Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора
Получены оценки отклонений сумм Тейлора на классах аналитических функций H∞ψ, выраженные через наилучшие приближение ψ-производных функций, а также асимптотические равенства для точных верхних граней уклонений сумм Тейлора от функций из этих классов....
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165931 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора / М.В. Гаєвський, П.В. Задерей // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1602–1619. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165931 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1659312025-02-10T00:56:46Z Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора Approximation of analytic functions by the partial sums of Taylor series Гаєвський, М.В. Задерей, П.В. Статті Получены оценки отклонений сумм Тейлора на классах аналитических функций H∞ψ, выраженные через наилучшие приближение ψ-производных функций, а также асимптотические равенства для точных верхних граней уклонений сумм Тейлора от функций из этих классов. 2015 Article Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора / М.В. Гаєвський, П.В. Задерей // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1602–1619. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165931 517.5 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Гаєвський, М.В. Задерей, П.В. Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора Український математичний журнал |
| description |
Получены оценки отклонений сумм Тейлора на классах аналитических функций H∞ψ, выраженные через наилучшие приближение ψ-производных функций, а также асимптотические равенства для точных верхних граней уклонений сумм Тейлора от функций из этих классов. |
| format |
Article |
| author |
Гаєвський, М.В. Задерей, П.В. |
| author_facet |
Гаєвський, М.В. Задерей, П.В. |
| author_sort |
Гаєвський, М.В. |
| title |
Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора |
| title_short |
Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора |
| title_full |
Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора |
| title_fullStr |
Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора |
| title_full_unstemmed |
Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора |
| title_sort |
наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів тейлора |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165931 |
| citation_txt |
Наближення аналітичних функцій частинними сумами їх рядів Тейлора / М.В. Гаєвський, П.В. Задерей // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 12. — С. 1602–1619. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT gaêvsʹkiimv nabližennâanalítičnihfunkcíičastinnimisumamiíhrâdívteilora AT zadereipv nabližennâanalítičnihfunkcíičastinnimisumamiíhrâdívteilora AT gaêvsʹkiimv approximationofanalyticfunctionsbythepartialsumsoftaylorseries AT zadereipv approximationofanalyticfunctionsbythepartialsumsoftaylorseries |
| first_indexed |
2025-12-02T08:46:31Z |
| last_indexed |
2025-12-02T08:46:31Z |
| _version_ |
1850385567925141504 |
| fulltext |
УДК 517.5
М. В. Гаєвський (Кiровоград. держ. пед. ун-т iм. В. Винниченка),
П. В. Задерей (Київ. нац. ун-т технологiй та дизайну)
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ
ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА
We establish the estimates for the deviations of Taylor’s sums on the classes of analytic functions Hψ
∞, expressed via the
best approximations of ψ-derivative functions by using the asymptotic equalities for the exact upper bounds of deviations
of Taylor’s sums from functions of the same class.
Получены оценки отклонений сумм Тейлора на классах аналитических функцийHψ
∞, выраженные через наилучшие
приближения ψ-производных функций, а также асимптотические равенства для точных верхних граней уклонений
сумм Тейлора от функций из этих классов.
Введемо такi позначення: D = {z ∈ C : |z| < 1}, T = {z ∈ C : |z| = 1},
f(z) =
∞∑
k=0
akz
k, z ∈ D, (1)
— розклад в ряд Тейлора – Маклорена аналiтичної в крузi D функцiї,
Sn(f, z) =
n∑
k=0
akz
k, z ∈ D,
— частинна сума її ряду Тейлора – Маклорена, де ak =
f (k)(0)
k!
.
Розглянемо множину H∞ аналiтичних в D функцiй iз нормою
‖f‖H∞ = ‖f‖∞ = sup
z∈D
|f(z)| <∞,
UH∞ — одинична куля в H∞, тобто для f ∈ UH∞
‖f‖∞ = sup
z∈D
|f(z)| ≤ 1.
Нехай Pn — множина алгебраїчних полiномiв степеня не вищого за n, rn(f, z) = f(z) −
−Sn(f, z), En(f) := En(f)∞ = infpn∈Pn ‖f(z)−pn(z)‖∞ — найкраще наближення аналiтичної
в D функцiї f алгебраїчними полiномами степеня не вищого за n.
У 1916 р. Е. Ландау [1] обчислив норму оператора частинних сум ряду Тейлора функцiй,
аналiтичних в D, i встановив, що
sup
‖f‖∞≤1
‖Sn(f, z)‖∞ =
1
π
lnn+O(1), n ∈ N, f ∈ UH∞;
до того ж показав, що iснує функцiя f ∈ UH∞, для якої дана оцiнка є асимптотично точною.
Звiдси для кожної функцiї f ∈ H∞ та довiльного n ∈ N випливає нерiвнiсть Лебега – Ландау
‖rn(f, z)‖∞ ≤
(
1
π
lnn+O(1)
)
En(f),
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n та f.
c© М. В. ГАЄВСЬКИЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ, 2015
1602 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА 1603
С. Б. Стєчкiн [2] розв’язав задачу про асимптотику наближення частинними сумами ряду
Тейлора для класу функцiй H(r)
∞ , r ∈ N, якi є аналiтичними в D, i ‖f (r)‖∞ ≤ 1 :
sup
f∈H(r)
∞
‖rn(f, z)‖∞ =
1
π
lnn
nr
+O
(
1
nr
)
, n ≥ r − 1.
Нехай ψ = {ψ(k)}, k = 0, 1, 2, . . . , — така послiдовнiсть комплексних чисел, що |ψ(k)| 6= 0,
k ∈ N i limk→∞ ψ(k) = 0, f ∈ H∞ з рядом Тейлора вигляду (1). Якщо ряд
∞∑
k=1
1
ψ(k)
akz
k, z ∈ D, (2)
є рядом Тейлора деякої функцiї з класу H∞, то цю функцiю позначимо через fψ i назвемо
її ψ-похiдною функцiї f. Позначимо через Hψ
∞ клас функцiй з H∞, у яких похiдна fψ ∈
∈ UH∞. Уперше подiбний клас функцiй був розглянутий Шейком [3]. (Без втрати загальностi
у подальшому можна вважати ψ(0) = 1.)
Нехай M0 — множина опуклих донизу послiдовностей α таких, що прямують до нуля
на нескiнченностi i задовольняють умову 0 < µ(α, t) ≤ K < ∞, де µ(α, t) =
t
η(t)− t
та
η(t) = η(α, t) = α−1
(
1
2
α(t)
)
.
О. I. Степанець та В. В. Савчук [4] (див. також [5, с. 280 – 290]) отримали нерiвнiсть типу
Лебега – Ландау: якщо послiдовнiсть ψ = ψ1 + iψ2 та ψi ∈M0, i = 1, 2, то для кожної функцiї
f ∈ Hψ
∞ та довiльного n ∈ N виконується нерiвнiсть
‖rn(f, z)‖∞ ≤
(
1
π
lnn+O(1)
)
|ψ(n)|En(fψ),
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n та f. Крiм того, iснують функцiї, для яких ця
нерiвнiсть є точною. З деякими менш загальними результатами можна ознайомитись у [6].
О. М. Швецова [7], наклавши на послiдовнiсть ψ умови, слабшi за опуклiсть, отримала
такий результат: якщо n ∈ N, ψ : (0,∞) → C — локально абсолютно неперервна функцiя на
[n+ 1,∞) така, що |ψ(k)| 6= 0, k ∈ N, limk→∞ ψ(k) = 0 та
Ṽ∞n+1(ψ) =
∞∫
n+1
vrai sup
u≥t
|ψ′(u)|dt <∞, (3)
то
sup
fψ∈H∞
‖rn(f, z)‖∞
En(fψ)
= sup
f∈Hψ
∞
‖rn(f, z)‖∞ =
1
π
n∑
k=1
|ψ(k + n)|
k
+O(1)
(
Ṽ∞n+1(ψ)
)
,
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n та f.
У данiй роботi буде отримано нерiвнiсть типу Лебега – Ландау на класi аналiтичних функцiй
Hψ
∞, де на послiдовнiсть ψ накладено слабшi умови, нiж (3). Данi результати було анонсовано
в [8, 9].
Будемо говорити, що послiдовнiсть ψ задовольняє умови Боаса – Теляковського, якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1604 М. В. ГАЄВСЬКИЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
lim
k→∞
ψ(k) = 0, (4)
V (ψ) =
∞∑
k=0
|4ψ(k)| <∞, (5)
B(ψ) =
∞∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
m=1
4ψ(k −m)−4ψ(k +m)
m
∣∣∣∣∣∣ <∞, (6)
де 4ψ(k) = ψ(k)− ψ(k + 1).
Зазначимо, що для кусково-лiнiйних функцiй ψ з вузлами в цiлочислових точках умова
Ṽ∞n+1(ψ) =
∞∫
n+1
vrai sup
u≥t
|ψ′(u)|dt <∞
набирає вигляду
∞∑
k=n+1
sup
m≥k
|4ψ(m)| <∞;
її ще називають умовою Сiдона – Теляковського. В роботi [6] фактично доведено таку нерiв-
нiсть:
V (ψ) +B(ψ) ≤M
∞∑
k=0
sup
m≥k
|4ψ(m)|,
де M — деяка абсолютна стала. Там же показано, що для послiдовностi 4ψ(2s) =
1
2s
та
4ψ(k) = 0, k 6= 2s, s = 0, 1, 2, 3, . . . , ψ(k) =
∑∞
m=k
4ψ(k) умови (4) – (6) виконуються, а
умова (3) — нi [10, с. 217].
Нехай далi L — простiр сумовних 2π-перiодичних функцiй iз нормою ‖f‖L =
∫ π
−π
|f(t)|dt,
L(T ) — простiр сумовних на T функцiй iз нормою ‖f‖L(T ) =
∫ π
−π
|f(eit)|dt, L∞(T ) — простiр
iстотно обмежених на T функцiй iз нормою ‖f‖L∞(T ) = vrai supz∈T |f(z)| <∞ та L∞(T )+ =
= {f ∈ L∞(T ) : f̂(−k) = 0, k ∈ N} [5, с. 261].
Множину функцiй f ∈ L∞(T )+, для яких
∞∑
k=1
1
ψ(k)
f̂(k)eikt
є рядом Фур’є деякої функцiї fψ ∈ L∞(T )+, позначимо через Lψ∞(T )+.
Зазначимо, що згiдно з теоремою Голубєва – Привалова [11, с. 202] простiр L∞(T )+ є
простором граничних значень аналiтичних в D функцiй f, що зображуються iнтегралом Кошi.
Тому коефiцiєнти Тейлора – Маклорена таких функцiй збiгаються з коефiцiєнтами Фур’є їх
граничних значень, тобто
f (k)(0)
k!
= f̂(k), k = 0, 1, 2, . . . .
Має мiсце наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА 1605
Теорема 1. Нехай ψ(k) ∈ C, k = 0, 1, 2, . . . , — послiдовнiсть, для якої виконуються умови
(4) – (6) та ψ(k) 6= 0. Тодi для довiльної функцiї f ∈ Hψ
∞ та будь-якого n ∈ N справджується
нерiвнiсть
‖rn(f, z)‖∞ ≤
(
1
π
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
+O(1) (Vn(ψ) +Bn(ψ))
)
En(fψ). (7)
Крiм того, iснує функцiя Φ(z) ∈ Hψ
∞ така, що Φψ(z) = ϕ(z) ∈ UH∞, для якої в (7) матиме
мiсце знак рiвностi, тобто
‖rn(Φ, z)‖∞ =
(
1
π
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
+O(1) (Vn(ψ) +Bn(ψ))
)
En(ϕ), (8)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n та f,
Vn(ψ) =
∞∑
k=n
|4ψ(k)|
та
Bn(ψ) =
∞∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
m=1
4ψ(n+ k −m)−4ψ(n+ k +m)
m
∣∣∣∣∣∣ .
Для доведення даної теореми сформулюємо допомiжнi твердження щодо оцiнок iнтегралiв
вiд модулiв тригонометричних рядiв над полем комплексних чисел C та оцiнок деяких числових
сум i рядiв. Кожне з цих тверджень, на нашу думку, має i самостiйне значення.
Лема 1. Якщо послiдовнiсть комплексних чисел ψ = {ψ(k)}∞k=1 є такою, що для кожного
n ∈ N тригонометричний ряд
2
n∑
k=1
ψ(k) cos kx+
2n+1∑
k=n+1
kψ(k)
n+ 1
cos kx−
−i
2n+1∑
k=n+1
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k) sin kx+ 2
∞∑
k=2n+2
ψ(k) cos kx
є рядом Фур’є деякої сумовної 2π-перiодичної функцiї Ψ1(x), то клас Hψ
∞ складається з ана-
лiтичних в D i неперервних в D функцiй f, граничнi значення яких на колi T зображуються у
виглядi згортки
f(eiθ) =
a0
2
+
1
2π
π∫
−π
fψ(eit)Ψ1(t− θ)dt,
де fψ ∈ L∞(T )+ i ‖fψ‖L∞(T ) ≤ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1606 М. В. ГАЄВСЬКИЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
Доведення. Оскiльки за означенням класу Hψ
∞ ψ-похiдна fψ належить UH∞, то майже
скрiзь на колi iснують недотичнi граничнi значення, якi будемо позначати теж fψ i fψ ∈
∈ L∞(T )+, а отже, для довiльного k ∈ Z+ справджується спiввiдношення∫
T
fψ(w)wkdw = 0.
Крiм того, має мiсце зображення
ak =
ψ(k)
2πi
∫
T
fψ(w)
wk+1
dw,
пiдставивши яке у формулу (1), отримаємо
f(z) =
a0
2
+
1
2πi
∫
T
fψ(w)
∞∑
k=1
ψ(k)(zw)k
dw
w
=
=
a0
2
+
1
2πi
∫
T
fψ(w)
( ∞∑
k=1
ψ(k)(zw)k +
∞∑
k=1
µ(k)(zw)k
)
dw
w
, z ∈ D,
де послiдовнiсть µ(k) задано таким чином:
µ(k) =
ψ(k) при k ∈ [1, n],(
−1 +
k
n+ 1
)
ψ(k) при k ∈ [n+ 1, 2n+ 1],
ψ(k) при k ≥ 2n+ 2.
Покладемо z = reiθ, r ∈ [0, 1), та w = eit i спростимо вираз у дужках пiд iнтегралом:
∞∑
k=1
ψ(k)(zw)k +
∞∑
k=1
µ(k)(zw)k =
∞∑
k=1
ψ(k)rke−ik(t−θ)+
+
∞∑
k=1
µ(k)rkeik(t−θ) =
∞∑
k=1
ψ(k)rke−ik(t−θ)+
+
n∑
k=1
ψ(k)rkeik(t−θ) +
2n+1∑
k=n+1
(
−1 +
k
n+ 1
)
ψ(k)rkeik(t−θ)+
+
∞∑
k=2n+2
ψ(k)rkeik(t−θ) =: Ψr(t− θ).
Виконавши елементарнi перетворення, отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА 1607
Ψr(t− θ) = 2
n∑
k=1
ψ(k)rk cos k(t− θ) +
2n+1∑
k=n+1
k
n+ 1
ψ(k)rk cos k(t− θ)−
−i
2n+1∑
k=n+1
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k)rk sin k(t− θ) + 2
∞∑
k=2n+2
ψ(k)rk cos k(t− θ), 0 < r < 1.
Оскiльки за умовою теореми Ψ1 ∈ L, то згiдно з [12, с. 54]
Ψr(t− θ) =
1
π
π∫
−π
Ψ1(t− τ)Pr(θ − τ)dτ,
де
Pr(θ − τ) =
1
2
+
∞∑
k=1
rk cos k(θ − τ) =
1− r2
2(1− 2r cos (θ − τ) + r2)
,
та
f(reiθ) =
a0
2
+
1
2π
π∫
−π
fψ(eit)Ψr(t− θ)dt =
=
a0
2
+
1
2π2
π∫
−π
π∫
−π
fψ(eit)Ψ1(t− τ)Pr(θ − τ)dτdt =
=
1
4π
π∫
−π
F (τ)
1− r2
1− 2r cos (θ − τ) + r2
dτ, (9)
де
F (τ) =
a0
2
+
1
2π
π∫
−π
fψ(eit)Ψ1(t− τ)dt.
Вiдомо (див., наприклад, [13, с. 138]), що функцiя F, як згортка двох 2π-перiодичних
функцiй fψ(eit) ∈ L∞(T ) та Ψ1(t) ∈ L1(T ), є 2π-перiодичною та неперервною на [0, 2π)
функцiєю. Тому iнтеграл (9) є iнтегралом Пуассона неперервної функцiї i за теоремою Фату
має некутовi граничнi значення, отже, функцiя f неперервно продовжується в замкнений круг
D i буде виконуватись f(eit) = limz→eit f(z) = F (t).
Лему доведено.
Лема 2. 1. Якщо коефiцiєнти ряду
∑∞
k=1
ak sin kx, ak ∈ C, задовольняють умови (4) – (6),
то цей ряд є збiжним i для довiльного s ∈ N має мiсце оцiнка∣∣∣∣∣∣∣
π∫
π
2s+1
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
ak sin kx
∣∣∣∣∣ dx−
s∑
k=1
|ak|
k
∣∣∣∣∣∣∣ ≤M
(
V (a) +B(a)
)
. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1608 М. В. ГАЄВСЬКИЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
2. Якщо коефiцiєнти ряду
a0
2
+
∑∞
k=1
ak cos kx, ak ∈ R, задовольняють умови (4) – (6), то
для довiльного m ∈ N має мiсце оцiнка∣∣∣∣∣∣
π∫
0
∣∣∣∣∣
∞∑
k=m
ak cos kx
∣∣∣∣∣ dx− 2
π
m∑
k=1
|am+k|
k
∣∣∣∣∣∣ ≤M
(
Vm(a) +Bm(a)
)
. (11)
3. Якщо коефiцiєнти ряду
a0
2
+
∑∞
k=1
ak cos kx, ak ∈ R, задовольняють умови (4) – (6), то
має мiсце оцiнка
π∫
0
∣∣∣∣∣a02 +
∞∑
k=1
ak cos kx
∣∣∣∣∣ dx ≤M(V (a) +B(a)
)
. (12)
(Тут та далi символом M будемо позначати абсолютнi сталi, можливо неоднаковi у рiзних
формулах.)
Перше твердження леми є узагальненням результатiв Теляковського [14] i отримано з вико-
ристанням його методу. Дiйсно, проводячи мiркування аналогiчно [14] i вважаючи, що коефi-
цiєнти ak є комплексними, та використовуючи нерiвнiсть
|<ak|+ |=ak|
2
≤ |ak| ≤ |<ak|+ |=ak|,
отримуємо першу частину леми.
Друге твердження леми є наслiдком теореми 1 з [15, с. 73], а третє отримано в [16].
Лема 3. Якщо послiдовнiсть чисел a = {ak} задовольняє умови (4) – (6) i послiдовностi b,
c та d задано таким чином:
b = {bk} =
0 при k ∈ [0, n]
⋃
[2n+ 2,∞),(
k
n+ 1
− 2
)
ak при k ∈ [n+ 1, 2n+ 1],
c = {ck} =
0 при k ∈ [0, n],(
k
n+ 1
− 1
)
ak при k ∈ [n+ 1, 2n+ 1],
ak при k ≥ 2n+ 2
та
d = {dk} =
(
k
n+ 1
− 1
)
ak при k ∈ [0, n],
0 при k > n,
то мають мiсце спiввiдношення
Bn(b) ≤M
(
Vn(a) +Bn(a)
)
, (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА 1609
Bn(c) ≤M
(
Vn(a) +Bn(a)
)
(14)
та
Bn(d) ≤M
(
Vn(a) +Bn(a)
)
. (15)
Доведення. Спочатку встановимо спiввiдношення (13). Для скорочення запису позначимо
λ
(n)
k =
0 при k ∈ [0, n]
⋃
[2n+ 2,∞),
2− k
n+ 1
при k ∈ [n+ 1, 2n+ 1],
тодi bk = −λ(n)k ak та
∞∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4bn+k−ν −4bn+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣ =
=
2n+2∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4(λ
(n)
n+k−νan+k−ν)−4(λ
(n)
n+k+νan+k+ν)
ν
∣∣∣∣∣∣ =
=
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4(λ
(n)
n+k−νan+k−ν)−4(λ
(n)
n+k+νan+k+ν)
ν
∣∣∣∣∣∣+
+
2n+2∑
k=n+1
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4(λ
(n)
n+k−νan+k−ν)
ν
∣∣∣∣∣∣ =: Σ1 + Σ2.
Оцiнимо спочатку Σ2. Застосувавши перетворення Абеля, отримаємо
Σ2 :=
2n+2∑
k=n+1
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4(λ
(n)
n+k−νan+k−ν)
ν
∣∣∣∣∣∣ =
=
2n+2∑
k=n+1
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
λ
(n)
n+k−νan+k−ν
ν
−
[k/2]∑
ν=1
λ
(n)
n+k−ν+1an+k−ν+1
ν
∣∣∣∣∣∣ =
=
2n+2∑
k=n+1
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
λ
(n)
n+k−νan+k−ν
ν
−
[k/2]−1∑
ν=0
λ
(n)
n+k−νan+k−ν
ν + 1
∣∣∣∣∣∣ =
=
2n+2∑
k=n+1
∣∣∣∣∣∣
λ
(n)
n+k−[k/2]an+k−[k/2]
[k/2]
− λ(n)n+kan+k +
[k/2]−1∑
ν=1
λ
(n)
n+k−νan+k−ν
ν(ν + 1)
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1610 М. В. ГАЄВСЬКИЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
≤ max
n+1≤k≤2n+2
λ
(n)
k |ak|
2n+2∑
k=n+1
1
[k/2]
+ λ
(n)
2n+1|a2n+1|+
+ max
n+1≤k≤2n+2
|ak|
2n+2∑
k=n+1
[k/2]−1∑
ν=1
λ
(n)
n+k−ν
(
1
ν
− 1
ν + 1
)
. (16)
Розглянемо суму
2n+2∑
k=n+1
[k/2]−1∑
m=1
λ
(n)
n+k−m
(
1
m
− 1
m+ 1
)
=
=
2n+2∑
k=n+1
k−1∑
m=k−[k/2]+1
λ
(n)
n+m
(
1
k −m
− 1
k −m+ 1
)
=
=
2n+2∑
k=n+2
k−1∑
m=k−[k/2]+1
λ
(n)
n+m
(
1
k −m
− 1
k −m+ 1
)
+
+
n∑
m=n−[(n+1)/2]+2
λ
(n)
n+m
(
1
n+ 1−m
− 1
n+ 2−m
)
≤
≤
n+1∑
m=n+2−[n/2]
2n+2∑
k=2m
(
2− n+m
n+ 1
)(
1
k −m
− 1
k −m+ 1
)
+
+ max
n+1≤m≤2n
λ(n)m
n∑
m=n+2−[(n+1)/2]
(
1
n+ 1−m
− 1
n+ 2−m
)
≤M.
Згiдно зi спiввiдношенням (4) виконується нерiвнiсть |an| ≤ Vn(a), тому остаточно з (16)
отримуємо оцiнку
Σ2 ≤MVn(a).
Оцiнимо тепер Σ1. Зауважимо, що при k ≥ n будуть виконуватися такi спiввiдношення:
4λ(n)k =
−1 при k = n,
1
n+ 1
при k ∈ [n+ 1, 2n+ 1],
0 при k ∈ [2n+ 2,∞)
та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА 1611
42λ
(n)
k =
−1− 1
n+ 1
при k = n,
1
n+ 1
при k = 2n+ 1,
0 при всiх iнших k > n.
Тодi
Σ1 =
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4(λ
(n)
n+k−νan+k−ν)−4(λ
(n)
n+k+νan+k+ν)
ν
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
an+k−ν4λ
(n)
n+k−ν − an+k+ν4λ
(n)
n+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣+
+
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
λ
(n)
n+k−ν4an+k−ν − λ
(n)
n+k+ν4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣ =: Σ1
1 + Σ2
1.
Для оцiнки Σ1
1 використаємо нерiвнiсть [15] (лема 1)
∞∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
m=1
4αk−m −4αk+m
m
∣∣∣∣∣∣ ≤M
∞∑
k=1
k42|αk−1|, (17)
в якiй покладемо 4αk = an+k4λ
(n)
n+k, тому
42αk = 4an+k4λ
(n)
n+k + an+k+142λ
(n)
n+k+1 =
−4an при k = 0,
4an+k
n+ 1
при k ∈ [1, n],
4a2n+1
n+ 1
+
a2n+1
n+ 1
при k = n+ 1,
0 при k ≥ n+ 2.
Отже,
Σ1
1 ≤ |4an|+
n+1∑
k=1
k
n+ 1
|4an+k|+ |a2n+1| ≤MVn(a).
Оцiнимо Σ2
1 :
Σ2
1 =
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
λ
(n)
n+k−ν4an+k−ν − λ
(n)
n+k+ν4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1612 М. В. ГАЄВСЬКИЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
≤
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
λ
(n)
n+k−ν4an+k−ν − λ
(n)
n+k−ν4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣+
+
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
λ
(n)
n+k−ν4an+k+ν − λ
(n)
n+k+ν4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣ =
=
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
λ
(n)
n+k−ν
4an+k−ν −4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣+
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4an+k+ν
λ
(n)
n+k−ν − λ
(n)
n+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣ .
Оцiнимо другий доданок останнього спiввiдношення. Для цього зазначимо, що при k ≥ n
справджується спiввiдношення
λ
(n)
k = 2− min{k, 2n+ 2}
n+ 1
,
тому
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4an+k+ν
λ
(n)
n+k−ν − λ
(n)
n+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
n+ 1
n∑
k=2
[k/2]∑
ν=1
|4an+k+ν |
min{n+ k + ν, 2n+ 2} −min{n+ k − ν, 2n+ 2}
ν
≤
≤ 1
n+ 1
n∑
k=2
[k/2]∑
ν=1
|4an+k+ν |
min{n+ k + ν, 2n+ 2} − n− k + ν
ν
=
=
1
n+ 1
n∑
k=2
[k/2]∑
ν=1
|4an+k+ν |
min{2ν, n− k + ν + 2}
ν
.
Оскiльки величина
min{2ν, n− k + ν + 2} − n+ k − ν
ν
при заданих значеннях параметрiв n, k та ν є обмеженою, то остаточно маємо
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4an+k+ν
λ
(n)
n+k−ν − λ
(n)
n+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣ ≤ M
n+ 1
n∑
k=2
[k/2]∑
ν=1
|4an+k+ν | ≤MVn(a).
Отже,
Σ2
1 ≤
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
λ
(n)
n+k−ν
4an+k−ν −4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣+MVn(a) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА 1613
=
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
(
2− n+ k − ν
n+ 1
)
4an+k−ν −4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣+MVn(a) ≤
≤
n∑
k=2
(
2− n+ k
n+ 1
) ∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4an+k−ν −4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣+
+
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
ν
n+ 1
4an+k−ν −4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣+MVn(a) ≤
≤M
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4an+k−ν −4an+k+ν
ν
∣∣∣∣∣∣+
+
n∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
ν=1
4an+k−ν −4an+k+ν
n+ 1
∣∣∣∣∣∣+MVn(a) ≤M
(
Vn(a) +Bn(a)
)
.
Склавши отриманi оцiнки разом, отримаємо спiввiдношення (13).
Спiввiдношення (14) випливає з (13). Дiйсно, легко бачити, що
Bn(c)−Bn(a) ≤ Bn(b).
Оцiнювання спiввiдношення (15) проводиться за схемою оцiнювання величини Σ1.
Лему 3 доведено.
Доведення теореми 1. З леми 1 згiдно з принципом максимуму модуля випливає спiввiд-
ношення
‖f(z)− Sn(f, z)‖∞ = ‖f(eit)− Sn(f, eit)‖L∞(T ).
Отже, задача отримання нерiвностi типу Лебега – Ландау на класi Hψ
∞ зводиться до отримання
аналогiчних нерiвностей на класi Lψ∞(T )+.
Для f ∈ Hψ
∞ граничнi значення будемо позначати тим самим символом f(eiθ), f ∈ Lψ∞(T )+.
З урахуванням леми 1 можемо записати
f(eiθ) =
a0
2
+
1
2π
π∫
−π
fψ
(
ei(t+θ)
)(
2
n∑
k=1
ψ(k) cos kt− 2
2n+1∑
k=n+1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k) cos kt +
+2
∞∑
k=2n+2
ψ(k) cos kt+
2n+1∑
k=n+1
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k)e−ikt
)
dt. (18)
Аналогiчно
Sn(f, eiθ) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
fψ(ei(t+θ))
n∑
k=1
ψ(k) cos ktdt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1614 М. В. ГАЄВСЬКИЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
тому
rn(f, eiθ) =
1
2π
π∫
−π
fψ
(
ei(t+θ)
)(
2
2n+1∑
k=n+1
(
k
n+ 1
− 1
)
ψ(k) cos kt +
+ 2
∞∑
k=2n+2
ψ(k) cos kt+
2n+1∑
k=n+1
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k)e−ikt
)
dt. (19)
Нехай pn(z) =
∑n
k=0
αkz
k — полiном степеня не вищого за n, який є полiномом найкращого
наближення функцiї fψ. Легко перевiрити, що
π∫
−π
pn
(
ei(t+θ)
)(
2
2n+1∑
k=n+1
(
k
n+ 1
− 1
)
ψ(k) cos kt +
+ 2
∞∑
k=2n+2
ψ(k) cos k +
2n+1∑
k=n+1
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k)e−ikt
)
dt = 0,
тому
rn(f, eiθ) =
1
2π
π∫
−π
(
fψ(ei(t+θ))− pn(ei(t+θ))
)(
2
2n+1∑
k=n+1
(
k
n+ 1
− 1
)
ψ(k) cos kt +
+ 2
∞∑
k=2n+2
ψ(k) cos kt+
2n+1∑
k=n+1
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k)e−ikt
)
dt. (20)
Тодi з (20) отримуємо
‖rn(f, eiθ)‖∞ ≤ En(fψ)
1
2π
π∫
−π
∣∣∣∣∣2
2n+1∑
k=n+1
(
k
n+ 1
− 1
)
ψ(k) cos ktdt+
+2
∞∑
k=2n+2
ψ(k) cos kt
∣∣∣∣∣dt+ En(fψ)
1
2π
π∫
−π
∣∣∣∣∣
2n+1∑
k=n+1
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k)e−ikt
∣∣∣∣∣ dt. (21)
До дiйсної та уявної частин пiдiнтегральної функцiї першого доданка з останнього спiввiдно-
шення застосуємо (11), взявши m = n. Врахувавши (14) та нерiвнiсть
|<z|+ |=z|
2
≤ |z| ≤
≤ |<z|+ |=z|, одержимо
1
2π
π∫
−π
∣∣∣∣∣2
2n+1∑
k=n+1
(
k
n+ 1
− 1
)
ψ(k) cos kt+ 2
∞∑
k=2n+2
ψ(k) cos kt
∣∣∣∣∣ dt =
= O(1)(Vn(ψ) +Bn(ψ)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА 1615
Тому далi з (21) отримаємо
‖rn(f, eiθ)‖∞ ≤ En(fψ)
(
1
2π
π∫
−π
∣∣∣∣∣
n∑
k=0
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1)e−ikt
∣∣∣∣∣ dt+
+O(1)(Vn(ψ) +Bn(ψ))
)
. (22)
Згiдно зi спiввiдношеннями (12) та (15) має мiсце оцiнка
1
2π
π∫
−π
∣∣∣∣∣
n∑
k=0
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1) cos kt
∣∣∣∣∣ dt ≤ O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
,
тому (22) запишемо так:
‖rn(f, eiθ)‖∞ ≤ En(fψ)
(
1
2π
π∫
−π
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1) sin kt
∣∣∣∣∣ dt+
+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
))
. (23)
До iнтеграла у правiй частинi (23) застосуємо оцiнки (10) та (15). Отже,
π∫
0
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1) sin kt
∣∣∣∣∣ dt =
=
n∑
k=1
1
k
(
1− k
n+ 1
)
|ψ(k + n+ 1)|+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
=
=
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
− 1
n+ 1
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
=
=
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
. (24)
З урахуванням (24) остаточно отримаємо
‖rn(f, z)‖∞ ≤
(
1
π
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
))
En(fψ).
Першу частину теореми доведено.
Для доведення другої частини теореми досить встановити для деякої функцiї Φ ∈ Hψ
∞
оцiнку знизу, тобто слiд показати iснування такої функцiї ϕ ∈ UH∞, що Φψ(·) = ϕ(·) та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1616 М. В. ГАЄВСЬКИЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
‖rn(Φ, z)‖∞ ≥
1
π
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
+O
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
.
Використавши нерiвнiсть |rn(Φ, 1)| ≤ ‖rn(Φ, z)‖∞, зi спiввiдношення (19) та (14) одержимо
|rn(Φ, ei0)| =
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
π∫
−π
ϕ(eit)
(
2
2n+1∑
k=n+1
(
k
n+ 1
− 1
)
ψ(k) cos kt+
+ 2
∞∑
k=2n+2
ψ(k) cos kt+
2n+1∑
k=n+1
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k)e−ikt
)
dt
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
π∫
−π
ϕ(eit)
2n+1∑
k=n+2
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k)e−iktdt
∣∣∣∣∣∣+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
. (25)
Виконаємо такi перетворення iнтеграла:
π∫
−π
ϕ(eit)
2n+1∑
k=n+2
(
2− k
n+ 1
)
ψ(k)e−iktdt =
=
π∫
−π
ϕ(eit)
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1)e−i(k+n+1)tdt =
=
π∫
−π
ϕ(eit)
ei(n+1)t
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1)e−iktdt =
=
π∫
−π
ϕ(eit)
ei(n+1)t
(
2
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1) cos kt−
−i
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1) sin kt−
−
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1) cos kt
)
dt =
= 2
π∫
−π
ϕ(eit)
ei(n+1)t
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1) cos ktdt−
−
π∫
−π
ϕ(eit)
ei(n+1)t
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1)eiktdt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА 1617
Використавши оцiнки (12) та (15), з останнього спiввiдношення та (25) отримаємо оцiнку
∣∣rn(Φ, ei0)
∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
π∫
−π
ϕ(eit)
ei(n+1)t
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1)eiktdt
∣∣∣∣∣∣+
+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
. (26)
Розглянемо полiном Pn(z) =
∑n
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n + 1)zk. За його коефiцiєнтами
можемо побудувати многочлен Q2n(z) порядку 2n та функцiю ϕ з вказаними нижче властивос-
тями.
Як вiдомо [17, с. 489] (теорема 6), iснує єдиний многочлен Q2n(z) вигляду
Q2n(z) = (α0 + . . .+ ανz
ν)2(β0 + . . .+ βn−νz
n−ν)(βn−ν + . . .+ β0z
n−ν),
де ν ≤ n, α0 + . . .+ ανz
ν 6= 0 при |z| ≤ 1, α та β пов’язанi спiввiдношенням
Q2n(z) =
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
ψ(k + n+ 1)zk +
2n∑
k=n+1
%kz
k.
При цьому полiном Q2n(z) серед усiх аналiтичних в одиничному крузi функцiй f, для яких
Sn(f, z) = Pn(z), z ∈ D, дає найменше значення для величини
sup
0<r<1
2π∫
0
|f(reit)|dt.
Покладемо тепер
ϕ(z) = ε
αν + . . .+ α0z
ν
α0 + . . .+ ανzν
, |ε| = 1,
до того ж функцiя ϕ(z) буде мати такi властивостi [17, с. 491, 492]:
1) майже скрiзь |ϕ(z)| ≤ 1 та ϕ(z) є аналiтичною при z ≤ 1;
2) arg
ϕ(z)Q2n(z)
zn
= const майже скрiзь на |z| = 1 i, як наслiдок, має мiсце рiвнiсть∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ(eit)Q2n(eit)
ei(n+1)t
dt
∣∣∣∣∣∣ =
π∫
−π
|ϕ(eit)Q2n(eit)|dt =
π∫
−π
|Q2n(eit)|dt.
Отже, враховуючи викладене вище, (26) записуємо у виглядi
|rn(Φ, ei0)| =
∣∣∣∣∣∣ 1
2π
π∫
−π
ϕ(eit)
ei(n+1)t
Q2n(eit)dt
∣∣∣∣∣∣+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
=
=
1
2π
π∫
−π
|Q2n(eit)|dt+O(1)(Vn(ψ) +Bn(ψ)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
1618 М. В. ГАЄВСЬКИЙ, П. В. ЗАДЕРЕЙ
Оскiльки Q2n(z) належить простору Гардi (див., наприклад, [12, с. 63]), то до останнього
iнтеграла застосуємо нерiвнiсть Гардi – Лiттлвуда [18, с. 454]. Отримаємо
|rn(Φ, ei0)| ≥ 1
π
n∑
k=1
(
1− k
n+ 1
)
|ψ(k + n+ 1)|
k
+
2n∑
k=n+1
|%k|
k
+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
≥
≥ 1
π
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
.
З урахуванням нерiвностi En(f) ≤ ‖f‖∞ ≤ 1, f ∈ UH∞ можемо записати
‖rn(Φ, z)‖∞ ≥ |rn(Φ, z = 1)| ≥
≥ 1
π
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
≥
≥
(
1
π
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
))
En(ϕ).
Другу частину теореми доведено.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай ψ(k) ∈ C, k = 0, 1, 2, . . . , — послiдовнiсть, для якої виконуються умови
(4) – (6) та |ψ(k)| 6= 0. Тодi для довiльної функцiї f ∈ Hψ
∞ та будь-якого n ∈ N справджується
спiввiдношення
sup
f∈Hψ
∞
‖rn(f, z)‖∞ =
1
π
n∑
k=1
|ψ(k + n+ 1)|
k
+O(1)
(
Vn(ψ) +Bn(ψ)
)
,
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n та f.
Оцiнка зверху величини sup
f∈Hψ
∞
‖rn(f, z)‖∞ випливає з теореми 1 та нерiвностi En(f) ≤
≤ ‖f‖∞ ≤ 1, f ∈ UH. Оцiнку знизу отримано у другiй частинi доведення теореми 1.
Зауваження 1. У випадку, коли ψ1, ψ2 (ψ(k) = ψ1(k) + iψ2(k), k = 0, 1, 2, . . . , є опуклими
донизу функцiями, як встановлено О. I. Степанцем (див., наприклад, [13, с. 27]), рiвнiсть (8)
є асимптотично точною, тобто залишковий член має порядок менший за порядок головного
члена. Асимптотично точною формула (8) буде, зокрема, i у випадку монотонно спадних до
0 послiдовностей, тобто коли ψ1(k) ≥ ψ1(k + 1), ψ2(k) ≥ ψ2(k + 1) за умов limψ1(k) = 0,
limψ2(k) = 0, k −→∞. Дiйсно, тодi
∞∑
k=n+1
|4ψ1(k)| =
∞∑
k=n
4ψ1(k) = ψ1(n)
та має мiсце оцiнка (доведення див. у [19, с. 102])
∞∑
k=2
∣∣∣∣∣∣
[k/2]∑
l=1
4ψ1(k + n− l)−4γ(k + n+ l)
l
∣∣∣∣∣∣ ≤Mψ1(n+ 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
НАБЛИЖЕННЯ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ ЧАСТИННИМИ СУМАМИ ЇХ РЯДIВ ТЕЙЛОРА 1619
Аналогiчно буде для ψ2. Прикладами таких послiдовностей є, наприклад, ψ(k) =
1
k
+
+
1
k2
∣∣∣sin k π
2
∣∣∣ [19, с. 104] або 4ψ(2s) =
1
2s
та 4ψ(k) = 0, k 6= 2s, s = 0, 1, 2, 3, . . . , ψ(k) =
=
∑∞
m=k
4ψ(k) [10, с. 217].
Зауваження 2. Теореми 1 та 2 лишаються справедливими i при замiнi метрики L∞ на L1.
1. Landau E. Darstellung und Begrundung einiger neuer Ergebnisse der Funktionentheorie. – Berlin, 1916.
2. Стечкин С. Б. Оценка остатка ряда Тейлора для некоторых классов аналитических функций // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1953. – 17, № 5. – C. 461 – 472.
3. Scheik J. T. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc. – 1966. – 17, № 6. –
P. 1238 – 1243.
4. Степанец А. И., Савчук В. В. Приближения интегралов типа Коши // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 5. –
С. 706 – 740.
5. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – 40,
ч. 2. – 468 с.
6. Савчук В. В. Швидкiсть збiжностi ряду Тейлора для деяких класiв аналiтичних функцiй // Укр. мат. журн. –
1998. – 50, № 7. – С. 1001 – 1003.
7. Швецова А. М. Приближение частными суммами ряда Тейлора и наилучшее приближение некоторых классов
функций, аналитических в единичном круге // Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту. Сер. Математика, прикл. математика i
механiка. – 2000. – 475. – С. 208 – 217.
8. Гаєвський М. В., Задерей П. В. Наближення аналiтичних функцiй лiнiйними методами пiдсумовування їх рядiв
Тейлора // Тези доп. Всеукр. наук. конф. „Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та математичного аналiзу”. –
Iвано-Франкiвськ: Прикарпат. нац. ун-т iм. В. Стефаника, 2014.
9. Гаєвський М. В., Задерей П. В. Про лiнiйнi методи пiдсумовування рядiв Тейлора аналiтичних функцiй // Тези
Мiжнар. мат. конф. „Диференцiальнi рiвняння, обчислювальна математика, теорiя функцiй та математичнi
методи механiки”. – Київ: Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка, 2014.
10. Фомин Г. А. Об одном классе тригонометрических рядов // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 2. – С. 213 – 222.
11. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950. – 336 c.
12. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 331 c.
13. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – 40,
ч. 1. – 427 с.
14. Теляковский С. А. Асимптотическая оценка интеграла от модуля функции, заданной рядом из синусов // Сиб.
мат. журн. – 1967. – 8, № 6. – C. 1416 – 1422.
15. Теляковский С. А. Оценка нормы функции через ее коэффициенты Фурье, удобная в задачах теории аппрокси-
мации // Приближение периодических функций: Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1971. – 109. – С. 65 – 97.
16. Теляковский С. А. Условия интегрируемости тригонометрических рядов и их приложение к изучению линейных
методов суммирования рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1964. – 28, № 6. – С. 1209 – 1236.
17. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966. – 628 с.
18. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.
19. Задерей П. В. Об уклонении (ψ, β̄)-дифференцируемых периодических функций от линейных средних их
рядов Фурье. – Варшава, 1990. – 110 с.
Одержано 19.12.14,
пiсля доопрацювання — 27.04.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 12
|