Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова
Рассмотрена неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающая нулевое решение, для которой существует неотрицательная функция Ляпунова, производная которой в силу системы неположительна. Предполагается, что нулевое решение системы равномерно асимптотически устойчиво на том мн...
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124583 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова / А.О. Игнатьев // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 1. — С. 74-83. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124583 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Игнатьев, А.О. 2017-09-29T14:26:40Z 2017-09-29T14:26:40Z 2005 Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова / А.О. Игнатьев // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 1. — С. 74-83. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 34D20. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124583 Рассмотрена неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающая нулевое решение, для которой существует неотрицательная функция Ляпунова, производная которой в силу системы неположительна. Предполагается, что нулевое решение системы равномерно асимптотически устойчиво на том множестве, на котором функция Ляпунова обращается в нуль. Доказаны теоремы о равномерной и равномерной асимптотической устойчивости. Приведен иллюстративный пример. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова |
| spellingShingle |
Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова Игнатьев, А.О. |
| title_short |
Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова |
| title_full |
Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова |
| title_fullStr |
Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова |
| title_full_unstemmed |
Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова |
| title_sort |
исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций ляпунова |
| author |
Игнатьев, А.О. |
| author_facet |
Игнатьев, А.О. |
| publishDate |
2005 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Рассмотрена неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающая нулевое решение, для которой существует неотрицательная функция Ляпунова, производная которой в силу системы неположительна. Предполагается, что нулевое решение системы равномерно асимптотически устойчиво на том множестве, на котором функция Ляпунова обращается в нуль. Доказаны теоремы о равномерной и равномерной асимптотической устойчивости. Приведен иллюстративный пример.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124583 |
| citation_txt |
Исследование устойчивости с помощью знакопостоянных функций Ляпунова / А.О. Игнатьев // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 1. — С. 74-83. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT ignatʹevao issledovanieustoičivostispomoŝʹûznakopostoânnyhfunkciilâpunova |
| first_indexed |
2025-11-25T22:46:35Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:46:35Z |
| _version_ |
1850573221697421312 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 1, 74 – 83
Исследование устойчивости с помощью
знакопостоянных функций Ляпунова
Александр О. Игнатьев
(Представлена Н. А. Перестюком)
Аннотация. Рассмотрена неавтономная система обыкновенных
дифференциальных уравнений, допускающая нулевое решение, для
которой существует неотрицательная функция Ляпунова, производ-
ная которой в силу системы неположительна. Предполагается, что
нулевое решение системы равномерно асимптотически устойчиво на
том множестве, на котором функция Ляпунова обращается в нуль.
Доказаны теоремы о равномерной и равномерной асимптотической
устойчивости. Приведен иллюстративный пример.
2000 MSC. 34D20.
Ключевые слова и фразы. Равномерная асимптотическая устой-
чивость, метод функций Ляпунова.
1. Введениe
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний
dx
dt
= X(t, x), (1.1)
где x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, t ∈ R+ = [0,∞), X = (X1, X2, . . . , Xn) :
R+ × BH → Rn, BH = {x ∈ Rn : |x| ≤ H}. Функции Xi(t, x) (i =
1, . . . , n) предполагаем непрерывными и удовлетворяющими условию
Липшица по x равномерно по t в области R+ × BH , где H > 0 —
некоторая константа; X(t, 0) ≡ 0. При этих предположениях система
(1.1) допускает тривиальное решение
x = 0. (1.2)
Статья поступила в редакцию 4.06.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
А. О. Игнатьев 75
При исследовании равномерной асимптотической устойчивости
решения (1.2) системы (1.1) обычно используют прямой метод Ляпу-
нова. Этот метод предполагает существование определенно-положи-
тельной функции V (t, x), такой, что ее производная
dV
dt
в силу си-
стемы (1.1) есть функция определенно-отрицательная. Однако стан-
дартных методов построения функций Ляпунова для систем общего
вида не существует, поэтому для приложений представляет интерес
получение критериев равномерной асимптотической устойчивости с
использованием функций, обладающих более мягкими свойствами по
отношению к функциям V и
dV
dt
. В работах [2, 8, 10, 11] получе-
ны такие критерии в предположении, что V положительно опреде-
лена, а
dV
dt
отрицательно-постоянна. В статьях [3, 4, 7] были осла-
блены также условия на функцию V , которая уже предполагалась не
определенно-положительной, а положительно-постоянной (V ≥ 0),
причем в [3, 4] правые части системы предполагались автономными
или периодическими по t. В работе [7] в качестве правых частей си-
стемы рассматривался частный случай неавтономных систем, и при
доказательстве теорем об устойчивости и асимптотической устойчи-
вости использовались свойства предельных уравнений. Настоящая
работа представляет собой развитие работ [3, 4, 7] в предположе-
нии, что система (1.1) неавтономна, и ее нулевое решение равномерно
асимптотически устойчиво на интегральном множестве V (t, x) = 0.
2. Основные определения
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний (1.1). Обозначим Γ = R+×BH , гдеH — некоторое положительное
число. Введем ряд определений, которые использовались в работах
[5, 6].
Определение 2.1. Множество M пространства (t, x) называется
интегральным, если для любой точки (t0, x0) ∈ M выполняется
(t, x(t)) ∈M, t ≥ t0, где x(t) = x(t, t0, x0) — решение системы (1.1) с
начальными данными x(t0) = x0.
Пусть M ⊂ R+ ×Rn. Обозначим через Ms пересечение этого мно-
жества с гиперплоскостью t = s, а через ρ(x,Ms) — расстояние от
точки x до множества Ms.
По аналогии с работами [4, 9], введем следующие определения.
Определение 2.2. Решение (1.2) системы (1.1) назовем устойчи-
вым относительно интегрального множества M , если для любых
76 Исследование устойчивости...
ε > 0 и t0 ∈ R+ найдется δ = δ(ε, t0) > 0, такое, что если только
(t0, x0) ∈M, ‖x0‖ < δ, то ‖x(t, t0, x0)‖ < ε при t ≥ t0.
Определение 2.3. Если в предыдущем определении число δ можно
выбрать не зависящим от t0 (т.е. δ = δ(ε)), то решение (1.2) назо-
вем равномерно устойчивым относительно M .
Определение 2.4. Нулевое решение системы (1.1) назовем притя-
гивающим относительно интегрального множества M , если для
любого t0 ∈ R+ найдется η = η(t0) > 0 и для любых ε > 0 и x0 ∈
Mt0
⋂
Bη найдется σ = σ(ε, t0, x0) > 0, такое, что ‖x(t, t0, x0)‖ < ε
для всех t ≥ t0 + σ.
Определение 2.5. Тривиальное решение уравнений (1.1) называет-
ся равномерно притягивающим относительно M , если для некото-
рого η > 0 и любого ε > 0 найдется σ = σ(ε) > 0, такое, что
‖x(t, t0, x0)‖ < ε при всех t0 ∈ R+, x0 ∈Mt0
⋂
Bη и t ≥ t0 + σ.
Определение 2.6. Решение (1.2) системы дифференциальных урав-
нений (1.1) называется:
— асимптотически устойчивым относительно интегрального
множества M , если оно устойчиво и притягивающее относитель-
но M ;
— равномерно асимптотически устойчивым относительно ин-
тегрального множества M , если оно равномерно устойчиво и рав-
номерно притягивающее относительно M .
Определение 2.7. Будем говорить, что функция g : R+ → R+ есть
функция Хана (g ∈ K), если она непрерывна, монотонно-возрастаю-
щая и g(0) = 0.
Так как, по предположению, правые части уравнений (1.1) удов-
летворяют условию Липшица, то существует L > 0, такое, что
‖X(t, x1) −X(t, x2)‖ ≤ L‖x1 − x2‖, x1 ∈ BH , x2 ∈ BH ;
поэтому, если x(t, t0, x0) ∈ BH , y(t, t0, y0) ∈ BH , то, используя оценку
[1, с. 14], получаем
‖x(t, t0, x0) − y(t, t0, y0)‖ ≤ δeL(t−t0), (2.1)
если ‖x0 − y0‖ ≤ δ.
А. О. Игнатьев 77
3. Теорема о равномерной устойчивости
Теорема 3.1. Пусть система (1.1) такова, что существует непре-
рывная функция V (t, x) : R+ ×BH → R, такая, что:
а) V периодична по t с периодом ω;
б) V (t, x) ≥ 0, V (t, 0) ≡ 0;
в) функция V не возрастает вдоль решений системы (1.1);
г) решение (1.2) системы (1.1) равномерно асимптотически ус-
тойчиво относительно интегрального множества M , где
M = {(t, x) : t ∈ R+, x ∈ BH , V (t, x) = 0}.
Тогда нулевое решение системы (1.1) равномерно устойчиво.
Доказательство. Введем обозначения
S(α) = {(t, x) ∈ R+ ×Bα : V (t, x) = 0},
St(α) = {x ∈ Bα : V (t, x) = 0}.
Доказательство проведем от противного, т.е. предположим, что
решение (1.2) системы (1.1) не является равномерно устойчивым. Это
означает, что существует положительное число h и последователь-
ность начальных данных {(t0n, x0n)}∞n=1, таких, что t0n ≥ 0,
lim
n→∞
‖x0n‖ = 0, ‖x(t0n + T ∗
n , t0n, x0n)‖ ≥ h при некоторых T ∗
n > 0.
Пусть ε — произвольное положительное число, удовлетворяющее ус-
ловию 4ε < h. В силу предположения г) теоремы, тривиальное ре-
шение системы (1.1) является равномерно притягивающим относи-
тельно M . Следовательно, для некоторого η > 0 найдется такое σ =
σ(ε) > 0, что ‖x(t, t0, x0)‖ < ε при всех t0 ∈ R+, x0 ∈ St0(η), t ≥ t0+σ.
В дальнейшем ε будем считать таким, что выполняется неравенство
4ε < η. Пусть числа Tn > 0 обозначают моменты времени, такие, что
‖x(t0n + Tn, t0n, x0n)‖ = 4ε, ‖x(t0n + t, t0n, x0n)‖ < 4ε при t < Tn.
(3.1)
Учитывая неравенство (2.1), заключаем, что lim
n→∞
Tn = +∞. Рас-
смотрим также последовательность {tn}∞n=1, такую, что при n ≥ n0 ∈
N (N — это множество натуральных чисел) выполняются неравенства
0 < tn < Tn, σ ≤ Tn − tn ≤ Q, (3.2)
где Q — константа, удовлетворяющая условию Q > σ (например, в
качестве Q можно взять 2σ), и последовательность {τn}∞n=1, члены
которой удовлетворяют условиям
τn ∈ [0, ω), τn = t0n + tn − pnω, (3.3)
78 Исследование устойчивости...
где pn ∈ Z+ (Z+ — это множество целых неотрицательных чисел).
Рассмотрим последовательность {yn} точек в фазовом пространс-
тве, где
yn = x(t0n + tn, t0n, x0n). (3.4)
На основании предположений (3.1) и (3.2) можно сделать вывод, что
yn ∈ B4ε при любом n ≥ n0 ∈ N. B4ε является ограниченным и
замкнутым множеством в Rn, следовательно, из последовательности
{yn} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к неко-
торому элементу y∗ ∈ B4ε. Аналогично, из последовательности {τn}
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к τ∗ ∈ [0, ω]. Не
нарушая общности, будем считать, что сами последовательности схо-
дятся к соответствующим элементам: yn → y∗, τn → τ∗ при n→ ∞.
Учитывая свойства функции V и обозначения (3.3), (3.4), полу-
чаем
0 ≤ V (τ∗, y∗) = lim
n→∞
V (τn, yn) = lim
n→∞
V (t0n + tn, yn) =
= lim
n→∞
V (t0n + tn, x(t0n + tn, t0n, x0n)) ≤ lim
n→∞
V (t0n, x0n) = 0.
Следовательно, V (τ∗, y∗) = 0 и (τ∗, y∗) ∈ S(4ε). Обозначим k ∈ N
такое число, что выполняются условия
k ≥ n0, tk ≥ σ(ε), |δk| < max
{
1,
ε
Lh
e−LQ
}
, ‖yk − y∗‖ < εe−QL,
(3.5)
где δk = t0k + tk − pkω − τ∗ = τk − τ∗. Очевидно, что выбор такого k
возможен, так как δn → 0, ‖yn − y∗‖ → 0, tn → +∞ при n→ ∞.
Имеем оценку
‖x(t0k + Tk, t0k, x0k)‖ ≤ J1 + J2 + J3,
где
J1 = ‖x(t0k + Tk, t0k, x0k) − x(t0k + Tk, t0k + tk, y∗)‖,
J2 = ‖x(t0k + Tk, t0k + tk, y∗) − x(t0k + Tk, t0k + tk − δk, y∗)‖,
J3 = ‖x(t0k + Tk, τ∗ + pkω, y∗)‖ = ‖x(t0k + Tk, t0k + tk − δk, y∗)‖.
В силу единственности решений x(t0k +Tk, t0k, x0k) = x(t0k +Tk, t0k +
tk, x(t0k + tk, t0k, x0k)) = x(t0k + Tk, t0k + tk, yk), следовательно, в силу
(2.1) и (3.5) получаем
J1 = ‖x(t0k + Tk, t0k + tk, yk) − x(t0k + Tk, t0k + tk, y∗)‖ ≤
≤ ‖y∗ − yk‖e(Tk−tk)L ≤ ‖y∗ − yk‖eQL < ε. (3.6)
А. О. Игнатьев 79
Оценим теперь J2 и J3 с учетом условий (3.5).
J2 = ‖x(t0k + Tk, t0k + tk, y∗)−
− x(t0k + Tk, t0k + tk, x(t0k + tk, t0k + tk − δk, y∗))‖ ≤
≤ ‖y∗ − x(t0k + tk, t0k + tk − δk, y∗)‖eLQ ≤ |δk|LheLQ < ε; (3.7)
J3 < ε в силу того, что (τ∗ + pkω, y∗) ∈ S(4ε) и Tk − tk ≥ σ(ε).
Отметим, что оценка (3.7) проведена в предположении δk ≥ 0, но
можно показать аналогично, что она справедлива также при δk ≤ 0.
Воспользовавшись полученными оценками, имеем
‖x(t0k + Tk, t0k, x0k)‖ < 3ε,
что противоречит предположению (3.1). Полученное противоречие
доказывает равномерную устойчивость нулевого решения уравнений
(1.1).
4. Теорема о равномерной асимптотической
устойчивости
Теорема 4.1. Пусть система (1.1) такова, что существует диф-
ференцируемая функция V (t, x) : R+ ×BH → R, такая, что:
а) V периодична по t с периодом ω;
б) V (t, x) ≥ 0, V (t, 0) ≡ 0;
в)
dV
dt
≤ −c(V (t, x)), c ∈ K;
г) решение (1.2) системы (1.1) равномерно асимптотически ус-
тойчиво относительно интегрального множества S(H).
Тогда нулевое решение системы (1.1) равномерно асимптотичес-
ки устойчиво.
Доказательство. Так как нулевое решение уравнений (1.1) равно-
мерно асимптотически устойчиво относительно S(H), то существует
η > 0, такое, что
(∀ ξ > 0) (∃σ = σ(ξ) > 0) (∀ t0 ∈ R+) (∀x0 ∈ St0(η))
(∀ t ≥ t0 + σ)‖x(t, t0, x0)‖ < ξ.
(4.1)
В силу теоремы 3.1 решение (1.2) системы (1.1) является равно-
мерно устойчивым, следовательно, можно указать ζ > 0, такое, что
‖x(t, t0, x0)‖ < η при всех x0 ∈ Bζ , t0 ∈ R+, t ≥ t0. Покажем теперь,
что нулевое решение системы (1.1) — равномерно притягивающее.
80 Исследование устойчивости...
Возьмем произвольное ε > 0. Из равномерной устойчивости триви-
ального решения следует существование такого δ = δ(ε) > 0, что для
любых x0 ∈ Bδ, t0 ∈ R+, t ≥ t0 справедливо неравенство
‖x(t, t0, x0)‖ < ε. (4.2)
Используя (4.1), получаем
(
∃σ1 = σ1(ε) = σ
(δ
3
)
> 0
)
(∀ t0 ∈ R+) (∀ y0 ∈ St0(η))
(∀ t ≥ t0 + σ1) ‖x(t, t0, y0)‖ <
δ
3
.
(4.3)
Из неравенства (2.1) следует, что существует
γ = γ(ε) =
1
3
δ(ε)e−Lσ1(ε) > 0,
такое, что если t0 ∈ R+, ‖x0 − y0‖ < γ, то
‖x(t0 + σ1, t0, x0) − x(t0 + σ1, t0, y0)‖ <
δ
3
. (4.4)
Покажем, что для всех решений x(t), начинающихся в Bζ , спра-
ведливо
lim
t→∞
ρ(x(t, t0, x0), St(η)) = 0, (4.5)
причем предельное соотношение (4.5) выполняется равномерно по
t0 ∈ R+, x0 ∈ Bζ . Для этого покажем вначале, что существует функ-
ция Хана a, такая, что
V (t, x) ≥ a(ρ(x, St(η)). (4.6)
Обозначим
ψ(r) = inf V (t, x) при t ∈ [0, ω], ρ(x, St(η)) = r, x ∈ Bη,
ψ(r) — это скалярная непрерывная функция, такая, что ψ(0) = 0,
ψ(r) > 0 при r > 0. Обозначим a(r) такую непрерывную монотонно-
возрастающую функцию, что a(0) = 0, a(r) ≤ ψ(r) при 0 < r < η.
Очевидно, что так построенная функция a удовлетворяет свойству
(4.6). Покажем теперь, что
(∀α > 0) (∃T = T (α)) (∀ t0 ∈ R+) (∀x0 ∈ Bζ) (∀ t ≥ t0 + T )
V (t, x(t, t0, x0)) < α.
(4.7)
А. О. Игнатьев 81
Обозначим sup
t∈[0,ω]
x∈BH
V (t, x) = P . Оценим промежуток времени, в те-
чение которого может выполняться неравенство V (t, x(t, t0, x0)) ≥ α.
В этом случае
V (t, x(t)) = V (t0, x0) +
t∫
t0
V̇ dt ≤ P − c(α)(t− t0);
c(α)(t− t0) ≤ P − V (t, x(t)) ≤ P − α; t− t0 ≤ P − α
c(α)
.
Следовательно, (4.7) справедливо, если T =
P − α
c(α)
.
На основании свойств (4.7) и (4.6) получаем справедливость пре-
дельного соотношения (4.5):
(∀γ > 0) (∃T1 = T1(γ) > 0) (∀t0 ∈ R+) (∀x0 ∈ Bζ) (∀t ≥ t0 + T1)
ρ(x(t, t0, x0), St(η)) < γ.
Отсюда следует, что
(∀t0 ∈ R+) (∀x0 ∈ Bζ) (∃y0 ∈ St0+T1(η))‖x(t0 + T1, t0, x0) − y0)‖ < γ.
(4.8)
Из (4.8) и (4.4) получаем
‖x(t0+T1+σ1, t0+T1, x(t0+T1, t0, x0))−x(t0+T1+σ1, t0+T1, y0)‖ <
δ
3
.
Это неравенство может быть переписано в виде
‖x(t0 + T1 + σ1, t0, x0) − x(t0 + T1 + σ1, t0 + T1, y0)‖ <
δ
3
. (4.9)
На основании (4.3) получаем
‖x(t0 + T1 + σ1, t0 + T1, y0)‖ <
δ
3
. (4.10)
Из (4.9) и (4.10) следует ‖x(t0 + T1 + σ1, t0, x0)‖ < 2
3δ < δ, откуда,
воспользовавшись свойством равномерной устойчивости (4.2), имеем,
что при t > t0 + T1 + σ1 справедливо неравенство
‖x(t, t0 + T1 + σ1, x(t0 + T1 + σ1, t0, x0))‖ < ε.
В силу единственности решений системы (1.1)
x(t, t0 + T1 + σ1, x(t0 + T1 + σ1, t0, x0)) = x(t, t0, x0).
82 Исследование устойчивости...
Таким образом доказано, что можно указать ζ > 0, такое, что
для любого ε > 0 существует σ∗ = σ∗(ε) = T1(ε) + σ1(ε), такое, что
для любых t0 ∈ R+, x0 ∈ Bζ , t ≥ t0 + σ∗ справедливо неравенство
‖x(t, t0, x0)‖ < ε. Это означает, что нулевое решение системы (1.1)
является равномерно притягивающим. Теорема доказана.
5. Пример
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравне-
ний
dx
dt
=
x
1 + t2
− xy2 − x3,
dy
dt
= x
(
cos t+
sin t
1 + t2
)
+ x3(sin3 t− sin t) − 3x2y sin2 t+2xy2 sin t− y3
(5.1)
и исследуем устойчивость ее тривиального решения
x = 0, y = 0. (5.2)
Заметим, что система (5.1) допускает интегральное множество M ,
задаваемое равенством
y − x sin t = 0.
Возьмем функцию Ляпунова в виде V = (y−x sin t)2. Ее производная
равна
dV
dt
= −2(y − x sin t)4 = −2V 2.
На M первое из уравнений (5.1) принимает вид
dx
dt
=
x
1 + t2
− x3(1 + sin2 t).
Нулевое решение этого уравнения равномерно асимптотически устой-
чиво, т.е. решение (5.2) системы (5.1) равномерно асимптотически
устойчиво относительно интегрального множества M . Следователь-
но, для системы (5.1) выполнены все условия теоремы 4.1, и мож-
но сделать вывод, что нулевое решение уравнений (5.1) равномерно
асимптотически устойчиво.
Литература
[1] Е. А. Барбашин, Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967, 224 с.
[2] Е. А. Барбашин, Н. Н. Красовский, Об устойчивости движения в целом //
Докл. АН СССР. 86 (1952), вып. 3, 453–456.
А. О. Игнатьев 83
[3] Н. Г. Булгаков, Б. С. Калитин, Обобщение теорем второго метода Ляпуно-
ва // Вeсцi Акадэмii Навук БССР, серыя фiзiка-матэматычных навук, (1978),
No 3, 32–36.
[4] Э. И. Грудо, К теории устойчивости обыкновенных дифференциальных сис-
тем и систем Пфаффа // Дифференциальные уравнения, 19 (1983), No 5,
782–789.
[5] А. О. Игнатьев, Применение прямого метода Ляпунова к исследованию ин-
тегральных множеств // Укр. мат. журнал. 44 (1992), No 10, 1342–1348.
[6] А. О. Игнатьев, О существовании функций Ляпунова в задачах устойчивос-
ти интегральных множеств // Укр. мат. журнал. 45 (1993), No 7, 932–941.
[7] А. А. Косов, К методу векторных функций Ляпунова // Функции Ляпунова
и их применения. Новосибирск, 1986, 106-110.
[8] Н. Н. Красовский, Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.:
Физматгиз, 1959, 211 с.
[9] Н. Руш, П. Абетс, М. Лалуа, Прямой метод Ляпунова в теории устойчиво-
сти. М.: Мир, 1980, 300 с.
[10] A. O. Ignatyev, On the stability of equilibrium for almost periodic systems //
Nonlinear Analysis. TMA. 29 (1997), No 8, 957–962.
[11] A. O. Ignatyev, On the asymptotic stability in functional differential equations //
Proceedings of the American Mathematical Society. 127 (1999), No 6, 1753–1760.
Сведения об авторах
Александр
Олегович
Игнатьев
Институт прикладной математики и
механики НАН Украины,
ул. Р. Люксембург,74,
83114 Донецк,
Украина
E-Mail: ignat@iamm.ac.donetsk.ua,
mila@budinf.donetsk.ua
|