Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае

Предложен способ построения непрерывных кусочно-полиномиальных весовых функций для метода Петрова Галёркина в трехмерной области. Вид и форма функций определяется конечным числом варьируемых параметров, связанных с ребрами сетки разбиения. С помощью выбора этих параметров можно получать численные ап...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2014
Main Authors:	Сальников, Н.Н., Сирик, С.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Series:	Кибернетика и системный анализ
Subjects:	Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124707
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае / Н.Н. Сальников, С.В. Сирик // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 173-183. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124707
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1247072025-02-23T18:06:40Z Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае Побудова вагових функцій методу Петрова Гальоркіна для рівнянь конвекції-дифузії-реакції у тривимірному випадку Construction of weight functions of the Petrov–Galerkin method for convection–diffusion–reaction equations in three–dimensional case Сальников, Н.Н. Сирик, С.В. Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа Предложен способ построения непрерывных кусочно-полиномиальных весовых функций для метода Петрова Галёркина в трехмерной области. Вид и форма функций определяется конечным числом варьируемых параметров, связанных с ребрами сетки разбиения. С помощью выбора этих параметров можно получать численные аппроксимации для исходной задачи, в которых будут отсутствовать нефизические осцилляции при сохранении приемлемой точности решения. Результаты исследования проиллюстрированы численными примерами. Запропоновано спосіб побудови неперервних кусково-поліноміальних вагових функцій для методу Петрова Гальоркіна в тривимірній області. Вид та форма функцій визначені скінченною кількістю параметрів, що пов'язані з ребрами сітки розбиття і якими можна варіювати. Вибором цих параметрів можна отримати чисельні апроксимації для вихідної задачі, в якій відсутні нефізичні осциляції (при збереженні достатньої точності). Результати дослідження проілюстровано декількома чисельними прикладами We propose a method for constructing a continuous piecewise-polynomial weight functions for the Petrov–Galerkin method in three-dimensional domain. The form of the functions is determined by a finite number of variable parameters associated with the edges of the grid partition. It is expected that the choice of these parameters allows obtaining the numerical approximation of the original equation without non-physical oscillations (when saving the sufficient accuracy). The investigation results are illustrated with some test calculations. 2014 Article Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае / Н.Н. Сальников, С.В. Сирик // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 173-183. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124707 519.633; 536.252 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа
spellingShingle	Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа Сальников, Н.Н. Сирик, С.В. Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае Кибернетика и системный анализ
description	Предложен способ построения непрерывных кусочно-полиномиальных весовых функций для метода Петрова Галёркина в трехмерной области. Вид и форма функций определяется конечным числом варьируемых параметров, связанных с ребрами сетки разбиения. С помощью выбора этих параметров можно получать численные аппроксимации для исходной задачи, в которых будут отсутствовать нефизические осцилляции при сохранении приемлемой точности решения. Результаты исследования проиллюстрированы численными примерами.
format	Article
author	Сальников, Н.Н. Сирик, С.В.
author_facet	Сальников, Н.Н. Сирик, С.В.
author_sort	Сальников, Н.Н.
title	Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае
title_short	Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае
title_full	Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае
title_fullStr	Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае
title_full_unstemmed	Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае
title_sort	построение весовых функций метода петрова–галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124707
citation_txt	Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае / Н.Н. Сальников, С.В. Сирик // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 173-183. — Бібліогр.: 31 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT salʹnikovnn postroenievesovyhfunkcijmetodapetrovagalërkinadlâuravnenijkonvekciidiffuziireakciivtrehmernomslučae AT siriksv postroenievesovyhfunkcijmetodapetrovagalërkinadlâuravnenijkonvekciidiffuziireakciivtrehmernomslučae AT salʹnikovnn pobudovavagovihfunkcíjmetodupetrovagalʹorkínadlârívnânʹkonvekcíídifuzííreakcííutrivimírnomuvipadku AT siriksv pobudovavagovihfunkcíjmetodupetrovagalʹorkínadlârívnânʹkonvekcíídifuzííreakcííutrivimírnomuvipadku AT salʹnikovnn constructionofweightfunctionsofthepetrovgalerkinmethodforconvectiondiffusionreactionequationsinthreedimensionalcase AT siriksv constructionofweightfunctionsofthepetrovgalerkinmethodforconvectiondiffusionreactionequationsinthreedimensionalcase
first_indexed	2025-11-24T06:18:55Z
last_indexed	2025-11-24T06:18:55Z
_version_	1849651505744838656
fulltext	Í.Í. ÑÀËÜÍÈÊÎÂ, Ñ.Â. ÑÈÐÈÊ ÓÄÊ 519.633; 536.252 ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÂÅÑÎÂÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ÌÅÒÎÄÀ ÏÅÒÐÎÂÀ–ÃÀË¨ÐÊÈÍÀ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÊÎÍÂÅÊÖÈÈ–ÄÈÔÔÓÇÈÈ–ÐÅÀÊÖÈÈ Â ÒÐÅÕÌÅÐÍÎÌ ÑËÓ×ÀÅ Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íåïðåðûâíûõ êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëüíûõ âåñî- âûõ ôóíêöèé äëÿ ìåòîäà Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà â òðåõìåðíîé îáëàñòè. Âèä è ôîðìà ôóíê- öèé îïðåäåëÿåòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì âàðüèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ, ñâÿçàííûõ ñ ðåáðàìè ñåòêè ðàçáèåíèÿ. Ñ ïîìîùüþ âûáîðà ýòèõ ïàðàìåòðîâ ìîæíî ïîëó÷àòü ÷èñëåííûå àïïðîêñèìà- öèè äëÿ èñõîäíîé çàäà÷è, â êîòîðûõ áóäóò îòñóòñòâîâàòü íåôèçè÷åñêèå îñöèëëÿöèè ïðè ñîõðàíåíèè ïðèåìëåìîé òî÷íîñòè ðåøåíèÿ. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ ïðîèëëþñòðèðîâàíû ÷èñëåííûìè ïðèìåðàìè. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, ìåòîä Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà, óðàâíåíèå êîí- âåêöèè–äèôôóçèè–ðåàêöèè, òðåõìåðíûé ñëó÷àé. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ìåòîä Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà (ÌÏÃ) êàê ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ (ÌÊÝ) [1–4] ñ÷èòàåòñÿ îäíèì èç íàèáîëåå óñïåøíûõ ïîäõîäîâ ê ïîñòðîåíèþ óñòîé÷èâûõ ÷èñ- ëåííûõ àïïðîêñèìàöèé â çàäà÷àõ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ êîíâåêöèè–äèôôó- çèè–ðåàêöèè [2, 5, 6]. Îòìåòèì, ÷òî ê ýòîìó êëàññó îòíîñèòñÿ áîëüøèíñòâî ïðîöåññîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ â ãèäðîäèíàìèêå è ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå [7, 8, 2], à òàêæå èìåþùèõ ìåñòî â õèìè÷åñêîé ïðîìûøëåííîñòè [6]. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçðàáîòàíî áîëüøîå ÷èñëî ðàçíîâèäíîñòåé è ðåàëèçà- öèé ÌÏÃ (ñòàáèëèçèðîâàííûõ ìåòîäîâ [9, 10, 2, 3], à òàêæå ìåòîäîâ, ñâîäÿùèõñÿ â êîíå÷íîì èòîãå ê ÌÏÃ), êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ êîíâåêöèè–äèôôóçèè–ðåàêöèè è ïðîäîëæàþò ñîâåðøåíñòâîâàòüñÿ. Ñëåäóåò îò- ìåòèòü òàêèå (îñíîâíûå) ìåòîäû, êàê SUPG (Streamline Upwind Petrov–Galerkin) [11, 10], â äàëüíåéøåì ðàçâèòûé â ãðóïïó ìåòîäîâ SOLD (Spurious Oscillations at Layers Diminishing) [12, 10], à òàêæå GLS (Galerkin Least Squares) [13], áëèçêèå ìåæäó ñîáîé ìåòîäû RFB (Residual Free Bubbles) [14, 15], VMM (Variational Multiscale Method) [16, 15], ìåòîä êîíå÷íûõ ñóïåðýëåìåíòîâ [17] è LPS (Local Projection Stabilization) [18, 19]. Â ðàáîòå [10] ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå (ïî òî÷íîñòè, óñòîé÷èâîñòè è äðóãèì âû÷èñëèòåëüíûì àñïåêòàì) áîëüøèíñòâà èç óêàçàííûõ ìåòîäîâ ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ âûáîðà óïðàâëÿþùèõ ñòàáèëèçàöèîííûõ ïàðà- ìåòðîâ íà íåñêîëüêèõ ïîêàçàòåëüíûõ ïðèìåðàõ íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷ äëÿ äâó- ìåðíîãî ñëó÷àÿ, à â ðàáîòå [20] — äëÿ òðåõìåðíîãî ñëó÷àÿ. Â ðàáîòå [21] áûë ïðåäëîæåí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ âåñîâûõ ôóíêöèé äëÿ çàäà÷ êîíâåêöèè–äèôôóçèè ñ äâóìÿ ïðîñòðàíñòâåííûìè ïåðåìåííûìè, ïîçâîëÿþùèé ãèáêî íàñòðàèâàòü âèä è ôîðìó âåñîâîé ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû è íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ïåðåíîñà. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, äàâàëî âîçìîæ- íîñòü âëèÿòü íà ñòàáèëèçàöèîííûå ñâîéñòâà ïîëó÷àåìûõ ÷èñëåííûõ ñõåì è èçáå- ãàòü ïîÿâëåíèÿ â ÷èñëåííîì ðåøåíèè íåôèçè÷åñêèõ îñöèëëÿöèé è íåóñòîé÷èâîñ- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 173 � Í.Í. Ñàëüíèêîâ, Ñ.Â. Ñèðèê, 2014 174 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 òåé. Âïîñëåäñòâèè èñïîëüçîâàíèå ýòèõ ôóíêöèé ïîêàçàëî âûñîêóþ ýôôåêòèâ- íîñòü ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷ (â òîì ÷èñëå è â ñëó÷àÿõ, êîãäà ñêîðîñòü â êîíâåêòèâíîì ñëàãàåìîì ðåçêî èçìåíÿåòñÿ è ïî âåëè÷èíå, è ïî íàïðàâëåíèþ), à òàêæå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé [22, 23]. Â ðÿäå âàæíûõ ñëó÷àåâ ïðåäëîæåííûé ñïîñîá èìåë ïðåèìóùåñòâà îòíîñèòåëüíî òî÷íîñòè è óñòîé÷èâîñ- òè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ÌÏÃ. Â ÷àñòíîñòè, ÷èñëåííûå ïðèìåðû, ïðèâåäåííûå â [21–23], ñâèäåòåëüñòâóþò î òàêîì âàæíîì îòëè÷èòåëü- íîì ñâîéñòâå ïðåäëîæåííîãî ñïîñîáà, êàê ñîõðàíåíèå íåîáõîäèìîé êðóòèçíû è ôîðìû ôðîíòà âîçìóùåíèé â ðåøåíèÿõ ñ íàëè÷èåì òîíêèõ ñëîåâ (íàïðèìåð, ïå- ðåõîäíûõ èëè ïîãðàíè÷íûõ) áåç ÷ðåçìåðíîãî èõ «ðàçìûòèÿ» ââèäó èñêóññòâåí- íîé äèññèïàöèè (â òîì ÷èñëå è äèôôóçèè ïîïåðåê ïîòîêà, èç-çà êîòîðîé ìíîãèå ìåòîäû, õîðîøî ðàáîòàþùèå â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå îêà- çûâàëèñü íåïðèãîäíûìè [2, 3, 9]). Ïðåäëîæåííûé ñïîñîá íå ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîìó óâåëè÷åíèþ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàíäàðòíûì êîíå÷íîýëåìåíòíûì ìåòîäîì Ãàë¸ðêèíà. Èçëîæåííûå ñâîéñòâà, â ÷àñòíîñòè, äîñòèãàþòñÿ áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ àäàïòèâíûõ âåñîâûõ ôóíêöèé [22] è ïðèìåíåíèþ ïðèåìà ñîñðåäîòî÷åíèÿ (mass lumping) [24]. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ âåñîâûõ ôóíêöèé [21] îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé óðàâíåíèé, ðàññìàòðèâàåìûõ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ýôôåêòèâíîñòü ïðåäëîæåííîãî ñïîñîáà è ñîîòâåòñòâóþùåé âåðñèè ÌÏÃ ïðîäåìîíñòðèðîâàíà íà íå- ñêîëüêèõ ÷èñëåííûõ ïðèìåðàõ (ñ÷èòàþùèõñÿ “ñëîæíûìè” äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ââèäó íàëè÷èÿ â íèõ äîìèíèðóþùèõ êîíâåêòèâíî-ðåàêöèîííûõ ïðîöåññîâ [2, 10]). 1. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ× ÊÎÍÂÅÊÖÈÈ–ÄÈÔÔÓÇÈÈ–ÐÅÀÊÖÈÈ ÌÅÒÎÄÎÌ ÏÅÒÐÎÂÀ–ÃÀË¨ÐÊÈÍÀ Ðàññìîòðèì êðàòêî ïðèìåíåíèå ÌÏÃ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ êîíâåê- öèè–äèôôóçèè–ðåàêöèè è òðåáîâàíèÿ ê âåñîâûì ôóíêöèÿì íà ïðèìåðå ïðî- öåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â ñðåäå, ïåðåìåùàþùåéñÿ îòíîñèòåëüíî íåïî- äâèæíîé äåêàðòîâîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñî ñêîðîñòüþ v (ïîëå ñêîðîñòåé áóäåì ñ÷èòàòü áåçäèâåðãåíòíûì [2, 10]). Ýòîò ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì [2, 5, 7, 8, 10] � � �� t i i i i T v T cT T f T T t x x R t( ) , ( , ), ,� 1 3 3int � ( ; ],0 1t (1) ãäå int � — (îòêðûòîå) ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ òî÷åê îäíîñâÿçíîãî çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà � R 3 , T — òåìïåðàòóðà ñðåäû â ìîìåíò âðåìåíè t â òî÷êå x x x x� ( , , )1 2 3 ñ êîîðäèíàòàìè x i (ãäå i �1 2 3, , ), � i t x( , ) — êîýôôè- öèåíò äèôôóçèè òåïëà â íàïðàâëåíèè ñîîòâåòñòâóþùåé ãëàâíîé îñè àíèçîòðî- ïèè [5], c t x( , ) — ðåàêöèîííûé êîýôôèöèåíò [7], f t x( , ) — ñâîáîäíûé ÷ëåí (ïëîòíîñòü âíåøíèõ òåïëîâûõ èñòî÷íèêîâ/ñòîêîâ), � � �tT T t/ , v T�� — ñêà- ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ v t x v v v( , ) ( , , )� 1 2 3 è � � � � �T T T T( , , )1 2 3 , � � �i ix/ . Áóäåì òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíåíû òðåáîâàíèÿ [5, 6, 10] c t x( , ) � 0 è 0 1 2� � � � �C t x Ci� ( , ) , ãäå êîíñòàíòû C1, C2 íå çàâèñÿò îò x è t, è äëÿ óðàâíåíèÿ (1) çàäàíû íà÷àëüíîå è ñòàíäàðòíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ [7, 8], îáåñïå- ÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü åãî ðåøåíèÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çàäàíî ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà � íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïîä- ìíîæåñòâ (ýëåìåíòîâ), õàðàêòåðèçóåìîå òî÷êàìè (óçëàìè) xi � (ãäå i I ) ýòîãî ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî I íîìåðîâ ýòèõ óçëîâ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå I I I I I� � � �0 1 2 3 , ãäå I 0 — ìíîæåñòâî íîìåðîâ óçëîâ, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè �; I i — ìíîæåñòâî íîìåðîâ óçëîâ, íàõîäÿùèõñÿ íà òîé ÷àñòè ãðàíèöû �, ãäå çàäà- íî ãðàíè÷íîå óñëîâèå i-ãî ðîäà [7]. Ïðèáëèæåííîå ñëàáîå ðåøåíèå [2, 5] óðàâíåíèÿ (1) áóäåì íàõîäèòü â âèäå ~ ( , ) ( ) ( )T t x a t N xi i i I � � . (2) Çäåñü N xi ( ) — áàçèñíûå ôóíêöèè, ñâÿçàííûå ñ i-ì óçëîì. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîöåäóðîé ìåòîäà Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèç- âåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ a ti ( ) â (2) ïîëó÷èì ñëåäóþùèì îáðàçîì [2–6, 22, 23]. Ïóñòü ôóíêöèÿ T t x( , ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Óìíîæèì óðàâíåíèå (1) ïîñëåäîâàòåëüíî íà âåñîâûå ôóíêöèè W xj ( ), j I I \ 1, (ò.å. èñêëþ÷èì èç ìíîæåñòâà èíäåêñîâ òå óçëû ãðàíèöû, â êîòîðûõ çàäàíî óñëîâèå Äèðèõëå [7]) è ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà ïî ïðîñòðàí- ñòâåííîé ïåðåìåííîé x ïî îáëàñòè � (ïðè ýòîì ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ â äèôôóçèîííîì ñëàãàåìîì, èñïîëüçóåì èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñ- òÿì [1–6, 22]). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì \| \ \|I I1 òîæäåñòâ, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿåò ôóíêöèÿ T t x( , ). Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå (2) áóäåì îïðåäåëÿòü èç óñëîâèÿ âû- ïîëíåíèÿ ýòèõ òîæäåñòâ äëÿ ~ ( , )T t x . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó îáûêíî- âåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÎÄÓ) äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåí- òîâ a ti ( ), i I I \ 1. Âîïðîñû ó÷åòà íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé èñõîäíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è ïðè ðåøåíèè ïîëó÷åííîé ÑÎÄÓ ïîäðîáíî èçëîæåíû â [2, 5] (ñì. òàêæå [4, 22, 23]). Íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ âåñîâûõ ôóíêöèé W xj ( ), îòëè÷íûõ îò áàçèñ- íûõ N xi ( ) ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (1), çàâèñèò îò õàðàêòåðà åãî ðå- øåíèÿ. À èìåííî êîíâåêòèâíîå ñëàãàåìîå â (1) ñîîòâåòñòâóåò ïðîöåññó ïåðåíîñà âåùåñòâà, ò.å. èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû â íåêîòîðîé òî÷êå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì êàê äèôôóçèîííûõ è ðåàêöèîííûõ ïðîöåññîâ, òàê è ïåðåíîñà ñðåäû ñî ñêîðî- ñòüþ v èç ñîñåäíåé îáëàñòè [7, 8]. Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì ýòîãî ñâîéñòâà ïðè ïîëó÷å- íèè óðàâíåíèé äëÿ a ti ( ) èíòåãðèðîâàòü êîíâåêòèâíîå ñëàãàåìîå ñëåäóåò ñ áîëü- øèì âåñîì ñî ñòîðîíû íàáåãàþùåãî ïîòîêà [2, 3, 6, 21]. 2. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÂÅÑÎÂÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ Â ÒÐÅÕÌÅÐÍÎÌ ÑËÓ×ÀÅ Ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [21] îáîáùèì èçëîæåííûé â íåé ìåòîä ïîñòðîå- íèÿ âåñîâûõ ôóíêöèé íà ñëó÷àé òðåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâåííàÿ îáëàñòü � ïðåäñòàâèìà âûðàæåíèåì � �� s s � , � �k l k l� �� int , (3) ãäå ýëåìåíòû � s ÿâëÿþòñÿ òåòðàýäðàìè. Êàæäûé òåòðàýäð çàäàåòñÿ íàáîðîì ÷åòûðåõ âåðøèí. Åñòåñòâåííî ïîòðåáîâàòü ïî àíàëîãèè ñ äâóìåðíûì ñëó÷àåì, ÷òîáû ó ñìåæ- íûõ ïî ðåáðó èëè ïî ãðàíè ýëåìåíòîâ â ðàçáèåíèè îáëàñòè (3) îáùèìè áûëè ðåá- ðî èëè ãðàíü öåëèêîì. Êóñî÷íî-ëèíåéíûå áàçèñíûå ôóíêöèè N xi ( ), ñâÿçàííûå ñ i-ì óçëîì xi , îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáîçíà÷èì �� i s s Vi � � ìíî- æåñòâî ýëåìåíòîâ, ñìåæíûõ ïî i-ìó óçëó, ò.å. â � ( )i íàõîäÿòñÿ òå ýëåìåíòû � s, â ñîñòàâ âåðøèí êîòîðûõ âõîäèò i-é óçåë, Vi — ìíîæåñòâî íîìåðîâ òàêèõ ýëåìåí- òîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî � ( )i ÿâëÿåòñÿ ìíîãîãðàííèêîì. Ìíîæåñòâî � ( )i ïðèíèìàåì â êà÷åñòâå íîñèòåëÿ ôóíêöèè N xi ( ). Ôóíêöèÿ N xi ( ) ðàâíà åäèíèöå â i-ì óçëå, íà ãðàíèöå � ( )i îíà ðàâíà íóëþ è ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé íà êàæäîì ýëåìåíòå � �s i ( ). Èçâåñòíî [25], ÷òî òàêàÿ ôóíêöèÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè N xi i( ) �1, N x x ii s s( ) ( )� � 0 � , x xs i� . Âåñîâóþ ôóíêöèþ, íîñèòåëü êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ � ( )i , ïî àíàëîãèè ñ [21] îïðåäåëèì âûðàæåíèåì W x N x W xi i i k i k k Ki ( ) ( ) ( ), ( , )� � �� . (4) Çäåñü Ki — ìíîæåñòâî íîìåðîâ âåðøèí ìíîãîãðàííèêà � ( )i , êîòîðûå ñîåäèíÿþò- ñÿ ðåáðîì ñ âåðøèíîé i. Êàæäàÿ ôóíêöèÿ W xi k( , ) ( ) ñâÿçàíà ñ ðåáðîì ( , )i k . Îáîçíà- ÷èì V i k( , ) ìíîæåñòâî (ñïèñîê) íîìåðîâ ýëåìåíòîâ, ñìåæíûõ ïî ðåáðó ( , )i k . Ïîëî- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 175 æèì, ÷òî ìíîæåñòâî �� i k s s V i k , ( , ) � � ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì ôóíêöèè W xi k( , ) ( ) . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â êàæäîé òî÷êå ðåáðà ( , )i k , îïðåäåëÿåìîé âûðàæåíèåì x x x xi k� � � �( ) ( )� � �1 , � [ ; ]0 1 , èìååì W x W x Wi k i k n i i k ( , ) ( , )( ) ( ( )) ( ),� �� sign . Çäåñü ôóíêöèÿ n iW i ksign � �, ( ) ïðè ðàçëè÷íûõ çíàêàõ ÷èñëà � i k, îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè, âçÿòûìè èç ðàáîòû [21]: n i n n i nW W W W� �� ( ) ( ), ( ) ( ), [ ; ]� � � � �1 0 1 , (5) ãäå n nW n n( ) [( ) / ( )] ( )� � � � � � �1 1 1 1 , n — ïîðÿäîê ïîëèíîìà (öåëîå n�1). Íà ãðà- íèöå � ( , )i k (åñëè òîëüêî ñàìî ðåáðî ( , )i k íå ïðèíàäëåæèò ýòîé ãðàíèöå, íàïðèìåð êîãäà îíî ëåæèò íà ãðàíèöå ðàñ÷åòíîé îáëàñòè �) ôóíêöèÿ W xi k( , ) ( ) ðàâíà íóëþ. Â ÷àñòíîñòè, ïðîñòîé âèä ôóíêöèè W xi k( , ) ( ) èìåþò ïðè èñïîëüçîâàíèè ïîëè- íîìîâ 2-ãî ïîðÿäêà, n � 2, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå 2 Wi � �( )� 2 Wi � ( )� . Ðàññìîò- ðèì ñóæåíèå W xi k s( , ) ( ) íà ýëåìåíòå � s êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè W xi k( , ) ( ): W x W x x x a a x a x a xi k s i k s s s s s( , ) ( , )( ) ( , , )� � � � �1 2 3 1 2 1 3 2 4 3 � �a xs5 1 2( ) � � � � �a x a x a x x a x x a x xs s s s s6 2 2 7 3 2 8 1 2 9 1 3 10 2 3( ) ( ) . (6) Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äåñÿòè êîýôôèöèåíòîâ asr , r �1 10, ,� , òðåáóåòñÿ çàäàòü çíà÷åíèå W xi k s( , ) ( ) â äåñÿòè òî÷êàõ ýëåìåíòà � s — åãî ÷åòûðåõ âåðøèíàõ è, íà- ïðèìåð, â ñåðåäèíàõ åãî øåñòè ðåáåð. Âî âñåõ òî÷êàõ çíà÷åíèå ôóíêöèè W xi k s( , ) ( ) ñëåäóåò ïðèíèìàòü íóëåâûì, êðîìå ñåðåäèíû ðåáðà ( , )i k , ãäå, êàê ñëåäóåò èç (5) è ðàâåíñòâà 2 0 5 3 4W ( , ) /� , íåîáõîäèìî ïîëîæèòü W x xi k s i k( , ) ( , ( ))0 5 � � � �3 4/ . Êîýôôèöèåíòû asr , r �1 10, , ìîæíî îïðåäåëèòü, ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñ- òåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè W xi k s( , ) ( ) 0 íà âñåõ ãðàíÿõ òåòðàýäðà � s, â êîòîðûå íå âõîäèò ðåá- ðî ( , )i k . Åñëè ôóíêöèÿ W xi k s( , ) ( ) âûáðàíà â âèäå ïîëèíîìà ïîðÿäêà n, òî äëÿ îä- íîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî ïîëèíîìà íåîáõîäèìî çàäàòü íà êàæäîì ðåáðå äîïîëíèòåëüíî ê åãî âåðøèíàì n�1 óçåë, â êîòîðîì çàäàíû æåëàå- ìûå çíà÷åíèÿ ýòîãî ïîëèíîìà. Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ òàêæå ñâîäèòñÿ ê ðå- øåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïðè òàêîì çàäàíèè ôóíêöèè W xi k( , ) ( ), k Ki , áóäóò íåïðåðûâíû íà âñåé îáëàñòè �, îòëè÷íû îò íóëÿ íà � ( , )i k è ðàâíû íóëþ íà åãî ãðàíèöå. ×èñëîâûå ïàðàìåòðû � i k, ïîçâîëÿþò ãèáêî èçìåíÿòü ôîð- ìó âåñîâîé ôóíêöèè W xi ( ). Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè ïðîãðàììíîé ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ïåòðîâà–Ãàë¸ð- êèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîñòðîåííûõ ôóíêöèé. Íåîáõîäèìûì ýòàïîì ïðèìåíå- íèÿ ÌÏÃ ÿâëÿåòñÿ ðàçáèåíèå îáëàñòè � íà ýëåìåíòû � s (â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå — òåòðàýäðû). Ýòà çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé, îäíàêî â íàñòîÿ- ùåå âðåìÿ ìíîãèå àëãîðèòìû ðàçáèåíèÿ äîñòóïíû â âèäå ãîòîâûõ êîìïüþòåð- íûõ ïðîãðàìì, âñòðîåííûõ â ìàòåìàòè÷åñêèå ïàêåòû ïðîãðàìì òàêèå, íàïðèìåð, êàê ñèñòåìà MATLAB. Ðåçóëüòàòîì ðàçáèåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìàññèâû êîîðäèíàò óçëîâ ðàçáèåíèÿ è ìàññèâ ýëåìåíòîâ. Êàæäûé ýëåìåíò� s îäíîçíà÷íî õàðàêòåðè- çóåòñÿ íàáîðîì íîìåðîâ ñâîèõ âåðøèí (äëÿ òåòðàýäðà ÷èñëî âåðøèí ðàâíî ÷åòû- ðåì). Äëÿ êàæäîé i-é âåðøèíû ýëåìåíòà íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ïàðàìåòðû áà- çèñíîé ôóíêöèè N xis ( ) íà ýëåìåíòå � s, ñâÿçàííîé ñ ýòèì óçëîì; N xis ( ) îáîçíà- ÷àåò ñóæåíèå ôóíêöèè N xi ( ) íà ýëåìåíòå � s. Â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðè èñïîëüçîâàíèè êóñî÷íî-ëèíåéíîé ôóíêöèè N xi ( ) ôóíêöèÿ N xis ( ) îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ÷åòûðåõ ïàðàìåòðîâ [25]. Äëÿ êàæäîãî ðåáðà ( , )i k ýëåìåíòà � s íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ïàðàìåòðû ôóíêöèé W xi k s( , ) ( ). Ëþáàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ, êàê áûëî ïîêàçà- 176 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 íî âûøå, ñ ïîìîùüþ äåñÿòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë; ÷èñëî ýòèõ ôóíêöèé ðàâíî øåñòè (êîëè÷åñòâó ðåáåð òåòðàýäðà). Îïèñàííàÿ èíôîðìàöèÿ îòíîñèòåëüíî êàæ- äîãî ýëåìåíòà, íå ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íîé. Åå óäîáíî õðàíèòü, íàïðèìåð, â âèäå ñòðóêòóðû [26]. Ïðè ëîêàëüíîì èçìåíåíèè èñõîäíîãî ðàçáèåíèÿ îáëàñòè (íàïðè- ìåð, â öåëÿõ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ áîëåå âûñîêîé òî÷íîñòè) íåîáõîäèìî îáíîâèòü èíôîðìàöèþ òîëüêî äëÿ íîâûõ ýëåìåíòîâ, à ýëåìåíòû, íå âõîäÿùèå â íîâîå ðàçáèåíèå, äîñòàòî÷íî ëåãêî óäàëèòü èç ñïèñêà ýëåìåíòîâ. Ïðè ïîëó÷åíèè ïîëóäèñêðåòíûõ àïïðîêñèìàöèé ÌÏÃ, ò.å. ÑÎÄÓ, îïðåäåëÿ- þùèõ êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ { }a ti ( ) , âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî j I I \ 1 âû÷èñëÿòü èíòåãðàëû âèäà g t x L N x L W x di j( , ) ( ( )) ( ( ))1 2 � � � , (7) ãäå W xj ( ) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (4), g t x( , ) — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ (ëþáîé êîýôôèöèåíò èç óðàâíåíèÿ (1)), L1, L2 — íåêîòîðûå (äèôôåðåíöèàëüíûå) îïå- ðàòîðû. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ñëó÷àé, êîãäà L1 è L2 — òîæäåñòâåííûå îïå- ðàòîðû. Òîãäà ïîëó÷èì g t x N x W x d g t x N x W x di j i j i j ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � �� g t x N x N x d g t x N x Wi j i j j k i j k( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) , ( ,� � � � ) ( ) ( , ) ( ) .x d i j kk K j � � �� .(8) Íåñëîæíî âèäåòü, ÷òî � � � �( , ) ( , ) ( ) ( )j k k j j k� � � , V V V Vj k k j j k( , ) ( , )� � � . (9) Ðàññìîòðèì, êàêèì îáðàçîì ïðîãðàììíî ìîæíî îðãàíèçîâàòü âû÷èñëåíèå èíòåãðàëîâ, âõîäÿùèõ â ïðàâóþ ÷àñòü (8). Ýòè èíòåãðàëû ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû èíòåãðàëîâ ïî ýëåìåíòàì � s, âõîäÿùèì â � ( )i , � ( )j , � ( , )j k . Ñïèñêè V j è K j ìîæíî ïîñòðîèòü îäíîâðåìåííî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðè ôèêñèðîâàííîì j ïåðåáèðàþòñÿ âñå ñòðóêòóðû ýëåìåíòîâ. Â ñïèñîêV j âêëþ÷àþòñÿ âñå òå íîìåðà ýëåìåíòîâ, êîòîðûå èìåþò â ñâîåì ñîñòàâå âåðøèíó ñ íîìåðîì j. Îñòàëüíûå âåð- øèíû òàêîãî ýëåìåíòà (îòëè÷íûå îò j) âêëþ÷àþòñÿ â ñïèñîê K j , ïîñêîëüêó â òåò- ðàýäðå êàæäàÿ âåðøèíà ñîåäèíÿåòñÿ ðåáðàìè ñî âñåìè îñòàëüíûìè. Ïî îêîí÷àíèè ýòîãî ïåðåáîðà âîçìîæíûå ïîâòîðÿþùèåñÿ íîìåðà èñêëþ÷àþòñÿ èç ñïèñêà K j . Â ðåçóëüòàòå ñ èñïîëüçîâàíèåì óêàçàííûõ ìíîæåñòâ è ñîîòíîøåíèé (9) ïîëó÷à- åì (äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé èíäåêñîâ i è j) g t x N x W x d g t x N x N x di j is js s V V si ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )� � � � � �� j � � � �� j k is j k s s V V Vk K g t x N x W x d si j kj , ( , )( , ) ( ) ( ) � � . (10) Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà (7) îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ (8) è (10). Äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ èç (10) íà òåòðàýäðå � s öåëå- ñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå êóáàòóðíûå ôîðìóëû (ñì. [4]), ïðåäíàçíà÷åí- íûå äëÿ ýòîãî è ñïîñîáíûå âû÷èñëÿòü èíòåãðàëû íà òåòðàýäðå ñ íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ. Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ïîëè- íîìèàëüíûìè, óêàçàííûå èíòåãðàëû ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû àíàëèòè÷åñêè [25, 4]. Êàê ñëåäóåò èç (10), ñòàáèëèçàöèîííûé ïàðàìåòð � j k, âûíîñèòñÿ çà çíàê èíòåãðèðî- âàíèÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò, âû÷èñëèâ ïðåäâàðèòåëüíî èíòåãðàëû äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ðàç- áèåíèÿ, âïîñëåäñòâèè èñïîëüçîâàòü èõ ñ öåëüþ ïîâòîðíûõ ðàñ÷åòîâ çàäà÷è ïðè äðó- ãèõ çíà÷åíèÿõ ýòèõ ïàðàìåòðîâ (à â ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ íå çàâè- ñÿò îò x, òî è äëÿ ðàçíûõ çàäà÷). Âûáîðîì � j k, ìîæíî ãèáêî âëèÿòü íà ñâîéñòâà ðåøåíèé, ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ÌÏÃ ÷èñëåííûõ àïïðîêñèìàöèé, äîáèâàÿñü óñòîé÷èâîñòè è òî÷íîñòè èõ ðåøåíèÿ [21–23]. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 177 3. ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÏÐÈÌÅÐÛ Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (1) â ïàðàëëå- ëåïèïåäå 0 � �x Li i , i �1 2 3, , , ïðè ïîñòîÿííîì âåêòîðå ñêîðîñòè v t x( , ) � � �( , , )v v v1 2 3 const. Ñ÷èòàåì òàêæå, ÷òî � �i t x( , ) � , i �1 2 3, , , ãäå � — íåêîòî- ðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà. Ôóíêöèè c è f ïðåäïîëàãàåì òîæäåñòâåííî íó- ëåâûìè. Íà÷àëüíîå óñëîâèå çàäàåòñÿ â âèäå T x x x x( , , , ) exp ( )0 1 2 3 1� , à ãðà- íè÷íûå óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîäîëæåíèåì ïî íåïðåðûâíîñòè íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ íà ãðàíèöó îáëàñòè. Ïîëó÷èì àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è äëÿ ïîñëåäóþùåãî ñðàâíåíèÿ åãî ñ ÷èñëåííûì ðåøåíèåì. Èñïîëüçóÿ ïîäñòàíîâêó âèäà T t x x x at b x c x d x u t x x x( , , , ) exp(~ ~ ~ ~ ) ( , , , )1 2 3 1 2 3 1 2 3� � � � , ãäå ~ / ( )b v� 1 2� , ~ / ( )c v� 2 2� , ~ / ( )d v� 3 2� , ~ (( ) ( ) ( ) ) / \| \| \| \| /( )a v v v v� � � � � �1 2 2 2 3 2 24 4� � , óðàâ- íåíèå (1) ìîæíî ïðèâåñòè ê óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ôóíêöèè u t x x x( , , , )1 2 3 , êîòîðîå ëåãêî ðåøàåòñÿ ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ [7]. Òàêèì îá- ðàçîì, ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è ìîæíî âûðàçèòü â âèäå T t x x x( , , , )1 2 3 � � � �� e H a e eat bx cx dx ijk ijk at tijk ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( )sin 1 2 3 � � �ix L jx L kx L e kji x 1 1 2 2 3 3111 1 sin sin � � � � � � � � �� , ãäå H ijk b c d a e ijk L b i � � � � � � �� 8 1 1 13 2 2 2 11 � �( (( ~ ) ~ ~ ) ~) ( )( ~ ) � � � � � � � � � � 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 21 1 12 L b i e L c j L c j ( ~ ) ( ) ~ ~ � � � � � � � �1 13 1 3 2 2 2 2 e L d k L d k ~ ( ) ~ � , � ijk i L j L k L� � �� (( / ) ( / ) ( / ) )1 2 2 2 3 2 . ×èñëåííîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìûõ ïðèìåðîâ îïðåäåëÿëîñü ñ ïîìîùüþ ÌÏÃ ñ ïðåäëîæåííûìè â äàííîé ñòàòüå âåñîâûìè ôóíêöèÿìè (äëÿ îïðåäåëåí- íîñòè áûëè èñïîëüçîâàíû êâàäðàòè÷íûå âåñîâûå ôóíêöèè (6)). Ñòàáèëèçàöèîí- íûå ïàðàìåòðû � i k, çàäàâàëèñü â âèäå [22, 23]: � � � �i k i k, ,( )� � , ãäå � � � �( ) ( ) /� �coth 1 , � �i k i kv h, ,( ) / ( )� � 2 , h x xi k k i, � � , � — íåêîòîðàÿ êîíñòàí- òà, óâåëè÷åíèå èëè óìåíüøåíèå êîòîðîé ïðèâîäèò ñîîòâåòñòâåííî ê óâåëè÷åíèþ èëè óìåíüøåíèþ ââîäèìîé â ÷èñëåííóþ ñõåìó èñêóññòâåííîé äèññèïàöèè [22, 23]. Îáû÷íî, ïî óìîë÷àíèþ, åå ïðèíèìàþò ðàâíîé åäèíèöå [22]. Óâåëè÷åíèå ýòîé êîíñòàíòû ìîæåò áûòü íåîáõîäèìûì ïðè âîçíèêíîâåíèè â ðåøåíèè áîëü- øèõ ãðàäèåíòîâ è ñîîòâåòñòâóþùèõ òîíêèõ ñëîåâ [3, 10, 19]. Çàìåòèì, ÷òî ïðè � � 0 ÌÃÏ òðàíñôîðìèðóåòñÿ â êëàññè÷åñêèé ìåòîä Ãàë¸ðêèíà. Áûëè âçÿòû ñëå- äóþùèå ÷èñëåííûå ïàðàìåòðû çàäà÷è: v v v1 2 3 5� � � , � � �10 2 , L L L1 2 3 1� � � . Îòìåòèì, ÷òî \| \| \| \|/v � � 866, ò.å. â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å êîíâåêòèâíûå ïðîöåññû çíà÷èòåëüíî ïðåîáëàäàþò íàä ïðîöåññîì äèôôóçèè. Ãðàôèê ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è â ìîìåíò âðåìåíè t � 0 2, ïðè x x2 3 1 2� � / ìåòîäîì Ãàë¸ðêèíà ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàâíîìåðíîé ñåòêè 20 20 20� � óçëîâ èçîáðàæåí íà ðèñ. 1. Çäåñü (è íà îñòàëüíûõ ðèñóíêàõ) æèðíîé ëèíèåé îáîçíà÷åí ãðàôèê âû÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ, çàâèñèìîãî îò ïðîñòðàíñòâåí- íîé êîîðäèíàòû x1, òîíêîé ëèíèåé — ãðàôèê èçâåñòíîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðåøå- íèÿ. Ïîñêîëüêó çàäà÷à èìååò äîìèíèðóþùóþ êîíâåêöèþ, òî, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ìåòîä Ãàë¸ðêèíà äàåò îñöèëëèðóþùåå ðåøåíèå (êàê âèäèì, íå èìåþ- ùåå íè÷åãî îáùåãî ñ íàñòîÿùèì), ïðè÷åì ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïîãðåøíîñòü òîëü- êî íàðàñòàåò. Ãðàôèê ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðåäëîæåííûì â ñòàòüå ÌÏÃ ïðè òåõ æå çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ è âõîäíûõ äàííûõ (è � �1) ïîêàçàí íà ðèñ. 2. Êàê âèäèì, îí îáåñïå÷èâàþò âåñüìà õîðîøóþ òî÷íîñòü, à ãðàôèêè ÷èñëåííîãî è àíàëèòè÷å 178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 ñêîãî ðåøåíèé âèçóàëüíî ñîâïàäàþò. Íà ðèñ. 3 èçîáðàæåí ãðàôèê ðåøåíèÿ ÌÏÃ ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàâíîìåðíîé ñåòêè 15 15 15� � óçëîâ, � �1. Êàê âèäèì, óìåíü- øåíèå êîëè÷åñòâà óçëîâ ïðèâåëî ê òîìó, ÷òî â òîíêîì ïðèãðàíè÷íîì ñëîå (îá- ëàñòè óêðó÷åíèÿ ðåøåíèÿ) ÷èñëåííîå ðåøåíèå èìååò «âûáðîñ». Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ñòàíäàðòíîãî ìåòîäà Ãàë¸ðêèíà ëîæíûå îñöèëëÿöèè çàïîëíÿþò âñþ îá- ëàñòü ðåøåíèÿ, â òî âðåìÿ êàê â ñèòóàöèè íà ðèñ. 3 áîëüøàÿ ïîãðåøíîñòü âîçíè- êàåò ëèøü â íåêîòîðîé ÷àñòè îáëàñòè. Â öåëîì ýòî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðíîé ïðîáëå- ìîé äëÿ âñåõ ñóùåñòâóþùèõ íûíå ñòàáèëèçèðîâàííûõ ìåòîäîâ [10], â îñîáåí- íîñòè ïðè èñïîëüçîâàíèè ãðóáûõ ñåòîê (ïðè ðàçáèåíèè 20 20 20� � óçëîâ ïîäîáíîãî äåôåêòà, êàê ïîêàçàíî ðàíåå, íå íàáëþäàåòñÿ (ñì. ðèñ. 2)). Îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ñðåäñòâ ïðîòèâîäåéñòâèÿ ïîäîáíûì ïðîáëåìàì ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçî- âàíèå ñåòîê, ñãóùàþùèõñÿ â îêðåñòíîñòÿõ îñîáåííîñòåé ðåøåíèÿ [2]. Òàê, ïî- ñêîëüêó â äàííîì ïðèìåðå ïåðåíîñ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ âäîëü ëè- íèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ( , , )0 0 0 è ( , , )1 1 1 , òî åñòåñòâåííî âáëèçè òî÷êè ( , , )1 1 1 èñïîëü- çîâàòü áîëåå ãóñòóþ ñåòêó. Íà ðèñ. 4 èçîáðàæåí ãðàôèê ðåøåíèÿ ÌÏÃ íà ñåòêå 15 15 15� � óçëîâ, íî ýòè óçëû, â îòëè÷èå îò ðèñ. 3, ðàñïðåäåëåíû íåðàâíîìåðíî è ñãóùàþòñÿ ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå ( , , )1 1 1 : ( ( ), ( ), ( ))g x g x g xi j k 1 2 3 , ãäå g s( ) � � � �� ( ) / ( )e es2 21 1 , ( , , )x x xi j k 1 2 3 — ñîîòâåòñòâóþùèå óçëû ðàâíîìåðíîãî ðàçáèå- íèÿ 15 15 15� � . Êàê âèäèì, ÷èñëåííîå ðåøåíèå çäåñü ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ òî÷íûì. Êðîìå òîãî, îò îñöèëëÿöèé â ïðèãðàíè÷íîì ñëîå ìîæíî èçáàâèòüñÿ, óâåëè÷èâ óðîâåíü èñêóññòâåííîé äèññèïàöèè (äëÿ ÷åãî ñëåäóåò óâåëè÷èòü çíà÷å- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 179 Ðèñ. 1 T x1 Ðèñ. 2 T x1 Ðèñ. 3 T x1 Ðèñ. 4 T x1 íèå �). Íà ðèñ. 5 èçîáðàæåí ãðàôèê ðåøåíèÿ íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå 15 15 15� � óçëîâ ïðè � �15, (ãðàôèêè ÷èñëåííîãî è àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèé âèçóàëüíî ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò). Ãðàôèê ðåøåíèÿ ìåòîäîì SUPG (è ñîâïàäàþùèì ñ íèì â ñëó÷àå ëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ìåòîäîì GLS) íà ñåòêå15 15 15� � óçëîâ ïîêàçàí íà ðèñ. 6: èñïîëüçóåòñÿ ïîýëåìåíòíàÿ ñòàáèëèçàöèÿ â âèäå �K iv N�� , � �K K Kh Pe v� ( ) / ( \| \| \| \| )2 , ãäå hK — äèàìåòð ýëåìåíòà K, à Pe v hK K� \| \| \| \| / ( )2� (ñì. [10]). Êàê âèäèì, ïîãðåøíîñòü óâåëè÷èëàñü íåçíà÷èòåëüíî (ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäëàãàåìûì â ðàáîòå ÌÏÃ). Èç ãðàôèêà òàêæå âèäíî, ÷òî ýòè ìåòîäû ïûòàþòñÿ ñãëàäèòü êðóòèçíó òîíêîãî ñëîÿ («âûðîâíÿòü» êðèâóþ ðåøåíèÿ), ÷òî ìîæåò êîñâåííî ñâèäåòåëüñòâîâàòü î ââîäå ÷ðåçìåðíîé èñêóññòâåííîé äèôôóçèè â îêðåñòíîñòè òîíêîãî ñëîÿ äëÿ äàííîé (íåñòàöèîíàðíîé) çàäà÷è. Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé âû÷èñëèòåëüíûé ïðèìåð, â êîòîðîì îäíîâðåìåííî ïðèñóòñòâóþò êîíâåêöèîííûå è ðåàêöèîííûé ïðîöåññû, ïðè÷åì îíè çíà÷èòåëüíî ïðåîáëàäàþò íàä ïðîöåññîì äèôôóçèè. Äàííûé ïðèìåð ïðåäëî- æåí è îïèñàí â [20], ãäå îí ïðèìåíÿëñÿ äëÿ òåñòèðîâàíèÿ ðàáîòîñïîñîáíîñòè ñòà- áèëèçèðîâàííûõ ìåòîäîâ. Íà ãðàíèöå îáëàñòè � � [ ; ]0 1 3 3R ñòàâÿòñÿ ãðàíè÷- íûå óñëîâèÿ ñìåøàííîãî òèïà, à èìåííî ïðè x in � � �� { }0 5 8 6 8 5 8 6 8( / ; / ) ( / ; / ) çíà÷åíèå ðåøåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê T t x t t t t t ( , ) sin( / ), [ ; ], , ( ; ], sin ( ( ) / ), � � � � 2 0 1 1 1 2 1 2 � � � � ( ; ]2 3 (ñ÷èòàåì, ÷òî t1 3� ), ïðè x � � �� out { }1 3 8 4 8 4 8 5 8( / ; / ) ( / ; / ) ðåøåíèå óäîâ- ëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ âòîðîãî ðîäà (óñëîâèþ òèïà Íåéìàíà), â îñòàëüíûõ òî÷êàõ ãðàíèöû ðåøåíèå ðàâíî íóëþ. Â íà÷àëüíûé ìî- ìåíò âðåìåíè (ïðè t � 0) ðåøåíèå òîæäåñòâåííî íóëåâîå. Âåêòîð ñêîðîñòè v � � �( , / , / )1 1 4 1 8 â (1) íàïðàâëåí âäîëü ïðÿìîé AB, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòðû ìíîæåñòâ �� in è �� out . Êîýôôèöèåíò c t x( , ) ðàâåí åäèíèöå, åñëè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x äî ïðÿìîé AB íå ïðåâûøàåò 1 10/ , è ðàâåí íóëþ â ïðîòèâíîì ñëó- ÷àå. Äèôôóçèîííûå êîýôôèöèåíòû � i t x( , ) � �10 6 , i �1 2 3, , . Ïðàâàÿ ÷àñòü f ïðåäïîëàãàåòñÿ òîæäåñòâåííî íóëåâîé. Îòìåòèì, ÷òî ïîñòàíîâêà çàäà÷è è çà- äàííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñîîòâåòñòâóþò ñëó÷àÿì, ÷àñòî èñïîëüçóåìûì íà ïðàêòèêå [27, 20], ïðè ýòîì ðåøåíèå çàäà÷è T t x( , ) èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë êîíöåíòðàöèè âåùåñòâà. Èç ýòîãî, à òàêæå èç ïîñòàíîâêè çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â äèàïàçîíå [ ; ]0 1 (ñì. [20]). 180 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 Ðèñ. 5 T x1 Ðèñ. 6 T x1 Ðåøåíèå çàäà÷è ìåòîäîì Ãàë¸ðêèíà íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå 20 20 20� � óçëîâ â ìîìåíò âðåìåíè t � 2 ïðè x x2 3 11 16� � / (ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð ìíî- æåñòâà-èñòî÷íèêà �� in ) ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíî íà ðèñ. 7. Êàê âèäèì, ðåøåíèå èìååò íåóñòîé÷èâûé êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð è íå ñîîòâåòñòâóåò ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó çàäà÷è. Ãðàôèê ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî ÌÏÃ (ïðè � �1) íà ýòîé æå ñåòêå ïðèâåäåí íà ðèñ. 8. Â ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå ñâîáîäíî îò íå- ôèçè÷åñêèõ îñöèëëÿöèé è íå ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé, ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íå èìåþùèõ ñìûñëà. Äëÿ áîëåå ïîëíîé õàðàêòåðèñòèêè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ îáîçíà÷èì Tmin ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ T (íà âñåõ óçëàõ ðàçáè- åíèÿ îáëàñòè). Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå äëÿ ìåòîäà Ãàë¸ðêèíà Tmin ,� �17 05, ò.å. ðåøåíèå äàëåêî âûõîäèò çà ïðåäåëû äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé è íàðóøàåòñÿ ôèçè÷åñêèé ñìûñë (ïîëó÷àåòñÿ íåãàòèâíàÿ êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà). Äëÿ ïðåäëîæåííîãî ÌÏÃ èìååì Tmin ,� �013. Îòìåòèì, ÷òî ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà SUPG, èñïîëüçóåìàÿ â [20], íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå 33 33 33� � óçëà ïðèâîäèò â äàííîé çàäà÷å ê ñèëüíî îñöèëëèðóþùèì ðåøåíèÿì, ïðè÷åì äàæå ñ íàèëó÷øèì (íàèáîëåå ïîäõîäÿùèì äëÿ äàííîé çàäà÷è) âûáîðîì ñòàáèëèçèðóþùèõ ïàðàìåò- ðîâ (ñì. [28]) äëÿ ýòîãî ìåòîäà Tmin ,� �0 58. Ìåòîäû SOLD, ñïåöèàëüíî ðàçðàáî- òàííûå äëÿ óìåíüøåíèÿ âåëè÷èíû íåôèçè÷åñêèõ îñöèëëÿöèé ìåòîäà SUPG â òîíêèõ ñëîÿõ [12, 10, 28], êàê ïîêàçûâàþò ðàñ÷åòû [20], â öåëîì òàêæå íåóäîâ- ëåòâîðèòåëüíî âûïîíÿþò ñâîþ çàäà÷ó è â äàííîì ïðèìåðå äàþò îñöèëëèðóþùèå ðåøåíèÿ, âûõîäÿùèå â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. Â ðàñ÷åòàõ, ïðèâåäåííûõ â [20] íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå 33 33 33� � óçëà, SOLD-ìåòîä KLR02 [28, 12] (ïî ðå- çóëüòàòàì íàáëþäåíèé íàèëó÷øèé ñðåäè ãðóïïû ìåòîäîâ SOLD, ñì. [10]) äàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå T ìåæäó Tmin ,� �018 è Tmin ,� �01, ïðè÷åì óâåëè÷åíèå ýòîãî çíà÷åíèÿ äîñòèãàåòñÿ öåíîé çíà÷èòåëüíîãî óâåëè÷åíèÿ âðåìåíè íà âû÷èñ- ëåíèå è ðåñóðñû âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû (òåì áîëåå ó÷èòûâàÿ, ÷òî óêàçàííûé ìåòîä ââîäèò â ðàñ÷åòíóþ ñõåìó íåëèíåéíûå ñòàáèëèçèðóþùèå ÷ëåíû è ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì). Íàïðèìåð, ðàñ÷åò ïî ìåòîäó KLR02, ïðè êîòîðîì Tmin ,� �01, çàíÿë îêîëî äåâÿòè ÷àñîâ [20], â òî âðåìÿ êàê ðàñ÷åò çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ïðåäëàãàåìîãî â äàííîé ðàáîòå ÌÏÃ (ñì. ðèñ. 8) çàíÿë îêîëî äâóõ ÷àñîâ (ïðè ñðàâíèòåëüíî îäèíàêîâûõ êîíôèãóðàöèÿõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñðåäñòâ). Îòìåòèì, ÷òî â îáîèõ ïðèìåðàõ ïðè èíòåãðèðîâàíèè âîçíèêàþùèõ ÑÎÄÓ èñ- ïîëüçîâàëèñü ÿâíûé ñòàíäàðòíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòû 4-ãî ïîðÿäêà è ÿâíûé àäàïòèâ- íûé ìåòîä 3-ãî ïîðÿäêà èç ðàáîòû [29]. Øàã ïî âðåìåíè � � �10 3 (íà÷àëüíûé äëÿ ìåòîäà èç [29], ïðè ýòîì â íàñòðîéêàõ âûñòàâëÿëèñü çíà÷åíèÿ äîïóñòèìîé àáñîëþò- íîé è îòíîñèòåëüíîé îøèáîê [29] èíòåãðèðîâàíèÿ ÑÎÄÓ, òàêæå ðàâíûå 10 3� ). Òàêèì îáðàçîì, ïðèâåäåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðåäëîæåííàÿ â ðà- áîòå âåðñèÿ ÌÏÃ â öåëîì ñïîñîáíà îáåñïå÷èòü á�ëüøóþ óñòîé÷èâîñòü è òî÷- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 181 Ðèñ. 7 T x1 Ðèñ. 8 T x1 íîñòü ðåøåíèÿ (ïðè÷åì äàæå íà áîëåå ãðóáûõ ñåòêàõ è áåç ñóùåñòâåííîãî óâåëè- ÷åíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò) ïî ñðàâíåíèþ ñ íåêîòîðûìè äðóãèìè âåðñèÿìè è ðåàëèçàöèÿìè ñòàáèëèçàöèîííîãî ïîäõîäà Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà, òàêæå äîáàâëÿþ- ùèìè ñòàáèëèçàöèîííûå ÷ëåíû â îðèãèíàëüíóþ ôîðìóëèðîâêó Ãàë¸ðêèíà è ñ÷è- òàþùèìèñÿ îäíèìè èç ëó÷øèõ è ïåðñïåêòèâíûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ êîíâåê- öèè–äèôôóçèè–ðåàêöèè [10, 20]. Äîñòèãàåòñÿ ýòî çà ñ÷åò ðåãóëèðîâàíèÿ ôîðìû âåñîâîé ôóíêöèè, ïîäñòðàèâàíèÿ åå ïîä òåêóùèé ïîòîê è ñîîòâåòñòâåííî ðå- ãóëèðîâàíèÿ óðîâíÿ è íàïðàâëåíèÿ âíîñèìîé â ÷èñëåííóþ ñõåìó èñêóññòâåííîé äèññèïàöèè. Îòìåòèì, ÷òî áîëåå âûñîêàÿ òî÷íîñòü ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà çà ñ÷åò ñïåöèàëüíîãî ïîäáîðà ñòàáèëèçàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ, ó÷èòûâàþùåãî ïðîöåññ ðåàê- öèè (â ïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ èñïîëüçîâàëñÿ èõ âûáîð, õîðîøî çàðåêîìåíäîâàâøèé ñåáÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ êîíâåêöèè–äèôôóçèè [21–23], íî áåç ó÷åòà ðåàêöèîííûõ ïðîöåññîâ), à òàêæå çà ñ÷åò èñïîëüçîâàíèÿ òîíêèõ ïðîöåäóð êîððåêöèè ïîòîêîâ è äèôôóçèè ïîäîáíî ïîäõîäó FEM-FCT [30] (ðåçóëüòàòû ðàáîò [31, 20, 10] ñâèäå- òåëüñòâóþò â ïîëüçó ýòîãî). Îòìåòèì, îäíàêî, ÷òî FEM-FCT è äðóãèå ïîäîáíûå ïîäõîäû è ìåòîäû âûõîäÿò çà ðàìêè ïîäõîäà Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà ê ñòàáèëèçàöèè ðåøåíèé (è ìîãóò òðåáîâàòü áîëüøèõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò). Ýòè âîïðîñû ÿâëÿ- þòñÿ òåìàòèêîé äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ðàáîòå ïðåäëîæåí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ íåïðåðûâíûõ êóñî÷íî-ïîëèíîìèàëü- íûõ âåñîâûõ ôóíêöèé ìåòîäà Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà â òðåõìåðíîé îáëàñòè äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé êîíâåêöèè–äèôôóçèè–ðåàêöèè. Âèä è ôîðìà ôóíê- öèé îïðåäåëÿþòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì âàðüèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ, ñâÿçàííûõ ñ ðåáðàìè ñåòêè ðàçáèåíèÿ. Ïóòåì íàäëåæàùåãî âûáîðà äàííûõ ïàðàìåòðîâ ìîæíî ãèáêî âëèÿòü íà ñòàáèëèçàöèîííûå ñâîéñòâà ïîëó÷àåìûõ ÷èñëåííûõ àïïðîêñèìàöèé è èçáåãàòü ïîÿâëåíèÿ (ïî-êðàéíåé ìåðå, óìåíüøàòü äî ïðèåì- ëåìîãî óðîâíÿ) íåôèçè÷åñêèõ îñöèëëÿöèé è íåóñòîé÷èâîñòåé â ÷èñëåííîì ðå- øåíèè äàæå ïðè ñèëüíîì ïðåîáëàäàíèè êîíâåêòèâíûõ è ðåàêöèîííûõ ïðîöåñ- ñîâ íàä ïðîöåññîì äèôôóçèè, ÷òî ïðîèëëþñòðèðîâàíî ñîîòâåòñòâóþùèìè ÷èñ- ëåííûìè ðàñ÷åòàìè. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû, ãäå ïðåäëîæåííàÿ âåðñèÿ ÌÏÃ îáåñïå÷èâàåò á�ëüøóþ òî÷íîñòü è óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ íå- êîòîðûìè ñòàáèëèçèðîâàííûìè ìåòîäàìè. Â äàëüíåéøåì ïëàíèðóåòñÿ äåòàëüíîå èçó÷åíèå õàðàêòåðà óñòîé÷èâîñòè è ñõîäèìîñòè ïðåäëîæåííîé âåðñèè ÌÏÃ â ðàçíûõ íîðìàõ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ô ë å ò ÷ å ð Ê . ×èñëåííûå ìåòîäû íà îñíîâå ìåòîäà Ãàë¸ðêèíà: Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: Ìèð, 1988. — 352 ñ. 2. R o o s H . - G . , S t y n e s M . , T o b i s k a L . Robust numerical methods for singularly perturbed differential equations. — Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. — 604 p. 3. F r i e s T . P . , M a t t h i e s H . G . A review of Petrov-Galerkin stabilization approaches and an extension to meshfree methods. — Brunswick: Techn. Univ. Braunschweig, 2004. — 71 p. 4. Z i e n k i e w i c z O . Z . , T a y l o r R . L . The finite element method. — Oxford: Butterworth–Heinemann, 2000. — Vol. 1: The Basis. — 690 p. 5. Ä å é í å ê à Â . Ñ . , Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è ìåòîäû ðàñ÷åòà çàäà÷ ñ ðàçðûâíûìè ðåøåíèÿìè — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1995. — 262 ñ. 6. F i n l a y s o n B . A . Numerical methods for problems with moving fronts. — Seattle (Wash.): Ravenna Park Publ. Inc., 1992. — 613 p. 7. Ò è õ î í î â À . Í . , Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì.: Íàóêà, 1972. — 736 ñ. 8. Ë à ä è ê î â - Ð î å â Þ . Ï . , × å ð å ì í û õ Î . Ê . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñïëîøíûõ ñðåä. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2010. — 551 ñ. 9. H u g h e s T . J . R . , S c o v a z z i G . , T e z d u y a r T . E . Stabilized methods for compressible flows // J. Sci. Comput. — 2010. — 43. — P. 343–368. 182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 10. J o h n V . , S c h m e y e r E . Finite element methods for time-dependent convection–diffusion–reaction equations with small diffusion // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. — 2008. — 198. — P. 475–494. 11. B r o o k s A . N . , H u g h e s T . J . R . Streamline upwind/Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on incompressible Navier–Stokes equations // Ibid. — 1982. — 32, N 1–3. — P. 199–259. 12. J o h n V . , K n o b l o c h P . A comparison of spurious oscillations at layers diminishing (SOLD) methods for convection–diffusion equations: Part I — A review // Ibid. — 2007. — 196. — P. 2197–2215. 13. H u g h e s T . J . R . , F r a n c a L . P . , H u l b e r t G . M . A new finite element formulation for computational fuid dynamics: VIII. The Galerkin/Least-squares method for advective-diffusive equations // Ibid. — 1989. — 73. — P. 173–189. 14. B r e z z i F . , R u s s o A . Choosing bubbles for advection–diffusion problems // Math. Models Methods Appl. Sci. — 1994. — N 4. — P. 571–587. 15. R u s s o A . Streamline-upwind Petrov/Galerkin method (SUPG) vs residual-free bubbles (RFB) // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. — 2006. — 195. — P. 1608–1620. 16. H u g h e s T . J . R . , F e i j o o G . , M a z z e i L . , Q u i n c y J - B . The variational multiscale method – a paradigm for computational mechanics // Ibid. — 1998. — 166. — P. 3–24. 17. Æ ó ê î â Â . Ò . , Í î â è ê î â à Í . Ä . , Ñ ò ð à õ î â ñ ê à ÿ Ë . Ã . , Ô å ä î ð å í ê î Ð . Ï . , Ô å - î ä î ð è ò î â à Î . Á . Ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîíå÷íûõ ñóïåðýëåìåíòîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ êîí- âåêöèè–äèôôóçèè // Ìàò. ìîäåëèðîâàíèå. — 2002. — 14, ¹ 11. — Ñ. 78–92. 18. B r a a c k M . , B u r m a n E . Local projection stabilization for the Oseen problem and its interpretation as a variational multiscale method // SIAM J. Numer. Anal. — 2006. — 43. — P. 2544–2566. 19. B e c k e r R . , B r a a c k M . A finite element pressure gradient stabilization for the Stokes equations based on local projections // Calcolo. — 2001. — 28. — P. 173–199. 20. J o h n V . , S c h m e y e r E . On finite element methods for 3d time-dependent convection-diffusion-reaction equations with small diffusion / A. Hegarty et al. (Eds) // BAIL 2008 – Boundary and Interior Layers: Lect. Notes Comput. Sci. Eng. — 69. — Berlin; Heidelberg: Springer, 2009. — P. 173–181. 21. Ñ à ë ü í è ê î â Í . Í . , Ñ è ð è ê Ñ . Â . , Ò å ð å ù å í ê î È . À . Î ïîñòðîåíèè êîíå÷íîìåðíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà êîíâåêöèè–äèôôóçèè ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Ïåòðî- âà–Ãàë¸ðêèíà // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2010. — ¹ 3. — Ñ. 94–109. 22. Ñ è ð è ê Ñ . Â . , Ñ à ë ü í è ê î â Í . Í . ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà ìåòî- äîì Ïåòðîâà–Ãàëåðêèíà ñ àäàïòèâíûìè âåñîâûìè ôóíêöèÿìè // Òàì æå. — 2012. — ¹ 1. — C. 94–110. 23. Ì î ë ÷ à í î â À . À . , Ñ è ð è ê Ñ . Â . , Ñ à ë ü í è ê î â Í . Í . Âûáîð âåñîâûõ ôóíêöèé â ìå- òîäå Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ äâóìåðíûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà Áþð- ãåðñà // Ìàò. ìàøèíû è ñèñòåìû. — 2012. — ¹ 2. — Ñ. 136–144. 24. Ñ è ð è ê Ñ . Â . Àíàëèç ïðèìåíåíèÿ ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé â ìåòîäå êîíå÷íûõ ýëå- ìåíòîâ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ êîíâåêöèè–äèôôóçèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2013. — ¹ 5. — Ñ. 153–164. 25. Ñ å ã å ð ë è í ä Ë . Ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. — Ì.: Ìèð, 1979. — 392 ñ. 26. Ñ ò ð à ó ñ ò ð ó ï Á . ßçûê ïðîãðàììèðîâàíèÿ C++. Ñïåöèàëüíîå èçäàíèå: Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: ÎÎÎ «Áèíîì-Ïðåññ», 2006. — 1104 ñ. 27. J o h n V . , R o l a n d M . , M i t k o v a T . e t a l . Simulations of population balance systems with one internal coordinate using finite element methods // Chem. Eng. Sci. — 2009. — 64. — P. 733–741. 28. K n o p p T . , L u b e G . , R a p i n G . Stabilized finite element methods with shock capturing for advection-diffusion problems // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. — 2002. — 191. — P. 2997–3013. 29. Ñ ê â î ð ö î â Ë . Ì . Ïðîñòûå ÿâíûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ æåñòêèõ îáûêíîâåííûõ äèô- ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Âû÷èñë. ìåòîäû è ïðîãðàììèðîâàíèå. — 2008. — 9. — Ñ. 154–162. 30. K u z m i n D . Explicit and implicit FEM-FCT algorithms with flux linearization // J. Comput. Physics. — 2009. — 228. — P. 2517–2534. 31. J o h n V . , N o v o J . On (essentially) non-oscillatory discretizations of evolutionary convection-diffusion equations // Ibid. — 2012. — 231. — P. 1570–1586. Ïîñòóïèëà 21.08.2013 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 183

Построение весовых функций метода Петрова–Галёркина для уравнений конвекции–диффузии–реакции в трехмерном случае

Institution

Similar Items