Control circuits for LED positional indicator
We discuss the main concepts of circuit solutions for positional data representation and propose appropriate mathematical models. The basic features of positional information model formation in the displays with different (linear and array) types of element connection are analyzed. The mathematical...
Saved in:
| Date: | 2002 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України
2002
|
| Series: | Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/121357 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Control circuits for LED positional indicator / A.V. Bushma, G.A. Sukach, L.A. Mischenko // Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 442-448. — Бібліогр.: 9 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-121357 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1213572025-02-09T17:36:35Z Control circuits for LED positional indicator Bushma, A.V. Sukach, G.A. Mischenko, L.A. We discuss the main concepts of circuit solutions for positional data representation and propose appropriate mathematical models. The basic features of positional information model formation in the displays with different (linear and array) types of element connection are analyzed. The mathematical models of digital circuits and their realizations for positional indication on different types of LED bar graph arrays are presented. An optimized analytical model and applicable logic structure for display with series connection of LED scale elements are proposed. The minimized circuit solutions for the reliable positional display units with different electric design of information area are offered. 2002 Article Control circuits for LED positional indicator / A.V. Bushma, G.A. Sukach, L.A. Mischenko // Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 442-448. — Бібліогр.: 9 назв. — англ. 1560-8034 PACS: 85.60.Bt, 42.79.Kr https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/121357 en Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics application/pdf Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
English |
| description |
We discuss the main concepts of circuit solutions for positional data representation and propose appropriate mathematical models. The basic features of positional information model formation in the displays with different (linear and array) types of element connection are analyzed. The mathematical models of digital circuits and their realizations for positional indication on different types of LED bar graph arrays are presented. An optimized analytical model and applicable logic structure for display with series connection of LED scale elements are proposed. The minimized circuit solutions for the reliable positional display units with different electric design of information area are offered. |
| format |
Article |
| author |
Bushma, A.V. Sukach, G.A. Mischenko, L.A. |
| spellingShingle |
Bushma, A.V. Sukach, G.A. Mischenko, L.A. Control circuits for LED positional indicator Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics |
| author_facet |
Bushma, A.V. Sukach, G.A. Mischenko, L.A. |
| author_sort |
Bushma, A.V. |
| title |
Control circuits for LED positional indicator |
| title_short |
Control circuits for LED positional indicator |
| title_full |
Control circuits for LED positional indicator |
| title_fullStr |
Control circuits for LED positional indicator |
| title_full_unstemmed |
Control circuits for LED positional indicator |
| title_sort |
control circuits for led positional indicator |
| publisher |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/121357 |
| citation_txt |
Control circuits for LED positional indicator / A.V. Bushma, G.A. Sukach, L.A. Mischenko // Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 442-448. — Бібліогр.: 9 назв. — англ. |
| series |
Semiconductor Physics Quantum Electronics & Optoelectronics |
| work_keys_str_mv |
AT bushmaav controlcircuitsforledpositionalindicator AT sukachga controlcircuitsforledpositionalindicator AT mischenkola controlcircuitsforledpositionalindicator |
| first_indexed |
2025-11-28T19:52:29Z |
| last_indexed |
2025-11-28T19:52:29Z |
| _version_ |
1850065084007579648 |
| fulltext |
�������� �
���
��������� ��
������
������� ����
�����
�������� ������ ��� ����� ���
�� ��� ��!�
"�������#��
�
���$��������� �
���
����������
������%��������$�����������$�&'��������
������
��
�������������
��������� ��
�������
������ � ����� �� �����
������
������������
������
����� �������
#��
�
�� �$� �������� �
���
���������%�� �$�&'������� ��� �������
��� '��� �(��!�)��*��&'�����
����+� (!,���-� �.�� ./!!0� $�1+� (!,���-� �.�� ��(�0� � ����+� 2 ����3����'��*� �
������������������������������� ���!��� "���������� #��� ���" ��! ���� ��#��������!��������� �
����!� ! ��� �!!� !�����������������#�� ��#���$���%����� "�������� "� ! ���� ��#� ��" ����� �
� ��#�" ����� ������������!#�&��'������""������(#��������������&)��&!��� "��#������� ������ �
�������#&*����$��������������#�� ��#�� "���+���#�����������������������#�*��� ���" ��! ���� ��#
�������� �� ����""�������&!��� "�,-.�%���+��!������&������!������������� !����*������#&����#
� ��#������!!#���%#��# +�������������" �����!#�&�'������������ ������ �� "�,-.����#���#������
���� !� ! �����$���������*��� �������� � #��� ��� " �� ���� ��#��%#�� ! ���� ��#� ���!#�&� ������'���
��""�������#�����������+�� "� ��" ����� ����������� ""�����
�!"����#� ! ���� ��#� �������� ��� ��#��%�#��&�� � ��#��+�� ���!#�&�� ,-.�� %��� +��!�� ����&�
!� �#���� ������ # +��� �#������� ��+���#� ����������� ����+������ ��������
��!��������/����
�00�
�1�����!����" ��!�%#����� ��0��0��
��
$�� %�����
�� ��
.���+������!���������� "��#���� ������������������/��
" ����" ����� ��!� ������+����������"�������� ����� !���2
� ������������������#��%�#��&� "�� �������" ����� �2����2
����+���+������&��������!!#����� �� "� !� �#���� �����&�2
�������3������! ���%#��� �� #/��������������#������ "�����
!� %#����� ��������� �� ��#��%�#��&� +� '��� � �#��%�
�����/���%&�/����#�+��!�������� ���������+����" ����� �
���������&�
$���+��!����" ���� "��������!��������� ������%����
������!!� !��������" ����� ��� ��#�(45)�����������2
�������������%�+� ���� ����! �������%��'��������/����#
���+���������������+��������������� � !���� ���$' �45
" ������/��%���������� ��� "�����%���+��!������! ���� ��#
����4������"�������������������"�6������ �+����! ���� �� "
��� !����#�� �2���" ����&��������������� ����" ����� �
�����(4�)���������������� ��� ���������� ����� ����%&�% ��
��#��+�������! ���� �� "�������+��"����������" �����%&����
!����#� � �2���" ����&� ��#���/�#&� ���#�����3������ " �
���#���%����� ������/���#����������+���,-.���������������
����##��������+����3� ���##��������+�#���� ���������#��
���!����/�#&�
4��! ���%#������� %�#���&������'�������#�������+���2
��/����" ����� ��������#�������(4�-)��� ��������#������2
�+�� "�����! ���� ��#�45�������������" ��� "��������!�����2
���� ��!� /�������������+��! '����""������&��$������!��2
��/��#�/�#� "��""������&�������#��%�#��&� "���������/�������
������������� ����#&����������!����� �� "�"����� ��#����
��������#�� #��� ���" ���������������'������������� ������2
����"�##&�� #/�������+� ��" ����� ��#�!� �������������
�����" ����� ��� ��#��+������+������&������70���8�
4�������' �3��'�����#�'�������#&�������� !����*��� �
"�����# +���#�� ��#�� "���+���#�����������������!!� !��2
���������������+�������+�" �����&�������� "�����! ���� ��#
45������%���+��!�����!#�&� "� !� �#���� ������+������&�2
�����
&���� �� ��������� ���� � ��
�� ���
� ���
.����"� ������������#����������������"������� ����� !2
���� ��!���45��#���������������������� "�/����#��&�% #��
�������#������������������ ������ ����! �����%&��������9��
�&�% #����� !����#�" ��� "�'�������!������������� �����
� ��� ##���/�#�������&�% #����+������&������*������4�
'������������������#���������##�4�-�" ���������%���������%�
������%�����
{ }pp aaa,aaA ,,,,, 121 −= �� ν � �(0)
'����:���������� ��#����%��� "�4�-����� p,1=ν �
������
�����������#���������� ��
�������
������
��;������,�-������
$����6������ �� "����!#�&��#����������#�*���%&�����+2
���#�� ��� #����������������� ���'����45��$����# +���#����2
�����%&��������%��� "��#�������#���+��#�� νE �" ��������%2
���� νA
~
� "���������%������&������*�����9������/����#��&�2
% #� νS ��< ������! ���� ��#�45��!!� !������ !����#�� �2
���" ����&�����������!#�&�� ������ "����� �#&��6������ νa
4�-�7;���8�����������#���� ����&������#����#�*��� �� "����
� ��� #������������! ���%#���%������# ����������������#��6!�2
�����&������������� νA
~
�� �/�������� ���������&�����
$����!� ����� "�����������" ����� �����! ���� ��#���!2
��������� ����&�%��������%����������" ## '��+� !���� �
" ��
( )[ ] ννννννν ψψ SaAXEXI ze ⇔=⇔=⇔⇔ ~
�� (�)
'����� νI ����*2���������+� "����������� ��1�4*��������'
��+�����!���� ��� "�*2������������� ���4� ,,x,x �21{=
};ki x,,x � �*���������2������#��#�������#���+��#�������62
��������!#�&��#�������" ������*��&�% #�� ,,e,eE �21{=
};pe,,e �ν eψ ������� !���� ��������%��+������" ���2
�� �� "���+���#�� ��� #���+��#����� ������#�������" ���� ���2
�! ����+�� �����4�-��&!�1� z� ������� ��������#��� �� !2
���� ��
4����!������&� �����������4�-��&!�����������������(�#2
��������+)�/ #��+�� �����������������/���������6�����+���+2
��#�������� ��� #����� �����+���������'�����!!� !�����
���/����4���"����� ���� �!�����%�""��������" ����� �� "
# +���#������"� ���������!#�&���+���#������������������#2
�*����� !���� �
( ),Z�E e= (;)
'�����5� ���62��+��� ��!��� � ��� "� ���� # +���#� �������
}{ 21 qi z,,z,,z,zZ ��= ���� qi ,1= �
�$������%��� "����/���������#����!����� ���� ���� "
���!#�&��������#���������+�����#����������9��#��� �6���%2
������ "�# +���#����������#�!� ������+� "���+���#���+��#�
���������#��������������������&� "����#�*���"����� ����� �
���� !���� ��(;)�����%��!�����������
( ),iei ze ψ= �(�)
'����������������#��������6�����+���+��#�" ���2���4�-1�5����
�����2��� ��!�����+��#� "�������+���#�� ��� #������������������
�2�����+����������� ��!���� ���7�
� ���9����#&�����������# +���#�!� ������+� "�!���##�#
%����&�� ���4� "����������� �������%����!�����������
( ).X�Z z= ��(
)
$���!��" ��������#&���������� '����������#�*��� �� "
45��&���������������4�������� �������'����(�)���������2
������%&���������+�� "������� ������ ���%��'�������!#�&
�#��������<� ������/��'! ���� "��#�������#������������2
����%���%&�(0)��4�-������� ��� "�����' 2�������#������
�����������#�� ������ �����/����#������( ��2� �������)
�������6� (�' 2� �������)� �����+������� 4�� ����� �!2
!� ��������!����#�# ���� �� "��#���������������������%&
����� ! # +&� "������45����������/���������#���/�#&��
�#�������� ������ ����� ��'���� �#��� ����������!#�&������
'����#���������������6��#�������#������� ������ �� "�4�-��
'��
����� ��� (�� ��� ������� ���� ���"���� ���
� ����!� ��������
$���#����������+�� "������������������� �������4�-���������
�����#���/�#&����!#�����!#�&���4�����������' �'�&��" ��� �2
����� ���%��'���������' 2�������#��#��������4������"����
�������##�����#����������#�� "� ����&!������� �����������
%� �+���� ���� �� ��%����'��#�� !! ������������#�����/�
�������!���������!���� "��������!#�&��4��������� ��������
�����#������������ ������������������(��&����,-.��� �����
� ��������� ������� ��� "�������6��,-.)1�����"����������2
��#� "�����"������#��������##������ ������ ��! �������������
��� ����������#� "�����#�����#���������/�������!������ ���
�� #����������+����� ������� �� ��/ #/��+��� �#������� ��� �
��#��2�������#����' �3�'����(��=�0)��������#���-���� "
������������� '��'��+���"��� ����#������ ����!����#�! ��2
�� �� "������ ����! ����+��#�������$���� �� ��(" ���##
�����#������)��������#�!� /������������ ������ ��� ����
� ��� #��������������������� ������ �������"������������#� "
�����#������'������������'��+���!#�&������������ #��
< �������!#�&�����+��������% /����������%��� "�� �2
�� #���+��#��� ����! ����� ��������%��� "��#�������������
�9��#�� ����������#&���� "�������%��� �� "��## '�%#���6��2
���� ��! ������#������������!#�&��������#���� '���������&
"������#�����������%���'������� ������!������#&� "����
��������!!#&��+���+�/���� �%����� �� "������ ��� #��#��2
�������+��#���*�+��������������� ���'����(�)�� �����(��=�0)
�������#����3���������$��������45�����%���&������*�����
������������ ����4�������������" ����� �� "������%�����&
�&�% #��*�� ����! ����� ��6������ �� "�*2���4�-��*�"� �
��������%���������������%���%&�(0)�
>"�!�������#� ��������� ��� ���� ��������#� ���#�*��� �� "
�����"����� �������������%���%&� !���� ��(
)�" ����������
'����������!�����+��#����!���������%&����������%����&�� ���
,��� �� �&�% #� ('���� ����+���� � �/���� ��#� ! ���� �
���%���*�?�0)��6����� ����! ����+�� �*�� �/�#��� "����
��!�����+��#��$����������+���#�����������������&������*��
����45� "�! ���� ��#��������!��������� ������������!#�&
'���� ���� �� ���������#����������%���%&������������2
��#�� ��#
.iiz µ= ��(�)
@����5�:�������� ��� #���+��#�" ������4�-�����'���� p,i 1= 1
µ�:��������2����������� "���!�����+��#�������� ����! �����
�2������������� ��� ���4��
$�������#����#�*��� �� "�� ��#�(�)�� ����! ����� �A0
"��A���� �����$���� �!#����+� �!� "��'���������� ��
" ������������ ��!���� "�� �!#����'2��+���4�� ���� �7
� ��������#�� ���4��+�����#��������9������&� "���!�����+2
��#��'� "�# +���#�����������'�����2��+��� ��!���� ���7����
��� ������,�-������
������
�����������#���������� ��
�������
������
%������������� "� �� �9���� � ( )[ ] 11log2 +−Ε≥ pk �
'�����-��������" ��-������(��������������+���!���� "��6!���2
�� �)��$����&!���#����#�*��� �� "���� ���� ���%��������'
# +���#��#�������B>$���������#��2��!���(�����#��'2��!��)
# +���#����������B.�7
8��$���"����� ��#�������� "����2
!#�&������" ��! ���� ��#��������!��������� ������� '����
<�+��0��$������� "�'��#�������B>$�0�!� ��������/���� �
"���!�����+��#�� kx,,x,x �21 � "������ ���4��$���# +���#
�#��������B.���" �������� �!#�������� " kp 2= ����������
$������ ��!��� kk z,z,,z,z
21221 −
� ����������� ��'����
���/���� ;� ����� +�������� �� �#������� ��+��#�
kk e,e,,e,e
21221 −
� � " �� �6������ �� "� �!!� !�����
4�-�:���$�����,-.�������������+���'��������� �� �
�������#������ ��������� ������ ��� #������������(��=�0)
�������#����' �3������+��#�%���������#��3���� ��!!� !��2
���������/����;���������#���� ��������� �������'����� �� �
%���
� "�� ���� '��! '�����!!#&��4"���� �����&������*��
��� �2� �!#�������� "��1����������������� ,22 1 k
x
k p <<− ���
���! ���%#��� �������*�������# +���#�������������� �+����2
�����+� "�������!���� "������#��������B.�
4"� ���� ���������������!#�&�'����,-.��#�������� �2
�������������������������!����/��# +���� ��� #����������� �#�
���#�*����� !���� �
1++= iii zz µ � �(�)
'�����5���5�=0:������+��������2�������(��=�0)2��� ��!���� "����
� ��������#�� ������!����/�#&������ pi ,1= �'����5��=�0�?�
�
.�+���#��������������� ����! ����� � !���� ��(�)����2
�##&����������%���+��!��� ��������#�� ���������%��#����
����%����� "���� ���������" ���������������������������� "
>C�# +���#��#��������$���#���� ����!��" ���# +���#�����2
�� �������D������������#�� "��������������:7;8��$���� �2
!#�6��&��# '2�!����!��" �����������# '���#��%�#��&� "�����
� ��������#�� �������#�������� !����*��� ��
� ���������+�"� ��(�)�������+�����#�*���� ��#�����%�
��!������������
,11 =z
,12312 xxxxxz kk +++++= − �
,2313 xxxxz kk ++++= − �
,12314 xxxxxz kk ⋅++++= − �
���
,
1
2
kp xz =
+
( )
���
( ),12312 xxxxxz kkp +⋅⋅⋅⋅= −− �
,2311 xxxxz kkp ⋅⋅⋅⋅= −− �
.1231 xxxxxz kkp ⋅⋅⋅⋅⋅= − �
>�������������������#� !���� ���7�8�����!�����������&�2
����( )��$����� ��� "� ��!�����+��#�������9��#�� ������!2
!� !��������!�����+��#���$���� ��#�( )����#&���������� '�
�����'������ !����*������# +���#������!� ������+�%&�9���2
) (�� $�� $��� "����� ��#� ������� "� ���� ���!#�&� ����� " �� ! ���� ��#� ����� ��!��������� �� ��� ��" ����� �� ����� '���� � �� �� �������#
� �������� �#��������'�����/� ����'� # +���#� �#�������B>$1��� ���� �� ?� �'� # +���#� �#��������B.1�(� ���� �� ���/���1��� ���� �� ,-.�� ���� �
��� ���� � �� ��%��� "� ! '��� ��!!#&�
�
�
�
� � �
�
�
��
�
� � �
��
��
�
��
�
�� ��
�
�� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
����
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
������
�����������#���������� ��
�������
������
��
������,�-������
������/������9��#�����/��������� ����$�������%����� ������� �2
��������� ���������� ��������" ����� �����������&� "
" ������*��&�% #���� �'����������" ## '��+���%������� ��
212321 yxxxxx kk =+++++ −− � �
32321 yxxxx kk =++++ −− � �
412321 yxxxxx kk =⋅++++ −− � �
���
121 2 +− −= kyxk
� (�)
���
( )
2212321 1−−− −=+⋅⋅⋅⋅ kyxxxxx kk � �
122321 1−−− −=⋅⋅⋅⋅ kyxxxx kk � �
1212321 −=⋅⋅⋅⋅⋅ −− kyxxxxx kk � �
'����� 122 ,, −kyy � �������������������/����%#���
>�����������������&�����(�)���!���������������!#�&�����
'����('�E�0)���!�����+��#���$�����������%��� "� !���� ��
���������&�����������#���������+�"� ��� ��#�( )�'������3��
��� ���� ������%������� ��(�)������# +���#��������� "����
���!#�&������" ��/����#�! ���� ��#��������!��������� ��'���
��?��'�,-.��#�������� ����������������������'���!�����+2
��#����&�%��������%���'��������" ## '��+������������#
� ��#�
,11 =z
,22 yxz k +=
,33 yxz k +=
���
,
121
4
2++
−+= kyxz kp
���
,
222
2
1−−
−+= kyxz kp
,
121
2
1−−
−+= kyxz kp
,12
2
−+= kyxz kp
,
1
2
kp xz =
+ (0
)
,2
2
2
yxz kp ⋅=
+
,3
3
2
yxz kp ⋅=
+
���
121
4
3 2++
−⋅= kyxz kp �
���
222 1−− −⋅= kyxz kp �
121 1−− −⋅= kyxz kp �
.12 −⋅= kyxz kp
>������������������!��������4'�" �����##� ��!�����+2
��#����������������������#�# +���#�!� ������+� "�4'������2
�#�*��� ��� ���� ������#�� '���� ���%���� ��� ����� �F�� ���
pp ,,22 �+ ��<������� ����������+��#��������( )12 +p 2
���������#�����9��#�� �4'����������������������/����%#��
122 ,, −kyy � ����������" ��!� ������+�����##�������#���62
��!��"����� �������( )12 +p 2�����#�� �+��������!���� ��
11 ,, −kxx � �" ����F����+��#�� 121 ,, −kyy � ������� �!��2
��+��&������( )�����(�)�� ��������������������#���� �����2
����%���� ��������#�� ��'����('�E�0)���!�������� 12 −k � ��2
!������ ������# +���#���������" ���������!#�&�'������4�-�
����%�����#�*��� ������%����� "������" ���F���#��������$��
�#&������'����������� �!� ����� ��!�������� 121 ,, −kyy �
"�������#"2��*���� ��������#�� ��%&�>C������B.�# +���#
"����� ���'����4'��<�+�:��!����������,-.����!#�&�"���2
�� ��#����������������%��#�� ������%����� "���+���#��������
��������#�*���� ��#�(0
)�7�8���� '�����!#�&������'�����2
�#������4�����#���������� ��������#�� ��0�'�����F�� ��!��
��+��#�� .,, 121 −kyy � �$����� ���!� ������'���� ( )12 −p
# +���#� �#�������>C������� ( )12 −p � # +���#� �#������
�B.�;��$��������" �������+��#�� kk z,z,,z,z
21221 −
�
���������� �� ��� #��������� "������/���:���$��&�+�������
�6������ ����+��#�� kk e,e,,e,e
21221 −
� �������!!#�����
,-.�4�-�:
��$�����,-.�:
����������+����������������
� ��������� ������ ��� #������������(��=�0)��������#����2
' �3�'���������"������������#� "�����"�����,-.�
����� �2
�������� ���� �� ��%����� "�����! '�����!!#&��G������
��������!#�&������%����&�� ��������#�� ����������'��������2
��*���9������&� "����!#��# +����#���������������������� 2
#��� �����!� "���%#��'���� ���������� ��6������������%��
"����!#�&�4�-���!�� �� �%#��9������&�
� �� �������%��#����! ���� ��#����!#�&������'����#�����
����+�� "�� ������ ���%��'��������4�-������' ��#�����2
��/��'�&���$������/ #/�������#���� �� "�# +���#����������
� ����! ����+�� �,-.������� ������ �����������������
%���+��!������&����������������������#���4"�'�����#�'���
4�-��� ��������� ���� �� ��%���������'�����������# +�2
��#�����������������#�*��� ��#�(�)��������%��������A0� "��A
��� �����4����������� "��������� ������ �� "�,-.�����
�!!� !��������������� #��� ���������%���+��!��� ��������2
#�� �������� ����! ����� ���+�����#�*���" ��� "� !���� �
(�)� ������� ��"����� ����4"� �������%���+��!������&��'���
� �2������ ��������,-.�� (" �� �6��!#��� ���@�'#���2
���3����@.��2� HH�������� "�0
2�#������#����������&�
7 8)��������! ���%#��� ����#�*����%�����&��#�����������+�� "
4���$����" ���'�����#&*���##� ��!����������������� � #�2
�� ���� ���"��������� ������!#��������#��%#��/������� "
��+���#�����������" ��! ���� ��#����!#�&�
����&������*��" ���/�������� "�# +���#����������(�����2
���� ����������*��� A0� "� �A� ��� ������ �&!���#� ���
!����*���%���+��!��� ��������#�� ��)�" ���!!� !�����
�#�����������+�� "�4�����������"� ����� �0��,-.����!#�&
�#��������$����'�����#&*����� �!#�6��&� "���������+���#
��������������������������+������������������4�� ���� �!�2
���� ����'���������� �!#�6��&� "���+���#�� #��� ��������
+�����#�*���� ���������!��������� �� "�����"����� ��#��#�2
�������������#��2�������#����' �3��7�8��� ��'��������� ��#
���%��� "���!���� "��##�# +���#��#�����������������������
��� ������,�-������
������
�����������#���������� ��
�������
������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�−��
�
�
�−�� �−��
�� ��
��
�−��
���
�
��
���
�
��
���
�
��
�
��
�
�
�
�
���
���
�
�
�
�
�
�
���
�
��
���
�
��
�
��
�
�
�
�
�
���
���
�
�
�
�
�
�
������
��
�� ��
���
�
��
��
�� ��
�
�
�
��
��
) (�� &�� $��� "����� ��#� ������� "� ���� ���!#�&� ����� " �� ! ���� ��#� ����� ��!��������� �� ��� ��" ����� �� �����'���
������� � �������� �#��������'�����/� ��� � ��� �����#�� �1��� ���� (�F�� E� 0)� # +���#� �#�������>C1�(� ���� (�F�� E� 0)� # +���#
�#��������B.1��������� ���/���1��������� ,-.�� ���� �� ��� ���� � �� ��%��� "� ! '��� ��!!#&�
�
�
��
��
��
��
���
� � �� �� �� ��
p , e lem e n ts
C
, c
on
. u
n.
1
2
4
3
a
�
�
�
�
��
��
� � �� �� �� ��
p , e lem en ts
1 , 2
4
3
�
,
re
l.
un
.
r
b
) (�� '�� $��� � �!�����/�� ���������������� (A�A� +��!�� !�������� ���� � �!#�6��&� ���� A2A� +��!�� �� '� ���� �!���)� "� ��+���#� ������������'����
/� ������ � ����! ���� � � ��������� A0� "��A� ��� ���� ���� ����������*��� � #��� �� " �� � �2� �!#���� ���� "�����������(� ���� ��� ����! ��
� � �&!���#� ���� !����*��� %��� +��!�� � ��� �����#�� �� !����������
������
�����������#���������� ��
�������
������
���������,�-������
" �� �����9���������/�� �������� ��������!��������� �� "
� �!#�6��&�8� "����#&*���# +���#���������������"����� �� "
����� ��#����%��� "���4�-������� '�����<�+��;���'�����+��!��
"� ��0�� ���� ����! ���� ����������A0� "��A���� ����(<�+��0)�
����������*���� #��� ��" ��� �2� �!#�������� "����������
�&!���#�%���+��!��� ��������#�� �:7;8��������� !����*��
���������������'�� ""���������!����������������<�+�������
��������������+�����������������τ�� "��������������������
��#���/��/�#���� ������!���� "�%�����# +���#��#��������!���
� �!����� ������#���" ��� �����������+���#����������������
�&������*���6������ ����+��#��" �����!#�&�'���� 16,4=p
,-.�������� '�����<�+��;%��>����������������������� ���
��������%���������������%#�������+�����������������������
"�##����+�� "�4�-��9������&��$��� ""������ ��������#�� �
��� �#&� ������!��# '#&�����&!���#�� ��������#�� ���������
' ����� ������������+�!����������
$�������&�����#����� '����������%������������#�� #�2
�� ��" ���� �+�����!#��! ���� ��#�,-.����!#�&��������
�������� ������ �� "�%���+��!������&��#��������������
������*���%���+��!��� ��������#�� ���$����/������� "����2
!#�&����#�*��� ��!� /�����!�� �;
I�� ���������� ������ �2
!����'�������� ����� ������������� �� ��%���� �������
,-.������������*������ ������ ����# '� '�� "����
""������ #��� ������ ����������#�" ���������!#�&��
*������!� ������� ��� ��� ���� � ����!� ��������
��! !�#����' 2� ������������&��#�����������+�� "����2
!#�&�������������������#����������������+������ ������%��
"�+� �!��7;8���$����#����������������# �����������%&�����
���������" ����� ��������������������� � ���+� �!��$��
�������#�� "�+� �!�%�������3�� ��� "���������&�� ���2
��������� ������ �����������" �����%&�����%���������
� �������������#�� "������#������� "�������������%�����
�/��&�+� �!��4����������� "����' 2������� ��#�����&� "��
+� �!��������+� �!�� ����������#������� )( p=nm ⋅ ���
�������!#�&��������#��2�������#����' �3�'���� )(m+n ����2
����#���B ��������#��6�������������� �� ��" ���##������#�2
��������##�����+� �!��������#������%����� "�����+���� �2
�����-/��&�� �� ���������#� "������#������������%��� "��
# '��� �����������������������"����� ��#�'��+���"��� �
����������#������ ������!����#�! ���� ���������4�� "������ �2
���! ����+�+� �!�������#��������$ ��##�������������#�2
������1��������'��+���"��� ��(���%��)��� �������+� �!
'� ���'��+���"��� ��(���%��)����11� n,x 1= �� m,y 1= ��4�
�����������! ���� �����%��� "������#����������������#����
�������������� .yxm� +⋅=
4�������!#�&��#������� "�'���������� ����������� ��
�' 2������� ��#�����&��" ����� �� "�����45����!��" ����
%&��&���� � ����!!#����� �� "��#�������� ��� #���+��#���
����� ����! ����+�%����� "�# '���������+������+���������
����#��������#�������������������� �� "������� ����# '��2
������+���2 �����%�������������/������ �����6������������
������#&���� "��## '�%#���6������ ��! ������#�������%�2
�� �� /���(��=��)��������#�� "����������#��2�������#����2
' �3��� '�����������������������������45�� �#��%���#�
������ � %�����! ���� ��#��������� �� "���" ����� ������
� ����! ����� �����+�����#�" ���(�)�
���������' 2������� ��#�4�-�������+������ "��������
%���������������%����������+�����#�" ���%&�(0)�����%��!��2
�������#�3���������6
}{ )1(1211 mnmnyx a,a,,a,,a,aA −= �� � (00)
'������1���������4�-�# ������������������� �� "�����# '��2
�����%�����������+���2 �����%���1�
4��������������������� νA
~
���!#��������+������!!� !�����
" ��
xyaaA == νν
~
� (0�)
@����
Ε−=+Ε=
m
�
�y,
m
�
x 1 ���������4�-�� ���2
�������������������� ������&�
$ ����#�*������! ���� ��#�45�����������!#�&�'��������&
� ������ �� "��#�������� ���������������+���#����������
��������������%���%&� ��� "�����" ## '��+������������#
� ��#��
2��"�4�����%��#�����,-.�%���+��!������&��'����� �� �
�� ����#������� �"�+����� �
yxiz µµ ⋅= 1 �(0;)
2��"�,-.�%���+��!������&������� �� ������ ���(" �
�6��!#������@�'#���2���3�����@.��2 HH�������� "�0
02
�#������#����������&��7 8�)
,yxiz µµ ⋅= ��(0�)
'����� ,xµ yµ �������������� "�������+���2 ���������# '��2
�������!�����+��#��
J�����##&��� # +���#��������� ��������#�*��� ��#�� (0;)
����(0�)���&�%��%��#�� ������%����� "��' �(A0� "��A�����A0
"��A)���� ����������!!� !������ ��!������/����7;8������
��#��������� #�������������������������! #���� ������/��&
"�,-.����!#�&��#������" �������# +���#�!� �������������
� ��#��
� +�������
� ���
$��������"�������� "�������" ����� ��� ��#�" ��! ���� ��#
�������!��������� �����#�*���'����# +���#��������������
2����!#����&� "�" ����� ������������!#�&�'������#������
���'�##��������&������+�� "�� ������ ���%��'�����#������1
2�! ���%�#��&�" ������������#�*��� �������&�� ������ �
"����!#�&��#������1
2���# '�! '���� ����!�� ��%&���/�����'��������/�����2
!#�&������!������#����,-.� ����
$���%�������������#�%����� � �%��#����� !����*���%&
��#��%�#��&�! ���� ��#����!#�&�����������
2����������� ������ �� "�,-.���" ����� ��������#�2
����������������*���%���+��!��� ��������#�� ����������2
�%#��" ���� �+�����!#��������� ��1
2��������&�� ������ �� "�,-.����!#�&��#�������'���
��+���#���������%����� ���' �%����&���� �������������!#���2
�%#��" ����/�����'������#��2��������#���
�� ������,�-������
������
�����������#���������� ��
�������
������
$����% /������#����## '����#&����#�������!�� �� "����
!� ������� �������+���� !� �#���� ����"���#������" ����" �2
���� �����!#�&��$���!� ! ���������������#�� ��#�����
# +���#������������������#!���/�# !���� "� !� �#���� ���
�&������������#&����������#���� �� "�����+��� #��� ���" �
� ����""�������������#��%#���������!��������� ��
9�$�������
0� K�:4�:� ��&�3�� K�:-�:�� ��3 /�� ���
���� $��� ���:��:� ��$��
��
���� ���� ��:������ ��������:�� (���C������)�����/��K&�����
��3 #��� 0����� 0��� !�
�� <�:5�:L�%# ��3���L��:K�:$� ���3���;����� $��� ���:��:� ��$��
��
���� (���C������)��5 �� '��K&����&�� ��3 #��� 0�
�� �
� !�
;� ����� J�+���5��3� @ ��!!�� .�/�� -/����� @���� � �������
��
�����
������� �������
������� ����5�J��'2@�##�� 3�� �2
!��&��B�'�L �3�� E� 0����
�� K�:��:J � 3� /�� K�:��:C&%�3 /�� ��:��:���/��/�� 4���+�����
�������� �� �!!#������� " �� � ��� #2��������+� �!!������� (��
C������)� FF�;�'������
����'�� �� ��� ���*����'�*���� ���2����
5 �� '�� � /�� ���� �� 0�
�� ������
�� !�� �
�� E� ����
� ���J���#�3���3 �� 4�� 4�� ���+������;���� ���� �
��� (���C������)�
5 �� '��C��� � �� �/&�*�� 0� ��� �0�� !�
�� K�������+ ��3&�� �;�
����
����$�����:������� (���C������)���&�/�
$�3���3��� 0��
�� �� � !�
�� ������0����0��(G��C)��<�����*����$�����
� �
�F����K��������
��� �#�
� ��
�����
������� =���:���>�� 8�
���:�� @�'#���2���3���� � ��
G���� E� 0��;�
�� K�����5�������3 ����� 4����!�� /��K��K��K����� ��� �#��?�:����
��:�������:� �$� ?�#8� (���C������)�� -�� %&�K�����5�������3 �
5 �� '��C��� � �� �/&�*�� 0� ��� ;0�:!�
|