Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей
Разработана методика для определения температурного поля по сечению составного пьезокерамического преобразователя при индукционной пайке.
Збережено в:
| Дата: | 1998 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України
1998
|
| Назва видання: | Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140782 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей / С.В. Гонтовой // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 1998. — № 3-4. — С. 38-41. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-140782 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1407822025-02-10T00:57:00Z Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей Гонтовой, С.В. Технологические процессы Разработана методика для определения температурного поля по сечению составного пьезокерамического преобразователя при индукционной пайке. The procedure for determination of temperature field by cross-section of component piezoelectric ceramics transducer at induction soldering has been developed. 1998 Article Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей / С.В. Гонтовой // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 1998. — № 3-4. — С. 38-41. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 2225-5818 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140782 ru Технология и конструирование в электронной аппаратуре application/pdf Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Технологические процессы Технологические процессы |
| spellingShingle |
Технологические процессы Технологические процессы Гонтовой, С.В. Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| description |
Разработана методика для определения температурного поля по сечению составного пьезокерамического преобразователя при индукционной пайке. |
| format |
Article |
| author |
Гонтовой, С.В. |
| author_facet |
Гонтовой, С.В. |
| author_sort |
Гонтовой, С.В. |
| title |
Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей |
| title_short |
Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей |
| title_full |
Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей |
| title_fullStr |
Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей |
| title_sort |
математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей |
| publisher |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України |
| publishDate |
1998 |
| topic_facet |
Технологические процессы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/140782 |
| citation_txt |
Математическое моделирование процесса индукционного нагрева составных пьезокерамических преобразователей / С.В. Гонтовой // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 1998. — № 3-4. — С. 38-41. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| work_keys_str_mv |
AT gontovoisv matematičeskoemodelirovanieprocessaindukcionnogonagrevasostavnyhpʹezokeramičeskihpreobrazovatelei |
| first_indexed |
2025-12-02T08:43:04Z |
| last_indexed |
2025-12-02T08:43:04Z |
| _version_ |
1850385350897172480 |
| fulltext |
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890ÒÅÕÍÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 1998, ¹ 3�4
38
Ñ. Â. ÃÎÍÒÎÂÎÉ Äàòà ïîñòóïëåíèÿ â ðåäàêöèþ
08.10 1997 ã.
Îïïîíåíò Í. È. ÍÈÊÈÔÎÐÎÂ
Ðàçðàáîòàíà ìåòîäèêà äëÿ îïðåäåëå-
íèÿ òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ ïî ñå÷åíèþ
ñîñòàâíîãî ïüåçîêåðàìè÷åñêîãî ïðåîá-
ðàçîâàòåëÿ ïðè èíäóêöèîííîé ïàéêå.
The procedure for determination of temperature
field by cross-section of component piezoelectric
ceramics transducer at induction soldering has
been developed.
Ñîñòàâíîé ïüåçîêåðàìè÷åñêèé ïðåîáðàçîâàòåëü
(ÑÏÏ) äëÿ ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèõ ôèëüòðîâ ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé ìåòàëëè÷åñêèé ðåçîíàòîð ñ óñòàíîâ-
ëåííûìè íà íåì ïüåçîýëåìåíòàìè è ñëóæèò äëÿ ïðå-
îáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêèõ êîëåáàíèé â ìå-
õàíè÷åñêèå è íàîáîðîò. Ïðè èçãîòîâëåíèè ÑÏÏ ñó-
ùåñòâóåò íåîáõîäèìîñòü ñîåäèíåíèÿ êåðàìè÷åñêèõ
ïüåçîýëåìåíòîâ ñ ìåòàëëè÷åñêèì ðåçîíàòîðîì. Äëÿ
âûïîëíåíèÿ ýòîé îïåðàöèè ÷àùå âñåãî ïðèìåíÿåòñÿ
ïàéêà; íàèáîëåå ïåðñïåêòèâíûì ñïîñîáîì ÿâëÿåòñÿ
èíäóêöèîííàÿ ïàéêà. Ïðè ïðîåêòèðîâàíèè òåõíîëî-
ãè÷åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ äëÿ èíäóêöèîííîé ïàéêè
âîçíèêàåò ðÿä çàäà÷, îïðåäåëÿåìûõ ñïåöèôèêîé
îáúåêòà. Âàæíîé ïðåäñòàâëÿåòñÿ çàäà÷à ìèíèìèçà-
öèè óäåëüíîé ìîùíîñòè, çàòðà÷èâàåìîé íà íàãðåâà-
íèå çàãðóçêè (ìåòàëëè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà ñ ïüåçî-
ýëåìåíòàìè) äî òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ ïðèïîÿ. Èí-
äóêöèîííûé íàãðåâ ïîçâîëÿåò äîñòè÷ü ýòîãî ïóòåì
óâåëè÷åíèÿ ïëîòíîñòè ïîâåðõíîñòíûõ òîêîâ â ìå-
òàëëå è ïîâûøåíèÿ äèíàìèêè íàãðåâà.
Ïðàêòè÷åñêîìó ðåøåíèþ óêàçàííîé ïðîáëåìû
ïîìîæåò ïðåäëàãàåìîå ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå
íàãðåâà çàãðóçêè â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå èíäóê-
òîðà, êîòîðîå ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà ýòàïà: íà
ïåðâîì îïðåäåëÿþòñÿ óäåëüíàÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿå-
ìàÿ â ñèñòåìå «èíäóêòîð � çàãðóçêà», è åå ñâÿçü ñ
ïàðàìåòðàìè èíäóêòîðà è ãåíåðàòîðà âûñîêî÷àñòîò-
íûõ êîëåáàíèé; íà âòîðîì íàõîäèòñÿ ðàñïðåäåëåíèå
òåìïåðàòóðû ïî ñå÷åíèþ ìåòàëëè÷åñêîãî ðåçîíàòî-
ðà (ÌÐ), ïðè ýòîì èñõîäíûìè ïðèíèìàþòñÿ äàí-
íûå, ïîëó÷åííûå íà ïåðâîì ýòàïå. Íà ðèñ. 1 ïîêà-
çàíû âíåøíèé âèä ÑÏÏ è åãî ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ,
ïàðàëëåëüíîé X0Z, äëÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ òåì-
ïåðàòóðíîå ïîëå â ïðîöåññå ïàéêè.
Îïðåäåëåíèå óäåëüíîé ìîùíîñòè â ñèñòåìå
«èíäóêòîð � çàãðóçêà»
Äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé çàäà÷è ìîæíî ïðåäëîæèòü
ñëåäóþùèé ïóòü. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ðàñïðîñòðà-
íåííûé â àâòîìàòèçèðîâàííûõ èíäóêöèîííûõ óñòà-
íîâêàõ êàíàë ðåãóëèðîâàíèÿ òåìïåðàòóðû çàãðóçêè
ñ ïîìîùüþ òîêà èíäóêòîðà [1, ñ. 221]. Êàê èçâåñò-
íî, çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû i-òîé òî÷êè çàãðóçêè
Θi îò òîêà èíäóêòîðà íîñèò íåëèíåéíûé õàðàêòåð, è
åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïîñëåäîâàòåëüíûì âêëþ÷å-
íèåì äâóõ ôèêòèâíûõ çâåíüåâ (ñì. ðèñ. 2).
Âõîäîì ïåðâîãî çâåíà ÿâëÿåòñÿ òîê èíäóêòîðà
Iè, âûõîäîì � óäåëüíàÿ ìîùíîñòü íà ïîâåðõíîñòè
çàãðóçêè p0. Äëÿ âòîðîãî çâåíà âõîä � ð0, âûõîä
� òåìïåðàòóðà Θi.
Óêðàèíà, ã. Àë÷åâñê
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ
ÏÐÎÖÅÑÑÀ ÈÍÄÓÊÖÈÎÍÍÎÃÎ ÍÀÃÐÅÂÀ
ÑÎÑÒÀÂÍÛÕ ÏÜÅÇÎÊÅÐÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÅÉ
à)
y
Ðèñ. 1.
à � ÑÏÏ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
ÏÝ � ïüåçîýëåìåíòû; ÌÐ � ìåòàëëè÷åñêèé ðåçîíàòîð;
á � ñå÷åíèå ÑÏÏ ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè X0Z:
l � äëèíà ÑÏÏ; 2r � òîëùèíà ÌÐ
á)
2r
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789ÒÅÕÍÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 1998, ¹ 3�4
39
Ïåðâîå çâåíî ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì è ïðàêòè÷åñ-
êè áåçûíåðöèîííûì, ñâÿçü ìåæäó åãî âõîäîì è âû-
õîäîì (ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ) îïèñûâàåòñÿ âûðà-
æåíèåì
, (1)
ãäå k � êîýôôèöèåíò, îïðåäåëÿåìûé èç ýëåêòðè-
÷åñêîãî ðàñ÷åòà èíäóêòîðà.
Âòîðîå çâåíî ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé WΘ(p) â
ñõåìå çàìåùåíèÿ «èíäóêòîð � çàãðóçêà» ÿâëÿåòñÿ
ëèíåéíûì ïðè ïîñòîÿíñòâå òåïëîôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ
çàãðóçêè. Ôóíêöèÿ WΘ(p) â îáùåì ñëó÷àå çàâèñèò
îò âûáîðà êîîðäèíàò òî÷êè i â îáúåìå çàãðóçêè, ïî
òåìïåðàòóðå êîòîðîé âåäåòñÿ ðåãóëèðîâàíèå åå òåï-
ëîâîãî ðåæèìà. Ýòà òî÷êà äîëæíà áûòü äîñòóïíà
äëÿ íàáëþäåíèÿ, à åå òåìïåðàòóðà äîñòàòî÷íî àäåê-
âàòíî îòðàæàòü òåìïåðàòóðíîå ïîëå âñåé çàãîòîâêè.
Ýòèì òðåáîâàíèÿì îòâå÷àåò òî÷êà, âûáðàííàÿ íà
ïîâåðíîñòè ÌÐ.
Îñíîâíûìè ôàêòîðàìè, äåéñòâóþùèìè íà ñõå-
ìó, ÿâëÿþòñÿ ÷àñòîòà òîêà èíäóêòîðà f è íàëè÷èå
çàæèìíîãî ïðèñïîñîáëåíèÿ, ïîãëîùàþùåãî ýëåêòðî-
ìàãíèòíóþ ýíåðãèþ â ïîëå èíäóêòîðà, ïðè÷åì èç-
ìåíåíèå ÷àñòîòû ñóùåñòâåííî ñêàçûâàåòñÿ íà çíà-
÷åíèè êîýôôèöèåíòà k. Âëèÿíèå ÷àñòîòû òîêà íà
ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ WΘ(p) âûðàæåíî íå íàñòîëü-
êî ÿâíî.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà k ïðåäñòàâèì
óäåëüíóþ ïîâåðõíîñòíóþ ìîùíîñòü ð0 êàê îòíîøå-
íèå ìîùíîñòè P2, âûäåëÿþùåéñÿ â çàãðóçêå, ê ïëî-
ùàäè åå ïîâåðõíîñòè S2:
p0=Ð2/S2. (2)
Àêòèâíóþ ìîùíîñòü â çàãðóçêå (P2) ìîæíî
îïðåäåëèòü, èñïîëüçóÿ òåîðåìó Óìîâà�Ïîéòèíãà
äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé [2, ñ. 346�350; 3, ñ. 135]:
(3)
Ëåâàÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïî-
òîê âåêòîðà Ïîéòèíãà ñêâîçü çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü
S, îãðàíè÷èâàþùóþ îáúåì V.  ñîîòâåòñòâèè ñ çà-
êîíîì Äæîóëÿ�Ëåíöà â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîð-
ìå γE2 � ýíåðãèÿ, âûäåëÿþùàÿñÿ â âèäå òåïëîòû â
åäèíèöå îáúåìà â åäèíèöó âðåìåíè:
(4)
Åñëè ïîëå íå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè, òî ñïðà-
âåäëèâî âûðàæåíèå
(5)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìîùíîñòè P2 ïîëó÷èì:
(6)
ãäå V � îáúåì çàãðóçêè.
Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Å ìîæíî
îïðåäåëèòü èñõîäÿ èç ïàðàìåòðîâ èíäóêòîðà è ãåíå-
ðàòîðà Â×-êîëåáàíèé. Îïóñòèâ ïðîìåæóòî÷íûå ïðå-
îáðàçîâàíèÿ, çàïèøåì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå:
(7)
Âûðàæåíèÿ (6) è (7) óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ïàðà-
ìåòðîâ èíäóêòîðà è ãåíåðàòîðà Â×-êîëåáàíèé ñ ìîù-
íîñòüþ, âûäåëÿþùåéñÿ â ìåòàëëè÷åñêîé ïîäëîæêå.
Èç âûðàæåíèé (2) è (7) îïðåäåëèì êîýôôèöèåíò k:
(8)
Èññëåäîâàíèå äèíàìèêè íàãðåâà ÑÏÏ
â èíäóêòîðå
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü èíäóêöèîííîãî íàãðåâà
ÑÏÏ ñîçäàåòñÿ ñ öåëüþ âûÿñíåíèÿ ôèçè÷åñêîé êàð-
òèíû ïðîöåññà íàãðåâà è èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ ðå-
æèìîâ ãåíåðàòîðà âûñîêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé íà
äèíàìèêó íàãðåâà ñîñòàâíîãî ïüåçîïðåîáðàçîâàòå-
ëÿ.  ìîäåëè ó÷òåíû âëèÿíèå âíóòðåííèõ èñòî÷íè-
êîâ òåïëà è íåîäíîðîäíîñòü çàãðóçêè.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà ïîñòðîåíà íà
îñíîâå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, êîòîðîå îòíî-
ñèòñÿ ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ è â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ðèñ. 2. Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà çàìåùåíèÿ èíäóêòîðà ñ
çàãðóçêîé (F � âîçìóùåíèå)
Iè
F1
p0
F2
WΘ(p)
Θi
ãäå µ, ε è γ �
E è H �
ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü, äèýëåêòðè÷åñ-
êàÿ ïðîíèöàåìîñòü è óäåëüíàÿ ïðîâîäè-
ìîñòü ìàòåðèàëà ðåçîíàòîðà, ñîîòâåò-
ñòâåííî;
íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ, ñîîòâåòñòâåííî.
2
è0 kIp =
∫ ∫ ∫
µ+ε+γ=∏
S V V
dV
ÇE
ät
ä
dVEdS ,
22
–
22
2
r
.– 2EdV γ=∏div
.0
22
22
=
µ+ε HE
ät
ä
∫ γ=γ=
V
VEdVEP ,22
2
( )
( ) ,
è
2
pr
px
S
LIrp
E
sh
sh
a
⋅⋅
γµ
=
w
ãäå �
r �
L, w, Sè �
ω �
µà �
x �
ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ ýëåêòðî-
ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ìàòåðèàë ðåçîíà-
òîðà;
ïîëîâèíà òîëùèíû ðåçîíàòîðà;
ñîîòâåòñòâåííî èíäóêòèâíîñòü, ÷èñ-
ëî âèòêîâ è ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî
ñå÷åíèÿ èíäóêòîðà;
êðóãîâàÿ ÷àñòîòà ýëåêòðîìàãíèòíî-
ãî ïîëÿ;
àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàå-
ìîñòü ìàòåðèàëà ðåçîíàòîðà;
êîîðäèíàòà.
γωµ=
à
p
( )
( ) .
2
èà
2
2
⋅⋅
µγ
=
pr
px
S
Lrp
S
V
k
sh
sh
w
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890ÒÅÕÍÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 1998, ¹ 3�4
40
(9)
Óðàâíåíèå ðåøàëîñü ìåòîäîì Ãàëåðêèíà äëÿ âà-
ðèàöèîííûõ çàäà÷ [4, ñ. 716; 5 ñ. 603�605]. Ñî-
ãëàñíî ýòîìó ìåòîäó êîððåêòíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è
â äàííîì ñëó÷àå âîçìîæíà ïðè íàëè÷èè äâóõ ãðàíè÷-
íûõ è îäíîãî íà÷àëüíîãî óñëîâèé. Äëÿ èõ îïðåäåëå-
íèÿ èñïîëüçîâàëàñü ñõåìà, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 1.
Çäåñü íåîáõîäèìî ñäåëàòü íåêîòîðûå äîïóùå-
íèÿ, êîòîðûå îáëåã÷àò ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà-
÷è. Èç àíàëèçà ïðîöåññà íàãðåâà ìåòàëëà â èíäóê-
òîðå ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî òåìïåðàòóðíîå ïîëå
âäîëü îñåé y è z ïðàêòè÷åñêè ñòàöèîíàðíî (êðàåâû-
ìè ýôôåêòàìè íà òîðöàõ ïîäëîæêè ìîæíî ïðåíåá-
ðå÷ü), êðîìå òîãî, â äàííîì ñëó÷àå l >>r.
Íà îñíîâàíèè ïðèíÿòûõ äîïóùåíèé ìîæíî çàïèñàòü:
è (10)
 òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ïëîñêîé è
ñîâìåñòíî ñ ãðàíè÷íûìè è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
T(x,0)=Tl(0) . (14)
Çäåñü g(0,t) � òåïëîâîé ïîòîê ÷åðåç ñå÷åíèå,
ïðîõîäÿùåå ïî îñè 0.
Íà÷àëüíîå óñëîâèå (14) çàäàåò òåìïåðàòóðó ïî
ñå÷åíèþ çàãðóçêè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.
Óðàâíåíèå (11) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (12) è
(13) è íà÷àëüíûì óñëîâèåì (14) ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé êîððåêòíóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è. Äëÿ äàëüíåé-
øåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (11) çàìåíèì òî÷íûå çíà-
÷åíèÿ ôóíêöèé íà ïðèáëèæåííûå, ò. å. ïðèìåíèì
àïïðîêñèìàöèþ.
Âûáåðåì äëÿ òåìïåðàòóðû Ò ñëåäóþùóþ àïïðîê-
ñèìàöèþ îáùåãî âèäà:
k=1,2,…,Ν, (15)
ãäå qk � áàçèñíûå ôóíêöèè.
Ïîäñòàíîâêà àïïðîêñèìàöèè (15) â óðàâíåíèå
(11) ïðèâîäèò ê íåâÿçêå (σ):
(16)
. (17)
Âûðàæåíèå (17) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó N
óðàâíåíèé è ÿâëÿåòñÿ ïðè N=∞ óñëîâèåì σ=0, à
ïðè êîíå÷íîì N � óñëîâèåì ìèíèìàëüíîñòè σ.
Äëÿ âàðèàöèè òåìïåðàòóðû çàïèøåì:
(18)
Ïðîâàðüèðóåì óðàâíåíèå (16) ñ ó÷åòîì (17) è
(18):
(19)
Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (19), ïðèíèìàÿ âî âíè-
ìàíèå ãðàíè÷íîå óñëîâèå (13) è òî, ÷òî ôîðìàëüíî
ïðè õ=r δT=0. Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ
âàðèàöèîííóþ ôîðìóëèðîâêó çàäà÷è:
(20)
Îïðåäåëåíèå àïïðîêñèìèðóþùèõ ñîîòíîøåíèé
Ïðè èñïîëüçîâàíèè äëÿ àïïðîêñèìàöèè êóñî÷íî-
ëèíåéíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé (15) qk ÿâëÿþòñÿ ïî-
ëèíîìàìè Ëàãðàíæà, à êîýôôèöèåíòû àïïðîêñèìà-
öèè Tk èìåþò ñìûñë óçëîâûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè.
Äëÿ ïðîèçâîäíûõ è âàðèàöèé àâòîìàòè÷åñêè ïî-
ëó÷èì (àðãóìåíòû t è x îïóñòèì äëÿ êðàòêîñòè):
(21)
(22)
ãäå T
.
ik � ïðîèçâîäíàÿ òåìïåðàòóðû ïî âðåìåíè;
q′ik � ïðîèçâîäíàÿ ïîëèíîìà ïî êîîðäèíàòå x.
Äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøèõ âû÷èñëåíèé ïåðåéäåì
ê íîðìèðîâàííîé ìåñòíîé êîîðäèíàòå ξ ïðè ïîìîùè
ñîîòíîøåíèÿ:
(23)
Ïðèìåíèâ àïïðîêñèìàöèè (21) è (22), íàéäåì
àïïðîêñèìèðîâàííûé âêëàä ýëåìåíòà i:
(24)
(11)
(12)
(13)
,
2
2
2
2
2
2
ät
äT
äz
Tä
äy
Tä
äx
Tä =
++χ
êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè;
êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè;
ïëîòíîñòü;
óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü.
ãäå �
λ �
ρ �
c �
λ
ρ=χ c
0=
äy
äT .0=
äz
äT
;
2
2
ät
äT
äx
Tä =χ
( ) ( ) ;, tTtrT l=
( ) ;0�,0
0
=λ=
=xä x
ä T
tg
( ) ( ) ,ˆ
1
∑
=
⋅=≈
N
k
kk xqtTTT
.
ˆ
–
ˆ
2
2
σ=λ⋅ρ
äx
Tä
ät
Tä
c
( ) 0
0
∫ → ∞=⋅σ
R
k dxrq
1,2...k
( ).ˆˆ
1
∑
=
δ=δ
N
k
kk xqTT
.0
�
�
�
�
�
0
2
2
∫ =
δχδ⋅
r
dxT
ä x
Tä
Ô
ä t
Tä
∫ =
δ⋅χ+δ
r
dx
ä x
Tä
ä x
Tä
T
ä t
Tä
0
.0
��
�
�
;
ˆ 2
1
∑
=
⋅=
k
i
k
i
k qT
ät
Tä
& ;'
�
2
1
∑
=
⋅=
k
i
k
i
k qT
ä x
Tä
;ˆ
2
1
∑
=
⋅δ=δ
k
i
k
i
k qTT ,'
ˆ 2
1
∑
=
⋅δ=δ
k
i
k
i
k qT
äx
Tä
.
–
–
–
1 i
i
ii
i
h
xx
xx
xx
==ξ
+
.0''
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=ξχδ+
+ξδ
∫∑∑
∫∑∑
+
+
==
==
i
i
i
i
r
r
i
j
i
k
ij
i
j
k
i
k
r
r
i
j
i
k
j
i
i
j
k
i
k
dqq
h
TT
dqqhTT &
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789ÒÅÕÍÎËÎÃÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÎÖÅÑÑÛ
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 1998, ¹ 3�4
41
 ìàòðè÷íîé ôîðìå ïîñëåäíåå âûðàæåíèå èìååò
ñëåäóþùèé âèä:
(25)
ãäå ài, ñi �ìàòðèöû ðàçìåðàìè 2×2:
(26)
Ñóììèðóÿ âêëàäû, ïîëó÷àåì àïïðîêñèìàöèþ èñ-
õîäíîãî óðàâíåíèÿ (24) â âèäå
(27)
ãäå À è Ñ � ãëîáàëüíûå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãëîáàëüíûõ ìàòðèö êîýôôèöèåí-
òîâ íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè àíñàìáëèðîâàíèå âêëà-
äîâ ýëåìåíòîâ ìàòðèö ai è ci.
Èç (27) ñëåäóåò:
(28)
èëè, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè è íåçàâèñèìîñòè êîìïî-
íåíòîâ [δT]T:
(29)
Âûðàæåíèå (29) îïðåäåëÿåò ñèñòåìó îáûêíîâåí-
íûõ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïî-
ñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ìîæåò áûòü ðåøåíà
ëþáûì èç ñóùåñòâóþùèõ ñïîñîáîâ. Äëÿ òîãî, ÷òî-
áû ó÷åñòü ãðàíè÷íîå óñëîâèå (12), íåîáõîäèìî èñ-
êëþ÷èòü ïåðâîå óðàâíåíèå èç ñèñòåìû (29) è ïåðå-
íåñòè â ïðàâóþ ÷àñòü ïåðâûå ñòîëáöû ìàòðèö A è
C êàê èçâåñòíûå.  èòîãå ïîëó÷èì:
(30)
(31)
ãäå f(t), f�(t) �ôóíêöèÿ òåìïåðàòóðû îò âðåìå-
íè íà ïîâåðõíîñòè ìåòàëëè÷åñêîãî ðåçîíàòîðà è åå
ïðîèçâîäíàÿ, ñîîòâåòñòâåííî.
Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíû ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ
òåïëîâîãî ïîëÿ â çàãðóçêå, âûïîëíåííûå ñ ïîìîùüþ
ìàòåìàòè÷åñêîãî ïàêåòà MATLAB. Ïðèâåäåííûå
ãðàôèêè ñîîòâåòñòâóþò ðåàëüíîé ôèçè÷åñêîé êàð-
òèíå íàãðåâà è îòðàæàþò ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòó-
ðû â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè t.
Îïèñàííûé ìåòîä ìîäåëèðîâàíèÿ èíäóêöèîííî-
ãî íàãðåâà ÑÏÏ ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü ïàðàìåòðû è
ðåæèìû ðàáîòû èñòî÷íèêà âûñîêî÷àñòîòíîãî íàïðÿ-
æåíèÿ ñ ôèçè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ïðîöåññà
íàãðåâà: ðàñïðåäåëåíèåì òåìïåðàòóðû è äëèòåëü-
íîñòüþ.
ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÍÛÅ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÈ
1. Àâòîìàòè÷åñêîå óïðàâëåíèå ýëåêòðîòåðìè÷åñêè-
ìè óñòàíîâêàìè / À. Ì. Êðó÷èíèí, Ê. Ì. Ìàõìóäîâ,
Þ. Ì. Ìèðîíîâ è äð.� Ì. : Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1990.
2. Òàìì È. Å. Îñíîâû òåîðèè ýëåêòðè÷åñòâà.� Ì. :
Íàóêà, 1989.
3. Áåññîíîâ Ë. À. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ýëåêòðîòåõ-
íèêè. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.�Ì. : Âûñø. øê. 1983.
4. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîò-
íèêîâ è èíæåíåðîâ / Êîðí Ã., Êîðí Ò.� Ì. : Íà-
óêà, 1984.
5. Áåðåçèí È. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï. Ìåòîäû âû÷èñëå-
íèé: Êí. 1.� Ì. : Ôèçìàòãèç, 1962.
Ðèñ. 3. Ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ïî îñè x íà ðàçëè÷-
íûõ âðåìåííûõ ñëîÿõ
Ò, °Ñ
t
1
t
2
t
3
t
4
tn
r, ìì
6�169
[ ] [ ] ,0=⋅⋅δ+⋅⋅δ iiTiiiTi TTTT ca &
[ ] ;
1
0
22
1
0
12
1
0
21
1
0
11
ξξ
ξξ
==
∫∫
∫∫
dqqdqq
dqqdqq
ha
iiii
iiii
i
i
kj
ia
[ ] .
''''
''''
1
0
22
1
0
12
1
0
21
1
0
11
ξξ
ξξ
χ==
∫∫
∫∫
dqqdqq
dqqdqq
h
ñ
iiii
iiii
i
i
kj
i
ñ
[ ] [ ] ,0=⋅⋅δ+⋅⋅δ TTTT Ti CA &
[ ] ( ) ,0CA =+δ TTT T &
.0=+ TT CA &
,DCA =+ TT&
),(][)('][ tftf il
l
i
il ⋅+⋅= caD
|