Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике
Обсуждена роль взаимодействия не только ближайших соседей в атомной цепочке при изучении динамики как идеальной системы, так и системы с точечным дефектом. Построена функция Грина стационарных колебаний цепочки при всех частотах. Показано, что при учете взаимодействия со следующими за ближайшими сос...
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/137839 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике / А.М. Косевич, С.Е. Савотченко // Физика низких температур. — 1999. — Т. 25, № 7. — С. 737-747. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-137839 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1378392025-02-09T13:49:50Z Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике Peculiarities of the dynamics of a one dimensional discrete systems with interaction of not only the nearest neighbors and the role of high dispersion in soliton dynamics Косевич, А.М. Савотченко, С.Е. Динамика кристаллической решетки Обсуждена роль взаимодействия не только ближайших соседей в атомной цепочке при изучении динамики как идеальной системы, так и системы с точечным дефектом. Построена функция Грина стационарных колебаний цепочки при всех частотах. Показано, что при учете взаимодействия со следующими за ближайшими соседями функция Грина неизбежно становится двупарциальной, причем характер ее двух составляющих существенно определяется собственной частотой. Выяснено, что частотам сплошного спектра малых колебаний отвечает функция Грина, имеющая одну составляющую типа плоской волны, а вторую - локализованную вблизи источника возмущения. Эта функция Грина описывает так называемые квазилокальные колебания. При определенных дискретных частотах, попадающих в сплошной спектр, квазилокальное колебание превращается в локальное (не распространяющееся на бесконечность). Проанализированы условия применимости дифференциальных уравнений с четвертой пространственной производной для описания длинноволновых колебаний атомной цепочки. Сформулированы соотношения между параметрами атомных взаимодействий, позволяющих использовать такие уравнения. Обсуждены асимптотики полей солитонов в нелинейной среде с пространственной дисперсией. Показано, что большинство параметров солитона определяется законом дисперсии линеаризованного уравнения. Обговорено роль взаємодії не тількі найближчих сусідів в атомному ланцюжку при вивченні динаміки як ідеальної системи, так і системи з точковим дефектом. Побудовано функцію Гріна стаціонарних коливань ланцюжка при усіх частотах. Показано, що при урахуванні взаємодії з наступними за найближчими сусідами функція Гріна стає двопарціальною, причому характер її двох складових суттєво визначається власною частотою. Встановлено, що частотам суцільного спектра малих коливань відповідає функція Гріна, яка має одну складову типу плоскої хвилі, а другу — локалізовану поблизу джерела збурення. Така функція Гріна описує так звані квазілокальні коливання. При визначених дискретних частотах, що потрапляють до суцільного спектра, квазілокальне коливання перетворюється в локальне (яке не розповсюджується на нескінченність). Проаналізовано умови використання диференціальних рівнянь з четвертою просторовою похідною для опису довгохвильових коливань атомного ланцюжка. Сформульовано співвідношення між параметрами атомних взаємодій, які дозволяють використовувати такі рівняння. Обговорено асимптотики полів солітонів в нелінійному середовищі з просторовою дисперсією. Показано, що більшість параметрів солітона визначається законом дисперсії лінеарізованого рівняння. Effect of interaction of not only nearest neighbors on dynamics of both perfect systems and systems with point defects is analyzed. The Green functions for stationary vibrations of the chain for every frequency are constructed. It is shown that the Creen function becomes bipartial with taking into account the interaction with nearest neighbors, and the character of these two components is determines essentially by the self frequency. The Green function for the continuous spectrum of small vibrations has got one component of a standing wave type and nother of a wave localized near the perturbation source. Such Green function describe so-called quasi-localized vibrations. It is found that there are special discrete frequencies inside the continuous spectrum for which the quasi-localized vibrations transform into localized ones (not existing to infinity). The conditions under which the differential equations with the fourth spatial derivative may be applied to describe the long-wave vibrations of the atomic chain are considered. Relations between the atomic parameters that permit the application of such equations are formulated. The asymptotics of soliton fields in a nonlinear medium with a spatial dispersion are discussed. The majority of the soliton parameters are shown to be determined by the dispersion relation of the linearized equation. 1999 Article Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике / А.М. Косевич, С.Е. Савотченко // Физика низких температур. — 1999. — Т. 25, № 7. — С. 737-747. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/137839 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки |
| spellingShingle |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Косевич, А.М. Савотченко, С.Е. Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике Физика низких температур |
| description |
Обсуждена роль взаимодействия не только ближайших соседей в атомной цепочке при изучении динамики как идеальной системы, так и системы с точечным дефектом. Построена функция Грина стационарных колебаний цепочки при всех частотах. Показано, что при учете взаимодействия со следующими за ближайшими соседями функция Грина неизбежно становится двупарциальной, причем характер ее двух составляющих существенно определяется собственной частотой. Выяснено, что частотам сплошного спектра малых колебаний отвечает функция Грина, имеющая одну составляющую типа плоской волны, а вторую - локализованную вблизи источника возмущения. Эта функция Грина описывает так называемые квазилокальные колебания. При определенных дискретных частотах, попадающих в сплошной спектр, квазилокальное колебание превращается в локальное (не распространяющееся на бесконечность). Проанализированы условия применимости дифференциальных уравнений с четвертой пространственной производной для описания длинноволновых колебаний атомной цепочки. Сформулированы соотношения между параметрами атомных взаимодействий, позволяющих использовать такие уравнения. Обсуждены асимптотики полей солитонов в нелинейной среде с пространственной дисперсией. Показано, что большинство параметров солитона определяется законом дисперсии линеаризованного уравнения. |
| format |
Article |
| author |
Косевич, А.М. Савотченко, С.Е. |
| author_facet |
Косевич, А.М. Савотченко, С.Е. |
| author_sort |
Косевич, А.М. |
| title |
Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике |
| title_short |
Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике |
| title_full |
Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике |
| title_fullStr |
Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике |
| title_full_unstemmed |
Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике |
| title_sort |
особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
1999 |
| topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/137839 |
| citation_txt |
Особенности динамики одномерных дискретных систем с взаимодействием не только ближайших соседей и роль высшей дисперсии в солитонной динамике / А.М. Косевич, С.Е. Савотченко // Физика низких температур. — 1999. — Т. 25, № 7. — С. 737-747. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kosevičam osobennostidinamikiodnomernyhdiskretnyhsistemsvzaimodejstviemnetolʹkobližajšihsosedejirolʹvysšejdispersiivsolitonnojdinamike AT savotčenkose osobennostidinamikiodnomernyhdiskretnyhsistemsvzaimodejstviemnetolʹkobližajšihsosedejirolʹvysšejdispersiivsolitonnojdinamike AT kosevičam peculiaritiesofthedynamicsofaonedimensionaldiscretesystemswithinteractionofnotonlythenearestneighborsandtheroleofhighdispersioninsolitondynamics AT savotčenkose peculiaritiesofthedynamicsofaonedimensionaldiscretesystemswithinteractionofnotonlythenearestneighborsandtheroleofhighdispersioninsolitondynamics |
| first_indexed |
2025-11-26T11:48:23Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:48:23Z |
| _version_ |
1849853433159352320 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7, c. 737–747Êîñåâè÷ À. Ì., Ñàâîò÷åíêî Ñ. Å.Îñîáåííîñòè äèíàìèêè îäíîìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì ñ âçàèìîäåéñòâèåì
íå òîëüêî áëèæàéøèõ ñîñåäåé è ðîëü âûñøåé äèñïåðñèè â ñîëèòîííîé äèíàìèêåKosevich A. M. and Savotchenko S. E.Peculiarities of the dynamics of one dimensional discrete systems with interaction of not only nearest neighbors and the role of high dispersion in
soliton dynamics
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè îäíîìåðíûõ äèñêðåòíûõ
ñèñòåì ñ âçàèìîäåéñòâèåì íå òîëüêî áëèæàéøèõ
ñîñåäåé è ðîëü âûñøåé äèñïåðñèè â ñîëèòîííîé
äèíàìèêå
À. Ì. Êîñåâè÷, Ñ. Å. Ñàâîò÷åíêî
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á. È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
Óêðàèíà, 310164, ã. Õàðüêîâ, ïð. Ëåíèíà, 47
E-mail: kosevich@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â påäàêöèþ 12 ôåâpàëÿ 1999 ã.
Îáñóæäåíà ðîëü âçàèìîäåéñòâèÿ íå òîëüêî áëèæàéøèõ ñîñåäåé â àòîìíîé öåïî÷êå ïðè èçó÷åíèè
äèíàìèêè êàê èäåàëüíîé ñèñòåìû, òàê è ñèñòåìû ñ òî÷å÷íûì äåôåêòîì. Ïîñòðîåíà ôóíêöèÿ Ãðèíà
ñòàöèîíàðíûõ êîëåáàíèé öåïî÷êè ïðè âñåõ ÷àñòîòàõ. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ó÷åòå âçàèìîäåéñòâèÿ ñî
ñëåäóþùèìè çà áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè ôóíêöèÿ Ãðèíà íåèçáåæíî ñòàíîâèòñÿ äâóïàðöèàëüíîé, ïðè-
÷åì õàðàêòåð åå äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ ñóùåñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé. Âûÿñíåíî, ÷òî
÷àñòîòàì ñïëîøíîãî ñïåêòðà ìàëûõ êîëåáàíèé îòâå÷àåò ôóíêöèÿ Ãðèíà, èìåþùàÿ îäíó ñîñòàâëÿþ-
ùóþ òèïà ïëîñêîé âîëíû, à âòîðóþ — ëîêàëèçîâàííóþ âáëèçè èñòî÷íèêà âîçìóùåíèÿ. Ýòà ôóíêöèÿ
Ãðèíà îïèñûâàåò òàê íàçûâàåìûå êâàçèëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ. Ïðè îïðåäåëåííûõ äèñêðåòíûõ ÷àñòî-
òàõ, ïîïàäàþùèõ â ñïëîøíîé ñïåêòð, êâàçèëîêàëüíîå êîëåáàíèå ïðåâðàùàåòñÿ â ëîêàëüíîå (íå
ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ íà áåñêîíå÷íîñòü). Ïðîàíàëèçèðîâàíû óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé ñ ÷åòâåðòîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïðîèçâîäíîé äëÿ îïèñàíèÿ äëèííîâîëíîâûõ êîëåáàíèé
àòîìíîé öåïî÷êè. Ñôîðìóëèðîâàíû ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïàðàìåòðàìè àòîìíûõ âçàèìîäåéñòâèé,
ïîçâîëÿþùèõ èñïîëüçîâàòü òàêèå óðàâíåíèÿ. Îáñóæäåíû àñèìïòîòèêè ïîëåé ñîëèòîíîâ â íåëèíåé-
íîé ñðåäå ñ ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé. Ïîêàçàíî, ÷òî áîëüøèíñòâî ïàðàìåòðîâ ñîëèòîíà îïðåäå-
ëÿåòñÿ çàêîíîì äèñïåðñèè ëèíåàðèçîâàííîãî óðàâíåíèÿ.
Îáãîâîðåíî ðîëü âçàºìîäi¿ íå òiëüêi íàéáëèæ÷èõ ñóñiäiâ â àòîìíîìó ëàíöþæêó ïðè âèâ÷eííi
äèíàìiêè ÿê iäåàëüíî¿ ñèñòåìè, òàê i ñèñòåìè ç òî÷êîâèì äåôåêòîì. Ïîáóäîâàíî ôóíêöiþ Ãðiíà
ñòàöiîíàðíèõ êîëèâàíü ëàíöþæêà ïðè óñiõ ÷àñòîòàõ. Ïîêàçàíî, ùî ïðè óðàõóâàííi âçàºìîäi¿ ç
íàñòóïíèìè çà íàéáëèæ÷èìè ñóñiäàìè ôóíêöiÿ Ãðiíà ñòຠäâîïàðöiàëüíîþ, ïðè÷îìó õàðàêòåð ¿¿ äâîõ
ñêëàäîâèõ ñóòòºâî âèçíà÷àºòüñÿ âëàñíîþ ÷àñòîòîþ. Âñòàíîâëåíî, ùî ÷àñòîòàì ñóöiëüíîãî ñïåêòðà
ìàëèõ êîëèâàíü âiäïîâiäຠôóíêöiÿ Ãðiíà, ÿêà ìຠîäíó ñêëàäîâó òèïó ïëîñêî¿ õâèëi, à äðóãó —
ëîêàëiçîâàíó ïîáëèçó äæåðåëà çáóðåííÿ. Òàêà ôóíêöiÿ Ãðiíà îïèñóº òàê çâàíi êâàçiëîêàëüíi êîëè-
âàííÿ. Ïðè âèçíà÷åíèõ äèñêðåòíèõ ÷àñòîòàõ, ùî ïîòðàïëÿþòü äî ñóöiëüíîãî ñïåêòðà, êâàçiëîêàëüíå
êîëèâàííÿ ïåðåòâîðþºòüñÿ â ëîêàëüíå (ÿêå íå ðîçïîâñþäæóºòüñÿ íà íåñêií÷åííiñòü). Ïðîàíàëiçîâàíî
óìîâè âèêîðèñòàííÿ äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç ÷åòâåðòîþ ïðîñòîðîâîþ ïîõiäíîþ äëÿ îïèñó äîâãî-
õâèëüîâèõ êîëèâàíü àòîìíîãî ëàíöþæêà. Ñôîðìóëüîâàíî ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ ïàðàìåòðàìè àòîìíèõ
âçàºìîäié, ÿêi äîçâîëÿþòü âèêîðèñòîâóâàòè òàê³ ðiâíÿííÿ. Îáãîâîðåíî àñèìïòîòèêè ïîëiâ ñîëiòîíiâ
â íåëiíiéíîìó ñåðåäîâèùi ç ïðîñòîðîâîþ äèñïåðñiºþ. Ïîêàçàíî, ùî áiëüøiñòü ïàðàìåòðiâ ñîëiòîíà
âèçíà÷àºòüñÿ çàêîíîì äèñïåðñi¿ ëiíåàðiçîâàíîãî ðiâíÿííÿ.
PACS: 68.65.+g, 43.25.+y
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè îäíîìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì
Ââåäåíèå
 ïîñëåäíåå âðåìÿ ïðè èçó÷åíèè íåëèíåéíîé
ìåõàíèêè äèñêðåòíûõ îäíîìåðíûõ ñèñòåì àêòèâ-
íî îáñóæäàåòñÿ âîïðîñ î òîì, êàêèå ïðîÿâëåíèÿ
äèñêðåòíîñòè íàõîäÿò îñíîâíîå îòðàæåíèå â ñîëè-
òîííîé äèíàìèêå [1]. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà îò-
äåëüíîãî ñîëèòîíà â äèñêðåòíîé öåïî÷êå â çíà÷è-
òåëüíîé ñòåïåíè îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííîé
ñòðóêòóðîé, ïðèâîäÿùåé ê òîìó, ÷òî äâèæóùèéñÿ
ñîëèòîí èñïûòûâàåò âîçäåéñòâèå îïðåäåëåííîãî
© À. Ì. Êîñåâè÷, Ñ. Å. Ñàâîò÷åíêî, 1999
ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà. Äëÿ ñîëèòîíà â êëàñ-
ñè÷åñêîé äèíàìèêå ýòîò ïîòåíöèàë ïîðîæäàåò òàê
íàçûâàåìîþ ñèëó Ïàéåðëñà, à äëÿ ñîëèòîíà â
êâàíòîâîé äèíàìèêå — çîíó ñâîáîäíîãî êâàçè-
÷àñòè÷íîãî äâèæåíèÿ (ñì. [2]). ×òî æå êàñàåòñÿ
âçàèìîäåéñòâèÿ ñîëèòîíîâ, âîçìîæíîñòè îáðà-
çîâàíèÿ áåçûçëó÷àòåëüíûõ ñîëèòîííûõ êîìïëåê-
ñîâ, õàðàêòåðà óáûâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëåé,
à òàêæå äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ñîëèòî-
íà, òî îíè â îñíîâíîì äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ çàêî-
íîì äèñïåðñèè ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé. Ñëå-
äîâàòåëüíî, íà ïåðâîì ýòàïå èññëåäîâàíèé ýòè
ïðîáëåìû ìîæíî àíàëèçèðîâàòü, èñïîëüçóÿ ëè-
íåéíûå óðàâíåíèÿ äèíàìèêè, çàêîíû äèñïåðñèè
êîòîðûõ ñ îäèíàêîâîé ëåãêîñòüþ íàõîäÿòñÿ êàê â
äèñêðåòíîé, òàê è â êîíòèíóàëüíîé ìîäåëÿõ. Ýòî
ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè îáñóæäåíèÿ íåêîòî-
ðûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó äèñêðåòíîñòüþ ìåõàíè-
÷åñêèõ ñèñòåì è ñïåöèôè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè
îïèñûâàþùèõ ýòè ñèñòåìû êîíòèíóàëüíûõ äèíà-
ìè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Äèñêðåòíîñòü ñèñòåìû îáóñëîâëèâàåò îòëè÷èå
çàêîíà äèñïåðñèè ìàëûõ êîëåáàíèé îò òàêîâîãî
ïðè êîíòèíóàëüíîì îïèñàíèè ðàñïðåäåëåííîé îä-
íîìåðíîé ñèñòåìû. Â äëèííîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè
ýòî îòëè÷èå ñâîäèòñÿ ê ó÷åòó âûñøåé äèñïåðñèè, ò.å.
ê ó÷åòó áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé âîëíîâûõ ÷èñåë
k â ðàçëîæåíèè ÷àñòîòû ω (èëè ýíåðãèè) ïî ñòå-
ïåíÿì ak, a — ïåðèîä äèñêðåòíîé ñòðóêòóðû
(ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè). Â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâ-
ëåíèè ó÷åò âûñøåé äèñïåðñèè çàêëþ÷àåòñÿ â äî-
áàâëåíèè ê îáû÷íûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíå-
íèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ïðîñòðàíñòâåííûõ
ïðîèçâîäíûõ, íàïðèìåð, ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.
Êàê èçâåñòíî, ïðåäåëüíî äëèííîâîëíîâîå îïè-
ñàíèå ìåõàíèêè äèñêðåòíîé ñèñòåìû, îñíîâàííîå
íà èñïîëüçîâàíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïî-
ðÿäêà, îäèíàêîâî ïðè ó÷åòå ëþáîãî ÷èñëà âçàèìî-
äåéñòâóþùèõ ñîñåäåé. Ïîýòîìó ïîäîáíîå ïðèáëè-
æåíèå âïîëíå äîïóñòèìî ðàçâèâàòü íà îñíîâå
ìîäåëè ñ âçàèìîäåéñòâèåì òîëüêî áëèæàéøèõ ñî-
ñåäåé, ñîäåðæàùåé îäèí ïàðàìåòð ìåæ÷àñòè÷íîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ. Åñëè æå öåëüþ èññëåäîâàíèÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ èçó÷åíèå äîïîëíèòåëüíîé âûñøåé äèñïåð-
ñèè, òî ïîñëåäíÿÿ äîëæíà õàðàêòåðèçîâàòüñÿ íå-
çàâèñèìûì ïàðàìåòðîì. Òàêîé ïàðàìåòð ìîæíî
«çàðàáîòàòü» òîëüêî ïóòåì ó÷åòà âçàèìîäåéñòâèÿ
íå òîëüêî áëèæàéøèõ ñîñåäåé.  ýòîì çàêëþ÷àåò-
ñÿ ïðè÷èíà, ïîáóäèâøàÿ íàñ àíàëèçèðîâàòü ðîëü
âçàèìîäåéñòâèÿ âòîðûõ ñîñåäåé â êðèñòàëëè÷åñ-
êîé ðåøåòêå.
Ìû îãðàíè÷èìñÿ îáñóæäåíèåì äèíàìèêè îäíî-
ìåðíûõ ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè, âîç-
íèêàþùèìè ïðè ëèíåàðèçàöèè â îñíîâíîì ñëåäó-
þùèõ äâóõ óðàâíåíèé â êîíå÷íûõ ðàçíîñòÿõ:
1) îáîáùåíèå èçâåñòíîãî óðàâíåíèÿ äèíàìèêè
äèñêðåòíîé àòîìíîé öåïî÷êè, ïðèâîäÿùåãî ê ñè-
íóñîèäàëüíîìó óðàâíåíèþ Ãîðäîíà,
∂2u
n
∂t2
+ ω0
2 sin u
n
+ α(2u
n
− un+1 − un−1) −
− β(2u
n
− u
n+2 − u
n−2) = 0 , (1)
ãäå α è β — êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ ñ áëèæàé-
øèìè è ñî âòîðûìè ñîñåäÿìè;
2) äèñêðåòíûé àíàëîã íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
Øðåäèíãåðà (ÍÓØ)
i
∂ψ
n
∂t
− E0 ψn
+ |ψ
n
|2ψn − α′(2ψ
n
− ψ
n+1 − ψ
n−1) +
+ β′(2ψ
n
− ψn+2 − ψ
n−2) = 0 , (2)
ãäå ïàðàìåòðû α′ è β′ î÷åâèäíûì îáðàçîì îòëè÷à-
þòñÿ ðàçìåðíîñòüþ îò èì ïîäîáíûõ â óðàâíå-
íèè (1).
 pàçä. 1 èçó÷åíà äèíàìèêà ñèñòåìû, îïèñû-
âàåìîé ëèíåàðèçîâàííûì óðàâíåíèåì (1). Îáðà-
ùåíî âíèìàíèå íà òî, ÷òî ôóíêöèÿ Ãðèíà òàêîé
ñèñòåìû âñåãäà äâóïàðöèàëüíà, ò.å. ñîñòîèò èç
äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ. Ó ôóíêöèè Ãðèíà
ñòàöèîíàðíûõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè èç ñïëîøíîãî
ñïåêòðà îäíî èç ñëàãàåìûõ îòâå÷àåò ëîêàëèçîâàí-
íûì ñîñòîÿíèÿì. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî òèïè÷íîå
ñîñòîÿíèå èçó÷àåìîé ñèñòåìû — ýòî êâàçèëîêàëü-
íîå êîëåáàíèå. Äâóïàðöèàëüíîñòü ôóíêöèè Ãðèíà
îáóñëîâëèâàåò ëþáîïûòíóþ îñîáåííîñòü âûíóæ-
äåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû. Âîçìîæíû òàêèå ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ âûíóæäàþùåé ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû ñ
÷àñòîòîé, ïîïàäàþùåé â ñïëîøíîé ñïåêòð, êîòî-
ðûå ïîðîæäàþò ëîêàëèçîâàííûå êîëåáàíèÿ. Ýòî
ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò òîãî, ÷òî èíòåðôåðåíöèÿ ðàñ-
õîäÿùèõñÿ âîëí âäàëè îò îáëàñòè ïðèëîæåíèÿ
ðàñïðåäåëåííîé ñèëû ïðèâîäèò ê ïîëíîìó âçàèì-
íîìó ãàøåíèþ ýòèõ âîëí.
 pàçä. 2 îáñóæäåí âûâîä êîíòèíóàëüíûõ äè-
íàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé â äëèííîâîëíîâîì ïðè-
áëèæåíèè. Ïîêàçàíî, ÷òî, â òî âðåìÿ êàê äèô-
ôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè
ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà âñåãäà èìåþò îá-
ëàñòü ïðèëîæåíèÿ â êà÷åñòâå äëèííîâîëíîâîãî
ïðèáëèæåíèÿ äëÿ äèñêðåòíûõ óðàâíåíèé, ïðèìå-
íèìîñòü óðàâíåíèé ñ ÷åòâåðòûìè ïðîñòðàíñòâåí-
íûìè ïðîèçâîäíûìè îãðàíè÷åíà æåñòêèìè òðåáî-
âàíèÿìè ê ïàðàìåòðàì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Â
÷àñòíîñòè, ïðè îïèñàíèè ñòàöèîíàðíûõ êîëåáà-
À. Ì. Êîñåâè÷, Ñ. Å. Ñàâîò÷åíêî
738 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7
íèé ïîñëåäîâàòåëüíîå ïîëó÷åíèå êîíòèíóàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè ïðîèçâîäíûìè
÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà âîçìîæíî ïðè ó÷åòå âçàèìî-
äåéñòâèÿ íå òîëüêî ñ áëèæàéøèìè, íî è ïî êðàé-
íåé ìåðå ñî âòîðûìè ñîñåäÿìè â àòîìíîé öåïî÷êå.
Íà ïðîñòîì ïðèìåðå ïîêàçàíî, ÷òî îñíîâíûå
ïàðàìåòðû ñîëèòîííîãî ðåøåíèÿ ÍÓØ (åñëè ïîñ-
ëåäíåå ñóùåñòâóåò) îïðåäåëÿþòñÿ ëèíåàðèçîâàí-
íûì óðàâíåíèåì, íåçàâèñèìî îò ñòðóêòóðû íåëè-
íåéíîãî ñëàãàåìîãî â óðàâíåíèè.
1. Ëèíåéíàÿ äèíàìèêà äèñêðåòíîé
öåïî÷êè àòîìîâ
Ôóíêöèÿ Ãðèíà äèñêðåòíîé ñèñòåìû. Â ñëó-
÷àå ãàðìîíè÷åñêèõ ñòàöèîíàðíûõ êîëåáàíèé àòî-
ìîâ un(t) = un exp (−iωt) ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíå-
íèå (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
(ω0
2 − ω2)un + α(2u
n
− u
n+1 − u
n−1) −
− β(2u
n
− u
n+2 − u
n−2) = 0 . (3)
Çàêîí äèñïåðñèè ýòèõ êîëåáàíèé, îòâå÷àþùèõ
ðåøåíèþ un = u0 exp (ikn), åñòü
ω2(k) = ω0
2 + 4α sin2
k
2
− 4β sin2 k , (4)
ãäå ïðèíÿòî, ÷òî ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå a = 1.
Ñïëîøíîé ñïåêòð êîëåáàíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ïîëîñó ÷àñòîò ω0 < ω < ωm , ãäå ωm
2 = ω0
2 + 4α.
Ôóíêöèÿ Ãðèíà óðàâíåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ êîëå-
áàíèé áåñêîíå÷íîé öåïî÷êè àòîìîâ â n-ïðåäñòàâ-
ëåíèè ðàâíà
G
n
(ω) =
1
2π
∫
−π
π
dk eikn
ω2 − ω2(k)
. (5)
Îñîáåííîñòè ôóíêöèè Ãðèíà îïðåäåëÿþòñÿ ïî-
ëþñàìè ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ íà ïëîñêîñ-
òè êîìïëåêñíîãî k, ò.å. êîðíÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñ-
êîãî óðàâíåíèÿ
16βz4 + 4s2z2 + ω0
2 − ω2 = 0 , (6)
ãäå z = sin (k/2) è s2 = α − 4β. Óðàâíåíèå (6) èìå-
åò ñëåäóþùèå êîðíè:
z1,2
2 =
1
8β
− s2 ± √s4 − 4β(ω0
2 − ω2) (7)
ãäå èíäåêñ «1» ñîîòâåòñòâóåò çíàêó «+», à «2» —
çíàêó «−». Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî s2 = α − 4β > 0.
Òèï êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ îï-
ðåäåëÿåò âèä ôóíêöèè Ãðèíà (5). Â çàâèñèìîñòè
îò ÷àñòîòíîãî äèàïàçîíà êîëåáàíèé êîðíè (7) ìî-
ãóò áûòü âåùåñòâåííûìè, êîìïëåêñíûìè èëè ÷èñ-
òî ìíèìûìè.
Èçó÷èì âíà÷àëå îñîáåííîñòè äèíàìèêè öåïî÷-
êè â ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå âíå ïîëîñû ñïëîøíîãî
ñïåêòðà. Íà÷íåì ñ ÷àñòîò ω < ω0 . Òàêèå ÷àñòîòû
àêòóàëüíû ïðè îïèñàíèè äèíàìèêè àòîìíîé öå-
ïî÷êè ïðè íàëè÷èè äåôåêòà èëè àñèìïòîòèê ïî-
ëåé ñîëèòîíîâ òèïà áèîíîâ.  ýòîì ñëó÷àå ìîãóò
âîçíèêàòü ëîêàëèçîâàííûå êîëåáàíèÿ.
 èíòåðâàëå ÷àñòîò ωc < ω < ω0 , ãäå ωc
2 =
= ω0
2 − s4/4β, êîðíè (7) áóäóò ÷èñòî ìíèìûìè:
z
j
= iζ
j
= i sh
κ
j
2
(j = 1, 2) ,
ζ1,2
2 =
1
8β
s
2 ± √s4 − 4β(ω0
2 − ω2) . (8)
Håòðóäíî âû÷èñëèòü ôóíêöèþ Ãðèíà (5) äëÿ ÷àñ-
òîò íèæå ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà â èíòåðâàëå
ωc < ω < ω0 :
G
n
(ω) =
1
16β(ζ1
2 − ζ2
2)
e
−κ
1
|n|
ζ1 (1 + ζ1
2)1/2
−
e
−κ
2
|n|
ζ2 (1 + ζ2
2)1/2
,
(9)
ãäå κj = 2Arsh ζj (j = 1, 2) — ïàðàìåòðû, êîòîðûå
õàðàêòåðèçóþò ïðîñòðàíñòâåííûå óáûâàíèÿ àìï-
ëèòóä ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé ïðè óäàëåíèè îò äå-
ôåêòà. Âàæíî, ÷òî ïðè ó÷åòå âòîðûõ ñîñåäåé â
öåïî÷êå ôóíêöèÿ Ãðèíà ñòàíîâèòñÿ äâóïàðöèàëü-
íîé, ò.å. ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïî-ðàçíîìó ýêñïîíåí-
öèàëüíî óáûâàþùèõ ïàðöèàëüíûõ ñëàãàåìûõ.
Çàìåòèì, ÷òî íà ïðåäåëüíîé ÷àñòîòå, îòâå÷àþ-
ùåé íèæíåìó êðàþ ñïëîøíîãî ñïåêòðà ω = ω0 ,
ïîìèìî îäíîðîäíîãî êîëåáàíèÿ ñ κ1 = 0, åäèíñò-
âåííîãî â ñëó÷àå ÷èñòî êâàäðàòè÷íîãî çàêîíà äèñ-
ïåðñèè, ìîæåò ñóùåñòâîâàòü íåîäíîðîäíîå ñîñòî-
ÿíèå ñ κ2 ≠ 0 (sh2 (κ2/2) = s2/4β), ïîääåðæèâàåìîå
îïðåäåëåííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.  ÷àñò-
íîñòè, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîïóñêàåòñÿ ïðèíöèïè-
àëüíàÿ âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ äèíàìè÷åñ-
êèõ ñîëèòîíîâ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà (1)
èëè (2) äàæå ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé ω = ω0 .
Ïðè ω < ωc êîðíè (8) ñòàíîâÿòñÿ êîìïëåêñíû-
ìè, ò.å. κ1,2 = κ ± iq, ãäå κ è q îïðåäåëÿþòñÿ èç
ñîîòíîøåíèé
ch κ cos q =
α
4β
, sh κ sin q =
ωc
2 − ω2
4β
1/2
.
Íà÷èíàÿ ñ ÷àñòîò, ìåíüøèõ ωc , ïðîèñõîäèò
ïåðåõîä îò îáû÷íûõ ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé ê
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè îäíîìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7 739
îáîáùåííûì ëîêàëüíûì êîëåáàíèÿì. Ïîä îáîá-
ùåííûìè ïîíèìàþò ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ, àìïëè-
òóäà êîòîðûõ ñïàäàåò îñöèëëèðóþùèì îáðàçîì
ïðè óäàëåíèè îò äåôåêòà. Ôóíêöèþ Ãðèíà òîãäà
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
G
n
(ω) = −
exp (−κ|n|) sin (q|n| + ϕ)
(ω
c
2 − ω2)1/2(ω0
2 − ω2)1/4(ω
m
2 − ω2)1/4
,
(10)
ãäå ôàçà ϕ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
tg 2ϕ =
sh 2κ sin 2q
2(sh2 κ cos2 q − ch2 κ sin2 q)
. (11)
Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü ôóíêöèþ Ãðèíà ñòàöè-
îíàðíûõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè âûøå ïîëîñû
ñïëîøíîãî ñïåêòðà ω > ωm . Â ýòîì äèàïàçîíå
îäíî èç âîëíîâûõ ÷èñåë êîìïëåêñíîå (k1 = π + iκ1),
à äðóãîå — ÷èñòî ìíèìîå (k2 = iκ2). Òîãäà ôóíê-
öèÿ Ãðèíà ðàâíà
G
n
(ω) =
1
16β(ζ1
2 + ζ2
2)
(−1)n e
−κ
1
|n|
ζ1 (1 + ζ1
2)1/2
+
e
−κ
2
|n|
ζ2 (ζ2
2 − 1)1/2
,
(12)
ãäå ζ1 = sh (κ1/2) è ζ2 = ch (κ2/2), è ïàðàìåòðû
ζj (j = 1, 2) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
ζ1
2 =
1
8β
√(α + 4β)2 + 4β(ω2 − ωm
2 ) − α − 4β
,
(13)
ζ2
2 =
1
8β
√(α + 4β)2 + 4β(ω2 − ωm
2 ) + α + 4β
.
(14)
Ïðè β = 0 âòîðîå ñëàãàåìîå â (12) èñ÷åçàåò è
ôóíêöèÿ Ãðèíà, åñòåñòâåííî, ñîâïàäàåò c âûðàæå-
íèåì äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà äèñêðåòíîé öåïî÷êè ñ
âçàèìîäåéñòâèåì òîëüêî áëèæàéøèõ ñîñåäåé.
Îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå íàëè÷èå âòîðîãî
ñëàãàåìîãî â (12), íåòèïè÷íîãî äëÿ êîëåáàíèé
öåïî÷êè ñ âçàèìîäåéñòâèåì òîëüêî áëèæàéøèõ
ñîñåäåé (êîãäà β = 0). Äàæå íà ïðåäåëüíîé ÷àñòî-
òå, îòâå÷àþùåé âåðõíåìó êðàþ ñïëîøíîãî ñïåêò-
ðà ω2 = ωm
2 = ω0
2 + 4α, îíî îïèñûâàåò íåîäíîðîä-
íûå êîëåáàíèÿ, ïðè êîòîðûõ ñîñåäíèå àòîìû
êîëåáëþòñÿ â îäíîé ôàçå.
Ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé
öåïî÷êè ñ òî÷å÷íûì äåôåêòîì. Ðàññìîòðèì ãàð-
ìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ öåïî÷êè â ïðèñóòñòâèè òî-
÷å÷íîãî äåôåêòà, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
èçîòîïè÷åñêóþ ïðèìåñü â óçëå n = 0, ò.å. áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî â ýòîì óçëå íàõîäèòñÿ àòîì ìàññîé
Ì, îòëè÷íîé îò ìàññû àòîìîâ m îñòàëüíîé öåïî÷-
êè. Òîãäà âìåñòî (3) ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü
óðàâíåíèå
(ω0
2 − ω2)u
n
+ α(2u
n
− u
n+1 − u
n−1) −
− β(2u
n
− u
n+2 − un−2) = fu
n
δ
n0 , (15)
ãäå ïàðàìåòð, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåò äåôåêò, f =
= (M − m)ω2/m, à δn0 — ñèìâîë Êðîíåêåðà. Ôîð-
ìàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15) ìîæíî çàïèñàòü
ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà (5) â âèäå
u
n
= − fu0 Gn
(ω) . (16)
Äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå, îïðåäåëÿþùåå
÷àñòîòû ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé, ìîæíî ïîëó÷èòü
èç (16), ïîëîæèâ n = 0 [3]:
1 + fG0(ω) = 0 . (17)
Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ Ãðèíà (9), ïîëó÷èì
äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèe äëÿ ëîêàëüíûõ ÷àñ-
òîò, åñëè îíè ïîïàäàþò â èíòåðâàë ωc < ω < ω0 :
f = 16β(ζ1
2 − ζ2
2)
ζ1 ζ2 √1 + ζ1
2 √1 + ζ2
2
ζ1 √1 + ζ1
2 − ζ2 √1 + ζ2
2
, (18)
ãäå ïàðàìåòðû ζj (j = 1, 2) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíî-
øåíèÿìè (8).
 èíòåðâàëå ÷àñòîò ω < ωc , âîñïîëüçîâàâøèñü
ôóíêöèåé Ãðèíà (10), äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøå-
íèå äëÿ ÷àñòîò îáîáùåííûõ ëîêàëüíûõ êîëåáàíèé
ìîæíî ïpåäñòàâèòü êàê
f sin ϕ = − (ω
c
2 − ω2)1/2(ω0
2 − ω2)1/4(ω
m
2 − ω2)1/4 .
(19)
Åñòåñòâåííî, ÷òî ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòî-
òàìè íèæå ñïëîøíîãî ñïåêòðà ìîãóò âîçíèêàòü
òîëüêî ïðè f > 0, ò.å. ïðè íàëè÷èè òÿæåëîé ïðè-
ìåñè.
Àíàëîãè÷íî, ïîäñòàâèâ ôóíêöèþ Ãðèíà (12) â
óðàâíåíèå (17), ìîæíî ïîëó÷èòü äèñïåðñèîííîå
ñîîòíîøåíèå äëÿ âûñîêî÷àñòîòíûõ ëîêàëüíûõ êî-
ëåáàíèé:
f = − 16β(ζ1
2 + ζ2
2)
ζ1 ζ2 √1 + ζ1
2 √ζ2
2 − 1
ζ1 √1 + ζ1
2 + ζ2 √ζ2
2 − 1
, (20)
ãäå ïàðàìåòðû ζj (j = 1, 2) îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíî-
øåíèÿìè (13) è (14).
Ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòàìè âûøå ïîëî-
ñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà âîçíèêàþò ïðè íàëè÷èè
ëåãêîé ïðèìåñè (ïðè f < 0).
Âûíóæäåííûå ëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ. Ïðåäïî-
ëîæèì òåïåðü, ÷òî íà àòîìû â öåïî÷êå äåéñòâóþò
À. Ì. Êîñåâè÷, Ñ. Å. Ñàâîò÷åíêî
740 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7
íåêîòîðûå ðàñïðåäåëåííûå ñèëû Fn exp (−iωt),
ëîêàëèçîâàííûå âáëèçè n = 0. Òîãäà ñòàöèîíàð-
íîå ðåøåíèå óðàâíåíèé äèíàìèêè öåïî÷êè ìîæíî
çàïèñàòü ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà:
u
n
= − ∑
n′
G
n−n′(ω)Fn′ . (21)
Äîïóñòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñèë èìååò âèä
F
n
= (δ0n
+ δ1n)F , (22)
ò.å. ê äâóì ñîñåäíèì óçëàì öåïî÷êè (íàïðèìåð,
n = 0 è n = 1) ïðèëîæåíû îñöèëëèðóþùèå ñ ÷àñ-
òîòîé ω ≥ ωm âíåøíèå ñèëû F, îäèíàêîâûå ïî
âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ. Åñëè ÷àñòîòà ω ñîâïàäà-
åò ñ ïðåäåëüíîé ÷àñòîòîé ωm , òî â öåïî÷êå ìîæåò
âîçíèêíóòü ëîêàëèçîâàííîå êîëåáàíèå ñ îäíîôàç-
íûì äâèæåíèåì âñåõ àòîìîâ:
u
n
= −
F(1 + eκ
2)
16βζ2(ζ1
2 + ζ2
2) (ζ2
2 − 1)1/2 e
−κ
2
n , (23)
ïàðàìåòð κ2 êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøå-
íèÿ
sh2
κ2
2
=
α
4β
. (24)
Î÷åâèäíî, èìåþòñÿ òàêèå òèïû âûíóæäàþùåé
âíåøíåé ñèëû, ïðè äåéñòâèè êîòîðîé «íå ðàáîòà-
åò» îäíî èç ñëàãàåìûõ â (12). Ðàññìîòðèì, íàïðè-
ìåð, âîçäåéñòâèå îñöèëëèðóþùèõ ñèë, ïðèëîæåí-
íûõ ê óçëàì n = 0 (ñèëà F0) è n = ± 1 (ñèëà F1),
ò.å.
F
n
= F0δ0n + F1(δ1n
+ δ−1n) . (25)
Òîãäà èç (21) ïðè ó÷åòå ðàñïðåäåëåíèÿ ñèë (25) è
ôóíêöèè Ãðèíà (12) ñëåäóåò ðåøåíèå
u
n
= −
1
16β(ζ1
2 + ζ2
2)
×
×
(−1)n(F0− 2F1 ch κ1)e−κ
1
|n|
ζ1 (1 + ζ1
2)1/2 +
(F0+ 2F1 ch κ2)e−κ
2
|n|
ζ2 (ζ2
2 − 1)1/2
.
(26)
Åñëè ñèëû F0 è F1 èìåþò ðàçíûå çíàêè è |F0| >
> 2|F1|, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÷àñòîòà ω, ïðè êîòîðîé
ch κ2 =
F0
2F1
. (27)
Òîãäà âûðàæåíèå (26) óïðîùàåòñÿ:
un =
(−1)n+12F1(ch κ1 + ch κ2) e−κ
1
|n|
16βζ1(ζ1
2 + ζ2
2) √1 + ζ1
2 . (28)
Ðåøåíèå òàêîãî òèïà ìîæåò îïèñûâàòü àñèìï-
òîòèêè ñîëèòîíà îãèáàþùåé âûñîêî÷àñòîòíûõ ëî-
êàëèçîâàííûõ êîëåáàíèé. Ìû âèäèì, ÷òî ïîäîá-
íûé ñîëèòîí âîçìîæåí ïðè âåñüìà ñïåöèôè÷åñêèõ
ñîáñòâåííûõ ÷àñòîòàõ.
Åñëè ñèëû F0 è F1 èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè, òî
ïðè íåêîòîðîé ÷àñòîòå ω, îïðåäåëÿåìîé èç óðàâ-
íåíèÿ
ch κ1 =
F0
2F1
, (29)
âîçíèêàåò ëîêàëèçîâàííîå êîëåáàíèå
un = −
2F1(ch κ1 + ch κ2) e−κ
2
|n|
16βζ2(ζ1
2 + ζ2
2) √ζ2
2 − 1
, (30)
êîòîðîå îòâå÷àåò îäíîôàçíîìó äâèæåíèþ àòîìîâ.
Îñîáåííîñòè êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè âíóòðè
ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà. Ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ
ñî âòîðûìè ñîñåäÿìè ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ äî-
ïîëíèòåëüíûõ îñîáåííîñòåé êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè
âíóòðè ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà ω0 < ω < ωm .
 ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàþò êîëåáàíèÿ, ó êîòîðûõ
îäíà ìîäà ëîêàëèçîâàíà âáëèçè äåôåêòà, à äðóãàÿ
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòîÿ÷óþ âîëíó. Òàêèå êîëåáà-
íèÿ íàçûâàþò êâàçèëîêàëüíûìè. Õàðàêòåðèñòè-
÷åñêîå óðàâíåíèå (6) â ðàññìàòðèâàåìîì ÷àñòîò-
íîì äèàïàçîíå èìååò äâà âåùåñòâåííûõ,
z1
2 =
1
8β
√s4 + 4β(ω2 − ω0
2) − s2
, (31)
è äâà ìíèìûõ êîðíÿ,
ζ2
2 =
1
8β
√s4 + 4β(ω2 − ω0
2) + s2
. (32)
Ïîýòîìó îäíî èç âîëíîâûõ ÷èñåë k1 = 2arcsin z1
áóäåò âåùåñòâåííûì, à äðóãîå — ìíèìûì, k2 = iκ2
(κ2 = 2Arsh ζ2).
Âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèÿìè (31) è (32),
ìîæíî âû÷èñëèòü ôóíêöèþ Ãðèíà (5) â äèàïà-
çîíå ÷àñòîò êâàçèëîêàëüíûõ ñòàöèîíàðíûõ êîëå-
áàíèé:
G
n
(ω) = iB(ω) eik
1
|n| + M(ω) e−κ
2
|n| , (33)
ãäå
B(ω) =
16βz1(z1
2 + ζ2
2) √1 − z1
2
−1
,
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè îäíîìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7 741
M(ω) =
16βζ2(z1
2 + ζ2
2) √1 + ζ2
2
−1
.
Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà (33) ìîæíî âû÷èñ-
ëèòü ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå
g(ω2) =
1
π
Im G0(ω)
ïëîòíîñòü êîëåáàíèé (ðàñïðåäåëåíèå ñîñòîÿíèé
ïî êâàäðàòàì ÷àñòîò) öåïî÷êè áåç äåôåêòîâ:
g(ω2) =
1
16πβ(z1
2 + ζ2
2)z1 (1 − z1
2)1/2 . (34)
Åñëè èìååòñÿ íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå ñèë Fn ,
òî ðåøåíèå â îáëàñòè ñïëîøíîãî ñïåêòðà ìîæåò
áûòü ïîëó÷åíî èç (21) ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðè-
íà (33):
u
n
=
−iB(ω)F∗(k1)e−ik
1
n − M(ω)Q(−κ2)eκ
2
n, n < 0;
−iB(ω)F(k1)eik
1
n − M(ω)Q(κ2)e−κ
2
n, n > 0,
(35)
ãäå F(k) = ∑
n
Fn e
−ikn è Q(κ) = ∑
n
Fn e
κ2n.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Fn = F−n . Âîçìîæíî òàêîå
ñèììåòðè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå Fn , äëÿ êîòîðîãî
ïðè íåêîòîðîì k âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
F(k) = ∑
n
F
n
cos kn = 0 , (36)
ò.å. îáðàùàåòñÿ â íóëü êîìïîíåíòà Ôóðüå ïðî-
ñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñèë. Òîãäà ïðè ñî-
îòâåòñòâóþùåé ÷àñòîòå ω, îïðåäåëÿåìîé èç óñëî-
âèÿ (36), ðåøåíèå îêàçûâàåòñÿ ëîêàëèçîâàííûì:
u
n
= −M(ω)Q(κ2) e−κ
2
|n| , (37)
ãäå ïàðàìåòð κ2 îòâå÷àåò óêàçàííîé ÷àñòîòå.
Òàêèì îáðàçîì, èíòåðôåðåíöèÿ âîëí, âîçáóæ-
äåííûõ èçáðàííûì ðàñïðåäåëåíèåì ñèëû Fn , ïðè-
âîäèò ê âçàèìíîìó ïîãàøåíèþ êîëåáàíèé âäàëè
îò îáëàñòè ïðèëîæåíèÿ òàêèõ ñèë. Äðóãèìè ñëî-
âàìè, â ñïëîøíîì ñïåêòðå ÷àñòîò âîçíèêàåò ëîêà-
ëèçîâàííîå ñîñòîÿíèå, ÷åãî íåâîçìîæíî îæèäàòü
â ðàñïðåäåëåííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ñ âçàèìî-
äåéñòâèåì òîëüêî áëèæàéøèõ ñîñåäåé.
Äîïóñòèì, ÷òî Fn èìååò âèä äâóãîðáîãî ðàñïðå-
äåëåíèÿ:
F
n
= ϕ(n − n0) + ϕ(n + n0) , (38)
ãäå ϕ(n) = ϕ(−n) — ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà óñëîâèå
(36) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ k, óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèþ cos kn0 = 0, ò.å. äëÿ k = (2p + 1)π/2n0 ,
ãäå p = 0, ±1, ±2, ..., ±(n0 − 1).
Äàæå íå òðåáóÿ ÷åòíîñòè ϕ(n), ëåãêî óáåäèòüñÿ,
÷òî íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíî òàêîå k, ïðè êîòîðîì
óñëîâèå (36) áóäåò âûïîëíåíî.
Ìû âèäèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äèñêðåòíûé íàáîð
÷àñòîò, ïîïàäàþùèõ â ñïëîøíîé ñïåêòð, äëÿ êîòî-
ðûõ ãàðìîíè÷åñêè çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè ñèëà ñ
ïðîñòðàíñòâåííûì ðàñïðåäåëåíèåì (38) íå âûçû-
âàåò èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Ðàñïðåäåëåíèå
òèïà (38) ìîäåëèðóåò ïîâåäåíèå íåëèíåéíîãî ÷ëå-
íà â (1) èëè â (2) â ñëó÷àå, åñëè ïîäîáíîå óðàâíå-
íèå èìååò äâóõñîëèòîííîå ðåøåíèå. Åñëè òàêîå
ðåøåíèå ñóùåñòâóåò, òî ïðè íåêîòîðûõ ÷àñòîòàõ
îíî ñîîòâåòñòâóåò ñòàöèîíàðíîìó ñîñòîÿíèþ ïàðû
ñîëèòîíîâ. Ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ îáñóæäàëàñü â [4].
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðèíöèïèàëüíàÿ âîçìîæíîñòü ñó-
ùåñòâîâàíèÿ ïîäîáíîãî ðåøåíèÿ â ñïëîøíîì
ñïåêòðå ÷àñòîò ïîëíîñòüþ îáóñëîâëåíà âèäîì çàêî-
íà äèñïåðñèè ìàëûõ êîëåáàíèé.
Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî îïèñàííûå ëîêàëèçîâàííûå
ñîñòîÿíèÿ ïðèíàäëåæàò êâàçèíåïðåðûâíîìó ñïåêò-
ðó àòîìíîé öåïî÷êè, à ïîòîìó âåñ êàæäîãî èç íèõ
î÷åíü ìàë è ïðîïîðöèîíàëåí 1/√N , ãäå N — ÷èñëî
àòîìîâ â öåïî÷êå. Îäíàêî â íåëèíåéíîé äèíàìèêå
âåñ ïîäîáíûõ ñîñòîÿíèé ìîæåò áûòü êîíå÷íûì.
Ðàññåÿíèå âîëíû òî÷å÷íûì äåôåêòîì. Âåðíåì-
ñÿ ê ñëó÷àþ òî÷å÷íîãî èçîòîï-äåôåêòà, êîãäà
Fn = fδn0u0 . Âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü ÿâíûé âèä
ôóíêöèè Ãðèíà èçó÷àåìîé ñèñòåìû ïîçâîëÿåò ëåãêî
îáñóäèòü çàäà÷ó ðàññåÿíèÿ ñîáñòâåííî êîëåáàíèÿ
èäåàëüíîé öåïî÷êè òî÷å÷íûì äåôåêòîì. Èçâåñòíî,
÷òî ðåøåíèå çàäà÷è ðàññåÿíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
u
n
= u0 e
ik
1
n + χ
n
, (39)
ïîëå χn ìîæåò áûòü âûðàæåíî ÷åðåç ôóíêöèþ
Ãðèíà [2]:
χ
n
= −u0f
Gn(ω)
D(ω)
, (40)
ãäå D(ω) = 1 + fG0(ω). Â ðåøåíèè (40) ñëåäóåò
âûáèðàòü ôóíêöèþ Ãðèíà, ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàñ-
õîäÿùèìñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè âîëíàì â âèäå (33).
Òîãäà ïîëó÷èì ðåøåíèå (39) â âèäå
un =
u0e
ik
1
n −
u0f
D(ω)
[iB(ω)e−ik
1
n + M(ω)eκ
2
n], n < 0,
u0e
ik
1
n −
u0f
D(ω)
[iB(ω)eik
1
n + M(ω)e−κ
2
n], n > 0.
(41)
Ëþáîïûòíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñ-
ëîâèÿ
À. Ì. Êîñåâè÷, Ñ. Å. Ñàâîò÷åíêî
742 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7
iB(ω)f = D(ω) (42)
ïðîèñõîäèò ïîëíîå îòðàæåíèå äåôåêòîì ïàäàþùåé
âîëíû è ðåàëèçóåòñÿ íåñèììåòðè÷íîå ñîñòîÿíèå,
êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ñòîÿ÷åé âîëíå, ñóùåñòâóþ-
ùåé òîëüêî íà îäíîé èç ïîëóîñåé, è ëîêàëèçîâàí-
íûì ïî îáå ñòîðîíû îò äåôåêòà ìîäàì:
u
n
=
u0
2i sin (k1n) − f
M(ω)
D(ω)
eκ
2
n
, n < 0;
−u0 f
M(ω)
D(ω)
e−κ
2
n , n > 0.
(43)
Èç óñëîâèÿ (42) ñëåäóåò, ÷òî íåñèììåòðè÷íûå
ñîñòîÿíèÿ (43) âîçìîæíû ïðè ÷àñòîòàõ, îïðåäå-
ëÿåìûõ èç ñîîòíîøåíèÿ
f = −16βζ2 √1 + ζ2
2 (z1
2 + ζ2
2) . (44)
Âîçíèêíîâåíèå òàêîãî âèäà íåñèììåòðè÷íûõ
ñîñòîÿíèé (43) ñ ÷àñòîòàìè â ñïëîøíîì ñïåêòðå
áûëî îáíàpóæåíî ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷è î ðàñ-
ñåÿíèè óïðóãîé âîëíû ïëîñêèì äåôåêòîì â èçî-
òðîïíîé ñðåäå [5]. Àíàëîãè÷íûå îñîáåííîñòè
áûëè îòìå÷åíû â äèñêðåòíîé ìîäåëè ÃÖÊ êðèñ-
òàëëà â [6], ãäå ïðèâåäåí àíàëèç ðåçóëüòàòîâ
÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ. Îäíàêî ñëåäóåò ïîìíèòü,
÷òî óïðóãàÿ âîëíà ñîñòîèò èç äâóõ íåçàâèñèìûõ
êîìïîíåíò (ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé), à èçó÷àå-
ìîå íàìè ïîëå ÿâëÿåòñÿ îäíîêîìïîíåíòíûì. Ñëå-
äîâàòåëüíî, â íàøåì ñëó÷àå ðîëü äâóõ êîìïîíåíò
èñïîëíÿþò äâà òèïà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé, îò-
âå÷àþùèõ ðàçíûì êîðíÿì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ.
Ïî ïîâîäó âåñà ñîñòîÿíèÿ (43) ìû ìîæåì ïî-
âòîðèòü ñêàçàííîå îòíîñèòåëüíî ðåøåíèÿ (37).
2. Äëèííîâîëíîâûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû ñ
ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé
Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è ôóíêöèè
Ãðèíà â êîíòèíóàëüíîì ïðèáëèæåíèè. Ó÷åò âçà-
èìîäåéñòâèÿ ñî âòîðûìè ñîñåäÿìè â äèñêðåòíîé
öåïî÷êå îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà
äëèííîâîëíîâûå êîëåáàíèÿ ïðè k << 1 (íàïîì-
íèì, ÷òî a = 1). Â ýòîì ïðåäåëå èç äèñêðåòíîãî
óðàâíåíèÿ (3) ñëåäóåò äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-
íåíèå
∂2u
∂t2
+ ω0
2u − s2
∂2u
∂x2 + A2
∂4u
∂x4 = 0 , (45)
ïàðàìåòðû êîòîðîãî ñâÿçàíû ñ êîíñòàíòàìè âçàè-
ìîäåéñòâèÿ ïåðâûõ è âòîðûõ ñîñåäåé: s2 = α −
− 4β, A2 = (16β − α)/12. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âû-
ïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ α/16 < β < α/4.
Çàêîí äèñïåðñèè ñòàöèîíàðíûõ êîëåáàíèé ñèñ-
òåìû áåç äåôåêòîâ íåòðóäíî ïîëó÷èòü ëèáî èç
(45), ëèáî èç ðàçëîæåíèÿ çàêîíà äèñïåðñèè (4)
äèñêðåòíîé ìîäåëè ñ òî÷íîñòüþ äî ÷åòâåðòûõ ñòå-
ïåíåé ïî k:
ω2(k) = ω0
2 + s2k2 + A2k4 . (46)
Âîëíîâûå ÷èñëà k, îòâå÷àþùèå ôèêñèðîâàííîé
÷àñòîòå ω, ìîæíî îïðåäåëèòü èç (46):
k1,2
2 =
1
2A2
−s2 ± √s4 − 4A2(ω0
2 − ω2)
, (47)
ãäå èíäåêñ «1» ñîîòâåòñòâóåò çíàêó «+», à «2»
— çíàêó «–».
Ïîñêîëüêó â äëèííîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè
äëÿ âñåõ êîðíåé (47) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ òðåáî-
âàíèå k1,2
2 << 1, ïðèáëèæåíèå, îñíîâàííîå íà
(46), ïðèãîäíî äëÿ îïèñàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ êîëå-
áàíèé äèñêðåòíîé öåïî÷êè ëèøü ïðè ÷àñòîòàõ
|ω0 − ω| << A, åñëè ïàðàìåòðû öåïî÷êè óäîâëå-
òâîðÿþò óñëîâèþ s2 << A2. Íî â ýòîì ñëó÷àå
A2 ≡ β − s2/12 ≈ β, è ìû âèäèì, ÷òî èñïîëüçîâà-
íèå óðàâíåíèÿ (45) îïðàâäàííî òîëüêî ïðè ó÷åòå
âòîðûõ ñîñåäåé.
Èçó÷èì îñîáåííîñòè ëîêàëèçîâàííûõ êîëåáà-
íèé ñ ÷àñòîòàìè íèæå ñïëîøíîãî ñïåêòðà ω < ω0 .
 ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå ωc < ω < ω0 , ãäå ωc
2 =
= ω0
2 − s4/4A2, âîëíîâûå ÷èñëà (47) ÿâëÿþòñÿ
÷èñòî ìíèìûìè, kj = iκj (j = 1, 2), è ôóíêöèÿ Ãðè-
íà óðàâíåíèÿ (45) â ðàññìàòðèâàåìîì ÷àñòîòíîì
äèàïàçîíå ðàâíà
G(x) =
1
2A2(κ1
2 − κ2
2)
e−κ
1
|x|
κ1
−
e−κ
2
|x|
κ2
. (48)
Ôóíêöèÿ Ãðèíà (48) ÿâëÿåòñÿ äëèííîâîëíîâûì
ïðåäåëîì ôóíêöèè (9) â ïðåäïîëîæåíèè ζj =
= κj/2 << 1 è A2 = β. Ìû åùå ðàç óáåæäàåìñÿ,
÷òî ó÷åò äîïîëíèòåëüíîé äèñïåðñèè â óðàâíåíèè
(45) ïðèâîäèò ê ñîãëàñîâàííûì ðåçóëüòàòàì ïðè
A2 = β >> s2 .
 ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå ω < ωc ôóíêöèÿ Ãðèíà
â êîíòèíóàëüíîì ïðèáëèæåíèè åñòåñòâåííûì îá-
ðàçîì ñëåäóåò èç äèñêðåòíîé ôóíêöèè Ãðèíà (10):
G(x) = −
sin (q|x| − ϕ) exp (−κ|x|)
2A1/2(ω
c
2 − ω2)1/2(ω0
2 − ω2)1/4 , (49)
ãäå
κ2 =
1
4A2
2A √ω0
2 − ω2 + s2
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè îäíîìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7 743
è
q2 =
1
4A2
2A √ω0
2 − ω2 − s2
,
à ôàçà êîëåáàíèé ϕ çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
tg ϕ = κ/q.
Îáîáùåíèå ôîðìóëû (49) íà ñôåðè÷åñêè ñèì-
ìåòðè÷íûé ñëó÷àé òðåõìåðíîé ñèñòåìû ïðèâåäåíî
â [7] (ñì. Ïðèëîæåíèå).
Ïðè ÷àñòîòàõ ω > ω0 â ñïëîøíîì ñïåêòðå ìî-
ãóò âîçíèêàòü êâàçèëîêàëüíûå êîëåáàíèÿ, òàê êàê
îäèí èç êîðíåé (47) áóäåò âåùåñòâåííûì:
k2 =
1
2A2
−s2 + √s4 + 4A2(ω2 − ω0
2)
, (50)
à äðóãîé — ìíèìûì:
κ2 =
1
2A2
s
2 + √s4 + 4A2(ω2 − ω0
2)
. (51)
Ôóíêöèÿ Ãðèíà â ýòîì ñëó÷àå ðàâíà
G(x) = iB(ω) eik|x| + M(ω) e−κ|x| ,
B(ω) =
2A2k(k2 + κ2)
−1
, M(ω) =
2A2κ(k2 + κ2)
−1
.
(52)
Ôóíêöèÿ Ãðèíà (52) äåìîíñòðèðóåò ñâîéñòâà
êâàçèëîêàëüíîãî êîëåáàíèÿ: îíà äâóïàðöèàëüíàÿ,
ïðè÷åì îäíà åå ïîðöèÿ ëîêàëèçîâàíà â ïðîñòðàí-
ñòâå, à âòîðàÿ èìååò âèä ñòîÿ÷åé âîëíû âî âñåì
ïðîñòðàíñòâå. Ôóíêöèÿ (52) îòðàæàåò ëþáîïûò-
íóþ îñîáåííîñòü ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ ñèñòåìû ñ
îïèñàííîé âûñøåé äèñïåðñèåé, à èìåííî: íàëè÷èå
äîïîëíèòåëüíîé ïðîñòðàíñòâåííî ëîêàëèçîâàííîé
êîìïîíåíòû ïîëÿ (ïîðöèè ôóíêöèè Ãðèíà), êîòî-
ðàÿ ìîæåò ïðîÿâëÿòüñÿ â ëèíåéíîé öåïî÷êå ñ
äåôåêòàìè, à òàêæå â ñîëèòîííûõ çàäà÷àõ íåëè-
íåéíîé öåïî÷êè. Ýòà îñîáåííîñòü äîïóñêàåò ñóùå-
ñòâîâàíèå ëîêàëèçîâàííûõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè,
ïðèíàäëåæàùèìè ñïëîøíîìó ñïåêòðó èçó÷àåìîé
öåïî÷êè. Óñëîâèÿ ðåàëèçàöèè ïîäîáíûõ ñîñòîÿ-
íèé â ðàñïðåäåëåííîé ñèñòåìå àíàëîãè÷íû òàêîâûì
äëÿ äèñêðåòíîé öåïî÷êè, ïîëó÷åííûì â pàçä. 1.
Ïðîáëåìà âûñîêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé. Ñòàí-
äàðòíûé ìåòîä êîíòèíóàëüíîãî îïèñàíèÿ âûñîêî-
÷àñòîòíûõ (|ω − ωm| << ωm) ñîáñòâåííûõ êîëåáà-
íèé äèñêðåòíîé öåïî÷êè ñâîäèòñÿ ê ââåäåíèþ
îãèáàþùåé òåõ àòîìíûõ ñìåùåíèé, ïðè êîòîðûõ
ñîñåäíèå àòîìû êîëåáëþòñÿ â ïðîòèâîôàçå. Åñëè
çàïèñàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) â âèäå
u
n
= (−1)nΦ
n
, (53)
òî â óêàçàííîé îáëàñòè ÷àñòîò ôóíêöèÿ Φn áóäåò
ñëàáî çàâèñåòü îò n, è â êîíòèíóàëüíîì ïðèáëè-
æåíèè äëÿ íåå ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
(ω
m
2 − ω2)Φ + s1
2
∂2Φ
∂x2 + B2
∂4Φ
∂x4 = 0 , (54)
ãäå s1
2 = α + 4β è B2 = (α + 16β)/12. ßñíî, ÷òî
Φ(x) èìååò ñìûñë îãèáàþùåé âûñîêî÷àñòîòíûõ
êîëåáàíèé.
Îòâå÷àþùèé óðàâíåíèþ (54) çàêîí äèñïåðñèè
ìîæíî ïîëó÷èòü èç (4), ïîëàãàÿ k = π + q è ðàñ-
êëàäûâàÿ (4) ïî ìàëûì q ñ òî÷íîñòüþ äî ÷åòâåð-
òûõ ñòåïåíåé:
ω2(q) = ω
m
2 − s1
2q2 + B2q4 . (55)
ßñíî, ÷òî (55) ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç (54)
ïðè ïîäñòàíîâêå Φ(x) = Φ0 exp (iqx). Ìû âèäèì,
÷òî çàêîí äèñïåðñèè âèäà (55) ïðè áîëüøèõ q
îòâå÷àåò íåôèçè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ ÷àñòîò êîëå-
áàíèé öåïî÷êè àòîìîâ âáëèçè âåðõíåãî êðàÿ ïîëîñû
ñïëîøíîãî ñïåêòðà. Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå, ïðî-
ïîðöèîíàëüíîå q â ÷åòâåðòîé ñòåïåíè, «ïîðòèò»
çàêîí äèñïåðñèè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå
íåîáõîäèìî îãðàíè÷èâàòüñÿ ëèøü êâàäðàòè÷íûì
ïðèáëèæåíèåì ïî q.
Ïîñêîëüêó ìû ïðèíÿëè, ÷òî α > 4β > 0, ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî âêëþ÷åíèå ÷åòâåðòîé ïðîèçâîäíîé â
óðàâíåíèå (54) äëÿ ýòîé ìîäåëè íåêîððåêòíî, è
äëèííîâîëíîâîå îïèñàíèå ñòàöèîíàðíûõ êîëåáà-
íèé ñ ÷àñòîòîé ω ≈ ωm äîëæíî îãðàíè÷èâàòüñÿ
ó÷åòîì âòîðîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïðîèçâîäíîé
â óðàâíåíèè (54). Ìàëûì q îòâå÷àåò óñëîâèå
|ωm
2 − ω2| << α, êîòîðîå è îïðåäåëÿåò îáëàñòü ïðè-
ìåíèìîñòè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðî-
ãî ïîðÿäêà äëÿ îãèáàþùåé âûñîêî÷àñòîòíûõ êî-
ëåáàíèé.
Ðîëü âûñøåé äèñïåðñèè â ñîëèòîííîé äèíà-
ìèêå. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî àñèìïòîòèêà ôóíê-
öèè Ãðèíà (48) ñîñòîèò èç äâóõ ýêñïîíåíò, ïî-
çâîëÿåò ñêàçàòü íå÷òî î ñîëèòîííûõ ðåøåíèÿõ
ñîîòâåòñòâóþùåãî íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ, íàïðè-
ìåð óðàâíåíèÿ (2). Ïåðåïèøåì ýòî óðàâíåíèå äëÿ
ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ Ψ = z(x) exp (−iEt) â áåç-
ðàçìåðíîì âèäå:
d4z
dx4 −
d2z
dx2 + Ωz = z3 , (56)
ñîäåðæàùåì òîëüêî îäèí ïàðàìåòð Ω, ïðîïîðöèî-
íàëüíûé E − E0 .
Äîïóñòèì, ÷òî (56) îáëàäàåò ÷åòíûì ñîëèòîí-
íûì ðåøåíèåì z(x) = ϕs(x) = ϕs(−x). Àíàëèçèðóÿ
âñå ÷ëåíû â óðàâíåíèè (56), ïîëó÷aeì
ϕ
s
(x) =
M
ch2 κx
, M = const . (57)
Ðàçëîæåíèå (57) íà áåñêîíå÷íîñòè î÷åâèäíî:
À. Ì. Êîñåâè÷, Ñ. Å. Ñàâîò÷åíêî
744 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7
ϕ
s
(x) = 4M e
−2κ|x| − 2e−4κ|x|
. (58)
Ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé â (58) è (48), â
êîòîðîì ñëåäóåò ïîëîæèòü A2= s2 = 1 è Ω = ω0
2 − ω2,
ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî
4κ2 = κ1
2 =
1
2 1 − √1 − 4Ω ,
16κ2 = κ2
2 =
1
2
1 + √1 − 4Ω .
(59)
Èç (59) ñëåäóåò
κ2 = 0,5 è Ω = 0,16 . (60)
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñîëèòîííîå ðåøåíèå íåëè-
íåéíîãî óðàâíåíèÿ ñóùåñòâóåò, òî åãî îñíîâíûå
ïàðàìåòðû îïðåäåëÿþòñÿ ëèíåàðèçîâàííûì óðàâ-
íåíèåì. Ñàìî ðåøåíèå, åñòåñòâåííî, íàõîäèòñÿ èç
íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (56). Ðåøåíèå (57) ñ ïà-
ðàìåòðàìè (60) áûëî âïåðâûå íàéäåíî â ðàáîòå [8].
Àíàëèç ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñðåäû ñ âûñ-
øåé äèñïåðñèåé ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêà. Ñèòóà-
öèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèÿ (45) èçìåíÿåòñÿ,
åñëè β < 0.  ýòîì ñëó÷àå s2 = α + 4|β| , A2 =
= − (|β| + s2/12) < 0 è ñôîðìóëèðîâàííîå âûøå óñ-
ëîâèå |A2| >> s2 íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ. Ñëåäîâà-
òåëüíî, ëèíåéíîå óðàâíåíèå (45) íåïðèãîäíî äëÿ
îïèñàíèÿ äëèííîâîëíîâûõ ñòàöèîíàðíûõ êîëåáà-
íèé äèñêðåòíîé öåïî÷êè. Îäíà èç ïðè÷èí ýòîãî
çàêëþ÷àåòñÿ â íåôèçè÷íîñòè ïîâåäåíèÿ çàêîíà
äèñïåðñèè (46) ñ A2 < 0 ïðè áîëüøèõ k. Â ýòîì
ñëó÷àå êîíòèíóàëüíîå îïèñàíèå ñ ïîìîùüþ óðàâ-
íåíèÿ òèïà (45) äîïóñòèìî òîëüêî ñ èñïîëüçîâà-
íèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðîñòðàí-
ñòâåííîé ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà.
Îäíàêî ñóùåñòâóåò ñèòóàöèÿ, â êîòîðîé âîçìî-
æåí êîíòèíóàëüíûé ýêâèâàëåíò óðàâíåíèÿ (3)
ïðè β < 0. Èìååòñÿ â âèäó îïèñàíèå äèíàìè÷åñêî-
ãî âîçáóæäåíèÿ öåïî÷êè, ñòàöèîíàðíî ïåðåìåùà-
þùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ V, êîãäà ðåøåíèå u(x, t) =
= u(x − Vt).  ýòîì ñëó÷àå âìåñòî (45) ïîÿâëÿåòñÿ
óðàâíåíèå
ω0
2u − γ2
∂2u
∂x2
− B2∂4u
∂x4
= 0, (61)
ãäå γ2 = s2 − V2, s2 = α + 4|β| è B2 = (α + 16|β|)/12.
Âîëíîâûå ÷èñëà k, îòâå÷àþùèå çàäàííîé ñêîðîñ-
òè V, íàõîäÿòñÿ èç äèñïåðñèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ
ω0
2 + γ2k2 − B2k4 = 0 (62)
è îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè
k1,2
2 =
1
2B2
γ2 ± √γ4 + 4B2ω0
2 . (63)
Âèäíî, ÷òî óñëîâèå äëèííîâîëíîâîñòè k << 1 âû-
ïîëíÿåòñÿ, åñëè γ2 << B2 è ω0
2 << B2.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (61) ïî-ïðåæíåìó äâóïàð-
öèàëüíîå: îäíà ïîðöèÿ èìååò âèä ïëîñêîé âîëíû
ñ êâàäðàòàìè âîëíîâîãî ÷èñëà
k1
2 =
1
2B2
√γ4 + 4B2ω0
2 + γ2
, (64)
à âòîðàÿ — ëîêàëèçîâàíà, è êîýôôèöèåíò óáûâà-
íèÿ åå àìïëèòóäû ñ ðàññòîÿíèåì çàäàåòñÿ âûðà-
æåíèåì
κ2
2 =
1
2B2
√γ4 + 4B2ω0
2 − γ2
. (65)
ßñíî, ÷òî âòîðàÿ (ëîêàëèçîâàííàÿ) ïîðöèÿ
èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë ëèáî ïðè íàëè÷èè äâè-
æóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ V âíåøíåé ïðèëîæåííîé ê
öåïî÷êå ñèëû, ëèáî ïðè àíàëèçå àñèìïòîòèê ïîëÿ
ñîëèòîíà, äâèæóùåãîñÿ ñ óêàçàííîé ñêîðîñòüþ.
Ëþáîïûòíî, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (64) è (65) èìåþò
ñìûñë êàê ïðè V < s, òàê è ïðè V > s, íî íåïðå-
ìåííî ïðè óñëîâèè |γ2| << B2. ×òî æå êàñàåòñÿ
íåîáõîäèìûõ óñëîâèé, òî îíè â ïðèíöèïå ìîãóò
âûïîëíÿòüñÿ äàæå ïðè β = 0. Äðóãèìè ñëîâàìè,
äàæå â ñëó÷àå öåïî÷êè ñ âçàèìîäåéñòâèåì òîëüêî
áëèæàéøèõ ñîñåäåé óðàâíåíèå (61) èìååò ôèçè-
÷åñêèé ñìûñë ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ. Ïîñëåä-
íåå îáñòîÿòåëüñòâî îïðàâäûâàåò äëèííîâîëíîâîå
îïèñàíèå áåçûçëó÷àòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñîëèòîíà â
îáîáùåííîé ìîäåëè Ôðåíêåëÿ—Êîíòîðîé [9,10].
Ñèòóàöèÿ ñ ó÷åòîì âûñøåé ïðîñòðàíñòâåííîé
äèñïåðñèè â êîíòèíóàëüíîì ïðèáëèæåíèè ïðè
îïèñàíèÿ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè âáëèçè âåðõíåãî
êðàÿ ïîëîñû ñïëîøíîãî ñïåêòðà òàêæå ìåíÿåòñÿ,
åñëè β < 0. Ïîëàãàÿ k = π + q â (4) è ðàñêëàäûâàÿ
åãî ïî ìàëûì q, ìîæíî ïîëó÷èòü çàêîí äèñïåðñèè
ω2(q) = ω
m
2 − s2q2 − C2q4, (66)
ãäå s2 = α − 4|β| > 0 è C2 = (16|β| − α)/12 > 0. Îò-
ñþäà îïðåäåëÿþòñÿ èíòåðåñóþùèå íàñ âîëíîâûå
÷èñëà:
q1,2
2 =
1
2A2
−s2 ± √s4 − 4C2(ω2 − ω
m
2 ) . (67)
Ïîñêîëüêó äëÿ âñåõ êîðíåé (67) äîëæíî âû-
ïîëíÿòüñÿ òðåáîâàíèå q1,2
2 << 1, êîíòèíóàëüíîå
ïðèáëèæåíèå, îñíîâàííîå íà èñïîëüçîâàíèè âûñ-
øåé äèñïåðñèè â (66), ïðèãîäíî äëÿ îïèñàíèÿ
êîëåáàíèé äèñêðåòíîé ëèíåéíîé öåïî÷êè àòîìîâ
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè îäíîìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7 745
ïðè ÷àñòîòàõ |ωm
2 − ω2| << C2, åñëè âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå s2 << C2. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå â
äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè äëÿ îãèáàþùåé
âûñîêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé öåëåñîîáðàçíî ó÷è-
òûâàòü ÷åòâåðòóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ ïðîèç-
âîäíóþ.
Àâòîðû áëàãîäàðíû Ì. Ì. Áîãäàíó çà ïëîäî-
òâîðíîå îáñóæäåíèå ðàáîòû â õîäå åå âûïîëíå-
íèÿ. Èññëåäîâàíèÿ ïîääåðæàíû ïðîåêòîì Ìèíèñ-
òåðñòâà íàóêè è òåõíîëîãèè Óêðàèíû (2.4/163).
Ïðèëîæåíèå
Îáîáùåíèå ôóíêöèè Ãðèíà íà òðåõìåðíûé
ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé
Îáîáùåíèåì óðàâíåíèÿ (45) äëÿ ìîäåëè òðåõ-
ìåðíîé ñðåäû â êîíòèíóàëüíîì ïðèáëèæåíèè
ìîæåò ñëóæèòü óðàâíåíèå [7]
∂2u
∂t2
+ ω0
2u − s2∆ u + A2∆ ∆ u = 0, (Ï.1)
ãäå â ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå îïåðàòîð
Ëàïëàñà ∆ = (1/r2) ∂(r2∂/∂r)/∂r. Î÷åâèäíî, ãàð-
ìîíè÷åñêèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (Ï.1) èìåþò
çàêîí äèñïåðñèè ñòàöèîíàðíûõ êîëåáàíèé âèäà
(46), ãäå ïîä k ñëåäóåò ïîíèìàòü ìîäóëü âîëíîâî-
ãî âåêòîðà.
Ôóíêöèÿ Ãðèíà òðåõìåðíîãî êðèñòàëëà ðàâíà
G(r) =
1
(2π)3
∫ eikrd3k
ω2 − ω2(k)
. (Ï.2)
Íåòðóäíî âû÷èñëèòü ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ ñòàöèî-
íàðíûõ êîëåáàíèé ñ çàêîíîì äèñïåðñèè (46) äëÿ
ðàçëè÷íûõ ÷àñòîòíûõ äèàïàçîíîâ.
Ïðè ÷àñòîòàõ íèæå ñïëîøíîãî ñïåêòðà
ωc < ω < ω0 , ãäå ωc
2 = ω0
2 − s4/4A2, âîëíîâûå
÷èñëà (47) ÿâëÿþòñÿ ÷èñòî ìíèìûìè, kj = iκj
(j = 1, 2), è ôóíêöèÿ Ãðèíà ðàâíà
G(r) = −
1
4πA2
e−κ
1
r − e−κ
2
r
(κ1
2 − κ2
2) r
. (Ï.3)
 ñëó÷àå ω < ωc âîëíîâûå ÷èñëà (47) ñòàíîâÿòñÿ
êîìïëåêñíûìè (κ1,2 = κ ± iq) è
G(r) =
1
8πA2
sin (qr)
qκ
e−κr
r . (Ï.4)
Ïðè ÷àñòîòàõ ñïëîøíîãî ñïåêòðà ω > ω0 èìååò-
ñÿ îäíî âåùåñòâåííîå âîëíîâîå ÷èñëî k (50) è
îäíî ÷èñòî ìíèìîå iκ (51). Ñôåðè÷åñêè ñèììåò-
ðè÷íàÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä
G(r) =
1
4πA2
eikr − e−κr
(k2 + κ2) r
. (Ï.5)
Ñ ïîìîùüþ (Ï.5) íåòðóäíî âû÷èñëèòü ïëîòíîñòü
êîëåáàíèé:
g(ω2) =
1
(2π)2
√s4 + 4A(ω2 − ω0
2) − s2
2A2[s4 + 4A(ω2 − ω0
2)]
. (Ï.6)
Ïîëó÷åííûå ôóíêöèè Ãðèíà ìîãóò áûòü èñ-
ïîëüçîâàíû ïðè èçó÷åíèè êîëåáàíèé êðèñòàëëà ñ
òî÷å÷íûì äåôåêòîì.
1. S. Flach and C. Willis, Phys. Rep. 295, 181 (1998).
2. À. Ì. Êîñåâè÷, Òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, Âèùà
øêîëà, Õàpüêîâ (1988).
3. I. M. Lifshitz and A. M. Kosevich, Rep. Proc. Phys. 19
(1966). (Ðóñ. ïåp. È. Ì. Ëèôøèö, À. Ì. Êîñåâè÷, ñ.
142, â êí. : È. Ì. Ëèôøèö, Èçápàííûå òpóäû, Íàóêà,
Ìîñêâà (1987).
4. A. V. Buryak and N. N. Akhmediev, Phys. Rev. E51, 3572
(1995).
5. A. M. Kosevich and A. V. Tutov, Phys. Lett. À248, 271
(1998).
6. À. Ì. Êîñåâè÷, Ä. Â. Ìàöîêèí, Ñ. Å. Ñàâîò÷åíêî, ÔÍÒ
25, 63 (1999).
7. À. È. Áóçäèí. Â. Í. Ìåíüøîâ, Â. Â. Òóãóøåâ, ÆÝÒÔ
91, 2204 (1986).
8. A. Hook and M. Karlsson, Opt. Lett. 18, 1390 (1993).
9. M. Bogdan and A. Kosevich, in: Nonlinear Coherent Struc-
tures in Physics and Biology, K. H. Spatschek and F. G.
Mertens (eds.) Plenum Press, New York, 329, 373 (1994).
10. M. Bogdan and A. Kosevich, Proc. Estonian Acad. Sci.
Phys. Math. 46, 14 (1997).
Peculiarities of the dynamics of a one
dimensional discrete systems with interaction
of not only the nearest neighbors and the role
of high dispersion in soliton dynamics
A. M. Kosevich and S. E. Savotchenko
Effect of interaction of not only nearest neigh-
bors on dynamics of both perfect systems and sys-
tems with point defects is analyzed. The Green func-
tions for stationary vibrations of the chain for every
frequency are constructed. It is shown that the
Creen function becomes bipartial with taking into
account the interaction with nearest neighbors, and
the character of these two components is determines
essentially by the self frequency. The Green function
for the continuous spectrum of small vibrations has
got one component of a standing wave type and
À. Ì. Êîñåâè÷, Ñ. Å. Ñàâîò÷åíêî
746 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7
another of a wave localized near the perturbation
source. Such Green function describe so-called quasi-
localized vibrations. It is found that there are special
discrete frequencies inside the continuous spectrum
for which the quasi-localized vibrations transform
into localized ones (not existing to infinity). The
conditions under which the differential equations
with the fourth spatial derivative may be applied to
describe the long-wave vibrations of the atomic
chain are considered. Relations between the atomic
parameters that permit the application of such equa-
tions are formulated. The asymptotics of soliton
fields in a nonlinear medium with a spatial disper-
sion are discussed. The majority of the soliton pa-
rameters are shown to be determined by the disper-
sion relation of the linearized equation.
Îñîáåííîñòè äèíàìèêè îäíîìåðíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 1999, ò. 25, ¹ 7 747
|