Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням

Встановлено умову існування чебишовського наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з найменшою абсолютною похибкою та ермітовим інтерполюванням у крайніх точках відрізка. Запропоновано метод визначення параметрів такого чебишовського наближення....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Малачівський, П.С., Пізюр, Я.В., Андруник, В.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2018
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системний аналіз
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161433
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням / П.С. Малачівський, Я.В. Пізюр, В.А. Андруник // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 93-99. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-161433
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1614332025-02-23T19:48:02Z Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням Чебишевское приближение суммой полинома и логарифмического выражения с эрмитовым интерполированием Chebyshev approximation by the sum of polynomial and logarithmic expression with the hermitian interpolation Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Андруник, В.А. Системний аналіз Встановлено умову існування чебишовського наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з найменшою абсолютною похибкою та ермітовим інтерполюванням у крайніх точках відрізка. Запропоновано метод визначення параметрів такого чебишовського наближення. Установлено условие существования чебышевского приближения суммой полинома и логарифмического выражения с наименьшей абсолютной погрешностью и эрмитовым интерполированием в крайних точках отрезка. Предложен метод определения параметров такого чебышевского приближения. The authors establish the condition for the existence of the Chebyshev approximation by the sum of a polynomial and logarithmic expression with the smallest absolute error and Hermitian interpolation at the boundary points of an interval. The method is proposed for determining the parameters of such Chebyshev approximation. 2018 Article Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням / П.С. Малачівський, Я.В. Пізюр, В.А. Андруник // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 93-99. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161433 519.65 uk Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Андруник, В.А. Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням Кибернетика и системный анализ
description	Встановлено умову існування чебишовського наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з найменшою абсолютною похибкою та ермітовим інтерполюванням у крайніх точках відрізка. Запропоновано метод визначення параметрів такого чебишовського наближення.
format	Article
author	Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Андруник, В.А.
author_facet	Малачівський, П.С. Пізюр, Я.В. Андруник, В.А.
author_sort	Малачівський, П.С.
title	Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням
title_short	Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням
title_full	Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням
title_fullStr	Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням
title_full_unstemmed	Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням
title_sort	чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2018
topic_facet	Системний аналіз
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/161433
citation_txt	Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням / П.С. Малачівський, Я.В. Пізюр, В.А. Андруник // Кибернетика и системный анализ. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 93-99. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT malačívsʹkijps čebišovsʹkenabližennâsumoûpolínomatalogarifmíčnogovirazuzermítovimínterpolûvannâm AT pízûrâv čebišovsʹkenabližennâsumoûpolínomatalogarifmíčnogovirazuzermítovimínterpolûvannâm AT andrunikva čebišovsʹkenabližennâsumoûpolínomatalogarifmíčnogovirazuzermítovimínterpolûvannâm AT malačívsʹkijps čebiševskoepribliženiesummojpolinomailogarifmičeskogovyraženiâsérmitovyminterpolirovaniem AT pízûrâv čebiševskoepribliženiesummojpolinomailogarifmičeskogovyraženiâsérmitovyminterpolirovaniem AT andrunikva čebiševskoepribliženiesummojpolinomailogarifmičeskogovyraženiâsérmitovyminterpolirovaniem AT malačívsʹkijps chebyshevapproximationbythesumofpolynomialandlogarithmicexpressionwiththehermitianinterpolation AT pízûrâv chebyshevapproximationbythesumofpolynomialandlogarithmicexpressionwiththehermitianinterpolation AT andrunikva chebyshevapproximationbythesumofpolynomialandlogarithmicexpressionwiththehermitianinterpolation
first_indexed	2025-11-24T18:56:01Z
last_indexed	2025-11-24T18:56:01Z
_version_	1849699138444197888
fulltext	ÓÄÊ 519.65 Ï.Ñ. ÌÀËÀ×²ÂÑÜÊÈÉ, ß.Â. Ï²ÇÞÐ, Â.À. ÀÍÄÐÓÍÈÊ ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÅ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÑÓÌÎÞ ÏÎË²ÍÎÌÀ ÒÀ ËÎÃÀÐÈÔÌ²×ÍÎÃÎ ÂÈÐÀÇÓ Ç ÅÐÌ²ÒÎÂÈÌ ²ÍÒÅÐÏÎËÞÂÀÍÍßÌ Àíîòàö³ÿ. Âñòàíîâëåíî óìîâó ³ñíóâàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ òà åðì³òîâèì ³íòåðïîëþâàííÿì ó êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà. Çàïðîïîíîâàíî ìå- òîä âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â òàêîãî ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ, åðì³òîâà ³íòåðïîëÿö³ÿ, ìåòîä Ðå- ìåçà, òî÷êè àëüòåðíàíñó. ÂÑÒÓÏ. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×² Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ç åðì³òîâèì ³íòåðïîëþâàííÿì ó êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó L a x a x A x pn i i i n ( ; ) ln( )� � � � � 0 , A � 0, p � � �, n � 0 1 2, , , .. . , (1) íà â³äð³çêó [ , ]� � ç íåâ³äîìèìè ïàðàìåòðàìè a i n Ai ( , ),� 0 ³ p. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó ç åðì³òîâîþ ³íòåðïîëÿö³ºþ â êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà âèêîðèñòîâóºòüñÿ äëÿ ïîáó- äîâè íåïåðåðâíîãî ³ ãëàäêîãî ì³í³ìàêñíîãî ñïëàéí-íàáëèæåííÿ [1, 2]. Íåïåðåðâíå é ãëàäêå ì³í³ìàêñíå ñïëàéí-íàáëèæåííÿ çàñòîñîâóþòü, çîêðåìà, äëÿ â³äòâîðåííÿ òåðìîìåòðè÷íî¿ õàðàêòåðèñòèêè òà ÷óòëèâîñò³ òåðìîä³îäíèõ ñåíñîð³â [1, 3]. Âëàñòèâîñò³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ íåë³í³éíèì âèðàçîì ç ³íòåðïîëþ- âàííÿì äîñë³äæåíî ó ðîáîòàõ [4–6]. Âëàñòèâîñò³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ âè- ðàçîì (1) ç ³íòåðïîëþâàííÿì îïèñàíî â [7]. Íàáëèæåííÿ ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãà- ðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) íå çàäîâîëüíÿº óìîâó Ãààðà [8] ³, â³äïîâ³äíî, íàáëèæåííÿ öèì âèðàçîì ç åðì³òîâèì ³íòåðïîëþâàííÿì ó êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà íå çàâæäè ³ñíóº. Òîìó ïîòð³áíî äîñë³äèòè óìîâè ³ñíóâàííÿ òàêîãî ÷åáèøîâñüêîãî íàáëè- æåííÿ. Êð³ì òîãî, ó ðàç³ ³ñíóâàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ âèðàçîì (1), îá- ÷èñëåííÿ çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà p, ÿêèé íåë³í³éíî âõîäèòü ó âèðàç, º äîñèòü òðó- äîì³ñòêèì. ²ÑÍÓÂÀÍÍß ÒÀ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈ×ÍÀ ÂËÀÑÒÈÂ²ÑÒÜ ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÎÃÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÑÓÌÎÞ ÏÎË²ÍÎÌÀ ÒÀ ËÎÃÀÐÈÔÌ²×ÍÎÃÎ ÂÈÐÀÇÓ Ç ÅÐÌ²ÒÎÂÈÌ ²ÍÒÅÐÏÎËÞÂÀÍÍßÌ Ðîçãëÿíåìî íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ íà â³äð³çêó [ , ]� � ôóíêö³¿ f x( ), äëÿ ÿêèõ ñïðàâäæóþòüñÿ íåð³âíîñò³: 0 2 � �W Wn n( ) ( ) , (2) äå W D f z z z D f z z z n n n n n ( ) ( ; , ) ( ; , ) � � � � � 1 2 3 4 1 1 2 3 � � , (3) W D s z z z D s z z n n n n n n 2 1 1 2 3 4 1 1 1 2 ( ) ( ; , , ..., ) ( ; , , ... � � � � � � , )zn� 3 , (4) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 93 © Ï.Ñ. Ìàëà÷³âñüêèé, ß.Â. Ï³çþð, Â.À. Àíäðóíèê, 2018 s x xk k( ) � , D U z z z D U z z z D k j j j k k j j j k ( ; , ) ( ; , ) � � � � � � � � � 1 1 1 1 2 1 � � k k j j j ks z z z� � � � � � � 1 1 1 2 1( ; , , .., ) (5) � � � � � � � � D U z z z D s z z z k k j j j k k k j j j k 1 1 1 1 1 ( ; , ) ( ; , ) , � � � � � � �3 1 1 3, , ,n j n k , D U z z z zj j j j2 1 2 3( ; , , , )� � � � � � � � D U z z D s z z U z j D U z j 1 2 4 1 1 2 4 1 1 1 1 ( ; , ) ( ; , ) ( ), , ( ; , ÿêùî z D s z z D U z z D s z z j j j j j j j � � � � � �3 1 1 1 3 1 2 1 1 2 ) ( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) , ÿêùî 1 1 4 1 1 3 1 1 1 � � � �� j n U z D U z z D s z z n n n n n , ( ) ( ; , ) ( ; , 3 1 ) , ;ÿêùî j n� � � � � (6) D U z z U z j U z U z U z j j1 2 1 4 3 2 1 2 ( ; , ) ( ), , ( ) ( ) ( ), � � � � � ÿêùî ÿêùî ÿêùî j U z U z j n U z U z U z j j n n � � � � � � � � � 2 2 2 2 3 2 , ( ) ( ), , ( ) ( ) ( n n j n U z j n � � � � � � � � � 1 4 1 2 ), , ( ), ,ÿêùî (7) â ÿêèõ U x ( ) — ïîõ³äíà ôóíêö³¿ U x( ), à z j ( , )j n� �3 2 — áóäü-ÿê³ âïîðÿä- êîâàí³ çà çðîñòàííÿì ÷èñëà ç ³íòåðâàëó ( , )� � , z z1 2� � �, z zn n� �� 3 4 �. Äëÿ òàêèõ ôóíêö³é f x( ) º ñïðàâåäëèâèìè òåîðåìè 1–3. Òåîðåìà 1. Íåõàé ôóíêö³ÿ f x( ) º íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � . Íåîáõ³äíîþ ³ äîñòàòíüîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) äëÿ n � 2 ç íàéìåí- øîþ àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ â îáîõ êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà � ³ � º ñïðàâäæåííÿ íåð³âíîñòåé (2). ßêùî âèêîíóºòüñÿ óìîâà (2), òî ³ñíóº ºäèíå ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) âèðàçîì (1) ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ â êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêó, à éîãî ïàðàìåòðè çàäîâîëüíÿþòü ñèñòåìó ð³âíÿíü f a A p f ia A p i i i n i i i n ( ) ln ( ) , ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 1 1 0 0 1 3 2 0 , ( ) ln ( ) ( ) , , , ( ) f z a z A z p j n f a j i j i j i n j� � � � � � � � � � � � i i i n i i i n A p f ia A p � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ln ( ) , ( ) , 0 1 1 0 0 � (8) 94 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 ó ÿê³é z j nj ( , )� �3 2 — âïîðÿäêîâàí³ çà çðîñòàííÿì òî÷êè ÷åáèøîâñüêîãî àëüòåðíàíòó ç ³íòåðâàëó ( , )� � . Äîâåäåííÿ ö³º¿ òåîðåìè ´ðóíòóºòüñÿ íà õàðàêòåðèñòè÷í³é òåîðåì³ ³ñíóâàííÿ òà ºäèíîñò³ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) íåë³í³éíèì âèðàçîì ç â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ ó çîâí³øí³õ òî÷êàõ [1]. ¯¿ äîâåäåííÿ ìîæíà âèêîíàòè àíàëîã³÷íî äîâåäåííþ òåîðåìè ïðî ³ñíóâàííÿ òà ºäèí³ñòü ÷åáè- øîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ íåë³í³éíèì âèðàçîì ç åðì³òîâèì ³íòåðïîëþâàí- íÿì ó êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà [1, 9]. Äîñòàòíþ óìîâó (2) ³ñíóâàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíèõ ó êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà çàäîâîëü- íÿþòü, çîêðåìà, íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâí³ ôóíêö³¿ f x( ) ( ( ) [ , ] )( )f x C n� �1 � � , n-íà ³ ( )n �1 -øà ïîõ³äí³ ÿêèõ º ñòðîãî ìîíîòîííèìè íà [ , ]� � . Ïðè öüîìó õàðàêòåð ¿õíüî¿ ìîíîòîííîñò³ ìàº áóòè ïðîòèëåæíèì: ÿêùî îäíà ç íèõ çðîñòàº, òî äðóãà ïî- âèííà ñïàäàòè, ³ íàâïàêè. Ïîä³áí³ âëàñòèâîñò³ ìàº ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ â îäí³é ç êðàéí³õ òî÷îê â³äð³çêà � àáî �. Òåîðåìà 2. Íåõàé ôóíêö³ÿ f x( ) º íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � , òîä³: à) äîñòàòíüîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèá- êîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ ó òî÷ö³ � º ñïðàâäæåííÿ íåð³âíîñòåé (2), ó ÿêèõ D U z z z z D U z z D s z z U j j j j2 1 2 3 1 2 4 1 1 2 4 ( ; , , , ) ( ; , ) ( ; , ) � � � � � ( ) , , ( ; , ) ( ; , ) ( ; z j D U z z D s z z D Uj j j j 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1ÿêùî � �� z z D s z z j n j j j j , ) ( ; , ) , , � � � � � � � � 2 1 1 2 1 1ÿêùî (9) D U z z U z j U z U z U zj j1 2 1 4 3 2 1 2( ; , ) ( ), , ( ) ( ) ( ) ,� � � � � ÿêùî ÿêùî ÿêùî j U z U z j nj j � � � � � � � � � 2 2 22 , ( ) ( ) , , (10) äå z j ( , )j n� �3 4 — áóäü-ÿê³ âïîðÿäêîâàí³ çà çðîñòàííÿì ÷èñëà ç ( , ]� � , à z z1 2� � �. á) ó ðàç³ âèêîíàííÿ óìîâè ïóíêòó à) ³ñíóº ºäèíå ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) ç íàéìåíøîþ àáñî- ëþòíîþ ïîõèáêîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ ó òî÷ö³ �, à éîãî ïàðàìåòðè çíàõîäÿòü ³ç ñèñòåìè ð³âíÿíü f a A p f ia A p i i i n i i i n ( ) ln ( ) , ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 1 1 0 0 1 3 4 0 , ( ) ln( ) ( ) , , ,f z a z A z p j nj i j i i n j j� � � � � � � � � � � � � (11) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 95 â ÿê³é z j nj ( , )� �3 4 — âïîðÿäêîâàí³ çà çðîñòàííÿì òî÷êè ÷åáèøîâñüêîãî àëüòåðíàíñó ç ( , ]� � . Òåîðåìà 3. Íåõàé ôóíêö³ÿ f x( ) º íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � , òîä³: à) äîñòàòíüîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèá- êîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ â òî÷ö³ � º ñïðàâäæåííÿ íåð³âíîñòåé (2), â ÿêèõ D U z z z zj j j j2 1 2 3( ; , , , )� � � � � �� D U z z D s z z D U z z D s j j j j j j1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 ( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) ( 1 2 4 1 1 3 1 1 1 ; , ) , , ( ) ( ; , ) ( z z j n U z D U z z D j j n n n � � � � � � � � ÿêùî s z z j n n n1 1 3 1 ; , ) , , � � � � � � � ÿêùî (12) D U z z U z U z j n U z U zj j j j n1 2 2 3 1 2( ; , ) ( ) ( ) , , ( ) (� � �� ÿêùî n n n U z j n U z j n � � � � � � � � � � � 2 1 4 1 2 ) ( ) , , ( ), , ÿêùî ÿêùî (13) äå z j ( , )j n� �1 2 — áóäü-ÿê³ âïîðÿäêîâàí³ çà çðîñòàííÿì ÷èñëà ç [ , )� � , à z zn n� �� 3 4 �. á) ó ðàç³ âèêîíàííÿ óìîâè ïóíêòó à) ³ñíóº ºäèíå ÷åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) ç íàéìåíøîþ àáñî- ëþòíîþ ïîõèáêîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ ó òî÷ö³ �, à éîãî ïàðàìåòðè çíàõîäÿòü ³ç ñèñòåìè ð³âíÿíü f z a z A z p j n f a j i j i i n j j i ( ) ln ( ) ( ) , , , ( ) � � � � � � � � � � 0 1 1 2� � � i i n i i i n A p f ia A p � � � � � � � � � � � � � � 0 1 1 0 0 ln ( ) , ( ) , � � � �� (14) â ÿê³é z j nj ( , )� �1 2 — âïîðÿäêîâàí³ çà çðîñòàííÿì òî÷êè ÷åáèøîâñüêîãî àëüòåðíàíñó ç [ , )� � . Äîâåäåííÿ òåîðåì 2 ³ 3 ìîæíà âèêîíàòè àíàëîã³÷íî äîâåäåííþ òåîðåìè ïðî ³ñíóâàííÿ òà ºäèí³ñòü ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ íåë³í³éíèì âèðàçîì ç åðì³òîâèì ³íòåðïîëþâàííÿì ó êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà [1, 9]. ÂÈÇÍÀ×ÅÍÍß ÏÀÐÀÌÅÒÐ²Â ×ÅÁÈØÎÂÑÜÊÎÃÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ÑÓÌÎÞ ÏÎË²ÍÎÌÀ ÒÀ ËÎÃÀÐÈÔÌ²×ÍÎÃÎ ÂÈÐÀÇÓ Ç ÅÐÌ²ÒÎÂÈÌ ²ÍÒÅÐÏÎËÞÂÀÍÍßÌ Â³äïîâ³äíî äî òåîðåìè ïðî ³ñíóâàííÿ òà ºäèí³ñòü ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ íåë³í³éíèì âèðàçîì ç â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ïîõ³äíî¿ ó çîâí³øí³õ òî÷êàõ [1], ïàðàìåòðè ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãà- ðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) ôóíêö³¿ f x( ) ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ â êðàéí³õ òî÷êàõ 96 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 â³äð³çêà � ³ �, ÿêùî âîíî ³ñíóº, ìîæíà âèçíà÷èòè çà ñõåìîþ Ðåìåçà [1, 6]. ×å- áèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) ôóíêö³¿ f x( ) ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ â îáîõ êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà � ³ � ìàº n òî- ÷îê àëüòåðíàíñó, à â ðàç³ åðì³òîâîãî ³íòåðïîëþâàííÿ ëèøå â îäí³é êðàéí³é òî÷ö³ — ( )n �2 òî÷îê àëüòåðíàícó. Íåõàé z i ni ( , )� �3 2 — òî÷êè àëüòåðíàíñó äëÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ç åðì³òîâèì ³íòåðïîëþâàííÿì â îáîõ êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà, z i ni ( , )� �3 4 — òî÷êè àëüòåðíàíñó äëÿ íàáëèæåííÿ ç åðì³òîâèì ³íòåðïîëþâàí- íÿì ëèøå ó òî÷ö³ �, à z i ni ( , )� �1 2 — òî÷êè àëüòåðíàíñó äëÿ íàáëèæåííÿ ç åðì³òîâèì ³íòåðïîëþâàííÿì ó òî÷ö³ �. ßêùî ôóíêö³ÿ f x( ) çàäîâîëüíÿº óìîâè òåîðåì 1–3 ³ òî÷êè àëüòåðíàícó â³äîì³, òî ïàðàìåòðè a i ni ( , )� 0 ³ A ÷åáèøîâ- ñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) âèðàçîì (1) ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèá- êîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ â îáîõ êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà � ³ �, àáî îäí³é ³ç íèõ îá÷èñëþþòüñÿ çà ôîðìóëàìè A D f z z z D z z z n n n n � � � � � 1 1 2 3 1 1 2 3 ( ; , ) ( ; , ) � �� , (15) ak � D f z z z a D s z z z ADk k i k i k i k n ( ; , ) ( ; , )1 2 2 1 2 2 1 � �� k k k k k z z z D s z z z ( ; , ) ( ; , ) , � 1 2 2 1 2 2 � � � � k n�1, , (16) a f z f z a z z A z p zi i i i n 0 3 4 3 4 1 3 1 2 � � � � � � � � �( ( ) ( ) ( ) (ln( ) ln( 4 � p))) , (17) äå �( , ) ln( )p x x p� � , à çíà÷åííÿ âèðàç³â D U z z zk i i i k( ; , , ..., )� � �1 1 îá÷èñëþ- þòüñÿ çà ôîðìóëîþ (5), â ÿê³é çàëåæíî â³ä òî÷îê ³íòåðïîëþâàííÿ äëÿ âèðàç³â D U z z z zi i i i2 1 2 3( ; , , , )� � � , i n� �1 1, , òà D U z zi i1 2( ; , )� , i n� �1 2, , çàñòîñîâó- þòüñÿ â³äïîâ³äíî ôîðìóëè (6), (7); (9), (10) àáî (12), (13). Çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà p º ðîçâ’ÿçêîì òðàíñöåíäåíòíîãî ð³âíÿííÿ � n np W( ) ( )� , (18) äå � � � n n n n n p D z z z D z z z ( ) ( ; , ) ( ; , ) � � � � � 1 2 3 4 1 1 2 3 � � , à çíà÷åííÿ W n( ) âèçíà÷àºòüñÿ ôîðìóëîþ (3) ç óðàõóâàííÿì ôîðìóë (5)-(7). Ðîçâ’ÿçîê öüîãî ð³âíÿííÿ ìîæíà çíàéòè øëÿõîì ïåðåáîðó ç ïðîáíèìè çíà- ÷åííÿìè p p hi i p� ��1 , i �1 2, , ... , (19) äå p0 410� � � �� . Êðîê ïåðåáîðó hp ïîêëàäàºòüñÿ ð³âíèì íàáëèæåíîìó çíà- ÷åííþ ïàðàìåòðà p h W z z z z W p n n n n � � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 4 3 2 1 . (20) ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 97 Ïåðåá³ð ïðîáíèõ çíà÷åíü (19) ïðîâîäèòüñÿ äî äîñÿãíåííÿ âèêîíàííÿ íå- ð³âíîñò³ ( ( ) )( ( ) )( ) ( )� �n i n n i np W p W� � ��1 0 , (21) ïðè öüîìó çíà÷åííÿ âèðàç³â W n( ) ³ D U z z zk i i i k( ; , , ..., )� � �1 1 îá÷èñëþþòüñÿ çà ôîðìóëàìè (3) ³ (5), à äëÿ îá÷èñëåííÿ çíà÷åíü D U z z z zi i i i2 1 2 3( ; , , , )� � � ³ D U z zi i1 2( ; , )� çàëåæíî â³ä òî÷îê ³íòåðïîëþâàííÿ çàñòîñîâóþòüñÿ ôîðìó- ëè (6), (7); (9), (10) àáî (12), (13). Äëÿ óòî÷íåííÿ çíà÷åííÿ p â ³íòåðâàë³ [ , ]p pi i�1 ìîæíà çàñòîñóâàòè ìåòîä õîðä àáî ä³ëåííÿ íàâï³ë. Ï³ä ÷àñ óòî÷íåííÿ çíà÷åíü ïàðàìåòðà p äëÿ òåñòîâèõ ïðèêëàä³â øâèäêî çá³ãàâñÿ ìåòîä Äîâåëëà [5]. ÂÈÑÍÎÂÊÈ Äîñòàòíüîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ ÷åáèøîâñüêîãî íàáëèæåííÿ ôóíêö³¿ f x( ) ñóìîþ ïîë³íîìà òà ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó (1) ç íàéìåíøîþ àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ íà â³äð³çêó [ , ]� � ³ â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ â êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêó º âèêîíàííÿ íåð³âíîñòåé (2), â ÿêèõ çàëåæíî â³ä òî÷îê ³íòåðïîëþâàííÿ äëÿ âèðàç³â D U z z z zi i i i2 1 2 3( ; , , , )� � � , i n� �1 1, , òà D U z zi i1 2( ; , )� , i n� �1 2, , çàñòîñîâóþòüñÿ â³äïîâ³äíî ôîðìóëè (6), (7); (9), (10) àáî (12), (13). Íåð³âíîñò³ (2) ñïðàâäæóþòüñÿ, çîêðåìà, äëÿ íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíèõ ôóíêö³é f x( ) ( ( ) [ , ] )( )f x C n� �1 � � , n-íà ³ ( )n �1 -øà ïîõ³äí³ ÿêèõ º ñòðîãî ìî- íîòîííèìè íà [ , ]� � . Ïðè öüîìó õàðàêòåð ¿õíüî¿ ìîíîòîííîñò³ ìàº áóòè ïðî- òèëåæíèì: ÿêùî îäíà ç íèõ çðîñòàº, òî äðóãà ïîâèííà ñïàäàòè ³ íàâïàêè. Ïàðàìåòðè a i ni ( , )� 0 ³ A òàêîãî íàáëèæåííÿ âèçíà÷àþòüñÿ ôîðìóëàìè (15)–(17). Çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà p º êîðåíåì òðàíñöåíäåíòíîãî ð³âíÿííÿ (18), ðîç- â’ÿçîê ÿêîãî ìîæíà çíàéòè øëÿõîì ïåðåáîðó (19) ç êðîêîì (20). ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ âèðàçîì (1) ç â³äòâîðåííÿì çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ òà ¿¿ ïîõ³äíî¿ â êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ ïîáóäîâè íåïåðåðâíèõ ³ ãëàäêèõ ì³í³ìàêñíèõ ñïëàéí-íàáëèæåíü. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåïåðåðâíå é ãëàäêå ì³í³ìàêñíå ñïëàéí-íàáëèæåííÿ. Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2013. 270 ñ. 2. Skopetskyy V., Malachivskyy P., Pizyur Ya. Approximation by a smooth interpolation spline. Cybernetics and Systems Analysis. 2011. Vol. 47, Iss. 5. P. 724-730. 3. Øâàðö Þ.Ì., Èâàùåíêî À.Í., Øâàðö Ì.Ì. è äð. Ìåòðîëîãè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå äèîäíîé òåðìîìåò- ðèè. Ïðèáîðû. 2007. ¹ 8(86). Ñ. 5–11. 4. Dunham C., Zhu C. Strong uniqueness of nonlinear Chebyshev approximation (with interpolation). Numerical mathematics and computing: Proc. 20th Manitoba Conf. Congr. Numerantium 80 (Winnipeg, Can., 1990) Winnipeg, 1991. P. 161–169. 5. Ïîïîâ Á.À., Òåñëåð Ã.Ñ. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé äëÿ òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1980. 352 ñ. 6. Ïîïîâ Á.À. Pàâíîìåðíîå ïðèáëèæåíèå ñïëàéíàìè. Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1989. 272 ñ. 7. Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ., Ï³çþð ß.Â., Àíäðóíèê Â.À. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ôóíêö³é ñóìîþ ïîë³íîìó é ëîãàðèôì³÷íîãî âèðàçó ç ³íòåðïîëþâàííÿì. Êîìï’þòåðí³ òåõíîëîã³¿ äðóêàðñòâà. 2017. ¹ 35. Ñ. 95–104. 8. Ìàëà÷³âñüêèé Ï. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ñóìîþ ìíîãî÷ëåíà ³ ôóíêö³¿ ç îäíèì íåë³í³éíèì ïàðàìåò- ðîì. Ô³çèêî-ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ òà ³íôîðìàö³éí³ òåõíîëîã³¿. 2005. Âèï. 1. C. 134–145. 98 ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 9. Ñêîïåöüêèé Â.Â., Ìàëà÷³âñüêèé Ï.Ñ. ×åáèøîâñüêå íàáëèæåííÿ ñóìîþ ìíîãî÷ëåíà é íåë³í³éíîãî âè- ðàçó ç åðì³òîâèì ³íòåðïîëþâàííÿì ó êðàéí³õ òî÷êàõ â³äð³çêà. Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2010. ¹ 4. Ñ. 42–47. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 01.11.2017 Ï.Ñ. Ìàëà÷èâñêèé, ß.Â. Ïèçþð, Â.À. Àíäðóíûê ×ÅÁÈØÅÂÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÑÓÌÌÎÉ ÏÎËÈÍÎÌÀ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÂÛÐÀÆÅÍÈß Ñ ÝÐÌÈÒÎÂÛÌ ÈÍÒÅÐÏÎËÈÐÎÂÀÍÈÅÌ Àííîòàöèÿ. Óñòàíîâëåíî óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæå- íèÿ ñóììîé ïîëèíîìà è ëîãàðèôìè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ñ íàèìåíüøåé àáñî- ëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ è ýðìèòîâûì èíòåðïîëèðîâàíèåì â êðàéíèõ òî÷êàõ îòðåçêà. Ïðåäëîæåí ìåòîä îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ òàêîãî ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ÷åáûøåâñêîå ïðèáëèæåíèå, ýðìèòîâà èíòåðïîëÿöèÿ, ìå- òîä Ðåìåçà, òî÷êè àëüòåðíàíñà. P.S. Malachivskyy, Ya.V. Pizyur, V.A. Andrunyk CHEBYSHEV APPROXIMATION BY THE SUM OF POLYNOMIAL AND LOGARITHMIC EXPRESSION WITH THE HERMITIAN INTERPOLATION Abstract. The authors establish the condition for the existence of the Chebyshev approximation by the sum of a polynomial and logarithmic expression with the smallest absolute error and Hermitian interpolation at the boundary points of an interval. The method is proposed for determining the parameters of such Chebyshev approximation. Keywords: Chebyshev approximation, Hermitian interpolation, Remez method, alternance points. Ìàëà÷³âñüêèé Ïåòðî Ñòåôàíîâè÷, äîêòîð òåõí. íàóê, ïðîôåñîð, ïðîâ³äíèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê Öåíòðó ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ ²íñòèòóòó ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè ³ì. ß.Ñ. Ï³äñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â, e-mail: Petro.Malachivskyy@gmail.com. Ï³çþð ßðîïîëê Âîëîäèìèðîâè÷, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðè Íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà», e-mail: pizyur@yahoo.com. Àíäðóíèê Âàñèëü Àäàìîâè÷, àñèñòåíò êàôåäðè Íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà», e-mail: vasyl.a.andrunyk@lpnu.uà. ISSN 1019-5262. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2018, òîì 54, ¹ 5 99

Чебишовське наближення сумою полінома та логарифмічного виразу з ермітовим інтерполюванням

Institution

Ähnliche Einträge