Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора
Исследуется управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику упругого манипулятора с нагрузкой. Получены условия наблюдаемости системы относительно выходного сигнала в виде угла наклона и компоненты тензора напряжений в фиксированной точке манипулятора. Предложена яв...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2005 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123782 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 217-223. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859484246356262912 |
|---|---|
| author | Зуев, А.Л. |
| author_facet | Зуев, А.Л. |
| citation_txt | Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 217-223. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследуется управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику упругого манипулятора с нагрузкой. Получены условия наблюдаемости системы относительно выходного сигнала в виде угла наклона и компоненты тензора напряжений в фиксированной точке манипулятора. Предложена явная схема синтеза динамического наблюдателя Луенбергера, основанная на теореме Барбашина Красовского.
|
| first_indexed | 2025-11-24T15:15:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38, 531.08, 517.977.1
c©2005. À.Ë. Çóåâ
ÑÈÍÒÅÇ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÍÀÁËÞÄÀÒÅËß
ÄËß ÌÎÄÅËÈ ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÌÀÍÈÏÓËßÒÎÐÀ
Èññëåäóåòñÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ äèíà-
ìèêó óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà ñ íàãðóçêîé. Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ íàáëþäàåìîñòè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî
âûõîäíîãî ñèãíàëà â âèäå óãëà íàêëîíà è êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ìà-
íèïóëÿòîðà. Ïðåäëîæåíà ÿâíàÿ ñõåìà ñèíòåçà äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ Ëóåíáåðãåðà, îñíîâàííàÿ
íà òåîðåìå Áàðáàøèíà�Êðàñîâñêîãî.
Ââåäåíèå. Çàäà÷àì óïðàâëåíèÿ ìåõàíè÷åñêèìè ñèñòåìàìè ñ óïðóãèìè ýëåìåíòàìè
ïîñâÿùåí ðÿä ðàáîò îòå÷åñòâåííûõ è çàðóáåæíûõ àâòîðîâ [7 � 9, 13, 16, 17]. Ðàñïðîñòðà-
íåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ óïðóãîãî ýëåìåíòà â òàêèõ èññëåäîâàíèÿõ ÿâëÿåòñÿ
áàëêà Ýéëåðà�Áåðíóëëè. Ýòà ìîäåëü îáëàäàåò ñëåäóþùèì àñèìïòîòè÷åñêèì ðàñïðåäå-
ëåíèåì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ1, λ2,... çàäà÷èØòóðìà-Ëèóâèëëÿ: λn ðàñòåò ïðîïîðöèî-
íàëüíî n4 ñ ðîñòîì n [9, ñ. 176]. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ìîäàëüíûå ÷àñòîòû
óïðóãèõ êîëåáàíèé ωn =
√
λn ïðèáëèæåííî ðàñïðåäåëåíû êàê n2 ïðè âîçðàñòàíèè n.
Îäíàêî, ýêñïåðèìåíòàëüíûå èñïûòàíèÿ ãèáêîãî ìàíèïóëÿòîðà [11] â âèäå óïðàâëÿåìîé
ïîæàðíîé ëåñòíèöû ïîêàçûâàþò, ÷òî ìîäàëüíûå ÷àñòîòû ωn ðàñòóò ïî÷òè ëèíåéíî â
çàâèñèìîñòè îò íîìåðà n. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ êîëåáàíèé òàêîé
ñèñòåìû ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ìîäåëü, îòëè÷íóþ îò áàëêè Ýéëåðà-Áåðíóëëè. Âîçìîæ-
íûì óòî÷íåíèåì ìîäåëè ìàíèïóëÿòîðà ÿâëÿåòñÿ áàëêà Ñ.Ï. Òèìîøåíêî [2], äëÿ êîòîðîé
ìîäàëüíûå ÷àñòîòû ωn =
√
λn äîïóñêàþò ëèíåéíóþ ïî n îöåíêó â ñëó÷àå áàëêè ñî ñâî-
áîäíûì êîíöîì [5].
Óïðàâëÿåìîñòü è ñòàáèëèçàöèÿ áàëêè Òèìîøåíêî èññëåäîâàëèñü â ðàáîòàõ [4 � 6,
10, 14, 15], [9, Chap. 5.1.2]. Âî âñåõ ýòèõ ðàáîòàõ îäèí èç êîíöîâ áàëêè ïðåäïîëàãàåò-
ñÿ ñâîáîäíûì. Â ñòàòüå [12] äîêàçàíà ñòàáèëèçèðóåìîñòü ìîäåëè áàëêè Òèìîøåíêî â
ñëó÷àå óïðàâëåíèÿ, ïðèëîæåííîãî ê òî÷å÷íîé ìàññå íà êîíöå áàëêè.
 ñòàòüå [1] ïðåäëîæåíà ìîäåëü ãèáêîãî ìàíèïóëÿòîðà â âèäå áàëêè Òèìîøåíêî,
íåñóùåé òâåðäîå òåëî-íàãðóçêó â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Äëÿ ïðèáëèæåííûõ ïî Ãàëåðêè-
íó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â öèòèðóåìîé ðàáîòå ïîñòðîåíî óïðàâëåíèå â âèäå îáðàòíîé
ñâÿçè ïî ñîñòîÿíèþ, îáåñïå÷èâàþùåå ñòàáèëèçàöèþ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Äëÿ ðåàëè-
çàöèè òàêîãî óïðàâëåíèÿ íåîáõîäèìà èíôîðìàöèÿ î ïîëíîì ôàçîâîì âåêòîðå ñèñòåìû â
êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïîñêîëüêó èçìåðåíèå ôàçîâîãî âåêòîðà íåäîñòóïíî íà ïðàê-
òèêå, òî íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó íàáëþäåíèÿ äëÿ îöåíêè íåäîñòàþùèõ êîîðäèíàò ïî
äîñòóïíûì çíà÷åíèÿì âûõîäà ñèñòåìû.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðåøåíà çàäà÷à íàáëþäåíèÿ ôàçîâîãî âåêòîðà ìîäåëè ìàíèïó-
ëÿòîðà, ïðåäëîæåííîé â [1].
1. Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ãàëåðêèíà â ñòàòüå [1] áûëè
ïîëó÷åíû ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà â âåðòèêàëüíîé
ïëîñêîñòè. Â öèòèðóåìîé ðàáîòå èñïîëüçîâàíà ìîäåëü áàëêè Òèìîøåíêî [2, ñ. 389], ê
íèæíåìó êîíöó êîòîðîé ïðèëîæåí óïðàâëÿþùèé ìîìåíò M(t), à âåðõíèé êîíåö íåñåò
òâåðäîå òåëî-íàãðóçêó ìàññûm. Ïîñòîÿííîìó çíà÷åíèþ óïðàâëÿþùåãî ìîìåíòàM(t) =
217
À.Ë. Çóåâ
= M0 ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìîå âåëè÷èíàìè
ϕ(t) = ϕ0 = const, w(x, t) = w0(x), ψ(x, t) = ψ0(x), x ∈ [0, l], (1)
ãäå ϕ(t) � óãîë ìåæäó öåíòðàëüíîé ëèíèåé áàëêè è ãîðèçîíòàëüíûì íàïðàâëåíèåì â
òî÷êå ïðèëîæåíèÿ óïðàâëÿþùåãî ìîìåíòà; w(x, t) � îòêëîíåíèå öåíòðàëüíîé ëèíèè áàë-
êè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, õàðàêòåðèçóþùåé åå íåäåôîðìèðîâàííîå ïîëîæåíèå; ψ(x, t) �
óãîë ïîâîðîòà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè â òî÷êå ñ ëàãðàíæåâîé êîîðäèíàòîé x ∈ [0, l]
â ìîìåíò âðåìåíè t ≥ 0; l � äëèíà áàëêè. Ôîðìóëû, îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ðàâíî-
âåñèÿ (1) â çàâèñèìîñòè îò ìîìåíòà M0, ïðèâåäåíû â [1]. Â óêàçàííîé ñòàòüå ïî ïðîèç-
âîëüíîìó íàïåðåä çàäàííîìó ÷èñëó N ≥ 1 îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèè
ϕ(t) = ϕ0 + ϕ̃(t), w(x, t) = w0(x) +
N∑
i=1
wi(x)qi(t), ψ(x, t) = ψ0(x) +
N∑
i=1
ψi(x)qi(t) (2)
äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå-
ñèÿ (1). ×èñëî N õàðàêòåðèçóåò êîëè÷åñòâî ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïðåäñòàâëÿþùèõ êîëåáà-
íèÿ óïðóãîé áàëêè. Ôóíêöèè qi(t) â ôîðìóëå (2) ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè
i-é ìîäû êîëåáàíèé áàëêè; (w1(x), ψ1(x)), (w2(x), ψ2(x)),..., (wN(x), ψN(x)) � ñîáñòâåííûå
ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå N ìèíèìàëüíûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λN
çàäà÷è Øòóðìà�Ëèóâèëëÿ:
K(ψ′
i(x)− w′′
i (x))− λiρwi(x) = 0,
K(ψi(x)− w′
i(x))− EIψ′′
i (x)− λiIρψi(x) = 0, x ∈ (0, l),
wi(0) = ψi(0) = 0,
K(w′
i(l)− ψi(l))−mλiwi(l) = 0, EIψ′
i(l)− λiJcψi(l) = 0, i = 1, N, (3)
ãäå ρ � ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü (ìàññà íà åäèíèöó äëèíû áàëêè), E � ìîäóëü Þíãà, I � ìî-
ìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, Iρ = ρI/A � ìàññîâûé ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ áàëêè, m � ìàññà òâåðäîãî òåëà-íàãðóçêè, Jc � öåíòðàëüíûé ìîìåíò èíåðöèè
òâåðäîãî òåëà-íàãðóçêè. Êîýôôèöèåíò K ðàâåí kGA, ãäå G � ìîäóëü ñäâèãà, A � ïëî-
ùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè, k � ãåîìåòðè÷åñêàÿ êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìîé
ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè. Ôóíêöèè wi(x) è ψi(x) îïèñûâàþò ñîîòâåòñòâåííî îòêëîíå-
íèå öåíòðàëüíîé ëèíèè áàëêè è óãîë ïîâîðîòà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ â i-é ìîäå óïðóãèõ
êîëåáàíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü âñå âåëè÷èíû ρ, EI, K, Iρ ïîëîæèòåëüíûìè êîíñòàíòàìè,
ïîëàãàÿ òàêæå, ÷òî òåëî-íàãðóçêà ïðèêðåïëåíî ê áàëêå â ñâîåì öåíòðå ìàññ (c = 0 â
îáîçíà÷åíèÿõ ðàáîòû [1]).
Ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ [1], ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ãàëåð-
êèíà, çàïèñûâàþòñÿ â ìàòðè÷íîì âèäå ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ż1 = A11z1 + A12z2 +B1u,
ż2 = A21z1 + A22z2 +B2u,
(4)
ãäå z1 = (ϕ̃, ˙̃ϕ)T , z2 = (q1, q̇1, q2, q̇2, ..., qN , q̇N)T , z = (zT
1 , z
T
2 )T � ôàçîâûé âåêòîð; óïðàâëå-
íèå u ñâÿçàíî ñ ìîìåíòîì M ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì
u = (M −M0)
(
J0 +
∫ l
0
w0
2(x)ρ dx+mw0
2(l)
)−1
,
218
Ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ äëÿ ìîäåëè óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà
J0 � ìîìåíò èíåðöèè îïîðû ìàíèïóëÿòîðà îòíîñèòåëüíî îñè äåéñòâèÿ ìîìåíòà M . Êî-
ýôôèöèåíòû ñèñòåìû (4) òàêîâû:
A11 =
(
0 1
d0 0
)
, A12 =
(
0 0 0 0 ... 0 0
d1 0 d2 0 ... dN 0
)
,
A21 =
0 0
a1 − b1d0 0
0 0
a2 − b2d0 0
...
...
0 0
aN − bNd0 0
, A22 =
0 1 0 0 ... 0 0
−λ1 − b1d1 0 −b1d2 0 ... −b1dN 0
0 0 0 1 ... 0 0
−b2d1 0 −λ2 − b2d2 0 ... −b2dN 0
...
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 0 ... 0 1
−bNd1 0 −bNd2 0 ... −λN − bNdN 0
,
B1 =
(
0
1
)
, B2 = (0,−b1, ..., 0,−bN)T ,
ãäå
aj =
∫ l
0
ρwj dx+mwj(l)∫ l
0
(ρwj
2 + Iρψj
2)dx+mwj
2(l) + Jcψj
2(l)
g sinϕ0,
bj =
∫ l
0
(ρxwj + Iρψj)dx+mlwj(l) + Jcψj(l)∫ l
0
(ρwj
2 + Iρψj
2)dx+mwj
2(l) + Jcψj
2(l)
,
d0 =
∫ l
0
ρw0 dx+mw0(l)
J0 +
∫ l
0
w0
2(x)ρ dx+mw0
2(l)
g cosϕ0,
dj =
λj
(∫ l
0
(ρxwj + Iρψj)dx+mlwj(l) + Jcψj(l)
)
+ g
(∫ l
0
ρwj dx+mwj(l)
)
sinϕ0
J0 +
∫ l
0
w0
2(x)ρ dx+mw0
2(l)
, j = 1, N ,
g � óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ.
2. Óñëîâèÿ íàáëþäàåìîñòè. Êîíñòðóêöèÿ ðåàëüíîãî ìàíèïóëÿòîðà íå ïðåäïî-
ëàãàåò âîçìîæíîñòü èçìåðåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèé w(x, t) è ψ(x, t) â êàæäîé òî÷êå
x ∈ (0, l). Ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêó çíà÷åíèé ôàçîâîãî âåêòîðà ñèñòåìû (4) ìîæíî ïîëó-
÷èòü òîëüêî ïóòåì ðåøåíèÿ çàäà÷è íàáëþäåíèÿ ïî íåïîëíîé èíôîðìàöèè èçìåðåíèé.
Ê òàêèì èçìåðåíèÿì íà ïðàêòèêå îòíîñÿòñÿ ïîêàçàíèÿ äàò÷èêîâ íàïðÿæåíèé, ðàñïî-
ëîæåííûõ â íåêîòîðîé òî÷êå ìàíèïóëÿòîðà ñ êîîðäèíàòîé x = l0, 0 ≤ l0 ≤ l. Ó÷èòûâàÿ
òîëüêî ãëàâíóþ ÷àñòü òåíçîðà íàïðÿæåíèé â òî÷êå x = l0, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äàò÷èê
îáåñïå÷èâàåò èçìåðåíèÿ ôóíêöèè ψ′(x, t)|x=l0
ïðè âñåõ t ≥ 0. Âû÷èòàÿ èç ôóíêöèé ϕ(t),
ψ′(x, t)|x=l0
èõ çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ (1), çàäàäèì âûõîä
ñèñòåìû (4) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
y1(t) = ϕ̃(t), y2(t) =
N∑
j=1
ψj
′(l0)qj(t). (5)
Âûðàæåíèÿ (5) ïåðåïèøåì â âèäå
y1 = C1z1, y2 = C2z2, C1 = (1, 0), C2 = (χ1, 0, χ2, 0, ..., χN , 0), (6)
219
À.Ë. Çóåâ
ãäå χj = ψj
′(l0).
Öåëü äàííîé ðàáîòû ñîñòîèò â ðåøåíèè çàäà÷è íàáëþäåíèÿ, ò.å. íåîáõîäèìî îöåíèòü
ïîëíûé ôàçîâûé âåêòîð z(t) ñèñòåìû (4) ïðè èçâåñòíîé èíôîðìàöèè î çíà÷åíèÿõ u, y.
Ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè òàêîé çàäà÷è.
Ëåììà 1. Ñèñòåìà (4) ñ âûõîäîì (6) íàáëþäàåìà, åñëè∣∣∣∣∣∣∣∣∣
π11 π12 ... π1N
π21 π22 ... π2N
...
...
. . .
...
πN1 πN2 ... πNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, (7)
ãäå π1,j = χj, πk,j = −λjπk−1,j − dj
∑N
i=1 πk−1,ibi, j = 1, N, k = 2, N.
 ÷àñòíîñòè, ïðè N = 1 óñëîâèå (7) ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó χ1 6= 1, à ïðè
N = 2 � ñëåäóþùåìó:
χ1χ2(λ1 − λ2 + b1d1 − b2d2) + b2χ
2
2d1 − b1χ
2
1d2 6= 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ âûõîä y1, çàïèøåì ñèñòåìó (4), (6) ñëåäóþùèì îáðà-
çîì:
z1 = (y1, ẏ1)
T ,
ż2 = A22z2 +B2u+ (0, a1 − b1d0, ..., 0, aN − bNd0)
Ty1,
y2 = C2z2.
(8)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû âåêòîðà z1(t) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ôóíê-
öèþ y1, à ïîäñèñòåìà îòíîñèòåëüíî z2 íàáëþäàåìà, åñëè ïàðà (A22, C2) óäîâëåòâîðÿåò
ðàíãîâîìó óñëîâèþ íàáëþäàåìîñòè Êàëìàíà [3, Òåîðåìà 3.1]:
rank
C2
C2A22
...
C2A
2N−1
22
= 2N.
Íåïîñðåäñòâåííûå âûêëàäêè ïîêàçûâàþò, ÷òî
det
C2
C2A22
...
C2A
2N−1
22
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
π11 π12 ... π1N
π21 π22 ... π2N
...
...
. . .
...
πN1 πN2 ... πNN
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2
.
Òàêèì îáðàçîì, èç ñîîòíîøåíèÿ (7) ñëåäóåò ðàíãîâîå óñëîâèå íàáëþäàåìîñòè äëÿ ñè-
ñòåìû (4), (6). �
3. Ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ. Ïðè âûïîëíåííè óñëîâèé Ëåììû 1
âîçìîæíî ïîñòðîèòü íàáëþäàòåëü Ëóåíáåðãåðà ÿâíûì îáðàçîì äëÿ ëþáîãî êîëè÷åñòâà
N óïðóãèõ êîîðäèíàò. Ïðîöåäóðà ñèíòåçà íàáëþäàòåëÿ îïèñàíà íèæå.
Òåîðåìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà (4), (6) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íàáëþäàå-
ìîñòè (7), à òàêæå 0 < λ1 < ... < λN , bjdj > 0 äëÿ âñåõ j = 1, N .
220
Ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ äëÿ ìîäåëè óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà
Òîãäà äëÿ ëþáîãî óïðàâëåíèÿ u(·) ∈ L1 ([0,+∞) → R) è íà÷àëüíûõ óñëîâèé
z(0), z̄(0) ∈ R2N+2 ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå z(t) ñèñòåìû (4) ïðè t → +∞ ýêñ-
ïîíåíöèàëüíî ñòðåìèòñÿ ê ðåøåíèþ z̄(t) ñèñòåìû
˙̄z1 = (A11 − F1C1)z̄1 + A12z̄2 + F1y1 +B1u,
˙̄z2 = (A22 − F22C2)z̄2 + F21y1 + F22y2 +B2u,
(9)
ãäå
F1 = (φ1, d0 + φ2)
T ,
F21 = (0, a1 − b1d0, 0, a2 − b2d0, ..., 0, aN − bNd0)
T ,
F22 = (f1, 0, f2, 0, ..., fN , 0)T ,
(f1, f2, ..., fN)T = γQ−1(χ1, χ2, ..., χN)T , (10)
Q =
λ1d1
b1
+ d2
1 d1d2 ... d1dN
d2d1
λ2d2
b2
+ d2
2 ... d2dN
...
...
. . .
...
dNd1 dNd2 ... λNdN
bN
+ d2
N
.
Çäåñü φ1, φ2, γ � ïðîèçâîëüíûå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îøèáêè íàáëþäåíèé: e1 = z1 − z̄1, e2 = z2 − z̄2. Âû÷èòàÿ
óðàâíåíèÿ (9) èç (4), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó:
ė1 = H1e1 + A12e2, ė2 = H2e2,
ãäå H1 = A11 − F1C1, H2 = A22 − F22C2. Âñå êîðíè ïîëèíîìà
det(H1 − µI) =
∣∣∣∣ −φ1 − µ 1
−φ2 −µ
∣∣∣∣ = µ2 + φ1µ+ φ2,
î÷åâèäíî, èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé φ1 > 0,
φ2 > 0. Ïîêàæåì, ÷òî âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû
H2 =
−f1χ1 1 ... −f1χN 0
−λ1 − b1d1 0 ... −b1dN 0
−f2χ1 0 ... −f2χN 0
−b2d1 0 ... −b2dN 0
...
...
. . .
...
...
−fNχ1 0 ... −fNχN 1
−bNd1 0 ... −λN − bNdN 0
îòðèöàòåëüíû ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû. Îáîçíà÷èì e2 = (ξ1, η1, ..., ξN , ηN)T è
ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó
2W (e2) =
N∑
j=1
djη
2
j
bj
+ (ξ1, ξ2, ..., ξN)Q(ξ1, ξ2, ..., ξN)T .
221
À.Ë. Çóåâ
Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ôîðìà 2W (e2) îïðåäåëåíà ïîëîæèòåëüíî â ñëó÷àå λj > 0, bjdj > 0.
Äåéñòâèòåëüíî, âñå ãëàâíûå ìèíîðû ∆j ìàòðèöû Q ïîëîæèòåëüíû:
∆j =
(λ1d1)(λ2d2) · · · (λjdj)
b1b2 · · · bj
(
1 +
j∑
i=1
bidi
λi
)
> 0, j = 1, N.
Òîãäà ôîðìà W ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà ïî êðèòåðèþ Ñèëüâåñòðà. Èç íåðàâåíñòâà
det(Q) = ∆N > 0 ñëåäóåò òàêæå ñóùåñòâîâàíèå Q−1 â ôîðìóëå (10). Âû÷èñëÿÿ ïðîèç-
âîäíóþ W â ñèëó ñèñòåìû ė2 = H2e2, ïîëó÷èì
Ẇ (e2) = −γ(C2e2)
2 ≤ 0.
Ïîñêîëüêó Ẇ îáíóëÿåòñÿ íà ìíîæåñòâå KerC2 = {e2 ∈ R2N : C2e2 = 0 }, ïðîâåðèì
ñóùåñòâîâàíèå íåòðèâèàëüíûõ ïîëóòðàåêòîðèé ñèñòåìû ė2 = H2e2 íà KerC2. Ïóñòü
C2e2(t) ≡ 0, t ≥ 0, òîãäà
dk
dtk
C2e2(t) = C2(A22 − F22C2)
ke2(t) = C2A
k
22e2(t) = 0
äëÿ t ≥ 0, k ≥ 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî t ≥ 0 âåêòîð e2(t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
ñëåäóþùåé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
C2A
k
22e2(t) = 0, k = 0, 2N − 1. (11)
Ñèñòåìà (11) äîïóñêàåò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå e2(t) = 0 ïðè âûïîëíåíèè ðàíãîâî-
ãî óñëîâèÿ (7). Ñëåäîâàòåëüíî, ëèíåéíàÿ ñèñòåìà ė2 = H2e2 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà
ïî òåîðåìå Áàðáàøèíà�Êðàñîâñêîãî.
Èòàê, ìàòðèöû H1 è H2 ãóðâèöåâû ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû. Äèíàìèêà
îøèáîê íàáëþäåíèÿ äëÿ ñèñòåì (4), (9) îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:(
ė1
ė2
)
=
(
H1 A12
0 H2
)(
e1
e2
)
. (12)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñïåêòð ìàòðèöû ñèñòåìû (12) ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ñïåêòðîâ H1
è H2. Ñëåäîâàòåëüíî, òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (12) ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâî,
‖z(t)− z̄(t)‖ → 0 ïðè t→ +∞. �
4. Çàêëþ÷åíèå.  ñòàòüå ïðåäëîæåíà ÿâíàÿ ñõåìà ñèíòåçà äèíàìè÷åñêîãî íàáëþ-
äàòåëÿ ôàçîâîãî âåêòîðà äëÿ ïðèáëèæåííîé ïî Ãàëåðêèíó ñèñòåìû ñ N óïðóãèìè ñòå-
ïåíÿìè ñâîáîäû è äâóìåðíûì âåêòîðîì âûõîäà. Ýòîò ðåçóëüòàò îáîñíîâûâàåò âîçìîæ-
íîñòü ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ñòàáèëèçèðóþùåãî óïðàâëåíèÿ â âèäå îáðàòíîé ñâÿçè
ïî ñîñòîÿíèþ, ïîñòðîåííîãî â ñòàòüå [1].
This work is supported in part by the Alexander von Humboldt Foundation.
1. Çóåâ À.Ë. Óïðàâëåíèå óïðóãèì ìàíèïóëÿòîðîì â ðàìêàõ ìîäåëè áàëêè Òèìîøåíêî // Ïðèêë.
ìåõàíèêà. � 2005. � 41, � 12. � Ñ. 107-115.
2. Òèìîøåíêî Ñ.Ï., ßíã Ä.Õ., Óèâåð Ó. Êîëåáàíèÿ â èíæåíåðíîì äåëå. � Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1985.
� 472 ñ.
3. Óîíýì Ì. Ëèíåéíûå ìíîãîìåðíûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1980. � 376 ñ.
222
Ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ äëÿ ìîäåëè óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà
4. Kim J.U., Renardy Y. Boundary control of the Timoshenko beam // SIAM J. Control. Optim. � 1987.
� 25. � P. 1417-1429.
5. Krabs W. and Sklyar G.M. On the Controllability of a Slowly Rotating Timoshenko Beam // J. for
Anal. and Appl. � 1999. � 18, � 2. � P. 437-448.
6. Krabs W. and Sklyar G.M. On the stabilizability of a slowly rotating Timoshenko beam // Z. Anal.
Anwend. � 2000. � 19, � 1. � P. 131-145.
7. Lagnese J.E.and Leugering G. Controllability of Thin Elastic Beams and Plates // In: The control
handbook (ed.: W.S. Levine). � Boca Raton: CRC Press, 1996. � P. 1139-1156.
8. Lasiecka I. and Triggiani R. Control theory for partial di�erential equations: continuous and approximation
theories. 2: Abstract hyperbolic-like systems over a �nite time horizon. � Cambrigde: Cambridge University
Press, 2000. � 1067 p.
9. Luo Z.-H., Guo B.-Z. and Morgul O. Stability and Stabilization of In�nite Dimensional Systems. �
London: Springer-Verlag, 1999. � 403 p.
10. Morg�ul O. Boundary control of a Timoshenko beam attached to a rigid body: planar motion // Int. J.
Control. � 1991. � 54, � 4. � P. 763-791.
11. Sawodny O., Aschemann H. and Bulach A. Mechatronical designed control of �re-rescue turntable
ladders as �exible link robots // Proc. 15th IFAC World Congress. � Barcelona, 2002. � D. � P. 139�
144.
12. Shi D.-H., Hou S.H. and Feng D.-X. Feedback stabilization of a Timoshenko beam with an end mass
// Int. J. Control. � 1998. � 69, � 2. � P. 285-300.
13. Talebi H.A., Patel R.V. and Khorasani K. Control of Flexible-link Manipulators Using Neural Networks.
� London: Springer-Verlag, 2001. � 142 p.
14. Taylor S.W. A smoothing property of a hyperbolic system and boundary controllability // J. of Comput.
and Appl. Math. � 2000. � 114. � P. 23-40.
15. Taylor S.W. and Yau S.C.B. Boundary control of a rotating Timoshenko beam // Australian and New
Zealand Industrial and Appl. Math. J. � 2003. � 44(E). �P. 143-184.
16. Xu C.Z. and Baillieul J. Stabilizability and stabilization of a rotating body-beam system with torque
control // IEEE Trans. on Autom. Control. � 1993. � 38. � P. 754�1765.
17. Zuyev A. Partial asymptotic stabilization of nonlinear distributed parameter systems // Automatica. �
2005. � 41, � 1. � P. 1-10.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
al zv@mail.ru
Ïîëó÷åíî 15.02.2005
223
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123782 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T15:15:05Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зуев, А.Л. 2017-09-09T15:29:14Z 2017-09-09T15:29:14Z 2005 Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 217-223. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123782 531.38, 531.08, 517.977.1 Исследуется управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику упругого манипулятора с нагрузкой. Получены условия наблюдаемости системы относительно выходного сигнала в виде угла наклона и компоненты тензора напряжений в фиксированной точке манипулятора. Предложена явная схема синтеза динамического наблюдателя Луенбергера, основанная на теореме Барбашина Красовского. This work is supported in part by the Alexander von Humboldt Foundation. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора Article published earlier |
| spellingShingle | Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора Зуев, А.Л. |
| title | Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора |
| title_full | Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора |
| title_fullStr | Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора |
| title_full_unstemmed | Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора |
| title_short | Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора |
| title_sort | синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123782 |
| work_keys_str_mv | AT zueval sintezdinamičeskogonablûdatelâdlâmodeliuprugogomanipulâtora |