О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы
Исследован метод разрешающих функций относительно теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы. Предложена схема метода, обеспечивающая.окончание игры за определенное гарантированное время в классе стробоскопических стратегий при минимальных дополнительных условиях. Приведе...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142002 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 90-102. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-142002 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1420022025-02-09T14:23:29Z О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы Про стробоскопічну стратегію в методі розв’язувальних функцій для ігрових задач керування з термінальною функцією плати Stroboscopic strategy in the resolving-functions method for control game problems with terminal payoff function Раппопорт, И.С. Системный анализ Исследован метод разрешающих функций относительно теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы. Предложена схема метода, обеспечивающая.окончание игры за определенное гарантированное время в классе стробоскопических стратегий при минимальных дополнительных условиях. Приведены результаты сравнения гарантированных времен этой схемы метода разрешающих функций с первым прямым методом Понтрягина. Досліджено метод розв’язувальних функцій стосовно теоріі конфліктно-керованих процесів з термінальною функцією плати. Запропоновано схему методу, що забезпечує закінчення гри за певний гарантований час у класі стробоскопічних стратегій при мінімальних додаткових умовах. Наведено результати порівняння гарантованих часів цієї схеми методу розв’язувальних функцій з першим прямим методом Понтрягіна. The paper investigates the method of resolving functions with respect to the theory of conflict-controlled processes with terminal payoff function. The scheme of the method is proposed. This scheme ensures that the game ends in a certain guaranteed time in the class of stroboscopic strategies with minimum additional conditions. The guaranteed times for this scheme of the resolving functions method are compared with those of the first direct Pontryagin method. 2016 Article О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 90-102. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142002 517:977 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Раппопорт, И.С. О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы Кибернетика и системный анализ |
| description |
Исследован метод разрешающих функций относительно теории конфликтно-управляемых процессов с терминальной функцией платы. Предложена схема метода, обеспечивающая.окончание игры за определенное гарантированное время в классе стробоскопических стратегий при минимальных дополнительных условиях. Приведены результаты сравнения гарантированных времен этой схемы метода разрешающих функций с первым прямым методом Понтрягина. |
| format |
Article |
| author |
Раппопорт, И.С. |
| author_facet |
Раппопорт, И.С. |
| author_sort |
Раппопорт, И.С. |
| title |
О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы |
| title_short |
О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы |
| title_full |
О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы |
| title_fullStr |
О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы |
| title_full_unstemmed |
О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы |
| title_sort |
о стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/142002 |
| citation_txt |
О стробоскопической стратегии в методе разрешающих функций для игровых задач управления с терминальной функцией платы / И.С. Раппопорт // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 4. — С. 90-102. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT rappoportis ostroboskopičeskojstrategiivmetoderazrešaûŝihfunkcijdlâigrovyhzadačupravleniâsterminalʹnojfunkciejplaty AT rappoportis prostroboskopíčnustrategíûvmetodírozvâzuvalʹnihfunkcíjdlâígrovihzadačkeruvannâztermínalʹnoûfunkcíêûplati AT rappoportis stroboscopicstrategyintheresolvingfunctionsmethodforcontrolgameproblemswithterminalpayofffunction |
| first_indexed |
2025-11-26T19:14:37Z |
| last_indexed |
2025-11-26T19:14:37Z |
| _version_ |
1849881506072231936 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517:977
È.Ñ. ÐÀÏÏÎÏÎÐÒ
Î ÑÒÐÎÁÎÑÊÎÏÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÐÀÒÅÃÈÈ
 ÌÅÒÎÄÅ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ÄËß ÈÃÐÎÂÛÕ ÇÀÄÀ×
ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Ñ ÒÅÐÌÈÍÀËÜÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÅÉ ÏËÀÒÛ
Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàí ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé îòíîñèòåëüíî òåîðèè
êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû. Ïðåä-
ëîæåíà ñõåìà ìåòîäà, îáåñïå÷èâàþùàÿ.îêîí÷àíèå èãðû çà îïðåäåëåííîå ãà-
ðàíòèðîâàííîå âðåìÿ â êëàññå ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé ïðè ìèíèìàëü-
íûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ ãàðàíòè-
ðîâàííûõ âðåìåí ýòîé ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ñ ïåðâûì
ïðÿìûì ìåòîäîì Ïîíòðÿãèíà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êâàçèëèíåéíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà, ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå, èçìåðèìûé ñåëåêòîð, ñòðîáîñêîïè÷åñêàÿ ñòðàòåãèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ïîäõîäà ê ðåøåíèþ èãðîâûõ çàäà÷ óïðàâ-
ëåíèÿ äèíàìè÷åñêèìè ïðîöåññàìè ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû, êîòî-
ðûé ïðåäïîëàãàåò ñèñòåìàòè÷åñêîå èñïîëüçîâàíèå èäåé äâîéñòâåííîñòè
Ôåíõåëÿ–Ìîðî [1] ïðèìåíèòåëüíî ê îáùåé ñõåìå ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ
ôóíêöèé [2, 3]. Ðàçðåøàþùóþ ôóíêöèþ óäàåòñÿ âûðàçèòü ÷åðåç ñîïðÿæåí-
íóþ ê ôóíêöèè ïëàòû è, èñïîëüçóÿ èíâàëþòèâíîñòü îïåðàòîðà ñîïðÿæåíèÿ
äëÿ âûïóêëîé çàìêíóòîé ôóíêöèè, ïîëó÷èòü ãàðàíòèðîâàííóþ îöåíêó òåð-
ìèíàëüíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïëàòû, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ÷åðåç çíà÷å-
íèå ïëàòû â íà÷àëüíûé ìîìåíò è èíòåãðàë îò ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè.
Âàæíîé îñîáåííîñòüþ îáùåé ñõåìû ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ
èñïîëüçîâàíèå ïðè ïîñòðîåíèè óïðàâëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ èíôîðìàöèè î ïîâåäå-
íèè ïðîòèâíèêà â ïðîøëîì. Îòìåòèì, ÷òî îíà íåîáõîäèìà òîëüêî äëÿ îïðåäåëåíèÿ
íåêîòîðîãî ìîìåíòà ïåðåêëþ÷åíèÿ, êîòîðûé ðàçäåëÿåò àêòèâíûé è ïàññèâíûé èí-
òåðâàëû ðàçâèòèÿ èãðû. Íà ñàìèõ èíòåðâàëàõ ïðåñëåäîâàòåëü ïðèìåíÿåò êîíòðóï-
ðàâëåíèå, îïðåäåëÿåìîå ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé Õàéåêà [4].  ðàáîòå [2]
íàéäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ èíôîðìàöèÿ î ïðåäûñòîðèè ïðîòèâíèêà íå èãðàåò
ðîëè. Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì íàñòîÿùåé ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî äëÿ ðåàëèçàöèè
ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè îêîí÷àíèÿ èãðû ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ëèøü êîíòðóï-
ðàâëåíèåì ïðè ìèíèìàëüíûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ.
Äàííàÿ ðàáîòà ðàçâèâàåò èäåè [2–10], ïðèìûêàåò ê èññëåäîâàíèÿì [11–21]
è óêàçûâàåò íîâûå âîçìîæíîñòè ïðèëîæåíèÿ âûïóêëîãî àíàëèçà ê òåîðèè êîí-
ôëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È, ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ
Ðàññìîòðèì êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ [13], ýâîëþöèÿ êîòîðîãî îïèñû-
âàåòñÿ ðàâåíñòâîì
z t g t t u v d
t
( ) ( ) ( , ) ( ( ), ( ))� � �� � � � � �
0
, t � 0. (1)
Çäåñü z t R n( ) � , ôóíêöèÿ g t( ), g R R n: � � , èçìåðèìà ïî Ëåáåãó è îãðàíè÷åíà
ïðè t 0, ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ � ( , )t � , t � �� 0, èçìåðèìà ïî t, à òàêæå ñóììè-
ðóåìà ïî � äëÿ êàæäîãî t R� � . Áëîê óïðàâëåíèÿ çàäàåòñÿ ôóíêöèåé �( , )u v ,
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
© È.Ñ. Ðàïïîïîðò, 2016
�:U V R n
� , êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ
íà ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè íåïóñòûõ êîìïàêòîâ U è V , ò.å. U K R m� ( ) ,
V K R l� ( ) , m, l, n — íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ u( )� , u R U: � � , è v ( )� , v R V: � � , ÿâëÿþòñÿ èçìå-
ðèìûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Êðîìå ïðîöåññà (1) çàäàíà ñîáñòâåííàÿ âûïóê-
ëàÿ çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ ñíèçó ïî z ôóíêöèÿ �( )z , �: R Rn � 1, çíà÷åíèÿ êî-
òîðîé íà òðàåêòîðèÿõ ïðîöåññà (1) îïðåäåëÿþò ìîìåíò îêîí÷àíèÿ èãðû. Åñëè
z t( ) , t � 0, — òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (1), òî èãðó áóäåì ñ÷èòàòü çàêîí÷åííîé â ìî-
ìåíò t1 0 ïðè
�( ( ))z t1 0� . (2)
Öåëè ïåðâîãî ( )u è âòîðîãî ( )v èãðîêîâ ïðîòèâîïîëîæíû. Ïåðâûé ïûòàåòñÿ
äîáèòüñÿ âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (2) íà ñîîòâåòñòâóþùåé òðàåêòîðèè ïðîöåñ-
ñà (1) çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ, à äðóãîé — ìàêñèìàëüíî îòòÿíóòü ìîìåíò âûïîëíå-
íèÿ ýòîãî íåðàâåíñòâà èëè âîîáùå èçáåæàòü åãî âûïîëíåíèÿ.
Ïðèìåì ñòîðîíó ïåðâîãî èãðîêà è áóäåì îðèåíòèðîâàòüñÿ íà âûáîð ïðîòèâ-
íèêîì â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîé èçìåðèìîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ ïðèíè-
ìàåò çíà÷åíèÿ èçV .  ñâîþ î÷åðåäü, ñ÷èòàåì, ÷òî åñëè èãðà (1), (2) ïðîäîëæàåòñÿ
íà èíòåðâàëå [ , ]0 T , òî óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà â ìîìåíò t âûáåðåì íà îñíîâå
èíôîðìàöèè î g T( ) è vt ( )� , ò.å. â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè
u t u g T vt( ) ( ( ), ( ))� � , t T�[ , ]0 , u t U( ) � , (3)
ãäå v v s s tt ( ) ( ): [ , ]� � �{ }0 — ïðåäûñòîðèÿ óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà ê ìîìåí-
òó t, èëè â âèäå êîíòðóïðàâëåíèÿ
u t u g T v t( ) ( ( ), ( ))� , t T�[ , ]0 , u t U( ) � . (4)
Åñëè, â ÷àñòíîñòè, g t e zAt( ) � 0 , � ( , ) ( )t eA t� ��
, z z( )0 0� , à eAt — ìàò-
ðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà, òî ïîëàãàþò, ÷òî óïðàâëåíèå u t u z vt( ) ( , ( ))� �0 ðåàëèçóåò
êâàçèñòðàòåãèþ [19], à êîíòðóïðàâëåíèå [20] u t u z v t( ) ( , ( ))� 0 ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëå-
íèåì ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèè Õàéåêà [4].
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè è ñ ó÷åòîì òåîðåìû Ôåíõå-
ëÿ–Ìîðî [1] èìååì
� �( ) [( , ) ( )]*z p z p
p R n
�
�
sup ,
ãäå
� �* ( ) [( , ) ( )]p p z z
z R n
�
�
sup . (5)
Ôóíêöèÿ � * ( )p ñîáñòâåííàÿ çàìêíóòàÿ è âûïóêëàÿ [1]. Ýôôåêòèâíîå ìíî-
æåñòâî ôóíêöèè � * ( )p èìååò âèä dom { }� �* *: ( , )� � � ��p R t pn .  ñèëó îãðà-
íè÷åííîñòè ñíèçó ñîáñòâåííîé ôóíêöèè �( )z è ñîîòíîøåíèÿ (5) ïîëó÷èì
� �* ( ) ( )0 �
�
inf
z R n
z , à çíà÷èò, 0�dom � *.
Ïîëàãàåì, ÷òî L — ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà dom � * (ïåðåñå÷åíèå âñåõ
ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, ñîäåðæàùèõ ìíîæåñòâî dom � *). Òîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ
ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì. Îáîçíà÷èì � îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðî-
âàíèÿ èç R n íà L . Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
� � �( ) ( )z z� , z R n� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 91
Ïîëîæèâ � �( , ) ( , ) :U v u v u U� �{ }, ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t v t U v( , , ) ( , ) ( , )� � � �� � , W t W t v
v V
( , ) ( , , )� ��
�
� , t � �� 0, v V� ,
íà ìíîæåñòâàõ �
V è � ñîîòâåòñòâåííî, ãäå êîíóñ � � � � � �{ }( , ) :t t� �0 .
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t v( , , )� èìååò çàìêíóòûå
çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå �
V .
Óñëîâèå 1 (Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí). Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t( , )� ïðèíèìà-
åò íåïóñòûå çíà÷åíèÿ íà ìíîæåñòâå �.
 èçìåðèìîì çàìêíóòîçíà÷íîì îòîáðàæåíèè W t( , )� ñîãëàñíî òåîðåìå èçìå-
ðèìîãî âûáîðà [18] çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð � �( , )t è ïîëî-
æèì
� � � � � �( , ( ) ( , )) ( ) ( , )t g t t g t t d
t
� � � �
0
.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A( t v p t u v t
u U p
, , ) : [( , ( , ) ( , ) ( ,
*
� � � � �
�
� �
� �
0 inf sup
dom
� �)) �
�
�
�
��
� �
�
�
�
�
��
� � � � [( , ( , ( ), ( , ))) ( )]]p t g t t p 0 (6)
è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ [1] â íàïðàâëåíèè �1
� � � � �( , , ) : ,t v (t, v� �sup{ )}A , t � �� 0 , v V� ,
êîòîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå âûïîëíÿåò ðîëü ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè. Èç óñëîâèÿ
Ïîíòðÿãèíà è âêëþ÷åíèÿ � � �( , ) ( , )t W t� íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò
min max ( , ( , ) ( , ) ( , ))
*u U p
p t u v t
� �
�
dom �
� � � � �� 0 � � �t � 0, v V� .
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òî íåðàâåíñòâî â ñîîòíî-
øåíèè (6) âûïîëíÿåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå ïðè íóëåâîì çíà÷åíèè �.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè � � �( ( , ( ) ( , )))t g t t � � 0 â ñèëó íåðàâåíñòâà Ôåíõå-
ëÿ [18] A ( , , ) [ , )t v� � ��0 , t � �� 0, v V� , è ôóíêöèÿ � �( , , )t v � �� äëÿ v V� ,
t � �� 0 . Åñëè � � �( ( , ( ) ( , )))t g t t � 0 , òî íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî A ( , , )t v� ÿâëÿåò-
ñÿ êîìïàêòíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì, êîòîðîå ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó çàâèñèò
îò ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ � �( , , )t v ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó ïî
v R n� ïðè ëþáîì � �[ , ]0 t .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T g t t v d
v V
t
( ( ), ( , )) : ( , , )� � � � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
��� � � �0 1
0
inf . (7)
Èç âûðàæåíèÿ (6) ñëåäóåò, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t v�
L B� -èçìåðèìî ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , v V� , � �[ , ]0 t , äëÿ ëþáîãî t [2]. Ïîýòî-
ìó èç òåîðåìû îá îïîðíîé ôóíêöèè [1] ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèÿ � �( , , )t v òàêæå
L B� -èçìåðèìà ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v .
Ëåììà 1. Ôóíêöèÿ � � � �( , ) ( , , )t t v
v V
�
�
inf ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ïî � ôóíêöèåé.
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äëÿ êàæäîãî
�R 1 è � �[ , ]0 t ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå G v R t vn
� � �
( ) : ( , , )� � �{ }, èìåþùåå îòêðûòûå çíà÷åíèÿ â ñèëó
ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñâåðõó ïî v R n� ôóíêöèè � �( , , )t v ïðè ëþáîì � �[ , ]0 t .
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè âñåõ
�R 1 � �
( , )t � òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
G V
�( ) � ��, � �[ , ]0 t . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü � �
( , )t � è � � âûáðàíî òàê, ÷òî
� � �
( , )t � � . Òîãäà ïî ñâîéñòâó èíôèìóìà ñóùåñòâóåò òàêîå v V� � , ÷òî
� � � � �
�( , , ) ( , )t v t� � � , ïîýòîìó G V
�( ) � ��, � �[ , ]0 t . Îáðàòíî, åñëè v V0 � è
� �
( , , )t v0 � , � �[ , ]0 t , òî èìååì � � � � � �
( , ) ( , , ) ( , , )t t v t v
v V
� � �
�
inf
0
.
Ïîñêîëüêó êîìïàêò V ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì,
ïî òåîðåìå î õàðàêòåðèçàöèè [18] ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ñåìåéñòâî èçìåðèìûõ ñå-
ëåêòîðîâ êîìïàêòàV (îáîçíà÷èì åãî { }vi i( )� �1) òàêîå, ÷òîV vii
�
( )�
1� äëÿ êàæ-
äîãî � �[ , ]0 t . Çäåñü ÷åðòà íàä âûðàæåíèåì îçíà÷àåò çàìûêàíèå [18]. Òîãäà äëÿ
ëþáîãî
�R 1 èìååì
{ } { }� � �
� �
� � � � �� �[ , ]: ( , ) [ , ] : ( )0 0t t t G V�
= {� � �
� �� �
[ , ] : ( ) [ ( )] }0
1
T G vs ii
� �
� � �{� � �
[ , ]: ( , , )0 0t t v äëÿ íåêîòîðîãî v vii0 1
� �
( )}��
� � �{� � � �
[ , ]: ( , , ( ))0 0t t v äëÿ íåêîòîðîãî v vi i0 1( ) ( )� � � ��{ } }
� � �
� � � �
{ }.
{ }
� � � �
[ , ]: ( , , ( ))
( ) ( )
0
1
t t v
v vi i
�
Íî ìíîæåñòâî { }� � � �
� �[ , ]: ( , , ( ))0 t t v èçìåðèìî, ïîñêîëüêó, êàê îòìå÷àëîñü
ðàíåå, ôóíêöèÿ � �( , , )t v ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìîé ïî ñîâîêóïíîñòè
( , ) [ , ]� v t V�
0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìà. Ïîýòîìó ôóíê-
öèÿ � � � �( , ) ( , , )t t v
v V
�
�
inf ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ïî � ôóíêöèåé.
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t 0 � � �( ( , ( ), ( , )))t g t t � � 0, òî � �( , , )t v � �� äëÿ
0 � �� t, v V� , è â ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ïîëîæèòü çíà÷åíèå èíòåãðàëà â (7)
ðàâíûì ��, à ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè.
Åñëè íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ (7) íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ t 0 , òî ïîëî-
æèì T g( ( ), ( , ))� � � ��� .
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíó-
òîé îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå 1. Òîãäà, åñëè ñó-
ùåñòâóåò òàêîé èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � ( , )� � , 0 � � � ��� t , ìíîãîçíà÷íîãî
îòîáðàæåíèÿ W t( , )� , ÷òî T g( ( ), ( , ))� � � ��� è T T g� � � �( ( ), ( , ))� , èãðà ìîæåò
áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (3).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v( )� — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîì-
ïàêòà V , � �[ , ]0 T . Óêàæåì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé � � �( ( , ( ), ( , )))T g T T � 0 è ââåäåì
êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ
h t T v d
t
( ) ( , , ( ))�
�1
0
� � � �.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 93
Îíà íåïðåðûâíà, è ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (7) ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò t
*
,
t T* ( , ]� 0 , ÷òî h t( )
*
� 0.
Èíòåðâàëû âðåìåíè [ , )
*
0 t è [ , ]
*
t T â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü àêòèâíûì
è ïàññèâíûì ñîîòâåòñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì íà
êàæäîì èç íèõ.
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U v u U p T u v T
p
( , ) : [( , ( , ) ( , ) ( , ))
*
� � � � � �
�
� �
�
�
{ sup
dom
�
� �
�� � � � �( , , )[( , ( , ( ), ( , ))) ( )]]*T v p T g T T p 0}, � �[ , )
*
0 t , v V� . (8)
 ñèëó ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà (1), ôóíêöèè �( )z è ðàçðåøàþùåé
ôóíêöèè îòîáðàæåíèå U v( , )� L B� -èçìåðèìî [2] ïðè v V� , � �[ , )
*
0 t . Ïîýòîìó
ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå ñåëåêòîðà [18] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U v( , )� ñîäåðæèò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u v( , )� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïî-
çèöèîííîé èçìåðèìîé ôóíêöèåé [2]. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà àê-
òèâíîì èíòåðâàëå ðàâíûì
u u v( ) ( , ( ))� � �� , � �[ , )
*
0 t .
Ðàññìîòðèì ïàññèâíûé èíòåðâàë [ , ]
*
t T . Ïóñòü â âûðàæåíèè (8) ïðè
� �[ , )
*
t T , v V� , ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ � �( , , )T v � 0 . Ïîëó÷èì ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå
U v u U p T u v T
p
0 0( , ) : sup [( , ( , ) ( , ) ( , ))]
*
� � � � � �
�
� �
�
�dom
�
�
�
�
��
�
�
�
��
. (9)
Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, â L B� -èçìåðèìîì çàìêíóòîçíà÷íîì îòîáðà-
æåíèè U v0 ( , )� ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð. Îáîçíà÷èì åãî u v0 ( , )� è
óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà ïàññèâíîì èíòåðâàëå âûáåðåì ðàâíûì
u u v0 0( ) ( , ( ))� � �� .
Äëÿ ñëó÷àÿ � � �( ( , ( ), ( , )))T g T T � � 0 óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà âñåì
ïðîìåæóòêå [ , ]0 T âûáåðåì â âèäå èçìåðèìîé ôóíêöèè u u v0 0( ) ( , ( ))� � �� , ãäå
u v0 ( , )� — L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð îòîáðàæåíèÿ U v0 ( , )� .
Ïîêàæåì, ÷òî óêàçàííûé çàêîí âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì îáåñïå-
÷èâàåò ïðè ëþáûõ óïðàâëåíèÿõ óáåãàþùåãî âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà (2) íà òðà-
åêòîðèÿõ ñèñòåìû (1) â ìîìåíò T .
Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî � � �( ( )) ( ( ))z T z T� , ôîðìóëó (1) è îïðåäåëåíèå ñîïðÿ-
æåííîé ôóíêöèè, ïîëó÷àåì
� � �
�
( ( )) max [( , ( , ( ), ( , )))
*
z T p T g T T
p
� � �
�dom
�
� ( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , )) ( )]*p T u v T d p
T
� � � � � � � � ��
0
. (10)
Åñëè � � �( ( , ( ), ( , )))T g T T � � 0, òî ñ ó÷åòîì çàêîíà âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïåð-
âûì èãðîêîì ñîîòíîøåíèå (10) îïðåäåëÿåò
� � � �( ( )) ( ( , ( ), ( , )))z T T g T T� � � 0,
îòêóäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (2) â ìîìåíò T .
Ïóñòü � � �( ( , ( ), ( , )))T g T T � 0 . Ïðèáàâèì è âû÷òåì â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ
âûðàæåíèÿ (10) âåëè÷èíó
[( , ( , ( ), ( , ))) ( )] ( , , ( ))*
*
p T g T T p T v d
t
� � � � � � ��
�
0
.
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Òîãäà ïîëó÷èì
� � � �
�
( ( )) max [( , ( , ( ), ( , ))) ( )] (
*
*z T p T g T T p h t
p
� �
�dom
{
*
) �
�
�
� [( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , )) ( , , ( ))
*
p T u v T T v
t
� � � � � � � � � ��
0
�
�[( , ( , ( ) ( , ))) ( )]]*p T g T T p d� � � �
�
� ( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , ))
*
p T u v T d
t
T
� � � � � � � �� }.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðåñëåäîâàòåëü ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü â ìîìåíò T âûïîë-
íåíèå íåðàâåíñòâà
� � � �( ( )) ( ( , ( ), ( , ))) ( )
*
z T T g T T h t� � � 0 ,
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Ðàññìîòðèì â ýòîé æå ñõåìå äðóãóþ çàäà÷ó: êàêîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå
ôóíêöèîíàëà �( )z ìîæåò ñåáå ãàðàíòèðîâàòü ïåðâûé èãðîê íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòå-
ìû (1) â çàäàííûé ìîìåíò T T, 0. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ñëåäóþùåå óòâåð-
æäåíèå.
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü ïàðàìåòðû ïðîöåññà (1) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 1,
à òåðìèíàëüíûé ôóíêöèîíàë �( )z — óñëîâèÿì òåîðåìû 1.
Òîãäà äëÿ T 0 ñïðàâåäëèâà îöåíêà
sup
åñëè
v
z T
T g T T T g T
( )
( ( ))
( ( , ( ), ( , ))), ( ( , ( ),
�
�
�
�
� � � � � �
� � � � �
( , ))) ,
( ( , ( ), ( , ))) inf ( , , )
T
T g T T T v
v V
T
� �
�
��
0
1
0
d
T g T T
�
� � �
�
�
!
"
#
#
�
�
�
�
�
�
�
�
,
( ( , ( ), ( , ))) .åñëè 0
Çäåñü ñóïðåìóì áåðåòñÿ ïî âñåì èçìåðèìûì ñåëåêòîðàì êîìïàêòà V .
ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ ÄËß ÊËÀÑÑÀ ÑÒÐÎÁÎÑÊÎÏÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ
Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 âèäíî, ÷òî ïðåñëåäîâàòåëü â ìîìåíò t èñïîëüçóåò
èíôîðìàöèþ î vt ( )� , ïðè÷åì îíà íåîáõîäèìà ëèøü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà
ïåðåêëþ÷åíèÿ t
*
, ðàçäåëÿþùåãî àêòèâíûé è ïàññèâíûé èíòåðâàëû. Íà ñàìèõ
èíòåðâàëàõ ïðåñëåäîâàòåëü ïðèìåíÿåò êîíòðóïðàâëåíèå, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ
ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ðåà-
ëèçàöèè ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè òåîðåìû 1 ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ êîíòðóï-
ðàâëåíèåì, åñëè äîïîëíèòåëüíî âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óñëîâèå.
Óñëîâèå 2. Ïðè � � �( ( , ( ), ( , )))T g T T � 0 îòîáðàæåíèå A ( , , )t v� , � �[ , ]0 T ,
v V� , âûïóêëîçíà÷íî, ò.å. A ( , , ) [ , ( , , )]t v T v� � �� 0 .
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíó-
òîé îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå 1. Òîãäà, åñëè ñó-
ùåñòâóåò òàêîé èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � ( , )� � , 0 � � � ��� t , ìíîãîçíà÷íîãî
îòîáðàæåíèÿ W t( , )� , ÷òî T g( ( ), ( , ))� � � ��� è äëÿ íåêîòîðîãî T T g� � � �( ( ), ( , ))�
âûïîëíåíî óñëîâèå 2, òî èãðà ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà â ìîìåíò T ñ èñïîëüçîâàíè-
åì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 95
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü v( )� — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàê-
òà V , � �[ , ]0 T . Ïîëîæèì � � � �( , ) inf ( , , )T T v
v V
�
�
è óêàæåì ñïîñîá âûáîðà óïðàâëå-
íèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé � � �( ( , ( ), ( , )))T g T T � 0 è ââåäåì êîíòðîëüíóþ
ôóíêöèþ h t T d
t
( ) ( , )�
�1
0
� � �, t T�[ , ]0 . Îíà àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà [ , ]0 T è íå
âîçðàñòàåò, ïðè÷åì h( )0 1� , à h T( ) � 0. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìå-
íè t
*
, t T
*
( , ]� 0 , ÷òî h t( )* � 0. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì íà
èíòåðâàëå [ , )
*
0 t . Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
� ( , ) : [( , ( , ) ( , ) ( , ))
*
U v u U p T u v T
p
� � � � � �
�
� �
�
�
�
�
sup
dom
�
�
��
� �
�
�
�
�
� � � � �( , )[( , ( , ( ), ( , ))) ( )]]*T p T g T T p 0 , v V� . (11)
Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
�
U v( , )� êîìïàêòíîçíà÷íî è L B� -èçìåðèìî [2].
Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå îá èçìåðèìîì ñåëåêòîðå [18] â íåì ñóùåñòâóåò
L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð
�
u v( , )� , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðè-
ìîé ôóíêöèåé. Ïîëîæèì
� �
u u v( ) ( , ( ))� � �� è âûáåðåì åãî â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ
ïðåñëåäîâàòåëÿ íà èíòåðâàëå [ , )
*
0 t .
Ïîëîæèâ â ñîîòíîøåíèè (11) � �( , )T � 0, âûáåðåì óïðàâëåíèå ïðåñëåäîâàòå-
ëÿ íà èíòåðâàëå [ , ]
*
t T â âèäå èçìåðèìîãî ñåëåêòîðà
�
u0 ( )� êîìïàêòíîçíà÷íîãî èç-
ìåðèìîãî ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ
�
U u U p T u v T
p
0 ( ) : [( , ( , ) ( , ( )) ( , ))]
*
� � � � � � �
�
� �
�
sup
dom
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
0 , � �[ , ].
*
t T (12)
 ñëó÷àå � � �( ( , ( ), ( , )))T g T T � � 0 â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ
�
u0 ( )� íà
âñåì èíòåðâàëå [ , ]0 T âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð îòîáðàæåíèÿ
�
U 0 ( )� .
Ïðîñëåäèì çà ñîîòâåòñòâóþùåé òðàåêòîðèåé z t( ), t T�[ , ]0 , ïðîöåññà (1)
ñ ó÷åòîì çàêîíà âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëåì.
Ïðè óñëîâèè � � �( ( , ( ), ( , )))T g T T � 0 èç ôîðìóëû (10) èìååì
� � � �
�
( ( )) max [( , ( , ( ), ( , ))) ( )] (
*
*
*z T p T g T T p h t
p
� �
�dom
) �
�
�
�
��
�
�
� [( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , )) ( , )
*
p T u v T T
t
� � � � � � � � ��
0
�
�[( , ( , ( ) ( , ))) ( )]]*p T g T T p d� � � � ( , ( , ) ( ( ), ( )) ( , ))
*
p T u v T d
t
T
� � � � � � � ��
�
�
�
��
� .
Òîãäà èç ñîîòíîøåíèé (11), (12) ñëåäóåò, ÷òî ïðåñëåäîâàòåëü ìîæåò ãàðàíòè-
ðîâàòü â ìîìåíò T âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
� � � � � � �( ( )) ( ( , ( ), ( , ))) ( , )
*
z T T g T T T d
t
� �
$
%
&
&
'
(
)
)
��1
0
0.
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Åñëè � � �( ( , ( ), ( , )))T g T T � � 0, òî ñ ó÷åòîì çàêîíà âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïðåñëå-
äîâàòåëåì ñîîòíîøåíèå (10) äàåò
� � � �( ( )) ( ( , ( ), ( , )))z T T g T T� � � 0,
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A A( , ) ( , , ),t t v
v V
� ��
�
� t � �� 0,
êîòîðîå èìååò íåïóñòîé îáðàç, ïîñêîëüêó ïî êðàéíåé ìåðå 0�A ( , , )t v� äëÿ
0 � �� t, v V� , è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ â íàïðàâëåíèè �1
� � � � �� � � �( , ) : ( , )t tsup{ }0 A .
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t 0 � � �( ( , ( ), ( , )))t g t t � 0 , òî îòîáðàæåíèå A ( , )t � çàìê-
íóòîçíà÷íî è ïîýòîìó èçìåðèìî ïî � [2], 0 � �� t, à çíà÷èò, ñîãëàñíî òåîðåìå
îá îïîðíîé ôóíêöèè [18] èçìåðèìîé ïî � ÿâëÿåòñÿ è ôóíêöèÿ � �� ( , )t .
Ââåäåì ìíîæåñòâî
*( ( ), ( , )) : ( , )g t t d
t
� � � � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
��� � � �0 1
0
. (13)
Åñëè ïðè íåêîòîðîì t 0 � � �( ( , ( ), ( , )))t g t t � � 0, òî, î÷åâèäíî, A ( , ) [ , )t � � � �0 ,
à � �� � � �( , )t äëÿ 0 � �� t, è â ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ïîëîæèòü çíà÷åíèå
èíòåãðàëà â (13) ðàâíûì ��, à ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîëíåíî
àâòîìàòè÷åñêè. Åñëè íåðàâåíñòâî â (13) íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ t 0, òî ïî-
ëîæèì *( ( ), ( , ))g � � � ��� .
Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíó-
òîé îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå 1. Òîãäà, åñëè ñó-
ùåñòâóåò òàêîé èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � ( , )� � , 0 � � � ��� t , ìíîãîçíà÷íîãî
îòîáðàæåíèÿ W t( , )� , ÷òî *( ( ), ( , )g � � � ��� è * *� � � �( ( ), ( , ))g � , èãðà ìîæåò áûòü
çàêîí÷åíà â ìîìåíò * ñ èñïîëüçîâàíèåì óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïðèâåäåíî â [10].
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðè íåêîòîðîì T 0 âûïîëíåíî óñëîâèå 2, òî ëåãêî ïîêà-
çàòü, ÷òî � � � �( , ) ( , )t t� � , ïîýòîìó ìíîæåñòâà T g( ( ), ( , ))� � �� è *( ( ), ( , ))g � � �� ,
åñëè îíè íå ïóñòû, ñîâïàäàþò.
ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÐÀÇÐÅØÀÞÙÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Îáîçíà÷èì epi { }� � �
� �
( , , ) ( , ) [ , ] : ( , , )t v t R t v� �
�0 1 íàäãðàôèê ôóíêöèè
� �( , , )t v [21]. Ôóíêöèÿ co
__
� �( , , )t v íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèåì îâûïóêëåíèÿ ôóíê-
öèè � �( , , )t v , åñëè epi co co epi
__ __
� � � �( , , ) ( , , )t v t v� [1, 18, 21]. Ïðè ýòîì ñïðàâåä-
ëèâî íåðàâåíñòâî � � � �( , , ) ( , , )t v t v� co
__
ïðè âñåõ t � �� 0 , v V� . Çàìåòèì, ÷òî
ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ � �( , , )t v ÿâëÿåòñÿ ïðè êàæäîì � �[ , ]0 t ïî v V� ïîëóíåïðå-
ðûâíîé ñâåðõó [3], òî òàêîé æå áóäåò è ôóíêöèÿ co
__
� �( , , )t v . Ïî îïðåäåëåíèþ
ôóíêöèÿ co
__
� �( , , )t v ïðè êàæäîì � �[ , ]0 t ïî v V� ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó [21],
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 97
ïîýòîìó ôóíêöèÿ co
__
� �( , , )t v ïî v V� áóäåò íåïðåðûâíîé. Òàêèå ôóíêöèè íà-
çûâàþò ôóíêöèÿìè Êàðàòåîäîðè [18], è îíè îáëàäàþò ðÿäîì ïîëåçíûõ
ñâîéñòâ. Òàêèì îáðàçîì, ñ êàæäîé ðàçðåøàþùåé ôóíêöèåé ìîæíî ñâÿçàòü íå-
êîòîðóþ ôóíêöèþ Êàðàòåîäîðè è ïðîâåñòè ñ íåé ñîîòâåòñòâóþùèå âûêëàäêè
ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé. Ïðè ýòîì, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà,
ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ îêîí÷àíèÿ èãðû íå èçìåíèòñÿ.
Ïîëîæèì � � � � ��
� � �inf
v V t
t
t v d
( ) [ , ]
( , , ( ))
0
0
, ãäå V t[ , ]0 — ìíîæåñòâî ñåëåêòîðîâ
êîìïàêòà V íà ïðîìåæóòêå [ , ]0 t .
Ëåììà 2. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
� � � � ��
� � �inf co
__
v V t
t
t v d
( ) [ , ]
( , , ( ))
0
0
. (14)
Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
� � � � ��
� � �inf co
__
v V t
t
t v d
( ) [ , ]
( , , ( ))
0
0
. (15)
Ïóñòü â ñîîòíîøåíèè (15) ñóùåñòâóåò ñòðîãîå íåðàâåíñòâî. Òîãäà ñóùåñòâó-
åò ñóììèðóåìàÿ ôóíêöèÿ � �0 ( ) òàêàÿ, ÷òî
� � � � � 0
0
( )
t
d (16)
è äëÿ íåêîòîðîãî èçìåðèìîãî ñåëåêòîðà êîìïàêòà V , v V t0 0( ) [ , ]� � , ïðè ïî÷òè
âñåõ � �[ , ]0 t ïîëó÷àåì
� � � � �0 0( ) ( , , ( )) co
__
t v . (17)
Çàìåòèì, ÷òî
co inf co inf
__ __
� � � � � � �( , , ( )) ( , , ) ( , , )t v t v t v
v V v V
0 � �
� �
. (18)
Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèÿ (17), (18) ïðè ïî÷òè âñåõ � �[ , ]0 t äàþò ñëåäóþùåå íåðà-
âåíñòâî:
� � � �0 ( ) ( , , )
�
inf
v V
t v . (19)
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
+( , ) : ( , , ) ( ) ( , )( )t v V t v V G t� � � � � �� �� � � � �{ } }0 0
,
ãäå G t v R t vn
� � �
( , ) : ( , , )� � �{ }, � �[ , ]0 t ,
�R 1. Ñîîòíîøåíèå (19) ãàðàíòè-
ðóåò, ÷òî +( , )t � ��. Äëÿ êàæäîãî
�R 1 è � �[ , ]0 t ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
G v R t vn
� � �
( ) : ( , , )� � �{ } èìååò îòêðûòûå çíà÷åíèÿ â ñèëó ïîëóíåïðåðûâ-
íîñòè ñâåðõó ïî v R n� ôóíêöèè � �( , , )t v ïðè ëþáîì � �[ , ]0 t . Ãðàôèê ýòîãî
îòîáðàæåíèÿ áóäåò L B� -èçìåðèì ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v , v V� , � �[ , ]0 t , äëÿ
ëþáîãî t, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ � �( , , )t v L B� -èçìåðèìà ïî ñîâîêóïíîñòè ( , )� v [2].
 ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 5 [21, ñ. 340] ñ ó÷åòîì ëåììû 1 [2] ìíîãîçíà÷íîå îòîáðà-
æåíèå +( , )t � èçìåðèìî è ïóñòü � �0 ( , )t — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð
ýòîãî îòîáðàæåíèÿ. Òîãäà ïîëó÷èì
� � � � � �( , , ( , )) ( )t t0 0� , � �0 ( , )t V� , � �[ , ]0 t . (20)
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Èç íåðàâåíñòâ (16) è (20) ñëåäóåò
� � � � � � � � � � �� �0
0
0
0
( ) ( , , ( , ))
t t
d t t d .
Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñîîòíîøåíèè (15) èìååò ìåñòî
ðàâåíñòâî.
Ñëåäñòâèå 2. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
� � � ��
�� inf
v V
t
t v d( , , )
0
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó co
__
� �( , , )t v ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Êàðàòåîäîðè, òî
äëÿ íåå ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
inf co inf co
__ __
v V
t
v V t
t v d t v
� � �� �� � � � �( , , ) ( , , (
( ) [ , ]
0
0
� �))
0
t
d� . (21)
Äåéñòâèòåëüíî, ïî òåîðåìå î ìàðãèíàëüíîì îòîáðàæåíèè [18] ìàðãèíàëüíàÿ
ôóíêöèÿ inf co
__
v V
t v
�
� �( , , ) èçìåðèìà è ñîîòâåòñòâóþùåå ìàðãèíàëüíîå ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå
V t v V t v t v
v V
0 0 0( , ) : ( , , ) ( , , )� � � � �� � �
�
{ co inf co }
__ __
íåïóñòî, êîìïàêòíîçíà÷íî è èçìåðèìî. Ïóñòü v0 ( )� — èçìåðèìûé ñåëåêòîð
ýòîãî ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ. Òîãäà èìååì
inf co co inf
__ __
v V
t t
v
t v d t v d
�� �� �� � � � � � �( , , ) ( , , ( ))
0
0
0
( ) [ , ]
( , , ( ))
� � �
V t
t
t v d
0
0
co
__
� � � �.
 îáðàòíóþ ñòîðîíó íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî, ò.å. ñîîòíîøåíèå (21) ñïðàâåäëèâî.
Òåïåðü ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ inf co inf
__
v V v V
t v t v
� �
�� � � �( , , ) ( , , ) ðàâåíñòâî (14)
äàåò òðåáóåìûé ðåçóëüòàò.
 ðàáîòå [10] ïîêàçàíî, ÷òî ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ çàâåðøåíèÿ êîíôëèêò-
íî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) äëÿ êâàçèñòðàòåãèè (3) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíî-
øåíèåì
T g t t v d
v V t
t
1
0
0
0( ( ), ( , )) : ( , , ( ))
( ) [ , ]
� � � � �
� � �� � � � �inf �
�
�
�
��
�
�
�
��
1 .
Ñëåäñòâèå 2 ïîêàçûâàåò, ÷òî
T g T g t t
v V
t
1
0
0( ( ), ( , )) ( ( ), ( , )) : inf ( , ,� � � � � � � � �
��� � � � v d) � �
�
�
�
��
�
�
�
��
1
è, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå 2, â ñèëó òåîðåìû 2 ìîæíî âìåñòî êâàçèñòðàòå-
ãèè (3) ïðèìåíèòü ñòðîáîñêîïè÷åñêóþ ñòðàòåãèþ (4).
ÏÅÐÂÛÉ ÏÐßÌÎÉ ÌÅÒÎÄ ÏÎÍÒÐßÃÈÍÀ
Ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ïîíòðÿãèíà [5, 6] äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ
äèôôåðåíöèàëüíîé èãðû ñáëèæåíèÿ çà îïðåäåëåííîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 99
â êëàññå ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé. Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ îáîáùåíèå ýòîãî
ìåòîäà íà êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû âèäà (1) ñ òåðìèíàëüíîé ôóíê-
öèåé ïëàòû (2) è ñðàâíåíèå ñ ïîëó÷åííûìè âûøå ðåçóëüòàòàìè.
Ðàññìîòðèì àíàëîã ôóíêöèè Ïîíòðÿãèíà äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî
ïðîöåññà (1), (2)
P( ( )) : max ( , ( )) ( ( , ), )
*
g t p g t C W t p d
p
� � �
�
inf
dom
0
�
� � �
0
0
t
p�
�
�
!
"
#
#
�
�
�
�
��
�
�
�
��
� * ( ) . (22)
Çäåñü C W p( , ) — îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà W [1]. Åñëè âêëþ÷åíèå â ôèãóð-
íûõ ñêîáêàõ íå âûïîëíÿåòñÿ íè äëÿ êàêèõ t � 0, òî ïîëîæèì P( ( ))g � � � �.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíó-
òîé îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, òî÷íàÿ
íèæíÿÿ ãðàíü â (22) äîñòèãàåòñÿ è P P� � � � �( ( ))g . Òîãäà èãðà ìîæåò áûòü çà-
êîí÷åíà â ìîìåíò P ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà (4).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèé òåîðåìû è ñîîòíîøåíèÿ (22) ñëåäóåò
max ( , ( )) ( ( , ), ) ( )
*
*
p
p g C W p d p
�
�
�
!
"
#�
dom �
� � � �P P
P
0 #
� 0. (23)
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà îò ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ è ñâîéñòâ
îïîðíîé ôóíêöèè [1,18] èç ñîîòíîøåíèÿ (23) âûòåêàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò èçìåðè-
ìûé ñåëåêòîð � �( , )t ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W t( , )� òàêîé, ÷òî
max ( , ( )) ( , ( , )) ( )
*
*
p
p g p d p
�
�
�
�
!
"
#
#
��
dom �
� � � � �P P
P
0
0. (24)
Ìíîæåñòâî òàêèõ ñåëåêòîðîâ îáîçíà÷èì ,t .
Èç óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà è âêëþ÷åíèÿ � � �( , ) ( , )P P�W íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò
min max ( , ( , ) ( , ) ( , ))
*u U p
p u v
� �
�
dom �
� � � � �� P P 0 � � �P � 0, v V� .
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå äëÿ P � �� 0, v V�
U v u U p u v
p
0 0( , ) : [( , ( , ) ( , ) ( , ))]
*
� � � � � �
�
� �
�
�
sup
dom
� P P
�
�
�
��
�
�
�
��
. (25)
Ïóñòü v( )� — ïðîèçâîëüíûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð êîìïàêòà V , � �[ , ]0 P .
Òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿ (25) âûòåêàåò, ÷òî îòîáðàæåíèå U U v0 0( ) ( , ( ))� � �� ÿâ-
ëÿåòñÿ êîìïàêòíîçíà÷íûì èçìåðèìûì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì íà èí-
òåðâàëå [ , ]0 P . Ñîãëàñíî òåîðåìå èçìåðèìîãî âûáîðà â íåì ñóùåñòâóåò èçìåðè-
ìûé ñåëåêòîð u0 ( )� , êîòîðûé âûáåðåì â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïðåñëåäîâàòåëÿ
íà èíòåðâàëå [ , ]0 P .
Èç ôîðìóëû (1) è ñîîòíîøåíèé (24), (25) ïîëó÷èì
� � � � � � �
�
( ( )) ( ( )) max ( , ( )) ( , ( , ))
*
z T z T p g p d
p
� � �
�dom
P P
0
0
P
�
�
�
!
"
#
#
�� * ( )p ,
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíó-
òîé îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà
äëÿ òîãî ÷òîáû
max ( , ( )) ( ( , ), ) ( )
*
*
p
t
p g t C W t p d p
�
�
�
!
"
#�
dom �
� � � �
0 #
� 0, t � 0,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë òàêîé ñåëåêòîð � �( , )t t�, , ÷òî
� � �( ( , ( ), ( , )))t g t t � � 0.
Ïóñòü â ÷èñëîâîì ìíîæåñòâå T g( ( ), ( , ))� � �� ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíûé ýëå-
ìåíò T g0 ( ( ), ( , ))� � �� .
Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (2) ñ òåðìè-
íàëüíûì ôóíêöèîíàëîì �( )z , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé âûïóêëîé çàìêíó-
òîé îãðàíè÷åííîé ñíèçó ïî z ôóíêöèåé, âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Òîãäà
ñóùåñòâóåò òàêîé ñåëåêòîð � ( , )� � , ÷òî T g g0 ( ( ), ( , )) ( ( ))� � � � �� P äëÿ ëþáûõ èç-
ìåðèìûõ îãðàíè÷åííûõ äëÿ t � 0 ôóíêöèé g t( ).
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíû êâàçèëèíåéíûå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå
ïðîöåññû îáùåãî âèäà ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû. Ñôîðìóëèðîâàíû
äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ èãðû çà êîíå÷íîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ
â êëàññå ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé Õàéåêà [4].
Ïîêàçàíî, ÷òî ýòî âðåìÿ ñîâïàäàåò ñ ãàðàíòèðîâàííûì âðåìåíåì â êëàññå êâà-
çèñòðàòåãèé ïðè ìèíèìàëüíûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ. Ïðåäëîæåíà ñõå-
ìà ðåãóëÿðèçàöèè ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, êîòîðàÿ ïðåâðàùàåò èõ â ôóíêöèè Êàðà-
òåîäîðè [18] è ñóùåñòâåííî óïðîùàåò îáùóþ ñõåìó ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíê-
öèé áåç èçìåíåíèÿ ãàðàíòèðîâàííîãî âðåìåíè çàâåðøåíèÿ èãðû. Óäàëîñü
îáîáùèòü ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ïîíòðÿãèíà íà êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû
ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû è ñðàâíèòü åãî ñ ìåòîäîì ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ð î ê à ô å ë ë à ð Ð . Âûïóêëûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1973. — 470 ñ.
2. × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíôëèê-
òíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 5. — Ñ. 40–64.
3. C h i k r i i A . A . Conflict controlled processes. — Boston; London; Dordrecht: Springer Science
and Business Media, 2013. — 424 p.
4. H a j e k O . Pursuit games. — New York; London: Academic Press, 1975. — 266 p.
5. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. — Ì.: Íàóêà, 1988. — Ò. 2. — 576 ñ.
6. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ.
— Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1984. — 65 ñ.
7. Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . , × è ê ð è é À . À . Î ãàðàíòèðîâàííîì ðåçóëüòàòå â äèôôåðåíöèàëüíîé
èãðå ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1995. — 59,
¹ 5. — Ñ. 714–720.
8. C h i k r i i A . A . , R a p p o p o r t J . S . Guarantee result in differential games with terminal payoff
// Ann. Dynamic Games. — Berlin: Birkhauser, 1995. — 59. — P. 323–330.
9. Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . , × è ê ð è é À . À . Ãàðàíòèðîâàííûé ðåçóëüòàò â äèôôåðåíöèàëüíîé
èãðå ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõà-
íèêà. — 1997. — 61, ¹ 4. — Ñ. 584–594.
10. Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ïðî-
öåññîâ ñ òåðìèíàëüíîé ôóíêöèåé ïëàòû // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2016. —
¹ 3. — Ñ. 49–58.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4 101
11. Ï è ë è ï å í ê î Þ . Â . , × è ê ð è é À . À . Êîëåáàòåëüíûå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû
// Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1993. — 57, ¹ 3. — Ñ. 3–14.
12. C h i k r i i A . A . , E i d e l m a n S . D . Game problems for fractional quasilinear systems //
Computers and Mathematics with Applications. — 2002. — 44. — P. 835–851.
13. C h i k r i i A . A . , E i d e l m a n S . D . Generalized Mittag–Leffler function in game problems for
evolutionary equations of fractional order // Cybernetics and Systems Analisis. — 2000. — 36, N 3,
— P. 315–338.
14. C h i k r i i A . A . The problem of avoidance for controlled dynamic objects // J. Math., Game
Theory and Algebra. — 1998. — 7, N 2/3. — P. 81–94.
15. Ê ð è â î í î ñ Þ . à . , Ì à ò û ÷ è í È . È . , × è ê ð è é À . À . Äèíàìè÷åñêèå èãðû ñ ðàçðûâíû-
ìè òðàåêòîðèÿìè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2005. — 220 ñ.
16. C h i k r i i A . A . , K a l a s h n i k o v a S . F . Pursuit of a group of evaders by a single controlled
object // Cybernetics and Systems Analisis. — 1987. — 23, N 4. — P. 437–445.
17. A l b u s J . , M e y s t e l A . , C h i k r i i A . A . , B e l o u s o v A . A . , K o z l o v A . J .
Analytical method for solution of the game problem of soft landing for moving object // Cybernetics
and Systems Analisis. — 2001. — 37, N 1. — P. 75–91.
18. A u b i n J . - P . , F r a n k o w s k a H . Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin: Birkhauser,
1990. — 461 p.
19. Ñ ó á á î ò è í À . È . , × å í ö î â À . à . Îïòèìèçàöèÿ ãàðàíòèè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ. — Ì.:
Íàóêà, 1981. — 288 ñ.
20. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . , Ñ ó á á î ò è í À . È . Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ì.:
Íàóêà, 1974. — 455 ñ.
21. È î ô ô å À . Ä . , Ò è õ î ì è ð î â Â . Ì . Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1974. —
480 ñ.
Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 09.03.2016
É.Ñ. Ðàïïîïîðò
ÏÐÎ ÑÒÐÎÁÎÑÊÎϲ×ÍÓ ÑÒÐÀÒÅÃ²Þ Â ÌÅÒÎIJ ÐÎÇÂ’ßÇÓÂÀËÜÍÈÕ ÔÓÍÊÖ²É
ÄËß ²ÃÐÎÂÈÕ ÇÀÄÀ× ÊÅÐÓÂÀÍÍß Ç ÒÅÐ̲ÍÀËÜÍÎÞ ÔÓÍÊÖ²ªÞ ÏËÀÒÈ
Àíîòàö³ÿ. Äîñë³äæåíî ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é ñòîñîâíî òåîð³³
êîíôë³êòíî-êåðîâàíèõ ïðîöåñ³â ç òåðì³íàëüíîþ ôóíêö³ºþ ïëàòè. Çàïðîïîíî-
âàíî ñõåìó ìåòîäó, ùî çàáåçïå÷óº çàê³í÷åííÿ ãðè çà ïåâíèé ãàðàíòîâàíèé
÷àñ ó êëàñ³ ñòðîáîñêîï³÷íèõ ñòðàòåã³é ïðè ì³í³ìàëüíèõ äîäàòêîâèõ óìîâàõ.
Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ïîð³âíÿííÿ ãàðàíòîâàíèõ ÷àñ³â ö³º¿ ñõåìè ìåòîäó ðîç-
â’ÿçóâàëüíèõ ôóíêö³é ç ïåðøèì ïðÿìèì ìåòîäîì Ïîíòðÿã³íà.
Êëþ÷îâ³ ñëîâà: êâàç³ë³í³éíà äèôåðåíö³éíà ãðà, áàãàòîçíà÷íå â³äîáðàæåííÿ,
âèì³ðíèé ñåëåêòîð, ñòðîáîñêîï³÷íà ñòðàòåã³ÿ.
I.S. Rappoport
STROBOSCOPIC STRATEGY IN THE RESOLVING-FUNCTIONS METHOD FOR CONTROL
GAME PROBLEMS WITH TERMINAL PAYOFF FUNCTION
Abstract. The paper investigates the method of resolving functions with respect
to the theory of conflict-controlled processes with terminal payoff function. The
scheme of the method is proposed. This scheme ensures that the game ends in
a certain guaranteed time in the class of stroboscopic strategies with minimum
additional conditions. The guaranteed times for this scheme of the resolving-
functions method are compared with those of the first direct Pontryagin method.
Keywords: differential quasi-linear game, multi-valued mapping, measurable
selector, stroboscopic strategy.
Ðàïïîïîðò Èîñèô Ñèìîâè÷,
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû,
Êèåâ, e-mail: jeffrappoport@gmail.com.
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 4
|