О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика

О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика

Рассмотрен пример малоприводной механической системы, которая предоставляет собой маятник, управление движением которого происходит благодаря вращению маховика. Получен в явном виде закон управления вращением маховика, обеспечивающего стабилизацию верхнего положения равновесия маятника....

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2018
Main Author: Хорошун, А.С.
Format: Article
Language:Russian
Published: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2018
Series:Доповіді НАН України
Subjects:
Механіка
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141143
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика / А.С. Хорошун // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 4. — С. 41-46. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-141143
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1411432025-02-23T18:30:45Z О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика Про побудову керування рухом маятника обертанням інерціального маховика On the construction of a control over the pendulum movement by the rotation of an inertial flywheel Хорошун, А.С. Механіка Рассмотрен пример малоприводной механической системы, которая предоставляет собой маятник, управление движением которого происходит благодаря вращению маховика. Получен в явном виде закон управления вращением маховика, обеспечивающего стабилизацию верхнего положения равновесия маятника. Розглянуто приклад малоприводної механічної системи, що являє собою маятник, керування рухом якого відбувається завдяки обертанню маховика. Отримано у явному вигляді закон керування обертанням маховика, який забезпечує стабілізацію верхнього положення рівноваги маятника. An example of the under actuated mechanical system, which is a pendulum, whose motion is controlled by the rotation of a flywheel, is investigated. The explicit form of the control law of the flywheel rotation, which ensures the stabilization of the upper equilibrium position of the pendulum, is obtained. 2018 Article О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика / А.С. Хорошун // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 4. — С. 41-46. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2018.04.041 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141143 517.36 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Механіка
Механіка
spellingShingle Механіка
Механіка
Хорошун, А.С.
О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика
Доповіді НАН України
description Рассмотрен пример малоприводной механической системы, которая предоставляет собой маятник, управление движением которого происходит благодаря вращению маховика. Получен в явном виде закон управления вращением маховика, обеспечивающего стабилизацию верхнего положения равновесия маятника.
format Article
author Хорошун, А.С.
author_facet Хорошун, А.С.
author_sort Хорошун, А.С.
title О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика
title_short О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика
title_full О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика
title_fullStr О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика
title_full_unstemmed О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика
title_sort о построении управления движением маятника вращением инерциального маховика
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2018
topic_facet Механіка
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/141143
citation_txt О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика / А.С. Хорошун // Доповіді Національної академії наук України. — 2018. — № 4. — С. 41-46. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT horošunas opostroeniiupravleniâdviženiemmaâtnikavraŝenieminercialʹnogomahovika
AT horošunas propobudovukeruvannâruhommaâtnikaobertannâmínercíalʹnogomahovika
AT horošunas ontheconstructionofacontroloverthependulummovementbytherotationofaninertialflywheel
first_indexed 2025-11-24T10:21:33Z
last_indexed 2025-11-24T10:21:33Z
_version_ 1849666771416514560
fulltext 41ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 4 © А.С. Хорошун, 2018 Малоприводные механические системы (ММС) характеризуются тем, что количество уп­ равляющих входов в такой системе меньше, чем количество переменных, которые описыва­ ют их поведение. Системы этого класса широко используются при конструировании раз­ личных роботов, аэрокосмических и морских аппаратов (см. [1]), поскольку имеют преиму­ щество в меньшем потреблении энергии и меньшую стоимость. В работе [2] рассмотрен пример ММС и получен закон управления, обеспечивающий глобальную асимптотическую устойчивость состояния равновесия этой системы, а также дана оценка области в пространстве параметров модели, при всех значениях параметров из которой построенное управление также реализует поставленную задачу. В данной статье рассмотрен маятник, управление движением которого происходит с по­ мощью вращения маховика. Эта модель ММС была впервые предложена к рассмотрению автором статьи [3]. В работах [3—6] используются различные подходы к построению управ­ ления движением маятника. Закон управления, который обеспечит стабилизацию верхнего положения равновесия маятника, полученный в работе [2], будет представлен в явном виде, т. е. зависящим от физических характеристик модели (скорости, смещений, времени), что важно для его практической реализации. doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2018.04.041 УДК 517.36 А.С. Хорошун Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев E­mail: khoroshunanatoliy@gmail.com О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком Рассмотрен пример малоприводной механической системы, которая предоставляет собой маятник, уп­ равление движением которого происходит благодаря вращению маховика. Получен в явном виде закон управ­ ления вращением маховика, обеспечивающего стабилизацию верхнего положения равновесия маятника. Ключевые слова: малоприводная механическая система, глобальная асимптотическая устойчивость, инер циальный маховик, положение равновесия. 42 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 4 А.С. Хорошун Основной результат. Описание устройства ММС маятник с маховиком (англ. Inverted Wheel Pendulum) дано в работе [2]. На рис. 1 изображена схема маятника с маховиком, где O — точка под­ веса маятника, C — центр маховика, q1 — угол поворота маятника относительно вертикали, q2 — угол поворота маховика относитель­ но маятника. Уравнения движения рассматриваемой модели имеют следую­ щий вид: 1 1 2 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( )sin( ) 0, ( ) ( ) , J p q J p q p q J p q J p q + − ω =  + = ∆ && && && && (1) где 2 1 2( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )m M RJ p J p M p M p L p J p= + + + , 2( ) ( ) ( )M RJ p J p J p= + ( ) ( ) ( )M RJ p J p J p= + , ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ))M Rp m p l p M p M p L p gω = + + , g — уско­ рение свободного падения; ( )MM p — масса маховика; ( )m p — мас­ са маятника; ( )RM p — масса электродвигателя; ( )mJ p , ( )MJ p и ( )RJ p — моменты инерции маятника, маховика и ротора двигателя, соответственно, относительно их осей вращения; ( )L p – длина маят ника; ( )l p — расстояние от шарнира до центра масс маятника; ∆ — момент электромагнитных сил, приложенных к ротору электродвигателя со стороны статора; np P R∈ ⊆ — векторный параметр, описываю­ щий возможные неточности модели, n N∈ . Задача состоит в том, чтобы выбрать закон управления ∆ , который стабилизирует верх­ нее положение равновесия маятника в то время, как маятник прекратит свое вращение, вне зависимости от начальных значений переменных. Введя безразмерные переменные 2 ( ) ( ) p t J p ω τ = , ( )p ∆ ν = ω , получим безразмерную сис тему дифференциальных уравнений, эквивалентную системе дифференциальных уравнений (1): 1 1 2 1 2 1 2 ( ) sin( ) 0, ( ) . J p q q q J p q q  + − =   + = ν && && && && (2) Здесь дифференцирование ведется по безразмерному времени τ . Пусть uν = α +β , где 2 1 ( ) 1 ( ) J p J p α = − , 2 1 1 ( ) sin( ) ( ) J p q J p β = , тогда заменой переменных 1 1 1 2 2 2 1 3 2 ( ) , ( ) , J p q q J p q q η = + η = η =  & & & (3) Рис. 1 43ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 4 О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика система дифференциальных уравнений (2) приводится к “каскадному” виду 1 2 2 2 1 3 1 3 sin( ), ( ) ( ), ( ) , J p J p u η = η  η = η − η  η = & & & (4) из глобальной устойчивости состояния равновесия которой при управлении u следует аналогичное свойство системы дифференциальных уравнений (2) при управлении ν . Применяя так называемый Dynamic Surface Control, см. [2, 7], получим, что управление 2 3 3 y u K x= − − τ , где переменные 1 2 3( , , )Tη η η и 1 2 3 4( , , , , )Tx x x x y связаны соотношениями 1 1 2 2 4 1 1 2 4 3 3 1 2 1 2 1 2 , arctan( ), ( ) ( ) , ( ) ( ) x x x x J p J p x x y K x x J p J p η = η = + −   η = + + + +  τ  (5) стабилизирует состояние равновесия системы дифференциальных уравнений (4) вне за­ висимости от начальных значений переменных, если нулевое состояние равновесия сис­ темы дифференциальных уравнений: 1 2 4 1 2 2 2 1 2 3 1 1 3 2 3 4 2 4 1 4 2 2 1 1 2 3 4 3 sin( arctan( )), ( ) ( ) , ( ) ( ) , sin( arctan( )) , 1 ( ) ( , , , , , ), x x x x J p J p x K x x y J p J p x K x x x x x x x y y F p x x x x y = + −   = − − −   = −  + − = − +  τ +   = − + τ & & & & & (6) где 21 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 ( ) ( , , , , , ) sin( arctan( )) ( ) J p F p x x x x y K x K x K y x x x J p = + + − + − + 1 4 1 2 4 1 2 2 2 2 22 1 ( ) ( ) sin( arctan( )) , ( ) ( ) 1 ( ) J p x J p x x x J p J p x + − + − ττ + и глобально асимптотически устойчиво. В работе [2] такая устойчивость доказана. приве­ дены способы выбора параметров управления 1K , 2K , 2τ , 3τ и определения оценок об­ ласти P , при всех значениях параметров из которой, данный тип устойчивости при выбран­ ном управлении сохраняется. 44 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 4 А.С. Хорошун Пусть 1K и 2τ выбраны таким образом, что 1 2 1 K = τ . Тогда из (3) и (5) следует 1 2 4 2 1 1 1 2 2 ( ) arctan( ) arctan , ( ) J p x x q q q J p   + = η + η = + +   & & 1 2 1 1 1 3 3 1 1 2 4 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) arctan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J p J p J p J p J p x y K x x q K q q q J p J p J p J p J p     + = η − η + + = − − + +       1 2 1 1 1 3 3 1 1 2 4 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) arctan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J p J p J p J p J p x y K x x q K q q q J p J p J p J p J p      + = η − η + + = − − + +         & & & . Выразив величину 3( )x τ из (6) в виде 3 3 2( ) (0) exp( )x x Kτ = − τ , получим закон управления u , который явно зависит от фи­ зических характеристик исходной модели, в виде 2 3 2 3 3 3 3 2 1 1 ( ) y u K x K x x y   = − − = − + − + = τ τ τ  1 1 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) ( )1 (0) exp( ) arctan ( ) ( ) ( ) J p J p K J p K x K q q q q J p J p J p      = − + − τ + + + +    τ τ τ     & & & или, переходя к размерным величинам, закон управления ∆ — в виде 2 1 2 2 3 2 1 1 3 2 2 3 ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) 1 (0)exp ( ) ( ) ( ) ( ) J p J p J pp p K x K t q J p J p J p p       ω ∆ = ω − − + − + +     τ τ ω      & 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 3 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) arctan ( ) sin( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J p K J p J p J p J p q q q p q J p J p p p J p    + + + + ω  τ ω ω     & & (7) где дифференцирование ведется по времени t . Отметим, что варьируя величину 3(0)x , получаем разные законы управления, из кото­ рых можно выбрать наиболее приемлемый. Кроме того, вид управления (7) можно упро­ стить, если выбрать 2K и 3τ таким образом, что 2 3 1 K = τ . Пример. В качестве примера рассмотрим модель маятника с маховиком, которая имеет та­ кие параметры: m = 0,04 кг, L = 0,1 м, MM = 9,4 кг, JR = 0,24 · 10–4 кг · м2, r = 0,28 м, R = 0,3 м, Рис. 2 45ISSN 1025­6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2018. № 4 О построении управления движением маятника вращением инерциального маховика где r и R — соответственно внутренний и внешний радиусы маховика, который близок к кольцу. Момент инерции маховика можно рассчитать по формуле 2 2( ) 2 M m M r R J + = , а мо­ мент инерции маятника — по формуле 2 3m mL J = . Исходя из результатов роботы [2], пара­ метры управления могут быть выбраны такими: 1 2 1 8K = = τ , 2 0,05K = , 4 3 10−τ = . Отметим, что в контексте данной модели выбор параметров 2K и 3τ таким образом, что 2 3 1 K = τ , яв­ ляется нецелесообразным, поскольку накладывает слишком жесткие требования на элек­ тромотор. Пусть начальное положение маятника — его нижнее положение равновесия. Выбрав 1 3 1 2 ( ) (0) ( ) J p x K J p = − π убедимся, что управление ∆ стабилизирует верхнее положе­ ние равновесия маятника. Поведение модели иллюстрирует рис. 2. Таким образом, в работе получен явный вид управления вращением маховика, пред­ ложенного в работе [2], которое обеспечивает стабилизацию верхнего положения равно­ весия маятника вне зависимости от начальных значений переменных, описывающих по­ ведение модели. Явный вид управления, т. е. его зависимость от физических характерис­ тик модели (скоростей, смещений, времени), является значимым для его практической реа ли зации. Приемлемость полученного закона управления проиллюстрирована на приме­ ре реальной модели. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Liu Y., Yu H. A survey of underactuated mechanical systems. IET Control Theory Appl. 2013. 7, Iss. 7. P. 92— 935. doi:https://doi.org/10.1049/iet­cta.2012.0505 2. Хорошун А.С. О стабилизации верхнего положения равновесия маятника вращением инерциального маховика. Прикл. механика. 2016. 52, № 5. С. 125—137. 3. Spong M.W., Corke P., Lozano R. Nonlinear control of the inertia wheel pendulum. Automatica. 2001. P 1845— 1851. doi:https://doi.org/10.1016/S0005­1098(01)00145­5 4. Формальский А.М. Управление движением неустойчивых объектов. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 235 с. 5. Quaiser Nadeem, Iqbal N., Hussain A., Qaiser Naeem Exponential stabilization of the inertia wheel pendulum using dynamic surface control. J. Circuits, Systems and Computers. 2007. 16, № 1. P. 81—92. doi:https://doi. org/10.1142/S0218126607003514 6. Reza Olfati­Saber Nonlinear control of underactuated mechanical systems with application to robotics and aerospace vehicles: Ph.D. thesis/ Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, MA, 2001. 7. Song B., Hedrick J.K. Dynamic surface control of uncertain nonlinear systems. An LMI approach. London: Springer, 2011. 268 p. Поступило в редакцию 20.11.2017 REFERENСES 1. Liu, Y. & Yu, H. (2013). A survey of underactuated mechanical systems. IET Control Theory Appl., 7, Iss. 7, pp. 921­935. doi:https://doi.org/10.1049/iet­cta.2012.0505 2. Khoroshun, A. S. (2016). Stabilization of the Upper Equilibrium Position of a Pendulum by Spinning an Inertial Flywheel. Int.Appl.Mech., 52, Iss. 5, pp. 547­556. doi:https://doi.org/10.1007/s10778­016­0775­1 (in Russian). 46 ISSN 1025­6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2018. № 4 А.С. Хорошун 3. Spong, M. W., Corke, P. & Lozano, R. (2001). Nonlinear control of the inertia wheel pendulum. Automatica., 37, pp. 1845­1851. doi:https://doi.org/10.1016/S0005­1098(01)00145­5 4. Formalsky, А. М. (2013). Motion Control of Unstable Objects. Moscow: FIZMATLIT (in Russian). 5. Quaiser, Nadeem, Iqbal, N., Hussain, A. & Qaiser, Naeem (2007). Exponential stabilization of the inertia wheel pendulum using dynamic surface control. J. Circuits, Systems and Computers, 16, No. 1, pp. 81­92. doi:https:// doi.org/10.1142/S0218126607003514 6. Reza, Olfati­Saber (2001). Nonlinear control of underactuated mechanical systems with application to ro­ botics and aerospace vehicles.(unpublished candidate thesis). Massachusetts Institute of Technology, Cam­ bridge, MA. 7. Song, B. & Hedrick, J.K. (2011). Dynamic surface control of uncertain nonlinear systems. An LMI approach. London: Springer. Received 20.11.2017 А.С. Хорошун Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ E­mail: khoroshunanatoliy@gmail.com ПРО ПОБУДОВУ КЕРУВАННЯ РУХОМ МАЯТНИКА ОБЕРТАННЯМ ІНЕРЦІАЛЬНОГО МАХОВИКА Розглянуто приклад малоприводної механічної системи, що являє собою маятник, керування рухом яко го відбувається завдяки обертанню маховика. Отримано у явному вигляді закон керування обертан­ ням маховика, який забезпечує стабілізацію верхнього положення рівноваги маятника. Ключові слова: малоприводна механічна система, глобальна асимптотична стійкість, інерціальний ма­ ховик, положення рівноваги. A.S. Khoroshun S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev E­mail: khoroshunanatoliy@gmail.com ON THE CONSTRUCTION OF A CONTROL OVER THE PENDULUM MOVEMENT BY THE ROTATION OF AN INERTIAL FLYWHEEL An example of the underactuated mechanical system, which is a pendulum, whose motion is controlled by the ro tation of a flywheel, is investigated. The explicit form of the control law of the flywheel rotation, which en­ sures the stabilization of the upper equilibrium position of the pendulum, is obtained. Keywords: underactuated mechanical system, global asymptotic stability, inertial flywheel, equilibrium position

Similar Items