O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164793 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных / В.А. Кофанов, В.Е. Миропольский // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1642–1649. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164793 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1647932025-02-23T20:07:56Z O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных On sharp Kolmogorov-type inequalities taking into account the number of sign changes of derivatives Кофанов, В.А. Миропольский, В.Е. Статті 2008 Article O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных / В.А. Кофанов, В.Е. Миропольский // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1642–1649. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164793 517.5 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Кофанов, В.А. Миропольский, В.Е. O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Кофанов, В.А. Миропольский, В.Е. |
| author_facet |
Кофанов, В.А. Миропольский, В.Е. |
| author_sort |
Кофанов, В.А. |
| title |
O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных |
| title_short |
O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных |
| title_full |
O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных |
| title_fullStr |
O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных |
| title_full_unstemmed |
O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных |
| title_sort |
o точных неравенствах типа колмогорова, учитывающих число перемен знака производных |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164793 |
| citation_txt |
O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных / В.А. Кофанов, В.Е. Миропольский // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1642–1649. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kofanovva otočnyhneravenstvahtipakolmogorovaučityvaûŝihčisloperemenznakaproizvodnyh AT miropolʹskijve otočnyhneravenstvahtipakolmogorovaučityvaûŝihčisloperemenznakaproizvodnyh AT kofanovva onsharpkolmogorovtypeinequalitiestakingintoaccountthenumberofsignchangesofderivatives AT miropolʹskijve onsharpkolmogorovtypeinequalitiestakingintoaccountthenumberofsignchangesofderivatives |
| first_indexed |
2025-11-24T21:50:33Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:50:33Z |
| _version_ |
1849710119456079872 |
| fulltext |
UDK 517.5
V. A. Kofanov, V. E. Myropol\skyj (Dnepropetr. nac. un-t)
O TOÇNÁX NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA,
UÇYTÁVAGWYX ÇYSLO PEREMEN
ZNAKA PROYZVODNÁX
New sharp inequalities of the Kolmogorov type are established, in particular, the following sharp
inequality for 2π-periodic functions x L Tr∈ ∞( ):
x k( )
1
≤
ν ϕ
ϕ
α
α
α α( ) – – ( ) –′( )
∞
x
x xp r k
r p
p
r
2
1
1
1 1
,
where k, r N∈ , k < r, r ≥ 3, p ∈ ∞[ ]1, , α = ( – )r k / ( – / )r p1 1+ , ϕr is the perfect Euler spline
of order r, ν( )′x is the number of sign changes of the derivative ′x on a period.
Otrymano novi toçni nerivnosti typu Kolmohorova, zokrema toçnu nerivnist\ dlq 2 π-periodyç-
nyx funkcij x L Tr∈ ∞( ):
x k( )
1
≤
ν ϕ
ϕ
α
α
α α( ) – – ( ) –′( )
∞
x
x xp r k
r p
p
r
2
1
1
1 1
,
de k, r N∈ , k < r, r ≥ 3, p ∈ ∞[ ]1, , α = ( – )r k / ( – / )r p1 1+ , ϕr — ideal\nyj splajn Ejlera
porqdku r, ν( )′x — çyslo zmin znaku ′x na periodi.
1. Vvedenye. Pust\ G — koneçn¥j otrezok I yly edynyçnaq okruΩnost\ T,
realyzovannaq kak otrezok 0 2, π[ ] s otoΩdestvlenn¥my koncamy. Budem ras-
smatryvat\ prostranstva L Gp( ), 1 ≤ p ≤ ∞, yzmerym¥x funkcyj x : G → R ta-
kyx, çto x L Gp ( ) < ∞, hde
x L Gp ( ) : =
G
p
p
t G
x t dt p
x t p
∫
≤ < ∞
= ∞
∈
( ) , ,
sup ( ) , .
/1
1esly
eslyvrai
Dlq s ∈ ∞[ ]1, y r N∈ oboznaçym çerez L Gs
r ( ) mnoΩestvo funkcyj x :
G → R takyx, çto x r( – )1 x x( )0 =( ) lokal\no absolgtno neprer¥vna y x r( ) ∈
∈ L Gs( ) . Symvolom ϕr t( ) , t R∈ , oboznaçym r-j 2π-peryodyçeskyj yntehral
so srednym znaçenyem na peryode, ravn¥m nulg ot funkcyy ϕ0( )t = sgnsin t , y
poloΩym g tr( ) : = 4 1– ϕr t– ( )1 .
V sluçae 2π-peryodyçeskyx funkcyj vmesto Lp 0 2, π[ ], x Lp 0 2, π[ ] y L Ts
r( )
budem pysat\ Lp , x p y L s
r
. PoloΩym W r
∞ : = x L Tr∈{ ∞( ): x r( )
∞
≤ }1 .
V nastoqwej stat\e budem yzuçat\ neravenstva dlq norm promeΩutoçn¥x
proyzvodn¥x funkcyj x Ls
r∈ vyda
x k
q
( ) ≤ C x xp
r
s
α α( ) –1
, (1)
a takΩe yx analohy, uçyt¥vagwye çyslo peremen znaka proyzvodn¥x.
Kak yzvestno [1], neravenstva typa Kolmohorova (1) dlq funkcyj x Ls
r∈ , k,
© V. A. KOFANOV, V. E. MYROPOL|SKYJ, 2008
1642 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
O TOÇNÁX NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA, UÇYTÁVAGWYX … 1643
r N∈ , k < r, q, p, s ∈ ∞[ ]1, , α ∈( , )0 1 , ymegt mesto tohda y tol\ko tohda, kohda
α ≤ αcr : = min – ,
– / – /
/ – /
1
1 1
1 1
k
r
r k q s
r p s
+
+
. (2)
Osob¥j ynteres predstavlqgt neravenstva typa (1) s neuluçßaemoj kon-
stantoj C. Sredy neuluçßaem¥x neravenstv naybolee vaΩn¥ neravenstva (1) s
α = αcr , tak kak yz neuluçßaemoho neravenstva typa (1) s α = αcr , kak pravy-
lo, netrudno poluçyt\ neravenstvo s proyzvol\n¥m α < αcr y toçnoj konstan-
toj C.
Dlq summyruemoj 2π-peryodyçeskoj funkcyy symvolom ν( )x budem obo-
znaçat\ çyslo suwestvenn¥x peremen znaka x na peryode [2, s. 80]. V sylu
rezul\tata B. E. Kloca [1] neravenstva vyda (1) s α > αcr nevozmoΩn¥. Tem ne
menee A. A. Lyhun pokazal [3], çto esly neravenstvo vyda (1) vydoyzmenyt\ tak,
çtob¥ v nem b¥lo uçteno çyslo peremen znaka proyzvodn¥x funkcyy, to voz-
moΩn¥ neravenstva typa Kolmohorova s α > αcr . V sylu rezul\tata A. A. Ly-
huna dlq lgb¥x k, r N∈ , k < r, p ∈ ∞[ ]1, y x L r∈ 1 ymeet mesto neravenstvo
x k( )
1
≤
ν α
α
α α( ) – / – ( ) –′
( )x g
g
x x
p r k
r p
p
r
2
1 1
1
1
1
, (3)
hde α = (r – k) / (r – 1 + 1 / p). V [3] pryveden rqd pryloΩenyj neravenstva (3) v
teoryy approksymacyy.
V [4, 5] poluçen rqd neravenstv vyda
x k
q
( ) ≤ M x x x
i
m
i
p
r
s
i
=
∏ ( )( )
1
1
ν
α α α( ) ( ) –
, k, r N∈ , k < r,
hde αi ≥ 0 , α ∈ (0, 1) dlq funkcyj x L r∈ ∞ (v sluçae q = 1, p = s = ∞, m = r)
y dlq funkcyj x L r∈ +
1
1
(v sluçaqx q = 1, p ∈ ∞[ ]1, , s = ∞, r / 2 < k < r; q = 2,
p = s = ∞; q = 2, p ∈ 1, ∞[ ], s = ∞, m = r + 1).
V dannoj stat\e s pomow\g teorem¥ sravnenyq Σ-perestanovok Kornejçuka
Φ( , )x t dokazano neravenstvo
Φ ′ ⋅( )x q, ≤ 2
2
1 1
1 1 1 1– /
– / – ( ) –( )q
p r q
r p
p
rx x xν ϕ
ϕ
α
α
α α′
( )
∞
, x L r∈ ∞, (4)
hde r N∈ , r ≥ 3, q, p ∈ ∞[ ]1, , α = (r – 2 + 1 / q) / (r – 1 + 1 / p) (teoremaJ1). Yz teo-
rem¥J1 v¥vedeno sledugwee neravenstvo typa Kolmohorova, uçyt¥vagwee çys-
lo peremen znaka proyzvodn¥x:
x k( )
1
≤ ν ϕ
ϕ
α
α
α α( ) – / – ( ) ( – )′
( )
∞
x x x
p r k
r p
p
r
2
1 1
1 1
, k, r N∈ , k < r, r ≥ 3, (5)
hde α = (r – k) / (r – 1 + 1 / p) (teoremaJ2). Otmetym, çto v pravoj çasty neraven-
stva (5) v otlyçye ot analohyçnoho neravenstva yz rabot¥ [4] ne soderΩytsq
mnoΩytel\ ν x r( )+( )[ 1
/ 2
1] – α
. Ewe odno neravenstvo takoho typa poluçeno dlq
sluçaq q = 2, p ∈ ∞[ ]1, , s = ∞, r / 2 < k < r (teoremaJ3).
Otmetym, çto pry p = 1 neravenstvo (5) prynymaet vyd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1644 V. A. KOFANOV, V. E. MYROPOL|SKYJ
x k( )
1
≤
ϕ
ϕ
r k
r
k
r
k
r r
k
rx x
–
–
–
( )1
1
1
1
1
∞
. (6)
∏to neravenstvo b¥lo poluçeno v [6].
2. Vspomohatel\n¥e svedenyq. Dlq funkcyy x L a b∈ [ ]1 , y y > 0 polo-
Ωym
m x y( , ) : = mes t t a b x t y: , , ( )∈[ ] >{ }.
Budem oboznaçat\ çerez r x t( , ) perestanovku funkcyy x t( ) [6] (§ 6.1), t.Je.
r x t( , ) : = inf y m x y t: ( , ) ≤{ }, t b a∈[ ]0, – .
Yzvestno [7], çto
mes t t b a r x t y: , – , ( , )∈[ ] >{ }0 = m x y( , ) .
Dlq lgboj 2π-peryodyçeskoj funkcyy x L∈ 1 symvolom r x t( , ) budem
oboznaçat\ perestanovku suΩenyq x na 0 2, π[ ], a symvolom r tr( , ),ϕλ — pe-
restanovku suΩenyq ϕλ,r na 0 2, /π λ[ ]. Dlq x L∈ 1 poloΩym r x t( , ) = 0, es-
ly t ≥ 2π, y r tr( , ),ϕλ = 0 dlq t ≥ 2π / λ.
Pust\ D — mnoΩestvo vsex 2π-peryodyçeskyx funkcyj x yz L1, kotor¥e
ymegt odnostoronnye predel¥ v kaΩdoj toçke, a D1
— mnoΩestvo vsex 2π -pe-
ryodyçeskyx funkcyj x D∈ takyx, çto
0
2π
∫ x t dt( ) = 0. Dlq funkcyj x D∈ 1
Σ-perestanovka Kornejçuka Φ( , )x ⋅ opredelqetsq sledugwym obrazom [7,
s. 144]. Funkcyg g t( ), t R∈ , budem naz¥vat\ prostoj, esly ona opredelena na
otrezke a b,[ ], kotor¥j naz¥vaetsq osnovn¥m dlq funkcyy g t( ), y uravnenye
g t( ) = y ymeet rovno dva kornq dlq kaΩdoho y ∈ 0, ( )g L∞( )R . N. P. Kornejçuk
[7] dokazal, çto kaΩdaq funkcyq x D∈ 1
moΩet b¥t\ predstavlena v vyde
x t( ) =
k
kx t d∑ +( ) , t ∈ t t0 0 2, +[ ]π ,
hde
x t( )0 = min ( )
t
x t , d = x t( )0 ,
y x tk ( ) — prost¥e funkcyy, kotor¥e otlyçagtsq ot funkcyy x t( ) postoqn-
n¥my na kaΩdom yntervale monotonnosty funkcyy x . Dlq lgboj funkcyy
x D∈ 1
poloΩym
Φ( , )x t : =
k
kr x t d∑ +( , ) , t ∈ 0 2, π[ ],
y pust\ Φ( , )x t = 0 dlq t ≥ 2π. V [8, s. 14] b¥lo pokazano, çto Σ-perestanovka
moΩet b¥t\ opredelena dlq funkcyy x L∈ 1.
Çerez Φλ λϕ( , ),r ⋅ budem oboznaçat\ Σ-perestanovku ϕλ,r na a[ , a + 2π λ/ ],
hde a — nul\ ϕλ,r . Yzvestn¥ sledugwye svojstva Φ( , )x ⋅ [7, s. 144]:
Φ( , )x ⋅ 1 = x 1, (7)
2 0Φ( , )x – 2 min ( )
t
x t = ′x 1 = V
0
2π
x , (8)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
O TOÇNÁX NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA, UÇYTÁVAGWYX … 1645
hde V0
2πx — varyacyq x na 0 2, π[ ].
Otmetym, çto dlq lgboj funkcyy x L∈ 1
1
[3]
0
t
x u du∫ Φ( , ) ≤
0
t x
r x u du
ν( )
( , )
′
∫ . (9)
Nam ponadobytsq sledugwaq teorema.
Teorema A [6]. Pust\ r N∈ , r ≥ 3. Esly funkcyq x W r∈ ∞ ymeet nuly y
λ v¥brano tak, çto
′x 1 ≤ λ ϕλ π λ, – , /r L1 0 21[ ]
, (10)
to poçty vsgdu na 0, /π λ[ ]
′Φ ( , )x t ≤ λ ϕλ λ′ ( )Φ , ,r t .
Bolee toho, esly
′x 1 = λ ϕλ π λ, – , /r L1 0 21[ ]
,
to dlq vsex t ∈ 0, /π λ[ ]
Φ( , )x t ≥ λ ϕλ λΦ ( , ),r t .
Esly Ωe λ v¥brat\ yz uslovyq
x 1 ≤ λ ϕλ π λ, , /r L1 0 2[ ]
,
to ymeet mesto (10) y v¥polneno neravenstvo
0
t
x u du∫ Φ( , ) ≤ λ ϕλ λ
0
t
r u du∫ Φ ( , ), , t > 0.
3. Toçn¥e neravenstva typa Kolmohorova.
Teorema 1. Pust\ r N∈ , r ≥ 3, x Lr∈ ∞. Tohda dlq lgb¥x p, q ∈ 1, ∞[ ]
v¥polnqetsq neravenstvo
Φ( , )′ ⋅x q ≤ 2
2
1 1
1 1 1 1– /
– / – ( ) –( )q
p r q
r p
p
rx x xν ϕ
ϕ
α
α
α α′
( )
∞
, (11)
hde α = (r – 2 + 1 / q) / (r – 1 + 1 / p).
Dokazatel\stvo. Zafyksyruem funkcyg x Lr∈ ∞. Bez potery obwnosty
moΩno sçytat\, çto x ymeet nuly. V sylu odnorodnosty neravenstva (11) mo-
Ωem predpoloΩyt\, çto
x r( )
∞
= 1. (12)
Tohda x W r∈ ∞ . V¥berem λ > 0, udovletvorqgwee uslovyg
′x 1 = λ ϕλ π λ, – ; /r L1 0 21[ ]
. (13)
Otsgda v sylu teorem¥ A sleduet, çto
Φ( , )x t ≥ λ ϕλ λΦ ( , ),r t , t ∈ 0, /π λ[ ],
y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1646 V. A. KOFANOV, V. E. MYROPOL|SKYJ
0
t
x u du∫ ′Φ( , ) ≤ λ ϕλ λ
0
1
t
r u du∫ Φ ( , ), – . (14)
Tohda dlq vsex t ∈ 0, /π λ[ ] v¥polneno neravenstvo
0
t
x u du∫ Φ( , ) ≥ λ ϕλ λ
0
t
r u du∫ Φ ( , ), . (15)
PokaΩem, çto dlq t ∈ 0, /π λ[ ]
λ ϕλ λ
0
t
r u du∫ Φ ( , ), = λ ϕ
λ
– ( , )r
t
rr u du
0
2
∫ . (16)
Oboznaçym çerez ϕλ, ( )r t suΩenye ϕλ, ( )r t na 0, /π λ[ ]. Sohlasno opredelenyg
Σ-perestanovky
Φλ λϕ( , ),r t = 2r trϕλ, ,( ) , t ∈
0; π
λ
. (17)
Qsno, çto r trϕλ, ,( ) = r trϕλ, , 2( ) . Poπtomu
0
t
r u du∫ Φλ λϕ( , ), = 2
0
t
rr u du∫ ( , ),ϕλ = 2 2
0
λ ϕ λ– ( ) ,r
t
rr u du∫ ⋅( )( ) =
= 2 2
0
λ ϕ λ– ,r
t
rr u du∫ ( ) = λ ϕ
λ
–( – ) ,r
t
rr u du1
0
2
∫ ( ) .
Otsgda sleduet (16). Yz (9), (15) y (16) poluçaem
0
t x
r x u du
ν( )
,
′
∫ ( ) ≥ λ ϕ
λ
– ,r
t
rr u du
0
2
∫ ( ) , t ∈
0; π
λ
. (18)
Polahaq m = ν( )′x , ξ = t m, neravenstvo (18) zapys¥vaem v vyde
0
ξ
∫ ( )r x u du, ≥ λ ϕ
λξ
–
/
,r
m
rr u du
0
2
∫ ( ) , ξ π
λ
∈
0,
m
. (19)
PokaΩem, çto
λ ϕ
λξ
–
/
,r
m
rr u du
0
2
∫ ( ) =
2 21
0
λ ϕ λ
ξ–( – )
( ) ,
r
rm
r
m
u du∫ ⋅
. (20)
Dejstvytel\no,
0
2λξ
ϕ
/
,
m
rr u du∫ ( ) =
0
2 2
ξ
ϕ λ λ∫
r
m
u
m
dur , =
2 2
0
λ ϕ λ
ξ
m
r
m
u dur∫ ⋅
( ) , ,
çto ravnosyl\no (20). Yz (19) y (20) sleduet, çto dlq lgboho ξ ∈ 0,
mπ
λ
v¥-
polnqetsq neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
O TOÇNÁX NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA, UÇYTÁVAGWYX … 1647
0
ξ
∫ ( )r x u du, ≥
2 21
0
λ ϕ λ
ξ–( – )
( ) ,
r
rm
r
m
u du∫ ⋅
. (21)
Poskol\ku r
m
urϕ λ2 ( ) ,⋅
= 0 dlq t ≥
mπ
λ
, neravenstvo (21) ymeet mesto dlq
vsex ξ > 0. Otsgda v sylu teorem¥ Xardy – Lyttlvuda (sm. predloΩenye 1.3.10
yz [9]) poluçaem
x p ≥ ψ π λr L mp 0, /[ ] , (22)
hde ψr t( ) = 2 1λ–( – )r
m
ϕ λ
r m
t2
, t ∈ 0,
mπ
λ
.
V¥çyslym normu funkcyy ψr v L
m
p 0,
π
λ
:
ψ π λr L mp 0, /[ ] =
2 21
0
1
λ ϕ λ
π λ−
∫
( – ) / /
r m
r
p
p
m m
t dt =
=
2
2
1
0
2 1
λ
λ
ϕ
π−
∫
( – )
/
( )
r
r
p
p
m
m u du = 2 1 1
1 1
m
p
r p
r p
– /
–( – )– /λ ϕ .
Tak kak m = ν( )′x , yz (22) ymeem
x p ≥ 2
1 1
1 1
ν
λ ϕ
( )
– /
–( – )– /
′
x
p
r p
r p . (23)
S druhoj storon¥, yz (14) v sylu teorem¥ Xardy – Lyttlvuda sleduet neravens-
tvo
Φ( , )′ ⋅x q ≤ λ ϕλ λ π λ
Φ ( , ), – , /r Lq
1 0
⋅
[ ]
, q ≥ 1. (24)
Obæedynqq (17) y oçevydnoe neravenstvo
ϕλ π λ, , /r Lq 0 2[ ]
= λ ϕ
– –r q
r q
1
,
poluçaem
Φλ λ π λ
ϕ , – , /
,r L
q
q
1 0
⋅( ) [ ]
= 2 1 0
q
r L
q
r
q
ϕλ π λ, – , /
, ⋅( ) [ ]
=
= 2 1
1 0 2
q
r L
q
q
–
, – , /
ϕλ π λ[ ]
= 2 1 1 1
1
q r q
r q
q– –( – ) –
–λ ϕ ,
y, sledovatel\no,
Φλ λ π λ
ϕ , – , /
,r Lq
1 0
⋅( ) [ ]
= 21 1 1 1
1
– / –( – )– /
–
q r q
r q
λ ϕ . (25)
Teper\ yz (23) – (25) poluçaem
Φ ′ ⋅( )x
x
q
p
,
α ≤
2
2
1 1 2 1
1
1 1 1 1 1 1
– / –( – / )
–
– / – – / / –( )
q r q
r q
p r p p
r px
λ ϕ
λ ν ϕ
α
+
′[ ]( )
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1648 V. A. KOFANOV, V. E. MYROPOL|SKYJ
=
21 1 2 1 1 1 1– / – / –( – / )– ( – – / )
/ –
–
( )
α α α
α α α
λ
ν
ϕ
ϕ
+ +
′[ ]
p q r q r p
p
r q
r px
.
Uçyt¥vaq ravenstvo α = (r – 2 + 1 / q) / (r – 1 + 1 / p), ymeem
Φ ′ ⋅( )x
x
q
p
,
α ≤ 2
2
1 1
1 1 1– /
– / –( )q
p r q
r p
xν ϕ
ϕ
α
α
′
( )
ˆ.
Poslednee neravenstvo v sylu (12) ravnosyl\no (11).
Teorema dokazana.
Teorema 2. Pust\ k , r N∈ , k < r, r ≥ 3, p , q ∈ ∞[ ]1, . Tohda dlq lgboj
funkcyy x Lr∈ ∞ v¥polnqetsq neravenstvo
x k( )
1
≤
ν ϕ
ϕ
α
α
α α( ) – / – ( ) –′
( )
∞
x
x x
p r k
r p
p
r
2
1 1
1 1
, (26)
hde α = (r – k) / (r – 1 + 1 / p). Neravenstvo (26) qvlqetsq neuluçßaem¥m y ob-
rawaetsq v ravenstvo dlq funkcyj vyda x t( ) = a t bn rϕ , ( )+ , a, b R∈ , n N∈ .
Dokazatel\stvo. Zafyksyruem funkcyg x Lr∈ ∞. Bez potery obwnosty
moΩem sçytat\, çto funkcyq x ymeet nuly. Snaçala dokaΩem (26) pry k = 1.
Pry q = 1 yz teorem¥J1 v sylu (7) sleduet neravenstvo
′x 1 ≤
ν ϕ
ϕ
α
α
α α( ) – / – ( ) –′
( )
∞
x
x x
p r
r p
p
r
2
1 1 1 1 11
1
1 1
, (27)
hde α1 = (r – 1) / (r – 1 + 1 / p).
Pust\ teper\ k > 1. Dlq funkcyy ′ ∈ ∞x Lr –1
yz (6) sleduet neravenstvo
x k( )
1
≤
ϕ
ϕ
r k
r
k
r
k
r r
k
rx x
–
–
–
–
–
–
–
– ( )
–
–1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1′
∞
. (28)
Yspol\zuq (27) dlq ocenky ′x 1 v pravoj çasty (28), poluçaem
x k( )
1
≤
ϕ
ϕ
ν ϕ
ϕ
α
α
α αr k
r
k
r
p r
r p
p
r
k
r
r
k
rx
x x x
–
–
–
–
–
– – ( ) –
–
–
–
( )
–
–( )1
1 1
1
1
1
1 1
1 1 1
1
1
1 1
1
2
1
1 1′
∞ ∞
=
=
ν ϕ
ϕ
α
α
α α( ) – –
–
– –
–
–
–
–
–
– ( ) –
–
–
( – )
–
–
′
∞
+x
x xp
k
r r
r p
k
r
p
k
r r
k
r
k
r
2
1 1 1
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 ,
hde α1 = (r – 1) / (r – 1 + 1 / p).
Poskol\ku 1( – (k – 1) / (r – 1 1))α = (r – k) / (r – 1 + 1 / p), otsgda sleduet nera-
venstvo (26). Eho toçnost\ lehko proveryt\ s pomow\g oçevydnoho ravenstva
ϕn r p, = n r
r p
– ϕ .
Teorema dokazana.
Teorema 3. Pust\ k, r N∈ , r / 2 < k < r, r ≥ 3, p ∈ ∞[ ]1, . Tohda dlq lgboj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
O TOÇNÁX NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA, UÇYTÁVAGWYX … 1649
funkcyy x Lr∈ ∞
x k( )
2
≤
ν ϕ
ϕ
α
α
α α( ) – / – ( ) –′
( )
∞
x
x x
p r k
r p
p
r
2
1 1
2 1
, (29)
hde α = (r – k) / (r – 1 + 1 / p). Neravenstvo (29) obrawaetsq v ravenstvo dlq
funkcyj vyda x t( ) = a t bn rϕ , ( )+ , a, b R∈ , n N∈ .
Dokazatel\stvo. Yntehryruq po çastqm, ymeem
x k( )
2
2
=
0
2π
∫ x t x t dtk k( ) ( )( ) ( ) =
0
2
2
π
∫ x t x t dtr k r( ) ( – )( ) ( ) ≤ x xk r r( – ) ( )2
1 ∞
.
Ocenyvaq x k r( – )2
1
s pomow\g (26), poluçaem ocenku
x k( )
2
2
≤
≤
ν ϕ
ϕ
( )
( – )
– /
– ( – )
( – )/( – / )
– / ( )
– – /
– / ( )′
+
+
( − )
+
∞
+
+
∞
x
x x x
r k
r p p r k
r p
r k r p p
r k
r p r
k r p
r p r
2
2
1 1
1 1
2 1
2 1 1
2
1 1
2 1 1
1 1 ,
yz kotoroj sleduet (29) v sylu ravenstva ϕ2 1( – )r k = ϕr k– 2
2
. Toçnost\ nera-
venstva (29) oçevydna.
Teorema dokazana.
1. Kloc B. E. PryblyΩenye dyfferencyruem¥x funkcyj funkcyqmy bol\ßej hladkosty //
Mat. zametky. – 1977. – 21, # 1. – S. 21 – 32.
2. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 424 s.
3. Lyhun A. A. O neravenstvax meΩdu normamy proyzvodn¥x peryodyçeskyx funkcyj // Mat.
zametky. – 1983. – 33, # 3. – S. 385 – 391.
4. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pyçuhov S. A. O toçn¥x neravenstvax typa Kolmohorova, uçy-
t¥vagwyx çyslo peremen znaka proyzvodn¥x // Dop. NAN Ukra]ny. – 1998. – # 8. – S. 12 –
16.
5. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pyçuhov S. A. O nekotor¥x toçn¥x neravenstvax typa Kolmo-
horova, uçyt¥vagwyx çyslo peremen znaka proyzvodn¥x // Vestn. Dnepropetr. nac. un-ta.J–
2004. – # 11. – S. 3 – 8.
6. Kofanov V. A. Exact inequalities of Kolmogorov type and comparison of Korneichuk’s Σ-rearran-
gements // East J. Approxim. – 2003. – 9, # 1. – P. 67 – 94.
7. Kornejçuk N. P. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1976.
8. Lyhun A. A., Kapustqn V. E., Volkov G. Y. Specyal\n¥e vopros¥ teoryy pryblyΩenyq y op-
tymal\noho upravlenyq raspredelenn¥my systemamy. – Kyev: Vywa ßk., 1990.
9. Kornejçuk N. P., Babenko V. F., Lyhun A. A. ∏kstremal\n¥e svojstva polynomov y splajnov.
– Kyev: Nauk. dumka, 1992. – 304 s.
Poluçeno 15.10.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
|