Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде

Розглянуто континуальні системи стохастичних рівнянь, що описують рух у випадковому середовищі сім'ї взаємодіючих частинок, маса яких може змінюватись із часом. Припускається, що рух кожної частинки залежить не лише від її положення в даний момент часу, але й від розподілу загальної маси частин...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Пилипенко, А.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2005
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165835
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде / А.Ю. Пилипенко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 9. — С. 1289–1301. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165835
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1658352025-02-23T17:22:51Z Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде Measure-Valued Diffusions and Continual Systems of Interacting Particles in a Random Medium Пилипенко, А.Ю. Статті Розглянуто континуальні системи стохастичних рівнянь, що описують рух у випадковому середовищі сім'ї взаємодіючих частинок, маса яких може змінюватись із часом. Припускається, що рух кожної частинки залежить не лише від її положення в даний момент часу, але й від розподілу загальної маси частинок. Доведено теорему існування та єдиності, неперервну залежність від розподілу початкової маси, марковську властивість. Крім того, при певних технічних умовах мірозначні дифузії, введені A. В. Скороходом, можна одержати як розподіли маси таких систем частинок. We consider continual systems of stochastic equations describing the motion of a family of interacting particles whose mass can vary in time in a random medium. It is assumed that the motion of every particle depends not only on its location at given time but also on the distribution of the total mass of particles. We prove a theorem on unique existence, continuous dependence on the distribution of the initial mass, and the Markov property. Moreover, under certain technical conditions, one can obtain the measure-valued diffusions introduced by Skorokhod as the distributions of the mass of such systems of particles. Частично поддержана Министерством образования и науки Украины ( проект GP/F8/0086). 2005 Article Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде / А.Ю. Пилипенко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 9. — С. 1289–1301. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165835 519.21 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Пилипенко, А.Ю. Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде Український математичний журнал
description	Розглянуто континуальні системи стохастичних рівнянь, що описують рух у випадковому середовищі сім'ї взаємодіючих частинок, маса яких може змінюватись із часом. Припускається, що рух кожної частинки залежить не лише від її положення в даний момент часу, але й від розподілу загальної маси частинок. Доведено теорему існування та єдиності, неперервну залежність від розподілу початкової маси, марковську властивість. Крім того, при певних технічних умовах мірозначні дифузії, введені A. В. Скороходом, можна одержати як розподіли маси таких систем частинок.
format	Article
author	Пилипенко, А.Ю.
author_facet	Пилипенко, А.Ю.
author_sort	Пилипенко, А.Ю.
title	Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде
title_short	Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде
title_full	Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде
title_fullStr	Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде
title_full_unstemmed	Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде
title_sort	мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Статті
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165835
citation_txt	Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде / А.Ю. Пилипенко // Український математичний журнал. — 2005. — Т. 57, № 9. — С. 1289–1301. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT pilipenkoaû meroznačnyediffuziiikontinualʹnyesistemyvzaimodejstvuûŝihčasticvslučajnojsrede AT pilipenkoaû measurevalueddiffusionsandcontinualsystemsofinteractingparticlesinarandommedium
first_indexed	2025-11-24T02:48:22Z
last_indexed	2025-11-24T02:48:22Z
_version_	1849638259092619264
fulltext	UDK 519.21 A. G. Pylypenko (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) MEROZNAÇNÁE DYFFUZYY Y KONTYNUAL\|NÁE SYSTEMÁ VZAYMODEJSTVUGWYX ÇASTYC V#SLUÇAJNOJ SREDE* We consider continual systems of stochastic equations which describe the motion in a random medium of a family of interacting particles whose masses can vary in time. We assume that the motion of every particle depends not only on its location at the current time, but on the distribution of joint mass of particles. We prove the theorem on the existence and uniqueness, the continuous dependence on the distribution of initial mass, and the Markov property. In addition, under some technical conditions, one can obtain the measure-valued diffusions introduced by A. V. Skorokhod in the form of the distribution of mass of such particle systems. Rozhlqnuto kontynual\ni systemy stoxastyçnyx rivnqn\, wo opysugt\ rux u vypadkovomu sere- dovywi sim’] vza[modigçyx çastynok, masa qkyx moΩe zmingvatys\ iz çasom. Prypuska[t\sq, wo,rux koΩno] çastynky zaleΩyt\ ne lyße vid ]] poloΩennq v danyj moment çasu, ale j vid roz- podilu zahal\no] masy çastynok. Dovedeno teoremu isnuvannq ta [dynosti, neperervnu zaleΩnist\ vid rozpodilu poçatkovo] masy, markovs\ku vlastyvist\. Krim toho, pry pevnyx texniçnyx umovax miroznaçni dyfuzi], vvedeni A.,V.,Skoroxodom, moΩ- na oderΩaty qk rozpodily masy takyx system çastynok. Teoryq markovskyx meroznaçn¥x processov aktyvno razvyvaetsq na protqΩenyy poslednyx desqtyletyj. ∏to svqzano v pervug oçered\ s raznoobrazyem sfer ee prymenenyq v razlyçn¥x oblastqx nauky: byolohyy, henetyke, xymyy, fyzyke y t.,d. (sm., naprymer, [1]). Naybolee ynteresn¥e prymer¥ meroznaçn¥x processov, kak, naprymer, pro- cess¥ Flemynha – Vyota, Dousona – Vatanabe, Makkyna – Vlasova, ob¥çno poluçagtsq sledugwym obrazom. Snaçala rassmatryvaetsq dopredel\naq sys- tema, sostoqwaq yz koneçnoho çysla çastyc. Zatem delagtsq predpoloΩenyq o xaraktere πvolgcyy çastyc: vzaymodejstvyy yly nezavysymosty dvyΩenyq, voz- moΩnosty razmnoΩat\sq yly umyrat\ y t. p.,Posle πtoho naçal\noe kolyçestvo çastyc ustremlqetsq k beskoneçnosty, a massa kaΩdoj çastyc¥ — k nulg. Vvodq, esly neobxodymo, opredelennug normyrovku vremennoj yly prostranst- vennoj peremennoj, dokaz¥vaetsq slabaq otnosytel\naq kompaktnost\ posledo- vatel\nosty meroznaçn¥x processov, a dlq predelov v¥pys¥vaetsq problema martynhalov. Sleduet otmetyt\, çto dokazatel\stvo edynstvennosty predela ob¥çno qvlqetsq horazdo bolee sloΩnoj zadaçej, çem dokazatel\stvo suwest- vovanyq (sm., naprymer, [1, 2]). Zametym takΩe, çto process¥, poluçenn¥e kak reßenyq problem¥ martyn- halov, opredelen¥, voobwe hovorq, na „kakom-to” veroqtnostnom prostranstve. Krome toho, yssleduq lyß\ πvolgcyg mer, ne vsehda udaetsq svqzat\ yzme- nenye,mass¥ s dvyΩenyem çastyc na fazovom prostranstve, nalyçyem teçenyq y,,t.,p. V kaçestve yllgstracyy rassmotrym sledugwyj determynyrovann¥j prymer,[3]. Pust\ fazovoe prostranstvo X = R 2 . Rassmotrym dve dynamyçeskye syste- m¥: ϕt 1 = i d — toΩdestvennoe otobraΩenye, ϕt 2 — povorot na uhol t vokruh naçala koordynat. Pust\ µt j = µ ° ϕt j( )−1 , j = 1, 2, — meroznaçn¥j process, po- luçagwyjsq perenosom naçal\noj mass¥ µ potokom ϕt j . Tohda esly µ = = N( , )0 1 — haussovskaq mera s nulev¥m srednym y edynyçn¥m kovaryacyonn¥m operatorom, to µt 1 = µt 2 = µ, t.,e. raspredelenye obwej mass¥ ostaetsq po- * Çastyçno podderΩana Mynysterstvom obrazovanyq y nauky Ukrayn¥ (proekt GP/F8/0086). © A. G. PYLYPENKO, 2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 1289 1290 A. G. PYLYPENKO stoqnn¥m, xotq ono poroΩdaetsq absolgtno razlyçn¥my processamy masso- perenosa. Podxod k yzuçenyg processov massoperenosa sovmestno s yssledovanyem dvyΩenyq vzaymodejstvugwyx çastyc v sluçajnoj srede detal\no rassmotren v [3, 4]. V dannoj rabote rassmatryvagtsq meroznaçn¥e dyffuzyy, dopredel\noj model\g dlq kotor¥x qvlqetsq dvyΩenye vzaymodejstvugwyx çastyc, massa kotor¥x moΩet yzmenqt\sq so vremenem. A.,V.,Skoroxodom [5, 6] b¥la pred- loΩena sledugwaq model\. PredpoloΩym, çto v toçkax u1, … , un ∈ R d v naçal\n¥j moment vremeny t = 0 naxodqtsq çastyc¥ mass c1, … , cn sootvetstvenno. Pust\ xt j , ct j — poloΩenye y massa j -j çastyc¥ v moment vremeny t ≥ 0 . Tohda µt = j t j xc t j∑ δ — raspredelenye obwej mass¥ v moment t. PredpoloΩym, çto yzmenenye mass¥ y vesa opys¥vaetsq sledugwej systemoj vzaymodejstvugwyx stoxastyçeskyx uravnenyj: d x a x dt a x dw tt j t j t k k t j t k= ( ) + ( )∑0 , , ( )µ µ , (1) dc b x dt b x dw t ct j t j t k k t j t k t j= ( ) + ( )   ∑0 , , ( )µ µ , (2) µ δt j t j xc t j= ∑ , (3) s naçal\n¥my uslovyqmy x uj j d 0 = ∈R , c cj j0 0= ≥ , (4) hde w tk ( ){ } — nezavysym¥e vynerovskye process¥. Pry nekotor¥x estestvenn¥x uslovyqx hladkosty y ohranyçennosty koπf- fycyentov uravnenyj (1) – (4) v [5, 6] b¥la dokazana slabaq otnosytel\naq kom- paktnost\ meroznaçn¥x sluçajn¥x processov µt n v sluçae, kohda ymeet mesto slabaq sxodymost\ naçal\n¥x raspredelenyj µ0 1 n n{ } ≥ k nekotoroj koneçnoj mere, a dlq vozmoΩn¥x predelov b¥la zapysana problema martynhalov. Zameçanye 1. Sluçaj bk ≡ 0, t.,e. kohda massa kaΩdoj çastyc¥ ostaetsq postoqnnoj, rassmotren v [3]. Osnovn¥m obæektom, rassmatryvaem¥m v dannoj stat\e, qvlqetsq kontynu- al\naq systema stoxastyçeskyx uravnenyj dx u a x u dt a x u dw tt t t k n k t t k( ) ( ), ( ), ( )= ( ) + ( ) = ∑0 1 µ µ , (5) d u b x u dt b x u dw t ut t t k n k t t k tρ µ µ ρ( ) ( ), ( ), ( ) ( )= ( ) + ( )   = ∑0 1 , (6) µ ρ µt t tx= ( ) −� 1 , (7) x u u0( ) = , ρ0 1( )u = , (8) hde µ — proyzvol\naq koneçnaq mera. Zdes\ pod ρ µt ponymaetsq mera, ymeg- waq plotnost\ Radona – Nykodyma ρt otnosytel\no µ; ρ µt( ) ° xt −1 — obraz ρ µt pry otobraΩenyy xt . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 MEROZNAÇNÁE DYFFUZYY Y KONTYNUAL\|NÁE SYSTEMÁ … 1291 V çastnom sluçae, kohda naçal\noe raspredelenye qvlqetsq dyskretnoj meroj: µ = j m j uc j=∑ 1 δ , process¥ xt j : = x ut j( ), ct j : = ρt ju( ) udovletvorqgt uravnenyqm (1) – (4), pryçem j m t j xc t t j =∑ 1 ( )δ = ρ µt( ) ° xt −1 . V rabote budet dokazano suwestvovanye y edynstvennost\ syl\noho reßenyq system¥,(5) – (8), a takΩe neprer¥vnaq zavysymost\ ot naçal\noj mer¥ y markovskoe svojstvo reßenyq. Tem sam¥m process µt , poluçenn¥j pry reße- nyy system¥, (5) – (8), budet meroznaçnoj dyffuzyej v sm¥sle opredelenyq yz,[5, 6]. 1. Teorema suwestvovanyq y edynstvennosty. Pust\ � — prostranstvo koneçn¥x mer na R d s topolohyej slaboj sxodymosty, t.,e. posledovatel\- nost\ { µn , n ≥ 1} ⊂ � sxodytsq k µ ∈ �, esly dlq lgboj ohranyçennoj neprer¥vnoj funkcyy f : Rd → R ymeet mesto sxodymost\ µ µ µn nf f d f d, := →∫ ∫ , n → ∞. Pust\ ak , bk : R d × � → Rd , u ∈ R d , t ∈ 0, T[ ], µ ∈ �, { w tk ( ) , k = 1, n} — nezavysym¥e vynerovskye process¥. Opredelenye 1. Para (x, ρ) naz¥vaetsq reßenyem system¥ (1) – (4), esly dlq lgboho t ∈ 0, T[ ] process (x, ρ) = x u ws( , )( , ρs u w( , )) , s ∈ 0, t[ ], u ∈ R d , w ∈ Ω, yzmerym otnosytel\no σ - alhebr¥ B 0, t[ ] × B R d × Ft y v¥polnqetsq yntehral\n¥j analoh (1) – (4). Zdes\ B 0, t[ ], B R d — borelevskye σ -alhebr¥ na 0, t[ ] y R d sootvetstvenno y Ft = σ(w sk ( ) , s ≤ t, k = 1, n). Oboznaçym çerez � mnoΩestvo funkcyj yz R d × R d → R, ohranyçenn¥x edynycej y udovletvorqgwyx uslovyg Lypßyca s konstantoj, ne prev¥ßag- wej 1. Teorema 1. PredpoloΩym, çto funkcyy ak , bk udovletvorqgt uslovyqm: 1) ak , bk , k = 0, m , ohranyçen¥; 2) suwestvuet L > 0 takoe, çto ∀ k = 0, m ∀ u1 , u2 ∈ R d ∀ µ1, µ2 ∈ � : a u a uk k( , ) ( , )1 1 2 2µ µ− + b u b uk k( , ) ( , )1 1 2 2µ µ− ≤ ≤ L K u d K u d u u k sup ( , ) ( ) ( , ) ( ) ∈ ∫ ∫− + −    � 1 1 2 2 1 2v v v vµ µ . (9) Tohda suwestvuet edynstvennoe reßenye system¥ (5) – (8). Zameçanye 2. Neravenstvo (9) qvlqetsq, voobwe hovorq, bolee obwym, çem a u a uk k( , ) ( , )1 1 2 2µ µ− + b u b uk k( , ) ( , )1 1 2 2µ µ− ≤ ≤ L f d f d u u f sup ( ) ( ) ( ) ( ) ∈ ∫ ∫− + −    � v v v vµ µ1 2 1 2 , (9′ ) hde � — mnoΩestvo funkcyj yz R d → R, ohranyçenn¥x edynycej y udovlet- vorqgwyx uslovyg Lypßyca s konstantoj, ne prev¥ßagwej 1. Yntehral\n¥e funkcyonal¥ vyda a uk ( , )µ = ∫ K u d( , ) ( )v vµ s K ∈ � mohut ne udovletvorqt\ (9′ ), no udovletvorqgt neravenstvu (9). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 1292 A. G. PYLYPENKO V p.,2 m¥ pokaΩem, çto esly process¥ x ut ( ), ρt u( ) qvlqgtsq reßenyem system¥,(4),–,(6), to ony ymegt neprer¥vnug modyfykacyg po t, u. Poπtomu dalee (v pp.,3 – 6) budem rassmatryvat\ xt ( )⋅ , ρt ( )⋅ , t ∈ 0; T[ ], kak sluçajn¥e process¥ so znaçenyqmy v prostranstvax C d d R R;( ), C d R( ) sootvetstvenno, hde topolohyej qvlqetsq topolohyq ravnomernoj sxodymosty na kompaktn¥x mnoΩestvax. Dokazatel\stvo teorem¥ razdelym na dva πtapa — potraektornaq edynst- vennost\ (p.,3) y slaboe suwestvovanye (p.,4). Tohda suwestvovanye syl\noho reßenyq budet sledovat\ yz teorem¥ Qmada – Vatanabe [7] (dokazatel\stvo sootvetstvugwej teorem¥ b¥lo pryvedeno dlq stoxastyçeskyx dyfferency- al\n¥x,uravnenyj v R n , odnako ono poçty doslovno perenosytsq na uravne- nyq,(5),–,(8)). Pod potraektornoj edynstvennost\g reßenyq system¥ (5) – (8) ponymaetsq sledugwee. Opredelenye 2. Systema (5) – (8) ymeet svojstvo potraektornoj edyn- stvennosty, esly yz toho, çto (x, ρ), x, ρ( ) qvlqgtsq reßenyqmy system¥ (5),–,(8), sleduet, çto P ∀ ∈[ ] ∀ ∈ = =( ) =t T u x u x u u ud t t t t0 1, : ( ) ( ), ( ) ( )R ρ ρ . Otmetym, çto yz neprer¥vnosty (x, ρ) po t, u sleduet, çto dannoe oprede- lenye πkvyvalentno tomu, çto dlq lgb¥x t ∈ 0, T[ ], u ∈ R d ymeet mesto raven- stvo x u x ut t( ) ( )= , ρ ρt tu u( ) ( )= p.,n. 2. Vspomohatel\n¥e utverΩdenyq. V stat\e yspol\zuetsq mnoΩestvo konstant C1, C2 , … . Dlq sokrawenyq oboznaçenyj budem opuskat\ yndeks¥ y zapys¥vat\ vmesto πtoho C., ponymaq pry πtom, voobwe hovorq, razlyçn¥e konstant¥. Pust\ u1 , u2 ∈ R d , ρ1, ρ2 : R d � 0, ∞[ ) , x1, x2 : R d → R d , v1 = ( )ρ µ1 ° ° x1 1− , v2 = ( )ρ µ2 ° x2 1− . Tohda yz (9) sleduet ocenka a u v a u vk k( , ) ( , )1 1 2 2− ≤ ≤ L u u K u x K u x d K 1 2 1 1 1 2 2 2− + ( ) − ( )( )   ∈ ∫sup , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) � v v v v vρ ρ µ ≤ ≤ C u u x x d d d. / / / 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1− + −( )( ) + ( )( ) + −( )( )( )∫ ∫ ∫µ ρ µ ρ ρ µ . (10) V çastnosty, esly ρ1 = ρ2 = ρ, x1 = x2 , to a u v a u vk k( , ) ( , )1 2− ≤ C u u d. / 1 2 2 1 2 1− + ( )( )∫ ρ µ . (11) Yspol\zuq ohranyçennost\ funkcyj ak , bk , nesloΩno poluçyt\ sledug- wye apryorn¥e momentn¥e ocenky dlq processov ρt u( ), x ut ( ) (sm. [8], hl.,4.5). Lemma 1. Pust\ ρt u( ), x ut ( ) — reßenyq uravnenyj (1) – (4). Tohda dlq lgboho p > 1 suwestvuet Kp > 0, ne zavysqwee ot naçal\noj mer¥ µ, ta- koe, çto sup sup ( ) ( ) ,u t T t p t p p d u x u u K ∈ ∈[ ] + −( ) ≤ R E 0 ρ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 MEROZNAÇNÁE DYFFUZYY Y KONTYNUAL\|NÁE SYSTEMÁ … 1293 Zameçanye 3. Sluçajn¥j process ρt u( ), t ≥ 0, udovletvorqet lynejnomu stoxastyçeskomu dyfferencyal\nomu uravnenyg s poloΩytel\n¥m naçal\n¥m uslovyem. Poπtomu ρt u( ) > 0 p.,n. Oboznaçym τm = inf : ( ) ( ) / t d mt≥ +( )( ) ≥{ }∫0 1 2 1 2 ρ µv v , x ut m( ) = x ut m∧ τ ( ) , ρt m u( ) = ρ τt m u∧ ( ) . Zameçanye 4. Yz lemm¥ 1 sleduet, çto τm ↑ ∞, m → ∞, poçty navernoe. Yz (7), (8) sleduet, çto xt m , ρt m udovletvorqgt systeme uravnenyj Yto dx u a x u t dt a x u t dw tt m m t m k n k m t m k( ) ( ), ( ), ( )= ( ) + ( ) = ∑0 1 , d u b x u t dt b x u t dw t ut m m t m k n k m t m k t mρ ρ( ) ( ), ( ), ( ) ( )= ( ) + ( )   = ∑0 1 s ohranyçenn¥my koπffycyentamy a u tk m( , ) = a uk t( , )µ ÷ t m≤{ }τ , b u tk m( , ) = = b uk t( , )µ ÷ t m≤{ }τ , udovletvorqgwymy uslovyg Lypßyca (s konstantoj, zavy- sqwej tol\ko ot m). Lemma 2. ∀ p > 1 ∀ m ∈ N ∃ L = L m p( , ) ∀ t1, t2 ∈ 0, T[ ] ∀ u1 , u2 ∈ R d : E x u x u L t t u ut m t m p p p 1 21 2 1 2 2 1 2( ) ( ) /− ≤ − + −( ) . Dokazatel\stvo lemm¥ 2 standartno (sm., naprymer, [8], hl.,4). Yz teorem¥ Kolmohorova sleduet neprer¥vnost\ po ( t, u ) processov x ut m( ) , ρt m u( ). Yz zameçanyq 4 v¥tekaet suwestvovanye neprer¥vnoj modyfykacyy y dlq processov x ut ( ), ρt u( ). NesloΩno takΩe zametyt\, çto esly x ut ( ), ρt u( ) — πta modyfykacyq, to ona takΩe udovletvorqet systeme (5),–,(8), pryçem s veroqtnost\g 1 ymeet mesto ravenstvo ρ µt( ) ° xt −1 = ρ µt( ) ° xt −1, t ∈ 0, T[ ]. Po- πtomu dalee budem predpolahat\, çto u par¥ (x, ρ) uΩe v¥brana neprer¥vnaq po ( t, u ) modyfykacyq. Lemma 3. ∀ ε > 0: P sup sup ( ) ( ) ,t T u t tx u u u u∈[ ] − + + < ∞    = 0 1 1 ρ ε . (12) Ravenstvo (12) poluçaetsq analohyçno sootvetstvugwemu utverΩdenyg dlq,proyzvodnoj po naçal\n¥m dann¥m reßenyq stoxastyçeskoho uravnenyq (sm. [8], hl.,4). 3. Dokazatel\stvo potraektornoj edynstvennosty reßenyq. Pust\ xt t, ρ( ) , xt t, ρ( ) — dva reßenyq (1). Vvedem moment ostanovky τ ρ µn tt d n= ≥ +( )( ) ≥{ }∫inf : ( ) ( ) / 0 1 2 1 2 v v . Yz lemm¥ 1 v¥tekaet, çto τn ↑ ∞ , n → ∞ p.,n. Tohda yz formul¥ Yto y oce- nok (10), (11) sleduet, çto dlq lgboho t ≥ 0 x u x u ut t tn n n∧ ∧ ∧− +( )τ τ τρ( ) ( ) ( ) 2 21 ≤ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 1294 A. G. PYLYPENKO ≤ L x u x u x x d t s s s s n . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 ∧ ∫ ∫− + −( )( τ µv v v 1 2+( )∫ρ µs d( ) ( )v v + + ∫ − )ρ ρ µs s d( ) ( ) ( )v v v2 1 2+( )ρs u ds( ) + M ut ( ) , (13) hde M ut ( ) — nekotor¥j martynhal (po t ), pryçem sup sup ( ) ,u t T tM u ∈[ ] < ∞ 0 2E , E M ut ( ) = 0. Analohyçno, uçyt¥vaq opredelenye τn, poluçaem sledugwee neravenstvo s E N ut ( ) = 0 : ρ ρτ τt tn n u u∧ ∧−( ) ( ) 2 ≤ ≤ L u u u t s s s n . ( ) ( ) ( ) 0 2 21 ∧ ∫ − + +( )( τ ρ ρ ρ × × x u x u x x d dss s s s s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − +( )( ))∫2 2 21v v v vρ µ + N ut ( ) . (14) Voz\mem matematyçeskoe oΩydanye levoj y pravoj çastej (13), a zatem pro- yntehryruem po µ( )du . Napomnym, çto ∫ +( )∧1 2ρ τs n u( ) µ( )du ≤ n. Tohda posle zamen¥ u na v v yntehralax poluçym sledugwee neravenstvo (voobwe hovorq, s druhoj konstantoj L . = L n.( ) ) : ∫ ∧ ∧ ∧−E x x dt t tn n nτ τ τρ µ( ) ( ) ( ) ( )v v v v 2 2 ≤ ≤ L x x d ds t s s s n . ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2∫ ∫ ∧ −    E 0 τ ρ µv v v v + + ∫ ∫ ∧ −   E 0 t s s n d ds τ ρ ρ µ( ) ( ) ( ) . v v v2 ≤ ≤ L x x d ds t s s sn n n . ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0 E∫ ∫ ∧ ∧ ∧−   τ τ τρ µv v v v + + 0 E t s sn n d ds∫ ∫ ∧ ∧−   ρ ρ µτ τ( ) ( ) ( )v v v 2 . (15) Suwestvovanye yntehralov v obeyx çastqx neravenstva sleduet yz lemm¥ 1. Vzqv matematyçeskoe oΩydanye v (14), a zatem proyntehryrovav po µ( )du , analohyçno (15) budem ymet\ sledugwee neravenstvo: ∫ ∧ ∧−E ρ ρ µτ τt tn n d( ) ( ) ( )v v v 2 ≤ ≤ L d ds t s sn n . ( ) ( ) ( ) 0 E∫ ∫ ∧ ∧−   ρ ρ µτ τv v v 2 + + 0 E t s s sx x d ds n n n∫ ∫ ∧ ∧ ∧− +( )   τ τ τρ µ( ) ( ) ( ) ( )v v v v 2 21 . (16) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 MEROZNAÇNÁE DYFFUZYY Y KONTYNUAL\|NÁE SYSTEMÁ … 1295 Prymenqq lemmu Hronuolla k (15), (16), dlq lgboho t ∈ 0, T[ ] poluçaem ravenstvo xt n∧ τ ( )v = xt n∧ τ ( )v , ρ σt n∧ ( )v = ρ τt n∧ ( )v dlq µ -p.,v. v ∈ R d y p.,v. ω ∈ Ω. Poskol\ku τn → + ∞ pry n → ∞ p.,n., to dlq lgboho t ∈ 0, T[ ] x xt t( ) ( )v v= , ρt ( )v = ρt ( )v µ -p.,n. Podstavym dann¥e ravenstva v (13), (14) y voz\mem matematyçeskoe oΩydanye. Zatem, prymenyv lemmu Hronuolla, poluçym ∀ t ∈ 0, T[ ] ∀ u ∈ R d : x u x ut t( ) ( )= , ρ ρt tu u( ) ( )= P-p.,n. 4. Slaboe suwestvovanye. Pust\ µm = k m k m uc k m=∑ 1 , , δ , m ≥ 1, — posledo- vatel\nost\ dyskretn¥x mer, slabo sxodqwyxsq k mere µ. Oboznaçym çerez xt m , ρt m , µt m reßenye system¥ (5) – (8) s naçal\n¥m uslo- vyem µm vmesto µ. Otmetym, vo-perv¥x, çto reßenyq sootvetstvugwyx uravnenyj suwestvugt y edynstvenn¥. Dejstvytel\no, yz predpoloΩenyj o koπffycyentax ai , bi nesloΩno v¥vesty, çto funkcyy u u a u cm m i k j m j j u j1 1 1 , , , , , ,… …( )    = ∑ρ ρ ρ δ� , u u b u cm m i k j m j j u j1 1 1 , , , , , ,… …( )    = ∑ρ ρ ρ δ� udovletvorqgt uslovyg lynejnoho rosta y lokal\nomu uslovyg Lypßyca. Zameçanye 5. Zdes\, dlq sokrawenyq oboznaçenyj, ck m, , uk m, zamenen¥ na ck , uk sootvetstvenno. Takym obrazom, systema dx ut m k( ) = a x u c u dtt m k j m j t m j x ut m j 0 1 ( ), ( ) ( ) = ∑      ρ δ + + i n i t m k j m j t m j x u ia x u c u dw t t m j= = ∑ ∑       1 1 ( ), ( ) ( ) ( ) ρ δ , d ut m kρ ( ) = b x u c u dtt m k j m j t m j x ut m j 0 1 ( ), ( ) ( ) = ∑      ρ δ + + i n i t m k j m j t m j x u i t m kb x u c u dw t u t m j= = ∑ ∑          1 1 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ρ δ ρ , x u um k k0 ( ) = , ρ0 1m ku( ) = ymeet edynstvennoe reßenye. Dlq u ≠ uk poluçym x ut m( ) yz uravnenyq dx ut m( ) = a x u c u dtt m j m j t m j x ut m j 0 1 ( ), ( ) ( ) = ∑      ρ δ + + i n i t m j m j t m j x u ia x u c u dw t t m j= = ∑ ∑       1 1 ( ), ( ) ( ) ( ) ρ δ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 1296 A. G. PYLYPENKO Uravnenye dlq ρt m u( ) zapys¥vaetsq analohyçno. Zametym, çto postroenn¥e ukazann¥m obrazom xm , ρm qvlqgtsq edynst- venn¥m reßenyem system¥ (5) – (8) s naçal\n¥m uslovyem µ0 m = k m k m uc k m=∑ 1 , , δ . Analohyçno lemmam 1 y 2 ymeem sledugwye neravenstva: ∀ p > 1 ∀ n ≥ 1 ∃ Ln ∀ m ∀ t1, t2 ∈ 0, T[ ] ∀ u1 , u2 ∈ R d : E x u x ut m t m p n m n m1 21 2∧ ∧−τ τ, , ( ) ( ) + ρ ρτ τt m t m p n m n m u u 1 21 2∧ ∧− , , ( ) ( ) ≤ ≤ L t t u un p p 1 2 2 1 2− + −( )/ , (17) ∀ p > 1 ∃ C : sup sup sup ( ) ( ) ,m u t T t m p t m p d x u u u C ∈ ∈[ ] − +( ) < R E 0 ρ , hde τ ρ µn m t m mt d n, / inf : ( ) ( )= ≥ + ( )( )( ) ≥ ∫0 1 2 1 2 v v . Yz teorem¥ 1.4.7 [8] sleduet, çto dlq lgboho n ∈ N posledovatel\nost\ sluçajn¥x polej x n m m ⋅ ∧ ⋅({ τ , ( ), ρ τ⋅ ∧ ⋅ )n m m , ( ) , m ≥ }1 slabo otnosytel\no kom- paktna v prostranstve C T0, ;[ ]( C d d R R;( )) × C T0, ,[ ]( C d R( )), hde prostran- stva C d d R R;( ), C d R( ) nadelen¥ topolohyej ravnomernoj sxodymosty na kompaktn¥x mnoΩestvax. Yz (17) sleduet, çto ∀ >c 0: lim sup , n m n m c →∞ <{ } =P τ 0 . Poπtomu posledovatel\nost\ xm ⋅ ⋅({ ( ), ρ⋅ ⋅ )m( ) , m ≥ 1} takΩe slabo otnosytel\- no kompaktna. PokaΩem, çto posledovatel\nost\ meroznaçn¥x processov µt m{ , m ≥ 1} slabo otnosytel\no kompaktna v C T0,[ ]( , �). Dlq πtoho dostatoçno prove- ryt\ [1], çto: 1) dlq lgboj ohranyçennoj lypßycevoj funkcyy f posledovatel\nost\ sluçajn¥x processov µt m f, = ∫ f d t mµ , m ≥ 1, slabo otnosytel\no kompaktna v C T0,[ ]( ); 2) dlq lgboho ε > 0 sup sup ,m t T t m u nP ∈[ ] ≥{ } ≥     → 0 0µ ε , n → ∞ . (18) Uslovye 1 nesloΩno proveryt\, esly zametyt\, çto µt m f, = ∫ ( )f x ut m( ) × × ρt m u( ) µm du( ) , a zatem vospol\zovat\sq rassuΩdenyqmy, pryvedßymy k slaboj kompaktnosty potokov xm m, ρ( ). Proverym (18): P sup t t m u nµ ε≥{ } ≥    ≤ ≤ P sup sup ( ) ,t T u n tx u n ∈[ ] ≤ ≥    0 2 + P sup ( ) ( ) ,t T u n t m mu du ∈[ ] > ∫ ≥       0 ρ µ ε . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 MEROZNAÇNÁE DYFFUZYY Y KONTYNUAL\|NÁE SYSTEMÁ … 1297 Sohlasno lemme 3 pervoe slahaemoe stremytsq k nulg pry n → ∞ . Dlq ocenky vtoroho slahaemoho prymenym neravenstvo Çeb¥ßeva y lemmu 1: P sup ( ) ( ) ,t T u n t m mu du ∈[ ] > ∫ ≥       0 ρ µ ε ≤ ≤ ε µ ρ− ∈[ ] >( ) →1 0 0m u t T t mu u n u: sup sup ( ) , E , n → ∞. Takym obrazom, slabaq otnosytel\naq kompaktnost\ dokazana. Vzqv, v sluçae neobxodymosty, podposledovatel\nost\, budem sçytat\, çto ( xm ⋅ , ρ⋅ m , µ ⋅ m) slabo sxodytsq pry m → ∞ k predel\nomu processu ( x ., ρ ., µ . ) (opredelennomu, voobwe hovorq, na druhom veroqtnostnom prostranstve). DokaΩem, çto P ∀ ∈[ ] = ( )( ) =−t T xt t t0 11, : µ ρ µ � . (19) NesloΩno vydet\, çto ρ µt( ) ° xt −1 — neprer¥vn¥j meroznaçn¥j process. Poπ- tomu dlq proverky (19) dostatoçno dokazat\, çto ∀ ∈[ ]t T0, : P µ ρ µt t tx= ( )( ) =−� 1 1. V svog oçered\ dlq πtoho dostatoçno, çtob¥ dlq lgboho k ≥ 1 y lgboj ne- prer¥vnoj fynytnoj funkcyy f : Rkd → R ymelo mesto ravenstvo matematy- çeskyx oΩydanyj: E R k d f x u x u u u du dut t k t t k k∫ …( ) … …( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1ρ ρ µ µ = = E R k d f u u du duk t t k∫ … …( , , ) ( ) ( )1 1µ µ . Bez potery obwnosty [9] moΩno sçytat\, çto process¥ ( xt m, ρt m , µt m) y ( xt , ρt , µt ) zadan¥ na odnom veroqtnostnom prostranstve y ymeet mesto sxodymost\ p.,n. Dlq prostot¥ rassmotrym tol\ko sluçaj k = 1. Dlq lgboho m ≥ 1 ymeem µt m = ρ µt m m( ) ° xt m( )−1 y, sledovatel\no, E ∫ ( )f x u u dut m t m m( ) ( ) ( )ρ µ = E ∫ f u dut m( ) ( )µ . (20) Dlq p.,v. ω ymeet mesto sxodymost\ ∫ f u dut m( ) ( )µ → ∫ f u dut( ) ( )µ . Krome toho, ymeem ravnomernug yntehryruemost\ posledovatel\nosty slu- çajn¥x velyçyn ∫{ f d t mµ , m ≥ 1} , tak kak sup m t mf dE ∫( )µ 2 ≤ sup ( ) sup u m t m t mf u d2 2 E ∫( )ρ µ ≤ ≤ sup ( ) sup sup ( ) sup u m u t m m m df u u2 2 E ρ µ R( ) < ∞. Poπtomu pravaq çast\ (20) sxodytsq k E ∫ f d tµ . Rassmotrym levug çast\ (20). NesloΩno proveryt\ ravnomernug yntehryruemost\ posledovatel\nosty ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 1298 A. G. PYLYPENKO E ∫ ( ){ f xt m ρ µt m md , m ≥ 1} . Sledovatel\no, dostatoçno proveryt\ sxodymost\ po veroqtnosty sledugwyx yntehralov: ∫ ( )f x dt m t m t mρ µ → ∫ f x dt t( )ρ µ , m → ∞. (21) Napomnym, çto poçty navernoe ymeet mesto ravnomernaq sxodymost\ na kompaktax: xt m → xt y ρt m → ρt pry m → ∞. (22) Pust\ U ⊂ Rd — nekotor¥j kompakt. Tohda R R d d f x d f x dt m t m m t t∫ ∫( ) −ρ µ ρ µ( ) ≤ ≤ R R d d f x d f x dt t t t m∫ ∫−( ) ( )ρ µ ρ µ + U t t t m t m mf x f x d∫ − ( )( )ρ ρ µ + + R d U t t t m t m mf x f x d \ ( )∫ + ( )( )ρ ρ µ . (23) Pervoe slahaemoe v pravoj çasty (23) sxodytsq k nulg s veroqtnost\g 1 yz-za slaboj sxodymosty mer, nepreryvnosty xt , ρt po parametru u y,,,,lemm¥,,,1. Vtoroe slahaemoe ne prev¥ßaet sup ( ) ( )u U t tf x u u∈ ( )( ρ – – f x u ut m t m( ) ( )( ) )ρ sup ( )m m Uµ y, sledovatel\no, sxodytsq k nulg poçty naver- noe dlq lgboho fyksyrovannoho kompakta U. V¥borom U moΩno takΩe sdelat\ kak uhodno mal¥m v¥raΩenye sup ( ) \ m U t t t m t m m d f x f x dE R ∫ + ( )( )ρ ρ µ ≤ C U m m dsup \µ R( ). Yz yzloΩennoho v¥ße sleduet sxodymost\ (21), y, znaçyt, sootnoßenye (19) qvlqetsq ystynn¥m. Analohyçno rassuΩdenyqm, opysann¥m v¥ße, nesloΩno dokazat\ slabug otnosytel\nug kompaktnost\ posledovatel\nosty ζm = x a x dsm m m k s m s m ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( )  ∫( ), ( ), ( ), ( ),ρ µ µ 0 , 0 0 1 ⋅ ∫ ⋅( ) ⋅ = ≥   b x dw s w k n mk s m s m s m k k( ), ( ), ( ), , ,µ ρ , hde oboznaçeno w t0( ) ≡ t. Perexodq k podposledovatel\nostqm, esly neobxodymo, y yspol\zuq teoremu Skoroxoda [9], v¥byraem edynoe veroqtnostnoe prostranstvo y takug posledo- vatel\nost\ ζ̃m = ˜ , ˜ , ˜ , ˜ ( ), ˜x a x dsm m m k s m s m ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ⋅( )  ρ µ µ 0 , 0 ⋅ ∫ ⋅( )b x dw sk s m s m k˜ ( ), ˜ ( )µ , ˜ ( ), , ,w k n mk ⋅ = ≥   0 1 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 MEROZNAÇNÁE DYFFUZYY Y KONTYNUAL\|NÁE SYSTEMÁ … 1299 na nem, çto ζ̃m =� ζm , kotoraq sxodytsq p.,n. k nekotoromu πlementu ˜ ˜, ˜, ˜ , , , ˜ , ,ζ ρ µ α β= =( )x w k nk k k 0 , hde w̃k , k = 1, n , — vynerovskye process¥, pryçem µ̃ = ρ̃µ0( ) ° x̃−1, kak b¥lo dokazano ranee. Analohyçno teoreme 1 [10] (hl.,5, §,2) moΩno ubedyt\sq, çto α µt k t k s s ku a x u dw s( ) ˜ ( ), ˜ ˜ ( )= ( )∫ 0 , β µ ρt k t k s s s ku b x u u dw s( ) ˜ ( ), ˜ ( ) ˜ ( )= ( )∫ 0 y x̃ , ρ̃ , µ̃ , w̃k svqzan¥ sootnoßenyqmy (5) – (8). Takym obrazom, slaboe su- westvovanye, a s nym y teorema 1 dokazan¥. Zameçanye 6. Dlq suwestvovanyq slaboho reßenyq uslovye (9) teorem¥ 1 moΩno oslabyt\. A ymenno, dostatoçno trebovat\ vmesto neho neprer¥vnost\ funkcyj ak , bk po ( u, µ ) y lypßycevost\ po pervomu arhumentu: ∃ ∃ ∀ = ∀ ∈ ∀ ∈K L k m u u d0 1 2, , R µ � : a u a u b u b u L u uk k k k( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 2 1 2 1 2µ µ µ µ− + − ≤ − . Pry analohyçn¥x uslovyqx teorema suwestvovanyq slaboho reßenyq dlq urav- nenyj s vzaymodejstvyem, no bez yzmenenyq mass¥ çastyc, t.,e. bk ≡ 0, dokazana v [11]. 5. Neprer¥vnaq zavysymost\ ot naçal\noj mer¥. V dannom punkte usta- navlyvaetsq neprer¥vnaq zavysymost\ reßenyq system¥ (5) – (8) ot naçal\noj mer¥ µ. Teorema 2. Pust\ µm → µ, m → ∞ , v �. Oboznaçym çerez xm m, ρ( ) re- ßenye system¥ (1) – (4) s naçal\n¥m uslovyem µm . Tohda dlq lgboho kom- pakta U ⊂ Rd ymeet mesto sxodymost\ po veroqtnosty sup sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,t T u U t m t t m tx u x u u u ∈[ ] ∈ − + −( ) → 0 0ρ ρ P , m → ∞, (24) a takΩe sxodymost\ po veroqtnosty processov µ µt m t→ , m → ∞ v C T0, ,[ ]( )� . (25) Dokazatel\stvo. Analohyçno dokazatel\stvu slaboho suwestvovanyq re- ßenyq system¥ (5) – (8) nesloΩno proveryt\, çto posledovatel\nost\ processov ηm = xm( , ρm , x, ρ, wk , k = 1, n) qvlqetsq slabo kompaktnoj v C T C d d0, , ;[ ] ( )( )( R R × C T C d0, ,[ ] ( )( )R × C T C d d0, , ,[ ] ( )( )R R × × C T C d0, ,[ ] ( )( )R × C T0,[ ]( )) . Yspol\zovav teoremu Skoroxoda [9], v¥berem edynoe veroqtnostnoe prost- ranstvo y podposledovatel\nost\ η̃m =D ηm , sxodqwugsq poçty navernoe k ne- kotoromu predel\nomu processu η̃ = x( , ρ , x̃ , ρ̃ , w̃k , k = 1, n) . Kak y v p.,3, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 1300 A. G. PYLYPENKO moΩno ustanovyt\, çto x, ρ( ) y ˜, ˜x ρ( ) qvlqetsq reßenyem system¥ (5) – (8) s w̃k vmesto wk . Yz teorem¥ 1 v¥tekaet ravenstvo ∀ ∈u d R ∀ ∈[ ]t T0, : ˜ ( ) ( )x u x ut t= , ˜ ( ) ( )ρ ρt tu u= p.,n. Poπtomu ymeet mesto ravnomernaq sxodymost\ na kompaktax x̃m → x̃ y ρ̃m → → ρ̃ , m → ∞ p.,n. Poskol\ku raspredelenyq x̃m( , ρ̃m , x̃ , ρ̃) y xm( , ρm , x, ρ) sovpadagt, otsgda sleduet (24). Sxodymost\ (25) sleduet yz (24) y momentn¥x ocenok yz lemm¥ 1. 6. Markovskoe svojstvo meroznaçnoho processa µµt . Dokazatel\stvo mar- kovosty processa µt provodytsq analohyçno klassyçeskoj sxeme dokazatel\- stva markovskoho svojstva dlq reßenyj (ob¥çn¥x) stoxastyçeskyx dyfferen- cyal\n¥x uravnenyj (sm. [10], hl.,6, §,1). Pust\ s > 0, t ≥ s, ε > 0, µ ∈ �. Oboznaçym Fs kw s k n= ∈[ ] =( )σ τ τ( ), , , ,0 1 , Fs t k kw w s s t k n, ( ) ( ), , , ,= − ∈[ ] =( )σ τ τ 1 . Otmetym, çto σ-alhebr¥ Fs y Fs t, nezavysym¥. Oboznaçym çerez x us t v, , ( ) , ρs t v u, , ( ), µs t v, , reßenye system¥ dx u a x u dt a x u dw ts t v s t v s t v k n k s t v s t v k, , , , , , , , , ,( ) ( ), ( ), ( )= ( ) + ( ) = ∑0 1 µ µ , (26) d us t vρ , , ( ) = = b x u dt b x u dw t us t v s t v k n k s t v s t v k s t v0 1 , , , , , , , , , ,( ), ( ), ( ) ( )µ µ ρ( ) + ( )   = ∑ , t ≥ s, u d∈R , (27) x us s v, , ( ) = u, ρs s v u, , ( ) = 1, µs t v, , = v ° xs t v, , −1 . (28) Yz teorem¥ 2 sleduet suwestvovanye yzmerymoj versyy otobraΩenyq Ω × ∋ ( ) ∈ ( ) × ( ) ×� �( , ) , , ,, , , , , ,ω ρ µv x C Cs t v s t v s t v d d d� R R R . Yspol\zuq neznaçytel\nug modyfykacyq teorem¥ 1 dlq neupreΩdagwyx naçal\n¥x uslovyj, nesloΩno proveryt\, çto systema (26) – (28) s naçal\n¥m uslovyem µs ymeet edynstvennoe reßenye. Rassmotrym sluçajn¥e process¥ y u x x ut t s( ) ( )= ( )−1 , r u x u x u t t s s s ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) − − ρ ρ 1 1 , t ≥ s. Zameçanye 7. Dlq lgboho s > 0 otobraΩenye u � x us( ) qvlqetsq ho- meomorfyzmom R d [8], poπtomu obratnoe otobraΩenye xs −1 korrektno opre- deleno. NesloΩno zametyt\, çto para yt , rt udovletvorqet systeme dy u a y u dt a y u dw tt t t k n k t t k( ) ( ), ( ), ( )= ( ) + ( ) = ∑0 1 µ µ , t ≥ s, dr u b y u dt b y u dw t r ut t t k n k t t k t( ) ( ), ( ), ( ) ( )= ( ) + ( )   = ∑0 1 µ µ , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9 MEROZNAÇNÁE DYFFUZYY Y KONTYNUAL\|NÁE SYSTEMÁ … 1301 y u us( ) = , r us( ) = 1. Otmetym takΩe, çto µt = ρ µt tx( ) −� 1 = ρ ρ ρ µt s s s t sx x x        ( )− − − � � �1 1 1 = = ρ ρ ρ µt s s s s s t s x x x x x � � � � � − − − − −( )    ( ) 1 1 1 1 1 = r yt s tµ( ) −� 1 . Yz edynstvennosty reßenyq system¥ (26) – (28) s naçal\n¥m uslovyem v = µs sleduet y xt s t s = , ,µ , rt s t s = ρ µ, , , µ µ µt s t s = , , . Yz nezavysymosty Fs t, -yzmerymoho otobraΩenyq µs t, , ⋅ y Fs -yzmerymoj slu- çajnoj mer¥ µs v¥tekaet markovskoe svojstvo processa µt . Analohyçno pred¥duwym rassuΩdenyqm y rezul\tatam §,3.3 [3] moΩno pro- veryt\ bolee obwee utverΩdenye. Teorema 3. 1. Dlq lgb¥x k, l ≥ 0, k ≥ l, u1, … , uk ∈ R d sluçajn¥j process µ ρ ρt t t k t t lx u x u u u, ( ), , ( ), ( ), , ( )1 1… …( ), t ≥ 0, qvlqetsq markovskym. 2. Sluçajn¥j process µ ρt t tx, ( ), ( )⋅ ⋅( ) , t ≥ 0, qvlqetsq markovskym v � × C d d R R;( ) × C d R( ), hde v prostranstvax C d d R R;( ), C d R( ) rassmatryvaetsq topolohyq ravnomernoj sxodymosty na kompaktax. 1. Dawson D. A. Measure-valued Markov processes // Lect. Notes Math. – Berlin: Springer, 1993. – 1541. 2. Cerrai S., Clement Ph. Well-posedness of the martingale problem for some degenerate diffusion processes occuring in dymanics of populations // Bull. Sci. Math. – 2004. – 128, # 5. – P. 355 – 370. 3. Dorogovtsev A. A., Kotelenez P. Stochastic flows with interaction and random measures, Dord- recht: Kluwer, 2004. 4. Dorogovtsev A. A. Stochastic flows with interaction and measure-valued processes // Int. J. Math. Sci. – 2003. – # 63. – P. 3963 – 3977. 5. Skorokhod A. V. Measure-valued diffusions // Theory Stochast. Processes. – 1997. – 3(19), # 1 – 2. – P. 7 – 12. 6. Skorokhod A. V. Measure-valued diffusions // Ukr. Mat. Zh. – 1997. – 49, # 3. – P. 458 – 464. 7. Vatanabπ S., Ykeda N. Stoxastyçeskye dyfferencyal\n¥e uravnenyq y dyffuzyonn¥e process¥. – M.: Nauka, 1986. – 445 s. 8. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations / Cambridge Stud. in Adv. Math. – 1990. – 346 p. 9. Kallenberg O. Foundation of modern probability. 2nd ed. // Text Monograph, Probab. and Its Appl. – New York: Springer, 2002. – 638 p. 10. Hyxman Y. Y., Skoroxod A. V. Stoxastyçeskye dyfferencyal\n¥e uravnenyq y yx pry- loΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1982. – 612 s. 11. Karlykova M. P. O slabom reßenyy uravnenyq dlq πvolgcyonnoho potoka so vzaymodejst- vyem // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 7. – S. 895 – 903. Poluçeno 17.06.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2005, t. 57, # 9

Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц в случайной среде

Institution

Ähnliche Einträge