Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь

Встановлено умови, при яких існування періодичного розв'язку диференціального рівняння зберігається при наявності цієї властивості у розв'язку відповідного різницевого рівняння. Доведено збіжність періодичних розв'язків системи різницевих рівнянь до періодичного розв'язку системи...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
Hauptverfasser:	Станжицький, О.М., Ткачук, А.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2005
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165798
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь / О.М. Станжицький, А.М.Ткачук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 989–996. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165798
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1657982025-02-23T18:27:24Z Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь On the Relationship between Properties of Solutions of Difference Equations and the Corresponding Differential Equations Станжицький, О.М. Ткачук, А.М. Статті Встановлено умови, при яких існування періодичного розв'язку диференціального рівняння зберігається при наявності цієї властивості у розв'язку відповідного різницевого рівняння. Доведено збіжність періодичних розв'язків системи різницевих рівнянь до періодичного розв'язку системи диференціальних рівнянь. Аналогічні питання розглянуто для обмежених розв'язків. We establish conditions under which the existence of a periodic solution of a differential equation is preserved if a solution of the corresponding difference equation possesses the same property. We prove the convergence of periodic solutions of a system of difference equations to a periodic solution of a system of differential equations. Analogous problems are considered for bounded solutions. 2005 Article Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь / О.М. Станжицький, А.М.Ткачук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 989–996. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165798 517.9 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Станжицький, О.М. Ткачук, А.М. Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь Український математичний журнал
description	Встановлено умови, при яких існування періодичного розв'язку диференціального рівняння зберігається при наявності цієї властивості у розв'язку відповідного різницевого рівняння. Доведено збіжність періодичних розв'язків системи різницевих рівнянь до періодичного розв'язку системи диференціальних рівнянь. Аналогічні питання розглянуто для обмежених розв'язків.
format	Article
author	Станжицький, О.М. Ткачук, А.М.
author_facet	Станжицький, О.М. Ткачук, А.М.
author_sort	Станжицький, О.М.
title	Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь
title_short	Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь
title_full	Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь
title_fullStr	Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь
title_full_unstemmed	Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь
title_sort	про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165798
citation_txt	Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь / О.М. Станжицький, А.М.Ткачук // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 7. — С. 989–996. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT stanžicʹkijom prozvâzokmížvlastivostâmirozvâzkívríznicevihtavídpovídnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT tkačukam prozvâzokmížvlastivostâmirozvâzkívríznicevihtavídpovídnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT stanžicʹkijom ontherelationshipbetweenpropertiesofsolutionsofdifferenceequationsandthecorrespondingdifferentialequations AT tkačukam ontherelationshipbetweenpropertiesofsolutionsofdifferenceequationsandthecorrespondingdifferentialequations
first_indexed	2025-11-24T10:32:21Z
last_indexed	2025-11-24T10:32:21Z
_version_	1849667450249936896
fulltext	UDK 517.9 O.�M.�StanΩyc\kyj, A.�M.�Tkaçuk (Ky]v. nac. un-t im.T.�Íevçenka) PRO ZV’QZOK MIÛ VLASTYVOSTQMY ROZV’QZKIV RIZNYCEVYX TA VIDPOVIDNYX DYFERENCIAL\|NYX RIVNQN\| Conditions are established under which the existence of periodic solution of a differential equation preserves in the case where a solution of the corresponding difference equation possesses the same property. The convergence of periodic solutions of a system of difference equations to a periodic solution of a system of differential equations is proved. Similar problems are considered for bounded solutions. Vstanovleno umovy, pry qkyx isnuvannq periodyçnoho rozv’qzku dyferencial\noho rivnqnnq zberiha[t\sq pry naqvnosti ci[] vlastyvosti u rozv’qzku vidpovidnoho riznycevoho rivnqnnq. Dovedeno zbiΩnist\ periodyçnyx rozv’qzkiv systemy riznycevyx rivnqn\ do periodyçnoho rozv’qzku systemy dyferencial\nyx rivnqn\. Analohiçni pytannq rozhlqnuto dlq obmeΩenyx rozv’qzkiv. 1. Vstup. Efektyvnym metodom doslidΩennq dyferencial\nyx rivnqn\ [ pere- xid vid nyx do riznycevyx rivnqn\, qki otrymugt\sq z dyferencial\nyx zaminog poxidno] vidpovidnym riznycevym vidnoßennqm. Ostann[ rivnqnnq lehko rozv’q- zu[t\sq pokrokovym metodom, osoblyvo vraxovugçy suçasnyj rozvytok EOM. Odnak rozv’qzuvaty taki rivnqnnq vkazanym metodom moΩna lyße na skinçenno- mu intervali (v skinçennij kil\kosti vuzlovyx toçok). Z ci[] pryçyny vin ne da[ qkisnyx xarakterystyk (obmeΩenosti, periodyçnosti, stijkosti) vidpovidnyx roz- v’qzkiv dyferencial\nyx rivnqn\. Tomu aktual\nog [ problema vyvçennq qkis- no] vidpovidnosti miΩ rozv’qzkamy dyferencial\nyx ta riznycevyx rivnqn\. U robotax [ 1 – 3] rozhlqdalys\ umovy zbereΩennq vlastyvostej periodyç- nosti, stijkosti ta kolyvnosti rozv’qzkiv riznycevyx rivnqn\ pry naqvnosti tako] vlastyvosti u dyferencial\nyx rivnqn\. Ale ne�menß aktual\nog i cikavog [ obernena zadaça pro zbereΩennq vkazanyx vywe vlastyvostej rozv’qzkiv dy- ferencial\nyx rivnqn\ pry naqvnosti takyx u vidpovidnyx riznycevyx. U�roboti [4] dane pytannq rozhlqnuto dlq stijkosti ta kolyvnosti. V�danij roboti ci py- tannq vyvçagt\sq dlq obmeΩenosti ta periodyçnosti rozv’qzkiv. Rozhlqdagt\sq takoΩ pytannq pro zbiΩnist\ periodyçnyx ta obmeΩenyx rozv’qzkiv riznycevyx rivnqn\ do vidpovidnyx periodyçnyx ta obmeΩenyx rozv’qzkiv dyferencial\nyx rivnqn\. 2. Postanovka zadaçi. Budemo rozhlqdaty systemu dyferencial\nyx riv- nqn\ vyhlqdu dx dt = X ( t , x ) (1) i vidpovidnu ]j systemu riznycevyx rivnqn\ x x h X t kh xk h k h k h + = + +1 0( ), (2) ( k ∈ Z , h > 0 — krok riznycevoho rivnqnnq) , x x t khk h k h= +( )0 , x t xh h( )0 0= . Vektor-funkciq X ( t , x ) vyznaçena pry t ∈ R , x ∈ D ( D — deqka oblast\ pro- storu Rn ) , t0 ∈ R . Meta roboty — vyvçyty pytannq pro zv’qzok miΩ obmeΩenymy i periodyçny- my rozv’qzkamy system (1) ta (2). © O.�M.�STANÛYC\|KYJ, A.�M.�TKAÇUK, 2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 989 990 O.�M.�STANÛYC\|KYJ, A.�M.�TKAÇUK 3. DopomiΩni tverdΩennq. Dlq rozv’qzuvannq postavleno] vywe zadaçi navedemo kil\ka dopomiΩnyx tverdΩen\. Dali skriz\ budemo vvaΩaty, wo funk- ciq X ( t , x ) v oblasti R × D [ neperervno dyferencijovnog i obmeΩenog razom zi svo]my çastynnymy poxidnymy, tak wo \| X ( t , x ) \| + ∂ ∂ ∂ ∂ X t X x + ≤ C. Todi spravedlyvog [ lema pro rivnomirnu ocinku blyz\kosti miΩ rozv’qzkamy (1)� i �(2). Lema 1. Nexaj x ( t ) i xk h — rozv’qzky zadaç Koßi, vyznaçeni na vidrizku [ t0 , t0 + T ] , dlq (1)� ta �(2) taki, wo x ( t0 ) = xh 0 = x0 , x0 ∈ D. Todi vykonu[t\- sq nerivnist\ x t kh xk h( )0 + − ≤ heCT [ 1 + N T ] pry k h ≤ T, de N = C + C2. Dovedennq bezposeredn\o vyplyva[ z formuly (12) monohrafi] [5, s. 384]. Lema 2. Pry navedenyx vywe umovax rozv’qzok xk h systemy (2) neperervno zaleΩyt\ vid poçatkovyx danyx do momentu vyxodu joho z oblasti D. Dovedennq. Rozv’qzky systemy (2) moΩna podaty u vyhlqdi x x h X t xk h h p p h p k = + = − ∑0 0 1 ( ), , y y h X t yk h h p p h p k = + = − ∑0 0 1 ( ), , a tomu x yk h k h− ≤ x y h X t x X t yh h p p h p p h p k 0 0 0 1 − + − = − ∑ ( ) ( ), , ≤ ≤ x y h C x yh h p h p h p k 0 0 0 1 − −+ = − ∑ . Zvidsy ta z [1] ma[mo x yk h k h− ≤ x y Chh h k 0 0 1− +( ) , wo j dovodyt\ lemu. Lema 3. Qkwo rozv’qzok xk h systemy (2) rivnomirno asymptotyçno stij- kyj po k0 ∈ Z , to vin rivnomirno asymptotyçno stijkyj i po x0. Dovedennq. Oskil\ky rozv’qzok xk h systemy (2) rivnomirno asymptotyçno stijkyj, to dlq bud\-qkoho η > 0 isnu[ δ = δ ( η ) > 0 take, wo dlq dovil\noho inßoho rozv’qzku yk h systemy (2) z toho, wo x yk h k h 0 0 − < δ, vyplyva[ x yk h k h− < η 2 pry k ≥ k0 i ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 PRO ZV’QZOK MIÛ VLASTYVOSTQMY ROZV’QZKIV RIZNYCEVYX … 991 lim k k h k hx y →∞ − = 0. (3) Poznaçymo çerez U δ ( k0 ) δ -okil toçky x xk h 0 0( ). PokaΩemo, wo hranyçne spivvidnoßennq (3) [ rivnomirnym po x0 ∈ Uδ ( k0 ) . Nexaj ce ne�tak. Todi isnu[ µ > 0 take, wo v U δ ( 0 ) moΩna vkazaty zbiΩnu poslidovnist\ toçok x n( ) i poslidovnist\ çysel kn taki, wo x xn h( ) − 0 < δ , x x xk h n k h n n ( )( ) − ≥ µ , kn → ∞ , (4) de x xk h n( )( ) — rozv’qzok (2) takyj, wo x xh n 0 ( )( ) = x n( ). Nexaj lim ( ) n nx →∞ = x0. Todi lim ( ) k k h k hx x x →∞ −0 = 0 i moΩna vkazaty N > 0 take, wob vykonuvalasq nerivnist\ x x xk h k h( )0 − < σ µ( ) 2 (5) dlq vsix k ≥ N + k0, de σ ( µ ) — stala, wo harantu[ vklgçennq rozv’qzkiv x xk h( ) ( x xh 0 ( ) = x ) systemy (2), qki poçynagt\sq v Uδ µ( )( )0 -okoli toçky xh 0 0( ), v ( µ /2) -okil rozv’qzku xk h dlq vsix k ≥ 0. Na pidstavi lemy 1 isnu[ N1 > 0 take, wo vykonu[t\sq nerivnist\ x x x xk h n k h( ) ( )( ) − 0 < σ µ( ) 2 , k ∈ [ k0 , k0 + N ] , n > N1 (6) ( moΩna vvaΩaty, wo kn ≥ N + k0 dlq n > N1 ) . Z (5), (6) vyplyva[ x k N x x k Nk h n k h( ) ( ), ( ) 0 0+ − + ≤ σ ( µ ) . Tomu x x xk h n k h( )( ) − < µ 2 , k ≥ k0 + N . OtΩe, pry k = kn ma[mo x x xk h n k h n n ( )( ) − < µ /2, wo supereçyt\ (4). Lemu dovedeno. 4. Osnovni rezul\taty. Rozhlqnemo spoçatku vidpovidnist\ miΩ obmeΩeny- my rozv’qzkamy system (1) ta (2). Nastupna teorema harantu[ isnuvannq obmeΩe- noho rozv’qzku systemy (2) pry umovi, wo systema (1) ma[ obmeΩenyj rozv’qzok. Teorema 1. Qkwo systema (1) ma[ obmeΩenyj, rivnomirno po t0 ∈ R asymp- totyçno stijkyj rozv’qzok x ( t ) , vyznaçenyj na R i takyj, wo naleΩyt\ oblasti D razom iz deqkym svo]m okolom, to isnu[ h0 take, wo pry h ≤ h0 systema (2) takoΩ bude maty obmeΩenyj rozv’qzok, pryçomu sup ( ) k k hx kh x ∈ − Z → 0, h → 0. (7) Dovedennq. Za umovog teoremy x ( t ) — obmeΩenyj rozv’qzok systemy (1), tobto dlq n\oho vykonu[t\sq nerivnist\ \| x ( t ) \| ≤ A ∀t . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 992 O.�M.�STANÛYC\|KYJ, A.�M.�TKAÇUK Vnaslidok rivnomirno] asymptotyçno] stijkosti x ( t ) dlq dovil\nyx ε > 0 i t0 isnugt\ δ > 0 i T taki, wo qkwo y ( t ) — rozv’qzok systemy (1), dlq qkoho vykonu[t\sq umova x t y t( ) ( )0 0− ≤ δ, to \| x ( t ) – y ( t ) \| < ε pry t ≥ t0 , (8) \| x ( t ) – y ( t ) \| ≤ δ 2 pry t ≥ t0 + T, (9) pryçomu δ i T ne�zaleΩat\ vid t0 . Nexaj xm h — rozv’qzok systemy (2), qkyj u poçatkovij toçci t0 zbiha[t\sq z rozv’qzkom y ( t ) , tobto xh 0 = y ( t0 ) . (10) Todi za lemog 1 bude vykonuvatysq nerivnist\ y t mh xm h( )0 + − ≤ heC (T +1) [1 + N ( T + 1) ] pry m ≤ k0 , de k0 take, wo T ≤ k0 h ≤ T + 1. Zaznaçymo, wo vnaslidok stijkosti y ( t ) pry t ≥ ≥ t0 naleΩyt\ D razom iz deqkym okolom. Vyberemo h tak, wob heC (T +1) [1 + N ( T + 1) ] ≤ δ 2 . (11) Zvidsy y mh xm h( ) − ≤ δ 2 , m ≤ k0 . (12) Dali budemo rozhlqdaty vidrizok dovΩyny k0 h . Oskil\ky na pidstavi umovy (10) ma[mo x x th 0 0− ( ) ≤ δ, to z (9) vyplyva[ \| x ( t ) – y ( t ) \| ≤ δ 2 , t ≥ k0 h . Tomu x mh xm h( ) − ≤ x mh y mh y mh xm h( ) ( () )− + − < 2ε , m ≤ k0 , i x k h xk h( )0 0 − ≤ δ. (13) Teper rozhlqnemo nastupnyj vidrizok dovΩyny k0 h — [ k0 h , 2k0 h ] i vybere- mo rozv’qzok ˜( )y t systemy (1), qkyj poçyna[t\sq v toçci k0 h i zbiha[t\sq v cij toçci z rozv’qzkom xm h : xk h 0 = ˜( )y k h0 . Na pidstavi (13) ma[mo x k h y k h( ) ˜( )0 0− ≤ δ, a z (8), (9) vyplyva[ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 PRO ZV’QZOK MIÛ VLASTYVOSTQMY ROZV’QZKIV RIZNYCEVYX … 993 x t y t( ) ˜( )− < ε , t ≥ k0 h , x t y t( ) ˜( )− ≤ δ 2 , t ≥ k0 h + T . Tomu vykonugt\sq nerivnosti x mh xm h( ) − < 2ε , m ∈ [ k0 , 2k0 ] , i x k h x k h( )2 0 2 0 − ≤ δ . ProdovΩugçy dali cej proces pobudovy rozv’qzku xm h systemy (2), pereko- nu[mosq, wo xm h postijno znaxodyt\sq v 2ε -okoli obmeΩenoho rozv’qzku x ( t ) systemy (1), a u toçkax vyhlqdu p k0 h — v joho δ -okoli. OtΩe, xm h naleΩyt\ 2ε -okolu obmeΩenoho rozv’qzku, tomu i xm h [ obmeΩe- nym pry m h ≥ t0 . Takym çynom, dlq dovil\noho t0 ∈ R my pobuduvaly obmeΩenyj rozv’qzok xm h rivnqnnq (2) pry m h ≥ t0 , pryçomu h ne�zaleΩyt\ vid t0 . Pobudu[mo teper obmeΩenyj na vsij osi rozv’qzok xm h rivnqnnq (2). Z�vykladenoho vywe vyply- va[, wo vsi rozv’qzky riznycevoho rivnqnnq, qki poçynagt\sq v δ -okoli rozv’qz- ku x ( t ) , ne�vyxodqt\ z joho 2ε -okolu, a çerez k0 krokiv znovu opynqgt\sq v joho δ -okoli. Tomu obmeΩeni rozv’qzky xm h riznycevoho rivnqnnq, wo v moment – k0 poçynagt\sq v δ -okoli toçky x ( – k0 h ) , pry m = 0 znovu opynqgt\sq v δ -okoli toçky x ( 0 ) . Analohiçno moΩna pokazaty, wo vsi obmeΩeni rozv’qzky systemy (2), qki pry – k0 n poçynagt\sq v δ -okoli toçky x ( – k0 nh ) , ne�vyxodqt\ z 2ε -okolu roz- v’qzku x ( t ) , a pry m = – k0 ( n – 1) opynqgt\sq v δ -okoli toçky x (– k0 ( n – 1) h) . Poznaçymo çerez Sn mnoΩynu znaçen\ rozv’qzkiv systemy (2) v toçci m = 0, qki pry m = – k0 n naleΩat\ δ -okolu toçky x ( – k0 nh ) . Na�pidstavi vykladenoho vywe cq mnoΩyna ne�[ poroΩn\og dlq dovil\noho natural\noho n i pry c\omu Sn ⊂ Sn –1 . Za�svo[g pobudovog mnoΩyny S n skladagt\sq z obraziv rozv’qzkiv rivnqnnq (2), wo poçynagt\sq v toçkax m = – k0 n . VidobraΩennq, wo porodΩu[ Sn , [ neperervnym na pidstavi lemy�2, a tomu Sn zamkneni (qk obrazy zamknenyx mnoΩyn pry neperervnomu vidobraΩenni). Nexaj z0 — spil\na dlq vsix Sn toçka. Rozhlqnemo teper rozv’qzok rizny- cevoho rivnqnnq x zm h ( )0 , qkyj pry m = 0 vyxodyt\ z toçky z0 . Danyj rozv’q- zok za svo[g pobudovog prodovΩuvanyj vlivo i v toçkax – k0 n naleΩyt\ δ -oko- lu toçky x ( – k0 nh ) dlq dovil\noho natural\noho n , de x ( t ) — obmeΩenyj roz- v’qzok systemy (1), wo fihuru[ v teoremi. Tomu vin neobmeΩeno prodovΩuvanyj vlivo i naleΩyt\ 2ε -okolu rozv’qzku x ( t ) , a otΩe, [ obmeΩenym. Joho prodov- Ωuvanist\ vpravo i obmeΩenist\ [ oçevydnymy. Takym çynom, perßu çastynu teoremy dovedeno. Z dovedennq teoremy vyplyva[, wo nerivnist\ (11) vykonu[t\sq pry vsix h1 < < h , vybranoho z ci[] nerivnosti, tomu systema (2) pry takyx h1 ma[ obmeΩenyj rozv’qzok, wo �ne�vyxodyt\ z 2ε -okolu rozv’qzku x ( t ) . Vnaslidok dovil\nosti ε zvidsy vyplyva[ spravedlyvist\ formuly (7). Teoremu dovedeno. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 994 O.�M.�STANÛYC\|KYJ, A.�M.�TKAÇUK Dali rozhlqnemo pytannq pro vidpovidnist\ miΩ periodyçnymy rozv’qzkamy rivnqn\ (1) ta (2). Budemo vvaΩaty, wo funkciq X ( t , x ) [ periodyçnog po t z periodom ω , tobto X ( t + ω , x ) = X ( t , x ) . Vyberemo krok h = ω / n ( n — natu- ral\ne çyslo) . Teorema 2. Qkwo systema (2) dlq dostatn\o maloho kroku h ( n ≥ N0 ) ma[ rivnomirno po k0 i h asymptotyçno stijkyj periodyçnyj rozv’qzok xk h , wo naleΩyt\ D razom iz deqkym ρ -okolom, to systema (1) ma[ takoΩ perio- dyçnyj rozv’qzok periodu, kratnoho ω . Dovedennq. Za umovog teoremy ma[mo ∀ε > 0 ε ρ<( ) 2 ∃δ > 0 ( δ < ε ) ∃ n0 ( δ ) ∈ N , wo qkwo x yk h k h 0 0 − < δ , to x yk h k h− < ε 2 pry k ≥ k0 (14) i x yk h k h− < δ 2 pry k ≥ n0 + k0 . (15) Pry c\omu δ ne�zaleΩyt\ ni vid k0 , ni vid h . Za zadanymy δ > 0 i n0 vyberemo krok h0 = h0 ( δ , n0 ) = ω m0 takyj, wo qkwo yk h0 — rozv’qzok riznycevoho rivnqnnq, a ϕ ( t ) — rozv’qzok dyferencial\noho rivnqnnq, takyj, wo ϕ ( k h0 ) = yk h0 , to vykonu[t\sq nerivnist\ ϕ( )ih yi h 0 0− < δ 2 , i ∈ [ k , k + n0 ] . (16) Na pidstavi lemy 1 takyj vybir h0 [ moΩlyvym. Za�umovamy teoremy pry tako- mu h0 systema (2) ma[ periodyçnyj asymptotyçno stijkyj rozv’qzok xk h0 perio- du p ( h0 ) . Teper rozhlqnemo U xh δ( )0 0 — δ -okil toçky xh 0 0 . Nexaj y 0 — dovil\na toçka z U xh δ( )0 0 , ϕ ( t , y0 ) — rozv’qzok systemy (1) takyj, wo ϕ ( 0 , y0 ) = y0 , yk h0 — rozv’qzok systemy (2) takyj, wo yh 0 0 = y0 . Todi iz spivvidnoßen\ (14), (15) ma[mo y xk h k h0 0− < ε 2 , k ∈ [ 0 , n0 ] , y xn h n h 0 0 0 0− < δ 2 , a tomu x kh yk h0 0 0− ϕ( , ) < ε , k ∈ [ 0, n0 ] , x n h yn h 0 0 0 0 0− ϕ( , ) < δ . OtΩe, rozv’qzok ϕ ( t ) systemy (1), wo poçyna[t\sq v δ -okoli xh 0 0 , ne�vyxo- dqçy u vuzlovyx toçkax k h0 ( k ∈ [ 0, n0 ] ) z ε -okolu rozv’qzku xk h0 systemy (2), ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 PRO ZV’QZOK MIÛ VLASTYVOSTQMY ROZV’QZKIV RIZNYCEVYX … 995 v moment n0 h0 znovu opynq[t\sq v joho δ -okoli pry umovi, wo rozv’qzok ϕ ( t ) vyznaçenyj na vidrizku [ 0, n0 h0 ] . PokaΩemo, wo c\oho moΩna dosqhty vyborom dostatn\o maloho kroku h . Vyberemo ε > 0 tak, wob toçky z ε -okolu periodyçnoho rozv’qzku xk h sys- temy (2) naleΩaly oblasti D razom z ( ρ /2) -okolom. Na�pidstavi umov teoremy takyj vybir [ moΩlyvym. Tomu rozv’qzky systemy (1), wo poçynagt\sq v takomu ( ρ /2) -okoli, prodovΩugt\sq vlivo i vpravo na interval dovΩyny, ne�menßo] niΩ ρ /( 2C ) . Vyberemo teper krok h0 tak, wob vykonuvalys\ nerivnosti (16) i h0 < < ρ /( 2C ) . OtΩe, na pidstavi vykladenoho h0 = ω / m0 , de m0 — deqke natural\- ne çyslo. Todi rozv’qzok ϕ ( t ) , wo poçyna[t\sq v δ -okoli xh 0 0 , prodovΩu[t\sq na interval [ 0 , ρ /( 2C ) ] , a v toçci t = h0 vykonu[t\sq nerivnist\ ϕ( )h yh 0 1 0− < δ 2 , de yk h0 — vkazanyj vywe rozv’qzok systemy (2). OtΩe, toçka ϕ ( h0 ) naleΩyt\ oblasti D razom z ( ρ /2) -okolom, a tomu rozv’qzok ϕ ( t ) prodovΩu[t\sq do toç- ky 2h0 , i ϕ ( 2h0 ) takoΩ naleΩyt\ D razom z ( ρ /2) -okolom. ProdovΩugçy cej proces, perekonu[mosq, wo ϕ ( t ) vyznaçenyj na vidrizku [ 0, n0 h0 ] . Poznaçymo çerez ŷk h takyj rozv’qzok systemy (2), wo v moment n0 joho po- çatkovi dani zbihagt\sq z poçatkovymy danymy rozv’qzku ϕ ( t ) : ϕ ωn m yn h0 0 0 0    = ˆ . Analohiçno poperednim mirkuvannqm otrymu[mo ŷ xk h k h0 0− < ε 2 , k ∈ [ n0 , 2n0 ] , ŷ xn h n h 2 20 0 0 0− < δ 2 ta x khk h0 0− ϕ( ) < ε , k ∈ [ n0 , 2n0 ] , x n hn h 2 0 00 0 2− ϕ( ) < δ . ProdovΩugçy cej proces, na M -kroci, de M — najmenße spil\ne kratne çysel m0 , n0 , p , oderΩu[mo x MhM h0 0− ϕ( ) < δ . Pry c\omu M h0 : = M 0 = r ω i [ kratnym ω . Zvidsy vyplyva[ x rM h0 − ϕ ω( ) < δ . Ale xM h0 = xh 0 0 , tomu vidobraΩennq π : y0 → ϕ ( r ω , y0 ) kulg radiusa δ perevo- dyt\ v sebe, otΩe, isnu[ y1 ∈ U xh δ( )0 0 — neruxoma toçka vidobraΩennq taka, wo ϕ ( r ω , y1 )�= y1 . Ostann[ oznaça[, wo rozv’qzok rivnqnnq (1) z poçatkovog umovog ϕ ( 0 )�= y1 [ periodyçnym z periodom r ω . Teoremu dovedeno. Nastupnyj rezul\tat vyznaça[ umovy zbiΩnosti periodyçnyx rozv’qzkiv sys- temy (2) do periodyçnoho rozv’qzku systemy (1). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7 996 O.�M.�STANÛYC\|KYJ, A.�M.�TKAÇUK Teorema 3. Qkwo pry vykonanni umov teoremy 2 systema (1) ma[ [dynyj periodyçnyj rozv’qzok ϕ ( t ) periodu s ω ( s — cile) , to ma[ misce spivvidno- ßennq lim sup n m n m hx ms n ms n→∞ ≤     −     ω ϕ ω = 0, (17) de xm h — periodyçnyj rozv’qzok systemy (2), h = s ω / n — krok. Dovedennq. Dlq vstanovlennq spravedlyvosti spivvidnoßennq (17) dostat- n\o pokazaty, wo dlq dovil\noho ε > 0 isnu[ h0 ( isnu[ n0 : h0 = s ω / n0) take, wo qkwo h < h0 ( n > n0 ) , to vykonu[t\sq nerivnist\ ϕ ω ωs n k x s n kk h    −     < ε , k ≤ n . (18) Zhidno z poperedn\og teoremog systema (2) dlq vsix dostatn\o malyx h ma[ periodyçnyj rozv’qzok, pryçomu dlq vkazanoho vywe ε > 0 isnugt\ δ > 0 i h0 = = h0 ( δ ) taki, wo pry h < h0 v δ -okoli xh 0 , de xk h — periodyçnyj rozv’qzok systemy (2), poçyna[t\sq deqkyj periodyçnyj rozv’qzok ϕ ( t ) systemy (1), qkyj u vuzlovyx toçkax vidriznq[t\sq vid vidpovidnoho periodyçnoho rozv’qzku xk h ne�bil\ße, niΩ na ε , pry vsix h < h0 . Zvidsy na pidstavi [dynosti periodyçnoho rozv’qzku ϕ ( t ) systemy (1) vyplyva[ vykonannq nerivnosti (18), a vidtak i dove- dennq teoremy. 1. Mart¥ngk2D.2Y. Lekcyy po kaçestvennoj teoryy raznostn¥x uravnenyj / Pod red. G.�A.�Mytropol\skoho. – Kyev: Nauk. dumka, 1972. – 246�s. 2. Karasyk2H.2Q. O soxranenyy peryodyçeskoho reßenyq pry perexode ot dyfferencyal\n¥x uravnenyj k koneçno-raznostn¥m // Nauçn. dokl. v¥sß. ßk. Fyz.-mat. nauky. – 1958. – #�4. – S.�43 – 46. 3. Skalkyna2M.2A. O svqzy meΩdu ustojçyvost\g reßenyj dyfferencyal\n¥x y koneçno- raznostn¥x uravnenyj // Prykl. matematyka y mexanyka. – 1955. – 19, v¥p.�3. – S.�93 – 98. 4. Ateiwi A. M. To the problem on periodic solutions of one class of systems of difference equations // Ukr. mat. Ωurn. – 1997. – 49, #�2. – S.�309 – 314. 5. Babenko2K.2Y. Osnov¥ çyslennoho analyza. – M.: Nauka, 1986. – 744�s. OderΩano 08.06.2004 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 7

Про зв'язок між властивостями розв'язків різницевих та відповідних диференціальних рівнянь

Institution

Ähnliche Einträge