ном (по отношению к направлению каналов стираль-
ной доски) направлении их возможного движения.
Включение в рассмотрение анизотропии вязкости свя-
зано с тем, что в большинстве ВТСП кристаллов ани-
зотропия в плоскости ab достаточно велика: например,
для кристаллов YBCO величина магнитосопротивле-
ния при движении вихрей вдоль осей а или b может
различаться более чем в два раза [3].
Следует отметить, что недавно в работе [4] рас-
сматривалась аналогичная изучаемой в данной статье
задача для произвольных значений температуры T и
величин плотности переменного и постоянного токов
(но для случая отсутствия анизотропии вязкости).
Сравнение полученных там и в настоящей статье ре-
зультатов обсуждается в Заключении. Аналогичная
модель (но только на постоянном токе и при T = 0) об-
суждалась в [5]. Выполняя пожелание рецензента дан-
ной статьи, упомянем также о ряде работ одного из ав-
торов настоящей работы, где обсуждалась аналогичная
рассмотренной в статье [4] точно решаемая модель
одноосного периодического потенциала пиннинга лишь
на постоянном токе [6] (в том числе и с дополни-
тельным изотропным потенциалом пиннинга [7–10]), а
также ряд статей по бианизотропному пиннингу [10–14]
(также на постоянном токе), в которых случай T = 0
явным образом не обсуждался.
План изложения работы следующий. Во втором
разделе обсуждается наиболее общая формулировка
решаемой задачи (пункт 2.1). Затем в пункте 2.2 снача-
ла изучается наиболее простой случай, когда сила пин-
нинга равна нулю (т.е. вихри двигаются в режиме те-
чения магнитного потока). На примере этого случая
легко выяснить роль анизотропии вязкости, которая
даже в отсутствие пиннинга приводит к направленно-
му движению вихрей, а также влияние инверсии на-
правления внешнего магнитного поля на резистивные
отклики с учетом эффекта Холла. Наконец, в послед-
нем основном пункте 2.3 анализируется роль пиннинга
в формировании продольных и поперечных резистив-
ных откликов как на постоянном, так и на переменном
токе. В заключительном разделе 3 обсуждаются полу-
ченные результаты и формулируются выводы.
2. Формулировка и анализ задачи
2.1. Общая формулировка решаемой задачи
Пусть ось x (с ее ортом х, см. рис. 1) направлена
перпендикулярно каналам стиральной доски, а ось y
(с ортом у) — вдоль этих каналов. Уравнение движе-
ния для вихря, который двигается со скоростью V, с
учетом эффекта Холла в магнитном поле B = B n
(В = |B|, n = n z, z есть орт в направлении оси z и
1= ±n ) есть:
η̂ V + Hα V× n = F + Fр, (1)
где F 0( / )= Ф с j× n — сила Лоренца, j = j0+j1(t), где
j1(t) = j1eiωt, а j0 и j1 есть амплитуды плотности посто-
янного субкритического и малого переменного токов с
частотой ω соответственно, 0Ф — квант магнитного
потока, c — скорость света, η ̂ — тензор вязкости вих-
ря и Hα — холловский коэффициент. В уравнении (1)
Fр = ( )−∇ pU x есть анизотропная сила пиннинга, а
( )pU x — периодический планарный потенциал пин-
нинга.
Если x и у — координаты соответственно вдоль и
поперек оси анизотропии, то в xy-представлении тен-
зор η̂ диагонален и удобно определить 0η и γ по фор-
мулам:
0 = xx yyη η η , /= xx yyγ η η , 0=xxη γη , 0 /=yyη η γ ,
(2)
где 0η — усредненный коэффициент вязкого трения,
γ — параметр анизотропии.
Рис. 1. Система координат ху, связанная с «каналами» потен-
циала пиннинга (каналы параллельны оси y ), и система
координат ′ ′x y , связанная с направлением тока (вектор
плотности тока j направлен вдоль оси ′x ); φ — угол между
осью анизотропии и вектором плотности тока; β — угол
между векторами скорости V и плотности тока j; F — сила
Лоренца.
B
îñü àíèçîòðîïèè U (x)
p
y’
x’
x
x
y
y
F
j
�
V
�
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 91
Так как (pU x ) зависит только от координаты x и
является периодическим ( (pU x ) = (pU +x a ), где a –
период потенциала), то сила пиннинга Fр всегда на-
правлена вдоль оси анизотропии x и не имеет состав-
ляющей вдоль оси у, т.е. 0=pyF . Используем, как и
ранее [1], периодический потенциал пиннинга вида
( )pU x = ( / 2)pU ( )1 cos− kx , (3)
где 2 /=k aπ , а Fp = ( / )− pdU dx x = pxF x и pxF =
sincF kx= − , где / 2=c pF U k
— максимальное значе-
ние силы пиннинга.
Ввиду того, что F = F(t) = F0+F1(t), где F0 =
0 0( / )Ф с= ×j n есть сила Лоренца на постоянном токе
и F1 0( / )= Ф с j1(t)× n — сила Лоренца на малом пере-
менном токе, считаем, что V(t) = V0+V1(t), где V0 не
зависит от времени, а V1(t) = V1 ei tω .
Нашей целью является определение V из уравнения
(1). Для этого запишем уравнение (1) в проекциях на
оси координат:
0 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1
( ( )) ( ( )) ( ) ,
( / )( ( )) ( ( )) ( ).
+ + + = + +⎧⎪
⎨ + − + = +⎪⎩
x x H y y x x px
y y H x x y y
V V t V V t n F F t F
V V t V V t n F F t
η γ α
η γ α
(4)
Если обозначить 0/= Hє α η и = nєδ , то из уравнений
(4) следует:
0 1 0 1 0 1
0
0 1 0 1 0 1
0
1( ( )) ( ( )) ( ( ) ),
1(1 / )( ( )) ( ( )) ( ( )).
x x y y x x px
y y x x y y
V V t V V t F F t F
V V t V V t F F t
γ δ
η
γ δ
η
⎧ + + + = + +⎪⎪
⎨
⎪ + − + = +
⎪⎩
(5)
2.2. Эффект Холла и микроволновое поглощение
вихрями в анизотропном сверхпроводнике в
отсутствие пиннинга (при произвольных
транспортных токах)
Рассмотрим сначала движение вихря в отсутствие
пиннинга (т.е. Fp = 0). Уравнение движение вихря име-
ет вид:
η̂ V Hα+ V× n = F. (6)
В этом случае легко получить скорости вихря в про-
екциях на оси xy-системы координат (на постоянном
токе)
0 0 0/=x xV F η , 0 0 0/=y yV F η , (7)
где 2
0 0 (1 )= +η η γ δ , 0 0 0= −x x yF F Fγδ , 2
0 0= +y yF Fγ
0+ xFγδ .
2.2.1. Вычисление резистивных характеристик. Ос-
новной физической величиной, позволяющей опреде-
лить резистивные характеристики образца, т.е. тензор
сопротивления на постоянном токе и импеданс на час-
тоте ω, является величина электрического поля, инду-
цируемого движущейся вихревой системой
E(t) = [B× V(t)]/c ( / )[ ( )= − ynB c V t x ( )+ xV t y ] . (8)
Из уравнения (1) следует, что E(t) = E0+ E1(t), где
E0 — напряженность поля, создаваемая постоянной
движущей силой F0, а E1(t) = E1 ei tω , где E1 — ком-
плексная амплитуда переменного электрического поля
E1(t).
Учтем далее, что экспериментально измеряемые ре-
зистивные отклики (продольный ||E и поперечный ⊥E
по отношению к направлению тока) связаны с xE и yE
откликами в системе координат xy простыми соотно-
шениями:
|| sin cos ,
cos sin ,⊥
= +⎧⎪
⎨ = − +⎪⎩
x y
x y
E E E
E E E
φ φ
φ φ
(9)
где ( / )= −x yE n B c V и ( / )=y xE n B c V .
На постоянном токе продольные и поперечные (по
отношению к направлению тока j) отклики 0||E , 0⊥E и
магнитосопротивления 0||ρ , 0⊥ρ соответственно оп-
ределены соотношениями:
2 2 2
0|| 0
2
0 0
[ / ]{ sin cos },
[ / ]{ (1 )sin cos },⊥
⎧ = Δ +⎪
⎨
= Δ + −⎪⎩
f
f
E j
E j
ρ γ γ φ φ
ρ γ γδ γ φ φ
(10)
2 2 2
0||
2
0
[ / ]{ sin cos },
[ / ]{ (1 )sin cos },⊥
⎧ = Δ +⎪
⎨
= Δ + −⎪⎩
f
f
ρ ρ γ γ φ φ
ρ ρ γ γδ γ φ φ
(11)
где 2
0 0/ ( )≡f BФ сρ η — удельное сопротивление те-
чения магнитного потока, а 21Δ = + δ .
Отделяя в формулах (11) четные и нечетные (по n )
компоненты, имеем:
2 2 2
0|| ( / )( sin cos )+ = Δ +fρ ρ γ γ φ φ , 0|| 0− =ρ , (12)
2
0 ( / )(1 )sin cos+
⊥ = Δ −fρ ρ γ γ φ φ , 0 /−
⊥ = Δfρ ρ δ . (13)
Следует отметить, что соотношения (12) и (13) не
зависят от величины плотности транспортного тока,
т.е. соответствующие вольт-амперные характеристики
(ВАХ) линейны. Иными словами, все три отличных от
нуля резистивных отклика соответствуют режиму те-
чения магнитного потока [5], и разница между ними
состоит лишь в различной зависимости магнитосопро-
тивлений 0||
+ρ , 0
+
⊥ρ , 0
−
⊥ρ от параметров φ , γ , є .
Включение в рассмотрение потенциала пиннинга (см.
следующий раздел) существенно изменит последние
выводы.
Рассмотрим теперь несколько простых, физически
различных предельных случаев, следующих из соот-
ношений (12) и (13). Как и следовало ожидать, из них
видно, что в отсутствие анизотропии ( 1=γ ) и эффекта
Холла ( 0=є ) динамика вихря изотропна (т.е. не зави-
сит от угла φ ) и соответствует не зависящему от ин-
версии направления магнитного поля режиму течения
потока, когда отлична от нуля единственная продоль-
ная (четная по отношению к замене В→−В) компонен-
та магнитосопротивления 0||
+ = fρ ρ .
В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хоп
92 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1
Если же анизотропия вязкости отсутствует ( 1=γ ) и
рассматривается только эффект Холла ( 0≠є ), то ди-
намика вихря в этом случае становится анизотропной в
том смысле, что направления движущей силы Лоренца
F0 и скорости вихрей V0 уже не совпадают. Величина
этой нечетной (имеющей холловское происхождение)
анизотропии характеризуется углом Холла Hθ , кото-
рый определяется из соотношения
0 0||tg /− +
⊥= =Hθ ρ ρ δ , (14)
где 0
−
⊥ρ — новая поперечная нечетная (холловская)
компонента магнитосопротивления. Если 1<<δ , то
холловская анизотропия слабая и скорость вихря V0
практически перпендикулярна вектору плотности по-
стоянного транспортного тока j0, в то время как для
1>>δ направления V0 и j0 практически совпадают.
Наличие анизотропии вязкости ( 1≠γ ) даже в от-
сутствие эффекта Холла приводит к появлению
еще одного нового, четного по отношению к инверсии
В→ −В магнитосопротивления 0
+
⊥ρ , приводящего, как
и эффект Холла, к анизотропии движения вихрей, т.е.
несовпадению направлений F0 и V0. Соответствующую
четную анизотропию удобно характеризовать углом
,β который определяется соотношением
2 2
0 ||ctg / ( 1) / ( tg ctg )+ +
⊥= − = − +β ρ ρ γ γ φ φ . (15)
По аналогии с появлением направленного движения
вихрей при наличии одноосного потенциала пиннинга
типа стиральной доски [1] (в отсутствие эффекта Хол-
ла и анизотропии вязкости) угол β , определяемый
формулой (15), можно трактовать аналогично таково-
му для guiding-эффекта в задаче о пиннинге.
Рассмотрим поэтому поведение β и ctg β , сле-
дующее из уравнений (12) и (13), более подробно. Из
них следует, что величины β и ctg β изменяют знак
при переходе параметра анизотропии γ через значе-
ние, равное единице. Формально это следует из пере-
мены знака 0
+
⊥ρ при таком переходе (а физически это
соответствует изменению роли осей анизотропии).
Выбирая теперь для определенности значения 1>γ ,
,
следует отметить, что характерной чертой графиков
( )β φ для 0 / 2< <φ π является наличие максимума,
положение которого сдвигается в сторону уменьшения
величины mφ с ростом величины γ , а величина mβ
при этом растет. Характерная зависимость ( )β φ при
различных значениях γ , следующая из (15), представ-
лена на рис. 2.
Проводя на переменном токе анализ, аналогичный
таковому для постоянного тока, имеем:
1 1 0( ) ( ) /=x xV t F t η , 1 1 0( ) ( ) /=y yV t F t η , (16)
где 1 1 1( ) = −x x yF t F Fγδ , 2
1 1 1( ) = +y y xF t F Fγ γδ ,
2 2 2
1|| 1
2
1 1
[ ( ) / ]{ sin cos },
[ ( ) / ]{ (1 )sin cos }.⊥
⎧ = Δ +⎪
⎨
= Δ + −⎪⎩
f
f
E j t
E j t
ρ γ γ φ φ
ρ γ γδ γ φ φ
(17)
Продольный и поперечный (по отношению к направ-
лению плотности тока j1) импеданс ||Z и ⊥Z соответ-
ственно определены соотношениями: 1|| || 1 ( )≡E Z j t ,
1 1( )⊥ ⊥≡E Z j t . Отсюда получим
2 2 2
||
2
( / )( sin cos ),
( / ){ (1 )sin cos }.⊥
⎧ = Δ +⎪
⎨
= Δ + −⎪⎩
f
f
Z
Z
ρ γ γ φ φ
ρ γ γδ γ φ φ
(18)
Отделяя в формулах (18) четные и нечетные (по n )
компоненты, получаем :
2 2 2
|| ( / )( sin cos )+ = Δ +fZ ρ γ γ φ φ , || 0− =Z , (19)
2( / )(1 )sin cos+
⊥ = Δ −fZ ρ γ γ φ φ , /−
⊥ = ΔfZ ρ δ . (20)
Отметим, что, как видно из соотношений (18) и (11),
формально соотношения для поперечных и продоль-
ных резистивных откликов на постоянном токе и со-
ответствующих импедансов в отсутствие пиннинга
совпадают, т.е. компоненты импеданса являются дей-
ствительными. Следует, однако, помнить, что
||, ||,( ) Re [ e ]⊥ ⊥= i tt Z ωρ . (21)
2.2.2. Поглощение мощности. Для вычисления сред-
ней по периоду поглощенной мощности P воспользу-
емся стандартным соотношением: (1 / 2) Re=P (E1·j1
*),
где E1 и j1 — комплексные амплитуды переменного
электрического поля и плотности тока соответственно.
Тогда, используя соотношение (17) и (18), можно пока-
зать, что
2 2 2 2 2
1 1 || 0( / 2) ( / 2) Re ( sin cos ) / ( ),= ≡ = + ΔP j j Z Pρ γ φ φ γ
(22)
Pиc. 2. Зависимость ( )β φ для ряда значений безразмерного
параметра анизотропии γ : 0,3 (1); 0,6 (2); 0,9 (3); 1,2 (4);
1,5 (5).
�
�/8
�/4 �/2
�/16
0
–�/16
– /8�
–3 /16�
– /4�
�
5
4
3
2
1
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 93
где 2
0 1( / 2)= fP jρ . При 1=γ поглощенная мощность
становится изотропной и зависит только от безразмер-
ной константы Холла є , т.е.
0 /= ΔP P , (23)
причем с ростом є величина P уменьшается. Физи-
чески это связано с тем уже ранее установленным фак-
том, что с ростом є направление вектора V1 все боль-
ше приближается к направлению вектора j1, так что
соответствующая компонента продольного переменно-
го электрического поля E1|| уменьшается по амплитуде
с ростом Hθ , а поглощаемая мощность падает. Со-
гласно этой физической картине (и как следует из
формулы (22)), при 1=γ и 0=є поглощенная мощ-
ность максимальна и равна 0P .
Если же 1≠γ и 0≠є , то ( , , )=P P єφ γ , т.е. погло-
щенная мощность является анизотропной. На рис. 3
представлена зависимость 0/P P как функция парамет-
ров є и γ для различных значений угла φ . Из форму-
лы (22) следует, что влияние параметра є на ( , , )P єφ γ
при любых φ , γ сводится к уменьшению поглощения
с ростом є , а также то, что анизотропия поглощения
при 1≠γ определяется величиной нелинейной (по φ и
γ ) комбинации 2 2sin (1/ ) cos+γ φ γ φ . Из последнего
следует рост слагаемого 2(1 / ) cosγ φ при 0→φ и
0→γ , и рост слагаемого 2sinγ φ при / 2→φ π и
1>>γ . Все эти особенности легко усмотреть на рис. 3.
2.3. Холл-эффект и микроволновое поглощение
вихрями в анизотропном сверхпроводнике с
периодическим потенциалом пиннинга
при докритических токах
Рассмотрим сначала случай отсутствия переменного
тока (т.е. 1 0=j ). Тогда из уравнений (5) следует
0 0 0 0
0 0 0 0
( ) /
(1/ ) ( / )
x y x px
y x y
V V F F
V V F
γ δ η
γ δ η
+ = +⎧⎪
⎨ − =⎪⎩
. (24)
Решение уравнений (24) дает, что
0 0 0(1 / )( )x x pxV F Fη= + ,
0 0 0 0 0( / ) (1 / )( )y y x pxV F F Fγ η γδ η= + + . (25)
Движение вихря вдоль оси x будет различным в за-
висимости от величин параметра анизотропии γ , хол-
ловского коэффициента Hα и силы 0xF . Если
0 <x cF F , то в этом направлении вихрь покоится (т.е.
0 0=xV ). Как следует из рис. 4, координата покоя вих-
ря 0x в этом случае зависит от величины 0xF . Тогда
из выражения (25) следует, что для определения зави-
симости 0 0( )xx F необходимо решить уравнение
0 0+ =x pxF F . Его решение дает:
0 0(1 / ) arcsin ( / )= x cx k F F , (26)
где 0 0/ /=x c y cF F j j , 0 0 0( )= + ⋅y y xj n j jγδ и cj —
критический ток при 0=φ . В этом случае вихрь всег-
да движется вдоль каналов пиннинга (т.е. вдоль оси у)
с постоянной скоростью 0 0 0( / )=y yV Fγ η , и при 1=γ
мы возвращаемся к результату работы [1] (т.е.
0 0 0/=y yV F η ). Во втором случае, когда 0 >x cF F
Pиc. 3. Зависимость поглощенной мощности 0/P P от пара-
метра анизотропии γ и параметра Холла δ для ряда значе-
ний угла φ , построенная по формуле (22): 0º (1); 30º (2); 45º
(3); 60º (4); 90º (5).
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
1
2
3
4
5
�
�
P/P0
Рис. 4. Эффективный потенциал пиннинга ( ) =pU x
0( )= −p xU x xF ; ( )pU x = ( / 2)pU ( )1 cos− kx есть потенци-
ал пиннинга в отсутствие субкритического тока, где
2 /=k aπ , a — период потенциала; ( )pU x (1), 0− xxF (2),
0 <x pxF F (3), 0 =x pxF F (4), 0 >x pxF F (5).
~
U (x)p 2π 4π
X = kx
1
2
3
4
5
В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хоп
94 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1
(см. рис. 4), вихрь преодолевает барьер пиннинга и
будет двигаться с периодически зависящей от времени
скоростью вдоль координаты x по наклоненной сти-
ральной доске [1] с эффективным потенциалом пин-
нинга 0( ) ( )= −p p xU x U x xF . Вычисление резистивных
откликов двумерной динамики вихрей в этом случае
гораздо более сложная задача, которую здесь мы не
будем исследовать.
Перейдем теперь к рассмотрению влияния малой
переменной силы 1( )F t с частотой ω на динамику вих-
ря в режиме субкритического ( 0 <y cj j ) постоянного
тока. Из выражения (8) следует, что при 1 0=j вели-
чину E0 можно получить усреднением E1(t) по времени
с учетом периодичности F1(t). Тогда E0 = <E(t)>, где
= 1
T
0
0
+
∫
t T
t
dt и 2 /=T π ω . В результате (с уче-
том того, что при 0 <y cj j имеем 0 0=xV ) получим,
что
E0 0 y
nB V
c
= х 0
0
yFnB
c
γ
η
= х.
Здесь 0 0 0( / )= −y xF n Ф с j , поэтому E0 0= − f xjγρ х и
0 0= −x f xE jγρ .
Из соотношений (8) и (9) следует, что
2
0|| 0 0
0 0 0
sin sin ,
cos sin cos ,
x f
x f
E E j
E E j
φ γρ φ
φ γρ φ φ⊥
⎧ = = −⎪
⎨
= − =⎪⎩
(27)
и если определить, что 0|| 0|| 0/= E jρ и 0 0 0/ ,⊥ ⊥= E jρ
то
2
0|| sin= − fρ γρ φ , 0 sin cos⊥ = fρ γρ φ φ . (28)
Из резистивных откликов (28) на постоянном до-
критическом токе можно извлечь лишь информацию
о величине угла φ для данного образца ( tg =φ
0|| 0/ ⊥= −ρ ρ ) и величину произведения fγρ . Из фор-
мул (28) также следует, что только при 0=φ продоль-
ный и поперечный отклики являются недиссипатив-
ными (в силу докритичности транспортного тока).
Диссипация при 0≠φ возникает за счет появления
компоненты движущей силы 0 yF , не содержащей кон-
станты Холла (см. формулу (25) для 0 yV с учетом того,
что 0 0=xV ) и направленной вдоль каналов стираль-
ной доски. Таким образом, при 0 <x cF F движение
вихря и резистивные характеристики образца не зави-
сят от параметра Холла, т.е. определить є из экспери-
мента на постоянном докритическом токе невозможно
(сравни, однако, эту ситуацию с результатами раздела
2.2, т.е. формулами (12) и (13)); в этом случае, когда
1=γ , все результаты, следующие из формулы (28),
возвращаются к результату работы [1].
Перейдем теперь у анализу откликов на переменном
токе, используя соотношение E1(t) = E(t) − E0 = E(t) –
− <E(t)>. Отсюда и из уравнений (5) имеем
1 1 0 0 1
1 1 0 1
( ) ( ) (1/ )( ( ) ),
(1/ ) ( ) ( ) (1/ ) ( ),
⎧ + = + +⎪
⎨
− =⎪⎩
x y x x px
y x y
V t V t F F t F
V t V t F t
γ δ η
γ δ η
(29)
где
1 0 1
1 0 1
( ) ( / ) ( ),
( ) ( / ) ( ),
≡⎧⎪
⎨ ≡ −⎪⎩
x y
y x
F t nФ c j t
F t nФ c j t
1 1
1 1
( ) ( )sin ,
( ) ( )cos ,
=⎧⎪
⎨ =⎪⎩
x
y
j t j t
j t j t
φ
φ
1 1( ) e= i tj t j ω .
Воспользуемся тем, что 0 + ≡ =x px pxF F F
( ) /= − pdU x dx , где 0( ) ( )≡ −p p xU x U x xF есть эффек-
тивный (с учетом движущей силы в направлении
оси x ) потенциал пиннинга (см. рис. 3). Координата
покоя вихря для него (в отсутствие переменного тока)
дается формулой (26). Так как амплитуда переменного
резистивного отклика предполагается малой, то для
решения уравнений (29) в линейном приближении по
этой амплитуде необходимо разложить ( )pU x в ряд по
малой разности 0−x x , что дает
0 0 0 0
2
0 0
( ) ( ) ( )( )
( )( )
... .
2
p p p
p
U x x U x U x x x
U x x x
′− = + − +
′′ −
+ + (30)
Из выражения (30) следует, что
0 0( )( )px p yF k j x x≅ − ,
где 2
0 0( ) 1 ( / )= − −p y p y ck j k j j или
0 0/ ( )= − −px pF x xη ω ,
где 2
01 ( / )= −p p y cj jω ω и 0/≡p pkω η .
Тогда можно записать уравнение (29) в следующем
виде:
1 1 1 0
1 1 1 1 0
( / ) ( ) ( ) ( ) / ,
( ) (1 / ) ( ) ( ) ( ) / .
+ + =⎧⎪
⎨− + − =⎪⎩
p x y x
x y x y
i V t V t F t
V t V t V t F t
γ ω ω δ η
δ γ δ η
(31)
Решение уравнений (31) дает:
1 1 1 0
1 1 1 0
( ) ( / ) / ( ),
( ) [ (1 / ) ] / ( ),
= − Δ⎧⎪
⎨ = + + Δ⎪⎩
x x y
y y p x
V t F F
V t F i F
γ
γ γ
γ δ η
γ ω ω δ η
(32)
где /≡p pγω ω γ , /Δ ≡ Δ + p iγ γω ω .
2.3.1.Вычисление тензоров импеданса. Из уравнений
(4) и (32) с учетом соотношений 1 1( / ) ( )= −x yE n B c V t
и 1 1( / ) ( )=y xE n B c V t имеем
1 1 1
1 1 1
( / )[ (1 / ) ( ) ( ),
( / )[ ( ) / ( )].
= Δ + −⎧⎪
⎨ = Δ +⎪⎩
x f p x y
y f y x
E i j t j t
E j t j t
γ γ
γ
ρ γ ω ω δ
ρ γ δ
(33)
Тогда из соотношений (33) следует, что комплекс-
ные амплитуды переменного электрического поля E1(t)
и плотности электрического тока j1(t) = j1 ei tω связаны
соотношением E1(t) = Ẑ 1( )tj , где компоненты тен-
зора импеданса Ẑ измеряются в xy-системе координат
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 95
(см. рис. 1), т.е. 1 1 1( ) ( ) ( )= +x xx x xy yE t Z j t Z j t , 1 ( )yE t =
1 1( ) ( )yx x yy yZ j t Z j t= + и
0
2
1 1
1 1
ˆ ( , )
(1 / )
( / )
1/
( )( / )
/
xx xy
y
yx yy
p
f
f
Z Z
Z j
Z Z
i
Z Z
Z Z
γ
γ
ω
γ ω ω δ
ρ
δ γ
γ δ δρ
δ γ
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ −⎛ ⎞
= Δ =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞Δ − −= Δ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
, (34)
где
1 / 1 / (1 / )≡ Δ Δ = − qZ iγ ω ω , (35)
2
0/ [ / ] 1 ( / )= Δ = Δ − =q p p y cj jγω ω ω γ
2 2
0[ / ] 1 ( / ) (cos sin )= Δ − +p cj jω γ φ δγ φ . (36)
Величина qω в формуле (36) является обобщением
на случай 1≠γ и 0≠є физически аналогичной (и
зависящей от величины докритического транспортного
тока) частоты депиннинга вихря, введенной нами ра-
нее в работе [1]. Следует, однако, подчеркнуть, что в
отличие от введенной в [1] частоты депиннинга
0( )p yjω , не зависящей от инверсии направления маг-
нитного поля, величина qω изменяется при замене
→ −n n (т.е. → −δ δ ) за счет учета эффекта Холла.
Рассматривая формулу (36) для qω , легко видеть,
что условием сохранения докритичности 0 <x cF F яв-
ляется выполнение неравенства
0 / 1<cQj j , (37)
где ( , ) cos sin≡ +Q q qφ φ φ , =q δγ . В дальнейшем бу-
дем интересоваться тем, при каком максимальном зна-
чении 0 /=C cj j Q выполняется условие (37) при за-
данных q и φ . Очевидно, что если 1>Q , то 0 <C cj j ,
и наоборот, для 1<Q всегда 0 >C cj j . Отметим сразу,
что в силу того, что =q δγ , поведение ( , )Q qφ (см.
рис. 5) асимметрично по = ±єδ при const=φ . Из оп-
ределения ( , )Q qφ и рис. 5 видно, что если / 2→φ π
(близость к L−геометрии, см. пункт 2.2.3) и 1<<q , то
1<<Q и 0 >>C cj j , а для 1>>q будет 1>>Q . Если
же 0→φ (близость к T−геометрии), то ~ 1Q даже для
1>>q , тогда как для / 4≈φ π и 1>>q всегда
1.Q >>
2.3.2. Продольные и поперечные импедансы рези-
стивных откликов. Перейдем теперь к рассмотрению
продольных и поперечных импедансов резистивных
откликов двумерной динамики вихрей на переменном
токе. Из соотношений (9) следует, что:
1|| 1 1
1 1 1
sin cos ,
cos sin .⊥
= +⎧⎪
⎨ = − +⎪⎩
x y
x y
E E E
E E E
φ φ
φ φ
(38)
Для вычисления импеданса в системе координат
′ ′x y воспользуемся тем, что наблюдаемые на опыте
продольное и поперечное переменные электрические
поля связаны соотношениями (9). Отсюда следует, что
2 2
1|| 1 1
2
1 || 1
2
1 1 1 1
1 1
( ( ) / )[ ( )sin
cos / ] ( ),
( ( ) / ){[ / ( )]
sin cos } ( ),
⊥
⊥
⎧ = Δ Δ − +
⎪
⎪ + ≡⎪
⎨
⎪ = Δ − Δ − ×
⎪
× + ≡⎪⎩
f
f
E j t Z
Z Z j t
E j t Z Z
Z Z j t
ρ γ δ φ
φ γ
ρ γ γ δ
φ φ δ
(39)
где продольный и поперечный (по отношению к на-
правлению тока j1) импеданс ||Z и ⊥Z соответственно
определены соотношениями:
2 2 2 2
|| 1 1
2 2
1 1 1
( / )[ ( ) sin cos ],
( / ){ [ ( )]sin cos }.⊥
⎧ = Δ Δ − +⎪
⎨
= Δ + − Δ −⎪⎩
f
f
Z Z Z
Z Z Z Z
ρ γ γ δ φ φ
ρ γ δγ γ δ φ φ
(40)
При 1=γ выражения (40) возвращаются к результату
(67) работы [4].
Соотношения (40) являются основными для даль-
нейшего анализа. Существенно, что из них следует
зависимость ||,⊥Z от направления вектора магнитного
поля В. Точнее, инверсия поля, то есть замена В → –В
благодаря перемене знака = nδ ε на противополож-
ный, ведет, в силу соотношения 0 0 0= + ⋅y y xj j jγδ , к
изменению величины 0( )p yjω и, как следствие, — к
изменению как величины 1Z , так и величин ||,⊥Z . По-
этому, чтобы из формул (40) извлечь наблюдаемые
величины, которые не изменяют своего модуля при
замене n → – n , следует отделить в них четные и не-
четные (индекс (+) и (–) соответственно) по отноше-
нию к инверсии вектора В слагаемые.
Для отделения четных и нечетных (по n ) ||
±Z и ±
⊥Z
сначала отделим в 1Z четную 1 1( ) ( )+ += −Z n Z n и не-
четную 1 1( ) ( )− −= − −Z n Z n части, представив выраже-
Pиc. 5. Зависимость ( , )Q qφ от угла φ и параметра q .
10,0
7,5
5,0
2,5
0
Q
10
5
0
–5
–10
q
0
�/4
�
�/2
В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хоп
96 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1
ние 1Z в виде 1 1 1( ) ( ) ( )+ −= +Z n Z n Z n , где 1 ( )± =Z n
1 1[ ( ) ( )] / 2= ± −Z n Z n , а 1( ) 1 / (1 ( ) / )± = − ±qZ n i nω ω .
В результате имеем
1
2
( )
[1 ( ) / ] / [1 2 ( ) / ( ) ( ) / ] ,
+
+ +
=
= − − − −q q q q
Z n
i n i n n nω ω ω ω ω ω ω
(41)
2
1 ( ) [ ( ) / ] / [1 2 ( ) / ( ) ( ) / ] ,− − += − − −q q q qZ n i n i n n nω ω ω ω ω ω ω
(42)
где
( ) [ ( ) ( )] / 2± ≡ ± − =q q qn n nω ω ω
2 2
0[ / (2 )]( 1 ( / ) (cos sin )= Δ − + ±p cj jω γ φ δγ φ
2 2
01 ( / ) (cos sin ) )cj j φ δγ φ± − − . (43)
Окончательно можем представить (40) в следую-
щем виде:
2 2 2 2
|| 1 1
2 2 2 2
|| 1
( / )[ ( ) sin cos ],
( / ) (cos sin ),
+ + +
− −
⎧ = Δ Δ − +⎪
⎨
= Δ −⎪⎩
f
f
Z Z Z
Z Z
ρ γ γ δ φ φ
ρ γ φ δ γ φ
(44)
2 2
1 1
2
1 1
( / )[ ( )]sin cos ,
( / ){ (1 )sin cos }.
+ + +
⊥
− + −
⊥
⎧ = Δ − Δ −⎪
⎨
= Δ + +⎪⎩
f
f
Z Z Z
Z Z Z
ρ γ γ δ φ φ
ρ γ δγ δ γ φ φ
(45)
2.3.3. Резистивные отклики в TL-геометриях. Для
анализа формул (44) и (45) рассмотрим сначала рези-
стивные отклики в TL-геометриях.
Если 0=φ (так называемая поперечная T-гео-
метрия, когда j||y, см. рис. 1), то из выражения (35)
следует, что
2
0[ / ( )] 1 ( / )= Δ −qT p cj jω ω γ , (46)
где qTω есть перенормированная (за счет наличия
анизотропии, константы Холла и докритического по-
стоянного тока) частота депиннинга в T-геометрии и
1 1/ (1 / )+ = −T qTZ iω ω , 1 0− =TZ .
Отсюда следует, что
|| 1 / ( )+ += ΔT f TZ Zρ γ , || 0− =TZ , (47)
0+
⊥ =TZ , 1 /− +
⊥ = ΔT f TZ Zρ δ . (48)
Из формул (47) и (48) следует, что
||/− +
⊥= T TZ Zδγ , (49)
т.е. δγ может быть найдено из отношения нечетного
поперечного и четного продольного импедансов, изме-
ренных в T-геометрии. Любопытно, что соответст-
вующие измерения могут быть проведены на любой
фиксированной частоте ω и при любых транспортных
токах 0 < cj j .
Если − − −
⊥ ⊥ ⊥= −ac ac
T T TZ iρ ζ и || || ||
+ + += −ac ac
T T TZ iρ ζ , где
ρ и ζ — резистивность и реактивность соответст-
вующих импедансов, то с учетом формулы (21) по-
лучим
||
ac ac
T Tρ δγρ− +
⊥ = , ||
ac ac
T Tζ δγζ− +
⊥ = . (50)
Если же / 2=φ π (так называемая продольная L-гео-
метрия, когда j||х, см. рис. 1), то из выражения (35)
следует, что
2 2
0[ / ( )] 1 ( / ) ( )= Δ −qL p cj jω ω γ δγ , (51)
где qLω (аналогично qTω ) есть перенормированная
частота депиннинга в L-геометрии, и
1 1/ (1 / )+ = −L qLZ iω ω , 1 0− =LZ .
Поэтому имеем
2
|| 1( ) /+ += Δ − ΔL f LZ Zρ γ δ , || 0− =LZ , (52)
0+
⊥ =LZ , 1 /− +
⊥ = ΔL f LZ Zρ δ . (53)
Из этих формул следует, что
||
+ −
⊥+ =L L fZ Zγδ γρ , (54)
Если же − − −
⊥ ⊥ ⊥= −ac ac
L L LZ iρ ζ и || || ||
+ + += −ac ac
L L LZ iρ ζ , то
беря реальную и мнимую часть от соотношения (54),
получим
|| ( )+ −
⊥= −ac ac
L f Lρ γ ρ δρ , ||
+ −
⊥= −ac ac
L Lζ γδζ . (55)
Из этих соотношений вытекает, что в L-геометрии
|| ||( / ) /+ − + −
⊥ ⊥= −ac ac ac ac
L L L L fγ ρ ρ ζ ζ ρ ,
|| ||/ ( / )− + − +
⊥ ⊥= −ac ac ac ac
f L L L Lδ ρ ρ ρ ζ ζ . (56)
Отметим также, что из условия 1<<є следует, что
отношение 2
0/ 1 ( / )= −qT qL cj jω ω зависит только
от величины плотности постоянного докритического
тока 0j .
2.3.4. Эффект Холла и направленное движение вих-
рей в резистивных откликах. Рассмотрим полученные
выше формулы для различных значений величины є .
Сначала рассмотрим случай отсутствия эффекта Холла
(т.е. 0=є ) при 1=γ . Тогда 1Δ = , 1 /Δ = − piγ ω ω и
1 1 / (1 / )= − pZ iω ω , где 2
01 ( / )= −p p y cj jω ω (и не
зависит от направления внешнего магнитного поля B
вдоль оси z ). В результате имеем
2
|| 1
1
[1 ( / ) sin ],
[( / ) sin cos ].⊥
⎧ = −⎪
⎨
=⎪⎩
f p
f p
Z Z i
Z Z i
ρ ω ω φ
ρ ω ω φ φ
(57)
Отсюда получим выражения реальной части про-
дольного и поперечного импедансов ||,Re ⊥Z
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 97
2 2 2
||
2
Re [1 ( / ) sin ] / [1 ( / ) ],
Re sin cos / [1 ( / ) ].⊥
⎧ = + +⎪
⎨
= − +⎪⎩
f p p
f p
Z
Z
ρ ω ω φ ω ω
ρ φ φ ω ω
(58)
В итоге возвращаемся к результатам (19) и (20) рабо-
ты [1]. Если в работе [1] была рассмотрена зависи-
мость ||Re / fZ ρ только от угла φ (при различных
значениях 0 / cj j ), то в настоящей работе для большей
наглядности рассмотрим поверхность ||Re / fZ ρ на
плоскости (φ , 0 / cj j ).
На рис. 6 видно, что продольный импеданс
||Re / fZ ρ при = pω ω растет с ростом плотности тока
0j от нуля до величины cj при всех значениях угла .φ
Отметим, однако, что на угловой зависимости
||Re ( ) / fZ φ ρ при 0 / ~ 0,7cj j появляется минимум
[1], который углубляется (и сдвигается по положению)
с ростом величины 0j .
Далее рассмотрим случай наличия эффекта Холла
(при константе Холла, удовлетворяющей условию
0 <x cF F ) при 1=γ , т.е. 1 1 / (1 / )= − qZ iω ω , здесь
1 1( 1)= =Z Z γ и 2 2
0( / ) 1 ( / ) (cos sin )q p cj jω ω φ δ φ≡ Δ − + .
Тогда
2 2 2
|| 1 1
1 1
( / )[( ) sin cos ],
( / )[ (1 ) sin cos ].⊥
⎧ = Δ Δ − +⎪
⎨
= Δ − Δ −⎪⎩
f
f
Z Z Z
Z Z Z
ρ δ φ φ
ρ δ φ φ
(59)
В этом случае выражения реальной части продоль-
ного и поперечного импеданса ||,Re ⊥Z определяются
соотношениями
2
|| 1 1
1 1
Re ( / )[Re (1 Re )sin ],
Re ( / )[ Re (1 Re )sin cos ],
f
f
Z Z Z
Z Z Z
ρ φ
ρ δ φ φ⊥
⎧ = Δ + Δ −⎪
⎨
= Δ − Δ −⎪⎩
(60)
где 2
1Re 1/ [1 ( / ) ]= + qZ ω ω . При 0=δ это выражение
переходит в (58).
Проанализируем поведение ||,Re ±
⊥Z в зависимости
от частоты ω при больших или малых частотах. Если
→ ∞ω , то ( / ) 0→qω ω (т.е. 1Re 1=Z ), тогда в основ-
ном приближении по 1/ ω : ||Re /= ΔfZ ρ (т.е.
|| ||Re ReZ Z+ = , ||Re 0− =Z ) и Re /⊥ = ΔfZ ρ δ (т.е.
Re 0+
⊥ =Z , Re Re
⊥
−
⊥=Z Z ). Итак, с ростом константы
Холла є (т.е. с ростом Δ ) поглощенная мощность P
при → ∞ω уменьшается ( 0 /= ΔP P ). Более того, при
→ ∞ω для любых φ (а не только в Т-геометрии,
смотри формулу (49)) существует соотношение вида
||Re / ReZ Zδ − −
⊥= . Пусть теперь 0→ω (т.е. 1Re 0).Z =
Тогда в основном приближении по ω эффект Холла
неизмерим, так как 2
||Re sin= fZ ρ φ и 2
0 sin=P P φ , а
Re sin cos⊥ = − fZ ρ φ φ , т.е. δ выпало из результатов.
Отсюда следует, что 2
||Re / sin=f Zρ φ , т.е. 0η =
2 2
0 ||sin / ReBФ Z cφ= .
Таким образом, для определения 0/= Hє α η нужен
высокочастотный предел >> qω ω ( → ∞ω ), а для оп-
ределения 0η достаточен низкочастотный предел
<< qω ω ( 0→ω ). За счет зависимости ( )q jω возмож-
но даже попробовать измерить поглощение на одной
фиксированной частоте ≤ pω ω .
Итак, для любых є (удовлетворяющих условию
докритичности (37)) и / 2=φ π константа Холла в пе-
риодическом потенциале пиннинга по микроволново-
му поглощению на вихрях определяется формулой
2
0( / (0) ) ( (0) / ( ) 1= ∞ −H BФ cα ρ ρ ρ , (61)
где 2(0) sin= fρ ρ φ для 0→ω и ( ) /∞ = Δfρ ρ для
→ ∞ω .
2.3.5. Поглощение мощности. В этом случае анализ,
аналогичный таковому для случая отсутствия пиннин-
га, позволяет легко получить выражения для средней
по периоду поглощенной мощности P в следующем
виде:
2 2
1 || 1( / 2) Re ( / 2)= ≡P j Z j ρ , (62)
где
2 2 2 2 2
1( / ){ sin [1 (1 )sin ]Re }= Δ Δ + − +f Zρ ρ γ γ φ δ γ φ .
(63)
Если 0=δ , 1=γ , то 2 2
1(sin Re cos )= +f Zρ ρ φ φ , и
мы возвращаемся к результату работы [1].
Пусть 1 11≡ −Z iG , где 1 ( / ) / (1 / )= − −q qG iω ω ω ω , и
следствием этого является то, что 1 1Re 1 Re( )Z iG= − =
11 ImG= + . Тогда из соотношения (63) имеем
( / )= Δ ×fρ ρ γ
2 2 2 2 2 2
1{ sin cos [1 (1 )sin ]Im }× + + − + Gγ φ φ δ γ φ , (64)
где
2
1Im 1/ [1 ( / ) ]= − + qG ω ω . (65)
Pиc. 6. Зависимость реальной части продольного импеданса
||Re / fZ ρ от угла φ и плотности тока 0 / cj j для 0=є ,
1=γ , = pω ω .
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0
0,25
0,50
0,75
1,00
j /j0 c
�/2
�/4
0
ReZ /|| f�
�
В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хоп
98 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1
При 1=γ выражение (64) совпадает с формулой (85) в
работе [4]. Окончательно
2 2 2 2 2
0 1{1 ( 1)sin [1 (1 )sin ]Im }/ ( ),= + − + − + ΔP P Gγ φ δ γ φ γ
(66)
где 2
0 1( / 2)= fP jρ . В отличие от случая отсутствия
пиннинга (пункт 2.2), в этом случае поглощенная
мощность P не только зависит от угла φ , параметра
анизотропии γ , константы Холла є , но и зависит от
частоты ω и плотности тока 0j .
Существенно также отметить, что в рассматривае-
мом случае поглощенная мощность содержит (в силу
зависимости от 1ImG в формуле (65) или от 1Re Z в
формуле (60)) как четную, так и нечетную (при замене
В → –В) части, и, таким образом, изменяет экспери-
ментально наблюдаемую величину ( )P B при инвер-
сии направления поля В. Поэтому удобно представить
поглощаемую мощность как
( ) ( ) ( )+ −= +P B P B P B , (67)
где ( ) [ ( ) ( )] / 2± ≡ ± −P B P B P B — величины, не изме-
няющие своего модуля при инверсии В.
Из (66) следует два простых результата для P в
TL-геометриях. В T-геометрии имеем
2
0( ) / [1 ( / ) ]= +T T qTP Pω ω ω . (68)
Здесь 0 0 /≡ ΔTP P γ — максимальная (при → ∞ω ) по-
глощенная мощность в T-геометрии, которая уменьша-
ется с ростом γ и Δ , а qTω
— соответствующая час-
тота депиннинга, определенная формулой (46), из
которой следует, что qTω уменьшается с ростом γ , Δ
и 0j . Из формулы (68) видно, что частотная зависи-
мость ( )∞TP имеет вид монотонно растущей ступень-
ки (в окрестности ~ qTω ω ) и является физически ес-
тественным обобщением результата, следующего из
формулы (19) в работе [1]. Отсюда следует, что вели-
чина 0TP , измеренная на частотах, удовлетворяющих
условию 2( / ) 1<<qTω ω , позволяет извлечь из таких
измерений произведение Δγ для любых плотностей
токов 0 < cj j .
Переходя к вычислению поглощенной мощности в
L-геометрии, из формулы (66) получаем
2 2
0( ) {1 / [1 ( / ) ]}= + +L L qLP Pω δ ω ω , (69)
где 0 0 /≡ ΔLP P γ — максимальная (при 0→ω ) по-
глощенная мощность в L-геометрии, а qLω — соответ-
ствующая частота депиннинга, определенная форму-
лой (51), из которой следует что qLω , как и ,qTω
уменьшается с ростом γ , Δ и 0j . Из формулы (69)
видно, что зависимость LP от частоты ω имеет форму
монотонно убывающей ступеньки в окрестности
~ qLω ω , минимальное значение которой 0∞ =LP P γ
реализуется для → ∞ω . Из сказанного следует, что
величина ∞LP , измеренная на частотах, удовлетво-
ряющих условию 2( / ) 1>>qLω ω , позволяет найти ве-
личину γ , а измерение 0LP на частотах
2( / ) 1<<qLω ω — величину / Δγ . Отсюда вытекает,
что 0/∞Δ = L LP P . Уместно также отметить, что фор-
мула (51) для qLω может быть записана в ином виде:
2
0( / ) 1 ( / )= Δ −qL p CLj jω ω γ , (70)
где /≡CL cj j δγ — перенормированный (за счет на-
личия анизотропии и константы Холла) критический
ток в L-геометрии, который уменьшается с ростом γ ,
є и определяет максимально возможную величину
докритического транспортного тока в этой геометрии.
Отметим, что в ТL-геометриях величины TP и LP яв-
ляются четными функциями относительно инверсии
направления поля В в силу того, что соответствующие
частоты депиннинга qLω и qTω (см. формулы (46) и
(51)) не изменяются при замене → −n n .
2.3.6. Импеданс и поглощение мощности при 1.<<є
Наконец, проанализируем зависимость импедансов ||
±Z
и ±
⊥Z (см. (44) и (45)) с учетом малого эффекта Холла
( 1є << ). В этом случае, пренебрегая слагаемыми по-
рядка 2δ в соотношениях (44), (45) и выражениях для
1
±Z , имеем такие соотношения для ||,
±
⊥Z (где ~ озна-
чает, что данные величины вычислены в приближении
1<<є )
2 2 2
|| 1
2
|| 1
( / )( sin cos ),
( / ) cos ,
+ +
− −
= +
=
f
f
Z Z
Z Z
ρ γ γ φ φ
ρ γ φ
(71)
2
1
1 1
( / )( ) sin cos ,
( / )( sin cos ),
+ +
⊥
− + −
⊥
= −
= +
f
f
Z Z
Z Z Z
ρ γ γ φ φ
ρ γ δγ φ φ
(72)
где
1 0
2
1 1 0
1 / (1 / ),
( / ) / (1 / ) ,
+
−
= −
= −
q
q q
Z i
Z i i
ω ω
δ ω ω ω ω
(73)
2 2
0 0
2 2
1 0 0
( / ) 1 ( / ) cos ,
( / ) ( / ) sin cos / .
= −
= −
q p c
q p c q
j j
j j
ω ω γ φ
ω γ ω γ φ φ ω
(74)
Отметим, что простота полученных формул (71) и
(72) связана с тем, что выражения для четных откликов
||
+Z и +
⊥Z не содержат параметра є и фактически опи-
сывают эффекты гайдинга вихрей в отклике на вели-
чину 1j , тогда как нечетные отклики ||
−Z и −
⊥Z прямо
пропорциональны параметру δ , за счет которого они
изменяют знак при инверсии направления внешнего
магнитного поля В.
Переходя к вычислению поглощаемой мощности
( )P ω , можно показать, что для 1<<є формула (63)
имеет следующий вид:
2 2 2
1( / )[ (1 Im )cos ]= + − +f Gρ ρ γ γ γ φ , (75)
которая при 1=γ совпадает с формулой (86) в работе
[4], а поглощение мощности ( )P ω равно:
Холл-эффект и микроволновое поглощение вихрями в анизотропном сверхпроводнике
Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1 99
2
0 1( ) (1 Im cos )= +P P Gω φ . (76)
Вычисление 1Im G , исходя из формулы (65), приво-
дит к следующему результату
1Im =G
1 0
2 2
0 0 0
2 ( / )1
1 ( / ) [( / ) ( / )]
q q
q q q
δγ ω ω
ω ω ω ω ω ω
= − −
+ +
, (77)
где 1qω и 0qω даются формулой (74). Из формулы (77)
следует, что 1Im +G имеет такой же вид, как и в отсут-
ствие эффекта Холла, а нечетная по отношению к за-
мене В → –В величина 1Im −G дается формулой
2 2 2 2
1 0 0Im ( / )( / ) ( / ) sin 2 / [1 ( / ) ] .− = +p c qG j jδ γ ω ω φ ω ω
(78)
Из этой формулы видим, что 1Im −G пропорциональна
малому δ , уменьшается с уменьшением 0j и обраща-
ется в нуль при 0=φ , / 2π (т.е. в ТL-геометриях).
При 0→ω из (78) следует, что
2 2 2
1 0 0Im ( / )( / ) ( / ) sin 2− ≈ p q cG j jδ γ ωω ω φ , (79)
а при ω → ∞ имеем
2 2
1 0Im ( / )( / ) ( / ) sin 2− ≈ p cG j jδ γ ω ω φ . (80)
Итак, при → ∞ω угловая зависимость определяет-
ся только величиной sin 2φ , тогда как при 0→ω по-
является еще достаточно сильная зависимость от
2cos φ в знаменателе из-за наличия множителя 4
0qω .
Любопытно, однако, что 1Im 0− →G как при 0→ω ,
так и при → ∞ω .
3. Заключение
В данной работе, в отличие от работы [1], теорети-
чески изучается микроволновое поглощение вихрями в
сверхпроводнике с периодическим (типа стиральной
доски) потенциалом пиннинга в присутствии эффекта
Холла и анизотропии вязкости. Основным результатом
данной работы являются зависимости тензоров про-
дольного и поперечного импедансов, а также погло-
щенной мощности (см. наиболее общие формулы (44),
(45), (62) и (63)) от величины плотности субкритиче-
ского постоянного тока 0j , частоты переменного тока
ω , безразмерного параметра Холла δ , коэффициента
анизотропии γ и угла φ между направлением колли-
неарных токов j0 и j1(t) по отношению к каналам одно-
осного периодического потенциала пиннинга.
Чтобы проанализировать теоретическими методами
описанную выше физическую модель путем исследо-
вания резистивных откликов и поглощенной мощно-
сти, в пунктах 2.2 и 2.3 используется сравнительно
простая, но вместе с тем достаточно физическая мо-
дель периодического потенциала пиннинга при докри-
тических токах. В работе показано, что наиболее суще-
ственное влияние на результаты статьи [1] оказывает
не величина γ (основные проявления которой хорошо
видны даже в случае отсутствия пиннинга, см. пункт
2.2.1), а величина параметра є . На постоянном докри-
тическом токе плотностью 0 < cj j неожиданно оказы-
вается, что величина є не входит в резистивные от-
клики (см. формулу (28), откуда следует, что величину
є нельзя определить из измерений на постоянном то-
ке), тогда как на малом переменном токе благодаря
наличию є появляется два новых эффекта. Первый
эффект связан с уменьшением поглощения с ростом
величины є при любых докритических токах 0 < cj j .
Второй эффект состоит в появлении нечетной (по от-
ношению к инверсии В → –В) составляющей погло-
щаемой мощности ( )−P ω при 0≠φ , / 2π (т.е. не в
ТL-геометриях), которая растет с ростом є . Второй
эффект является, по нашему мнению, наиболее суще-
ственным физическим результатом, следующим из
учета эффекта Холла. Действительно, оказывается, что
даже в случае 1<<є измеряемая в эксперименте по
поглощению мощности в заданном внешнем поле В
величина ( )P B изменяется при инверсии направления
магнитного поля. Иными словами, инвариантными по
модулю значениями ( )P B являются четная и нечетная
части поглощаемой мощности, т.е. ( )±P B (см. форму-
лу (66) и текст после нее). Любопытно, однако, что в
ТL-геометриях ( ) 0− =P B , т.е. инверсия В не влияет на
величину поглощаемой мощности из-за неизменности
частот депиннинга qTω и qLω .
В заключение остановимся на сравнении выводов
данной работы с аналогичными, но более общими ре-
зультатами, полученными ранее [4] в рамках той же
физической (но уже стохастической) модели для про-
извольных значений температуры T и величин плот-
ности постоянного и переменного тока 0j и 1j (одна-
ко при 1=γ ). Отметим, что хотя в работе [4] было
найдено более общее и формально точное решение
рассматриваемой задачи в терминах матричных цеп-
ных дробей, однако такая аналитическая реализация
решения не позволяет исследовать поведение основ-
ных физических результатов задачи (тензора импедан-
са и поглощаемой мощности) в виде явных аналитиче-
ских функций от основных физических переменных
(углов φ , амплитуды постоянного тока 0j и частоты
ω ) и параметров (безразмерного коэффициента Холла
є , частоты депиннинга pω и фактора анизотропии γ ).
Действительно, реализация формул, представленных в
виде цепных дробей, сводится к построению графиков
резистивных откликов и поглощения как функций од-
ной или в лучшем случае двух переменных при фикса-
ции остальных переменных и параметров. Рассмотрен-
ная в нашей статье задача благодаря ограничению
интервалов изменения переменных ( 0=T , 0 < cj j и
1 0→j ) позволяет достаточно легко получить ответы в
виде простых по структуре и имеющих наглядные фи-
зические асимптотики формул, использующих лишь
элементарные функции и, как следствие, простую фи-
зическую интерпретацию.
В.А. Шкловский, Данг Тхи Бик Хоп
100 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 1
1. В.А. Шкловский, Хоп Данг Тхи Бик, ФНТ 35, 469 (2009)
[Low Temp. Phys. 35, 365 (2009)].
2. J.M. Harris, Y.F. Yan, O.K.C. Tsui, Y. Matsuda, and N.P.
Ong, Phys. Rev. Lett. 73, 223 (1994).
3. T.A. Friedmann, M.W. Rabin, J. Giapintzakis, J.P. Rice, and
D.M. Ginsberg, Phys. Rev. B42, 6217 (1990).
4. V.A. Shklovskij and O. V. Dobrovolskiy, Phys. Rev. B78,
104526 (2008).
5. В.А. Шкловский, А.В. Добровольский, Пиннинг и дина-
мика вихрей в сверхпроводниках, Курс лекций, Харьков
(2007).
6. V.A. Shklovskij, A.K. Soroka, and A.A. Soroka, JETP 89,
1138 (1999).
7. V.A. Shklovskij, J. Low Temp. Phys. 131, 899 (2003).
8. V.A. Shklovskij, J. Low Temp. Phys. 139, 289 (2005).
9. V.A. Shklovskij and O.V. Dobrovolskiy , Phys. Rev. B74,
104511 (2006).
10. O.K. Soroka, V.A. Shklovskij, and M. Huth, Phys. Rev.
B76, 014504 (2007).
11. V.A. Shklovskij, Phys. Rev. B65, 092508 (2002).
12. В.А. Шкловский, А.А. Сорока, ФНТ 28, 365 (2002) [Low
Temp. Phys. 28, 254 (2002)].
13. В.А. Шкловский, А.А. Сорока, ФНТ 28, 22 (2003) [Low
Temp. Phys. 29, 16 (2003)].
14. V.A. Shklovskij and A.A. Soroka, J. Low Temp. Phys. 130,
407 (2003).
Hall-effect and microwave absorption by vortices
in anisotropic superconductor with periodic pinning
potential
V.A. Shklovskij and Dang Thi Bich Hop
The results of the theoretical calculation of
microwave absorption, tensor of impedance and
magnetoresistivity of the type-II superconductor
in the framework of the model of periodic pinning
potential in the presence of the Hall effect are
presented in the work.
PACS: 74.25.F– Transport properties;
74.25.Uv Vortex phases (includes vortex
lattices, vortex liquids, and vortex glasses);
74.25.Sv Critical currents.
Keywords: рinning, Hall-effect, anisotropy, critical cur-
rent, microwave absorption, tensor of impedance and
magnetoresistivity.
|