Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза
Охарактеризовано групу iзометрiй простору Марчевського–Штейнгауза i описано деякi властивостi простору мiри.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124552 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза / Б.В. Олiйник // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 260-267. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124552 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1245522025-02-09T22:51:58Z Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза Олiйник, Б.В. Охарактеризовано групу iзометрiй простору Марчевського–Штейнгауза i описано деякi властивостi простору мiри. 2006 Article Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза / Б.В. Олiйник // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 260-267. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 28D15. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124552 uk Український математичний вісник application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Охарактеризовано групу iзометрiй простору Марчевського–Штейнгауза i описано деякi властивостi простору мiри. |
| format |
Article |
| author |
Олiйник, Б.В. |
| spellingShingle |
Олiйник, Б.В. Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза Український математичний вісник |
| author_facet |
Олiйник, Б.В. |
| author_sort |
Олiйник, Б.В. |
| title |
Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза |
| title_short |
Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза |
| title_full |
Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза |
| title_fullStr |
Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза |
| title_full_unstemmed |
Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза |
| title_sort |
група ізометрій простору марчевського--штейнгауза |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124552 |
| citation_txt |
Група ізометрій простору Марчевського--Штейнгауза / Б.В. Олiйник // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 260-267. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT oliinikbv grupaízometríiprostorumarčevsʹkogošteingauza |
| first_indexed |
2025-12-01T13:55:56Z |
| last_indexed |
2025-12-01T13:55:56Z |
| _version_ |
1850314438136037376 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 2, 260 – 267
Група iзометрiй простору
Марчевського–Штейнгауза
Богдана В. Олiйник
(Представлена I. В. Протасовим)
Анотацiя. Охарактеризовано групу iзометрiй простору Марчевсь-
кого–Штейнгауза i описано деякi властивостi простору мiри.
2000 MSC. 28D15.
Ключовi слова та фрази. Метричний простiр, скiнченно-адитивна
мiра, група iзометрiй, автоморфiзм вимiрного простору.
Нехай M — непорожня множина, M — алгебра ( [1, стор. 8]), за-
дана на цiй множинi, µ — скiнченно адитивна мiра на M. Визначимо
множину Mµ рiвнiстю
Mµ = {M ∈ M | µ(M) <∞}.
Якщо µ — ймовiрносна мiра, то M = Mµ. Задамо на множинi Mµ
функцiю вiдстанi dmµ : Mµ ×Mµ −→ R+, поклавши
dmµ(U, V ) = µ(U△V ), U, V ∈ Mµ, (1)
де △ — знак симетричної рiзницi множин. Ця функцiя є напiвме-
трикою на множинi Mµ, а простiр (Mµ, dmµ) називається напiвмет-
ричним простором мiри. Напiвметрику dmµ ще називають вiдстанню
Фреше–Никодима–Арошаяна [2]. На множинi Mµ можна також ви-
значити iншу, спорiднену напiвметрику
dµ(U, V ) =
{
1, якщо µ(U) = µ(V ) = 0,
µ(U△V )
µ(U∪V ) , в iншому випадку.
(2)
Стаття надiйшла в редакцiю 26.01.2005
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
Б. В. Олiйник 261
Її було визначено в роботi польських математикiв Марчевського i
Штейнгауза [3], i тому вона називається напiвметрикою Марчевсь-
кого–Штейнгауза.
Якщо мiра µ така, що µ(A) 6= 0, для всiх A ∈ Mµ\{∅}, то функцiї
dµ i dmµ будуть метриками на множинi Mµ. Очевидно, що дiаметр
простору Марчевського–Штейнгауза дорiвнює 1.
Твердження 1. Нехай |Mµ| > 2. Множина A ∈ Mµ має мiру 0
тодi i тiльки тодi, коли вiдстань вiд неї до будь-якої iншої множини
B ∈ Mµ в просторi Марчевського–Штейнгауза (Mµ, dµ) дорiвнює 1.
Доведення. 1) Якщо µ(B) = 0, то dµ(A,B) = 1 за означенням. Нехай
µ(B) 6= 0. Тодi
dµ(A,B) =
µ(A△B)
µ(A ∪B)
=
µ((A\(A ∩B)) ∪ (B\(A ∩B)))
µ((A\B) ∪B)
.
Оскiльки множини A∩B, A\B, A\(A∩B) є пiдмножинами множини
A i µ(A) = 0, то
µ(A ∩B) = µ(A\B) = µ(A\(A ∩B)) = 0,
а тому
dµ(A,B) =
µ(A\(A ∩B)) + µ(B) − µ(A ∩B)
µ(A\B) + µ(B)
=
µ(B)
µ(B)
= 1.
2) Нехай для всiх B ∈ Mµ виконується рiвнiсть dµ(A,B) = 1. До-
ведемо, що µ(A) = 0. Припустимо вiд супротивного, що µ(A) > 0.
Тодi, оскiльки |Mµ| > 2, то iснує множина B ∈ Mµ, яка не дорiвнює
множинi A i не є порожньою множиною. Оскiльки M — алгебра i µ —
скiнченно адитивна мiра, то (A ∩ B) ∈ Mµ i (A ∪ B) ∈ Mµ. А тому
можна стверджувати, що iснує множина C ∈ Mµ така, що µ(C) 6= 0
i або A ⊂ C, або C ⊂ A. Якщо C ⊂ A, то справедливою буде оцiнка
dµ(A,C) =
µ(A△C)
µ(A ∪ C)
=
µ(A\C)
µ(A)
< 1.
Якщо A ⊂ C, то
dµ(A,C) =
µ(A△C)
µ(A ∪ C)
=
µ(C\A)
µ(C)
< 1,
що суперечить умовi твердження. Отже µ(A) = 0.
Безпосередньо перевiряється, що має мiсце також подiбне твер-
дження для простору мiри (Mµ, dmµ).
262 Група iзометрiй...
Твердження 2. Нехай |Mµ| > 2. Множина A ∈ Mµ має мiру 0
тодi i тiльки тодi, коли вiдстань вiд A до будь-якої iншої множини
B ∈ Mµ в просторi мiри (Mµ, dmµ) дорiвнює
dµ(A,B) = µ(B).
У випадку, коли множинаM — скiнченна, M є множиною всiх пiд-
множин множини M , а µ — рiвнорозподiлена мiра, напiвметричний
простiр мiри є простором Хемiнга, а простiр Марчевського–Штейн-
гауза — бiотопним простором. Властивостi бiотопних просторiв i про-
сторiв Хемiнга та їх групи iзометрiй охарактеризовано в роботах [4–
6](див. також [8, стор. 91–92]).
Нагадаємо, що метричний простiр називається однорiдним, якщо
його група iзометрiй дiє на ньому транзитивно.
Теорема 1. Метричний простiр мiри (Mµ, dmµ) є однорiдним мет-
ричним простором.
Доведення. Достатньо показати, що для будь-яких множин A,B ∈
Mµ iснує iзометрiя iA,B простору (Mµ, dmµ) така, що iA,B(A) = B.
Визначимо вiдображення iA,B : Mµ → Mµ для будь-якої множи-
ни X ∈ Mµ, поклавши:
iA,B(X) = (A△B)△X.
Вiдображення визначене коректно, оскiльки з того, що X ∈ Mµ, ви-
пливає, що iA,B(X) ∈ Mµ. Крiм того,
iA,B(A) = (A△B)△A = B.
Зрозумiло, що вiдображення iA,B є бiєкцiєю множини Mµ на себе.
Для будь-яких двох множин Z, Y ∈ Mµ справедливим буде ланцюг
рiвностей
dmµ(iA,B(Y ), iA,B(Z)) = dmµ(((A△B)△Y, ((A△B)△X)
= µ((A△B)△Y )△((A△B)△Z) = µ(Y△Z) = dmµ(Y,Z),
тобто вiдображення iA,B зберiгає вiдстанi мiж точками простору
(Mµ, dmµ), а отже i є шуканою iзометрiєю. Теорему доведено.
Нагадаємо, що автоморфiзмом простору (M,M, µ) називається
довiльне вiдображення f : M −→ M, для якого виконуються такi
умови (див. [7, стор. 7–10]):
1) iснує вiдображення f−1, i f−1(C) ∈ M для будь-якого C ∈ M;
Б. В. Олiйник 263
2) для вiдображення f мiра µ є iнварiантною, тобто для будь-якого
C ∈ M справедлива рiвнiсть
µ(C) = µ(f(C)) = µ(f−1(C)).
Теорема 2. Якщо |Mµ| > 2, то для довiльної ймовiрносної мiри µ
iзометрiями напiвметричного простору Марчевського–Штейнгауза
будуть автоморфiзми простору (M, µ) i тiльки вони.
Доведення. Зрозумiло, що всi вiдображення множини M на себе, якi
зберiгають мiру, не будуть змiнювати вiдстанi мiж точками простору
Марчевського–Штейнгауза, тобто будуть його iзометрiями. Пересвiд-
чимось, що iзометрiя ϕ простору (Mµ, dµ) зберiгає мiру µ на множинi
M.
Переконаємось спочатку, що при iзометрiї ϕ образами множин
мiри 0 будуть множини мiри 0. Справдi, нехай A ∈ M i µ(A) = 0.
Тодi з твердження 1 випливає, що для всiх точок простору B ∈ M
справедлива рiвнiсть dµ(A,B) = 1. Оскiльки ϕ — iзометрiя простору
Марчевського–Штейнгауза, то
dµ(ϕ(A), ϕ(B)) = 1.
Якщо B пробiгає весь простiр M, то й ϕ(B) також пробiгає весь цей
простiр, а тому остання рiвнiсть рiвносильна умовi
dµ(ϕ(A), ϕ(B)) = 1 для всiх ϕ(B) ∈ M.
Звiдки за твердженням 1 дiстаємо µ(ϕ(A)) = 0.
Доведемо тепер, що при iзометрiї ϕ множина M переходить в де-
яку множину вигляду M\D, де D — множина мiри 0. Оскiльки µ —
ймовiрносна мiра, то це означає, що має мiсце рiвнiсть µ(ϕ(M)) = 1.
Нехай C ∈ M така множина, що ϕ(M) = M\ϕ(C), тодi справедливою
буде рiвнiсть
dµ(M,C) =
µ(M△C)
µ(M ∪ C)
=
µ((M\C) ∪ (C\M))
1
= 1 − µ(C). (3)
А вiдстань мiж образами множин M i C при вiдображеннi ϕ визна-
чається рiвнiстю
dµ(ϕ(M), ϕ(C)) =
µ((M\ϕ(C))△ϕ(C))
µ((M\ϕ(C)) ∪ ϕ(C))
=
µ((M\C) ∪ ϕ(C))
1
= 1. (4)
264 Група iзометрiй...
Оскiльки ϕ — iзометрiя простору (Mµ, dµ), то з рiвностей (3) i (4)
маємо 1 − µ(C) = 1, звiдки отримуємо µ(C) = 0. З доведеного вище
випливає, що µ(ϕ(C)) = 0. Отже, для будь-якої iзометрiї ϕ простору
(Mµ, dµ) множина M переходить в деяку множину вигляду M\D, де
µ(D) = 0.
Нехай тепер A ∈ M — деяка множина, мiра якої не дорiвнює 0 i
A 6= M . Вiдстань вiд точки A до точки M в просторi (Mµ, dµ) буде
дорiвнювати
dµ(M,A) =
µ(M△A)
µ(M)
= 1 − µ(A). (5)
Для вiдстанi мiж образами цих точок, як випливає з доведеного вище,
при iзометрiї ϕ, буде справедлива така рiвнiсть
dµ(ϕ(M), ϕ(A)) =
µ((M\D)△ϕ(A))
µ((M\D) ∪ ϕ(A))
=
µ(((M\D)\ϕ(A)) ∪ (ϕ(A) ∩D)))
µ((M\D) ∪ ϕ(A))
.
Оскiльки мiра множини D дорiвнює 0, то
dµ(ϕ(M), ϕ(A)) =
µ((M\D)\ϕ(A))
1
= 1 − µ(ϕ(A)). (6)
Вiдображення ϕ зберiгає вiдстанi мiж точками, а тому з рiвностей
(5) i (6) маємо
1 − µ(A) = 1 − µ(ϕ(A)),
звiдки отримуємо рiвнiсть
µ(A) = µ(ϕ(A)),
отже ϕ зберiгає мiру. Таким чином, ми довели, що iзометрiями про-
стору Марчевського–Штейнгауза будуть вiдображення, що зберiгать
мiру i тiльки вони. Теорему доведено.
Зауважимо, що в загальному випадку, коли мiра необмежена,
твердження теореми 3.1 неправильне. Розглянемо такий приклад. Не-
хай R — σ-алгебра всiх вимiрних за Лебегом пiдмножин дiйсної пря-
мої R, µ — мiра Лебега на R. Розглянемо вiдображення ψ : R → R,
яке кожну множину A ∈ R “розтягує” вдвiчi, тобто число x на-
лежить ψ(A) тодi i тiльки тодi, коли число 1
2x належить множи-
нi A. Очевидно, що вiдображення ψ є бiєкцiєю множини R в себе
i µ(ψ(A)) = 2µ(A). Крiм того, вiдображення ψ не змiнює вiдстанi
Б. В. Олiйник 265
мiж точками простору (R, dµ). Таким чином, iзометрiя ψ простору
Марчевського–Штейнгауза (R, dµ) не буде автоморфiзмом σ-алгебри
всiх вимiрних за Лебегом пiдмножин множини дiйсних чисел R.
За даними напiвметричними просторами Марчевського–Штейн-
гауза (Mµ, dµ) i Фреше–Никодима–Арошаяна (Mµ, dmµ) можна
побудувати метричнi простори, якi природно назвати простором
Штейнгауза i метричним простором мiри. А саме, на множинi Mµ
визначимо вiдношення ∼ для довiльних множин A,B ∈ Mµ умовою:
A ∼ B тодi i лише тодi, коли µ(A△B) = 0. Очевидно, що вiдношен-
ня ∼ є еквiвалентнiстю на множинi Mµ. На фактор-множинi
Mµ = Mµ�∼
визначимо функцiї двох змiнних d̃µ i d̃mµ таким чином
˜dµ(Ū , V̄ ) =
µ̃(Ū△V̄ )
µ̃(Ū ∪ V̄ )
=
µ(U△V )
µ(U ∪ V )
,
˜dmµ(Ū , V̄ ) = µ̃(Ū△V̄ ) = µ(U△V ),
де Ū , V̄ ∈ Mµ, а U, V деякi представники класiв Ū , V̄ вiдповiдно.
Функцiї d̃µ i d̃mµ визначенi коректно. Справдi, нехай µ(U△U1) = 0.
Покажемо, що µ((U△V )△(U1△V )) = 0. Але ((U△V )△(U1△V )) =
U1△U , а тому µ((U△V )△(U1△V )) = µ(U1△U) = 0. Отже функцiя
d̃mµ визначена коректно. Для доведення коректностi визначення
функцiї d̃µ покажемо, що µ((U ∪ V )△(U1 ∪ V )) = 0. Справедливою
буде оцiнка
µ((U1 ∪ V ) \ (U ∪ V )) = µ((U1 \ (U ∪ V ) ∪ (V \ (U1 ∪ V ))),
враховуючи монотоннiсть мiри, отримаємо
µ((U1 ∪ V ) \ (U ∪ V )) ≤ µ(U1 \ U) + µ(V \ V ) = 0.
Отже, µ((U ∪ V )) = µ(U1 ∪ V ) i функцiя d̃µ визначена коректно.
Функцiї d̃µ i d̃mµ набувають значення 0 тiльки на класi ∅̄, а тому
будуть метриками на Mµ.
Твердження 3. Простiр (Mµ, d̃mµ) є однорiдним метричним прос-
тором.
Доведення. Доведення цього твердження проводиться аналогiчно до-
веденню теореми 1. Справдi, достатньо показати, що для будь-яких
266 Група iзометрiй...
класiв множин Ā, B̄ ∈ Mµ iснує iзометрiя iĀ простору (Mµ, d̃mµ)
така, що iĀ(Ā) = B̄.
Визначимо вiдображення iĀ : Mµ → Mµ для будь-якого класу
множин X̄ ∈ Mµ, поклавши:
iA(X) = (A△B)△X.
Вiдображення визначене коректно, оскiльки з того, що X̄ ∈ Mµ, ви-
пливає, що iĀ(X̄) ∈ Mµ i, якщо X ∼ X1, то iĀ(X̄) ∼ iĀ(X̄1). Крiм
того,
iĀ(Ā) = B̄.
Зрозумiло, що вiдображення iĀ є бiєкцiєю множини Mµ на себе i ана-
логiчно доведенню теореми 1 доводиться, що вiдображення iĀ зберi-
гає вiдстанi мiж точками простору (Mµ, d̃mµ), а отже, i є шуканою
iзометрiєю.
Аналогiчно теоремi 3.1 доводиться теорема
Теорема 3. Якщо |Mµ| > 2, то для довiльної ймовiрносної мiри µ
iзометрiями простору Штейнгауза будуть вiдображення, що зберi-
гають мiру µ i тiльки вони.
Лiтература
[1] Ю. М. Березовский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель, Функциональный Анализ. Киев:
Вища школа, 1990, 600 с.
[2] M. M. Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics. Berlin: Springer, 1997,
588 p. (Росiйський переклад: М. Деза, М. Лоран, Геометрия разрезов и ме-
трик. Москва: МЦНМО, 2001, 736 с.)
[3] F. Marczewski, H. Steinhaus, On certain distance of sets and the corresponding
distance of functions // Colloquium Matematicum, 6 (1958), 319–327.
[4] Б. В. Олiйник, Унiверсальнiсть злiченних просторiв Хемiнга щодо iзомор-
фних занурень // Вiсник Київського унiверситету. Сер. фiз.-мат. науки. 1996,
в. 2, 53–62.
[5] Б. В. Олiйник, Iзоморфнi занурення i метрика Громова–Хаусдорфа для скiн-
ченних метричних просторiв. Дис. канд. фiз.-мат. наук. Київ: КНУ iменi
Тараса Шевченка, 2002, 124 с.
[6] Б. В. Олiйник, Група iзометрiй нескiнченного бiотопного простору // Ма-
тематичнi Студiї. 20 2003, N 2, 205–209.
[7] Я. Г. Синай, Современные проблемы эргодической теории. Москва: Физико-
математическая литература, 1995, 201 с.
[8] В. I. Сущанський, В. С. Сiкора, Операцiї на групах пiдстановок. Теорiя та
застосування. Чернiвцi: Рута, 2003, 255 с.
Б. В. Олiйник 267
Вiдомостi про авторiв
Богдана Вiталiївна
Олiйник
Нацiональнiй унiверситет
“Києво-Могилянська академiя”
вул. Г. Сковороди, 2
04070, Київ
Україна
E-Mail: bogd@ukma.kiev.ua
|