Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі
Вычислены величины наилучших приближений ядра Коши на действительной оси R некоторыми подпространствами из Lq(R). Приведено применение полученного результата к вычислению точных верхних граней поточечных отклонений функций из единичного шара пространства Харди Hp,2≤p<∞, от некоторых интерполяцион...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166312 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі / В.В. Савчук, С.О. Чайченко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1540–1549. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166312 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1663122025-02-23T19:47:08Z Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі Best approximations for the Cauchy kernel on the real axis Савчук, В.В. Чайченко, С.О. Статті Вычислены величины наилучших приближений ядра Коши на действительной оси R некоторыми подпространствами из Lq(R). Приведено применение полученного результата к вычислению точных верхних граней поточечных отклонений функций из единичного шара пространства Харди Hp,2≤p<∞, от некоторых интерполяционных операторов с узлами интерполяции в заданной системе точек верхней полуплоскости и некоторых линейных средних рядов Фурье по системе Такенака-Мальмквиста. We compute the values of the best approximations for the Cauchy kernel on the real axis R by some subspaces from Lq(R). This result is applied to the evaluation of the sharp upper bounds for pointwise deviations of certain interpolation operators with interpolation nodes in the upper half plane and certain linear means of the Fourier series in the Takenaka–Malmquist system from the functions lying in the unit ball of the Hardy space Hp,2≤p<∞. 2014 Article Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі / В.В. Савчук, С.О. Чайченко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1540–1549. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166312 517.5 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Савчук, В.В. Чайченко, С.О. Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі Український математичний журнал |
| description |
Вычислены величины наилучших приближений ядра Коши на действительной оси R некоторыми подпространствами из Lq(R). Приведено применение полученного результата к вычислению точных верхних граней поточечных отклонений функций из единичного шара пространства Харди Hp,2≤p<∞, от некоторых интерполяционных операторов с узлами интерполяции в заданной системе точек верхней полуплоскости и некоторых линейных средних рядов Фурье по системе Такенака-Мальмквиста. |
| format |
Article |
| author |
Савчук, В.В. Чайченко, С.О. |
| author_facet |
Савчук, В.В. Чайченко, С.О. |
| author_sort |
Савчук, В.В. |
| title |
Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі |
| title_short |
Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі |
| title_full |
Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі |
| title_fullStr |
Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі |
| title_full_unstemmed |
Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі |
| title_sort |
найкращі наближення ядра коші на дійсній осі |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166312 |
| citation_txt |
Найкращі наближення ядра Коші на дійсній осі / В.В. Савчук, С.О. Чайченко // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 11. — С. 1540–1549. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT savčukvv najkraŝínabližennââdrakošínadíjsníjosí AT čajčenkoso najkraŝínabližennââdrakošínadíjsníjosí AT savčukvv bestapproximationsforthecauchykernelontherealaxis AT čajčenkoso bestapproximationsforthecauchykernelontherealaxis |
| first_indexed |
2025-11-24T18:57:53Z |
| last_indexed |
2025-11-24T18:57:53Z |
| _version_ |
1849699256001101824 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Kиїв),
С. О. Чайченко (Донбас. держ. пед. ун-т, Слов’янськ)
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI НА ДIЙСНIЙ ОСI
We compute the values of the best approximations of the Cauchy kernel on the real axis R by some subspaces from Lq(R).
This result is applied to the evaluation of the exact upper bounds for pointwise deviations of certain interpolation operators
with interpolation nodes in the upper half plane and certain linear means of the Fourier series in the Takenaka–Malmquist
system from the functions in a unit ball of the Hardy space Hp, 2 ≤ p <∞.
Вычислены величины наилучших приближений ядра Коши на действительной оси R некоторыми подпространст-
вами из Lq(R). Приведено применение полученного результата к вычислению точных верхних граней поточечных
отклонений функций из единичного шара пространства Харди Hp, 2 ≤ p < ∞, от некоторых интерполяционных
операторов с узлами интерполяции в заданной системе точек верхней полуплоскости и некоторых линейных средних
рядов Фурье по системе Такенака – Мальмквиста.
Нехай Hp, p ≥ 1, — простiр Гардi, який складається з функцiй f , голоморфних у верхнiй
пiвплощинi C+ := {z ∈ C : Im z > 0}, для яких
‖f‖Hp := sup
y>0
1
π
∞∫
−∞
|f(x+ iy)|pdx
1/p
<∞.
Вiдомо [1] (теорема 2) (див. також [2, c. 291]), що кожна функцiя f iз простору Hp має
майже скрiзь на дiйснiй осi R = ∂C+ недотичнi граничнi значення (за якими залишимо те ж
саме позначення f ), якi належать простору Lp(R), причому
‖f‖Hp = ‖f‖p :=
1
π
∞∫
−∞
|f(t)|pdt
1/p
.
Ядром Кошi для площини C називається функцiя C : C2 → C, визначена так:
C(t, z) =
−1
2i(t− z)
, t, z ∈ C, t 6= z.
Вiдомо [1] (теорема 14), що функцiя C є твiрним ядром простору Hp, 1 ≤ p < ∞, тобто в
будь-якiй точцi z ∈ C+
f(z) = 〈f, C(·, z)〉 ∀f ∈ Hp, (1)
де
〈g, h〉 :=
1
π
∞∫
−∞
g(x)h(x)dx.
Нехай n ∈ N, an := {ak}n−1
k=0 — послiдовнiсть n точок в C+ i R(an) — сiм’я рацiональних
функцiй Rn вигляду
c© В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО, 2014
1540 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI НА ДIЙСНIЙ ОСI 1541
Rn(t) =
n−1∑
k=0
bk
(t− ak)sk
,
де bk ∈ C, 1 ≤ sk ≤ k, sk — кратнiсть появи точки ak у вiдрiзку {aj}k−1
j=0 послiдовностi an.
В [3, 4, с. 280] показано, що
min
{
‖C(z, ·)−Rn(·)‖2 : Rn ∈ R(an)
}
=
1
2
√
Im z
n−1∏
k=0
∣∣∣∣z − akz − ak
∣∣∣∣ ∀ z ∈ C+, (2)
а мiнiмум досягається для функцiї R∗n(t) = Sn(t, z), де
Sn(t, z) :=
n−1∑
k=0
ck(z)
1
t− ak
k−1∏
j=0
t− aj
t− aj
, ck(z) =
Im ak
z − ak
k−1∏
j=0
z − aj
z − aj(
добуток
∏−1
j=0
покладається рiвним одиницi
)
.
Окрiм великого значення в теорiї рацiонального наближення голоморфних функцiй зH2 цей
результат є важливим ще й в теорiї iнтерполяцiї. А саме, з рiвностi (2) випливає, що функцiя
Sn(t, ·) у верхнiй пiвплощинi C+ iнтерполює ядро Кошi C(t, ·) в точках послiдовностi an, тобто
Sn(t, ak) = C(t, ak).
Таким чином, лiнiйний оператор Un, який дiє з H2 в R(an) за правилом Un(f)(z) =
= 〈f,Sn(·, z)〉, є iнтерполяцiйним, тобто Un(f)(ak) = f(ak), k = 0, n− 1, для будь-якої функцiї
f ∈ H2. До того ж згiдно з (2) мають мiсце рiвностi
max {|f(z)− Un(f)(z)| : f ∈ H2, ‖f‖2 ≤ 1} =
= ‖C(·, z)− Sn(·, z)‖2 =
1
2
√
Im z
n−1∏
k=0
∣∣∣∣z − akz − ak
∣∣∣∣ ∀ z ∈ C+,
де максимум (при фiксованому z ∈ C+) досягається для функцiї
f∗(ζ) =
C(ζ, z)− Sn(ζ, z)
‖C(·, z)− Sn(·, z)‖2
.
У данiй статтi ми розкриємо глибше зв’язок мiж найкращим наближенням ядра Кошi на
дiйснiй осi R, екстремальними задачами теорiї iнтерполяцiї та теорiєю рядiв Фур’є за ортонор-
мованою системою Такенаки – Мальмквiста. А саме, наша мета — обчислення величини
E (z,A) := inf
{
‖C(z, ·)− g(·)‖q : g ∈ A
}
, A ⊂ Lq(R), z ∈ C+,
яка називається найкращим наближенням ядра C(·, z) у метрицi Lq(R) пiдпростором A, у
випадку, коли A = H⊥p (an) ∨ Hn⊥
p,Φ (див. означення нижче), i побудова для цих пiдпросторiв
у явному виглядi елемента найкращого наближення. Отриманий результат ми застосуємо до
обчислення точних верхнiх меж поточкових вiдхилень функцiй з одиничної кулi простору Hp,
2 ≤ p <∞, вiд певних iнтерполяцiйних операторiв iз вузлами iнтерполяцiї an i певних лiнiйних
середнiх рядiв Фур’є за системою Такенаки – Мальмквiста, яка вiдповiдає послiдовностi an.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1542 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО
Зазначимо, що аналогiчнi задачi для просторiв Гардi в одиничному крузi розв’язано в [5].
Пiдпростори H⊥p (an) i Hn⊥
p,Φ, n ∈ Z+, означаються так:
H⊥p (an) := {g ∈ Lq(R) : 〈f, g〉 = 0 ∀f ∈ Hp(an)}, 1/p+ 1/q = 1,
Hn⊥
p,Φ :=
{
g ∈ Lq(R) : 〈f, g〉 = 0 ∀f ∈ Hn
p,Φ
}
, 1/p+ 1/q = 1,
де
Hp(an) := {f ∈ Hp : f(ak) = 0, k = 0, n}, n ∈ N, Hp(a0) := Hp,
Hn
p,Φ :=
{
f ∈ Hp : 〈f,Φk〉 = 0, k = 0, n
}
, H−1
p,Φ := Hp, n ∈ Z+,
i Φ := {Φk}∞k=0 — ортонормована система Такенаки – Мальмквiста, яка означається так.
Нехай a := {ak}∞k=0 — послiдовнiсть точок в C+. Тодi
Φ0(z) :=
√
Im a0
z − a0
, Φn(z) :=
√
Im an
z − an
Bn(z), n = 1, 2, . . . ,
де
B0(z) := 1, Bn(z) :=
n−1∏
k=0
χk
z − ak
z − ak
, χk :=
|1 + a2
k|
1 + a2
k
, n = 1, 2, . . . .
Функцiя Bn називається n-добутком Бляшке з нулями в точках an.
Систему функцiй Φ увiв М. М. Джрбашян [3] за аналогiєю, як це зробили С. Такенака i
Ф. Мальмквiст (див. бiблiографiю в [3]) у випадку простору Гардi H2 в одиничному крузi.
Зокрема, в [3] показано, що система Φ є ортонормованою на дiйснiй осi R, тобто
〈Φk,Φl〉 =
{
0, k 6= l,
1, k = l,
k, l ∈ Z+.
Множину всiх систем Такенаки – Мальмквiста будемо позначати через TM .
Вiдправною точкою в наших дослiдженнях є таке твердження.
Теорема 1. Нехай 1 ≤ p <∞, n ∈ N, an — система n точок в C+ i Φ ∈ TM — система,
породжена будь-якою точковою послiдовнiстю вигляду an ∪ {bk}∞k=n, де {bk}∞k=n — довiльна
послiдовнiсть точок в C+. Тодi
Hp(an) = Hn−1
p,Φ .
З огляду на це твердження скрiзь далi будемо використовувати єдинi позначення An,p =
= Hp(an) = Hn−1
p,Φ i A⊥n,p = Hp(an)⊥ = Hn−1⊥
p,Φ (при цьому передбачається, що завжди an i Φ є
такими, як i в теоремi 1).
Лема 1 [3]. Нехай Φ належить TM. Тодi для довiльних z, ζ ∈ C, z 6= ζ, i n ∈ Z+
справджується рiвнiсть
1
2i(ζ − z)
=
n−1∑
k=0
Φk(ζ)Φk(z) +
Bn(ζ)Bn(z)
2i(ζ − z)
, (3)
де
∑−1
k=0
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI НА ДIЙСНIЙ ОСI 1543
Рiвнiсть (3) є аналогом формули Христоффеля – Дарбу для ортогональних многочленiв. Во-
на також вiдома в лiтературi пiд назвою тотожностi М. М. Джрбашяна. Доведення рiвностi (3),
наведене в [3], є громiздким i технiчно складним. Тому викликає певний iнтерес, насампе-
ред з методичної точки зору, наведення елементарного доведення. З цiєю метою розглянемо
тотожнiсть
(1− x0) + (1− x1)x0 + (1− x2)x0x1 + . . .+ (1− xn−1)x0x1 . . . xn−2 =
= 1− x0x1 . . . xn−1, (4)
яка справджується для будь-яких комплексних чисел x0, x1, . . . , xn−1, n ∈ N.
Покладемо
xk =
(z − ak)(ζ − ak)
(z − ak)(ζ − ak)
.
Тодi
1− xk =
(z − ak)(ζ − ak)− (z − ak)(ζ − ak)
(z − ak)(ζ − ak)
=
2i Im ak
(z − ak)(ζ − ak)
(ζ − z)
i згiдно з (4)
n−1∑
k=0
(1− xk)
k−1∏
j=0
xj =
n−1∑
k=0
2i Im ak
(z − ak)(ζ − ak)
(ζ − z)
k−1∏
j=0
(z − aj)(ζ − aj)
(z − aj)(ζ − aj)
=
= 1−
n−1∏
j=0
(z − aj)(ζ − aj)
(z − aj)(ζ − aj)
.
Роздiливши обидвi частини рiвностi на 2i(ζ − z) i врахувавши те, що
k−1∏
j=0
(z − aj)(ζ − aj)
(z − aj)(ζ − aj)
=
k−1∏
j=0
χj
z − aj
z − aj
·
k−1∏
j=0
χj
ζ − aj
ζ − aj
= Bk(z)Bk(ζ)
i
n−1∑
k=0
Im ak
(z − ak)(ζ − ak)
k−1∏
j=0
(z − aj)(ζ − aj)
(z − aj)(ζ − aj)
=
=
n−1∑
k=0
√
Im ak
z − ak
Bk(z)
√
Im ak
ζ − ak
Bk(ζ) =
=
n−1∑
k=0
Φk(z)Φk(ζ),
одержимо (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1544 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО
Позначимо
Cn,Φ(ζ, z) := −Bn(ζ)Bn(z)
2i(ζ − z)
.
З означення пiдпростору An,p, формули (1) i леми 1 випливає таке твердження.
Наслiдок 1. За умов теореми 1 для будь-якої функцiї f ∈ An,p, 1 ≤ p <∞, справджується
рiвнiсть
f(z) = 〈f, Cn,Φ(·, z)〉 =
Bn(z)
2πi
∞∫
−∞
f(t)Bn(t)
t− z
dt ∀z ∈ C+. (5)
Доведення теореми 1. Оскiльки Bn(ak) = 0, k = 0, 1, . . . , n − 1, то включення Hn−1
p,Φ ⊂
⊂ Hp(an) є безпосереднiм наслiдком iз формули (5).
Позначимо
f̂(j) := 〈f,Φj〉, j = 0, 1, . . . .
Для доведення включення Hp(an) ⊂ Hn−1
p,Φ скористаємося формулою (1), тотожнiстю (3) i
рiвнiстю Φj(ak) = 0, j = k + 1, . . . , n− 1:
0 = f(ak) = 〈f, C(·, ak)〉 =
=
〈
f,
n−1∑
j=0
Φj(·)Φj(ak)
〉
+Bn(ak)〈f, Cn,Φ(·, ak)〉 =
=
n−1∑
j=0
〈f,Φj〉Φj(ak) =
k∑
j=0
f̂(j)Φj(ak) ∀ f ∈ Hp(an).
Звiдси послiдовно для кожного k = 0, 1, . . . , n− 1 отримуємо f̂(k) = 0. Отже, f ∈ Hn−1
p,Φ .
Теорему 1 доведено.
Наслiдок 1, зокрема, показує, що ядра C i Cn,Φ мають властивiсть вiдтворення по вiдношен-
ню до функцiй простору Hn−1
p,Φ , але вони у вiдомому сенсi не єдинi такi твiрнi ядра. Наприклад,
ядро Пуассона
P (ζ, z) :=
Im z
|ζ − z|2
також є твiрним ядром для простору Hp, 1 ≤ p ≤ ∞ (див., наприклад, [2, с. 364 – 366]).
Нашою найближчою метою є побудова iнших твiрних ядер, надiлених певними екстремаль-
ними властивостями.
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞, n ∈ Z+ i Bn — n-добуток Бляшке системи Φ. Означимо функцiю Cp,n,Φ
правилом
Cn,p,Φ(ζ, z) :=
(
i
2
)2/p
(Im z)1−2/pBn(ζ)Bn(z)
(ζ − z)2/p
|ζ − z|2
. (6)
Покажемо, що функцiя Cp,n,Φ є твiрним ядром простору An,p при p ≥ 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI НА ДIЙСНIЙ ОСI 1545
Теорема 2. Нехай 2 ≤ p <∞, n ∈ Z+ i Φ ∈ TM . Якщо функцiя f належить пiдпростору
An,p, то для кожного z ∈ C+
f(z) = 〈f, Cn,p,Φ(·, z)〉. (7)
Доведення. Зафiксуємо z ∈ C+ i розглянемо функцiю g, визначену правилом
g(ζ) =
(
2i Im z
ζ − z
)1−2/p
f(ζ).
Зрозумiло, що функцiя g належить простору Hp при p ≥ 2.
Згiдно з теоремою 1 f(ak) = 0, k = 0, n− 1, для будь-якої функцiї f ∈ An,p. Тому
g(ak) =
(
2i Im z
ak − z
)1−2/p
f(ak) = 0, k = 0, n− 1,
а це згiдно з тiєю ж таки теоремою 1 рiвносильно тому, що i g належить пiдпростору An,p.
Застосувавши до функцiї g формулу (5), одержимо
f(z) = g(z) =
1
2πi
∞∫
−∞
(
2i Im z
t− z
)1−2/p
f(t)
Bn(z)Bn(t)
t− z
dt =
=
1
π
∞∫
−∞
f(t)Cp,n,Φ(t, z)dt = 〈f, Cn,p,Φ(·, z)〉.
Теорему 2 доведено.
Наслiдок 2. Нехай Φ належить TM . Якщо функцiя f належить просторуHp, 2 ≤ p <∞,
то для будь-якого n ∈ Z+ справджується формула
f(z) =
n−1∑
k=0
λk,n,p(z)f̂(k)Φk(z) + 〈f, Cn,p,Φ(·, z)〉 ∀ z ∈ C+, (8)
де
λk,n,p(z) = 1− 1
Φk(z)
〈Φk, Cn,p,Φ(·, z)〉, k = 0, n− 1. (9)
Справдi, функцiя f −
∑n−1
k=0
f̂(k)Φk належить пiдпростору An,p, тому за теоремою 2
〈f, Cn,p,Φ(·, z)〉 =
=
〈
f −
n−1∑
k=0
f̂(k)Φk, Cn,p,Φ(·, z)
〉
+
〈
n−1∑
k=0
f̂(k)Φk, Cn,p,Φ(·, z)
〉
=
= f(z)−
n−1∑
k=0
f̂(k)Φk(z) +
n−1∑
k=0
f̂(k) 〈Φk, Cn,p,Φ(·, z)〉 ,
що й потрiбно було довести.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1546 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО
Розглянемо лiнiйний функцiонал Fz(f) := f(z), z ∈ C+, визначений на Hp. Для його норми
‖Fz| An,p‖ := sup{|f(z)| : f ∈ An,p, ‖f‖p ≤ 1}
на пiдпросторi An,p справджується таке твердження.
Наслiдок 3. Нехай 2 ≤ p <∞, n ∈ Z+ i z ∈ C+. Тодi
‖Fz| An,p‖ = ‖Cp,n,Φ(·, z)‖q =
|Bn(z)|
(4 Im z)1/p
.
Справдi, з формули (7) за нерiвнiстю Гельдера маємо оцiнку зверху
‖Fz| An,p‖ ≤ ‖Cp,n,Φ(·, z)‖q =
|Bn(z)|
(4 Im z)1/p
, 1/p+ 1/q = 1.
Для оцiнки знизу вiзьмемо функцiю
f∗(ζ) = e−i argBn(z)Bn(ζ)
(− Im z)1/p
(ζ − z)2/p
,
яка, очевидно, є голоморфною в C+, f∗(a0) = . . . = f∗(an−1) = 0 i
‖f∗‖pp =
1
π
∞∫
−∞
|f∗(t)|pdt =
1
π
∞∫
−∞
Im z
|t− z|2
dt = 1.
Отже, f∗ належить пiдпростору An,p i тому
‖Fz| An,p‖ ≥ f∗(z) =
|Bn(z)|
(4 Im z)1/p
.
Зауваження. Згiдно зi спiввiдношенням двоїстостi (див., наприклад, [6]) справджується
рiвнiсть
‖Fz| An,p‖ = E
(
z,A⊥n,p
)
. (10)
Таким чином, згiдно з (10) i наслiдком 2 нашу мету в частинi обчислення величини
E
(
z,A⊥n,p
)
досягнуто.
Повний розв’язок поставленої задачi мiститься в такому твердженнi.
Теорема 3. Нехай 2 ≤ p < ∞, n ∈ Z+, Φ ∈ TM i Bn — n-добуток Бляшке системи Φ.
Тодi для кожного z ∈ C+
E
(
z,A⊥n,p
)
=
|Bn(z)|
(4 Im z)1/p
, (11)
а елементом найкращого наближення з пiдпростору A⊥n,p є єдина функцiя
gz(t) = C(t, z)− Cn,p,Φ(t, z). (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI НА ДIЙСНIЙ ОСI 1547
Доведення. Як зазначено вище, рiвнiсть (11) випливає з (10) за наслiдком 2.
Доведемо екстремальнiсть функцiї gz(t).
Насамперед зауважимо, що supt∈C+
|gz(t)| <∞ i
∞∫
−∞
|gz(t)|qdt ≤
∞∫
−∞
1
((t− x)2 + y2)q
dt+
∞∫
−∞
y2−q
(t− x)2 + y2
dt <∞, z = x+ iy,
тобто звуження gz|R належить Lq(R).
Далi, згiдно з (1) i (7) для будь-якої функцiї f ∈ An,p справджуються рiвностi
〈f, gz〉 = 〈f, C(·, z)〉 − 〈f, Cn,p,Φ(·, z)〉 = f(z)− f(z) = 0. (13)
Отже, gz ∈ A⊥n,p i для неї
E
(
z,A⊥n,p
)
= ‖C(·, z)− gz(·)‖q = ‖Cn,p,Φ(·, z)‖
Lq
=
|Bn(z)|
(4 Im z)1/p
.
Нехай hz — будь-яка iнша функцiя, для якої ‖C(·, z)− hz(·)‖q = E
(
z,A⊥n,p
)
. Тодi за нерiв-
нiстю Гельдера
|Bn(z)|
(4 Im z)1/p
= f∗(z) = 〈f∗, C(·, z)− hz〉 ≤ ‖f∗‖p‖C(·, z)− hz‖q =
= ‖C(·, z)− hz‖q =
|Bn(z)|
(4 Im z)1/p
.
Отже, скрiзь у цих спiввiдношеннях повиннi виконуватися тiльки рiвностi, а це рiвносильно
тому, що
hz(t) = C(t, z)− |Bn(z)|
(4 Im z)1/p
f∗(t) |f∗(t)|p−2 ∀ t ∈ R.
Оскiльки
|Bn(z)|
(4 Im z)1/p
f∗(t) |f∗(t)|p−2 = Cn,p,Φ(t, z) ∀ t ∈ R,
то hz ≡ gz , що й доводить єдинiсть екстремальної функцiї gz .
Застосуємо тепер отриманi результати до iнтерполяцiї функцiй iз простору Hp, 2 ≤ p <∞.
Розглянемо оператор Un,p,Φ, визначений на Hp правилом
Un,p,Φ(f) :=
n−1∑
k=0
f̂(k)λk,n,pΦk,
де λk,n,p(z) визначаються формулою (9).
Оператор Un,p,Φ є iнтерполяцiйним на просторi Hp, 2 ≤ p <∞, з вузлами iнтерполяцiї an,
де an — вiдрiзок послiдовностi a точок в C+, що породжують систему Φ ∈ TM , тобто
Un,p,Φ(f)(ak) = f(ak) ∀ f ∈ Hp, 2 ≤ p <∞, k = 0, n− 1. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
1548 В. В. САВЧУК, С. О. ЧАЙЧЕНКО
Покажемо, що оператор Un,p,Φ породжує найкращий лiнiйний метод наближення в такому
розумiннi.
Нехай Ip(an) — множина лiнiйних операторiв In, визначених на Hp правилом
In(f)(z) =
n−1∑
j=0
f(aj)ϕj(z),
де ϕj — функцiї, визначенi та неперервнi в C+, i
e(an, p, z) := inf {max {|f(z)− In(f)(z)| : f ∈ Hp, ‖f‖p ≤ 1} : In ∈ Ip(an)}
— найкраще наближення в точцi z ∈ C+ одиничної кулi простору Гардi Hp образами операто-
рiв In.
Теорема 4. Нехай 2 ≤ p < ∞, a = {ak}∞k=0 — послiдовнiсть рiзних точок ak ∈ C+ i Φ —
система Такенаки – Мальмквiста, породжена послiдовнiстю a. Тодi Un,p,Φ ∈ Ip(an) i
e(an, p, z) = max{|f(z)− Un,p,Φ(f)(z)| : f ∈ Hp, ‖f‖p ≤ 1} =
|Bn(z)|
(4 Im z)1/p
∀ z ∈ C+. (15)
Доведення. Згiдно з рiвнiстю (8)
Un,p,Φ(f)(z) = 〈f, C(·, z)− Cn,p,Φ(·, z)〉 =
=
1
2πi
∞∫
−∞
f(t)
1
t− z
(
1−
(
2i Im z
t− z
)1−2/p
Bn(z)Bn(t)
)
dt ∀ z ∈ C+.
При кожному фiксованому z ∈ C+ пiдiнтегральну функцiю можна розглядати як граничнi
значення на R функцiї
F (ζ) :=
f(ζ)
ζ − z
1−
(
2i Im z
ζ − z
)1−2/p
Bn(z)
n−1∏
j=0
χj
ζ − aj
ζ − aj
,
яка є мероморфною в C+ з простими полюсами ζ0 = z, ζk = ak−1, k = 1, n.
Тому за теоремою про лишки (див., наприклад, [7, с. 150, 227])
Un,p,Φ(f)(z) =
n∑
k=0
res
ζ=ζk
F (ζ) =
n∑
k=0
lim
ζ→ζk
(ζ − ζk)F (ζ) =
= f(z)
1−
n−1∏
j=0
χj
z − aj
z − aj
n−1∏
j=0
χj
z − aj
z − aj
+
+
n−1∑
k=0
f(ak)
(
2i Im z
ak − z
)1−2/p n−1∏
j=0
j 6=k
z − aj
ak − aj
n−1∏
j=0
ak − aj
z − aj
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
НАЙКРАЩI НАБЛИЖЕННЯ ЯДРА КОШI НА ДIЙСНIЙ ОСI 1549
=
n−1∑
k=0
f(ak)ϕk(z),
де
ϕk(z) =
(
2i Im z
ak − z
)1−2/p n−1∏
j=0
j 6=k
z − aj
ak − aj
n−1∏
j=0
ak − aj
z − aj
.
Отже, Un,p,Φ ∈ Ip(an).
Враховуючи цей факт i наслiдок 2, одержуємо оцiнку
e(an, p, z) ≤ sup {|f(z)− Un,p,Φ(f)(z)| : ‖f‖p ≤ 1} ≤ ‖Cn,p,Φ(·, z)‖q.
З iншого боку,
e(an, p, z) ≥ sup
{
|f(z)| : ‖f‖p ≤ 1, f(ak) = 0, k = 0, n− 1
}
= ‖Fz| An,p‖ .
Тому рiвностi (15) випливають iз цих спiввiдношень за наслiдком 3.
1. Крылов В. И. О функциях, регулярных в полуплоскости // Мат. сб. – 1939. – 6, № 1. – С. 95 – 138.
2. Mashreghi J. Representation theorem in Hardy spaces. – New York: Cambridge Univ. Press, 2009. – 372 p.
3. Джрбашян М. М. Биортогональные рациональныe функции и наилучшее приближение ядра Коши на веще-
ственной оси // Мат. сб. – 1974. – 94, № 3. – С. 418 – 444.
4. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 407 с.
5. Савчук В. В. Найкращi лiнiйнi методи наближення та оптимальнi ортонормованi системи простору Гардi //
Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 5. – С. 661 – 671.
6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984. – 469 с.
7. Евграфов М. А. Аналитические функции. – М.: Наука, 1991. – 448 с.
Одержано 08.07.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 11
|