Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів
Рассматривается система Максвелла – Лоренца электромагнитного поля, взаимодействующая с заряженными частицами (точечными зарядами) в приближении Дарвина, в котором лагранжиан и гамильтониан частиц отщеплены от электромагнитного поля. Для уравнения движения частиц с аппроксимированным гамильтонианом...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166345 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 2. — С. 270–280. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859728247900602368 |
|---|---|
| author | Скрипник, В.І. |
| author_facet | Скрипник, В.І. |
| citation_txt | Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 2. — С. 270–280. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Рассматривается система Максвелла – Лоренца электромагнитного поля, взаимодействующая с заряженными частицами (точечными зарядами) в приближении Дарвина, в котором лагранжиан и гамильтониан частиц отщеплены от электромагнитного поля. Для уравнения движения частиц с аппроксимированным гамильтонианом Дарвина найдено решение на конечном часовом интервале с помощью теоремы Коши. Его компоненты представлены как голоморфные функции времени.
The Maxwell - Lorenz system of an electromagnetic field interacting with charged particles (point charges) is considered in the Darwin approximation which is characterized by the Lagrangian and Hamiltonian of the particles both uncoupled with the field. The solution of the equation of motion of the particles with the approximated Darwin Hamiltonian is found on a finite time interval with the use of the Cauchy theorem. Components of this solution are represented as holomorphic functions of time.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:33:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ ГАМIЛЬТОНОВИХ
РIВНЯНЬ РУХУ ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ
The Maxwell – Lorenz system of an electromagnetic field interacting with charged particles (point charges)
is considered in the Darwin approximation which is characterized by the Lagrangian and Hamiltonian of
the particles both uncoupled with the field. The solution of the equation of motion of the particles with the
approximated Darwin Hamiltonian is found on a finite time interval with the use of the Cauchy theorem.
Components of this solution are represented as holomorphic functions of time.
Рассматривается система Максвелла – Лоренца электромагнитного поля, взаимодействующая с заряжен-
ными частицами (точечными зарядами) в приближении Дарвина, в котором лагранжиан и гамильтониан
частиц отщеплены от электромагнитного поля. Для уравнения движения частиц с аппроксимированным
гамильтонианом Дарвина найдено решение на конечном часовом интервале с помощью теоремы Коши.
Его компоненты представлены как голоморфные функции времени.
Вступ. Cистема Максвелла – Лоренца (МЛ) заряджених релятивiстських та нереля-
тивiстських частинок, що взаємодiють з електромагнiтним полем, є фундаментом
сучасної фiзики. Хоч багато важливих фактiв про неї викладено в [1] та вiдомi
давно, її математична теорiя почала розвиватись нещодавно у роботах [2 – 6]. Успiх
КАМ теорiї, тобто теорiї резонансiв, у гравiтацiйнiй проблемi багатьох тiл [7, 8] дає
надiю застосувати потужну технiку сучасної математики до системи МЛ чи спершу
до кулонiвської системи багатьох тiл. Важливi аспекти цiєї технiки представлено в
монографiї [9] з гравiтацiйної проблеми багатьох тiл. Ми використовуємо деякi її
iдеї в цiй статтi.
Електродинамiчна система МЛ диференцiальних рiвнянь породжується лаг-
ранжiаном, якщо електричне та магнiтне поля виражeнi в термiнах електромаг-
нiтних потенцiалiв, що задовольняють умову Лоренца та хвильовi рiвняння, зачеп-
ленi з рiвняннями Ньютона – Лоренца. Довести iснування розв’язкiв цих рiвнянь
важко через те, що їх правi частини мiстять мiрозначнi заряд та струм, залежнi
вiд координат та швидкостей частинок, якi можуть зiштовхуватись. Як уникнути
катастрофiчних зiткнень — головне питання математичної теорiї.
Якщо швидкостi частинок малi, то можна розкласти вищезгаданий лагранжiан
в ряд за степенями оберненої швидкостi свiтла c. Його нульове наближення збiга-
ється з кулонiвським лагранжiаном. Доданок з першим степенем c−1 збiгається з
часовою похiдною повного заряду системи i є нулем. Доданок з c−2 збiгається з
лагранжiаном Дарвiна, що породжує сили, залежнi вiд швидкостей, i є аналогом
гравiтацiйного лагражiана, виписаного в [10]. Цi сили роблять рiвняння руху та
асоцiйований гамiльтонiан для частинок складними. Нехтуючи доданками, що за-
лежать вiд вищих степенiв c−1 у спiввiдношеннi мiж iмпульсами та швидкостями
частинок, тобто використуючи їх звичайне спiввiдношення, отримуємо наближе-
ний гамiльтонiан Дарвiна, виписаний в [1], який будемо використовувати в цiй
статтi. В нiй ми побудуємо голоморфнi (за часом) розв’язки рiвнянь руху для цього
гамiльтонiана, виходячи з теореми Кошi. Теорема Кошi застосовувалась ранiше в
[9] для побудови голоморфних розв’язкiв гравiтацiйної проблеми багатьох тiл на
скiнченному часовому iнтервалi.
Опишемо коротко будову статтi. У п. 1 наведено виведення лагранжiана Дарвi-
на, як це зроблено в [1] (строге виведення дано в [2] на певному часовому iнтерва-
c© В. I. СКРИПНИК, 2011
270 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ ГАМIЛЬТОНОВИХ РIВНЯНЬ РУХУ ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ 271
лi), та апроксимованого гамiльтонiана Дарвiна. У другому пунктi сформульовано
загальну теорему 2.1 та доведено її з допомогою теореми Кошi. У п. 3 розглянуто
кулонiвськi системи, сформульовано бiльш змiстовний варiант загальної теореми та
доведено з її допомогою, що сингулярнiсть розв’язкiв рiвнянь руху породжується
зiткненнями мiж двома частинками з протилежними зарядами.
Зазначимо, що нове виведення наближення Дарвiна з перенормованими маса-
ми частинок в [2] справедливе на промiжку часу, на якому немає зiткнень мiж
частинками, та використовує процедуру регуляризацiї рiвнянь руху.
1. Наближення Дарвiна. Заряд та струм частинок, розташованих в xj(t) ∈ R3,
j = 1, . . . , n, з швидкостями vj(t) ∈ R3 в момент часу t є мiрами, що заданi таким
чином:
ρ(x, t) =
n∑
j=1
ejδ(x−xj(t)), j(x, t) =
n∑
j=1
ejvj(t)δ(x−xj(t)), vj(t)= ẋj(t)=
∂x
∂t
,
де δ(x−xj) — атомарна мiра, зосереджена в xj = (xsj , s = 1, 2, 3) ∈ R3. Ми будемо
використовувати позначення
|x|0 = max
s
|xs|, (xk, xk) = |xk|2 = (x1k)2 + (x2k)2 + (x3k)2.
Нехай E = (E1, E2, E3) i H = (H1, H2, H3) — вiдповiдно електричне та магнiт-
не поля. Тодi рiвняння Максвелла задано таким чином:
c−1
∂H
∂t
= −∇× E, (∇, H) = 0,
c−1
∂E
∂t
= ∇×H − 4π
c
j, (∇, E) = 4πρ,
де
(∇×H)s = (rotH)s =
3∑
j,l=1
εsjl∇(j)Hl,
(∇, H) = divH =
3∑
j=1
∇(j)Hj , ∇(j) =
∂
∂xj
,
а εsjl — кососиметричний тензор. Спорiдненi рiвняння Ньютона – Лоренца мають
вигляд
v̇j(t) = ej(E + c−1vj(t)×H).
Енергiя системи
1
2
n∑
j=1
mjv
2
j +
∫
[E2(x, t) +H2(x, t)]dx,
де iнтегрування проводиться по R3, зберiгається. Для спрощення викладок степе-
нем вектора ми позначаємо iнколи суму його компонент в цьому степенi. Якщо
покласти
H = ∇×A, E = −∇ϕ− c−1Ȧ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
272 В. I. СКРИПНИК
де ϕ, A — вiдповiдно скалярний та векторний потенцiали, то легко вивести першу
пару рiвнянь Максвелла для потенцiалiв (треба подiяти ∇× на обидвi частини
другого спiввiдношення), використавши рiвностi
∇×∇ϕ = 0, (∇,∇×A) = 0.
Якщо має мiсце умова Лоренца c−1ϕ̇+(∇, A) = 0, то друга пара рiвнянь Максвелла
еквiвалентна наступнiй:
c−2
∂2A
∂t2
−∆A = 4πc−1j, c−2
∂2ϕ
∂t2
−∆ϕ = 4πρ, ∆ = ∇2.
При цьому слiд скористатися рiвнiстю
∇×∇×A−∇(∇, A) = −∆A.
Зазначимо, що електричне та магнiтне поля не змiнюються, якщо потенцiали вiд-
ображаються в штрихованi так (калiбрувальне перетворення):
ϕ′(x, t) = ϕ(x, t)− c−1 ∂f
∂t
, A′(x, t) = A(x, t) +∇f,
тобто, потенцiали визначенi неоднозначно. Для виконання умови Лоренца необхiд-
но, щоб f задовольняла хвильoве рiвняння.
Лагранжiан МЛ для нерелятивiстських та релятивiстських частинок визначено
таким чином:
L = L0 +
n∑
j=1
mj
2
∫
v2j (t)dt+
∫
(E2(x, t)−H2(x, t))dxdt,
L = L0 − c2
n∑
j=1
mj
∫
(1− c−2v2j (t))
1
2 dt+
∫
(E2(x, t)−H2(x, t))dxdt,
L0 =
n∑
j=1
ej
∫
[−ϕ(xj(t), t) + c−1(vj(t), A(xj(t), t))]dt,
де iнтегрування проводиться, вiдповiдно, по R та Rd. При цьому E, H повиннi
бути вираженi через потенцiали ϕ,A в L0.
Евристичнi аргументи запропоновано в [1] для отримання розв’язкiв хвильових
рiвнянь у виглядi
ϕ(x, t) =
∫
|x− x′|−1ρ(x′, t− c−1|x− x′|)dx′ + ϕ0(x, t),
A(x, t) =
1
c
∫
|x− x′|−1j(x′, t− c−1|x− x′|)dx′ +A0(x, t),
де останнi доданки у правих частинах цих рiвностей є розв’язками вiльних хви-
льових рiвнянь, якi можна покласти рiвними нулю. При цьому використовується
рiвнiсть ∆|x− x′|−1 = −4πδ(x− x′). Щоб обґрунтувати таке зображення, по сутi,
необхiдно врахувати, що лiнiйний оператор (даламбертiан) у лiвiй частинi хви-
льових рiвнянь можна обертати на просторi узагальнених функцiй з допомогою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ ГАМIЛЬТОНОВИХ РIВНЯНЬ РУХУ ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ 273
функцiї Грiна G(x, t) = |x|−1θ(t)δ(t − c−1|x|), де θ дорiвнює 1 на R+ та нулю на
доповненнi [11].
Далi розкладемо за степенями c−1 iнтеграл для потенцiалiв в отриманому зо-
браженнi та знехтуємо всiма доданками зi степенями c−1 так, щоб у лагранжiанi
L0 залишились тiльки доданки зi степенями меншими за три. В результатi для
скалярного потенцiалу отримуємо наближене зображення
ϕ(x, t) =
∫
|x− x′|−1ρ(x′, t)dx′ + c−1
∂
∂t
∫
ρ(x′, t)dx′+
+(2c2)−1
∂2
∂t2
∫
|x− x′|ρ(x′, t)dx′.
Але другий доданок є часовою похiдною вiд заряду системи та дорiвнює нулю,
тобто
ϕ(x, t) =
n∑
j=1
ej
[
|x− xj(t)|−1 + (2c2)−1
∂2
∂t2
|x− xj(t)|
]
.
Для векторного потенцiалу маємо нульове наближення
A(x, t) =
n∑
j=1
ej
c
vj(t)|x− xj(t)|−1.
Зазначимо, що умова Лоренца виконується наближено i рiвняння МЛ наближено
еквiвалентнi хвильовим рiвнянням для потенцiалiв.
Скористаємось тепер калiбрувальним перетворенням з
f =
n∑
j=1
ej
2c
∂
∂t
|x− xj(t)|.
Новi потенцiали мають вигляд
ϕ′(x, t) =
n∑
j=1
ej |x− xj(t)|−1,
A′(x, t) =
n∑
j=1
ej
c
[
vj(t)|x− xj(t)|−1 + 2−1
∂
∂t
∇|x− xj(t)|
]
.
З рiвностей
∇|x− xj(t)| = |x− xj(t)|−1(x− xj(t)),
∂
∂t
∇|x− xj(t)|] = −|x− xj(t)|−1vj(t) +
x− xj(t)
|x− xj(t)|3
(vj(t), x− xj(t))
випливає
A′(x, t) =
n∑
j=1
ej
2c
[
vj(t)|x− xj(t)|−1 +
x− xj(t)
|x− xj(t)|3
(vj(t), x− xj(t))
]
.
Тепер, якщо пiдставити цi вирази в рiвняння руху Ньютона – Лоренца та в L0,
можна бачити, що вони отримуються з лагранжiанa
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
274 В. I. СКРИПНИК
L = L0 +
n∑
j=1
mj
2
∫ [
v2j (t) + σ
v4j (t)
8c2
]
dt, σ = 0, 1,
де
L0 =
n∑
j 6=k=1
ekej
∫
{−|xk(t)− xj(t)|−1 + (2c)−1[(vj(t), vk(t))|xk(t)− xj(t)|−1+
+|xk(t)− xj(t)|−3(vj(t), xk(t)− xj(t))(vk(t), xk(t)− xj(t))]}dt
та σ = 0, 1 вiдповiдає випадкам нерелятивiстських та релятивiстських частинок.
Вираз
v4j (t)
8c2
є результатом розкладу (1 − c−2v2j (t))1/2 за степенями c−2v2j (t). L0
вiдрiзняється вiд L0 на необмежену константу, яка фiгурує у виразi для L0 (доданок
у сумi з k = j).
Строгу версiю апроксимацiї Дарвiна встановлено в [2] на часовому iнтервалi
порядку ε−3 при початковiй умовi |vj(0)| ≤ εc < 1. При цьому показано, що mj та
σ мають бути перенормованi у виразi для лагранжiана Дарвiна. Нехай
H0
n =
n∑
j=1
|pj |2
2mj
+ U(x(n)), U(x(n)) =
n∑
j 6=k=1
ejek
|xj − xk|
,
x(n) = (x1, . . . , xn) ∈ R3n,
де в подвiйнiй сумi j, k пробiгають множину 1, . . . , n. Тодi апроксимований гамiль-
тонiан Дарвiна визначено в [1] як
Hn(c−2) =
n∑
j=1
(pj , vj)− L, pj = mjvj ,
i
Hn(η) = Hn(η;x(n); p(n)) = H0
n − ησ
n∑
j=1
|pj |4
8m3
j
−
−η
n∑
j 6=k=1
ejek
2mjmk|xj − xk|
[(pj , pk) + |xj − xk|−2(pj , xj − xk)(pk, xj − xk)]. (1.1)
2. Основний результат. Наша мета тепер полягає в побудовi розв’язкiв рiвнянь
руху з апроксимованим гамiльтонiаном Дарвiна (1.1) з комплексними змiнними
ẋj =
∂Hn(η)
∂pj
, ṗj = −∂Hn(η)
∂xj
, j = 1, . . . , n. (2.1)
Щоб зберегти позначення, якi прийнятi скрiзь, ми використаємо такi позначення
(x, y ∈ Cn):
(x, y) =
n∑
j=1
xjy
∗
j , |x|2 = (x, x), xj , yj ∈ C,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ ГАМIЛЬТОНОВИХ РIВНЯНЬ РУХУ ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ 275
(x, y)∗ = (x, y∗) =
n∑
j=1
xjyj , |x|2∗ = (x, x∗),
де зiрочка у верхньому iндексi означає комплексне спряження. Нехай
Dm(r; ξ) = {xj : |xj − ξj | ≤ r, xj , ξj ∈ C, j = 1, . . . ,m}.
Основним результатом даної статтi є двi наступнi теореми.
Теорема 2.1. Нехай {al, bl ∈ R3 : |aj − al| ≥ r1, j, l = 1, . . . , n}, |bj |0 ≤ r2,
κ−12 = (1−
√
6κ)2−12κ2 > 0. Тодi iснує розв’язок (xj(t), pj(t)) (2.1) для початкових
даних xj(0) = aj , pj(0) = bj такий, що
(xj(t); pj(t)) ∈ D3n(r; a)×D3n(r; b), r = κr1, (2.1′)
та pj(t), xj(t) є голоморфними функцiями t у крузi |t| < T = r((n + 1)M)−1,
M = max(M1,M2),
M1 = c1r
−2
1 + η
(
r + r2
r1
)2
(η1 + η2r1),
M2 = m−1− (r + r2) + η
[
ση3(r + r2)3 + η4
r + r2
r1
]
,
де m− = min
s
ms, додатнi константи ηj , c1 не залежать вiд η, σ та є додатними
полiномами
√
κ2, κ.
Зауваження 2.1. Для розв’язкiв (2.1) виконується нерiвнiсть
|xj(t)− xl(t)|0 ≥ |aj − al|0 − |xj(t)− aj |0 − |xl(t)− al|0 ≥ (1− 2κ)r1.
Це означає, що зiткнень мiж частинками немає при κ <
1
2
. Умова обмеженостi κ2 є
бiльш сильною: κ <
1√
6(1 +
√
2)
. З нерiвностей
6
64
<
1
9
випливає, що, поклавши
κ =
1
8
, отримаємо κ−12 >
2
9
.
Ця теорема випливає з теореми Кошi [9] про iснування голоморфних розв’язкiв
n-вимiрних звичайних диференцiальних рiвнянь з голоморфним векторним полем
та леми 2.1. Теорема Кошi формулюється таким чином.
Теорема 2.2. Нехай система n-вимiрних звичайних диференцiальних рiвнянь
ẋj(t) = fj(x(n)), j = 1, . . . , n, x(n) ∈ Rn, t ≥ t0, (2.2)
визначається функцiями fj , якi є голоморфними функцiями змiнних xj в Dn(r; ξ)
та рiвномiрно обмеженi: |fj | ≤M. Тодi розв’язок xj(t) (2.2) для початкових даних
ξj = xj(t0) є голоморфною функцiєю t у крузi |t − t0| < T = r((n + 1)M)−1 та
належить Dn(r; ξ).
Зауваження 2.2. Ця теорема справедлива, якщо fj в (2.1) є голоморфними
функцiями t, x(n) [12]. Можна сподiватись на ослаблення залежностi T вiд n в
теоремi 2.1, використовуючи бiльш сильний варiант теореми Кошi з [13], в якому
залежнiсть T вiд n виражається лише через залежнiсть евклiдiвської норми f(n)
вiд n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
276 В. I. СКРИПНИК
Лема 2.1. Нехай виконуються умови теореми 2.1. Тодi похiднi гамiльтонiана
Hn(η;x(n); p(n)) по координатах та iмпульсах є голоморфними функцiями в
D3n(r; a)×D3n(r; b) та обмеженi вiдповiдно константами M1 i M2.
Доведення. Покладемо ē = max
s
|es|. Неважко обчислити похiднi гамiльтонана
спершу за координатами, а потiм за iмпульсами:
∂Hn(η;x(n); p(n))
∂xj
=
n∑
j 6=k,k=1
ejek
|xj − xk|3∗
(xk − xj)−
−η
n∑
j 6=k,k=1
ejek
2mjmk|xj − xk|3∗
(xk − xj)[(pj , pk)∗+
+|xj − xk|−2∗ (pj , xj − xk)∗(pk, xj − xk)∗]−
−η
n∑
j 6=k,k=1
ejek
2mjmk|xj − xk|∗
[2|xj − xk|−4∗ (xk − xj)(pj , xj − xk)∗(pk, xj − xk)∗+
+|xj − xk|−2∗ (pj(pk, xj − xk)∗ + pk(pj , xj − xk)∗)],
∂Hn(η;x(n); p(n))
∂pj
=
pj
mj
− ση |pj |
2
∗pj
2m3
j
−
−η
n∑
j 6=k,k=1
ejek
2mjmk|xj − xk|∗
[pk + |xj − xk|−2∗ (xj − xk)(pk, xj − xk)∗].
Цi похiднi — рацiональнi функцiї i, щоб довести лему, необхiдно показати, що вони
є обмеженими:
|xk − xl|0 ≤ |xk − ak|0 + |xl − al|0 + |ak − al| ≤
≤ 2κr1 + |ak − al| ≤ κ0|ak − al|, κ0 = 2κ+ 1, (2.3)
|xk − xl| ≤
√
3|xk − xl|0 ≤ κ1|ak − al|, κ1 =
√
3(2κ+ 1). (2.4)
Покладемо xk − ak + al − xl = xk,l. Тодi, беручи до уваги нерiвнiсть
3
49
<
1
16
та рiвнiсть |x|2 = ||x|2∗|, x ∈ C, легко бачити, що
|xk,l|2 ≤ |xk − ak|2 + |xl − al|2 ≤
≤ 3|xk − ak|20 + 3|xl − al|20 ≤ 6κ2r21 ≤ 6κ2|ak − al|2.
Таким чином, отримуємо уточнену нерiвнiсть у формулi (16) в роздiлi 5.1 в [9]:
||xk − xl|2∗| ≥ |ak − al|2 − 2|ak − al||xk,l| − |xk,l|2 ≥ κ−12 |ak − al|2. (2.5)
З допомогою нерiвностей (2.3) – (2.5) оцiнимо всi першi похiднi гамiльтонiана. Вра-
ховуючи ||xj − xk|3∗| = |(|xj − xk|2∗)3/2| = ||xj − xk|2∗|3/2, отримуємо
|xj − xk|0
||xj − xk|3∗|
≤ κ0κ3/22 |ak − aj |−2 ≤ κ0κ
3/2
2 r−21 . (2.6)
Далi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ ГАМIЛЬТОНОВИХ РIВНЯНЬ РУХУ ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ 277
|(pj , pk)∗| ≤ |pj ||pk| = |pj − bj + bj ||pk − bk + bk| ≤ 3(r + r2)2. (2.7)
Використовуючи (2.4), (2.5), маємо
|(pk, xj − xk)∗| ≤ |pj ||xj − xk| ≤
√
3κ1(r + r2)|aj − ak|, (2.8)
||xj − xk|−2∗ ||(pj , xj − xk)∗||(pk, xj − xk)∗| ≤ 3κ21κ2(r + r2)2, (2.9)
||xj − xk|−2∗ ||(pj(pk, xj − xk)∗ + pk(pj , xj − xk)∗)|0 ≤
≤ ||xj − xk|−2∗ ||pj |0|(pk, xj − xk)∗|+ |pk|0|(pj , xj − xk)∗| ≤
≤ 3κ1κ2
(r + r2)2
r1
. (2.10)
З рiвностi ||xj − xk|−4∗ | = ||xj − xk|2∗|−2 та нерiвностей (2.3), (2.5), (2.8) випливає
||xj − xk|−4∗ ||(xk − xj)(pj , xj − xk)∗(pk, xj − xk)∗|0 ≤
≤ ||xj − xk|2∗|−2|xk − xj |0|(pj , xj − xk)∗(pk, xj − xk)∗| ≤
< 3κ0(κ1κ2)2
(r + r2)2
|aj − ak|
≤ 3κ0(κ1κ2)2
(r + r2)2
r1
, (2.11)
||xj − xk|−2∗ ||xj − xk|0|(pk, xj − xk)∗| ≤
√
3κ0κ1κ2(r + r2), (2.12)
||xj − xk|−1∗ ||pk|0 = ||xj − xk|2∗|−
1
2 |pk|0 ≤
√
κ2|aj − ak|−1(r + r2) ≤
√
κ2
(r + r2)
r1
.
(2.13)
Оцiнки (2.5) – (2.13) дозволяють отримати оцiнки для частинних похiдних гамiль-
тонiана в D3n(r; a) × D3n(r; b). Враховуючи (2.6), (2.7), (2.9), (2.11), бачимо, що
два перших доданки в перших квадратних дужках та перший доданок у других
квадратних дужках у виразi для похiдної по координатi гамiльтонiана обмеженi
виразом, пропорцiйним
(r + r2)2
r21
з коефiцiєнтом пропорцiйностi
η1 =
3nē2
2m2
−
[κ0κ
3/2
2 (1 + κ21κ2) + 2κ0κ
2
1κ
5/2
2 ].
З (2.10) випливає, що останнiй доданок у других квадратних дужках обмежений
виразом, пропорцiйним
(r + r2)2
r1
з коефiцiєнтом пропорцiйностi η2 =
3nē2
2m2
−
κ1κ2.
З нерiвностей (2.6) видно, що перший доданок у виразi для похiдної по координатi
гамiльтонiана обмежений виразом, пропорцiйним
(r + r2)2
r1
з коефiцiєнтом пропор-
цiйностi c1 = nē2κ0κ
3/2
2 . Отже, похiднi гамiльтонiана по координатах рiвномiрно
обмеженi M1.
З нерiвностей (2.5), (2.12), (2.13) та√
||pk|2∗| ≤ |pk| ≤ |pk − bk|+ |bk| ≤ 2
√
3(r + r2), |pk|0 ≤ r + r2,
випливає, що похiднi гамiльтонiана по iмпульсах рiвномiрно обмеженi M2 та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
278 В. I. СКРИПНИК
η3 =
6
m3
−
, η4 =
nē2
2m2
−
(
√
κ2 +
√
3κ0κ1κ2).
Лему доведено.
Доведення теореми 2.1 безпосередньо випливає з теореми Кошi та леми 2.1.
При цьому необхiдно ототожнити (2.1) з (2.2) та замiнити n на 6n, а також покласти
t0 = 0, ξ = (a, b).
3. Обмеження потенцiальної енергiї. У цьому пунктi сформулюємо три те-
ореми, якi є наслiдками теореми 2.1 i в яких ми накладаємо умови на початковi
значення координат та iмпульсiв ak, bk з допомогою умов на потенцiальнi енергiї
в початковий момент U+, U− вiдповiдно, зарядiв одного та рiзного знакiв, а та-
кож зафiксуємо значення гамiльтонiана Hn(η). При цьому виразимо r1, r2 через
константи C, |h| так, що
max(U+(a(n)), U
−(a(n))) ≤ C, Hn(η) = h ∈ R. (3.1)
Цi три теореми є аналогами твердження, доведеного у роздiлi 5 монографiї [9].
Спершу ми накладемо першу умову в (3.1).
Теорема 3.1. Нехай виконується нерiвнiсть (3.1). Тодi справедливi висновки
теореми 2.1, якщо у виразах для M1, M2 та (2.1′) покласти r1 =
e2−
C
.
Доведення досить просте i виводиться з однiєї нерiвностi. Дiйсно, нехай ρ =
= min
1≤j<k≤n
|aj − ak|. Тодi для пари, для якої цей мiнiмум досягається, виконується
нерiвнiсть
e2−
ρ
≤ |ejek|
|aj − ak|
≤ max(U+, U−) ≤ C. (3.2)
А це означає, що r1 =
ee−
C
.
Теорема 3.2. Нехай виконується (3.1), а також m+ = max
j
mj , e− = min
j
ej .
Тодi для релятивiстської системи (σ = 1, η = c−2) виконується |bj |0 ≤ |bj | ≤
√
R,
де
R = (2α)−1(β +
√
β2 + 4αγ), α =
1
8m3
+c
2
,
β =
√
n
2m−
+
n
√
nē2
c2m2
−e
2
−
C, γ = C + |h|,
i справедливi висновки теореми 2.1, якщо у (2.1′) та виразах для M1, M2 покласти
r1 =
e2−
C
, r2 =
√
R.
Доведення. З (3.1), (3.2) отримуємо
|h| ≥ α
n∑
j=1
|bj |4 −
1
2m−
n∑
j=1
|bj |2 − C − η
ē2
ρm2
−
n∑
j=1
|bj |
2
.
З нерiвностей (3.2) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ПРО ГОЛОМОРФНI РОЗВ’ЯЗКИ ГАМIЛЬТОНОВИХ РIВНЯНЬ РУХУ ТОЧКОВИХ ЗАРЯДIВ 279
n∑
j=1
|bj |2 ≤
√
n
n∑
j=1
|bj |4
1/2
,
n∑
j=1
|bj | ≤
√
n
n∑
j=1
|bj |2
1/2
(ми застосовуємо тричi нерiвнiсть Шварца) випливає
αy2 − βy − γ ≤ 0, y2 =
n∑
j=1
|bj |4,
тобто y ≤ R та |bj |0 ≤ |bj | ≤
√
R.
Теорему доведенo.
Теорема 3.3. Нехай виконується (3.1) i
1
2m−
> η
nē2C
e2−m
2
−
. Тодi для нереляти-
вiстської системи (σ = 0) виконується нерiвнiсть |bj |0 ≤ |bj | ≤
√
R, де
R = (|h|+ C)
(
1
2m−
− η nē
2C
e2−m
2
−
)−1
i справедливi висновки теореми 2.1, якщо у (2.1′) та виразах для M1, M2 покласти
r1 =
e2−
C
, r2 =
√
R.
Доведення. Використовуючи (3.2), отримуємо
|h| ≥ 1
2m−
n∑
j=1
|bj |2 − C − η
ē2C
e2−m
2
−
n∑
j=1
|bj |
2
.
Застосовуючи нерiвнiсть Шварца до другої суми, маємо
|h|+ C ≥
(
1
2m−
− η nē
2C
e2−m
2
−
) n∑
j=1
|bj |2.
Отже,
n∑
j=1
|bj |2 ≤ R2,
а це i доводить теорему.
Зауваження 3.1. Для кулонiвської системи η = 0 та R =
|h|+ C
2m−
.
Наслiдком теорем 3.1 – 3.3 є наступне твердження.
Твердження 3.1. Нехай T < t1, де число T визначено в теоремi 3.1 i при
t = t1 хоча б одна компонента розв’язку (2.1) є неголоморфною, а при t < t1 —
голоморфною. Тодi
lim
t→t1
min
1≤j<k≤n
||xj(t)− xk(t)|| = 0.
Доведення. Нехай (tn < t1, n ≥ 2) — послiдовнiсть, яка збiгається знизу до t1.
Встановимо, що або функцiї U−, U+ є необмеженими, або необмеженою є лише
одна з цих функцiй у момент t1. Для кулонiвської системи необмеженiсть лише
U+ виключається з умови збереження енергiї. Дiйсно, з теореми Кошi випливає,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
280 В. I. СКРИПНИК
що якщо U−, U+ є обмеженими в момент t1, то функцiї U−, U+ рiвномiрно
обмеженi на послiдовностi (tn) та t1 належить iнтервалу [tn, tn +T ] при достатньо
великому n, оскiльки T рiвномiрно обмежена по n. Тодi згiдно з теоремою Кошi
розв’язок (2.1 ) з почаковою умовою в tn буде голоморфним на iнтервалi [tn, tn+T ].
А це суперечить припущенню про обмеженiсть U−, U+ в момент t1 i доводить
твердження.
Автор висловлює подяку проф. I. О. Парасюку за обговорення результатiв статтi
та цiнну пораду, що сприяла формулюванню теореми 3.2.
1. Ландау Л., Лифшиц Е. Теория поля. – М.: Наука, 1967. – 460 с.
2. Kunze M., Spohn H. Slow motion of charges interacting through the Maxwell field // arXiv: math-
phys/0001002v1, 3 January.
3. Komech A., Spohn H. Long time asymptotics for the coupled Maxwell – Lorenz equations // Communs
Part. Different. Equat. – 2000. – 25, № 3/4. – P. 559 – 584.
4. Bauer G., Durr D. The Maxwell – Lorenz system of a rigid charge distribution // Ann. Inst. H. Poincare.
– 2001. – 2. – P. 179 – 196.
5. Spohn H. Dynamics of charged particles and their radiation field. – Cambridge: Cambridge Univ. Press,
2004.
6. Imaikin V., Komech A., Spohn H. On scattering of solitons for Maxwell equation coupled to a particle //
arXiv: math-phys/087.1072v1, 12 July 20008.
7. Арнольд В. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной
механике // Укр. мат. журн. – 1963. – 18, № 1. – P. 91 – 192.
8. Cherchia L., Pusateri F. Analytic Lagrangian tori for the planetary many-body problem // Ergod. Theory
and Dynam. Systems. – 2009. – 29. – P. 849 – 873.
9. Зигель К., Мозер Ю. Лекции по небесной механике. – М.; Ижевск, 2001. — 384 с.
10. Treder H.-J. Die relativitat der Tragheit. – Berlin: Acad. Verlag, 1972.
11. Владимиров В. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967. – 436 с.
12. Голубев В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. – М.: Изд-во АН
СССР, 1950. – 436 с.
13. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – М., 1958.
Одержано 23.06.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166345 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:33:43Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Скрипник, В.І. 2020-02-19T04:44:07Z 2020-02-19T04:44:07Z 2011 Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів / В.І. Скрипник // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 2. — С. 270–280. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166345 517.9 Рассматривается система Максвелла – Лоренца электромагнитного поля, взаимодействующая с заряженными частицами (точечными зарядами) в приближении Дарвина, в котором лагранжиан и гамильтониан частиц отщеплены от электромагнитного поля. Для уравнения движения частиц с аппроксимированным гамильтонианом Дарвина найдено решение на конечном часовом интервале с помощью теоремы Коши. Его компоненты представлены как голоморфные функции времени. The Maxwell - Lorenz system of an electromagnetic field interacting with charged particles (point charges) is considered in the Darwin approximation which is characterized by the Lagrangian and Hamiltonian of the particles both uncoupled with the field. The solution of the equation of motion of the particles with the approximated Darwin Hamiltonian is found on a finite time interval with the use of the Cauchy theorem. Components of this solution are represented as holomorphic functions of time. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів On the holomorphic solutions of Hamiltonian equations of motion of point charges Article published earlier |
| spellingShingle | Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів Скрипник, В.І. Статті |
| title | Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів |
| title_alt | On the holomorphic solutions of Hamiltonian equations of motion of point charges |
| title_full | Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів |
| title_fullStr | Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів |
| title_full_unstemmed | Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів |
| title_short | Про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів |
| title_sort | про голоморфні розв'язки гамільтонових рівнянь руху точкових зарядів |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166345 |
| work_keys_str_mv | AT skripnikví progolomorfnírozvâzkigamílʹtonovihrívnânʹruhutočkovihzarâdív AT skripnikví ontheholomorphicsolutionsofhamiltonianequationsofmotionofpointcharges |