Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения
Распространение солнечных космических лучей в межпланетном пространстве рассмотрено на основе кинетического уравнения. Получено выражение для концентрации космических лучей при мгновенной инжекции частиц точечным источником. На основе кинетического уравнения получена система дифференциальных уравнен...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Головна астрономічна обсерваторія НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Кинематика и физика небесных тел |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/149708 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения / Ю.И. Фёдоров, Б.А. Шахов // Кинематика и физика небесных тел. — 2018. — Т. 34, № 3. — С. 3-24. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-149708 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1497082025-02-23T17:47:49Z Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения Опис поширення сонячних космічних променів у міжпланетному середовищі на основі кінетичного рівняння Description of solar cosmic ray propagation in the interplanetary medium on the base of kinetic equation Фёдоров, Ю.И. Шахов Б.А. Космическая физика Распространение солнечных космических лучей в межпланетном пространстве рассмотрено на основе кинетического уравнения. Получено выражение для концентрации космических лучей при мгновенной инжекции частиц точечным источником. На основе кинетического уравнения получена система дифференциальных уравнений для гармоник функции распределения космических лучей. Выведено уравнение переноса космических лучей, учитывающее наличие второй гармоники углового распределения частиц. Получено решение этого уравнения. Поширення сонячних космічних променів у міжпланетному просторі розглянуто на основі кінетичного рівняння. Одержано вираз для концентрації космічних променів за миттєвої інжекції частинок точковим джерелом. На основі кінетичного рівняння одержано систему диференційних рівнянь для гармонік функції розподілу космічних променів. Виведено рівняння переносу космічних променів, яке враховує наявність другої гармоніки кутового розподілу частинок. Отримано розв'язок цього рівняння. The propagation of solar cosmic rays in the interplanetary space is considered based on the kinetic equation. The expression for cosmic ray density under instantaneous particle injection by point-like source is obtained. The set of differential equations for harmonics of cosmic ray distribution function is obtained starting from kinetic equation. The cosmic ray transport equation, taking into account the presence of the second harmonic of particle angular distribution, is derived and the solution of this equation is obtained. 2018 Article Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения / Ю.И. Фёдоров, Б.А. Шахов // Кинематика и физика небесных тел. — 2018. — Т. 34, № 3. — С. 3-24. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 0233-7665 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/149708 523.9-72 ru Кинематика и физика небесных тел application/pdf Головна астрономічна обсерваторія НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Космическая физика Космическая физика |
| spellingShingle |
Космическая физика Космическая физика Фёдоров, Ю.И. Шахов Б.А. Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения Кинематика и физика небесных тел |
| description |
Распространение солнечных космических лучей в межпланетном пространстве рассмотрено на основе кинетического уравнения. Получено выражение для концентрации космических лучей при мгновенной инжекции частиц точечным источником. На основе кинетического уравнения получена система дифференциальных уравнений для гармоник функции распределения космических лучей. Выведено уравнение переноса космических лучей, учитывающее наличие второй гармоники углового распределения частиц. Получено решение этого уравнения. |
| format |
Article |
| author |
Фёдоров, Ю.И. Шахов Б.А. |
| author_facet |
Фёдоров, Ю.И. Шахов Б.А. |
| author_sort |
Фёдоров, Ю.И. |
| title |
Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения |
| title_short |
Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения |
| title_full |
Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения |
| title_fullStr |
Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения |
| title_full_unstemmed |
Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения |
| title_sort |
описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения |
| publisher |
Головна астрономічна обсерваторія НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Космическая физика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/149708 |
| citation_txt |
Описание распространения солнечных космических лучей в межпланетной среде на основе кинетического уравнения / Ю.И. Фёдоров, Б.А. Шахов // Кинематика и физика небесных тел. — 2018. — Т. 34, № 3. — С. 3-24. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
| series |
Кинематика и физика небесных тел |
| work_keys_str_mv |
AT fëdorovûi opisanierasprostraneniâsolnečnyhkosmičeskihlučejvmežplanetnojsredenaosnovekinetičeskogouravneniâ AT šahovba opisanierasprostraneniâsolnečnyhkosmičeskihlučejvmežplanetnojsredenaosnovekinetičeskogouravneniâ AT fëdorovûi opispoširennâsonâčnihkosmíčnihpromenívumížplanetnomuseredoviŝínaosnovíkínetičnogorívnânnâ AT šahovba opispoširennâsonâčnihkosmíčnihpromenívumížplanetnomuseredoviŝínaosnovíkínetičnogorívnânnâ AT fëdorovûi descriptionofsolarcosmicraypropagationintheinterplanetarymediumonthebaseofkineticequation AT šahovba descriptionofsolarcosmicraypropagationintheinterplanetarymediumonthebaseofkineticequation |
| first_indexed |
2025-11-24T04:40:37Z |
| last_indexed |
2025-11-24T04:40:37Z |
| _version_ |
1849645321786753024 |
| fulltext |
ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÀß ÔÈÇÈÊÀ
ÓÄÊ 523.9-72
Þ. È. Ôå äî ðîâ, Á. À. Øà õîâ
Ãëàâ íàÿ àñ òðî íî ìè ÷åñ êàÿ îá ñåð âà òî ðèÿ Íà öè î íàëü íîé àêà äå ìèè íàóê Óêðàèíû
óë. Àêàäåìèêà Çà áî ëîò íî ãî 27, Êè åâ, 03143
fedorov@mao.kiev.ua
Îïè ñà íèå ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ
ñî ëíå÷ íûõ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé â ìåæ ïëà íåò íîé ñðå äå
íà îñíî âå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâíåíèÿ
Ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ñî ëíå÷ íûõ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé â ìåæ ïëà íåò íîì ïðî -
ñòðà íñòâå ðàñ ñìîò ðå íî íà îñíî âå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ. Ïî ëó ÷å -
íî âû ðà æå íèå äëÿ êîí öåí òðà öèè êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé ïðè ìãíî âåí íîé
èí æåê öèè ÷àñ òèö òî ÷å÷ íûì èñ òî÷ íè êîì. Íà îñíî âå êè íå òè ÷åñ êî ãî
óðàâ íå íèÿ ïî ëó ÷å íà ñèñ òå ìà äèô ôå ðåí öè àëü íûõ óðàâ íå íèé äëÿ ãàð ìî -
íèê ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé. Âû âå äå íî óðàâ íå íèå
ïå ðå íî ñà êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé, ó÷è òû âà þ ùåå íà ëè ÷èå âòî ðîé ãàð ìî íè -
êè óãëî âî ãî ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÷àñ òèö. Ïî ëó ÷å íî ðå øå íèå ýòîãî óðàâ íå -
íèÿ.
Êëþ ÷å âûå ñëî âà: êîñ ìè ÷åñ êèå ëó÷è, êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå, äèô ôó -
çèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Óñêî ðå íèå çà ðÿ æåí íûõ ÷àñ òèö äî âû ñî êèõ ýíåð ãèé â ñî ëíå÷ íîé êî ðî -
íå è ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ñî ëíå÷ íûõ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé (ÑÊË) âî âíóò -
ðåí íåé ãå ëè îñ ôå ðå ÿâ ëÿ þò ñÿ ôóí äà ìåí òàëü íû ìè ïðî áëå ìà ìè àñ òðî -
ôè çè êè è êîñ ìè ÷åñ êîé ôè çè êè. ÑÊË ñî äåð æàò âàæ íóþ èí ôîð ìà öèþ î
ñâî éñòâàõ êîñ ìè ÷åñ êîé ïëàç ìû è ýëåê òðî ìàã íèò íûõ óñëî âè ÿõ âáëè çè
Ñîë íöà è â ìåæ ïëà íåò íîì ïðî ñòðà íñòâå [9, 11, 26, 27].
Ñîë íå÷ íûå êîñ ìè ÷åñ êèå ëó ÷è ÿâ ëÿ þò ñÿ ñî ñòàâ ëÿ þ ùåé êîñ ìè ÷åñ -
êîé ïî ãî äû, òàê êàê ïðåä ñòàâ ëÿ þò îïàñ íîñòü äëÿ ýëåê òðîíè êè è ýêè ïà -
æåé êîñ ìè ÷åñ êèõ êî ðàá ëåé, äëÿ ñèñ òåì ñâÿ çè è íà âè ãà öèè, ìî ãóò îêà -
çû âàòü âëè ÿ íèå íà ïî ëÿð íóþ àò ìîñ ôå ðó Çåì ëè [22, 27, 30].
Ðàñ ñå ÿ íèå çà ðÿ æåí íûõ ÷àñ òèö â ñëó ÷àé íûõ ìàã íèò íûõ ïî ëÿõ ÿâ -
ëÿ åò ñÿ îñíîâ íûì ìå õà íèç ìîì, êî òî ðûé êîí òðî ëè ðó åò ðàñ ïðîñ òðà íå -
íèå êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé (ÊË) â Ãà ëàê òè êå, ñî ëíå÷ íóþ ìî äó ëÿ öèþ ãà -
3
ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ
È ÔÈÇÈÊÀ
ÍÅÁÅÑÍÛÕ
ÒÅË òîì 34 ¹ 3 2018
© Þ. È. ÔÅ ÄÎ ÐÎÂ, Á. À. ØÀ ÕÎÂ, 2018
4
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
ëàê òè ÷åñ êèõ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé, ïå ðå íîñ ÑÊË â ìåæ ïëà íåò íîé ñðå äå.
Ðàñ ïðîñ òðà íå íèå â ìåæ ïëà íåò íîé ñðå äå çà ðÿ æåí íûõ ÷àñ òèö âû ñî êîé
ýíåð ãèè, óñêî ðåí íûõ âî âðå ìÿ ñî ëíå÷ íûõ âñïû øåê, ñó ùåñ òâåí íûì
îá ðà çîì çà âè ñèò îò óðîâ íÿ òóð áó ëåí òíîñ òè ìåæ ïëà íåò íî ãî ìàã íèò íî -
ãî ïî ëÿ. Åñëè ðàñ ñå ÿ íèå ÊË íà ìàã íèò íûõ íå îäíî ðîä íîñ òÿõ äîñ òà òî÷ -
íî ýô ôåê òèâ íî, òàê ÷òî òðàíñ ïîð òíûé ïðî áåã ÊË îêà çû âà åò ñÿ ìà ëûì
ïî ñðàâ íå íèþ ñ ðàñ ñòî ÿ íè åì äî èñ òî÷ íè êà ÷àñ òèö, òî ìîæ íî èñ ïîëü çî -
âàòü óðàâ íå íèå äèô ôó çèè äëÿ îïè ñà íèÿ ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ ÑÊË [5, 26].
Äèô ôó çè îí íîå ïðè áëè æå íèå ñïðà âåä ëè âî, êîã äà ïðî ñòðà íñòâåí -
íûå è âðå ìåí íûå ìàñ øòà áû èç ìå íå íèÿ ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË
çíà ÷è òåëü íî ïðå âû øà þò òðàíñ ïîð òíûé ïðî áåã ÷àñ òè öû è õà ðàê òåð íîå
âðå ìÿ ðàñ ñå ÿ íèÿ ñî îò âå òñòâåí íî [12, 24, 31]. Â ïðî òè âî ïî ëîæ íîì ñëó -
÷àå ñëà áî ãî ðàñ ñå ÿ íèÿ ÷àñ òèö íà ìàã íèò íûõ íå îäíî ðîä íîñ òÿõ, êîãäà
òðàíñïîðòíûé ïðîáåã ÊË ñðàâíèì ñ ðàññòîÿíèåì äî èñòî÷íèêà ÷àñòèö,
äèôôóçèîííîå îïèñàíèå ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÑÊË ñòàíîâèòñÿ
íåêîððåêòíûì è íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèåì.
 ðÿ äå ðà áîò ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ÊË â ìåæ ïëà íåò íîé ñðå äå ðàñ ñìàò -
ðè âà ëîñü íà îñíî âà íèè êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ Áî ëüöìà íà [17—19,
24, 31, 31]. Ðàñ ñå ÿ íèå ÊË íà íå îäíî ðîä íîñ òÿõ ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ â äàí -
íîì ñëó ÷àå ïðåä ñòàâ ëå íî èí òåã ðà ëîì ñòîë êíî âå íèé, ñî îò âå òñòâó þ -
ùèì ðàñ ñå ÿ íèþ ÷àñ òèö íà ïðî èç âîëü íûå (â òîì ÷èñ ëå çíà ÷è òåëü íûå)
óãëû. Êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå Ôîê êå ðà — Ïëàí êà ñî îò âå òñòâó åò ìíî -
ãîê ðàò íî ìó ðàñ ñå ÿ íèþ ÷àñ òèö íà ìà ëûå óãëû, à ñî îò âå òñòâó þ ùèé èí -
òåã ðàë ñòîë êíî âå íèé îïè ñû âà åò äèô ôó çèþ ÊË â èì ïó ëüñíîì ïðî ñòðà -
íñòâå. Ïå ðå íîñ ÊË â ìåæ ïëà íåò íîé ñðå äå èñ ñëå äî âàí íà îñíî âà íèè
êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ Ôîê êå ðà — Ïëàí êà â ðà áî òàõ [2, 10, 23, 28,
29]. Ìåë êî ìàñ øòàá íûå ôëóê òó à öèè ìåæ ïëà íåò íî ãî ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ
îá óñëîâ ëè âà þò ðàñ ñå ÿ íèå ÊË íà ìà ëûå óãëû, à ìàã íèò íûå ñòðóê òó ðû
ñî ëíå÷ íî ãî âåò ðà ìî ãóò âû çû âàòü ðàñ ñå ÿ íèå ÷àñ òèö íà çíà ÷è òåëü íûå
óãëû. Òà êèì îá ðà çîì, ïå ðå íîñ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö âûñîêîé ýíåðãèè â
ñîëíå÷íîì âåòðå, ïî-âèäèìîìó, ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé ìàëîóãëîâîãî
ðàññåÿíèÿ ÷àñòèö è ðàññåÿíèÿ ÊË íà çíà÷èòåëüíûå óãëû [23, 32].
 íà ñòî ÿ ùåé ðà áî òå ïî ëó ÷å íî àíà ëè òè ÷åñ êîå ðå øå íèå êè íå òè ÷åñ -
êî ãî óðàâ íå íèÿ Áî ëüöìà íà, ñî îò âå òñòâó þ ùåå ìãíî âåí íîé èí æåê öèè
÷àñ òèö òî ÷å÷ íûì èñ òî÷ íè êîì. Ïî ëó ÷å íà ñèñ òå ìà äèô ôå ðåí öè àëü íûõ
óðàâ íå íèé äëÿ ñôå ðè ÷åñ êèõ ãàð ìî íèê ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË. Íà
îñíî âå äàí íîé ñèñ òå ìû óðàâ íå íèé ïðî âå äåí âû âîä óðàâ íå íèÿ äèô ôó -
çèè, òå ëåã ðàô íî ãî óðàâ íå íèÿ è óðàâ íå íèÿ ïå ðå íî ñà ÊË, ó÷è òû âà þ ùå -
ãî íà ëè ÷èå âòîðîé ãàðìîíèêè óãëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòèö, è
ïðèâåäåíî ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé.
ÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ
Áó äåì èñ õî äèòü èç êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ, îïè ñû âà þ ùå ãî ðàñ ïðîñ -
òðà íå íèå çà ðÿ æåí íûõ ÷àñ òèö âû ñî êîé ýíåð ãèè â ìåæ ïëà íåò íûõ ìàã -
íèò íûõ ïî ëÿõ [5, 10, 15]:
¶
¶
+
¶
¶
+
- ¶
¶
+ - =
-
ò
f
t
f
r r
f
f d f
r t
um
u m
m
u u
m
d d( ) ( ) ( )1
2 16
2
1
1
L L p 2 2r
, (1)
ãäå f r t( , , )m — ôóíê öèÿ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË, m — êî ñè íóñ óãëà q ìåæ äó
âåê òî ðîì ñêî ðîñ òè ÷àñ òè öû u è ðà äè àëü íûì íà ïðàâ ëå íè åì, L — òðàíñ -
ïîð òíûé ïðî áåã ÊË. Äâà ïî ñëåä íèõ ñëà ãà å ìûõ â ëå âîé ÷àñ òè êè íå òè -
÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ (1) îïè ñû âà þò ïðî öåññ ðàñ ñå ÿ íèÿ ÷àñ òèö íà íå -
îäíî ðîä íîñ òÿõ ìàã íèò íî ãî ïîëÿ. Ïðåä ïî ëà ãà åì, ÷òî ôóíê öèÿ ðàñ ïðå -
äå ëå íèÿ ÊË çà âè ñèò îò åäè íñòâåí íîé ïðî ñòðà íñòâåí íîé êî îð äè íà òû r.
 ïðà âóþ ÷àñòü êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ âõî äèò ìãíî âåí íûé, òî ÷å÷ -
íûé èñ òî÷ íèê ÷àñ òèö, ðàñ ïî ëî æåí íûé â íà ÷à ëå êî îð äè íàò.
Ââå äåì áåç ðàç ìåð íûå ïå ðå ìåí íûå
r =
r
L
, t
u
=
t
L
. (2)
Òà êèì îá ðà çîì, ðàñ ñòî ÿ íèå áó äåò èç ìå ðÿòü ñÿ â äëè íàõ ïðî áå ãà
ÊË, à âðå ìÿ — â õà ðàê òåð íûõ âðå ìå íàõ ðàñ ñå ÿ íèÿ L /u. Â áåç ðàç ìåð -
íûõ ïå ðå ìåí íûõ êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (1) ïðè îá ðå òà åò ñëå äó þ ùèé
âèä:
¶
¶
+
¶
¶
+
- ¶
¶
+ - =
-
ò
f f f
f d f
t
m
r
m
r m
m
d r d t
p r
1 1
2 16
2
1
1
2 3 2
( ) ( )
L
. (3)
Ââå äåì íî âóþ ôóíê öèþ
~
f , ïðî ïîð öè î íàëü íóþ ôóíê öèè ðàñ ïðå -
äå ëå íèÿ ÊË:
~
( , ) ( , )exp( )f fr t r t t= . (4)
Âû ïîë íèì ïðå îá ðà çî âà íèå Ôóðüå ïî ïðî ñòðà íñòâåí íîé êî îð äè íà -
òå è ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà ïî âðåìåíè:
f k d d f ik( , )
~
( , )exp( )w r t r t r wt= - -ò ò
¥r rr
0
. (5)
Èñõî äÿ èç êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ (3), ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå âû -
ðà æå íèå äëÿ îá ðà çà Ôóðüå — Ëàï ëà ñà ôóíê öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÊË
f k
ikg
d f k( , ) ( , )w
w p
m w=
+
+
ì
í
î
ü
ý
þ-
ò
1 1
4
1
23
1
1
rr
L
, (6)
ãäå
r r
g = u u/ — åäè íè÷ íûé âåê òîð â íà ïðàâ ëå íèè äâè æå íèÿ ÷àñ òè öû.
Ôóí êöèÿ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó÷åé f ( , )r t , óäîâ ëåò âî ðÿ -
þ ùàÿ êè íå òè ÷åñ êî ìó óðàâ íå íèþ (3), ìî æåò áûòü ïðåä ñòàâ ëå íà â âè äå
ñó ïåðïî çè öèè ôóíê öèè f 0 ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÷àñ òèö, íå èñ ïû òàâ øèõ ðàñ -
ñå ÿ íèÿ, è ôóíê öèè f s ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ðàññåÿííûõ ÷àñòèö [16, 18, 24,
31]:
f f f s( , ) ( , ) ( , )r t r t r t= +0 . (7)
Îáðàç Ôóðüå — Ëàï ëà ñà ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ íå ðàñ ñå ÿí íûõ
÷àñ òèö èìååò âèä
f k
ikg
( , )
( )
w
p w
=
+
1
4 3L
rr . (8)
5
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
Âû ïîë íèâ îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà, ïîëó÷èì
f k
ikg
0 34
( , )
exp( )
t
t
p
=
-
rr
L
. (9)
Êîí öåí òðà öèÿ ÷àñ òèö îïðå äå ëÿ åò ñÿ ñî îò íî øå íè åì
N d f( , ) ( , , )r t p m r m t=
-
ò2
1
1
. (10)
Ïðî èí òåã ðè ðî âàâ ñî îò íî øå íèå (9) ïî m, ïî ëó ÷èì âû ðà æå íèå äëÿ
îá ðà çà Ôóðüå êîí öåí òðà öèè íå ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö:
N k
k
k
0 3
( , )
sin
t
t
t
=
L
. (11)
Âû ïîë íÿÿ îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ôóðüå (ñ ó÷å òîì ñî îò íî øå -
íèÿ (4)), ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ êîí öåí òðà öèè íå ðàñ ñå -
ÿí íûõ ÷àñòèö [6, 15]:
N 0 34
( , )
exp( ) ( )
r t
t d t r
p rt
=
- -
L
. (12)
Ñî îò íî øå íèå (12) îïè ñû âà åò êîí öåí òðà öèþ íå ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö
ïî ñëå èõ ìãíî âåí íîé èí æåê öèè òî ÷å÷ íûì èñ òî÷ íè êîì, ðàñ ïî ëî æåí -
íûì â íà ÷à ëå êî îð äè íàò. Ñîã ëàñ íî ôîð ìó ëå (12) íå ðàñ ñå ÿí íûå ÷àñ òè -
öû â ìî ìåíò âðå ìå íè t íà õî äÿò ñÿ íà ñôå ðå ðà äè ó ñà r = t, à èõ ÷èñ ëî
ýêñ ïî íåí öè àëü íî óìåíü øà åò ñÿ ñî âðå ìå íåì.
Ïðî èí òåã ðè ðî âàâ ñî îò íî øå íèå (6) ïî âå ëè ÷è íå m è ïîä ñòà âèâ ïî -
ëó ÷åí íîå âû ðà æå íèå â ôîð ìó ëó (6), ïî ëó ÷èì âû ðà æå íèå äëÿ îá ðà çà
ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö:
f k
ikg
k
k k
s ( , )
( )
( / )
( / )
w
p w
w
w
=
+ -
1
4 3L
rr
arctg
arctg
. (13)
Ïðè èí òåã ðè ðî âà íèè ïî m áû ëî èñ ïîëü çî âà íî ñî îò íî øå íèå
d
ikg k
km
w w+
=
-
ò rr
1
1
2
arctg . (14)
Ïðî èí òåã ðè ðî âàâ ñî îò íî øå íèå (13) ïî âå ëè ÷è íå m, ïî ëó ÷èì ñëå -
äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ îá ðà çà Ôóðüå — Ëàï ëà ñà êîí öåí òðà öèè ðàñ ñå -
ÿí íûõ ÷àñ òèö:
N k
k
k
k k
s ( , )
( / )
( / )
w
w
w
=
-
1
3
2
L
arctg
arctg
. (15)
ÊÎÍÖÅÍÒÐÀÖÈß ÎÄÍÎÊÐÀÒÍÎ ÐÀÑÑÅßÍÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ
Ôóí êöèÿ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö ìî æåò áûòü ïðåä ñòàâ ëå íà
â âèäå ñóì ìû ôóíê öèé ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÷àñ òèö, èñ ïû òàâ øèõ ðàç ëè÷ -
íóþ êðàò íîñòü ðàñ ñå ÿ íèé [18, 31]. Çà ïè øåì âû ðà æå íèå äëÿ îá ðà çà
6
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
Ôóðüå — Ëàï ëà ñà êîí öåí òðà öèè ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö (15) â âèäå ðÿäà:
N k N ks i
i
( , ) ( , )w w=
=
¥
å
1
, (16)
ãäå
N k
k
k
i
i
( , )
( / )
w
w
=
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
1
3
1
L
arctg
. (17)
Ïðî èí òåã ðè ðî âàâ ñî îò íî øå íèå äëÿ îá ðà çà êîí öåí òðà öèè íå ðàñ ñå -
ÿí íûõ ÷àñ òèö (8) ïî m, ïî ëó ÷èì
N k
k
k
0 3
1
( , )
( / )
w
w
=
L
arctg
. (18)
Òà êèì îá ðà çîì, îá ðàç êîí öåí òðà öèè âñåõ ÷àñ òèö ìîæ íî ïðåä ñòà -
âèòü â âè äå ðÿ äà, àíà ëî ãè÷ íî ãî (16), ïðè óñëî âèè, ÷òî ñóì ìè ðî âà íèå
áó äåò íà ÷è íàòü ñÿ ñî çíà ÷å íèÿ i = 0.
Ïðåä ñòà âèì îá ðàç Ôóðüå — Ëàï ëà ñà êîí öåí òðà öèè ðàñ ñå ÿí íûõ
÷àñ òèö (15) â âèäå
N k N k
k
k
k k
s ( , ) ( , )
( / )
( / )
w w
w
w
= +
-
1 3 2
31
L
arctg
arctg
, (19)
ãäå
N k
k
k
1 3
2
2
1
( , )
( / )
w
w
=
L
arctg
(20)
— îá ðàç êîí öåí òðà öèè îä íî êðàò íî ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö. Âòî ðîå ñëà ãà å -
ìîå â ôîð ìó ëå (19) ïðåä ñòàâ ëÿ åò ñî áîé îá ðàç Ôóðüå — Ëàï ëà ñà êîí -
öåí òðà öèè ÷àñ òèö, ðàñ ñå ÿí íûõ áî ëåå îä íî ãî ðàçà.
Ôóí êöèÿ êîì ïëåê ñíî ãî ïå ðå ìåí íî ãî w
arctg
k
i
ik
ikw
w
w
=
+
-
1
2
ln (21)
èìå åò äâå òî÷ êè âåò âëå íèÿ w = ±ik [4]. Äëÿ âû äå ëå íèÿ îä íî çíà÷ íîé
âåò âè àíà ëè òè ÷åñ êîé ôóíê öèè N k1 ( , )w (20), íå îá õî äè ìî â êîì ïëåê -
ñíîé ïëîñ êîñ òè ïðî âåñ òè ðàç ðåç ïî ìíè ìîé îñè ìåæ äó òî÷ êà ìè -ik è
ik. Êîí òóð èí òåã ðè ðî âà íèÿ, èñ ïîëü çó å ìûé ïðè âû ïîë íå íèè îá ðàò íî ãî
ïðå îá ðà çî âà íèÿ Ëàï ëà ñà, ïðè âå äåí íà ðèñ. 1. Çà ìû êà åì ïðÿ ìóþ L, ïî
êî òî ðîé íå îá õî äè ìî èí òåã ðè ðî âàòü ïðè âû ïîë íå íèè îá ðàò íî ãî ïðå -
îá ðà çî âà íèÿ Ëàï ëà ñà, äó ãîé áåñ êî íå÷ íî áîëü øî ãî ðà äè óñà, ðàñ ïî ëî -
æåí íîé â ëå âîé ïî ëóï ëîñ êîñ òè, è ïðî âî äèì ðàç ðåç ìåæ äó òî÷ êà ìè –ik
è ik. Òà êèì îá ðà çîì, âû ïîë íå íèå îá ðàò íî ãî ïðå îá ðà çî âà íèÿ Ëàï ëà ñà
ñâî äèò ñÿ ê èí òåã ðè ðî âà íèþ ïî áå ðå ãàì ðàç ðå çà L1 è L2 (ðèñ. 1).
Âû ïîë íèâ îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà ôóíê öèè N k1 ( , )w
(20), ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ îá ðà çà Ôóðüå êîí öåí òðà öèè
îä íî êðàò íî ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö:
7
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
N k
k
d k1 3
1
1
1
( , ) ( )sint hk h th= -
-
òL
, (22)
ãäå
k h
h
h
( ) ln=
-
+
1
1
. (23)
Ïîñ ëå âû ïîë íå íèÿ îá ðàò íî ãî ïðå îá ðà çî âà íèÿ Ôóðüå âå ëè ÷è íû
N k1 ( , )t (22) ïî ëó ÷à åì âû ðà æå íèå äëÿ êîí öåí òðà öèè îä íî êðàò íî
ðàññåÿííûõ ÷àñòèö:
N 1 34
( , )
exp( )
ln ( )r t
t
p rt
t r
t r
t r=
- +
-
-
L
Q , (24)
ãäå Q( )x — åäè íè÷ íàÿ ôóíê öèÿ Õå âè ñàé äà.
Îáðàç Ôóðüå — Ëàï ëà ñà êîí öåí òðà öèè äâóê ðàò íî ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ -
òèö èìååò âèä
N k
k
k
2 3
3
3
1
( , )
( / )
w
w
=
L
arctg
. (25)
Âû ïîë íèâ îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà (êîí òóð èí òåã ðè ðî -
âà íèÿ ïðè âå äåí íà ðèñ. 1), ïîëó÷èì
N k
k
d k2 3 2
0
1
2 21
4
3( , ) ( )cost h p k th= -òL
, (26)
ãäå ôóíê öèÿ k h( ) îïðå äå ëå íà ñî îò íî øå íè åì (23). Îáðàò íîå ïðå îá ðà -
çî âà íèå Ôóðüå ôóíê öèè (26) ïî çâî ëÿ åò çà ïè ñàòü ñëå äó þ ùåå âû ðà æå -
íèå äëÿ êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö, ðàñ ñå ÿí íûõ äâàæ äû:
N d2 3
0
2 2
16
3( , )
exp( )
( )
/
r t
t
p r
h p k
r t
=
-
-òL
. (27)
Äëÿ òðåõ êðàò íî ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö ïî ëó ÷èì
8
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
Ðèñ. 1. Êîí òóð èí òåã ðè ðî âà íèÿ, èñ ïîëü çó å -
ìûé ïðè âû ïîë íå íèè îá ðàò íî ãî ïðå îá ðà çî -
âà íèÿ Ëàï ëà ñà
N k
k
k
3 3
4
4
1
( , )w w=
L
arctg
, (28)
N k
k
d k3 3 3
0
1
2 21
2
( , ) ( )sint hk k p th= -òL
. (29)
Âû ïîë íèâ îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ôóðüå, ïî ëó ÷à åì ñëå äó þ ùåå
âû ðà æå íèå äëÿ êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö, èñ ïû òàâ øèõ ðàññåÿíèå òðè ðàçà:
N d d3 3
0
2 2
1
2
8
( , )
exp( )
( ) (
/
/
r t
t
p
t
r
hhk k p hk k
r t
r t
=
-
- + -ò òL
p 2 )
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
. (30)
Íà ðèñ. 2 ïðåä ñòàâ ëå íà çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ðàñ ñå ÿí íûõ
÷àñ òèö îò âðå ìå íè â òî÷ êå r = 3. ×èñ ëà ó êðè âûõ ñî îò âå òñòâó þò êðàò -
íîñ òè ðàñ ñå ÿ íèÿ. Îòìå òèì, ÷òî åñ ëè t < r, òî êîí öåí òðà öèÿ ÷àñ òèö ðàâ -
íà íó ëþ, â ñî îò âå òñòâèè ñ êî íå÷ íûì çíà ÷å íè åì èõ ñêî ðîñ òè. Ïåð âû ìè
â òî÷ êó r = 3 ïðè õî äÿò îä íî êðàò íî ðàñ ñå ÿí íûå ÷àñ òè öû è äî ìî ìåí òà
âðå ìå íè, ñî îò âå òñòâó þ ùå ãî óñëî âèþ N 1 = N 2 , ÷èñ ëî îä íî êðàò íî ðàñ -
ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö â äàí íîé òî÷ êå ïðî ñòðà íñòâà îêà çû âà åò ñÿ áîëü øå ÷èñ -
ëà ÷àñ òèö ñ äðó ãîé êðàò íîñ òüþ ðàñ ñå ÿ íèÿ. Çà òåì íå êî òî ðûé ïå ðè îä
âðå ìå íè â òî÷ êå r = 3 áó äóò ïðå îá ëà äàòü äâóê ðàò íî ðàñ ñå ÿí íûå ÷àñ òè -
öû, è òàê äà ëåå (ðèñ. 2).
×èñ ëî k-êðàò íî ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö âî âñåì ïðî ñòðà íñòâå â äàí íûé
ìî ìåíò âðå ìå íè îïðå äå ëÿ åò ñÿ ñî îò íî øå íè åì
n t drr N r tk k( ) ( , )=
¥
ò4 2
0
p . (31)
Ïðî èí òåã ðè ðî âàâ âû ðà æå íèå äëÿ êîí öåí òðà öèè íå ðàñ ñå ÿí íûõ
÷àñ òèö (12), ïîëó÷èì
n0 ( ) exp( )t t= - . (32)
Òà êèì îá ðà çîì, ïî ëíîå ÷èñ ëî íå ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö (32) ýêñ ïî íåí -
öè àëü íî óìåíü øà åò ñÿ ñî âðå ìå íåì âñëå äñòâèå èõ ðàñ ñå ÿ íèÿ íà íå -
îäíî ðîä íîñ òÿõ ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ. Èíòåã ðè ðóÿ ïî ïðî ñòðà íñòâåí íîé
9
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
Ðèñ. 2. Çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè
ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö îò âðå ìå íè â òî÷ êå
r = 3. Öèô ðû ó êðè âûõ ñî îò âå òñòâó þò
êðàò íîñ òè ðàñ ñå ÿ íèÿ
ïå ðå ìåí íîé ñî îò íî øå íèÿ (24), (27) è (30), ïî ëó ÷à åì êî ëè ÷åñ òâà ni ðàñ -
ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö âî âñåì ïðî ñòðà íñòâå, êîòîðûå èñïûòàëè îäíî, äâà è
òðè ðàññåÿíèÿ:
n t1 ( ) exp( )= -t t , (33)
n2
2
2
( ) exp( )t
t
t= - , (34)
n3
3
3
( )
!
exp( )t
t
t= - . (35)
Ìîæ íî çà ïè ñàòü âû ðà æå íèå äëÿ ÷èñ ëà ÷àñ òèö (âî âñåì ïðî ñòðà -
íñòâå), êî òî ðûå èñ ïû òà ëè k ðàñ ñå ÿ íèé:
n
k
k
k
( )
!
exp( )t
t
t= - . (36)
Ïîë íîå ÷èñ ëî ÷àñ òèö íå èç ìå íÿ åò ñÿ ñî âðå ìå íåì è ðàâ íî ÷èñ ëó
÷àñ òèö, èí æåê òè ðî âàí íûõ èñòî÷íèêîì:
nk
k =
¥
å =
0
1( )t . (37)
Íà ðèñ. 3 ïðåä ñòàâ ëå íà çà âè ñè ìîñòü îò âðå ìå íè ÷èñ ëà k-êðàò íî
ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö (âî âñåì ïðî ñòðà íñòâå) ñî ãëàñ íî âû ðà æå íèþ (36).
Âèä íî, ÷òî ïðè ìà ëûõ çíà ÷å íè ÿõ t â ïðî ñòðà íñòâå ïðå îá ëà äà þò íå ðàñ -
ñå ÿí íûå ÷àñ òè öû. Ïðè óñëî âèè 1 < t < 2 îêà çû âà åò ñÿ áîëü øå âñå ãî îä -
íî êðàò íî ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö, à â ñëó ÷àå k < t < k + 1, ïðå îá ëà äà þò ÷àñ -
òè öû, èñ ïû òàâ øèå ðàñ ñå ÿ íèå k ðàç.
ÊÎÍÖÅÍÒÐÀÖÈß ×ÀÑÒÈÖ, ÐÀÑÑÅßÍÍÛÕ
ÁÎËÅÅ ÎÄÍÎÃÎ ÐÀÇÀ
Îáðàç Ôóðüå — Ëàï ëà ñà ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö (15) ìîæ íî ïðåä ñòà âèòü â
ñëå äó þ ùåì âèäå:
N k N k N ks ( , ) ( , ) ( , )w w wa= +1 , (38)
10
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
Ðèñ. 3. Çà âè ñè ìîñòü ÷èñ ëà ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ -
òèö îò âðå ìå íè. ×èñ ëà ó êðè âûõ ñî îò âå -
òñòâó þò êðàò íîñ òè ðàñ ñå ÿ íèÿ
ãäå âå ëè ÷è íà N 1 (20) ñî îò âå òñòâó åò îä íî êðàò íî ðàñ ñå ÿí íûì ÷àñ òè öàì,
à âû ðà æå íèå
N k
k
k
k k
a w
w
w
( , )
( / )
( / )
=
-
1
3 2
3
L
arctg
arctg
(39)
ïðåä ñòàâ ëÿ åò ñî áîé îá ðàç Ôóðüå — Ëàï ëà ñà êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö,
ðàñ ñå ÿí íûõ áî ëåå îä íî ãî ðàçà.
Âû ïîë íèì ñíà ÷à ëà îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà ñî îò íî øå -
íèÿ (39). Åñëè âû ïîë íå íî óñëî âèå k < p / 2, òî óðàâíåíèå
k
k
- =arctg
w
0 (40)
èìå åò åäè íñòâåí íûé êî ðåíü
w0 = k kctg . (41)
 ïðî òè âî ïî ëîæ íîì ñëó ÷àå k > p / 2 óðàâ íå íèå (40) íå èìå åò ðå øå -
íèé. Òà êèì îá ðà çîì, ïðè âû ïîë íå íèè îá ðàò íî ãî ïðå îá ðà çî âà íèÿ Ëàï -
ëà ñà íå îá õî äè ìî âû ÷èñ ëèòü âû ÷åò â òî÷ êå w0 (41) (ïðè óñëî âèè
k < p / 2). Êîí òóð èí òåã ðè ðî âà íèÿ, èñ ïîëü çó å ìûé ïðè âû ïîë íå íèè îá -
ðàò íî ãî ïðå îá ðà çî âà íèÿ Ëàï ëà ñà, ïðè âå äåí íà ðèñ. 1. Âû ïîë íèâ îá -
ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà, ïî ëó ÷à åì ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ
îáðàçà Ôóðüå êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö, ðàññåÿííûõ áîëåå îäíîãî ðàçà:
N k N k N ka b gt t t( , ) ( , ) ( , )= + , (42)
N k
k
k
k k kb t t
p
( , )
sin
exp( )= -
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
3 2 2L
Qctg , (43)
N k
k
d ik
i
k
i
i
g t
p
h th
p k
p
k
p k
( , ) exp( )
( ) (
=
+
- -
+
-
ò
1
16
2 2
3
0
1 3
L
)3
2 2
k
i
+ -
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
+
p
k
+ -
-
- +
+
+
+
ò
1
16
2 2 2
3
0
1 3 3
p
h th
p k
p
k
p k
pL k
d ik
i
k
i
i
k
exp( )
( ) ( )
+
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
i
2
k
, (44)
ãäå âå ëè ÷è íà k h( ) îïðå äå ëå íà ôîð ìó ëîé (23). Âå ëè ÷è íà N b (43) ïî ëó -
÷å íà ïðè âû ÷èñ ëå íèè âû ÷å òà â òî÷ êå w0 (41), à ôîð ìó ëà äëÿ N g (44) ïî -
ëó ÷å íà ïðè èí òåã ðè ðî âà íèè ïî áå ðå ãàì ðàç ðå çà L1 è L2 (ðèñ. 1).
Âû ïîë íÿÿ îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ôóðüå è ó÷è òû âàÿ ôîð ìó ëó
(4), ïðè õî äèì ê ñëå äó þ ùèì ñîîòíîøåíèÿì:
N dk
k k
k
k kb
p
r t
t
p r
r
t( , )
exp( ) sin
sin
exp(
/
=
-
ò2 2 3
0
2 3
2L
ctg ) , (45)
11
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
N g r t( , ) =
exp( )
( )cos ( )
-
- - +
ì
í
î
ò
t
p r
h p p k
p
th r
h
16
3
22 3
0
2 2
1
L
d
+ - -
ü
ý
þ
- -
æ
è
ç
ö
ø
÷k k p
p
th r
k
th r( )sin ( ) exp ( )2 23
2 2
. (46)
Âåð õíèé ïðåä åë èí òåã ðè ðî âà íèÿ h1 â ôîð ìó ëå (46) ðà âåí âå ëè ÷è íå
r / t, åñ ëè r < t, è h1= 1 â ïðî òè âî ïî ëîæ íîì ñëó ÷àå (r > t ). Êîí öåí òðà -
öèÿ ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö N s ( , )r t ïðåä ñòàâ ëÿ åò ñî áîé ñóì ìó îä íî êðàò íî
ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö N 1 ( , )r t (24) è ÷àñ òèö, ðàñ ñå ÿí íûõ áî ëåå îä íî ãî
ðàçà N a r t( , ). Êîí öåí òðà öèÿ ÷àñ òèö, ðàñ ñå ÿí íûõ áî ëåå îä íî ãî ðàçà,
ìîæ íî ïðåä ñòà âèòü â âè äå ñóì ìû
N N Na b gr t r t r t( , ) ( , ) ( , )= + , (47)
ãäå âå ëè ÷è íû N b, N g îïðå äå ëå íû ôîð ìó ëà ìè (45) è (46).
Åñëè âðå ìÿ, ïðî øåä øåå ïî ñëå èí æåê öèè ÷àñ òèö, çíà ÷è òåëü íî ïðå -
âû øà åò õà ðàê òåð íîå âðå ìÿ ðàñ ñå ÿ íèÿ (t >> 1), òî ìîæ íî ïðå íåá ðå÷ü
êîí öåí òðà öè åé íå ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö N 0 (12) è îä íî êðàò íî ðàñ ñå ÿí -
íûõ ÷àñ òèö N 1 (24), òàê êàê ýòè âå ëè ÷è íû ïðî ïîð öè î íàëü íû ýêñ ïî íåí -
öè àëü íî ìà ëî ìó ìíî æè òå ëþ exp(-t).
Òà êèì îá ðà çîì, ïðè áîëü øèõ çíà ÷å íè ÿõ áåç ðàç ìåð íî ãî âðå ìå íè â
ðàñ ïðå äå ëå íèè ÊË äî ìè íè ðó þò ìíî ãîê ðàò íî ðàñ ñå ÿí íûå ÷àñ òè öû.
Ïðè áîëü øèõ çíà ÷å íè ÿõ âðå ìå íè t âå ëè ÷è íà N b (45) çíà ÷è òåëü íî ïðå -
âû øà åò âå ëè ÷è íó N g (46), ïî ý òî ìó ïðè âû ïîë íå íèè óñëî âèÿ t >> 1
êîí öåí òðà öèÿ ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö îïðå äå ëÿ åò ñÿ ñî îò íî øå íè åì (45).
Ïî äûí òåã ðàëü íàÿ ôóíê öèÿ â âû ðà æå íèè äëÿ N b (45) â ñëó ÷àå t >> 1
èìå åò ðåç êèé ìàê ñè ìóì â òî÷ êå k = 0. Ðàç ëà ãàÿ ïîä ûí òåã ðàëü íóþ
ôóíê öèþ â ðÿä ïðè ìà ëûõ çíà ÷å íè ÿõ k è ðàñ ïðîñ òðà íÿÿ èí òåã ðè ðî âà -
íèå â ôîð ìó ëå (45) äî áåñ êî íå÷ íîñ òè, ïî ëó ÷à åì ñëå äó þ ùåå âû ðà æå -
íèå äëÿ êîí öåí òðà öèè ÊË:
N dkk k
k k k
( , ) sin expr t
p r
r
t
= + -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
¥
ò
1
2
1
3 452 3
0
2 4 2
L
t
3
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ . (48)
Èíòåã ðè ðî âà íèå ïðè âî äèò ê ñëå äó þ ùå ìó ðå çóëü òà òó [3]:
N ( , ) exp
/
r t
pt
r
t t
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
æ
è
ç
ö
ø
1
8
3 3
4
1
3
43
3 2 2
L
÷. (49)
Ñî îò íî øå íèå (49) îïè ñû âà åò ïðî ñòðà íñòâåí íî-âðå ìåí íîå ðàñ ïðå -
äå ëå íèå ÊË â ñëó ÷àå, êîã äà âðå ìÿ, ïðî øåä øåå ïî ñëå èí æåê öèè ÷àñ òèö
ìãíî âåí íûì èñ òî÷ íè êîì, çíà ÷è òåëü íî ïðå âû øà åò îá ðàò íóþ ÷àñ òî òó
ñòîë êíî âå íèé (t >> 1). Îòìå òèì, ÷òî ïðè äèô ôó çè îí íîì ðàñ ïðîñ òðà -
íå íèè êîí öåí òðà öèÿ ÑÊË èìå åò âèä
N ( , ) exp
/
r t
pt
r
t
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
1
8
3 3
43
23 2
L
. (50)
12
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
Òà êèì îá ðà çîì, ïî ëó ÷åí íîå ñî îò íî øå íèå äëÿ êîí öåí òðà öèè ÷àñ -
òèö (49) îò ëè ÷à åò ñÿ îò ðå øå íèÿ óðàâ íå íèÿ äèô ôó çèè (50) òîëü êî íà ëè -
÷è åì ìíî æè òå ëÿ 1 + 3/4t. Ïðè óâå ëè ÷å íèè ïà ðà ìåò ðà t ýòîò ìíî æè òåëü
ñòðå ìèò ñÿ ê åäè íè öå, à âû ðà æå íèå äëÿ êîí öåí òðà öèè ÊË (48) ïðè áëè -
æà åò ñÿ ê ðå øå íèþ óðàâ íå íèÿ äèô ôó çèè (50). Â ïå ðå ìåí íûõ r, t ôîð -
ìó ëà (50) èìå åò âèä
N r t
t
r
t
( , ) exp
/
=
æ
è
ç
ö
ø
÷ -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
1
8
1
4
3 2 2
pk k
, (51)
ãäå k =uL / 3 — êî ýô ôè öè åíò äèô ôó çèè ÊË.
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíà ïðîñòðàíñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü êîí öåí òðà -
öèè ÊË (50) â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè (çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû t
ïðèâåäåíû ó ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâûõ). Ïî îñè àáñöèññ ïðèâåäåíà
ïðî ñòðà íñòâåí íàÿ êîîðäèíàòà r, à ïî îñè îðäèíàò — áåçðàçìåðíàÿ
âåëè÷èíà L3N , ïðîïîðöèîíàëüíàÿ êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö. Âèäíî, ÷òî ñ
òå÷åíèåì âðåìåíè ìàêñèìóì ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñ -
òèö, ðàñïîëîæåííûé â íà÷àëå êîîðäèíàò, óìåíüøàåòñÿ, à ïðî ñòðà í ñò -
âåí íîå ðàñïðåäåëåíèå ÊË ðàñøèðÿåòñÿ (ðèñ. 4). Îòìåòèì, ÷òî â ìî -
ìåíò âðåìåíè t ÷àñòèöû îêàçûâàþòñÿ ðàñïðåäåëåííûìè âî âñåì ïðî -
ñòðà íñòâå, à íå â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè r £ t. Òàêîå ðàñïðåäåëåíèå
÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íåîãðàíè÷åííîé ñêîðîñòè ðàñ ïðîñ òðà íå -
íèÿ âîçìóùåíèé, êîòîðàÿ õàðàêòåðíà äëÿ óðàâíåíèÿ äèôôóçèè.
Ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå ðàññåÿííûõ ÷àñòèö ïðåä ñòàâ ëå -
íî íà ðèñ. 5. Êîíöåíòðàöèÿ ðàññåÿííûõ ÷àñòèö N s ñîîòâåòñòâóåò ðå øå -
íèþ êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (3) è îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (24),
(45), (46).  ìîìåíò âðåìåíè t ðàññåÿííûå ÷àñòèöû ðàñïðåäåëåíû
âíóòðè ñôåðû ðàäèóñà r = t (ðèñ. 5). Ñî âðåìåíåì ÷àñòèöû çàíèìàþò
âñå áîëüøèé îáúåì ïðîñòðàíñòâà, à èõ êîíöåíòðàöèÿ â öåíòðàëüíîé
îáëàñòè óìåíüøàåòñÿ. Îòìåòèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè r > t
÷àñòèöû îòñóòñòâóþò (N = 0). Çàìåòèì, ÷òî íà ðèñ. 5 ïðèâåäåíà
êîíöåíòðàöèÿ òîëüêî ðàññåÿííûõ ÷àñòèö. Íåðàññåÿííûå ÷àñòèöû â
ìîìåíò âðåìåíè t ðàñïîëîæåíû íà ñôåðå ðàäèóñà r = t, èõ ÷èñëî
ýêñïîíåíöèàëüíî óìåíüøàåòñÿ ñî âðåìåíåì, à êîíöåíòðàöèÿ
óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ (12). Ïðè ïðèáëèæåíèè êîîðäèíàòû r ê
çíà÷åíèþ r = t êîíöåíòðàöèÿ ðàññåÿííûõ ÷àñòèö íåîãðàíè÷åííî
13
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
Ðèñ. 4. Ïðîñ òðà íñòâåí íàÿ çà âè ñè ìîñòü
êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö. Äèô ôó çè îí íîå
ïðè áëè æå íèå
âîçðàñòàåò (ðèñ. 5), ÷òî îáóñëîâëåíî îäíîêðàòíî ðàññåÿííûìè ÷àñ òè -
öà ìè N 1 (24).
Íà ðèñ. 6 ïðåä ñòàâ ëå íà çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ðàñ ñå ÿí íûõ
÷àñ òèö îò âðå ìå íè â òî÷ êå r = 2. Øòðè õî âîé êðè âîé ïðåä ñòàâ ëå íà êîí -
öåí òðà öèÿ ÊË, âû ÷èñ ëåí íàÿ â äèô ôó çè îí íîì ïðè áëè æå íèè (50).
Ñïëîø íàÿ êðè âàÿ ñî îò âå òñòâó åò âðå ìåí íî ìó ïðî ôè ëþ êîí öåí òðà öèè
ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö â äàí íîé òî÷ êå, âû ÷èñ ëåí íîé èñ õî äÿ èç êè íå òè ÷åñ -
êî ãî óðàâ íå íèÿ. Âèä íî, ÷òî â òî÷ êå r = 2 êîí öåí òðà öèÿ ÊË ìî íî òîí íî
óìåíü øà åò ñÿ ñî âðå ìå íåì, à ïðè áîëü øèõ çíà ÷å íè ÿõ âå ëè ÷è íû t êðè -
âûå, ñî îò âå òñòâó þ ùèå êè íå òè ÷åñ êî ìó è äèô ôó çè îí íî ìó îïè ñà íèþ
ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ ÊË, ïî ñòå ïåí íî ñáëè æà þò ñÿ (ðèñ. 6). Îòìå òèì, ÷òî
íå ðàñ ñå ÿí íûå ÷àñ òè öû, êî òî ðûå ïðè õî äÿò â òî÷ êó r = 2 â ìî ìåíò âðå -
ìå íè t = 2, íå ïðè âå äå íû íà äàí íîì ðè ñóí êå.  íà ÷àëü íûé ïå ðè îä âðå -
ìå íè (êîã äà t ëèøü íå ìíî ãî ïðå âû øà åò çíà ÷å íèå t = 2) â äàí íîé òî÷ êå
ïðî ñòðà íñòâà ïðå îá ëà äà þò îä íî êðàò íî ðàñ ñå ÿí íûå ÷àñ òè öû (ðèñ. 6).
ÑÈÑÒÅÌÀ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄËß ÃÀÐÌÎÍÈÊ
ÔÓÍÊÖÈÈ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
Ôóí êöèþ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË ìîæ íî ïðåä ñòà âèòü â âèäå ðàç ëî æå íèÿ ïî
ïî ëè íî ìàì Ëå æàí äðà, êî òî ðûå çà âè ñÿò îò âå ëè ÷è íû m. Èñõî äÿ èç êè -
íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ, ìîæ íî ïî ëó ÷èòü áåñ êî íå÷ íóþ ñèñ òå ìó äèô -
ôå ðåí öè àëü íûõ óðàâ íå íèé äëÿ ãàð ìî íèê ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË
14
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
Ðèñ. 5. Ïðîñ òðà íñòâåí íàÿ çà âè ñè ìîñòü
êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö. Ðå øå íèå êè íå òè -
÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ
Ðèñ. 6. Çà âè ñè ìîñòü îò âðå ìå íè êîí öåí -
òðà öèè ÷àñ òèö â òî÷ êå r = 2. Øòðè õî âàÿ
êðè âàÿ — äèô ôó çè îí íîå ïðè áëè æå íèå,
ñïëîø íàÿ — ðå øå íèå êè íå òè ÷åñ êî ãî
óðàâ íå íèÿ
[13, 17, 31]. Ïðåä ñòà âèì ôóíê öèþ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ êîñ ìè ÷åñ êèõ ëó ÷åé
f ( , , )r m t â ñëå äó þ ùåì âèäå:
f
n
g P
n
n n( , , ) ( , ) ( )r m t r t m=
+
=
¥
å
2 1
20
, (52)
ãäå
g d P fn n( , ) ( ) ( , , )r t m m r m t=
-
ò
1
1
, (53)
à Pn ( )m — ïî ëè íîì Ëå æàí äðà.
Óìíî æèâ êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (3) íà 1, m è P2 ( )m ñî îò âå òñòâåí -
íî, è ïðî èí òåã ðè ðî âàâ ïî ëó ÷åí íûå ñî îò íî øå íèÿ ïî m, ïî ëó ÷èì ñëå äó -
þ ùóþ ñèñ òå ìó óðàâ íå íèé:
¶
¶
+
¶
¶
=
g
g0
2
2
1
1
t r r
r r tY( , ), (54)
¶
¶
+ +
¶
¶
+
¶
¶
+ =
g
g
g g
g1
1
0 2
2
1
3
2
3
2
0
t r r r
, (55)
¶
¶
+ +
¶
¶
- +
¶
¶
+ =
g
g
g
g
g
g2
2
1
1
3
3
2
5
2
5
3
5
12
5
0
t r r r r
, (56)
ãäå
Y
L
( , )
( ) ( )
r t
d r d t
p r
=
8 2 3 2
. (57)
Ïðåä ïî ëî æèì, ÷òî ôóíê öèÿ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË èç ìå íÿ åò ñÿ äîñ òà -
òî÷ íî ìåä ëåí íî, òàê ÷òî
¶
¶
g1
t
<< g1 , è ïðå íåá ðå æåì âòî ðîé ãàð ìî íè êîé
g2 ïî ñðàâ íå íèþ ñ âå ëè ÷è íîé g1 . Ïðè ñäå ëàí íûõ ïðè áëè æå íè ÿõ
óðàâíåíèå (55) ïðèíèìàåò âèä
g
g
1
01
3
= -
¶
¶r
. (58)
Ïîä ñòà âèâ ñî îò íî øå íèå (58) â óðàâ íå íèå (54), ïî ëó ÷èì óðàâ íå íèå
äèô ôó çèè äëÿ âå ëè ÷è íû g0 :
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
=
g g0
2
2 01
3t r r
r
r
r tY( , ). (59)
Ðå øå íèå ýòî ãî óðàâ íå íèÿ èìå åò âèä
g0
3 2
5 2 3 3 2
23
16
3
4
( , ) exp
/
/ /
r t
p t
r
t
= -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷L
. (60)
Òàê êàê êîí öåí òðà öèÿ ÊË ñâÿ çà íà ñ âå ëè ÷è íîé g0 ñî îò íî øå íè åì
15
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
N g( , ) ( , )r t p r t= 2 0 , (61)
ïðè õî äèì ê âû ðà æå íèþ (50), îïè ñû âà þ ùå ìó êîí öåí òðà öèþ ÊË â
äèô ôó çè îí íîì ïðè áëè æå íèè.
ÒÅËÅÃÐÀÔÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÄËß ÊÎÍÖÅÍÒÐÀÖÈÈ
ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
Åñëè â óðàâ íå íèè (55) ïðå íåá ðå÷ü âòî ðîé ãàð ìî íè êîé ôóíê öèè ðàñ -
ïðå äå ëå íèÿ ÊË, òî èç óðàâ íå íèé (54), (55) ìîæ íî ïî ëó ÷èòü òå ëåã ðàô -
íîå óðàâ íå íèå äëÿ âå ëè ÷è íû g0 [7, 8, 12, 14, 17, 20, 21, 25, 32]:
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
= +
¶
¶
2
0
2
0
2
2 01
3
g g g
t t r r
r
r
r t
r t
t
Y
Y
( , )
( , )
. (62)
 êî îð äè íà òàõ r, t òå ëåã ðàô íîå óðàâ íå íèå (62) ïðè îá ðå òà åò âèä
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
= +
¶2
0
2
0
2
2
2 0
3
g
t
g
t r r
r
g
r
r t
r tu u u u
L L L
Y
Y
( , )
( , )
¶
ì
í
î
ü
ý
þt
. (63)
Òå ëåã ðàô íîå óðàâ íå íèå (63) ñî îò âå òñòâó åò ñêî ðîñ òè ðàñ ïðîñ òðà -
íå íèÿ âîç ìó ùå íèé, ðàâ íîé u / 3 [7, 12, 20]. Òà êîå çíà ÷å íèå ÿâ ëÿ åò ñÿ
ñëå äñòâè åì ïðå íåá ðå æå íèÿ âòî ðîé ãàð ìî íè êîé ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå -
íèÿ ÊË ïðè âûâîäå òåëåãðàôíîãî óðàâíåíèÿ.
 ðà áî òå [21] ïðè âå äåí âû âîä ìî äè ôè öè ðî âàí íî ãî òå ëåã ðàô íî ãî
óðàâ íå íèÿ, êî òî ðîå õà ðàê òå ðè çó åò ñÿ èíîé ñêî ðîñ òüþ ðàñ ïðîñ òðà íå -
íèÿ âîç ìó ùå íèé. Êðî ìå òî ãî, îêà çû âà åò ñÿ, ÷òî ìî äè ôè öè ðî âàí íîå òå -
ëåã ðàô íîå óðàâ íå íèå, ïî ëó ÷åí íîå èç êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ Áî -
ëüöìà íà (1), îò ëè ÷à åò ñÿ îò ñî îò âå òñòâó þ ùå ãî óðàâ íå íèÿ, âû âîä êî òî -
ðî ãî ïðî âå äåí èñ õî äÿ èç êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ èíòåãðàëîì
ñòîëêíîâåíèé Ôîêêåðà — Ïëàíêà [17, 21].
Âû ïîë íèâ ïðå îá ðà çî âà íèå Ôóðüå ïî êî îð äè íà òå è ïðå îá ðà çî âà -
íèå Ëàï ëà ñà ïî âðå ìå íè, ïî ëó ÷èì èç óðàâ íå íèÿ (62) âûðàæåíèå
g k
k
0 3 2 2
1
2
1
3
( , )
/
w
p
w
w w
=
+
+ +L
. (64)
Âû ïîë íèâ îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ôóðüå, ïî ëó ÷èì âû ðà æå íèå
äëÿ îá ðà çà Ëàï ëà ñà âå ëè ÷è íû g0 :
g0 2 3
23 1
8
3( , )
( )
exp( ( ))r w
w
p r
r w w=
+
- +
L
. (65)
Îáðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà [1] ïðè âî äèò ê ñëå äó þ ùå ìó
âû ðà æå íèþ äëÿ íó ëå âîé ãàð ìî íè êè ôóíê öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÊË:
g0 2 3
3 3 2
32
( , )
exp( / )
r t
t
p
=
-
´
L
16
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
´ -
-
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
+
-
ì
1
2
3
2
2
2 2
32 2
1 0 2
2 2
t
t r
x
x
t x x
t r
I I I( / ) ( / ) ( / )
í
î
ü
ý
þ
- +Q( )t r 3
+
-
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ - + ¢ -
ì
í
3 2
8
1
2
1
3
4
3 3
2 3
exp( / )
( ) ( )
t
p r
r
d t r d t r
L î
ü
ý
þ
, (66)
ãäå
x t r= -2 23 , (67)
à I xn ( ) — ìî äè ôè öè ðî âàí íàÿ ôóíê öèÿ Áåñ ñå ëÿ n-ãî ïî ðÿä êà.
Âûðàæåíèå äëÿ íóëåâîé ãàðìîíèêè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÊË
(66) ñîäåðæèò ñèíãóëÿðíóþ ÷àñòü (êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà äåëü òà-
ôóíê öèè è åå ïðîèçâîäíîé) è ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå åäè íè÷ -
íîé ôóíêöèè Õåâèñàéäà. Ïðè ìãíîâåííîé èíæåêöèè ÷àñòèö òî÷å÷íûì
èñòî÷íèêîì, ðàñïîëîæåííûì â íà÷àëå êîîðäèíàò, â ìîìåíò âðåìåíè t
÷àñòèöû áóäóò íàõîäèòüñÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà
r t£ / 3, â ñîîòâåòñòâèè ñî ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèé
u / 3, õàðàêòåðíîé äëÿ òåëåãðàôíîãî óðàâíåíèÿ. Ñèíãóëÿðíîñòü, êî -
òî ðàÿ èìååò ìåñòî â âûðàæåíèè äëÿ âåëè÷èíû g0 (66) â òî÷êå t = r 3,
õàðàêòåðíà äëÿ ðåøåíèé òåëåãðàôíîãî óðàâíåíèÿ [17, 20].
Ðàñ ñìîò ðèì âû ðà æå íèå äëÿ âå ëè ÷è íû g0 (66), êî òî ðàÿ ÿâ ëÿ åò ñÿ ðå -
øå íè åì òå ëåã ðàô íî ãî óðàâ íå íèÿ, ïðè áîëü øèõ çíà ÷å íè ÿõ âðå ìå íè.
Ïðè óñëî âèè t >> 1 àð ãó ìåíò ìî äè ôè öè ðî âàí íûõ ôóíê öèé Áåñ ñå ëÿ
(67) ïðè îá ðå òà åò áîëü øîå çíà ÷å íèå, è ìîæ íî èñ ïîëü çî âàòü ïðè áëè -
æåí íûå âû ðà æå íèÿ ìî äè ôè öè ðî âàí íûõ ôóíê öè ÿõ Áåñ ñå ëÿ, ñïðà âåä -
ëè âûå ïðè áîëü øèõ çíà ÷å íè ÿõ àð ãó ìåí òà [1]. Ïðè óñëî âèè t >> 1 èç
ôîð ìó ëû (66) ïî ëó ÷èì ñëå äó þ ùåå ñî îò íî øå íèå:
g0
3 2
5 2 3 3 2
23
16
3
4
1
9
4
( , ) exp
/
/ /
r t
p t
r
t t
= -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ -
æ
è
ç
ö
L ø
÷. (68)
Âñëå äñòâèå íà ëè ÷èÿ ïî ñëåä íå ãî ìíî æè òå ëÿ â ôîð ìó ëå (68) äàí íàÿ
âå ëè ÷è íà (â äàí íîé òî÷ êå ïðî ñòðà íñòâà, â äàí íûé ìî ìåíò âðå ìå íè)
îêà çû âà åò ñÿ íå ñêîëü êî ìåíü øå, ÷åì ñî îò âå òñòâó þ ùàÿ óðàâ íå íèþ
äèô ôó çèè âå ëè ÷è íà (60). Ñ óâå ëè ÷å íè åì âðå ìå íè ðàç ëè ÷èå ìåæäó
âåëè÷èíàìè (60) è (68) óìåíüøàåòñÿ.
Íà ðèñ. 7 ïðåä ñòàâ ëå íà çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ÊË îò áåç ðàç -
ìåð íî ãî âðå ìå íè t â òî÷ êå r = 2. Êðè âàÿ 1 ñî îò âå òñòâó åò ðå øå íèþ
äèô ôó çè îí íî ãî óðàâ íå íèÿ (60). Îòìå òèì, ÷òî âå ëè ÷è íà g0 ñî ãëàñ íî
ôîð ìó ëå (61) ïðî ïîð öè î íàëü íà êîí öåí òðà öèè ÊË. Â äèô ôó çè îí íîì
ïðè áëè æå íèè ÷àñ òè öû ïî ÿâ ëÿ þò ñÿ â òî÷ êå r = 2 ìãíî âåí íî, à íå â ìî -
ìåíò âðå ìå íè t = 2 (êðè âàÿ 1 íà ðèñ. 7). Êðè âàÿ 2 íà ðèñ. 7 ñî îò âå òñòâó -
åò ðå øå íèþ (66) òå ëåã ðàô íî ãî óðàâ íå íèÿ.  òî÷ êó r = 2 ÷àñ òè öû ïðè -
õî äÿò â ìî ìåíò âðå ìå íè t = 2 3, â ñî îò âå òñòâèè ñî ñêî ðîñ òüþ ðàñ ïðîñ -
òðà íå íèÿ âîç ìó ùå íèé, õà ðàê òåð íîé äëÿ òå ëåã ðàô íî ãî óðàâ íå íèÿ. Ïðè
17
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
óñëî âèè t < 2 3 êîí öåí òðà öèÿ ÊË â òî÷ êå r = 2 ðàâ íà íó ëþ. Ïðè áîëü -
øèõ çíà ÷å íè ÿõ t ðå øå íèå òå ëåã ðàô íî ãî óðàâ íå íèÿ ìà ëî îò ëè ÷à åò ñÿ îò
ðå øå íèÿ óðàâ íå íèÿ äèô ôó çèè. Îòìå òèì, ÷òî íà ðèñ. 7 ñèí ãó ëÿð íàÿ
÷àñòü ðå øå íèÿ òå ëåã ðàô íî ãî óðàâ íå íèÿ (64) íå ïðåä ñòàâ ëå íà.
ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÏÅÐÅÍÎÑÀ,
Ó×ÈÒÛÂÀÞÙÅÅ ÍÀËÈ×ÈÅ ÂÒÎÐÎÉ ÃÀÐÌÎÍÈÊÈ
ÓÃËÎÂÎÃÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ×ÀÑÒÈÖ
Ïå ðåé äåì ê âû âî äó óðàâ íå íèÿ ïå ðå íî ñà ÊË, ó÷è òû âà þ ùå ãî íà ëè ÷èå
âòî ðîé ñôå ðè ÷åñ êîé ãàð ìî íè êè ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË [17]. Â
óðàâ íå íèè (56) ïðå íåá ðå æåì òðåòü åé ãàð ìî íè êîé è ïðî èç âîä íîé ïî
âðå ìå íè îò âå ëè ÷è íû g2 .  ýòîì ïðè áëè æå íèè óðàâ íå íèå (56) ïðè îá -
ðå òà åò âèä
g
g
g2
1
1
2
5
2
5
0+
¶
¶
- =
r r
. (69)
Ñèñ òå ìà óðàâ íå íèé (54), (55), (69) ïðè âî äèò ê ñëå äó þ ùå ìó óðàâ -
íå íèþ äëÿ âå ëè ÷è íû g0 :
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶ ¶
=
2
0
2
0
2
2 0
2
2
2
01
3
4
15
g g g g
t t r r
r
r r r
r
r t
= +
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
Y
Y Y
( , )
( , ) ( , )
r t
r t
t r r
r
r t
r
4
15 2
2 . (70)
Óðàâ íå íèþ (70) ñî îò âå òñòâó åò ñëå äó þ ùåå âû ðà æå íèå äëÿ îá ðà çà
Ôóðüå — Ëàï ëà ñà íó ëå âîé ãàð ìî íè êè ôóíê öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÊË:
g k
k
k
k
0 3
2
2
2
2
1
2
1
4
15
3
4
15
( , )w
p
w
w w w
=
+ +
+ + +
L
. (71)
Âû ïîë íèâ îá ðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ëàï ëà ñà, ïî ëó ÷èì
18
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
Ðèñ. 7. Çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè êîñ ìè -
÷åñ êèõ ëó ÷åé îò áåç ðàç ìåð íî ãî âðå ìå íè t â
òî÷ êå r = 2. Êðè âàÿ 1 — ðå øå íèå óðàâ íå íèÿ
äèô ôó çèè, êðè âàÿ 2 — ðå øå íèå òå ëåã ðàô íî -
ãî óðàâ íå íèÿ, êðè âàÿ 3 — ðå øå íèå óðàâ íå -
íèÿ ïå ðå íî ñà ÊË (72)
g k
k
k
0
2
3
22
2
15
2
2
15
15 4 2
( , )
exp
/
t
t
t
p
t
=
- -
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
+
L
G
G
ch sh
t
15
G
ì
í
î
ü
ý
þ
, (72)
ãäå
G( )k k k= - +
æ
è
ç
ö
ø
÷
4 2
2
45
4
15
4
, (73)
à ch( )x è sh( )x — ãè ïåð áî ëè ÷åñ êèé êî ñè íóñ è ñè íóñ ñî îò âå òñòâåí íî.
Îáðàò íîå ïðå îá ðà çî âà íèå Ôóðüå ïðè âî äèò ê ñëå äó þ ùå ìó ñî îò íî -
øå íèþ
g dkk k k0 3 3
0
22
4
2
15
( , )
exp( / )
sin expr t
t
p r
r t=
-
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
¥
òL
´
´ +
+ì
í
î
ü
ý
þ
ch sh
2
15
15 4 2
15
2t t
G
G
G
k /
. (74)
Ìîæ íî ïî êà çàòü, ÷òî ïðè áîëü øèõ çíà ÷å íè ÿõ k ïîä ûí òåã ðàëü íîå
âû ðà æå íèå â ôîð ìó ëå (75) ñòðå ìèò ñÿ ê âå ëè ÷è íå ksinkrexp (-3t/4).
Ïî ý òî ìó ñî îò íî øå íèå (74) ìîæ íî çà ïè ñàòü â ñëå äó þ ùåì âè äå:
g dkk k0 3 3
0
2
4
( , )
exp( / )
sinr t
t
p r
r=
-
´
¥
òL
´ -
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
+é
ë
ê
ù
û
ú -exp
/
exp
2
15
2
15
15 4 2
15
2
2
k
k
t
t t
ch shG
G
G -
æ
è
ç
ö
ø
÷
ì
í
î
ü
ý
þ
+
3
4
t
+
-
¢
exp( / )
( )
5 4
4 2 3
t
p r
d r
L
. (75)
Îòìå òèì íà ëè ÷èå ñèí ãó ëÿð íîñ òè â òî÷ êå r = 0 â âû ðà æå íèè (75).
Íà ëè ÷èå äàí íîé îñî áåí íîñ òè â ñî îò íî øå íèè (75) îá óñëîâ ëå íî, âå ðî -
ÿò íî, çà ìå íîé óðàâ íå íèÿ (56) ïðè áëè æåí íûì ñî îò íî øå íè åì (69), ñäå -
ëàí íîé ïðè âû âî äå óðàâ íå íèÿ ïå ðå íî ñà ÊË (70).
Åñëè âðå ìÿ, ïðî øåä øåå ïî ñëå èí æåê öèè ÷àñ òèö, çíà ÷è òåëü íî ïðå -
âû øà åò îá ðàò íóþ ÷àñ òî òó ñòîë êíî âå íèé (t >> 1), òî ïîä ûí òåã ðàëü íàÿ
ôóíê öèÿ â âû ðà æå íèè (74) èìå åò ðåç êèé ìàê ñè ìóì â òî÷ êå k = 0. Ðàç -
ëà ãàÿ ïîä ûí òåã ðàëü íîå âû ðà æå íèå â ðÿä ïî k, ïðè õî äèì ê ñî îò íî øå -
íèþ (48).  ðå çóëü òà òå èí òåã ðè ðî âà íèÿ ïî ëó ÷à åì âû ðà æå íèå äëÿ êîí -
öåí òðà öèè ÊË (49). Òà êèì îá ðà çîì, åñ ëè âðå ìÿ, ïðî øåä øåå ïî ñëå èí -
æåê öèè ÷àñ òèö, çíà ÷è òåëü íî ïðå âû øà åò ñðåä íåå âðå ìÿ ðàñ ñå ÿ íèÿ ÊË,
è âðå ìÿ èõ ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ îò èñ òî÷ íè êà (t >> L/u, t >> r/u), ðå øå íèå
óðàâ íå íèÿ ïå ðå íî ñà ÊË (70) ñî âïà äà åò ñ ðå øå íè åì êè íå òè ÷åñ êî ãî
óðàâ íå íèÿ. Êðè âàÿ 3 íà ðèñ. 7 èë ëþñ òðè ðó åò çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà -
öèè ÊË (74), (61) îò âðå ìå íè â òî÷ êå r = 2. Îòìå òèì, ÷òî ìàê ñè ìóì èí -
òåí ñèâ íîñ òè ÊË â äàí íîì ñëó ÷àå èìå åò ìåñ òî ïî çäíåå, ÷åì â ñëó ÷àå
19
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
äèô ôó çè îí íî ãî ðàñ ïðîñ òðà íå íèÿ ÷àñ òèö (ðèñ. 7). Òàê æå, êàê â ñëó ÷àå
äèô ôó çèè, â äàí íîì ïðè áëè æå íèè ÷àñ òè öû ïî ÿâ ëÿ þò ñÿ â òî÷ êå r = 2
ñðà çó ïî ñëå èõ èí æåê öèè â íà ÷à ëå êî îð äè íàò. Ñëå äî âà òåëü íî, äëÿ
óðàâ íå íèÿ ïå ðå íî ñà ÊË (70) õà ðàê òåð íà áåñ êî íå÷ íàÿ ñêî ðîñòü ðàñ -
ïðîñ òðà íå íèÿ âîç ìó ùå íèé.
ÌÍÎÃÎÊÐÀÒÍÎÅ ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ×ÀÑÒÈÖ ÍÀ ÌÀËÛÅ ÓÃËÛ
Ðàñ ñìîò ðèì êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå, îïè ñû âà þ ùåå ìíî ãîê ðàò íîå
ðàñ ñå ÿ íèå çà ðÿ æåí íûõ ÷àñ òèö íà ìà ëûå óãëû [2, 5, 10]:
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
=
¶
¶
¶
¶
+
f
t
f
r r
f f r
u q
u
q
q
u
q q
q
q
d
cos sin
sin
sin
( )
2
1
L
d
p
( )t
r16 2 2
. (76)
Ïåð âîå ñëà ãà å ìîå â ïðà âîé ÷àñ òè êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ (76)
îïè ñû âà åò ìíî ãîê ðàò íîå ðàñ ñå ÿ íèå ÷àñ òèö íà ìà ëûå óãëû, à âòî ðîå —
ìãíî âåí íûé òî ÷å÷ íûé èñ òî÷ íèê ÷àñ òèö, ðàñ ïî ëî æåí íûé â íà ÷à ëå êî -
îð äè íàò. Îòìå òèì, ÷òî ðàñ ñå ÿ íèå ÊË íà íå îäíî ðîä íîñ òÿõ ìàã íèò íî ãî
ïî ëÿ â äàí íîì ñëó ÷àå ïðåä ïî ëà ãà åò ñÿ èçî òðîï íûì. Ïå ðåé äåì ê áåç ðàç -
ìåð íûì ïå ðå ìåí íûì r , t , m (2). Êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (76) ïðè îá -
ðå òà åò âèä
¶
¶
+
¶
¶
+
- ¶
¶
-
¶
¶
-
¶
¶
=
f f f f
t
m
r
m
r m m
m
m
d r d t
p
1 1
2
1
16
2
2
2L
( )
( ) ( )
L3 2r
. (77)
Óìíî æèâ êè íå òè ÷åñ êîå óðàâ íå íèå (77) íà 1, m è P2 ( )m è ïðî èí òåã -
ðè ðî âàâ ïî ëó ÷åí íûå ñî îò íî øå íèÿ ïî âå ëè ÷è íå m, ïî ëó ÷èì ñèñ òå ìó
òðåõ äèô ôå ðåí öè àëü íûõ óðàâ íå íèé äëÿ ãàð ìî íèê ôóíê öèè ðàñ ïðå äå -
ëå íèÿ ÊË. Ïåð âûå äâà óðàâ íå íèÿ ïî ëó ÷åí íîé ñèñ òå ìû îïðå äå ëå íû
ôîð ìó ëà ìè (54), (55), à òðåòüå óðàâ íå íèå èìå åò âèä
¶
¶
+ +
¶
¶
- +
¶
¶
+ =
g
g
g
g
g
g2
2
1
1
3
33
2
5
2
5
3
5
12
5
0
t r r r r
. (78)
Äàí íîå óðàâ íå íèå îò ëè ÷à åò ñÿ îò àíà ëî ãè÷ íî ãî óðàâ íå íèÿ (56)
òîëü êî êî ýô ôè öè åí òîì ïðè âòî ðîé ãàð ìî íè êå (âòî ðîå ñëà ãà å ìîå â ëå -
âîé ÷àñ òè óðàâ íå íèÿ). Äâà óðàâ íå íèÿ äëÿ ñôå ðè ÷åñ êèõ ãàð ìî íèê, ïî -
ëó ÷åí íûå íà îñíî âå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ (77), îïè ñû âà þ ùå ãî
ðàñ ñå ÿ íèå ÷àñ òèö íà ìà ëûå óãëû, ñî âïà äà þò ñ óðàâ íå íè ÿ ìè (54), (55),
ïî ëó ÷åí íû ìè íà îñíî âå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ Áî ëüöìà íà (3). Ñëå -
äî âà òåëü íî, íå çà âè ñè ìî îò èí òåã ðà ëà ñòîë êíî âå íèé ýòèõ êè íå òè ÷åñ -
êèõ óðàâ íå íèé, ïî ëó ÷à åì òî æå ñà ìîå óðàâ íå íèå äèô ôó çèè ÊË è òå -
ëåã ðàô íîå óðàâ íå íèå. Îòìå òèì, ÷òî ìî äè ôè öè ðî âàí íûå òåëåãðàôíûå
óðàâíåíèÿ, âûâîä êîòîðûõ áûë ïðîâåäåí íà îñíîâå êèíåòè÷åñêèõ
óðàâíåíèé (3) è (77), ðàçëè÷àþòñÿ [17, 21].
Ïðå íåá ðå ãàÿ â óðàâ íå íèè (78) òðåòü åé ãàð ìî íè êîé è ïðî èç âîä íîé
ïî âðå ìå íè îò âòî ðîé ãàð ìî íè êè, ïî ëó ÷à åì ïðè áëè æåí íîå ñî îò íî øå -
íèå
20
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
3
2
5
2
5
02
1
1g
g
g+
¶
¶
- =
r r
. (79)
Óðàâ íå íèå (79) îò ëè ÷à åò ñÿ îò àíà ëî ãè÷ íî ãî óðàâ íå íèÿ (69) òîëü êî
ìíî æè òå ëåì 3 ïå ðåä âå ëè ÷è íîé g2 . Èñõî äÿ èç ñèñ òå ìû óðàâ íå íèé (54),
(55), (79), ïî ëó ÷à åì ñëå äó þ ùåå óðàâ íå íèå ïå ðå íî ñà ÊË:
¶
¶
+
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶ ¶
=
2
0
2
0
2
2 0
2
2
2
01
3
4
45
g g g g
t t r r
r
r r r
r
r t
= +
¶
¶
-
¶
¶
¶
¶
Y
Y Y
( , )
( , ) ( , )
r t
r t
t r r
r
r t
r
4
45 2
2 . (80)
Óðàâ íå íèå ïå ðå íî ñà (80), ïî ëó ÷åí íîå èñ õî äÿ èç êè íå òè ÷åñ êî ãî
óðàâ íå íèÿ (77), îò ëè ÷à åò ñÿ îò óðàâ íå íèÿ (70), âû âîä êî òî ðî ãî ïðî âå -
äåí íà îñíî âå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ (3), òîëü êî êî ýô ôè öè åí òà ìè
ïå ðåä ïî ñëåä íè ìè ñëàãàåìûìè â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ óðàâíåíèé.
Ðå øå íèå óðàâ íå íèÿ ïå ðå íî ñà (80) èìå åò âèä
g dkk k k0 3 3
0
22
4
2
45
( , )
exp( / )
sin expr t
t
p r
r t=
-
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
¥
òL
´
´ +
+ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
ch sh
2
45
45 4 2
45
1
2
1
1
t t
G
G
G
k /
, (81)
ãäå
G1
4 2
2
585
4
45
4
( )k k k= - +
æ
è
ç
ö
ø
÷ . (82)
Åñëè âðå ìÿ, ïðî øåä øåå ïî ñëå èí æåê öèè ÷àñ òèö, çíà ÷è òåëü íî ïðå -
âû øà åò îá ðàò íóþ ÷àñ òî òó ñòîë êíî âå íèé, òî ðå øå íèå óðàâ íå íèÿ ïå ðå -
íî ñà ÊË (81) ñî âïà äà åò ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ äèôôóçèè.
Íà ðèñ. 8 ïðåä ñòàâ ëå íà çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ÊË îò âðå ìå íè
â òî÷ êå r = 3. Êðè âàÿ 1 èë ëþñ òðè ðó åò ðå øå íèå óðàâ íå íèÿ ïå ðå íî ñà ÊË
(75), ñî îò âå òñòâó þ ùåå êè íå òè ÷åñ êî ìó óðàâ íå íèþ (3). Êðè âàÿ 2 ïðåä -
ñòàâ ëÿ åò ðå øå íèå óðàâ íå íèÿ ïå ðå íî ñà ÊË (81), ïî ëó ÷åí íîå â ñëó ÷àå
ìíî ãîê ðàò íî ãî ðàñ ñå ÿ íèÿ ÷àñ òèö íà ìà ëûå óãëû. Îòìå òèì, ÷òî â ñëó -
÷àå ðàñ ñå ÿ íèÿ ÊË íà ìà ëûå óãëû âðå ìåí íîé ïðî ôèëü èí òåí ñèâ íîñ òè
÷àñ òèö õà ðàê òå ðè çó åò ñÿ áî ëåå ðåç êèì ìàê ñè ìó ìîì, à íà ÷à ëî âîç ðàñ òà -
21
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
Ðèñ. 8. Çà âè ñè ìîñòü êîí öåí òðà öèè ÷àñ òèö
îò âðå ìå íè â òî÷ êå r = 3. Êðè âàÿ 1 ñî îò âå -
òñòâó åò ðå øå íèþ óðàâ íå íèÿ ïå ðå íî ñà ÊË
(74), êðè âàÿ 2 — ðå øå íèþ (81)
íèÿ èí òåí ñèâ íîñ òè ÊË â äàí íîé òî÷ êå ïðî ñòðà íñòâà èìå åò ìåñ òî ïî -
çäíåå (ðèñ. 8).
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íà ñòî ÿ ùåé ðà áî òå ðàñ ñìîò ðå íî ðàñ ïðîñ òðà íå íèå ÑÊË â ìåæ ïëà íåò -
íîé ñðå äå íà îñíî âå êè íå òè ÷åñ êèõ óðàâ íå íèé. Ïî ëó ÷å íî àíà ëè òè ÷åñ -
êîå ðå øå íèå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ äëÿ êîí öåí òðà öèè ÑÊË ïðè èõ
ìãíî âåí íîé èí æåê öèè òî ÷å÷ íûì èñ òî÷ íè êîì ÷àñ òèö. Ïî êà çà íî, ÷òî
ôóíê öèÿ ðàñ ïðå äå ëå íèÿ ÊË ìî æåò áûòü ïðåä ñòàâ ëå íà êàê ñóì ìà
ôóíê öèé ðàñ ïðå äå ëå íèÿ íå ðàñ ñå ÿí íûõ è ðàñ ñå ÿí íûõ ÷àñ òèö. Ïðî à íà -
ëè çè ðî âà íî ïðî ñòðà íñòâåí íî-âðå ìåí íîå ðàñ ïðå äå ëå íèå ÷àñ òèö ñ ðàç -
ëè÷ íîé êðàò íîñ òüþ ðàñ ñå ÿ íèÿ. Ïî êà çà íî, ÷òî åñëè âðå ìÿ, ïðî øåä øåå
ïî ñëå èí æåê öèè ÷àñ òèö, çíà ÷è òåëü íî ïðå âû øà åò âðå ìÿ èõ ðàñ ïðîñ òðà -
íå íèÿ îò èñ òî÷ íè êà äî äàí íîé òî÷ êè ïðî ñòðà íñòâà è îá ðàò íóþ ÷àñ òî òó
ñòîë êíî âå íèé, òî èõ êîí öåí òðà öèÿ îïðå äå ëÿ åò ñÿ ðå øå íè åì óðàâ íå íèÿ
äèôôóçèè.
Íà îñíî âå êè íå òè ÷åñ êî ãî óðàâ íå íèÿ ïî ëó ÷å íà ñèñ òå ìà äèô ôå ðåí -
öè àëü íûõ óðàâ íå íèé äëÿ ñôå ðè ÷åñ êèõ ãàð ìî íèê ôóíê öèè ðàñ ïðå äå ëå -
íèÿ ÊË. Âû âå äå íî òå ëåã ðàô íîå óðàâ íå íèå è óðàâ íå íèå ïå ðå íî ñà ÊË,
ó÷è òû âà þ ùåå íà ëè ÷èå âòî ðîé ãàð ìî íè êè óãëî âî ãî ðàñ ïðå äå ëå íèÿ
÷àñ òèö. Ïî ëó ÷å íû ðå øå íèÿ ýòèõ óðàâ íå íèé. Ïî êà çà íî, ÷òî êè íå òè ÷åñ -
êèì óðàâ íå íè ÿì Áî ëüöìà íà è Ôîê êå ðà — Ïëàí êà ñî îò âå òñòâó þò òå æå
ñà ìûå òå ëåã ðàô íûå óðàâ íå íèÿ. Ïðî äå ìî íñòðè ðî âà íû îò ëè ÷èÿ óðàâ -
íå íèé ïå ðå íî ñà ÊË, ñî îò âå òñòâó þ ùèõ ðàç íî ìó õà ðàê òå ðó ðàñ ñå ÿ íèÿ
÷àñ òèö. Ïî êà çà íî, ÷òî ïðè ðàñ ñå ÿ íèè ÷àñòèö íà ìàëûå óãëû èí òåí ñèâ -
íîñòü ÑÊË â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà íà÷èíàåò âîçðàñòàòü ïîçæå è
èìååò áîëåå ðåçêèé ìàêñèìóì.
1. Àáðàìîâèö Ì., Ñòè ãàí È. Ñïðà âî÷ íèê ïî ñïå öè àëü íûì ôóíê öè ÿì. Ì. Íà ó êà, 1979.
832 ñ.
2. Ãàëü ïå ðèí Á. À., Òîï òû ãèí È. Í., Ôðàä êèí À. À. Ðàñ ñå ÿ íèå ÷àñ òèö ìàã íèò íû ìè íå -
îäíî ðîä íîñ òÿ ìè â ñèëü íîì ìàã íèò íîì ïîëå. Æóðí. ýêñ ïå ðèì. è òåîð. ôèç.
1971. 60. ¹ 3. Ñ. 972.
3. Ïðóä íè êîâ À. Ï., Áðû÷ êîâ Þ. À., Ìà ðè ÷åâ Î. È. Èíòåã ðà ëû è ðÿäû. Ì., Íà ó êà,
1981. 800 ñ.
4. Ñè äî ðîâ Þ. Â., Ôå äî ðþê Ì. Â., Øà áó íèí Ì. È. Ëåê öèè ïî òå î ðèè ôóíê öèé êîì -
ïëåê ñíî ãî ïå ðå ìåí íî ãî. Ì. Íà ó êà, 1976. 407 ñ.
5. Òîï òû ãèí È. Í. Êîñ ìè ÷åñ êèå ëó÷è â ìåæ ïëà íåò íûõ ìàã íèò íûõ ïî ëÿõ. Ì. Íà ó êà,
1983. 304 ñ.
6. Øàõîâ Á. À., Ôåäîðîâ Þ. È., Êûçüþðîâ Þ. Â., Íîñîâ Ñ. Ô. Îïèñàíèå
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñîëíå÷íûõ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé íà îñíîâå àíàëèòè÷åñêîãî
ðåøåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Èçâ. ÐÀÍ, ñåð. ôèç. 1995. 59, ¹ 4. Ñ. 48.
7. Øè øîâ Â. È. Î ðàñ ïðîñ òðà íå íèè âû ñî êî ý íåð ãè÷ íûõ ñî ëíå÷ íûõ ïðî òî íîâ â ìåæ -
ïëà íåò íîì ìàã íèò íîì ïîëå. Ãå î ìàã íå òèçì è àý ðî íî ìèÿ. 1966. 6. Ñ. 223.
8. Axford W. I. Anisotropic diffusion of solar cosmic rays. Planet. Space Sci. 1965. 13,
N 12. P. 1301.
22
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
9. Bieber J. W., Clem J., Evenson P., et al. Gi ant ground level en hance ment of rel a tiv is tic
so lar pro tons on 2005 Jan u ary 20. Astrophys. J. 2013. 771. 52 (13 p.).
10. Dorman L. I., Katz M. E. Cos mic ray ki net ics in space. Space Sci. Rev. 1977. 70.
P. 529—575.
11. Duggal S. P. Rel a tiv is tic so lar cos mic rays. Rev. Geophys. Space Phys. 1979. 17. N 5.
P. 1021—1058.
12. Earl J. A. Dif fu sion of charged par ti cles in a ran dom mag netic field. Astrophys. J.
1973. 180. P. 227.
13. Earl J. A. New de scrip tion of charged par ti cle prop a ga tion in ran dom mag netic field.
Astrophys. J. 1994. 425. P. 331.
14. Effenberger F., Litvinenko Y. The dif fu sion ap prox i ma tion ver sus the tele graph equa -
tion for mod el ing so lar en er getic par ti cle trans port with adi a batic fo cus ing. 1. Iso tro -
pic pitch an gle scat ter ing. Astrophys. J. 2014. 7 83. P. 15.
15. Fedorov Yu. I., Kyzyurov Yu. V., Nosov S. F., Shakhov B. A. So lu tion of the
Boltzmann equa tion for nondiffusive so lar cos mic ray prop a ga tion. Ann.
Geophysicae. 1996. 14. P. 1016.
16. Fedorov Yu. I., Shakhov B. A. So lar cos mic rays in ho mo ge neous mag netic field.
Proc. 23rd In tern. Cos mic Ray Conf. — Cal gary, 1993. Vol. 3. P. 215—218.
17. Fedorov Yu. I., Shakhov B. A. De scrip tion of non-dif fu sive cos mic ray prop a ga tion in
a ho mo ge neous reg u lar mag netic field. Astron. and Astrophys. 2003. 402. P. 805.
18. Fedorov Yu. I., Shakhov B. A., Stehlik M. Non-dif fu sive trans port of cos mic rays in
ho mo ge neous reg u lar mag netic fields. Astron. and Astrophys. 1995. 302, N2.
P. 623—634.
19. Fedorov Yu. I., Stehlik M., Kudela K., Kassavicova J. Non-dif fu sive par ti cle pulse
trans port: Ap pli ca tion to an anisotropic so lar GLE. So lar Phys. 2002. 208, N2.
P. 325—334.
20. Fisk L. A., Axford W. I. Anisotropies of so lar cos mic rays. So lar Phys. 1969. 7. P. 486.
21. Gombosi T. J., Jokipii J. R., Kota J. et al. The tele graph equa tion in charged par ti cle
trans port. Astrophys. J. 1993. 403. P. 377.
22. Gopolswamy N., Xie H., Yashiro S. et al. Prop er ties of ground level en hance ment
events and as so ci ated so lar erup tions dur ing so lar cy cle 23. Space Sci. Rev. 2012. 71.
P. 23.
23. Kagashvili E. Kh., Zank G. P., Lu J. Y., Droge W. Trans port of en er getic charged par ti -
cles. 2. Small-an gle scat ter ing. J. Plasma Phys. 2004. 70, part. 5. P. 505—532.
24. Kota J. Co her ent pulses in the dif fu sive trans port of charged par ti cles. Astrophys. J.
1994. 427, N2. P. 1035—1040.
25. Malkov M. A., Sagdeev R. Z. Cos mic ray trans port with mag netic fo cus ing and the
«tele graph» model. Astrophys. J. 2015. 808. P. 157.
26. Miroshnichenko L. I. So lar cos mic rays. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Neth er lands,
2001. 480 p.
27. Miroshnichenko L. I., Perez-Peraza J. A. As tro phys i cal as pects in the stud ies of so lar
cos mic rays. Int. J. Mod ern Phys. A. 2008. 23, N 1. P. 1.
28. Saiz A., Ruffolo D., Bieber J. W., Evenson P. Mod el ing rel a tiv is tic so lar par ti cles in
the in ner so lar sys tem dur ing an ex treme event. Proc. 32-nd In tern. Cos mic Ray
Conf., Beijing 2011. 10. P. 210.
29. Shakhov B. A., Stehlik M. The Fokker-Planck equa tion in the sec ond or der pitch an gle
ap prox i ma tion and its ex act so lu tion. J. Quant. Spectr. Ra di a tive Trans fer. 2003. 78.
P. 31—39.
30. Shea M. A., Smart D. F. Space weather and the ground-level so lar pro ton events of the
23rd so lar cy cle. Space Sci. Rev. 2012. 71. P. 161.
23
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÑÎËÍÅ×ÍÛÕ ÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÈÕ ËÓ×ÅÉ
31. Webb G. M., Pantazopolou M., Zank G. P. Mul ti ple scat ter ing and the BGK Boltzmann
equa tion. J. Phys. A Math. Gen. 2000. 33. P. 3137—3160.
32. Zank G. P., Lu J. Y., Rise W. K. M., Webb G. M. Trans port of en er getic charged par ti -
cles in a ran dom mag netic field. Part 1. Large an gle scat ter ing. J. Plasma Phys. 2000.
64. P. 507.
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 07.11.2017
Þ. ². Ôå äî ðîâ, Á. À. Øà õîâ
Ãîëîâíà àñòðîíîì³÷íà îáñåðâàòîð³ÿ Íàö³îíàëüíî¿ àêàäå쳿 íàóê Óêðà¿íè,
Êè¿â, Óêðà¿íà
ÎÏÈÑ ÏÎØÈÐÅÍÍß ÑÎÍß×ÍÈÕ ÊÎÑ̲×ÍÈÕ ÏÐÎÌÅͲÂ
Ó Ì²ÆÏËÀÍÅÒÍÎÌÓ ÑÅÐÅÄÎÂÈÙ² ÍÀ ÎÑÍβ ʲÍÅÒÈ×ÍÎÃΠвÂÍßÍÍß
Ïî øè ðåí íÿ ñî íÿ÷ íèõ êîñì³÷íèõ ïðî ìåí³â ó ì³æïëà íåò íî ìó ïðî ñòîð³ ðîç ãëÿ íó òî íà
îñíîâ³ ê³íå òè÷ íî ãî ð³âíÿí íÿ. Îäåð æà íî âè ðàç äëÿ êîí öåí òðàö³¿ êîñì³÷íèõ ïðî ìåí³â
çà ìèòòºâî¿ ³íæåêö³¿ ÷àñ òè íîê òî÷ êî âèì äæå ðå ëîì. Íà îñíîâ³ ê³íå òè÷ íî ãî ð³âíÿí íÿ
îäåð æà íî ñèñ òå ìó äè ôå ðåíö³éíèõ ð³âíÿíü äëÿ ãàð ìîí³ê ôóíêö³¿ ðîç ïîä³ëó êîñì³÷ -
íèõ ïðî ìåí³â. Âè âå äå íî ð³âíÿí íÿ ïå ðå íî ñó êîñì³÷íèõ ïðî ìåí³â, ÿêå âðà õî âóº íà ÿâ -
í³ñòü äðó ãî¿ ãàð ìîí³êè êó òî âî ãî ðîç ïîä³ëó ÷àñ òè íîê. Îòðè ìà íî ðîç â'ÿ çîê öüî ãî ð³â -
íÿí íÿ.
Êëþ ÷îâ³ ñëî âà: êîñì³÷í³ ïðî ìåí³, ê³íå òè÷ íå ð³âíÿí íÿ, äè ôóç³ÿ.
Yu. I. Fedorov, B. A. Shakhov
Main Astronomical Observatory of the National Academy of Sciences of Ukraine,
Kyiv, Ukraine
DESCRIPTION OF SOLAR COSMIC RAY PROPAGATION
IN THE INTERPLANETARY MEDIUM ON THE BASE OF KINETIC EQUATION
The propagation of solar cosmic rays in the interplanetary space is considered based on the
kinetic equation. The expression for cosmic ray density under instantaneous particle
injection by point-like source is obtained. The set of differential equations for harmonics of
cosmic ray distribution function is obtained starting from kinetic equation. The cosmic ray
transport equation, taking into account the presence of the second harmonic of particle
angular distribution, is derived and the solution of this equation is obtained.
Key words: cosmic rays, kinetic equation, diffusion.
24
Þ. È. ÔÅÄÎÐÎÂ, Á. À. ØÀÕÎÂ
|