Управление движением неавтономной системы с неголономными связями
Рассматривается задача стабилизации для нелинейных: управляемых систем. Получено условие, при котором частное нетривиальное решение можно стабилизировать с помощью управления с обратной связью. Получено условие на норму отклонения от частного решения, при котором сохраняется свойство асимптотической...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123915 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Управление движением неавтономной системы с неголономными связями / Д.Е. Прокопюк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 191-199. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123915 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Прокопюк, Д.Е. 2017-09-13T09:49:52Z 2017-09-13T09:49:52Z 2009 Управление движением неавтономной системы с неголономными связями / Д.Е. Прокопюк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 191-199. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123915 531.38 Рассматривается задача стабилизации для нелинейных: управляемых систем. Получено условие, при котором частное нетривиальное решение можно стабилизировать с помощью управления с обратной связью. Получено условие на норму отклонения от частного решения, при котором сохраняется свойство асимптотической устойчивости. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Управление движением неавтономной системы с неголономными связями Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями |
| spellingShingle |
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями Прокопюк, Д.Е. |
| title_short |
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями |
| title_full |
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями |
| title_fullStr |
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями |
| title_full_unstemmed |
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями |
| title_sort |
управление движением неавтономной системы с неголономными связями |
| author |
Прокопюк, Д.Е. |
| author_facet |
Прокопюк, Д.Е. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Рассматривается задача стабилизации для нелинейных: управляемых систем. Получено условие, при котором частное нетривиальное решение можно стабилизировать с помощью управления с обратной связью. Получено условие на норму отклонения от частного решения, при котором сохраняется свойство асимптотической устойчивости.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123915 |
| citation_txt |
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями / Д.Е. Прокопюк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 191-199. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT prokopûkde upravleniedviženiemneavtonomnoisistemysnegolonomnymisvâzâmi |
| first_indexed |
2025-11-26T00:18:47Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:18:47Z |
| _version_ |
1850599831378067456 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19
УДК 531.38
c©2009. Д.Е. Прокопюк
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ
С НЕГОЛОНОМНЫМИ СВЯЗЯМИ
Рассматривается задача стабилизации для нелинейных управляемых систем. Получено условие,
при котором частное нетривиальное решение можно стабилизировать с помощью управления с
обратной связью. Получено условие на норму отклонения от частного решения, при котором со-
храняется свойство асимптотической устойчивости.
Введение. Проблема стабилизации нелинейных динамических систем занимает
важное место в современной теории управления. Для линейных систем известно та-
кое соотношение между качественными свойствами управляемости и стабилизируе-
мости: если система управляема, то она стабилизируема. В связи с этим результатом
возникает вопрос: является ли свойство локальной управляемости нелинейной систе-
мы достаточным условием для ее стабилизируемости? Из результатов, полученных
R.Brockett [1] следует, что в отличие от линейных систем, для нелинейных систем
свойство управляемости не является достаточным условием для асимптотической
стабилизируемости.
В работе рассматривается система дифференциальных уравнений следующего
вида:
ẋ1 = u1 cosΘ;
ẋ2 = u1 sinΘ;
Θ̇ = u2,
(1)
где ζ(t) =
x1(t)
x2(t)
Θ(t)
∈ R3 – фазовый вектор,
u(t) =
(
u1(t)
u2(t)
)
∈ Ω ⊂ R2 – вектор управления.
Предположим, что ζ0(t) =
(
x0
1(t); x0
2(t); Θ0(t)
)
– частное решение системы (1),(
u0
1(t); u0
2(t)
)
– соответствующее управление.
Далее будет изучена задача стабилизации решения ζ0(t) =
(
x0
1(t); x0
2(t); Θ0(t)
)
,
которая состоит в следующем: нужно определить функции управления
ui = ui(ζ(t), t) так, чтобы решение ζ0(t) было асимптотически устойчиво по Ля-
пунову.
В системе (1) введем замену переменных фазового вектора ([2]):
z1 = Θ;
z2 = x1 cosΘ + x2 sin Θ;
z3 = x1 sinΘ− x2 cosΘ.
(2)
191
Д.Е. Прокопюк
Введем управления ν1, ν2:
{
ν1 = u1 − z3u2;
ν2 = u2.
(3)
Пользуясь формулами (2) и (3), систему (1) запишем следующим образом:
ż1 = ν2;
ż2 = ν1;
ż3 = z2ν2.
(4)
Якобиан преобразования, которое связывает компоненты фазового вектора
x1, x2, Θ и управления u1, u2 с соответствующими значениями z1, z2, z3, ν1, ν2, от-
личен от нуля. Система (1) эквивалентной заменой (2), при соответствующем управ-
лении (3), приводится к виду (4).
1. Исследование управляемости системы и устойчивости ее решения.
Предположим, что
z0(t) =
(
z0
1(t); z0
2(t); z0
3(t)
)
(5)
является решением системы (4), с соответствующим управлением
(
ν0
1(t); ν0
2(t)
)
(6)
для t ∈ [0;+∞).
Введем замену:
z1 = z0
1 + ∆z1;
z2 = z0
2 + ∆z2;
z3 = z0
3 + ∆z3;
{
ν1 = ν0
1 + ∆ν1;
ν2 = ν0
2 + ∆ν2.
(7)
Тогда система уравнений возмущенного движения имеет вид:
∆ż1 = ν0
2 + ∆ν2 − ż0
1 ;
∆ż2 = ν0
1 + ∆ν1 − ż0
2 ;
∆ż3 = z0
2ν
0
2 + z0
2∆ν2 + ν0
2∆z2 + ∆z2∆ν2 − ż0
3 .
(8)
Запишем систему линейного приближения в окрестности частного решения (5):
∆ż1 = ∆ν2;
∆ż2 = ∆ν1;
∆ż3 = ν0
2∆z2 + z0
2∆ν2.
(9)
Система (9) в матричном виде:
∆ż = A∆z + B∆ν, (10)
192
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями
где
A =
0 0 0
0 0 0
0 ν0
2(t) 0
, B =
0 1
1 0
0 z0
2(t)
.
Рассмотрим вопрос об управляемости системы (10). Воспользуемся следующей
теоремой:
Теорема 1.([3]) Пусть для некоторого t ∈ [0;T ] Span {Bi(t)ν; ν ∈ Rm, i ≥ 0} = Rn,
где Bi
(
d
dt −A
)i
B, тогда линейная система ẏ = A(t)y + B(t)ν управляема на [0, T ].
Если при выполнении этих условий матрицы A и B аналитичны на [0, T ],тогда
Span {Bi(t)ν; ν ∈ Rm, i ≥ 0} = Rn для всех t ∈ [0, T ].
Запишем соответствующие матрицы Bi для системы (10):
B0 =
0 1
1 0
0 z0
2(t)
; B1 =
0 0
0 0
0 z0
2(t)
−
0 0
0 0
ν0
2(t) 0
=
0 0
0 0
−ν0
2(t) z0
2(t)
;
rang
0 1 0 0
1 0 0 0
0 z0
2(t) −ν0
2(t) z0
2(t)
,
при условии ν0
2(t) 6= 0.
Таким образом, по теореме 1 система (10) управляема при ν0
2 6= 0.
Рассмотрим задачу стабилизации системы (10).
Пусть управление системы (10) линейно зависит от фазовых координат, т.е.
∆ν = K∆z, где K =
(
a b c
d e f
)
, тогда система (10) имеет вид:
∆ż = (A + BK)∆z. (11)
Для проверки условий асимптотической устойчивости решения ∆z = 0 систе-
мы (11) с постоянными коэффициентами воспользуемся теоремой Ляпунова об асимп-
тотической устойчивости нулевого решения линейной системы.
Утверждение 1. Пусть ν0
2 = const 6= 0, тогда управление ∆ν = K∆z вида
∆ν =
(
0 −2 − 1
ν0
2
−1 0 0
)
∆z (12)
обеспечивает асимптотическую устойчивость тривиального решения системы (11)
с постоянными коэффициентами.
Доказательство. Характеристическое уравнение для системы (11) имеет вид:
P (λ) = det(λE −A−BK) =
∣∣∣∣∣∣
λ− d −e −f
−a λ− b −c
−z0
2d −(ez0
2 + ν0
2) λ− fz0
2
∣∣∣∣∣∣
= 0, (13)
193
Д.Е. Прокопюк
т.е. P (λ) = λ3 + (−d− b− fz0
2)λ
2 + (db + fz0
2(d + b)− dfz0
2 − c(ez0
2 + ν0
2)− ae)λ +
+ fdbz0
2 + cd(ez0
2 + ν0
2) + aefz0
2 − af(ez0
2 + ν0
2)− ecdz0
2 − dbfz0
2 = 0.
Пусть α1, α2, α3 – корни (13): ∀i = 1, 2, 3, αi ∈ R− = {β ∈ R : β < 0}. Для
нахождения значений корней (13) воспользуемся теоремой Виета:
− d− b− fz0
2 = −α1 − α2 − α3;
bd + (d + b)fz0
2 − fdz0
2 − c(ez0
2 + ν0
2)− ae = α1α2 + α1α3 + α2α3;
ν0
2(cd− af) = −α1α2α3.
(14)
Для α1 = α2 = α3 = −1 следующие значения элементов матрицы K удовлетворя-
ют (14):
K =
(
0 −2 − 1
ν0
2
−1 0 0
)
, (15)
т.е. управление с обратной связью ∆ν = K∆z решает данную задачу стабилизации.
В результате подстановки (15) в (10) получаем:
∆ż = A0∆z, (16)
где
A0 =
−1 0 0
0 −2 − 1
ν0
2
−z0
2 ν0
2 0
. (17)
¤
2. Построение функции Ляпунова. Рассмотрим линейную неавтономную си-
стему:
∆ż = A1(t)∆z, (18)
где A1(t) = A0 + R(t), A0 =
−1 0 0
0 −2 − 1
ν0
2
−z0
2 ν0
2 0
= const.
Утверждение 2. Пусть γ = const, γ ∈ (0, 1), и пусть элементы матрицы
Q =
1/4
(
4 + 6.5(z0
2)
2) + 1.5
(
z0
2
ν0
2
)2
)
−1/4
(
3.5ν0
2z0
2 + z0
2
2ν0
2
)
−1/4
(
6.5z0
2 + 1.5 z0
2
(ν0
2 )2
)
−1/4
(
3.5ν0
2z0
2 + z0
2
2ν0
2
)
1/2(1 + (ν0
2)2) ν0
2
−1/4
(
6.5z0
2 + 1.5 z0
2
(ν0
2 )2
)
ν0
2 2.5 + 1
2(ν0
2 )2
такие, что Q определенно положительна. Пусть также выполняется следующая
оценка ‖R(t)‖ ≤ γ
2‖Q‖ . Тогда решение ∆z = 0 системы (18) асимптотически устой-
чиво по Ляпунову.
194
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями
Доказательство. Пусть существует Q ∈ mat(3× 3): (qij) = (qji), (Q∆z,∆z) > 0,
∀∆z 6= 0. Введем функцию w(∆z) = 1/2∆zT Q∆z, тогда производная w в силу си-
стемы ∆ż = A0∆z имеет вид
ẇ(∆z)|(16) = 1/2((A0∆z)T Q∆z + ∆zT QA0∆z) = −‖∆z‖2. (19)
Т.к. в системе (18) матрица A1(t) = A0 + R(t), тогда
ẇ(∆z)|(18) = −‖∆z‖2 + r(t). (20)
Элементы матрицы Q =
M D E
D N F
E F T
, которые удовлетворяют системе (19) име-
ют вид:
N = 1/2(1 + (ν0
2)2);
T = 2.5 +
1
2(ν0
2)2
;
D = −1/4
(
3.5ν0
2z0
2 +
z0
2
2ν0
2
)
;
E = −1/4
(
6.5z0
2 + 1.5
z0
2
(ν0
2)2
)
;
M = 1/4
(
4 + 6.5(z0
2)
2 + 1.5(
z0
2
ν0
2
)2
)
;
F = ν0
2 .
(21)
Считаем, что параметры ν0
2 ; z0
2 такие, что матрица Q положительно определена. Для
системы ∆ż = A0∆z построена функция w(∆z) = 1/2∆zT Q∆z, которая удовлетво-
ряет теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теперь найдем условия,
при которых функция w(∆z) = 1/2∆zT Q∆z будет функцией Ляпунова для систе-
мы ∆ż = A1(t)∆z. Будем искать условия на отклонение по норме матрицы A1(t) от
матрицы A0, при которых выполняется оценка ‖r(t)‖ ≤ γ‖∆z‖2, γ ∈ (0, 1),
r(t) = 1/2((R(t)∆z)T Q∆z + ∆zT QR(t)∆z); (22)
‖r(t)‖ ≤ ‖RT Q + QR‖‖∆z‖2 ≤ (‖RT Q‖+ ‖QR‖)‖∆z‖2 ≤ 2‖Q‖‖R‖‖∆z‖2 ≤ γ‖∆z‖2,
(23)
т.е.
‖R‖ ≤ γ
2‖Q‖ . (24)
При выполнении условия (23) производная функции Ляпунова удовлетворяет нера-
венство
ẇ(∆z)|(18) < 0, ∀∆z 6= 0, (25)
т.е. w(∆z) = 1/2∆zT Q∆z удовлетворяет теореме Ляпунова об асимптотической
устойчивости для системы (18). ¤
195
Д.Е. Прокопюк
Замечание. Существуют значения параметров ν0
2 ; z0
2 , при которых матрица Q
не является определенно положительной. Например: при ν0
2 = −1; z0
2 = 1 главные
миноры матрицы имеют значения: M1 = −1; M2 = 2; M3 = 3.
Рассмотрим коэффициенты матрицы Q при z0
2 = 0, ν0
2 6= 0:
N = 1/2(1 + (ν0
2)2);
T = 2.5 +
1
2(ν0
2)2
;
D = 0;
E = 0;
M = 1;
F = ν0
2 .
При таких значениях коэффициентов матрица квадратичной формы w(∆z) поло-
жительно определена. Тогда класс систем, для которых матрица Q положительно
определена – это системы вида (18) с матрицей
A0 =
−1 0 0
0 −2 − 1
ν0
2
0 ν0
2 0
.
3. Оценка области притяжения. Обозначим через
G = {x : ẇ(x) ≤ 0}, (26)
Gc = {x : w(x) ≤ c}. (27)
Будем искать максимальное c > 0 : Gc ⊆ G.
Квадратичная форма w(∆z) = 1/2∆zT Q∆z линейным невырожденным преоб-
разованием
∆z1
∆z2
∆z3
= P
y1
y2
y3
, где P =
1 −F/M F 2
(NM−E2)
− D
M
0 1 − FM
NM−E2
0 0 1
(28)
приводится к виду
w(y) = My2
1 +
(
N − E2
M
)
y2
2 +
(
T − D2
M
− MF 2
NM −E2
)
y2
3. (29)
Функция w(y) ограничена в эллипсоиде
My2
1 +
(
N − E2
M
)
y2
2 +
(
T − D2
M
− MF 2
NM − E2
)
y2
3 ≤ c. (30)
196
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями
Обозначим
a2
1 = c/M ; a2
2 =
c
N −E2/M
; a2
3 =
c
T − D2
M − MF 2
NM−E2
. (31)
Тогда из неравенства (30) следует
min ‖y‖2 ≤
3∑
i=1
y2
i
a2
i
≤ 1. (32)
Из выражения (32) следует оценка:
‖y‖ ≤ 1√
min
(
1
a2
1
; 1
a2
2
; 1
a2
3
) . (33)
Используя формулы (28), (33), получим выражение
‖x‖ ≤ ‖P‖‖y‖ ≤ ‖P‖ 1√
min
(
1
a2
1
; 1
a2
2
; 1
a2
3
) = ‖P‖
√
c√
min
(
M ; N − E2
M ; T − D2
M − MF 2
NM−E2
) ,
(34)
но ‖x‖ ≤ γ
2‖Q‖ , тогда искомая константа имеет вид:
cmax =
γ
2‖Q‖‖P‖
√
min
(
M ;N − E2
M
;T − D2
M
− MF 2
NM − E2
)
. (35)
Таким образом, построена область притяжения, которая имеет вид
Gc = {x : w(x) ≤ cmax}.
4. Результаты вычислений. На основании полученных результатов исследо-
вано частное решение системы (1):
x1 = R sin t;
x2 = −R cos t;
Θ = t,
(36)
которое соответствует управлению:
{
u1 = R;
u2 = 1.
(37)
Решению (6) системы (1) соответствует такое решение системы (2):
z0
1 = t;
z0
2 = 0;
z0
3 = R.
(38)
197
Д.Е. Прокопюк
Управление системы (2): {
ν0
1 = 0;
ν0
2 = 1.
(39)
Поскольку ν0
2 = const 6= 0, то мы можем воспользоваться утверждением 1, из
которого следует, что тривиальное решение системы
∆ż =
−1 0 0
0 −2 −1
0 1 0
∆z
является асимптотически устойчивым по Ляпунову.
Из формул (21), (38), (39) следует, что
Q =
1 0 0
0 1 1
0 1 3
.
|Q− λE| =
∣∣∣∣∣∣
1− λ 0 0
0 1− λ 1
0 1 3− λ
∣∣∣∣∣∣
= (1− λ)((1− λ)(3− λ)− 1) = 0.
λ1,2 = 2±
√
2, λ3 = 1;
maxλ1, λ2, λ3 = 2 +
√
2 = ‖Q‖.
Матрица Q симметрична и положительно определена.
Решение (6) асимптотически устойчиво по Ляпунову (удовлетворяет утвержде-
нию 1). Областью притяжения функции Ляпунова является множество
Gc =
{
x : w(x) ≤ γ
2(2 +
√
2)
}
.
Из утверждения 2 следует, что для любых решений z(t) системы (2):
‖z − z0‖ ≤ γ
2‖Q‖ следует, что ∆z = 0 системы (4) асимптотически устойчиво.
Таким образом, для решений x(t) системы (1) при следующих отклонениях по
норме от частного решения x0(t) будет выполнено свойство асимптотической устой-
чивости:
‖x− x0‖ ≤ ‖z − z0‖‖ẋ(ζ)‖ ≤ γ‖ẋ(ζ)‖
Q
.
Выводы. В работе рассмотрена математическая модель движения неголоном-
ной механической системы с управлением. Получены такие основные результаты:
1. Исследована система дифференциальных уравнений, получены условия, при
которых система является управляемой и ее невозмущенное движение асимп-
тотически устойчиво по Ляпунову.
198
Управление движением неавтономной системы с неголономными связями
2. Для системы с переменными коэффициентами получены условия, при которых
решение асимптотически устойчиво по Ляпунову.
3. Исследовано возмущенное движение системы в окрестности частного решения,
которое соответствует определенному программному управлению. Получены
условия асимптотической устойчивости решения и построена область допу-
стимых отклонений в фазовом пространстве.
1. Brockett R.W. Asymptotic sstability and feedback stabilization // Differential Geometric Control
Theory (Brockett R.W., Millman R.S. and Sussmann H.J. eds.). – Boston: Birkhauser, 1983. –
P.181-191.
2. Sontag E.D. Stability and stabilization: discontinuities and the effect of disturbances // Nonlinear
analysis, differential equations and control (Montreal, QC, 1998). – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1999. – P.551-598
3. Silverman L.M., Meadows H.E. Controllability and observability in time variable linear systems //
SIAM J. On Control and Optimization. – 1967. – V.5. – P.64-73.
Донецкий национальный ун-т
denis4321@ukr.net
Получено 30.10.09
199
титул
Научное издание
Том 19
содержание
Том 19
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
|