Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах

Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах

Дослiджуються проблеми неперервного та гомеоморфного продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв мiж областями на рiманових многовидах. Знайдено умови на функцiю Q(x) та межi областей, при яких будь-який кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Український математичний журнал
Дата:2011
Автор: Афанасьева, Е.С.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2011
Теми:
Статті
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166380
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах / Е.С. Афанасьева // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1299–1313. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-166380
record_format dspace
spelling Афанасьева, Е.С.
2020-02-19T05:18:28Z
2020-02-19T05:18:28Z
2011
Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах / Е.С. Афанасьева // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1299–1313. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166380
517.5
Дослiджуються проблеми неперервного та гомеоморфного продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв мiж областями на рiманових многовидах. Знайдено умови на функцiю Q(x) та межi областей, при яких будь-який кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорiю можна застосувати, зокрема, до класiв Соболєва.
We study the problems of a continuous and homeomorphic extension of so-called ring Q-homeomorphisms between domains on Riemannian manifolds to the boundary. We establish conditions for a function Q(x) and the boundaries of domains under which every ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary. This theory can be applied, in particular, to Sobolev classes.
ru
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
Boundary behavior of ring Q-homeomorphisms on Riemannian manifolds
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
spellingShingle Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
Афанасьева, Е.С.
Статті
title_short Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
title_full Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
title_fullStr Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
title_full_unstemmed Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
title_sort граничное поведение кольцевых q-гомеоморфизмов на римановых пространствах
author Афанасьева, Е.С.
author_facet Афанасьева, Е.С.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2011
language Russian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Boundary behavior of ring Q-homeomorphisms on Riemannian manifolds
description Дослiджуються проблеми неперервного та гомеоморфного продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв мiж областями на рiманових многовидах. Знайдено умови на функцiю Q(x) та межi областей, при яких будь-який кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорiю можна застосувати, зокрема, до класiв Соболєва. We study the problems of a continuous and homeomorphic extension of so-called ring Q-homeomorphisms between domains on Riemannian manifolds to the boundary. We establish conditions for a function Q(x) and the boundaries of domains under which every ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary. This theory can be applied, in particular, to Sobolev classes.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/166380
citation_txt Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов на римановых пространствах / Е.С. Афанасьева // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1299–1313. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT afanasʹevaes graničnoepovedeniekolʹcevyhqgomeomorfizmovnarimanovyhprostranstvah
AT afanasʹevaes boundarybehaviorofringqhomeomorphismsonriemannianmanifolds
first_indexed 2025-11-26T03:41:10Z
last_indexed 2025-11-26T03:41:10Z
_version_ 1850610401021001728
fulltext УДК 517.5 Е. С. Афанасьева (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк) ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ We study the problems of a continuous and homeomorphic extension of so-called ring Q-homeomorphisms between domains on Riemannian manifolds to the boundary. We establish conditions for a function Q(x) and the boundaries of domains under which every ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary. This theory can be applied, in particular, to Sobolev classes. Дослiджуються проблеми неперервного та гомеоморфного продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв мiж областями на рiманових многовидах. Знайдено умови на функцiю Q(x) та межi областей, при яких будь-який кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Теорiю можна застосувати, зокрема, до класiв Соболєва. 1. Введение. Систематическое изучение пространственных квазиконформных отоб- ражений началось в конце 50-х – начале 60-х годов. Метод экстремальных длин был впервые использован Альфорсом и Берлингом для исследования конформных отображений и восходит, в свою очередь, к приемам Гретша. Однако впоследствии вместо экстремальной длины стали использовать более удобную обратную к ней величину — конформный модуль, который имеет свойство полуаддитивности и является внешней мерой в пространстве кривых. Метод экстремальных длин или модулей успешно применялся в геометрической теории функции, в частности, к ис- следованию граничного поведения конформных и квазиконформных отображений. В 1854 г. Риман использовал новый способ определения метрики через по- ложительно определенную (невырожденную) квадратичную форму, которая впо- следствии получила название римановой метрики. Понятие „многообразие” было впервые четко введено позже Пуанкаре. Систематическое изучение гладких мно- гообразий началось после 1912 г. Параллельно этой теории длительное время развивалась и теория отображений в рамках конформных и квазиконформных отображений. Бельтрами, Каратеодо- ри, Кристоффель, Гаусс, Гильберт, Лиувилль, Пуанкаре, Риман, Шварц и другие внесли свой вклад в развитие теории отображений. Отметим, что конформные отображения и их обобщения играют важную роль в развитии теории потенциала, математической физики, римановых поверхностей и топологии. В конце 1920-х – начале 1930-х годов был введен более общий, чем конформ- ные, класс отображений, которые позже были названы квазиконформными. Вскоре квазиконформные отображения стали применяться к классическим проблем покры- тия римановых поверхностей (Альфорс), классификации односвязных римановых поверхностей (Волковыский), описанию модулей римановых поверхностей (Тейх- мюллер). Затем произошел переход к исследованию более общих отображений, таких как отображения, квазиконформные в среднем, с ограниченным интегра- c© Е. С. АФАНАСЬЕВА, 2011 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1299 1300 Е. С. АФАНАСЬЕВА лом Дирихле, с конечным искажением и др. В работе [1] для пространственных квазиконформных отображений было получено модульное неравенство, которое впоследствии легло в основу определения так называемых Q-гомеоморфизмов. В последние годы активно изучаются так называемые кольцевые Q-гомеоморфизмы. Это понятие мотивировано кольцевым определением квазиконформности по Ге- рингу и представляет собой обобщение и локализацию этого определения, которое впервые было введено на плоскости в связи с изучением вырожденных уравнений Бельтрами, а затем в Rn, n ≥ 3, и метрических пространствах с мерами (см., например, статьи [2 – 5], а также монографию [6]). В настоящей работе доказываются следствия для кольцевыхQ-гомеоморфизмов и отображений класса Соболева W 1,n loc на римановых многообразиях из предыду- щей статьи автора [5] о граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах с мерами. 2. Предварительные замечания. Напомним определения, которые можно най- ти, например, в [7 – 10]. n-Мерное топологическое многообразие Mn — это хаус- дорфово топологическое пространство со счетной базой, в котором каждая точка имеет открытую окрестность, гомеоморфную Rn. Картой на многообразии Mn называется пара (U,ϕ), где U — открытое подмножество пространства Mn, а ϕ — гомеоморфизм подмножества U на открытое подмножество координатного про- странства Rn: каждой точке p ∈ U ставится во взаимно однозначное соответствие набор из n чисел, ее локальных координат. Гладкое многообразие — многообразие с картами (Uα, ϕα), локальные координаты которых связаны гладким (C∞)-образом. Римановым многообразием (Mn, g) называется гладкое многообразие вместе с заданным на нем метрическим тензором g или римановой метрикой. Римановой метрикой на многообразии называется положительно определенное (невырожден- ное) симметричное тензорное поле g = gij(x) = g11 . . . g1n . . . . . . . . . gn1 . . . gnn , которое определяется только в координатных картах с правилом перехода ′gij(x) = gkl(y(x)) ∂yk ∂xi ∂yl ∂xj . (1) Тензорное метрическое поле gij(x) в дальнейшем предполагается гладким. Элемент длины на (Mn, g) задается инвариантной дифференциальной формой ds2 = gijdx idxj := n∑ i,j=1 gijdx idxj = (dx1, . . . , dxi) g11 . . . g1n . . . . . . . . . gn1 . . . gnn dx1 . . . dxj , (2) где gij — метрический тензор, xi — локальные координаты. В соответствии с этим, если γ : [a, b]→Mn — кусочно-гладкая кривая и x(t) — ее параметрическое задание в локальных координатах, то ее длина вычисляется по формуле sγ = b∫ a √ gij(x(t)) dxi dt dxj dt dt. (3) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1301 Геодезическое расстояние d(p1, p2) определяется как инфимум длин кусочно-гладких кривых, соединяющих точки p1 и p2 в (Mn, g) (см. [8, с. 94]). Напомним также, что элемент объема на (Mn, g) определяется инвариантной формой dv = √ det gij dx 1 . . . dxn, (4) а элемент площади гладкой гиперповерхности H на (Mn, g) — инвариантной фор- мой dA = √ det g∗αβ du1 . . . dun−1, (5) где g∗αβ — риманова метрика на H, порожденная исходной римановой метрикой gij по формуле g∗αβ(u) = gij(x(u)) ∂xi ∂uα ∂xj ∂uβ (6) (см., например, § 88 в [10]). Здесь x(u) — гладкая параметризация гиперповерхности H с ∇ux 6= 0. Таким образом, метрический тензор g на римановом многообразии порождает соответствующий метрический тензор g∗ на произвольной регулярной поверхности. Здесь под гиперповерхностью на многообразии (Mn, g) понимается непрерыв- ное отображение H : U → Mn, где U — область в (n − 1)-мерном пространстве Rn−1 или более общо U — (n− 1)-мерное многообразие, например (n− 1)-мерная сфера. Если отображение H является гладким (класса C1) в локальных коорди- натах, то гиперповерхность называют гладкой. Если, кроме того, ∇ux 6= 0, то гиперповерхность H называется регулярной. Например, геодезические сферы в до- статочно малых окрестностях любой точки риманового многообразия являются регулярными гиперповерхностями (см. [8, с. 106]). Напомним следующие фундаментальные факты (см., например, лемму 5.10 и следствие 6.11 в [8], а также [7, с. 260, 261]). Предложение 1. В каждой точке риманова многообразия существуют ее окрестности и соответствующие локальные координаты в них, в которых гео- дезическим сферам с центром в данной точке соответствуют евклидовы сферы с теми же радиусами и с центром в начале координат, а связке геодезических, исходящих из данной точки, соответствует связка лучей, исходящих из начала координат. Указанные окрестности и координаты принято называть нормальными. Замечание 1. В частности, в нормальных координатах геодезические сферы имеют естественную регулярную параметризацию через направляющие косинусы соответствующих лучей, исходящих из начала координат. Кроме того, метрический тензор в начале координат в этих координатах совпадает с единичной матрицей (см., например, предложение 5.11 в [8]). Пусть Γ = {γ} — семейство кривых на n-мерном римановом многообразии (Mn, g). Измеримая по Борелю неотрицательная функция ρ : Mn → R+, n ≥ 2, называется допустимой для Γ, если условие∫ γ ρ ds ≥ 1 (7) выполнено для каждой кривой γ ∈ Γ. Здесь мы используем естественный параметр s длин дуг кривой γ. Под длиной произвольной кривой γ : [a, b] → Mn понимается ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1302 Е. С. АФАНАСЬЕВА супремум всех сумм sup k∑ j=1 d(γ(ti), γ(ti−1)) (8) над всеми конечными разбиениями a = t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tk = b интервала [a, b]. Кривая γ называется спрямляемой, если ее длина конечна; кривая γ : [a, b] → Mn называется локально спрямляемой, если любая ее собственная подкривая γ|[a′,b′], a < a′ < b′ < b, спрямляема. Конформным модулем семейства кривых Γ называется величина M(Γ) := inf ρ∈adm Γ ∫ Mn ρndv, (9) где нижняя грань берется по всем допустимым для Γ функциям. Величина (9) выполняет роль внешней меры в пространстве кривых. В даль- нейшем говорим, что некоторое свойство P имеет место для почти всех кривых семейства Γ, если подсемейство Γ∗ кривых семейства Γ, для которых свойство P нарушается, имеет нулевой конформный модуль. В частности, очевидно, что почти всех кривые в (Mn, g) являются спрямляемыми. Аналогично [6] говорим, что гомеоморфизм f : D → D∗ между областями D и D∗ на римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗) является Q-гомеоморфизмом с измеримой функцией Q : D → [1,∞], если M(fΓ) ≤ ∫ D Q(x)ρn(x) dv(x) (10) для произвольного семейства Γ кривых в D и любых ρ ∈ adm Γ. Следующая концепция является естественным обобщением кольцевого опреде- ления квазиконформных отображений по Герингу (ср. с [11]). В дальнейшем подразумевается, что геодезические сферы S(x0, r) = {x ∈ ∈ Mn : d(x, x0) = r}, геодезические кольца A = A(x0, r1, r2) = {x ∈ Mn : r1 < < d(x, x0) < r2} и геодезические шары B(x0, r) = {x ∈ Mn : d(x, x0) < r} лежат в нормальной окрестности точки x0. Пусть D — область на римановом многообразии (Mn, g), D∗ — область на ри- мановом многообразии (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, и Q : D → [0,∞] — измеримая функция. В дальнейшем мы часто без оговорок будем подразумевать, что функция Q продол- жена нулем вне области D. Далее ∆(E,F ;D) обозначает семейство всех кривых γ, соединяющих множества E и F в D. Говорим, что гомеоморфизм f : D → D∗ называется кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если условие M (∆(f(C0), f(C1);D∗)) ≤ ∫ A∩D Q(x) ηn (d(x, x0)) dv(x) (11) выполняется для любого геодезического кольца A = A(x0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < <∞, любых двух континуумов (компактных связных множеств) C0 ⊂ B(x0, r1) и C1 ⊂Mn \B(x0, r2) и любой измеримой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, что r2∫ r1 η(r)dr ≥ 1. (12) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1303 Также говорим, что f является кольцевым Q-гомеоморфизмом в D, если (11) выполнено для всех точек x0 ∈ D. Заметим, что любой Q-гомеоморфизм в области является кольцевым Q-гомеоморфизмом в той же области, но не наоборот. Понятие кольцевого Q-гомеоморфизма было впервые введено в связи с иссле- дованиями уравнений Бельтрами на плоскости (см., например, [4]), затем в Rn, n ≥ 3, в статье [3] и, наконец, в метрических пространствах с мерами в работе [5]. 3. Основная лемма. Далее Hk, k = 1, . . . , n − 1, обозначает k-мерную меру Хаусдорфа множества A на (Mn, g), n ≥ 2. Точнее, пусть A — множество на (Mn, g). Тогда полагаем Hk(A) = sup ε>0 Hk ε (A) , (13) Hk ε (A) = inf ∞∑ i=1 δi k , (14) где инфимум в (14) берется над всеми счетными наборами чисел δi ∈ (0, ε) таки- ми, что некоторые множества Ai на (Mn, g) с диаметрами δi покрывают A (см., например, [12]). Пусть для некоторого множества A и k ≥ 0 выполнено условие Hk1(A) <∞. Тогда Hk2(A) = 0 для произвольного числа k2 > k1 (см., например, разд. 1. B гл. VII в [12]). Величина dimHA = sup Hk(A)>0 k называется хаусдорфовой размерностью множества A. Лемма 1. Хаусдорфова размерность областей на гладких римановых много- образиях (Mn, g) относительно геодезического расстояния совпадает с тополо- гической размерностью n. Кроме того, гладкие римановы многообразия локально n-регулярны по Альфорсу. Определение регулярности по Альфорсу метрического пространства с мерой см. в [5]. Доказательство. Напомним, что d(z, y) = inf γ sγ , (15) где инфимум берется по всем кусочно-гладким кривым γ, соединяющим z и y в Mn и sγ — длина кривой γ. При этом sγ = ∫ √ gij(x(s∗)) dxi ds∗ dxj ds∗ ds∗, где s∗ — естественный параметр длин дуг кривой γ, и ∣∣∣∣ dxds∗ ∣∣∣∣ = 1. Пусть η = (η1, . . . , ηn), где ηi = dxi ds∗ . Оценим геодезическое расстояние d(z, y) через евклидово рассто- яние ρ(z, y) в произвольных локальных координатах. Для этого цели рассмотрим функцию ϕx0 (η) = gij(x0) ηiηj , (16) заданную на единичной сфере |η| = 1 в Rn, где x0 ∈ Mn — фиксированная точка. По определению метрический тензор gij является положительно определенным и ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1304 Е. С. АФАНАСЬЕВА непрерывным. Поскольку непрерывная на компакте функция является ограничен- ной, ϕx0 (η) достигает на нем своего максимума и минимума 0 < mx0 < ϕx0(η) < Mx0 <∞, (17) где mx0 и Mx0 — константы, зависящие от x0. Вследствие непрерывной зависимости ϕx(η) по совокупности переменных x и η, (17) имеет место не только в точке x0, но и во всех точках x некоторой окрестности x0.От любой наперед заданной координатной системы можно перейти в другую систему, такую, что в точке x0 значения всех координат будут равны нулю, а коэффициенты gij фундаментальной формы (2) равны единице, если i = j, и нулю, если i 6= j (см., например, [7, с. 201]). Таким образом, локально имеем двустороннюю оценку геодезического рассто- яния через евклидово расстояние в соответствующей системе координат mr(z, y) ≤ d(z, y) ≤Mr(z, y), где 0 < m ≤M <∞. С другой стороны, из тех же соображений имеем локальную двустороннюю оценку объема V (B) = ∫ B √ det gijdx 1 . . . dxn геодезических шаров B через их евклидов объем W (B) m̃W (B) ≤ V (B) ≤ M̃W (B) (18) в соответствующей системе координат, где det gij близок к единице. Комбинируя (17) и (18), получаем, что локально cdn ≤ V (B) ≤ Cdn, где d — геодезический радиус шаров B. Таким образом, римановы многообразия являются локально n-регулярными по Альфорсу, а значит, их хаусдорфова размерность совпадает с топологической раз- мерностью n (см. [14, c. 62]). Из леммы 1, в частности, получаем локальное условие удвоения меры. Следствие 1. Для любой точки x0 на гладком римановом многообразии (Mn, g) найдутся r0 > 0 и c ∈ (1,∞) такие, что v(B(x0, 2r)) ≤ cv(B(x0, r)) ∀ r ≤ r0. 4. Функции конечного среднего колебания. Пусть (Mn, g), n ≥ 2, — гладкое риманово многообразие. Аналогично [13] говорим, что функция ϕ : Mn → R имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈Mn (сокращенно ϕ ∈ FMO(x0)), если lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) |ϕ(x)− ϕ̃ε| dv(x) <∞ ∀ x0 ∈Mn, (19) где ϕ̃ε = ϕ̃ε,x0 = − ∫ B(x0,ε) ϕ(x) dv(x) = 1 v(B(x0, ε)) ∫ B(x0,ε) ϕ(x) dv(x) (20) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1305 — среднее значение функции ϕ(x) по геодезическому шару B(x0, ε) относительно меры объема v. Здесь условие (19) включает предположение, что ϕ интегрируема относительно меры v по некоторому геодезическому шару B(x0, ε) для некоторого ε > 0. Пишем также ϕ ∈ FMO, если ϕ ∈ FMO(x0) для всех x0 ∈Mn. Известно, что условие (19) выполняется для почти всех точек x0, если ϕ ∈ L1 loc, и поэтому указанное условие является естественным. Предложение 2. Если для некоторых чисел ϕε ∈ R, ε ∈ (0, ε0], lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) |ϕ(x)− ϕε| dv(x) <∞, (21) то ϕ имеет конечное среднее колебание в точке x0 (см. [15]). Доказательство. Действительно, по неравенству треугольника − ∫ B(x0,ε) |ϕ(x)− ϕε|dv(x) ≤ − ∫ B(x0,ε) |ϕ(x)− ϕε|dv(x) + |ϕε − ϕε| ≤ ≤ 2 − ∫ B(x0,ε) |ϕ(x)− ϕε|dv(x). Следствие 2. Если для точки x0 ∈ D выполнено lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) |ϕ(x)| dv(x) <∞, (22) то ϕ имеет конечное среднее колебание в точке x0. Следующее утверждение получается из леммы 4.1 в [15] в силу леммы 1 и следствия 1. Предложение 3. Для любой неотрицательной функции ϕ : Mn → R класса FMO(x0) ∫ A(x0,ε,ε0) ϕ(x) dv(x)( d(x, x0) log 1 d(x, x0) )n = O ( log log 1 ε ) (23) при ε→ 0 и некотором ε0 ∈ (0, δ0), где δ0 = min (e−e, r0), r0 — радиус нормальной окрестности точки x0. 5. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов. Далее D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соот- ветственно. Напомним некоторые определения в соответствии с работой [15], в которой рассматривались произвольные метрические пространства с мерами. Область D называется локально связной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдется другая ее окрестность V ⊆ U такая, что V ∩D связно. Заметим, что любая жорданова область D локально связна в любой своей граничной точке (см. [16, c. 66]). Замечание 2. Если область D на (Mn, g) локально связна в точке x0 ∈ ∂D, то она и локально линейно связна в x0. Связность и линейная связность эквивалент- ны для открытых множеств на многообразиях и в так называемых слабо плоских пространствах, которые включают в себя известные широкие классы пространств ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1306 Е. С. АФАНАСЬЕВА Левнера, группы Карно и Гейзенберга (см. следствие 13.1 в [6] или следствие 2.1 в [15]). Будем также говорить, что граница ∂D — слабо плоская в точке x0 ∈ ∂D, если для любого числа P > 0 и любой окрестности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U такая, что M(∆(E,F ;D)) ≥ P (24) для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V. Будем говорить, что граница области D сильно достижима в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдутся компакт E ⊂ D, окрестность V ⊂ U точки x0 и число δ > 0 такие, что M(∆(E,F ;D)) ≥ δ (25) для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V. Очевидно, что (24) влечет (25). Граница ∂D называется сильно достижимой и слабо плоской, если соответ- ствующие свойства имеют место в каждой точке границы. Замечание 3. В определениях слабо плоской и сильно достижимой границ можно ограничиться окрестностями точки x0 из какой-либо фундаментальной сис- темы окрестностей и, в частности, можно выбрать окрестности U и V точки x0 в виде достаточно малых шаров (открытых или замкнутых) с центром в точке x0 в локальных координатах или относительно геодезического расстояния. Кроме того, здесь можно ограничиться только континуумами E и F в U. С учетом леммы 1 следующая лемма вытекает из леммы 3.1 работы [15]. Лемма 2. Если ∂D — слабо плоская в точке x0 ∈ ∂D, то D локально связна в x0. Нижеприведенные результаты о граничном поведении кольцевых Q-гомеомор- физмов на римановых многообразиях следуют непосредственно из леммы 1 и со- ответствующих теорем из предыдущей работы автора [5] о граничном поведении кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах с мерами. В частно- сти, следующая теорема следует из теоремы 3 работы [5]. Теорема 1. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ слабо плоская, D компактно и Q ∈ L1(D). Тогда обратный гомеоморфизм g = f−1 : D∗ → D допускает непрерывное продолжение g : D∗ → D. Следующая лемма получается из леммы 4 в [5] с учетом леммы 1. Лемма 3. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, D∗ — компакт, а f : D → D∗ — кольцевой Q-гомеоморфизм в x0 такой, что ∂D∗ сильно достижима хотя бы в одной точке предельного множества C(x0, f) = { y ∈Mn ∗ : y = lim k→∞ f(xk), xk → x0, xk ∈ D } , (26) Q : D → [0,∞] — измеримая функция, удовлетворяющая условию∫ Dx0,ε0 (ε) Q(x)ψnx0,ε(d(x, x0)) dv(x) = o(Inx0,ε0(ε)) (27) для некоторого достаточно малого ε0 ∈ (0, d(x0)) при ε → 0, где d(x0) = = supx∈D d(x, x0), Dx0,ε0(ε) = {x ∈ D : ε < d(x, x0) < ε0} и ψx0,ε(t) — семейство ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1307 неотрицательных измеримых (по Лебегу) функций на (0,∞) таких, что 0 < Ix0,ε0(ε) := ε0∫ ε ψx0,ε(t) dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0), ε0 ∈ (0, d(x0)). (28) Тогда f продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). В частности, из леммы 3 получаем следующее утверждение. Лемма 4. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, D∗ — компакт, а f : D → D∗ — кольцевой Q-гомеоморфизм в x0 такой, что ∂D∗ сильно достижи- ма хотя бы в одной точке предельного множества C(x0, f), Q : D → [0,∞] — измеримая функция, удовлетворяющая условию δ(x0)∫ 0 dt(∫ D∩S(x0,t) Q(x) dA )1/(n−1) =∞ (29) для некоторого δ(x0) ∈ (0, d(x0)), где d(x0) = supx∈D d(x, x0), B(x0, δ(x0)) — нор- мальная окрестность точки x0. Тогда f продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). Доказательство. Действительно, положим ψ(t) =  1[∫ S(x0,t) Q(x) dA ]1/(n−1) , t ∈ (0, ε0), 0, t > ε0. (30) Тогда в силу условия (29) ∫ A∩D Q(x)ψn (r) dv(x) = = ε0∫ ε dr(∫ S(x0,r) Q(x) dA )1/(n−1) = Ix0,ε0(ε) = o(Inx0,ε0(ε)), где A = A(x0, ε, ε0). Таким образом, по лемме 3 получаем заключение леммы 4. Из предложения 3 и леммы 3 получаем также следующую теорему. Теорема 2. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ сильно дости- жима и D∗ компактно. Если Q ∈ FMO(x0), то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ продолжим в точку x0 по непрерывности на (Mn ∗ , g ∗). Следствие 3. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D∗ сильно дости- жима и D∗ компактно. Если lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) Q(x) dv(x) <∞, (31) то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ продолжим в точку x0 по непре- рывности на (Mn ∗ , g ∗). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1308 Е. С. АФАНАСЬЕВА Комбинируя теорему 1 и лемму 3, получаем также следующие утверждения. Лемма 5. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ слабо плоская, D ком- пактно. Если функция Q ∈ L1(D) удовлетворяет условию (27) в каждой точке x0 ∈ ∂D, то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ продолжим до гомео- морфизма f : D → D∗. Теорема 3. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ слабо плоская (сильно достижимая), D∗ (и D) компактно и Q ∈ L1(D). Если Q принадлежит FMO, то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ допускает гомеоморфное (непре- рывное) продолжение f : D → D∗. Теорема 4. Пусть D локально связна на границе, ∂D∗ слабо плоская (сильно достижимая), D∗ (и D) компактно, Q ∈ L1(D), ε(x0)∫ 0 dr(∫ S(x0,r)∩D Q(x) dA )1/(n−1) =∞ ∀ x0 ∈ ∂D (32) и 0 < ε(x0) < d0 = supx∈D d(x, x0) таково, что B(x0, ε(x0)) — нормальная окрестность точки x0. Тогда каждый кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ допускает гомеоморфное (непрерывное) продолжение f : D → D∗. Следствие 4. Пусть D локально связна на ∂D, ∂D∗ слабо плоская (сильно достижимая), D∗ (и D) компактно, Q ∈ L1(D) и 1 rn−1 ∫ S(x0,r)∩D Q(x) dA = O ( logn−1 1 r ) . (33) Тогда каждый кольцевой Q-гомеоморфизм f : D → D∗ допускает гомеоморфное (непрерывное) продолжение f : D → D∗. 6. Следствия для гомеоморфизмов класса Соболева. В качестве следствий сформулируем основные результаты для гомеоморфизмов класса Соболева W 1,n loc между областями на гладких римановых n-мерных многообразиях. Именно, пусть D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соответственно. Говорят, что отображение f : D → D∗ принадле- жит классу Соболева W 1,p loc (D), если координатные функции f имеют в локальных координатах обобщенные частные производные первого порядка, локально инте- грируемые в степени p. Определение класса Соболева W 1,p loc корректно вследствие его инвариантности относительно замен локальных координат. Известно, что непрерывная функция f в Rn принадлежит классу W 1,p loc тогда и только тогда, когда f ∈ ACLp, т. е. если отображение f локально абсолютно непрерывно на почти всех отрезках, параллельных координатным осям, а первые частные производные f локально интегрируемы в степени p (см., например, теоре- мы 2.7.1 и 2.7.2 в [17]). Также известно, что непрерывные функции f класса W 1,p loc в Rn характеризуются тем, что их можно аппроксимировать последовательностя- ми гладких функций {fm} так, что fm → f локально равномерно, а их первые обобщенные производные сходятся локально в Lp (cм., например, теорему 27.7 в [18], а также теоремы 1.1, 1.6 и 1.8 в [19]). Аналогичный критерий имеет место на гладких римановых многобразиях (см., например, теорему 6.10 в [20]). В случае ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1309 p = n существует подпоследовательность {fmk }, производные которой сходятся локально в L1 на почти всех локально спряляемых кривых к производным f отно- сительно естественной меры длин дуг [21]. Таком образом, приходим к следующей теореме (ср. с теоремой 28.2 в [18] для Rn). Теорема Фугледе. Пусть D — область на гладком римановом многообразии (Mn, g) и f : D → R — непрерывная функция класса W 1,n loc . Тогда M(Γ) = 0, где Γ — семейство всех спрямляемых кривых в D, на которых f не является локально абсолютно непрерывной. Развитая в п. 5 теория будет применима к гомеоморфизмам класса W 1,n loc с KI(x, f) ∈ L1 loc, так как такие гомеоморфизмы, как мы покажем, являются кольце- выми Q-гомеоморфизмами с Q(x) = KI(x, f), где KI(x, f) — внутренняя дилата- ция отображения f : KI(x, f) = J(x, f) ln(x, f) . (34) Здесь J(x, f) = lim sup r→0 v∗(f(B(x, r))) v(B(x, r)) и l(x, f) = lim inf y→x d∗(f(x), f(y)) d(x, y) . В (34) доопределяем KI(x, f) = 1, если l(x, f) = 0 = J(x, f), и KI(x, f) =∞, если l(x, f) = 0, но J(x, f) 6= 0. Замечание 4. Напомним, что гомеоморфизмы f между областями в Rn класса W 1,n loc дифференцируемы почти всюду и имеют (N)-свойство Лузина (см. [22, 23]). При этом если к тому же KI(x, f) ∈ L1 loc, то f −1 ∈W 1,n loc по следствию 2.3 в работе [24], cледовательно, f−1 также дифференцируемый почти всюду и имеет (N)- свойство. Последнее свойство влечет, что J(x, f) 6= 0 почти всюду (см. [25]). Таким образом, в (34) мы можем почти всюду J(x, f) заменить на Jf (x) := |det f ′(x)|, а l(x, f) — на lf (x) := inf h∈Rn, |h|=1 |f ′(x)h|, где f ′(x) — якобиева матрица отображения f в любых локальных координатах на римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗). Далее мы также используем обозначение операторной нормы якобиевой матрицы ‖f ′(x)‖ := sup h∈Rn, |h|=1 |f ′(x)h|. Лемма 6. Пусть f : D → D∗ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n loc (D) с KI(x, f) ∈ L1 loc(D). Тогда f является Q-гомеоморфизмом с Q(x) = KI(x, f). Доказательство. Пусть Γ — произвольное семейство кривых в области D и Γ̃ — семейство всех путей γ ∈ f(Γ), на которых f−1 является локально абсолютно непрерывным. Тогда по приведенной выше теореме Фугледе M(f(Γ)) = M(Γ̃). Для произвольной функции ρ ∈ adm Γ полагаем ρ̃(y) = ρ(f−1(y))‖(f−1)′(y)‖ для почти всех y ∈ D∗, где f−1 дифференцируемо, и ρ̃(y) = 0 для остальных точек. Тогда получаем ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1310 Е. С. АФАНАСЬЕВА∫ γ̃ ρ̃ ds ≥ ∫ f−1◦γ̃ ρ ds ≥ 1 для всех γ̃ ∈ Γ̃ и, следовательно, ρ̃ ∈ adm Γ̃. Согласно замечанию 4, f и f−1 являются дифференцируемыми почти всюду, имеют (N)-свойство и J(x, f) 6= 0 почти всюду. Поэтому, применяя замену пере- менных под интегралом (см., например, [26]), получаем M(fΓ) = M(Γ̃) ≤ ∫ D∗ ρ̃n dv∗(y) = = ∫ D∗ ρn(f−1(y))‖(f−1)′(y))‖n dv∗(y) = ∫ D∗ ρn(f−1(y)) lf (f−1(y))n dv∗(y) = = ∫ D∗ ρn(f−1(y))KI(f −1(y), f)Jf−1(y) dv∗(y) = ∫ D KI(x, f)ρn(x) dv(x). Здесь мы также воспользовались соотношениями Jf−1(y) = 1/Jf (f−1(y)) и ‖(f−1)′(y))‖ = 1/ lf (f−1(y)) почти всюду. В качестве следствий леммы 6 и результатов предыдущего пункта получаем следующие теоремы. Теорема 5. Пусть D локально связна на ∂D, ∂D∗ слабо плоская, D компакт- но и f : D → D∗ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n loc (D) с KI(x, f) ∈ L1(D). Тогда обратный гомеоморфизм g = f−1 : D∗ → D допускает непрерывное про- должение g : D∗ → D. Теорема 6. ПустьD локально связна на ∂D, ∂D∗ сильно достижимая (слабо плоская),D∗ (иD) компактно,Q : Mn → (0,∞) иQ— функция класса FMO. Тогда любой гомеоморфизм f : D → D∗ класса Соболева W 1,n loc (D) с KI(x, f) ≤ Q(x) почти всюду в D допускает непрерывное (гомеоморфное) продолжение f : D → → D∗. Следствие 5. Пусть D локально связна на ∂D, ∂D∗ сильно достижимая (слабо плоская),D∗ (иD) компактно,Q : Mn → (0,∞), Q — локально суммируемая функция и lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) Q(x) dv(x) <∞ ∀ x0 ∈ ∂D. Тогда любой гомеоморфизм f : D → D∗ класса Соболева W 1,n loc (D) с KI(x, f) ≤ ≤ Q(x) почти всюду в D допускает непрерывное (гомеоморфное) продолжение f : D → D∗. Теорема 7. ПустьD локально связна на ∂D, ∂D∗ сильно достижимая (слабо плоская), D∗ (и D) компактно. Если f : D → D∗ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n loc (D) такой, что KI(x, f) ∈ L1(D) и ε(x0)∫ 0 dr(∫ D(x0,r) KI(x, f) dA )1/n−1 =∞ ∀ x0 ∈ ∂D, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1311 где D(x0, r) = D ∩S(x0, r), то f допускает непрерывное (гомеоморфное) продол- жение f : D → D∗. Следствие 6. Пусть D локально связна на ∂D, ∂D∗ сильно достижимая (слабо плоская), D∗ (и D) компактно. Если f : D → D∗ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n loc (D) такой, что KI(x, f) ∈ L1(D) и 1 rn−1 ∫ S(x0,r)∩D KI(x, f) dA = O ( logn−1 1 r ) ∀ x0 ∈ ∂D при r → 0,то f допускает непрерывное (гомеоморфное) продолжение f : D → D∗. 7. Интегральные условия. Напомним, что функция Φ: [0,∞]→ [0,∞] назы- вается выпуклой, если Φ(λt1 + (1− λ)t2) ≤ λΦ(t1) + (1− λ)Φ(t2) для всех t1, t2 ∈ [0,∞] и λ ∈ [0, 1]. Лемма 7. Пусть B0 = B(x0, ε0) — нормальная окрестность точки x0 на римановом многообразии (Mn, g), n ≥ 2, Q : B0 → [0,∞] — измеримая функция и Φ: [0,∞]→ (0,∞] — возрастающая выпуклая функция. Тогда ε0∫ 0 dr rq 1 p (r) ≥ c n ∞∫ eCM0 dτ τ [Φ−1(τ)]1/p ∀ p ∈ (0,∞), где M0 — среднее значение функции Φ ◦ Q над геодезическим шаром B0, q(r) — средние значения функции Q(x) над геодезическими сферами S(x0, r) = {x ∈ ∈ Mn : d(x, x0) = r}, c и C — постоянные, произвольно близкие к единице для малых ε0. Доказательство. В нормальной системе координат точка x0 имеет нулевые координаты, а коэффициенты gij фундаментальной формы (2) равны единице, ес- ли i = j, и нулю, если i 6= j (см., например, (b) и (c) предложения 5.11 в [8]). Следовательно, во всех точках достаточно малой окрестности точки x0 матрица gij произвольно близка к единичной. Поэтому элементы объема и площади на гео- дезических сферах в таких окрестностях эквивалентны евклидовым с коэффициен- том эквивалентности, произвольно близким к единице. Таким образом, заключение леммы 7 следует из ее евклидового аналога (см. лемму 1 в [27]). Полагая Q ≡ 0 вне области D и комбинируя леммы 4 и 7 при p = n − 1, получаем следующий результат. Теорема 8. Пусть D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соответственно, D локально связна на ∂D, D∗ имеет сильно достижимую границу и D∗ компактно. Предположим, что f : D → D∗ — кольцевой Q-гомеоморфизм с ∫ D Φ(Q(x)) dv <∞ для выпуклой возрастающей функции Φ: [0,∞]→ (0,∞]. Если ∞∫ δ0 dτ τ [Φ−1(τ)]1/(n−1) =∞ (35) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 1312 Е. С. АФАНАСЬЕВА для некоторого δ0 > Φ(0), то f имеет непрерывное продолжение f : D → D∗. Кроме того, используя теорему 1, получаем также следующее утверждение. Теорема 9. Если дополнительно к условиям теоремы 8 Q ∈ L1(D), область D∗ имеет слабо плоскую границу, а замыкание D компактно, то f имеет гомео- морфное продолжение f : D → D∗. Наконец, отсюда с учетом леммы 6 получаем следующую теорему. Теорема 10. Пусть D и D∗ — области на гладких римановых многообразиях (Mn, g) и (Mn ∗ , g ∗), n ≥ 2, соответственно, D локально связна на ∂D, D∗ имеет сильно достижимую (слабо плоскую) границу, D∗ (и D) компактно. Тогда любой гомеоморфизм f : D → D∗ класса Соболева W 1,n loc (D) такой, что∫ D Φ(KI(x, f)) dv(x) <∞ (36) для некоторой выпуклой возрастающей функции Φ: [0,∞] → (0,∞] с условием (35) допускает непрерывное (гомеоморфное) продолжение f : D → D∗. Как показывает соответствующий пример в Rn, n ≥ 2, из работы [28], условие (35) является не только достаточным, но и необходимым для непрерывного про- должения указанных отображений на границу при интегральном ограничении (36). Отметим, наконец, что все известные в настоящий момент регулярные границы — гладкие и липшицевые, а также границы выпуклых, квазивыпуклых, равномер- ных и QED-областей, квазиэкстремальной длины по Герингу – Мартио — являются слабо плоскими и, следовательно, приведенные выше результаты применимы к таким границам (см. [29]). 1. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math. and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420. 2. Ломако Т. В. О распространении некоторых обобщений квазиконформных отображений на границу // Укр. мат. журн. – 2009. – 6, № 10. – С. 1329 – 1337. 3. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеомор- физмов // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 1361 – 1376. 4. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation and ring homeomorphisms // Укр. мат. вестн. – 2007. – 4, № 1. С. 97 – 115. 5. Смоловая Е. С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 5. – С. 682 – 689. 6. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory // Springer Monogr. Math. – New York: Springer, 2009. 7. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1960. 8. Lee J. M. Riemannian manifolds: An introduction to curvature. – New York: Springer, 1997. 9. Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 10. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Гостехтеоретиздат, 1953. 11. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. – P. 353 – 393. 12. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1948. 13. Игнатьев А. А., Рязанов В. И Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2005. – 2, № 3. – С. 395 – 417. 14. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer, 2001. 15. Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2007. – 4, № 2. – С. 199 – 234. 16. Wilder R. L. Topology of manifolds. – New York: Amer. Math. Soc., 1949. 17. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высш. шк., 1977. 18. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229. 19. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10 ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ . . . 1313 20. Suominen K. Quasiconformal maps in manifolds // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. 1 Math. – 1966. – 393. – P. 1 – 39. 21. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – 98. – P. 171 – 219. 22. Решетняк Ю. Г. Обобщенные производные и дифференцируемость п. в. // Мат. сб. – 1968. – 75, № 3. – С. 323 – 334. 23. Решетняк Ю. Г. Некоторые геометрические свойства функций и отображений с обобщенными производными // Сиб. мат. журн. – 1966. – 7, № 4. – С. 886 – 919. 24. Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: Capacity and modulus inequalities // J. reine und angew. Math. – 2006. – 599. – S. 1 – 26. 25. Пономарев С. П. N−1-свойство отображений и (N)-условие Лузина // Мат. заметки. – 1995. – 58. – С. 411 – 418. 26. Müller S. Higher integrability of determinants and weak convergence in L1 // J. reine und angew. Math. – 1990. – 412. – S. 20 – 34. 27. Kovtonyuk D., Ryazanov V. Toward the theory of generalized quasi-isometries // Мат. студ. – 2010. – 34, № 2. – С. 129 – 135. 28. Kovtonyuk D., Ryazanov V. On boundary behavior of generalized quasi-isometries // ArXiv: 1005. 0247v1 [math. CV], 3 May 2010. 29. Афанасьева Е. С., Рязанов В. И. Регулярные области в теории отображенй на римановых много- образиях // Труды Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2011. – 22. – С. 1 – 10. Получено 25.02.11, после доработки — 14.07.11 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10

Схожі ресурси