Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора

В основу исследования положена двухтоковая модель синхронного электромотора. Предполагается, что момент нагрузки является линейным диссипативным. Получено эффективное достаточное условие, при котором любое движение синхронного электромотора с течением времени стремится к стационарному вращению....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Коносевич, Б.И., Коносевич, Ю.Б.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2016
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124243
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 53-69. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124243
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1242432025-02-09T20:40:30Z Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора Global stability of the two-current model of the synchronous electric motor Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. В основу исследования положена двухтоковая модель синхронного электромотора. Предполагается, что момент нагрузки является линейным диссипативным. Получено эффективное достаточное условие, при котором любое движение синхронного электромотора с течением времени стремится к стационарному вращению. This investigation is based on the two-current model of the synchronous electric motor. The load moment is assumed to be linear dissipative. Effective sufficient condition is obtained guaranteeing that any motion of the synchronous electric motor tends with time to its steady rotation. 2016 Article Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 53-69. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124243 531.36, 531.31 ru Труды Института прикладной математики и механики application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В основу исследования положена двухтоковая модель синхронного электромотора. Предполагается, что момент нагрузки является линейным диссипативным. Получено эффективное достаточное условие, при котором любое движение синхронного электромотора с течением времени стремится к стационарному вращению.
format	Article
author	Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б.
spellingShingle	Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б.
author_sort	Коносевич, Б.И.
title	Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора
title_short	Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора
title_full	Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора
title_fullStr	Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора
title_full_unstemmed	Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора
title_sort	глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2016
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124243
citation_txt	Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 53-69. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT konosevičbi globalʹnaâustoičivostʹdvuhtokovoimodelisinhronnogoélektromotora AT konosevičûb globalʹnaâustoičivostʹdvuhtokovoimodelisinhronnogoélektromotora AT konosevičbi globalstabilityofthetwocurrentmodelofthesynchronouselectricmotor AT konosevičûb globalstabilityofthetwocurrentmodelofthesynchronouselectricmotor
first_indexed	2025-11-30T14:09:27Z
last_indexed	2025-11-30T14:09:27Z
_version_	1850224694642343936
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2016. Том 30 УДК 531.36, 531.31 c©2016. Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич ГЛОБАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХТОКОВОЙ МОДЕЛИ СИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОМОТОРА В основу исследования положена двухтоковая модель синхронного электромотора. Предпола- гается, что момент нагрузки является линейным диссипативным. Получено эффективное доста- точное условие, при котором любое движение синхронного электромотора с течением времени стремится к стационарному вращению. Ключевые слова: синхронный электромотор, глобальная устойчивость, метод сведения, прин- цип инвариантности Ла–Салля. Введение. В зависимости от конструкции динамика синхронного электромо- тора описывается различными системами дифференциальных уравнений высокого порядка, которые определяют изменение электрических токов в обмотках ротора и изменение переменной γ – угла рассогласования между вращающимся магнитным полем статора и магнитным полем ротора. Такие системы уравнений периодичны по переменной γ, в связи с чем они имеют счетный набор стационарных решений, соответствующих рабочему режиму равномерного вращения ротора с угловой ско- ростью, равной угловой скорости вращения магнитного поля в статоре. Практически важной задачей является установление достаточных условий, при которых любое решение системы дифференциальных уравнений движения син- хронного электромотора с течением времени стремится к одному из стационарных решений. Если при этом на периоде изменения угла γ существует только одно ло- кально асимптотически устойчивое стационарное решение, то систему называют глобально устойчивой. В [1, 2] для широкого класса синхронных машин предложен подход, названный методом сведения и позволяющий вывести свойство глобаль- ной устойчивости многомерной системы из свойства глобальной устойчивости для одного дифференциального уравнения второго порядка специального вида. Для этого уравнения условие глобальной устойчивости найдено Ф. Трикоми [3]. Полу- чаемые таким путем критерии глобальной устойчивости электромотора включают неопределенные математические параметры и требуют также проверки свойства дихотомичности и частотных неравенств. В настоящей работе принята двухтоковая модель синхронного электромото- ра [4]. Вместо часто используемого предположения о постоянстве момента нагруз- ки этот момент считается диссипативным, линейным по отношению к угловой скорости вращения ротора. Получено достаточное условие глобальной устойчиво- сти двухтоковой модели, которое не требует проверки свойства дихотомичности и частотных неравенств, а сводится только к условию Трикоми для дифференци- ального уравнения второго порядка, которое не содержит неопределенных пара- метров. 53 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич 1. Двухтоковая модель синхронного электромотора. В данной работе принята упрощенная двухтоковая модель синхронного электромотора, когда в ро- торе имеются две одинаковые перпендикулярные друг другу обмотки, имеющие вид прямоугольных рамок. Эта модель дана в [4] и приведена в [5]. Она описыва- ется системой дифференциальных уравнений Cγ̈ = −βSB(i1 sin γ + i2 cos γ) + M, Li1̇ = −Ri1 + SBγ̇ sin γ + u, Li2̇ = −Ri2 + SBγ̇ cos γ. (1) Здесь γ̇, γ̈, i1̇, i2̇ – производные компонент фазового вектора (γ, γ̇, i1, i2) по вре- мени t, γ = ϕ−ωt – угол рассогласования между векторами магнитных полей статора и ротора, ϕ – угол поворота ротора относительно статора, ω – постоянная угловая скорость вращения магнитного поля в статоре (ω > 0), i1, i2 – токи в обмотке возбуждения и в демпферной обмотке, u > 0 – постоянное напряжение в обмотке возбуждения, M – момент сил сопротивления относительно оси ротора (момент нагрузки), C – осевой момент инерции ротора, L и R – индуктивность и сопротивление обеих рамок, B – напряженность магнитного поля в статоре, S – площадь каждой из рамок, β > 0 – коэффициент пропорциональности. В [1, 2] момент нагрузки предполагается отрицательной постоянной величиной, и с учетом этого в (1) вместо M сразу берется −M , где M > 0 – постоянная. На практике этот момент можно считать постоянным только в отдельных случаях, например, при работе подъемного крана, но чаще он зависит от угловой скорости ротора ϕ̇. В данной работе рассматривается случай линейного диссипативного мо- мента M = −kϕ̇, k > 0 – постоянная. Поскольку ϕ̇ = γ̇ + ω, получаем для этого момента выражение M = −kγ̇ − kω, (2) которое содержит постоянный отрицательный член −kω. 2. Простейшая модель синхронного электромотора. В литературе ча- сто используется простейшая модель синхронного электромотора, которая фор- мально получается из уравнений (1) в предположении L = 0. С учетом (2) она описывается дифференциальным уравнением Cγ̈ = −a0γ̇ − b0 sin γ − c0, (3) где a0 = k + βS2B2 R , b0 = β SBu R , c0 = kω. (4) 54 Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора Простейшую модель синхронного электромотора, которая получается указан- ным способом и описывается уравнением (3) с коэффициентами (4), будем назы- вать собственной по отношению к исходной модели (1). В литературе исполь- зуются простейшие модели синхронного электромотора, которые определяются техникой доказательства тех или иных результатов и также описываются уравне- нием вида (3), но отличаются от собственной модели значениями коэффициента a0. Такие несобственные модели используются ниже в п. 5 и далее. Уравнение вида (3) с положительными коэффициентами a0, b0, c0 детально изу- чено [1, 3, 6]. Приведем основные результаты исследования такого уравнения. e e e e e e e e )b )a )с Рис. 1. Фазовые портреты простейшей модели синхронного электромотора 55 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич Режимы равномерного вращения ротора с угловой скоростью ϕ̇ = ω соответ- ствуют стационарным решениям (γ, γ̇) = (γ0, 0), γ0 = const, уравнения (3). Они определяются тригонометрическим уравнением b0 sin γ0 = −c0 (5) и существуют при c0/b0 ≤ 1. Опуская особый случай, когда c0/b0 = 1, будем всюду далее предполагать, что c0/b0 < 1. (6) Тогда уравнение (3) имеет два счетных семейства стационарных решений при зна- чениях γ0, равных dn = γ(0) + 2πn, en = γ(1) + 2πn (n = 0,±1,±2, . . . ). (7) Здесь γ(0) = − arcsin c0/b0 ∈ (−π/2, 0), γ(1) = −π − γ(0) ∈ (−π,−π/2). (8) С помощью локального анализа по линейному приближению нетрудно уста- новить, что точки (γ, γ̇) = (dn, 0) являются для уравнения (3) асимптотически устойчивыми особыми точками типа "фокус" или "узел", а точки (γ, γ̇) = (en, 0) – это неустойчивые особые точки типа "седло". Глобальный анализ уравнения (3), проведенный Ф. Трикоми [3], показывает, что оно может иметь три качественно различных типа фазовых портретов, изоб- раженных на рис. 1. Введя безразмерные параметры a = a0/ √ b0C, c = c0/b0, (9) Ф. Трикоми установил, что существует критическое значение параметра a, которое является непрерывной функцией acr(c) параметра c ∈ (0, 1) и обладает следующи- ми свойствами (см. [6]). • В случае a > acr каждое решение уравнения (3) стремится к одной из его стационарных точек при t → +∞ (рис. 1, а). • При a ≤ acr кроме решений, стремящихся к стационарным точкам, существу- ют решения, вдоль которых угол γ неограниченно убывает с течением времени. Поэтому при a ≤ acr множество стационарных точек уравнения электромотора уже не является глобально притягивающим (рис. 1, б, в). При a = acr существуют сепаратрисы, соединяющие соседние седловые точки. Для функции acr(c) не существует явного выражения, но разными авторами получены ее аналитические оценки сверху и снизу (см. [6, с. 122-123]). При выводе этих оценок вместо угла γ используют угол θ = −γ и, вводя независимую пере- менную τ = t √ b0/C, приводят уравнение (3) к виду d2θ/dτ2 = −a dθ/dτ − sin θ + c с двумя параметрами (9). Тогда указанному в (8) главному стационарному значе- нию γ(0) ∈ (−π/2, 0) угла γ соответствует значение θ0 ∈ (0, π/2) угла θ. Так как 56 Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора θ0 = arcsin c, то c = sin θ0, и величину acr(c) можно рассматривать как функцию acr(θ0) угла θ0 ∈ (0, π/2). В [7] путем вычислений на компьютере построен график функции acr = acr(θ0) и показано, что линейная и синусоидальная аппроксимации acr L = 0.76·θ0 и acr S = 2.766222·sin(0.2838860·θ0) обеспечивают вычисление acr(θ0) с абсолютной погрешностью не больше, чем 1.5 · 10−2 и 3.4 · 10−5 соответственно. 3. Энергетические соотношения и устойчивость стационарных режи- мов. Нормальным режимом работы синхронного электромотора является равно- мерное вращение его ротора относительно статора с постоянной угловой скоростью ϕ̇ = ω, равной угловой скорости вращения магнитного поля в статоре. Этот режим соответствует стационарному решению системы (1), то есть решению вида γ = γ0, γ̇ = 0 i1 = i01, i2 = i02 (γ0, i01, i 0 2 = const). (10) Чтобы найти условия существования такого решения и определить постоян- ные γ0, i01, i 0 2, подставим выражения (10) в систему уравнений (1), где момент M выражается по формуле (2). Тогда последние два уравнения этой системы дадут стационарные значения токов i01 = u/R, i02 = 0, (11) а первое сведется к уравнению (5) для γ0. В предположении (6) оно имеет два счетных набора решений, которые соответствуют указанным в (7), (8) значениям γ0. Таким образом, система (1) имеет два счетных набора стационарных решений (γ, γ̇, i1, i2) = (dn, 0, u/R, 0), n = 0,±1,±2, . . . , (12) (γ, γ̇, i1, i2) = (en, 0, u/R, 0), n = 0,±1,±2, . . . , (13) где dn, en определены формулами (7), (8). Во всех стационарных режимах (12), (13), равномерного вращения ротора син- хронного электромотора токи i1, i2 принимают одни и те же значения (11). Введем возмущения j1, j2 токов i1, i2 по формулам i1 = j1 + u/R, i2 = j2. Подставим эти выражения в систему уравнений (1), в которой момент M определен формулой (2). В результате уравнения двухтоковой модели записываются в виде преобразованной системы дифференциальных уравнений четвертого порядка Cγ̈ = −βSB(j1 sin γ + j2 cos γ) − kγ̇ − b0 sin γ − c0, Lj1̇ = −Rj1 + SBγ̇ sin γ, Lj2̇ = −Rj2 + SBγ̇ cos γ (14) с фазовым вектором (γ, γ̇, j1, j2). Она имеет два счетных набора стационарных решений (γ, γ̇, j1, j2) = (dn, 0, 0, 0), n = 0,±1,±2, . . . , (15) 57 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич (γ, γ̇, j1, j2) = (en, 0, 0, 0), n = 0,±1,±2, . . . , (16) где dn, en определены формулами (7), (8). Рассмотрим следующие три функции фазовых переменных системы (14) W (γ̇, j1, j2) = 1 2 Cγ̇2 + 1 2 βL(j2 1 + j2 2), U(γ) = γ∫ 0 (b0 sin σ + c0) dσ = b0(1 − cos γ) + c0γ, V (γ, γ̇, j1, j2) = W (γ̇, j1, j2) + U(γ). (17) Производная функции W по времени в силу системы уравнений (14) равна Ẇ (γ, γ̇, j1, j2) = −kγ̇2 − βR(j2 1 + j2 2) − γ̇(b0 sin γ + c0). (18) С учетом этого имеем V̇ (γ, γ̇, j1, j2) = −kγ̇2 − βR(j2 1 + j2 2). (19) Функция W определенно положительна по отношению к переменным γ̇, j1, j2. Ее можно интерпретировать как кинетическую энергию изучаемой системы, а функцию U – как ее потенциальную энергию. Тогда функция V является полной энергией системы, а формула (19) выражает теорему об изменении энергии. При условии (6) значения dn, en, определеные формулами (7), (8), являются, соответственно, точками локальных минимумов и максимумов функции U(γ). Вос- пользовавшись в теоремах 5.2 и 6.3 из [8] функциями Ляпунова V1n = V − U(dn) и V2n = V − U(en), приходим, с учетом (19), к следующему выводу. Теорема 1. Стационарные решения (15) системы (14) асимптотически устой- чивы, а стационарные решения (16) – неустойчивы. 4. О принципе инвариантности Ла–Салля. Цель данной работы состоит в том, чтобы вывести достаточное условие, при котором любое решение системы уравнений (14) с течением времени стремится к одному из ее стационарных реше- ний (15), (16). Существование функции V со знакопостоянной отрицательной про- изводной (19) указывает на потенциальную возможность использовать для этой цели принцип инвариантности Ла–Салля. Рассмотрим вопрос о том, какие вспомо- гательные результаты для этого нужны. Воспользуемся формулировкой принципа Ла–Салля в виде теоремы VIII из книги [9]. Теорема 2 (Ла–Салль). Пусть задана автономная система ẋ = X(x), X(0) = 0. (20) Пусть V (x) – скалярная функция, частные производные первого порядка которой непрерывны при всех x. Предположим, что выполнены следующие условия: а) V (x) > 0 при всех x �= 0; б) V̇ (x) ≤ 0 во всем пространстве. 58 Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора Обозначим через M0 множество всех точек пространства, в которых V̇ (x) = 0, а через M – максимальное положительно инвариантное множество, содержа- щееся в M0. Тогда каждое решение системы (20), остающееся ограниченным при t ≥ 0, неограниченно приближается к M при t → ∞. Сделаем два комментария по поводу этой формулировки. Во-первых, условие X(0) = 0 является излишним, так как точка x = 0 ничем не выделяется среди других возможных положений равновесия рассматриваемой системы. Во-вторых, по этой же причине, вместо условия а) V (x) > 0 (x �= 0) достаточно предположить, что функция V (x) ограничена снизу при всех x. Тогда, вычитая из этой функции нижнюю грань ее значений, получим функцию, удовлетворяющую неравенству V (x) ≥ 0 при всех x. Для рассматриваемой в данной работе задачи "кандидатом" на роль функции Ляпунова в теореме Ла–Салля выступает функция V , указанная в (17). Однако она не является ограниченной снизу во всем фазовом пространстве, так как в ее определение входит функция U , которая, согласно (17), содержит линейный по γ член c0γ. Поэтому для исследования нелокальной динамики синхронного электро- мотора нельзя непосредственно применить принцип Ла–Салля с функцией Ляпу- нова V вида (17). Такая трудность, связанная с неограниченностью функции Ля- пунова по угловой переменной, является характерной в теории фазовых систем [2, 4]. Чтобы преодолеть ее, заметим, что в доказательстве принципа Ла–Салля ис- пользуется ограниченность функции V не во всем фазовом пространстве, а только на решениях изучаемой системы. Поэтому для применимости в рассматриваемом случае функции V вида (17) достаточно, чтобы угол γ был ограничен снизу на всех решениях системы (14). Таким образом, для того, чтобы найти условия глобального притяжения ста- ционарных решений системы (14) при помощи принципа Ла–Салля, достаточно получить следующие результаты: 1) вывести условия ограниченности угла γ снизу на решениях системы (14); 2) установить ограниченность всех фазовых переменных γ, γ̇, j1, j2 на решениях этой системы; 3) доказать, что притягивающее множество M точек фазового пространства, состоящее из фазовых траекторий решений, определенных на полуоси t ≥ 0 и удовлетворяющих условию V̇ = 0, совпадает с множеством стационарных точек системы (14), причем расстояния между любыми двумя стационарными точками ограничены снизу положительной постоянной. 5. Условия ограниченности угла γ. Для получения условий ограниченно- сти угла γ воспользуемся подходом, изложенным в п. 4.4.2 [2]. Теорема 3. Если существуют значения постоянных параметров λ, ε ≥ 0 такие, что 59 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич 1) любое решение дифференциального уравнения Cγ̈ + 2 √ λεγ̇ + b0 sin γ + c0 = 0, (21) где b0, c0 определены в (4), ограничено при t ≥ 0, 2) при всех значениях фазовых переменных γ, γ̇, j1, j2 выполнено неравенство Ẇ (γ, γ̇, j1, j2) + 2λW (γ̇, j1, j2) + εC−1γ̇2 + γ̇(b0 sin γ + c0) ≤ 0, (22) то в любом решении γ(t), γ̇(t), j1(t), j2(t) (23) системы (14) функция γ(t) ограничена на полуоси t ≥ 0. Доказательство. 1. Определение и свойства функций Fn(γ) (n = 0,±1,±2, . . . ). Согласно изло- женным в п. 2 результатам Ф. Трикоми, предположение 1) теоремы 2 означает, что для уравнения (21) имеет место случай a > acr (рис. 1, а). Он характерен тем, что через каждую седловую точку (γ, γ̇) = (en, 0) (n = 0,±1,±2, . . . ) этого урав- нения проходит интегральная кривая γ̇ = Fn(γ), которая не имеет других точек пересечения с осью абсцисс, кроме данной седловой точки, и уходит на плюс или минус бесконечность при стремлении γ к минус или плюс бесконечности: Fn(γ) → ±∞ (γ → ∓∞). (24) Вследствие 2π-периодичности уравнения (21) по γ график функции Fn(γ) по- лучается из графика функции F0(γ) параллельным сдвигом на 2πn вдоль оси абс- цисс. Поэтому при любом γ выполняются соотношения Fn(γ + 2πn) = F0(γ) (n = 0,±1,±2, . . . ). Полагая здесь σ = γ + 2πn, приходим к равенству Fn(σ) = F0(σ − 2πn). Заменив в нем букву σ буквой γ, получаем Fn(γ) = F0(γ − 2πn) (n = 0,±1,±2, . . . ). (25) Согласно определению функций Fn(γ), они являются решениями уравнения Cγ̇ dγ̇ dγ = −2 √ λεγ̇ − b0 sin γ − c0 интегральных кривых γ̇(γ) уравнения (21), то есть они обращают уравнение ин- тегральных кривых в тождество по γ: CFn(γ) dFn(γ) dγ = −2 √ λεFn(γ) − b0 sin γ − c0 (n = 0,±1,±2, . . . ). (26) Подставив сюда вместо γ функцию γ(t) из решения (23) системы (14), получим тождество по t. 60 Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора 2. Функции Vn и неравенство V̇n + 2λVn ≤ 0. Рассмотрим набор функций Vn(γ, γ̇, j1, j2) = W (γ, γ̇, j1, j2) − 1 2 CF 2 n(γ) (n = 0,±1,±2, . . . ). (27) Покажем, что во всем фазовом пространстве для любого номера n выполняется неравенство V̇n(γ, γ̇, j1, j2) + 2λVn(γ, γ̇, j1, j2) ≤ 0, (28) где V̇n – производная функции Vn по t в силу системы (14). Обозначая штрихом дифференцирование по γ и пользуясь формулой (26), по- лучаем из (27) следующее выражение для этой производной V̇n = Ẇ − γ̇CFnF ′ n = Ẇ + γ̇(2 √ λεFn + b0 sin γ + c0). Поэтому с учетом (27) имеем V̇n + 2λVn = Ẇ + 2λW + γ̇(b0 sin γ + c0) + 2γ̇ √ λεFn − λCF 2 n . (29) Так как λ, ε ≥ 0, то εC−1γ̇2 − 2γ̇ √ λεFn + λCF 2 n = C−1 (√ εγ̇ − √ λCFn )2 ≥ 0, и поэтому 2γ̇ √ λεFn − λCF 2 n ≤ εC−1γ̇2. (30) Из соотношений (29), (30) и (22) следует, что V̇n + 2λVn = Ẇ + 2λW + γ̇(b0 sin γ + c0) + εC−1γ̇2 ≤ 0. Неравенство (28) доказано. 3. Ограниченность переменной γ снизу. Докажем, что при условиях теоремы 2 в любом решении системы (14) функция γ(t) ограничена снизу при t ≥ 0. Допу- стим, что эта система имеет решение (23), в котором функция γ(t) неограничена снизу на полуоси t ≥ 0. Так как γ – угловая переменная, без ограничения общности будем предполагать, что начальное значение γ0 = γ(0) принадлежит промежутку (e0, e1] длины 2π. Тогда в рассматриваемом решении непрерывная функция γ(t) при t ≥ 0 принимает все значения en с номерами n ≤ 0. Для каждого номера n ≤ 0 обозначим через tn момент времени, когда функция γ(t) в первый раз принимает значение en. Функция Fn(γ(t)) в этот момент времени обращается в ноль: Fn(γ(tn)) = Fn(en) = 0 (n = 0,−1,−2, . . . ). (31) В начальный момент t = 0 функция Fn(γ(t)) принимает значение Fn(γ0). Из формулы (25), получаем равенство Fn(γ0) = F0(γ0 − 2πn). Его правая часть, со- гласно (24), стремится к −∞ при γ0 − 2πn → +∞, то есть при n → −∞. Таким образом, Fn(γ0) → −∞ (n → −∞). (32) 61 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич Рассмотрим формулы (27), (28) на выбранном решении с неограниченной снизу функцией γ(t). Воспользовавшись свойством (32), выберем номер n = n0 ≤ 0 так, чтобы правая часть формулы (27) оказалась отрицательной при t = 0, то есть чтобы для функции Vn0(t) выполнялось неравенство Vn0(0) < 0. Тогда из неравенства (28): V̇n0(t) + 2λVn0(t) ≤ 0, согласно лемме 4.3.1 из [2] следует, что Vn0(t) < 0, t ≥ 0. (33) С другой стороны, полагая n = n0 в (31), имеем Fn0(γ(tn0)) = Fn0(en0) = 0. Отсюда с учетом определения (27) функций Vn следует, что Vn0(tn0) = Wn0(tn0). Но функция W неотрицательна согласно ее определению (17). Поэтому справедливо неравенство Vn0(tn0) ≥ 0, которое противоречит (33). Полученное противоречие означает, что допущение о неограниченности функции γ(t) снизу неверно. 4.Ограниченность переменной γ сверху. Чтобы доказать ограниченность функ- ции γ(t) сверху в любом решении системы (14), допустим противное, то есть что у этой системы существует решение с функцией γ(t), неограниченной сверху при t ≥ 0. Далее по той же схеме, что и выше, устанавливаем, что при условиях тео- ремы 2 это допущение приводит к противоречию. � 6. Область изменения математических параметров в теореме об огра- ниченности угла γ. В этом и следующем пункте рассмотрен вопрос о существо- вании значений параметров λ, ε, при которых выполняются условия 1, 2 теоремы 3. В п. 6 построена область изменения параметров λ, ε, в которой гарантируется выполнение условия 2. В п. 7 в указанной области однозначно выбраны значения этих параметров, при которых легче всего удовлетворить условию 1. Условием 2 теоремы 3 является неравенство (22). После подстановки в него выражений (17), (18) функций W,Ẇ оно принимает вид (−k + λC + εC−1)γ̇2 + β(−R + λL)(j2 1 + j2 2) ≤ 0. Для его выполнения при всех γ̇, j1, j2 необходимо и достаточно, чтобы параметры λ, ε удовлетворяли двум неравенствам −k + λC + εC−1 ≤ 0, −R + λL ≤ 0. (34) Второе из них дает для λ ограничение λ ≤ R/L. При каждом значении λ, удо- влетворяющем этому ограничению, первое неравенство (34) определяет верхнюю границу ε ≤ kC − λC2 для ε. Так как допустимы только неотрицательные значе- ния ε ≥ 0, эта граница должна быть неотрицательной, то есть k−λC ≥ 0. Отсюда следует второе ограничение на λ: λ ≤ k/C. Итак, множество D значений λ, ε ≥ 0, удовлетворяющих второму условию теоремы 3, определено неравенствами 0 ≤ λ ≤ min (R/L, k/C), 0 ≤ ε ≤ kC − λC2. (35) Изобразим множество D на плоскости (λ, ε). С учетом правого неравенства во втором условии (35) ему принадлежат точки первого квадранта этой плоскости, 62 Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора O O D X X Y YZ Z Z Ck Ck Ck Ck LR LR �� 0 D � � ) )А В Рис. 2. Область D допустимых значений параметров λ, ε в случаях A) R/L ≥ k/C, B) R/L < k/C лежащие на прямой ε = kC − λC2 и ниже ее. Данная прямая пересекает коорди- натные оси Oε и Oλ в точках X = (0, kC) и Y = (k/C, 0). Возможны два случая. Случай A: R/L ≥ k/C. В этом случае, согласно первому условию (35), параметр λ изменяется в диапазоне 0 ≤ λ ≤ k/C. Под соответствующим отрезком XY прямой ε = kC − λC2 лежат точки первого квадранта, образующие треугольник OXY (рис. 2, A), который и является допустимым множеством D в данном случае. Случай B: R/L < k/C. В этом случае, согласно первому условию (35), параметр λ изменяется в диапазоне 0 ≤ λ ≤ R/L. Таким образом, данное условие определяет на плоскости (λ, ε) полосу между двумя вертикальными прямыми, проходящими через точки O = (0, 0) и Z = (R/L, 0) на оси абсцисс. Прямая ε = kC − λC2 пе- ресекает вторую из этих вертикальных прямых в точке Z0 = (R/K, kC −RC2/L), расположенной выше оси абсцисс. Под отрезком XZ0 этой прямой лежат точ- ки первого квадранта, образующие трапецию OXY Z0Z. Следовательно, в слу- чае B множество D представляет собой трапецию OXZ0Z, включая ее стороны (рис. 2, B). В результате приходим к такому выводу. Лемма 1. Множество D значений λ, ε ≥ 0, удовлетворяющих второму усло- вию теоремы 3, определено неравенствами (35). В случае A, когда R/L ≥ k/C, множество D изображается на плоскости (λ, ε) треугольником OXY (рис. 2, A), включая его стороны. В случае B, когда R/L < k/C, множество D изображается на плоскости (λ, ε) в виде трапеции OXZ0Z (рис. 2, B), включая ее стороны. Лемма 1 позволяет упростить формулировку теоремы 3, заменив в ней предпо- ложение о существовании значений параметров λ, ε, обеспечивающих выполнение условия 2 этой теоремы, конкретным указанием области изменения этих пара- метров, в которой гарантировано выполнение данного условия. Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 4. Пусть в замкнутой области D изменения параметров λ, ε, опре- деленной неравенствами (34) и неравенствами λ, ε ≥ 0, выбраны некоторые зна- чения этих параметров, и пусть при этих значениях все решения дифференци- 63 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич ального уравнения (21) ограничены на полуоси t ≥ 0. Тогда в любом решении (23) системы (14) функция γ(t) ограничена при t ≥ 0. Замечание 1. При постоянном моменте нагрузки M , кроме нулевых, не суще- ствуют значения λ, ε ≥ 0, для которых выполняется условие 2 теоремы 3. Это следует из того, что при постоянном M данное условие эквивалентно двум неравенствам λC +εC−1 ≤ 0, −R+λL ≤ 0, которые получаются из (34) при k = 0. Первому из них не удовлетворяют никакие положительные значения λ, ε. 7. Выбор параметров в теореме об ограниченности угла γ. Уравнение сравнения (21) отличается от уравнения (3) тем, что в нем в качестве коэффици- ента демпфирования вместо a0 выступает величина d(λ, ε) = 2 √ λε. (36) Поэтому определение (9) параметров Трикоми для уравнения (21) принимает вид a = d(λ, ε)/ √ b0C, c = c0/b0. Согласно изложенным в п. 2 результатам, условие ограниченности решений урав- нения (21) в теоремах 3, 4 означает, что для этого уравнения имеет место случай a > acr(c) (рис. 1, а), то есть выполнено неравенство d(λ, ε)/ √ b0C > acr(c). Этому неравенству тем легче удовлетворить, чем больше величина d(λ, ε). По- этому наилучшим является такой выбор математических параметров λ, ε, при ко- тором величина d(λ, ε) принимает свое максимальное значение dmax в области D изменения этих параметров. Найдем значение dmax. Вдоль любого луча ε = Kλ (λ ∈ [0,+∞),K = const > 0), идущего на плоско- сти (λ, ε) из начала координат в первый квадрант, функция d(λ, ε) = 2 √ λε стро- го монотонно возрастает. Поэтому свое максимальное значение dmax в области D функция (36) принимает на "северо-восточной" границе этой области, то есть на отрезке XY в случае A и на ломаной XZ0Z в случае B (рис. 2). Но в случае B функция d(λ, ε) на вертикальном отрезке ZZ0 становится монотонно возраста- ющей функцией d(R/L, ε) = 2 √ εR/L одной переменной ε. Поэтому в случае B функция d(λ, ε) не может достигать своего максимума dmax внутри отрезка ZZ0. Следовательно, в обоих случаях A и B максимум функции d(λ, ε) в допустимой области D достигается на прямой ε = kC − λC2, а точнее, на отрезке XY этой прямой в случае A и на отрезке XZ0 в случае B. На отрезке XY функция d(λ, ε) становится функцией d0(λ) = 2 √ λC(k − λC), λ ∈ [0, k/C], (37) одной переменной λ. Производная функции (37) по λ равна d′0(λ) = C k − 2λC√ λC(k − λC) . 64 Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора Она обращается в ноль при значении λ = λ0 = k/2C. (38) При этом слева от точки λ = λ0 производная d′0(λ) положительна, а справа – отрицательна. В случае A значение λ0 принадлежит области определения [0, k/C] параметра λ. Следовательно, это значение соответствует точке максимума функции d0(λ) при λ ∈ [0, k/C], а значит, и точке максимума функции d(λ, ε) в допустимой области D. Подставив (38) в (37), находим максимум функции d0(λ), равный максимуму dmax функции d(λ, ε) в случае A: dmax = k. В случае B возможны два подслучая B1, B2 в зависимости от того, принадле- жит ли значение (38) области определения [0, R/L] параметра λ или не принадле- жит. В подслучае B1, когда λ0 ∈ [0, R/L], максимум dmax функции d(λ, ε) остается равным k, как и в случае A. В подслучае B2 значение λ0 = k/2C аргумента функ- ции d0(λ), соответствующее точке ее абсолютного максимума, строго больше пра- вой границы допустимого промежутка [0, R/L]. Поэтому максимум функции d0(λ) по допустимому промежутку достигается в его правой граничной точке λ = R/L, и этот максимум dmax = 2 √ R L ( k C − R L ) меньше абсолютного максимума этой функ- ции, равного k. Резюмируя, приходим к такому выводу. Лемма 2. Для функции d(λ, ε) = 2 √ λε, являющейся коэффициентом демпфи- рования в уравнении (21), ее максимум в допустимой области D равен dmax = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ k, R/L ≥ k/C; k, R/L < k/C, k/(2C) ≤ R/L; 2 √ R L ( k C − R L ) < k, R/L < k/C, k/(2C) > R/L. (39) Замечание 2. Согласно лемме 2, максимальное значение dmax коэффициента демпфирования d(λ, ε) в уравнении сравнения (21) не превосходит k. Поэтому оно всегда меньше определенного в (4) значения коэффициента демпфирования a0 для уравнения собственной модели (3), которое всегда больше k. Пользуясь леммой 2, получаем из теоремы 3 достаточный критерий ограничен- ности угла γ, в котором вместо коэффициента демпфирования d(λ, ε), зависящего от двух параметров, используется его максимальное возможное значение dmax. Теорема 5. Пусть все решения дифференциального уравнения Cγ̈ + dmaxγ̇ + b0 sin γ + c0 = 0, (40) где b0, c0, dmax определены по формулам (4), (39), ограничены при t ≥ 0. Тогда 1) в любом решении (23) уравнений (14) функция γ(t) ограничена при t ≥ 0; 65 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич 2) величина dmax является максимально возможным коэффициентом демпфи- рования для уравнения вида (21) с коэффициентом демпфирования d(λ, ε) = 2 √ λε. Используемая в данной работе двухтоковая модель синхронного электромото- ра описывается системой уравнений (1) или (14). Эта модель содержит механиче- ские параметры C, k и электротехнические параметры β, S, L,R,B, ω, u. Предпо- лагая параметры C, k, β, S, ω фиксированными, укажем способ выбора параметров L,R,B, u, при котором обеспечивается выполнение условия теоремы 5. Согласно изложенным в п. 2 результатам, это условие означает, что пара- метры Трикоми a, c для уравнения (40) удовлетворяют неравенству a > acr, где acr = acr(c) – критическое значение параметра a. В уравнении (3) коэффициент демпфирования обозначен через a0, и параметры Трикоми для него определяют- ся по формулам (9). В уравнении (40) коэффициентом демпфирования является величина dmax. Будем предполагать, что выполнено неравенство k/C < R/L, соответствующее практически интересному случаю A (рис. 2, A). Тогда dmax = k согласно (39), и формулы (9) для уравнения (40) принимают вид a = k/ √ b0C, c = c0/b0. (41) Здесь величины b0, c0 выражаются через исходные параметры по формулам (4). Существование стационарных решений систем уравнений (1), (14) и уравнения сравнения (40) обеспечивается неравенством c < 1. Так как c = c0/b0, выполнения этого неравенства можно добиться путем увеличения коэффициента b0, напри- мер, за счет увеличения B, u. Благодаря увеличению коэффициента b0 величина c может быть сделана сколь угодно малой. Покажем, что отношение a(c)/acr(c) стре- мится к +∞ при c → +0. Тогда при c достаточно малом выполняется неравенство a/acr > 1, эквивалентное условию теоремы 5. Для критического значения acr разными авторами найдены аналитические оцен- ки сверху и снизу, приведенные в [6]. Воспользуемся верхней оценкой Бёма: acr(θ0) < aB(θ0), aB(θ0) = 2 sin θ0 2 . (42) Здесь θ0 = −γ(0) = arcsin c, θ0 ∈ (0, π/2), так что стремление величины c к нулю означает, что θ0 → +0. Так как sin θ0 = c, из (41) следует, что b0 = c0/c = c0/ sin θ0, и параметр a выражается через параметр θ0 по формуле a = k√ c0C √ c = k√ c0C √ sin θ0. (43) В соответствии с (42), (43) имеем a(θ0) aB(θ) = k√ c0C √ sin θ0 2 sin θ0 2 = k√ c0C √ 2 cos θ0 2 2 √ sin θ0 2 . 66 Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора Отсюда следует, что отношение a(θ0)/aB(θ0) стремится к +∞ при θ0 → +0. Сле- довательно, при достаточно малых θ0 > 0 будет a(θ0) aB(θ0) > 1. (44) Но acr(θ0) < aB(θ0) согласно (42). Поэтому из (44) следует, что при малых θ0 > 0 справедливо неравенство a(θ0) acr(θ0) > a(θ0) aB(θ0) > 1. Это означает, что при малых значениях θ0 ∈ (0, π/2) выполняется неравенство a > acr, эквивалентное условию теоремы 5. 8. Ограниченность всех фазовых переменных. Докажем теперь, что для любого решения системы (14) в случае ограниченности угла γ имеет место огра- ниченность и остальных фазовых переменных γ̇, j1, j2. Для обеспечения ограни- ченности угла γ достаточно принять условия одной из теорем 3–5. Таким образом, надо доказать следующую лемму. Лемма 3. Пусть выполнены условия одной из теорем 3–5. Тогда любое реше- ние (23) системы (14) ограничено по всем переменным при t ≥ 0. Доказательство. В доказательстве теоремы 2 для функции γ(t) получена оцен- ка снизу: γ(t) ≥ en0 (t ≥ 0), где en0 – значение угла γ для седловой точки урав- нения сравнения (21) в теореме 2 и уравнения сравнения в одной из теорем 3, 4. Номер n0 ≤ 0 этой седловой точки определен в ходе доказательства теоре- мы 3. На фазовой плоскости уравнения (21) слева и справа от седловой точки (γ, γ̇) = (en0 , 0) расположены устойчивые стационарные точки (γ, γ̇) = (dn0+1, 0) и (γ, γ̇) = (dn0 , 0). Из определения (17) функции U(γ) следует, что значения γ = en (n = 0,±1,±2, . . . ) соответствуют ее точкам локальных максимумов, а значения γ = dn – точкам локальных минимумов. При этом значение γ = dn0 является точкой минимума функции U(γ) на всей полуоси γ ≥ en0 . Поэтому функция ∆U(γ) = U(γ)−U(dn0) = γ∫ dn0 (b0 sinσ+c0) dσ = b0(cos dn0 −cos γ)+c0(γ−dn0) (45) неотрицательна на этой полуоси: ∆U(γ) ≥ 0, γ ≥ en0 . Рассмотрим функцию v(γ, γ̇, j1, j2) = W (γ̇, j1, j2) + ∆U(γ). Она лишь на константу отличается от функции V (γ, γ̇, j1, j2), определенной в (17), и поэтому имеет такую же производную (19) по t в силу системы (14): v̇(γ̇, j1, j2) = −kγ̇2 − βR(j2 1 + j2 2). 67 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич Поскольку v̇(γ̇, j1, j2) ≤ 0, на решении системы (14) функция v не превосходит своего начального значения, то есть фазовые переменные принадлежат множеству Ω = { (γ, γ̇, j1, j2) : W (γ̇, j1, j2) + ∆U(γ) ≤ v0 } , v0 = W (γ̇(0), j1(0), j2(0)) + ∆U(γ(0)). (46) Из неотрицательности функций W,∆U следует, что v0 ≥ 0, и тогда из (46) следуют неравенства W (γ̇, j1, j2) ≤ v0, ∆U(γ) ≤ v0. (47) Согласно определению (17), функция W является определенно положительной квадратичной формой переменных γ̇, j1, j2. Поэтому первому из неравенств (47) удовлетворяют только значения этих переменных, лежащие в шаре γ̇2+j2 1 +j2 2 ≤ ρ2 конечного радиуса ρ. Второе неравенство (47) с учетом выражения (45) для ∆U приводит к еще одному доказательству ограниченности функции γ(t) сверху. � 9. Структура притягивающего множества. Перейдем к третьему пункту намеченного в конце п. 4 плана и докажем следующую лемму. Лемма 4. Пусть функция V определена по формуле (17), и пусть M – мно- жество точек фазового пространства, состоящее из фазовых траекторий всех решений системы (14), определенных на полуоси t ≥ 0 и удовлетворяющих усло- вию V̇ = 0. Множество M состоит только из стационарных точек системы (14), при- чем расстояния между любыми двумя стационарными точками ограничены сни- зу положительной постоянной. Доказательство. Из формулы (19) для V̇ следует, что множество M образо- вано фазовыми траекториями, для которых γ̇ = 0, j1 = j2 = 0, то есть оно состоит из стационарных точек γ = γ0, γ̇ = 0, j1 = j2 = 0 системы (14). В п. 3 установлено, что при сделанном предположении c = c0/b0 < 1 множество стационарных точек данной системы состоит из двух счетных подмножеств, со- ответствующих значениям (7) постоянной γ0. Отсюда с учетом (8) следует, что расстояние между любыми двумя стационарными точками ограничено снизу ве- личиной min(d0 − e0, e1 − d0) > 0. � 10. Теорема о глобальной устойчивости. В каждой из теорем 3–5 даны условия ограниченности решений системы уравнений (2) по переменной γ. Далее, в лемме 3 установлено, что из ограниченности решений системы (2) по γ следует их ограниченность по всем переменным. Тогда из принципа Ла–Салля (см. п. 4) с функцией Ляпунова V , определенной в (17), следует, что при выполнении условий одной из теорем 3–5 любое реше- ние системы уравнений (14) с течением времени неограниченно приближается к инвариантному множеству M . Согласно лемме 4, множество M – это множество стационарных точек системы (14). Поскольку расстояния между любыми двумя точками множества M ограничены снизу положительной постоянной, то стремле- ние решения к M означает, что оно стремится к одной из стационарных точек. При 68 Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора этом на 2π-периоде изменения угла γ существует одна локально асимптотически устойчивая и одна неустойчивая стационарная точка. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 6. Пусть выполнены условия одной из теорем 3–5. Тогда система уравнений (14), описывающая двухтоковую модель синхронного электромотора, глобально устойчива, то есть каждое ее решение с течением времени стремит- ся к одному из двух стационарных решений, существующих на 2π-периоде изме- нения угла γ. 1. Леонов Г.А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации // ПММ. – 1976. – 40, вып. 2. – С. 238-244. 2. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978. – 400 с. 3. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentasi in electrotechnica // Annal. della Roma Schuola Normale Superiore de Pisa. – 1933. – 2, no. 2. – P. 1–20. 4. Леонов Г.А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телемеханика. – 2006. – № 10. – С. 47–85. 5. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б., Мозалевская Г.В. Асимптотическая устойчивость в целом двухтоковой модели асинхронного электромотора // См. наст. сб. – С. 70–79. 6. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым простран- ством. – М.: Наука, 1969. – 300 с. 7. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Аппроксимация критического значения параметра демп- фирования для синхронного электромотора // Тр. Ин-та прикл. математики и механики. – 2014. – 29. – С. 121–126. 8. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука. – 1967. – 224 с. 9. Ла–Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. – М.: Мир, 1964. – 168 с. B. I. Konosevich, Yu.B. Konosevich Global stability of the two-current model of the synchronous electric motor. This investigation is based on the two-current model of the synchronous electric motor. The load moment is assumed to be linear dissipative. Effective sufficient condition is obtained guaranteeing that any motion of the synchronous electric motor tends with time to its steady rotation. Keywords: synchronous electric motor, global stability, nonlocal reduction method, LaSalle invariance priciple. ГУ «Ин-т прикл. математики и механики», Донецк konos.donetsk@yandex.ru Получено 15.04.16 69

Глобальная устойчивость двухтоковой модели синхронного электромотора

Institution

Ähnliche Einträge