О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере
Отримано точні оцінки наближення в метриках C i L₂ функцій, заданих на сфері, лінійними методами підсумовування рядів Фур'є за сферичними гармоніками у випадку, коли диференційовні і різницеві властивості функцій визначаються у просторі L₂....
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165638 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере / В.Ф. Бабенко, В.Г. Доронин, А.А. Лигун, А.А. Шумейко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 3. — С. 291–304. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165638 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1656382025-02-09T20:25:57Z О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере On Jackson-Type Inequalities for Functions Defined on a Sphere Бабенко, В.Ф. Доронин, В.Г. Лигун, А.А. Шумейко, А.А. Статті Отримано точні оцінки наближення в метриках C i L₂ функцій, заданих на сфері, лінійними методами підсумовування рядів Фур'є за сферичними гармоніками у випадку, коли диференційовні і різницеві властивості функцій визначаються у просторі L₂. We obtain exact estimates of the approximation in the metrics C and L₂ of functions, that are defined on a sphere, by means of linear methods of summation of the Fourier series in spherical harmonics in the case where differential and difference properties of functions are defined in the space L₂. 2005 Article О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере / В.Ф. Бабенко, В.Г. Доронин, А.А. Лигун, А.А. Шумейко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 3. — С. 291–304. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165638 517.5 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бабенко, В.Ф. Доронин, В.Г. Лигун, А.А. Шумейко, А.А. О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере Український математичний журнал |
| description |
Отримано точні оцінки наближення в метриках C i L₂ функцій, заданих на сфері, лінійними методами підсумовування рядів Фур'є за сферичними гармоніками у випадку, коли диференційовні і різницеві властивості функцій визначаються у просторі L₂. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, В.Ф. Доронин, В.Г. Лигун, А.А. Шумейко, А.А. |
| author_facet |
Бабенко, В.Ф. Доронин, В.Г. Лигун, А.А. Шумейко, А.А. |
| author_sort |
Бабенко, В.Ф. |
| title |
О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере |
| title_short |
О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере |
| title_full |
О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере |
| title_fullStr |
О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере |
| title_full_unstemmed |
О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере |
| title_sort |
о неравенствах типа джексона для функций, заданных на сфере |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2005 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165638 |
| citation_txt |
О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере / В.Ф. Бабенко, В.Г. Доронин, А.А. Лигун, А.А. Шумейко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 3. — С. 291–304. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovf oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkciizadannyhnasfere AT doroninvg oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkciizadannyhnasfere AT ligunaa oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkciizadannyhnasfere AT šumeikoaa oneravenstvahtipadžeksonadlâfunkciizadannyhnasfere AT babenkovf onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT doroninvg onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT ligunaa onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere AT šumeikoaa onjacksontypeinequalitiesforfunctionsdefinedonasphere |
| first_indexed |
2025-11-30T11:43:57Z |
| last_indexed |
2025-11-30T11:43:57Z |
| _version_ |
1850215539401555968 |
| fulltext |
UDK 517.5
V. F. Babenko
(Dnepropetrov. nac. un-t, Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck),
V. H. Doronyn (Dnepropetrov. nac. un-t),
A. A. Lyhun
(DneprodzerΩyn. texn. un-t, Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck),
A. A. Íumejko (DneprodzerΩyn. texn. un-t)
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA
DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE
We obtain exact estimates of the approximation in the metrics C and L2 of functions, that are defined
on a sphere, by means of linear methods of summation of the Fourier series in spherical harmonics in the
case where differential and difference properties of functions are defined in the space L2 .
Otrymano toçni ocinky nablyΩennq v metrykax C i L2 funkcij, zadanyx na sferi, linijnymy
metodamy pidsumovuvannq rqdiv Fur’[ za sferyçnymy harmonikamy u vypadku, koly dyferen-
cijovni i riznycevi vlastyvosti funkcij vyznaçagt\sq u prostori L2 .
1. Vvedenye. Pust\ Lp , p ∈ ∞[ )1, , y C — prostranstva 2π-peryodyçeskyx
funkcyj F : R → R s sootvetstvugwymy normamy. Esly X est\ Lp yly C,
to çerez Xr
, r ∈N , budem oboznaçat\ mnoΩestvo funkcyj f X∈ , ymegwyx
lokal\no absolgtno neprer¥vnug proyzvodnug f r( )−1
y takyx, çto f Xr( ) ∈ .
Modulem neprer¥vnosty porqdka m funkcyy f X∈ naz¥vagt funkcyg
ωm X
t h
t
m
X
f h f( , ) sup ( )= ⋅
<
∆ ,
hde
∆h
m
j
m
m jf
m
j
f jh( ) ( ) ( )⋅ = −
⋅ +
=
−∑
0
1 .
Vmesto ω1( , )f h X budem pysat\ ω( , )f h X .
Pust\ TN — mnoΩestvo vsex tryhonometryçeskyx polynomov porqdka ne v¥-
ße N. Çerez E fN X( ) oboznaçym nayluçßee pryblyΩenye funkcyy f mnoΩes-
tvom TN v prostranstve X, t. e.
E f f TN X
T X
N
( ) inf= −
∈T
.
V teoryy pryblyΩenyj xoroßo yzvestn¥ vosxodqwye k DΩeksonu [1] y
S.:B.:Steçkynu [2] neravenstva dlq nayluçßyx pryblyΩenyj funkcyj f Xr∈
vyda
E f
J
N
f
NN X
r m
r m
r
X
( )
( )
,, ( )≤
+ +
1
1
1
ω (1.1)
s nezavysqwej ot f y N konstantoj Jr m, .
V 1962 h. N.:P.:Kornejçukom [3] b¥lo poluçeno pervoe toçnoe neravenstvo
typa DΩeksona, t.:e. neravenstvo (1.1) s naymen\ßej vozmoΩnoj konstantoj.
© V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO, 2005
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3 291
292 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
Ym b¥lo dokazano, çto dlq lgboj funkcyy f C∈ y lgboho natural\noho N
ymegt mesto neravenstva
1 1
2 1
1
1−
+
≤
+
≤
∈
≠
( )
sup
( )
,N
E f
f
N
f C
f
N C
Cconst
ω π .
Ym Ωe pozdnee (sm. [4]) b¥lo dokazano, çto dlq lgboho k ∈N
k
N
E f
f
k N
f C
f
N C
C
+ −
+
≤
+
≤
∈
≠
1
2
1 1
2 1
1
1
( )
sup
( )
,
( )const
ω π .
Toçn¥e neravenstva typa (1.1) pry r ∈N y m = 1 b¥ly poluçen¥ V.:V.:Ûu-
kom [5] dlq r = 1 y A. A. Lyhunom [6, 7] dlq r > 1. Poluçenn¥e ocenky ymegt
vyd
E f
K
N
f
NN C
r
r
r
C
( )
( )
,( )≤
+ +
2 1 1
ω δ
,
hde K
k
r
r
r= −
+=
∞ +
+∑4 1
2 10
1
1π ν
ν( )
( )
( )
— konstant¥ Favara, δ ≥ π , esly r neçetnoe, y
δ ≥ 2π, esly r çetnoe. Dlq neçetn¥x r analohyçn¥e rezul\tat¥ poluçen¥ [6]
y v prostranstve L1.
V.:V.:Ûukom [8] (ocenka sverxu) y V.:V.:Íalaev¥m [9] (ocenka snyzu) b¥lo
dokazano neuluçßaemoe neravenstvo typa (1.1) pry r = 0 y m = 2.
Krome toho, yzvesten (sm., naprymer, kommentaryy k hl. 6 v [10]) rqd rezul\-
tatov o toçn¥x neravenstvax typa DΩeksona dlq pryblyΩenyq peryodyçeskyx
funkcyj lynejn¥my metodamy.
Perv¥e toçn¥e neravenstva typa DΩeksona dlq X = L2 b¥ly poluçen¥
N.:Y.:Çern¥x. V [11] on dokazal, çto pry vsex δ ≥ π y N = 1, 2, … v¥polnqetsq
toçnoe neravenstvo
E f f
NN
L
( ) ,2
1
2 1
2
≤
+
ω δ
. (1.2)
Poputno b¥lo poluçeno toçnoe neravenstvo
E f N f N t dtN
N
L( ) ( ) ( , ) sin( )
/( ) /
2
0
1
2
1 2
1
2
1 1
2
≤ + +
+
∫
π
ω δ , (1.3)
predstavlqgwee y samostoqtel\n¥j ynteres.
V rabote [12] poluçen analoh (1.2) dlq m-ho modulq hladkosty:
E f
m
m
f
NN m
L
( ) ,2
1
2 1
2
≤
+
ω δ
, δ ≥ 2π. (1.4)
V dal\nejßem rqd rabot b¥l posvqwen poluçenyg neuluçßaem¥x nera-
venstv typa (1.2) y (1.4) dlq men\ßyx znaçenyj δ. Tak, A. H. Babenko [13] b¥ly
toçno v¥çyslen¥ konstant¥ DΩeksona dlq δ = π
( )N m+ 1
pry m ≥
1 2 1
2
+ +( )N
.
L. V. Tajkov¥m [14] b¥ly najden¥ toçn¥e konstant¥ v neravenstve
E f f t dtN
h
r
L( ) ( , )( )
/
2
0
2
1 2
2
≤
∫X ω . (1.5)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 293
Vvydu neravenstv (1.3) y (1.5) poluçenye toçn¥x neravenstv vyda
E f f t t dtN
h
r( ) ( , ) ( )( )
/
2
0
2
1 2
≤
∫X ω θ (1.6)
s razlyçn¥my vesov¥my funkcyqmy θ pryobrelo samostoqtel\n¥j ynteres y
b¥lo prodolΩeno vo mnohyx rabotax (sm., naprymer, [15, 16]).
Otmetym ewe rabot¥ [17 – 22], takΩe posvqwenn¥e neravenstvam typa DΩek-
sona v prostranstve L2 , y rabotu N. Y. Çern¥x [23] o toçn¥x neravenstvax
typa DΩeksona v Lp , 1 ≤ p ≤ 2.
Yzvesten takΩe rqd toçn¥x rezul\tatov, otnosqwyxsq k neravenstvam typa
DΩeksona dlq funkcyj mnohyx peremenn¥x y qvlqgwyxsq mnohomern¥my ana-
lohamy opysann¥x v¥ße rezul\tatov dlq peryodyçeskyx funkcyj odnoho pere-
mennoho. V.:A.:Gdyn [24] naßel toçnug konstantu v neravenstve DΩeksona
dlq funkcyj yz L n
2 T( ), zadann¥x na tore T
n
, n ≥ 2. Dlq nayluçßyx ravno-
mern¥x pryblyΩenyj lynejn¥my metodamy funkcyj, zadann¥x na n-mernoj
sfere, toçnoe neravenstvo typa DΩeksona poluçeno V.:V.:Íalaev¥m [25].
V.:V.:Arestov y V.:G.:Popov [26] dlq n = 2, 3 y A.:H.:Babenko [27, 28] dlq n ≥ 4
poluçyly toçnoe neravenstvo typa DΩeksona dlq funkcyj yz L Sn
2( ). Otnosy-
tel\no druhyx toçn¥x rezul\tatov v πtom napravlenyy sm. [29 – 31].
Perejdem k yzloΩenyg osnovn¥x rezul\tatov dannoj rabot¥.
2. Opredelenyq, oboznaçenyq, postanovka zadaç. Pust\ R
n
— n-mernoe
prostranstvo toçek x = x xn1, ,…( ) so skalqrn¥m proyzvedenyem (x, y) =
=
k
n
k kx y=∑ 1
y normoj x : =
k
n
kx=∑( )1
2 1 2/
. Oboznaçym çerez Sn−1 = { u ∈R
n;
u = 1} edynyçnug sferu v R
n
s centrom v nule. Pust\ du — mera Xaara na
Sn−1
, ynvaryantnaq otnosytel\no hrupp¥ vrawenyj SO n( ) y normyrovannaq
tak, çtob¥
S
n
m m
m
n
d m
n m
m
n m−
∫ = = −
= −
−
=
−
−
1
1
12
2 3
2 1
2
1
2
u σ
π
π
( )!!
, ,
( )!
, ,
hde σn−1 — plowad\ poverxnosty sfer¥ Sn−1
.
Pust\ L Sn
2
1−( ) — prostranstvo vsex kompleksn¥x funkcyj f, yzmerym¥x
na Sn−1
, so skalqrn¥m proyzvedenyem
f g f g d
n Sn
, : ( ) ( )
/
=
− −
∫1
1
1 2
1σ
u u u
y normoj
f f f f d
n Sn
2
1 2
1
2
1 2
1
1
= =
− −
∫, ( )/
/
σ
u u .
Budem takΩe rassmatryvat\ prostranstvo L Sn
∞
−( )1
vsex funkcyj f, yzmery-
m¥x y suwestvenno ohranyçenn¥x na sfere Sn−1
, s normoj
f f Sn
∞
−= ∈{ }esssup ( ) :u u 1
.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
294 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
Funkcyg
u uα
ν
ν
αν:=
=
∏
1
n
, αν ∈ +Z ,
ν
να
=
∑ =
1
n
k ,
naz¥vagt alhebrayçeskym monomom porqdka k ot n peremenn¥x.
Lynejnaq kombynacyq monomov k-ho porqdka s kompleksn¥my koπffycy-
entamy naz¥vaetsq odnorodn¥m polynomom k-ho porqdka. Otmetym, çto dlq
lgboho odnorodnoho polynoma Pk ( )u k-ho porqdka v¥polnqetsq sootnoßenye
P Pk
k
k( ) ( )λ λu u= (2.1)
y toΩdestvo ∏jlera: esly ∇f ( )u — hradyent funkcyy f v toçke u, to
∇( ) =P kPk k( ), ( )u u u . (2.2)
Esly odnorodn¥j polynom k-ho porqdka Pk ( )u udovletvorqet uravnenyg Lap-
lasa
∆Hk ( )u = 0,
to on naz¥vaetsq n-mern¥m harmonyçeskym odnorodn¥m polynomom k-ho
porqdka.
MnoΩestvo suΩenyj na Sn−1
vsex harmonyçeskyx odnorodn¥x polynomov
Pk ( )u porqdka k (mnoΩestvo sferyçeskyx harmonyk porqdka k) obrazuet
prostranstvo Hk razmernosty
a
n k
k
n k
kk =
+ +
−
+ −
−
1 3
2
.
Çerez Hk j, ( )u , 1 ≤ j ≤ ak
, budem oboznaçat\ πlement¥ ortonormyrovannoho
bazysa v Hk . Lgbaq funkcyq f L Sn∈ ( )−
2
1
odnoznaçno predstavyma v vyde
summ¥ sxodqwehosq v L Sn
2
1−( ) rqda
f c H
k j
a
k j k j
k
( ) ( ), ,u u=
=
∞
=
∑ ∑
0 1
, (2.3)
hde
c c f f H dk j k j
S
k j
n
, , ,( ) ( ) ( )= =
−
∫
1
u u u
— koπffycyent¥ Fur\e funkcyy f ( )u . Podrobnee o sferyçeskyx harmony-
kax sm., naprymer, [32] (hl. 4).
V sluçae pryblyΩenyq funkcyj, zadann¥x na Sn−1
, v L Sn
2
1−( ) sferyçes-
kymy harmonykamy estestvenn¥m apparatom pryblyΩenyq qvlqgtsq summ¥
Fur\e
S f c HN
k
N
j
a
k j k j
k
, ( ), ,u u( ) =
= =
∑ ∑
0 1
. (2.4)
Vmeste s tem, ymeq v vydu, v çastnosty, approksymacyg ne tol\ko v L Sn
2
1−( ),
no y v L Sn
∞
−( )1
, budem rassmatryvat\ takΩe lynejn¥e metod¥ pryblyΩenyq
vyda
S f c HN
M
k
N
k
j
a
k j k j
k
, ( ), ,u u( ) =
= =
∑ ∑
0 1
µ , (2.5)
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 295
hde M = { }µk k =
∞
1 — nekotoraq posledovatel\nost\ kompleksn¥x çysel (nyΩe
çerez I oboznaçaetsq posledovatel\nost\ vyda {1, 1, … } ).
Dlq p = 2 yly p = ∞ poloΩym
E f f S fN
M
p N
M
p
( ) ( )= − .
Qsno, çto
E f E fN p N
I
p( ) ( )=
— nayluçßee pryblyΩenye funkcyy f v L Sp
n−( )1
sferyçeskymy polynomamy
porqdka ne v¥ße N.
Dyfferencyal\n¥e svojstva funkcyj, zadann¥x na Sn−1
, budem xarakte-
ryzovat\ sledugwym obrazom. Budem hovoryt\, çto f L Sr n∈ ( )−
2
1
dlq zadanno-
ho r ∈ +R , esly
k
N
j
a
k j
r
k
c k
= =
∑ ∑ < ∞
0 1
2 2
,
(zdes\ y nyΩe m¥ polahaem, çto k r2 : = 1, esly k = 0 y r = 0). Esly f ∈
∈ L Sr n
2
1−( ) , to v prostranstve L Sn
2
1−( ) rqd
k j
a
k j
r
k j
k
c k H
=
∞
=
∑ ∑
0 1
, , ( )u
sxodytsq. Summu πtoho rqda budem naz¥vat\ proyzvodnoj porqdka r ot funk-
cyy f y oboznaçat\ çerez f r( )
. Otmetym, çto esly r ∈N y v okrestnosty sfe-
r¥ funkcyq dostatoçno hladkaq, to vvydu toΩdestva ∏jlera (2.2) πtu proyz-
vodnug moΩno opredelyt\ sledugwym obrazom. Pust\ ∇f ( )u — hradyent
funkcyy f v toçke u. PoloΩym
f f( )( ) ( ),1 u u u= ∇( )
y dlq r = 2, 3, …
f fr r( ) ( ) ( )
( ) ( )u u= ( )−1 1
.
Raznostn¥e svojstva funkcyj, zadann¥x na Sn−1
, budem xarakteryzovat\
sledugwym obrazom. Dlq λ ∈( , )0 1 poloΩym
f c H c H
k j
a
k j k j
k
k
j
a
k j k j
k k
( ; ) ( ) ( ), , , ,u u uλ λ λ= =
=
∞
= =
∞
=
∑ ∑ ∑ ∑
0 1 0 1
.
Dlq f L Sn∈ ( )−
2
1
opredelym raznost\ porqdka m s ßahom λ sootnoßenyem
∆λ λm
l
m
m l lf
m
l
f u( ) ( ) ( ; )u = −
=
−∑
0
1 .
V dannoj rabote nas budut ynteresovat\ pry p = 2 y p = ∞ ocenky velyçyn
E fN
M
p( ) v termynax velyçyn ∆λ
m rf ( )( )⋅
2
, toçnee, pry p = 2 neuluçßaem¥e
neravenstva vyda
E f J M m r h f dN
M
N
h
m r( ) ( , , , , ) ( ) ( )( )
2
2
1
2
2
≤ ⋅∫θ θ λ λλ∆
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
296 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
y
E f J M m r h fN
M
N h
m r( ) ˜ ( , , , ) ( )( )
2
2
2
2
≤ ⋅∆ ,
a pry p = ∞ neuluçßaem¥e neravenstva vyda
E f D M m r h f dN
M
N
h
m r( ) ( , , , , ) ( ) ( )( )
/
∞ ≤ ⋅
∫θ θ λ λλ
1
2
2
1 2
∆
y
E f D M m r h fN
M
N
m r( ) ˜ ( , , , ) ( )( )
∞ ≤ ⋅∆λ 2
.
3. Sluçaj p = 2. Dlq sokrawenyq zapysej poloΩym
J M m r h
k d
N k N
k
h
k m r
1
2
1 2 2
1
1
( , , , , ) max
( ) ( )
θ µ
λ θ λ λ
= −
−≤ ∫
,
(3.1)
J M m r h
k d
N
k N
h
k m r
2
1 2 2
1
1
( , , , , ) sup
( ) ( )
θ
λ θ λ λ
=
−> ∫
.
Qsno, çto dlq lgboj nenulevoj neotrycatel\noj na h, 1[ ] summyruemoj funk-
cyy θ( )t θ ∈ [ ]( )L h1 1,
J M m r h
N t dt
N
h
N m r
2
1 1 2 2
1
1 1
( , , , , )
( ) ( )
θ
λ θ
=
−( ) +∫ +
(3.2)
y
J M m r h J M m r h J M m r hN N N( , , , , ) max ( , , , , ), ( , , , , )θ θ θ= { }1 2
. (3.3)
Pust\ takΩe
˜ ( , , , ) max
( )
J M m r h
k h
N k N
k
r k m
1
2
2 2
1
1
= −
−≤
µ
,
˜ ( , , , )
( )
J M m r h
N h
N r N m
2
2 1 2
1
1 1
=
+ −( )+
y
˜ ( , , , ) max ˜ ( , , , ), ˜ ( , , , )J M m r h J M m r h J M m r hN N N= { }1 2
.
Teorema 1. Dlq lgboj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
, lgboj posledovatel\nosty
M = { }µk , lgboho h ∈( , )0 1 y lgboj nenulevoj, neotrycatel\noj summyruemoj
funkcyy θ ∈ [ ]L h1 1, pry vsex N, m = 1, 2, … y pry kaΩdom r ∈ +R v¥polnq-
etsq neravenstvo
E f J M m r h f dN
M
N
h
m r( ) ( , , , , ) ( ) ( )( )
2
2
1
2
2
≤ ⋅∫θ θ λ λλ∆ . (3.4)
Pry πtom
sup
( )
( ) ( )
( , , , , )
( )f L S
f
N
M
h
m r N
r n
E f
f d
J M m r h
∈ ( )
≠
− ∫ ⋅
=
2
1
2
2
1
2
2
const
θ λ λ
θ
λ∆
, (3.5)
t.)e. neravenstvo (3.4) neuluçßaemo.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 297
Dlq lgboj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
, lgboj posledovatel\nosty M = { }µk ,
lgboho h ∈( , )0 1 pry vsex N, m = 1, 2, … y pry kaΩdom r ∈ +R ymeet mesto
neravenstvo
E f J M m r h fN
M
N h
m r( ) ˜ ( , , , ) ( )( )
2
2
2
2
≤ ⋅∆ . (3.6)
Pry πtom
sup
( )
( )
˜ ( , , , , )
( )
f L S
f
N
M
h
m r N
r n
E f
f
J M m r h
∈ ( )
≠
− ⋅
=
2
1
2
2
2
2
const
∆
θ . (3.7)
Dokazatel\stvo. Otmetym, çto
∆λ
m rf ( )( )⋅
2
2
=
l
m
m l
k
r kl
j
a
k j k j
m
l
k c H
k
=
−
=
∞
=
∑ ∑ ∑−
⋅
0 0 1 2
2
1( ) ( ), ,λ =
=
k
r
l
m
m l kl
j
a
k j k jk
m
l
c H
k
=
∞
=
−
=
∑ ∑ ∑
−
⋅
0 0 1 2
2
1( ) ( ), ,λ =
=
k
r k m
j
a
k j k jk c H
k
=
∞
=
∑ ∑−( ) ⋅
0 1 2
2
1 λ , , ( ) =
k
r k m
j
a
k jk c
k
=
∞
=
∑ ∑−( )
0
2 2
1
2
2
1 λ , . (3.8)
Dlq proyzvol\noj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
ymeem
E fN
M ( )2
2 = f S fN
M− ( )
2
2
=
=
k
N
k
j
a
k j
k
c
= =
∑ ∑−
0
2
1
2
1 µ , +
k N j
a
k j
k
c
= +
∞
=
∑ ∑
1 1
2
, =
=
k
N
j
a
h k
k m r
k j
h
k m r
k k c d
k d= =
∑ ∑ ∫
∫
− −
−0 1
1 2 2 2 2
1 2 2
1 1
1
µ λ θ λ λ
λ θ λ λ
( ) ( )
( ) ( )
,
+
+
k N j
a
h
k m r
k j
h
k m r
k k c d
k d= +
∞
=
∑ ∑ ∫
∫
−
−1 1
1 2 2 2
1 2 2
1
1
( ) ( )
( ) ( )
,λ θ λ λ
λ θ λ λ
.
Uçyt¥vaq sootnoßenyq (3.1) – (3.3) y (3.8), poluçaem
E fN
M ( )2
2 ≤ J M m r h k c dN
k
N
j
a
h
k m r
k j
k
1
0 1
1
2 2 2
1( , , , , ) ( ) ( ),θ λ θ λ λ
= =
∑ ∑ ∫ − +
+ J M m r h k c dN
k N j
a
h
k m r
k j
k
2
1 1
1
2 2 2
1( , , , , ) ( ) ( ),θ λ θ λ λ
= +
∞
=
∑ ∑ ∫ − ≤
≤ J M m r h k c dN
k j
a
h
k m r
k j
k
( , , , , ) ( ) ( ),θ λ θ λ λ
=
∞
=
∑ ∑ ∫ −
0 1
1
2 2 2
1 =
= J M m r h k c dN
h k
k m r
j
a
k j
k
( , , , , ) ( ) ( ) ,θ θ λ λ λ
1
0
2 2
1
2
1∫ ∑ ∑
=
∞
=
− =
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
298 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
= J M m r h f dN
h
m r( , , , , ) ( ) ( )( )θ θ λ λλ
1
2
2
∫ ⋅∆ .
Takym obrazom, neravenstvo (3.4) dokazano.
DokaΩem neuluçßaemost\ ocenky (3.4). PredpoloΩym snaçala, çto
J m r hN ( , , , )θ = max ( , , , ), ( , , , , )J m r h J M m r hN N
1 2θ θ{ } = J M m r hN
2 ( , , , , )θ .
V πtom sluçae poloΩym
f HN
*
,( ) ( )u u= +1 1 .
Pry πtom
E fN
M ( )*
2
2 1= ,
∆λ λm r N m rf N( )( ) ( )⋅ = −( ) ++
2
2 1 2 21 1 .
Poπtomu vvydu (3.2)
sup
( ) ( )( )f L S
f
N
M
h
m rr n
E f
f d∈ ( )
≠
−
( )
⋅∫2
1
2
2
1
2
2
const
θ λ λλ∆
≥
E f
f d
N
M
h
m r
*
* ( )
( ) ( )
( )
( ) ⋅∫
2
2
1
2
2
θ λ λλ∆
=
= 1
1 1
1 1 2 2
h
N m rN t dt∫ −( ) ++λ θ( ) ( )
= J M m r hN
2 ( , , , , )θ .
Pust\ teper\
J m r hN ( , , , )θ = max ( , , , ), ( , , , , )J m r h J M m r hN N
1 2θ θ{ } = J M m r hN
1 ( , , , , )θ
y
J m r hN
1 ( , , , )θ = max
( )k N
k
h
k m rk d≤
−
−( )∫
1
1
2
1 2 2
µ
λ θ λ λ
=
1
1
0
0
2
1 2
0
2
−
−( )∫
µ
λ θ λ λ
k
h
k m rk d( )
.
PoloΩym
f Hk
*
,( ) ( )u u=
0 1 .
Budem ymet\
E fN
M
k( )*
2
2 2
1
0
= − µ
y
∆λ λm r k m rf k( )( )⋅ = −( )2
2 2
0
21 0
.
Poπtomu
sup
( ) ( )( )f L S
f
N
M
h
m rr n
E f
f d∈ ( )
≠
−
( )
⋅∫2
1
2
2
1
2
2
const
θ λ λλ∆
≥
E f
f d
N
M
h
m r
*
* ( )
( ) ( )
( )
( ) ⋅∫
2
2
1
2
2
θ λ λλ∆
=
=
1
1
0
0
2
1 2
0
2
−
−( )∫
µ
λ θ
k
h
k m rk t dt( ) ( )
= J M m r hN
1 ( , , , , )θ .
Takym obrazom,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 299
sup
( ) ( )( )f L S
f
N
M
h
m rr n
E f
f d∈ ( )
≠
−
( )
⋅∫2
1
2
2
1
2
2
const
θ λ λλ∆
≥ J M m r hN ( , , , , )θ
y sootnoßenye (3.5) dokazano.
Dlq dokazatel\stva sootnoßenyj (3.6) y (3.7) dostatoçno povtoryt\ s oçe-
vydn¥my yzmenenyqmy pryvedenn¥e v¥ße rassuΩdenyq. MoΩno takΩe v¥vesty
yx yz (3.4) y (3.5), polahaq dlq 0 < δ < h
θ λ δ
λ δ
δ λ
δ( )
, ,
, ,
=
≤ ≤ +
+ < ≤
1
0 1
h h
h
ustremlqq δ → 0 y uçyt¥vaq, çto dlq lgboj neprer¥vnoj na h, 1[ ] funkcyy g
lim ( ) ( ) ( )
δ δθ λ λ λ
→ ∫ =
0
1
h
g d g h .
Teorema dokazana.
Pry M = I poluçaem takoe sledstvye.
Sledstvye 1. V uslovyqx teorem¥ 1 ymegt mesto neuluçßaem¥e nera-
venstva
E f
f d
N d
N
h
m r
r
h
N m
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
1
2
2
2 1 1 2
1 1
≤
⋅
+ −( )
∫
∫ +
θ λ λ
θ λ λ λ
λ∆
(3.9)
y
E f
f
N h
N
h
m r
r N m( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 1 2
1 1
≤
⋅
+ −( )+
∆
. (3.10)
Polahaq v neravenstvax (3.9) y (3.10) h = 2
1
1
−
+N
, poluçaem takoe sledstvye.
Sledstvye 2. V uslovyqx teorem¥ 1 ymegt mesto neuluçßaem¥e nera-
venstva
E fN
M ( )2
2 ≤ max max ,
( )
( )/ ( )
( )
k N
m
k
r
m
r
m r
k N
fN≤
−
+
⋅− +
2 1 2
1
2 2
2
2
2 2 2
2
1 1
µ ∆ . (3.11)
V çastnosty,
E fN ( )2
2 ≤ 2
1
2
2 2 2
2
1 1
m
r
m r
N
fN
( )
( )/ ( )
( )
+
⋅− +∆ . (3.12)
Zameçanye. Sopostavlqq neravenstva (3.11) y (3.12), vydym, çto esly ly-
nejn¥j metod pryblyΩenyq takov, çto
∀ ≤k N 1
1
− ≤
+
µk
r
k
N
,
to konstant¥ v πtyx neravenstvax sovpadagt.
4. Sluçaj p = ∞∞∞∞. PoloΩym
D M m r hN ( , , , , )θ =
=
k
N
k k n
h
k m r k N
k n
h
k m r
a
k d
a
k d=
−
= +
∞ −∑
∫
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
1 2 2 1
1
1 2 2
1 2
1
1 1
µ σ
λ θ λ λ
σ
λ θ λ λ( ) ( )
/
y
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
300 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
˜ ( , , , )D M m r hN =
k
N
k k n
k m r k N
k n
k m r
a
h k
a
h k=
−
= +
∞ −∑ ∑
−
−( )
+
−( )
0
2
1
2 2 1
1
2 2
1 2
1
1 1
µ σ σ
/
,
hde σn−1 — plowad\ poverxnosty sfer¥ Sn−1
.
Teorema 2. Dlq lgboj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
, lgboj posledovatel\nosty
M = { }µk , lgboho h ∈( , )0 1 y lgboj nenulevoj, neotrycatel\noj funkcyy
θ ∈ ( )L h1 1, pry vsex N, m = 1, 2, … y pry kaΩdom r ∈ +R v¥polnqetsq ne-
ravenstvo
E f D M m r h f dN
M
N
h
m r( ) ( , , , , ) ( ) ( )( )
/
∞ ≤ ⋅
∫θ θ λ λλ
1
2
2
1 2
∆ . (4.1)
Pry πtom
sup
( )
( ) ( )
( , , , , )
( )
/
f L S
f
N
M
h
m r
N
r n
E f
f d
D M m r h
∈ ( )
≠
∞
− ∫ ⋅( )
=
2
1 1
2
2 1 2
const
θ λ λ
θ
λ∆
, (4.2)
t.)e. neravenstvo (4.1) neuluçßaemo.
Dlq lgboj funkcyy f L Sr n∈ ( )−
2
1
, lgboj posledovatel\nosty M = { }µk ,
lgboho h ∈( , )0 1 pry vsex N, m = 1, 2, … y pry kaΩdom r ∈ +R ymeet mesto
neravenstvo
E f D M m r h fN
M
N
m r( ) ˜ ( , , , ) ( )( )
∞ ≤ ⋅∆λ 2
. (4.3)
Pry πtom
sup
( )
( )
˜ ( , , , , )( )
f L S
f
N
M
h
m r N
r n
E f
f
D M m r h
∈ ( )
≠
∞
− ⋅
=
2
1
2
const
∆
θ . (4.4)
Dokazatel\stvo. Dlq f L Sr n∈ ( )−
2
1
, posledovatel\nosty M = { }µk y çys-
la N ymeem
f S fN
M( ) ( , )u u− =
k
N
k
j
a
k j k j
k N j
a
k j k j
k k
c H c H
= = = +
∞
=
∑ ∑ ∑ ∑− +
0 1 1 1
1( ) ( ) ( ), , , ,µ u u ≤
≤
k
N
k
j
a
k j k j
k
c H
= =
∑ ∑−
0 1
1 µ , , ( )u +
k N j
a
k j k j
k
c H
= +
∞
=
∑ ∑
1 1
, , ( )u =
=
k
N
j
a
k j
h
k m r k k j
h
k m r
k
c k d
H
k d= =
∑ ∑ ∫
∫
−
−
−( )0 1
1
2 2
1 2
1 2 2
1 21
1
1
,
/
,
/( ) ( )
( )
( ) ( )
λ θ λ λ
µ
λ θ λ λ
u
+
+
k N j
a
k j
h
k m r k j
h
k m r
k
c k d
H
k d= +
∞
=
∑ ∑ ∫
∫
−
−( )1 1
1
2 2
1 2
1 2 2
1 21
1
,
/
,
/( ) ( )
( )
( ) ( )
λ θ λ λ
λ θ λ λ
u
.
Prymenqq vnaçale neravenstvo Koßy – Bunqkovskoho, a zatem eho modyfy-
kacyg
a b c d a c b d+ ≤ + + , a, b, c, d ≥ 0,
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 301
poluçaem
f S fN
M( ) ( , )u u− ≤
≤
k
N
j
a
k j
h
k m r
k
N k j
a
k j
h
k m r
k
k
c k d
H
k dt= = =
=∑ ∑ ∫ ∑
∑
∫
−
−
−( )
0 1
2
1
2 2
1 2
0
2
1
2
1 2 2
1 2
1
1
1
,
/
,
/
( ) ( )
( )
( )
λ θ λ λ
µ
λ θ λ
u
+
+
k N j
a
k j
h
k m r
k N
j
a
k j
h
k m r
k
k
c k d
H
k d= +
∞
= = +
∞ =∑ ∑ ∫ ∑
∑
∫
−
−( )
1 1
2
1
2 2
1 2
1
1
2
1 2 2
1 2
1
1
,
/
,
/
( ) ( )
( )
( )
λ θ λ λ
λ θ λ λ
u
≤
≤
k j
a
k j
h
k m r
k
c k d
=
∞
=
∑ ∑ ∫ −
0 1
2
1
2 2
1 2
1,
/
( ) ( )λ θ λ λ ×
×
k
N k j
a
k j
h
k m r k N
j
a
k j
h
k m r
k kH
k d
H
k d=
=
= +
∞ =∑
∑
∫
∑
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
2
1 2 2 1
1
2
1 2 2
1 2
1
1 1
µ
λ θ λ λ λ θ λ λ
, ,
/
( )
( )
( )
( )
u u
.
Uçyt¥vaq, çto (sm., naprymer, [32])
j
a
k j k n
k
H a
=
−∑ =
1
2
1, ( )u σ ,
a takΩe sootnoßenye (3.8), poluçennoe neravenstvo moΩno zapysat\ v vyde
f S fN
M( ) ( , )u u− ≤
h
m rf d
1
2
2
1 2
∫ ⋅
θ λ λλ( ) ( )( )
/
∆ ×
×
k
N
k k n
h
k m r k N
k n
h
k m r
a
k d
a
k d=
−
= +
∞ −∑
∫
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
1 2 2 1
1
1 2 2
1 2
1
1 1
µ σ
λ θ λ λ
σ
λ θ λ λ( ) ( )
/
.
Polahaq
D M m r hN ( , , , , )θ =
=
k
N
k k n
h
k m r k N
k n
h
k m r
a
k d
a
k d=
−
= +
∞ −∑
∫
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
1 2 2 1
1
1 2 2
1 2
1
1 1
µ σ
λ θ λ λ
σ
λ θ λ λ( ) ( )
/
,
okonçatel\no poluçaem
f S fN
M( ) ( , )u u− ≤ D M m r hN ( , , , , )θ
h
m rf d
1
2
2
1 2
∫ ⋅
θ λ λλ( ) ( )( )
/
∆ .
Otsgda sleduet neravenstvo (4.1).
Povtorqq s oçevydn¥my yzmenenyqmy pryvedenn¥e v¥kladky, netrudno
ustanovyt\ spravedlyvost\ sledugweho neravenstva:
f S fN
M( ) ( , )u u− ≤
≤ ∆h
m rf ( )( )⋅
2
k
N
k k n
k m r k N
k n
k m r
a
h k
a
h k=
−
= +
∞ −∑ ∑
−
−( )
+
−( )
0
2
1
2 2 1
1
2 2
1 2
1
1 1
µ σ σ
/
.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
302 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
Otsgda sleduet neravenstvo (4.3). Vproçem, πto neravenstvo moΩno poluçyt\ y
v kaçestve sledstvyq yz neravenstva (4.1), v¥byraq takug Ωe, kak y pry dokaza-
tel\stve neravenstva (3.6), funkcyg θ λδ( ) y ustremlqq δ → 0.
DokaΩem neuluçßaemost\ neravenstva (4.1). Dlq πtoho zafyksyruem proyz-
vol\nug toçku u0
1∈ −Sn
y postroym funkcyg, kotoraq obrawaet neravenst-
vo:(4.1) v ravenstvo pry u = u0
. PoloΩym
fu u
0
( ) =
k
N
j
a
k k j k j
h
k m r
k H H
k d= =
∑ ∑
∫
−
−( )0 1
0
1 2 2
1
1
( ) ( ) ( )
( )
, ,µ
λ θ λ λ
u u
+
k N j
a
k j k j
h
k m r
k H H
k d= +
∞
=
∑ ∑
∫ −( )1 1
0
1 2 21
, ,( ) ( )
( )
u u
λ θ λ λ
.
Dlq πtoj funkcyy
f S fN
M
u uu u
0 00 0( ) ( , )− =
=
k
N k j
a
k j
h
k m r
k H
k d=
=∑
∑
∫
−
−( )0
2
1 0
2
1 2 2
1
1
µ
λ θ λ λ
, ( )
( )
u
+
k N
j
a
k j
h
k m r
k H
k d= +
∞ =∑
∑
∫ −( )1
1 0
2
1 2 21
, ( )
( )
u
λ θ λ λ
=
=
k
N
k k n
h
k m r
a
k d=
−∑
∫
−
−( )0
2
1
1 2 2
1
1
µ σ
λ θ λ λ( )
+
k N
k n
h
k m r
a
k d= +
∞ −∑
∫ −( )1
1
1 2 21
σ
λ θ λ λ( )
,
(4.5)
∆λ
m rfu u
0
( )( ) =
k
N
j
a
k
k m r
k j k j
h
k m r
k k H H
k d= =
∑ ∑
∫
− −( )
−( )0 1
0
1 2 2
1 1
1
( ) ( ) ( )
( )
, ,µ λ
λ θ λ λ
u u
+
+
k N j
a k m r
k j k j
h
k m r
k k H H
k d= +
∞
=
∑ ∑
∫
−( )
−( )1 1
0
1 2 2
1
1
λ
λ θ λ λ
, ,( ) ( )
( )
u u
,
∆λ
m rfu u
0 2
2( )( ) =
k
N
j
a
k
k m r
k j
h
k m r
k k H
k d= =
∑ ∑
∫
− −( )
−( )( )0 1
2 2 2
0
2
1 2 2
2
1 1
1
µ λ
λ θ λ λ
, ( )
( )
u
+
+
k N j
a k m r
k j
h
k m r
k k H
k d= +
∞
=
∑ ∑
∫
−( )
−( )( )1 1
2 2
0
2
1 2 2
2
1
1
λ
λ θ λ λ
, ( )
( )
u
=
=
k
N
k
k m r
k n
h
k m r
k a
k d=
−∑
∫
− −( )
−( )( )0
2 2 2
1
1 2 2
2
1 1
1
µ λ σ
λ θ λ λ( )
+
k N
k m r
k n
h
k m r
k a
k d= +
∞ −∑
∫
−( )
−( )( )1
2 2
1
1 2 2
2
1
1
λ σ
λ θ λ λ( )
(4.6)
y, nakonec,
h
m rf d
1
2
2
0∫ ⋅θ λ λλ( ) ( )( )∆ u =
=
k
N
k k n
h
k m r
a
k d=
−∑
∫
−
−( )0
2
1
1 2 2
1
1
µ σ
λ θ λ λ( )
+
k N
k n
h
k m r
a
k d= +
∞ −∑
∫ −( )1
1
1 2 21
σ
λ θ λ λ( )
. (4.7)
Uçyt¥vaq sootnoßenyq (4.5) – (4.7), vydym, çto
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
O NERAVENSTVAX TYPA DÛEKSONA DLQ FUNKCYJ, ZADANNÁX NA SFERE 303
f S fN
M
u uu u
0 00 0( ) ( , )− =
h
m rf d
1
2
2
1 2
∫ ⋅
θ λ λλ( ) ( )( )
/
∆ ×
×
k
N
k k n
h
k m r k N
k n
h
k m r
a
k d
a
k d=
−
= +
∞ −∑
∫
∑
∫
−
−( )
+
−( )
0
2
1
1 2 2 1
1
1 2 2
1 2
1
1 1
µ σ
λ θ λ λ
σ
λ θ λ λ( ) ( )
/
,
t.:e. neravenstvo (4.1) dejstvytel\no obrawaetsq v ravenstvo dlq funkcyy
fu u
0 0( ) .
Analohyçno, rassmatryvaq funkcyg
fu u
0
* ( ) =
k
N
j
a
k k j k j
k m r
k H H
h k= =
∑ ∑
−
−( )0 1
0
2 2
1
1
( ) ( ) ( ), ,µ u u
+
k N j
a
k j k j
k m r
k H H
h k= +
∞
=
∑ ∑
−( )1 1
0
2 21
, ,( ) ( )u u
,
netrudno ubedyt\sq v tom, çto dlq nee obrawaetsq v ravenstvo neravenst-
vo:(4.3).
Teorema dokazana.
Sledstvye 3. V uslovyqx teorem¥ 2 ymegt mesto neuluçßaem¥e nera-
venstva
E fN ( )∞ ≤
h
m rf d
1
2
2
1 2
∫ ⋅
θ λ λλ( ) ( )( )
/
∆
k N
k n
h
k m r
a
k d= +
∞ −∑
∫ −( )
1
1
1 2 2
1 2
1
σ
λ θ λ λ( )
/
(4.8)
y
E fN ( )∞ ≤ ∆λ
m rf ( )( )⋅
2
k N
k n
k m r
a
h k= +
∞ −∑
−( )
1
1
2 2
1 2
1
σ
/
. (4.9)
Sledstvye 4. Dlq lgboj posledovatel\nosty M ≠ I toçn¥e konstant¥
v neravenstvax (4.1) y (4.3) stroho bol\ße toçn¥x konstant v neravenstvax
(4.8) y (4.9) dlq ravnomern¥x pryblyΩenyj summamy Fur\e.
1. Jackson D. Über die Genauigkeit des Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale
Funktionen gegeben Grades und trigonometrischen Summen gegehener Ordnung: Diss. – Göttingen,
1911.
2. Steçkyn S. B. O porqdke nayluçßyx pryblyΩenyj neprer¥vn¥x funkcyj // Yzv.
AN:SSSR. Ser. mat. – 1951. – 15. – S. 219 – 242.
3. Kornejçuk N. P. Toçnaq konstanta v teoreme DΩeksona o nayluçßem ravnomernom pry-
blyΩenyy neprer¥vn¥x peryodyçeskyx funkcyj // Dokl. AN SSSR. – 1962. – 145, # 3. –
S.:514:–:515.
4. Kornejçuk N. P. O toçnoj konstante v neravenstve DΩeksona dlq neprer¥vn¥x peryody-
çeskyx funkcyj // Mat. zametky. – 1982. – 32, # 6. – S. 669 – 674.
5. Ûuk V. V. Nekotor¥e toçn¥e neravenstva meΩdu ravnomern¥my pryblyΩenyqmy peryody-
çeskyx funkcyj // Dokl. AN SSSR. – 1967. – 201. – S. 263 – 266.
6. Lyhun A. A. Nekotor¥e neravenstva dlq verxnyx hranej polunorm na klassax peryodyçes-
kyx funkcyj // Mat. zametky. – 1973. – 13, # 5. – S. 647 – 654.
7. Lyhun A. A. O toçn¥x konstantax v neravenstvax typa DΩeksona // Tam Ωe. – 1985. – 39,
#:5. – S. 248 – 256.
8. Ûuk V. V. K voprosu pryblyΩenyq peryodyçeskyx funkcyj lynejn¥my metodamy summy-
rovanyq rqdov Fur\e // Syb. mat. Ωurn. – 1968. – 9, # 3. – S. 717 – 718.
9. Íalaev V. V. K voprosu o pryblyΩenyy neprer¥vn¥x peryodyçeskyx funkcyj tryhono-
metryçeskymy polynomamy // Yssled. po sovr. probl. summyrovanyq y pryblyΩenyq funk-
cyj y yx pryl. – Dnepropetrovsk, 1977. – S. 39 – 43.
10. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 423 s.
11. Çern¥x N. Y. O neravenstve DΩeksona v L2 // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1967. – 88 . –
S.:71:– 74.
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
304 V. F. BABENKO, V. H. DORONYN, A. A. LYHUN, A. A. ÍUMEJKO
12. Çern¥x N. Y. O nayluçßem pryblyΩenyy peryodyçeskyx funkcyj tryhonometryçeskymy
polynomamy v L2 // Mat. zametky. – 1967. – 2, # 5. – S. 513 – 522.
13. Babenko A. H. O toçnoj konstante v neravenstve typa DΩeksona v L2 // Tam Ωe. – 1986. –
39, # 5. – S. 651 – 664.
14. Tajkov L. V. Neravenstva, soderΩawye nayluçßye pryblyΩenyq y modul\ neprer¥vnosty
v L2 // Tam Ωe. – 1976. – 20, # 3. – S. 433 – 438.
15. Lyhun A. A. Nekotor¥e neravenstva meΩdu nayluçßymy pryblyΩenyqmy y modulqmy ne-
prer¥vnosty v prostranstve L2 // Tam Ωe. – 19, # 3. – S. 353 – 364.
16. Tajkov L. V. Nayluçßee pryblyΩenye dyfferencyruem¥x funkcyj v metryke prost-
ranstva L2 // Tam Ωe. – 1977. – 22, # 4. – S. 535 – 542.
17. Gdyn V. A. Dyofantov¥ pryblyΩenyq v πkstremal\n¥x zadaçax v L2 // Dokl. AN SSSR.
– 1980. – 251, # 1. – S. 54 – 57.
18. Lyhun A. A. Toçn¥e neravenstva typa DΩeksona dlq peryodyçeskyx funkcyj v prostran-
stve L2 // Mat. zametky. – 1988. – 43, # 6. – S. 757 – 768.
19. Ligun A. A. Jackson’s type inequalities // East J. Approxim. – 1996. – 2, # 2.
20. Lyhun A. A. Toçn¥e konstant¥ v neravenstvax typa DΩeksona // Specyal\n¥e vopros¥
teoryy pryblyΩenyj y optymal\noho upravlenyq raspredelenn¥my resursamy / A.:A.:Ly-
hun, V. E. Kapustqn, G. Y. Volkov (Ser. Novoe v nauke y texnyke). – Kyev: V¥wa ßk., 1990. –
S. 3 – 75.
21. Doronin V. G., Ligun A. A. On exact constants in Jackson’s type inequalities in the space L2 //
East J. Approxim. – 1995. – 1, # 2. – P. 189 – 197.
22. Volçkov V. V. O toçn¥x konstantax v neravenstvax typa DΩeksona v prostranstve L2 //
Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47, # 1. – S. 108 – 110.
23. Çern¥x N. Y. Neravenstvo DΩeksona v L p ( , )0 2π 1 2≤ <( )p // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1992.
– 198. – S. 232 – 241.
24. Gdyn V. A. Mnohomernaq teorema DΩeksona v L2 // Mat. zametky. – 1981. – 29, # 2. –
S.:309 – 315.
25. Íalaev V. V. Toçn¥e ocenky pryblyΩenyq neprer¥vn¥x na sfere funkcyj lynejn¥my
operatoramy typa svertky // Ukr. mat. Ωurn. – 1991. – 43, # 4. – S. 565 – 567.
26. Arestov V. V., Popov V. G. Neravenstvo DΩeksona na sfere v L2 // Yzv. vuzov. Matematy-
ka. – 1995. – # 8. – S. 13 – 20.
27. Babenko A. H. Toçnoe neravenstvo DΩeksona v prostranstve L2 s vesom Qkoby // Mater.
meΩdunar. konf. y çeb¥ßev. çtenyj, posv. 175-letyg so dnq roΩdenyq P. L. Çeb¥ßeva. –
M.: Yzd-vo Mosk. un-ta, 1996. – T. 1. – S. 40 – 43.
28. Babenko A. H. Toçnoe neravenstvo DΩeksona – Steçkyna v prostranstve L2
funkcyj na
mnohomernoj sfere // Mat. zametky. – 1996. – 60, # 3. – S. 333 – 355.
29. Babenko A. H. Toçnoe neravenstvo DΩeksona – Steçkyna v prostranstve L Rm2 ( ) // Tr. Yn-
ta matematyky y mexanyky UrO RAN. – 1998. – 5. – S. 183 – 198.
30. Popov V. G. Mnohomern¥e pryblyΩenyq v L Tm2 ( ) // Teoryq funkcyj y pryblyΩenyj:
Tr.:3-j Saratov. zymn. ßk. (27 qnv. – 7 fevr. 1986 h.). – Saratov: Saratov. un-t, 1998. – Ç. 3. –
S.:22:–:25.
31. Horbaçev D. V. Toçnoe neravenstvo DΩeksona v prostranstve L p na sfere // Mat. zametky.
– 1999. – 66, # 1. – S. 50 – 62.
32. Stejn Y., Vejs H. Vvedenye v harmonyçeskyj analyz na evklydov¥x prostranstvax. – M.:
Myr, 1974. – 333 s.
Poluçeno 24.05.2004
ISSN 0041-6053. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 3
|