Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга
В работе предлагается обобщение понятия внутреннего радиуса на случай n-мерного комплексного пространства, что позволяет перенести некоторые результаты, известные в случае комплексной плоскости, на Cⁿ....
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169312 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга / И.В. Денега, Я.В. Заболотный // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 33-41. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169312 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1693122025-02-09T13:33:04Z Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга Problem of nonoverlapping polycylindrical domains with poles on the boundary of a polydisk Денега, И.В. Заболотный, Я.В. В работе предлагается обобщение понятия внутреннего радиуса на случай n-мерного комплексного пространства, что позволяет перенести некоторые результаты, известные в случае комплексной плоскости, на Cⁿ. In this paper we propose a generalization of the concept of the inner radius in the case of n-dimensional complex space that allows us to transfer some results known in the complex plane for Cⁿ. 2017 Article Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга / И.В. Денега, Я.В. Заболотный // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 33-41. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30C75, 32A30 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169312 ru Український математичний вісник application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе предлагается обобщение понятия внутреннего радиуса на случай n-мерного комплексного пространства, что позволяет перенести некоторые результаты, известные в случае комплексной плоскости, на Cⁿ. |
| format |
Article |
| author |
Денега, И.В. Заболотный, Я.В. |
| spellingShingle |
Денега, И.В. Заболотный, Я.В. Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга Український математичний вісник |
| author_facet |
Денега, И.В. Заболотный, Я.В. |
| author_sort |
Денега, И.В. |
| title |
Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга |
| title_short |
Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга |
| title_full |
Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга |
| title_fullStr |
Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга |
| title_full_unstemmed |
Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга |
| title_sort |
задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169312 |
| citation_txt |
Задача о неналегающих полицилиндрических областях с полюсами на границе поликруга / И.В. Денега, Я.В. Заболотный // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 33-41. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT denegaiv zadačaonenalegaûŝihpolicilindričeskihoblastâhspolûsaminagranicepolikruga AT zabolotnyjâv zadačaonenalegaûŝihpolicilindričeskihoblastâhspolûsaminagranicepolikruga AT denegaiv problemofnonoverlappingpolycylindricaldomainswithpolesontheboundaryofapolydisk AT zabolotnyjâv problemofnonoverlappingpolycylindricaldomainswithpolesontheboundaryofapolydisk |
| first_indexed |
2025-11-26T06:51:16Z |
| last_indexed |
2025-11-26T06:51:16Z |
| _version_ |
1849834746362724352 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 1, 33 – 41
Задача о неналегающих полицилиндрических
областях с полюсами на границе поликруга
Ирина В. Денега, Ярослав В. Заболотный
(Представлена С. Я. Махно)
Аннотация. В работе предлагается обобщение понятия внутрен-
него радиуса на случай n-мерного комплексного пространства, что
позволяет перенести некоторые результаты, известные в случае ком-
плексной плоскости, на Cn.
2010 MSC. 30C75, 32A30.
Ключевые слова и фразы. Обобщенный внутренний радиус обла-
сти, непересекающиеся полицилиндрические области, лучевые систе-
мы точек в пространстве Cn, разделяющее преобразование, квадра-
тичный дифференциал, функция Грина .
1. Введение
Целью данной работы является изучение задачи о произведении
степеней обобщенных конформных радиусов полицилиндричних не-
пересекающихся областей с полюсами на границе поликруга. Про-
странственные аналоги ряда известных результатов о непересекаю-
щихся областях на плоскости были получены в работе [1]. Для этого
в [1] было обобщено понятие внутреннего радиуса, а именно, введе-
но понятие гармоничного радиуса пространственной области B ⊂ Rn
относительно некоторой внутренней точки. В работе [1] впервые уда-
лось значительно продвинуться в получении результатов для нена-
легающих областей в пространственном случае. Далее в [2] был пре-
дложен подход, который позволяет перенести некоторые результа-
ты, известные в случае комплексной плоскости, на Cn. В тоже время
для случая комплексной плоскости задачи о неналегающих областях
представляют достаточно хорошо разработанное направление геоме-
трической теории функций комплексного переменного (см., напри-
мер, [3–15]).
Статья поступила в редакцию 14.12.2016
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
34 Задача о неналегающих полицилиндрических...
Пусть N, R, C — множества натуральных, действительных и ком-
плексных чисел, соответственно, и R+ = (0,∞). Пусть C — сфера
Римана (разширенная комплексная плоскость). Хорошо известно, что
Cn = (C× C× . . .× C︸ ︷︷ ︸
n−раз
), n ∈ N. Cn = (C× C× . . .× C)︸ ︷︷ ︸
n−раз
— компакти-
фикация пространства Cn (см., например, [3–5]), где множество бе-
сконечно удаленных точек имеет комплексную размерность n − 1.
Пусть [D]n — (декартова степень области D ∈ C) обозначает декар-
тово произведение D ×D × . . .×D︸ ︷︷ ︸
n−раз
, [d]n — (декартова степень точки
d ∈ C) обозначает точку с Cn, которая имеет координаты (d, ..., d)︸ ︷︷ ︸
n−раз
.
Ясно, что C1 = C, C1
= C. Топология в Cn вводится как в декарто-
вом произведении топологических пространств. В этой топологии Cn
компактно (см. [3–5]).
Область B = B1×B2× . . .×Bn ⊂ Cn, где каждая область Bk ⊂ C,
k = 1, n, называется полицилиндрической областью в Cn (см., напри-
мер, [3]). Области Bk, k = 1, n, назовем координатными областями
области B.
Пусть B — область из C. Пусть
gB(B, a) = hB,a(z) + log
1
|z − a|
— обобщенная функция Грина области B относительно точки a ∈ B.
Если a→ ∞, тогда
gB(B,∞) = hB,∞(z) + log
1
|z|
.
Величина r(B, a) := exp(hB,a(z)) обозначает внутренний радиус обла-
сти B ⊂ C относительно точки a ∈ B (см. [6–9]).
Обобщенным внутренним радиусом полицилиндрической области
B относительно точки A = (a1, a2, . . . , an) ∈ B, ak ∈ Bk, k = 1, n,
будем называть величину
R(B,A) :=
(
n∏
k=1
r(Bk, ak)
) 1
n
,
где величины r(Bk, ak), k = 1, n, обозначают внутренние радиусы
координатных областей Bk относительно ak.
При n = 1 величина R(B,A) является обычным внутренним ра-
диусом области B ⊂ C относительно точки A.
И. В. Денега, Я. В. Заболотный 35
Пусть Un = [U ]n, где U = {z ∈ C : |z| < 1} (единичный круг в
комплексной плоскости C). Обозначим через Γn остов полукруга Un
(см. [7,8]), то есть множество точек A = (a1, a2, . . . , an) ⊂ Cn, |as| = 1,
s = 1, n.
Совокупность областей Bk ⊂ C, k = 1, p, p ∈ N, называется си-
стемой непересекающихся областей, если Bk ∩ Bs = ∅, k, s = 1, p,
k ̸= s, p ∈ N.
Система {Bk}mk=1
(
Bk = B
(k)
1 × . . .×B
(k)
n , k = 1,m
)
называется си-
стемой непересекающихся полицилиндрических областей, если при
каждом фиксированном p0, p0 = 1, n, система областей
{
B
(k)
p0
}
, k =
1,m, есть системою непересекающихся областей на C.
Пусть m ∈ N, m > 2. Систему точек ∆m := {ak}mk=1, ak ∈ C,
назовем m-лучевой, если |ak| ∈ R+ при k = 1,m,
0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg am < 2π.
Систему точек {Ak}mk=1
(
Ak =
(
a
(k)
1 , a
(k)
2 , . . . , a
(k)
n
)
∈ Cn, k = 1,m
)
,
назовем лучевой в пространстве Cn, если при каждом фиксированном
p0 последовательность
{
a
(k)
p0
}
, k = 1,m, есть m-лучевой системою
точек на соответствующей комплексной плоскости C.
Будем рассматривать лучевые системы точек в пространстве Cn
следующего вида
{Ak}mk=1 , Ak =
(
a
(k)
1 , a
(k)
2 , . . . , a(k)n
)
∈ Cn,
k = 1,m, a(1)p0 > 0, p0 = 1, n, (1.1)
arg a(k)p0 < arg a(k+1)
p0 , k = 1,m− 1, arg a(m)
p0 < 2π.
Введем также следующие обозначения
α(1)
p0 :=
1
π
(
arg a(2)p0 − arg a(1)p0
)
, α(2)
p0 :=
1
π
(
arg a(3)p0 − arg a(2)p0
)
, . . . ,
α(m)
p0 :=
1
π
(
2π − arg a(m)
p0
)
.
Одним из основных понятий в настоящей работе есть понятие ква-
дратичного дифференциала (см, например, [10,11]). Пусть R — (ори-
ентированная) риманова поверхность (открытая или замкнутая). Бу-
дем говорить, что на R определен квадратичный дифференциал, если
каждому локальному параметру z поверхности R сопоставлена неко-
торая функция Q(z), мероморфная в соответствующей окрестности и
удовлетворяющая следующему условию, если z∗ — другой локальный
36 Задача о неналегающих полицилиндрических...
параметр для R и Q∗(z∗) — такая же функция для z∗, причем окре-
стности, соответствующие z и z∗, пересекаются, то в общих точках
этих окрестностей
Q∗(z∗) = Q(z)
(
dz
dz∗
)2
.
Квадратичные дифференциалы будут обозначаться символомQ(z)dz2.
2. Доказательство основного результата
Рассмотрим произведение
Im(γ) = Rγ(B0,A0)
m∏
k=1
R(Bk,Ak),
где γ ∈ R+, A0 = [0]n = (0, 0, . . . , 0), Ak ∈ Bk ⊂ Cn, k = 0,m,
{Ak}mk=1 = {asp}ms=1, p = 1, n — произвольный набор точек на Γn
и {Bk}mk=0 — непересекающиеся полицилиндрические области в Cn.
Пусть
Fδ(x) = 2x
2+6 · xx2+2−2δ · (2− x)−
1
2
(2−x)2(2 + x)−
1
2
(2+x)2 ,
x ∈ (0, 2], δ ∈ [0, 1], Fδ(x) ⊂ C.
Тогда имеет место следующее утверждение.
Теорема 2.1. Пусть m,n ∈ N, m > 7, γ ∈ (0, γ0], γ0 = 3
√
m и δ ∈
[0; 0, 7]. Тогда для произвольной лучевой системы точек виду (1.1)
{Ak}mk=1 =
{
a
(k)
p
}m
k=1
∈ Cn, p = 1, n, такой, что Ak ∈ Γn, k = 1,m,
и произвольного набора неналегающих полицилиндрических областей
Bk, Ak ∈ Bk ⊂ Cn, k = 0,m, A0 ∈ B0 ⊂ Cn, справедливо неравенство
Rγ(B0,A0)
m∏
k=1
R(Bk,Ak) 6 γ−
δ·m
2 ·
m∏
k=1
n∏
p=1
α(k)
p
δ
n
·
[
Fδ
(
2
m
√
γ
)]m
2
.
Одной из экстремальных систем есть система
{Bk}mk=0 =
{
[B
(0)
0 ]n, [B
(0)
1 ]n, [B
(0)
2 ]n, . . . , [B(0)
m ]n
}
,
{Ak}mk=0 =
{
[0]n ,
[
b
(0)
1
]n
,
[
b
(0)
2
]n
, . . . ,
[
b(0)m
]n}
,
где области B(0)
k и точки b(0)k , k = 1,m, есть, соответственно, кру-
говыми областями и полюсами квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2.
И. В. Денега, Я. В. Заболотный 37
Доказательство. Сделаем следующее преобразование
Im(γ) =
n∏
p=1
r
(
B(0)
p , a(0)p
)
γ
n m∏
k=1
n∏
p=1
r
(
B(k)
p , a(k)p
) 1
n
=
n∏
p=1
[
rγ
(
B(0)
p , a(0)p
) m∏
k=1
r
(
B(k)
p , a(k)p
)] 1
n
.
Обозначим
Imp (γ) := rγ
(
B(0)
p , a(0)p
) m∏
k=1
r
(
B(k)
p , a(k)p
)
.
Тогда для фиксированного p = 1, n области B(k)
p , k = 0,m, образуют
систему неналегающих областей на комплексной плоскости C. Таким
образом, следуя работе [15], для каждого фиксированного p = 1, n
имеем соотношение
Imp (γ) 6
(
m∏
k=1
α(k)
p
)[
m∏
k=1
r
(
α
(k)
p
)2
γ
(
G(k)
p , 0
)
r
(
T (k)
p ,−i
)
r
(
Y (k)
p , i
)] 1
2
,
где G(k)
p , T
(k)
p , Y
(k)
p — круговые области квадратичного дифференци-
ала
Q(w)dw2 =
(
4−
(
α
(k)
p
)2
γ
)
w2 −
(
α
(k)
p
)2
γ
w2(w2 + 1)2
dw2
(0 ∈ G
(k)
p , −i ∈ T
(k)
p , i ∈ Y
(k)
p ). Используя методику, развитую в [15],
получаем оценку
Imp (γ) 6
(
m∏
k=1
α(k)
p
)[
m∏
k=1
S
(
α(k)
p
√
γ
)]1/2
,
S(x) = 2x
2+6xx
2
(2− x)−
1
2
(2−x)2(2 + x)−
1
2
(2+x)2 , x ∈ [0, 2].
Используя идеи работ [13–15], мы имеем следующее неравенство
Imp (γ) 6 γ−
δm
2
(
m∏
k=1
α(k)
p
)δ [ m∏
k=1
Fδ
(
α(k)
p
√
γ
)]1/2
, δ ∈ [0, 0, 7]. (2.1)
38 Задача о неналегающих полицилиндрических...
Рассмотрим функционал
Ĩmp (γ) = γ
δm
2
(
m∏
k=1
α(k)
p
)−δ
Imp (γ).
Из неравенства (2.1) следует, что
Ĩmp (γ) 6
[
m∏
k=1
Fδ
(
α(k)
p
√
γ
)] 1
2
.
Далее, рассмотрим следующую экстремальную проблему
m∏
k=1
Fδ(xk) −→ max,
m∑
k=1
xk = 2
√
γ, xk = α(k)
p
√
γ
0 < xk 6 2, 0 6 δ 6 0, 7.
Пусть Ψδ(x) = ln (Fδ(x)) и X(0) =
{
x
(0)
k
}m
k=1
— произвольная экстре-
мальная точка в рассматриваемой задаче. Согласно работе [13] имеет
место утверждение: если 0 < x
(0)
k < x
(0)
j < 2, k ̸= j, тогда
Ψ′
δ(x
(0)
k ) = Ψ′
δ(x
(0)
j ),
и если некоторое x(0)j = 2, тогда для произвольного x(0)k < 2,
Ψ′
δ(x
(0)
k ) 6 Ψ′
δ(x
(0)
j ) = Ψ′
δ(2),
где k, j = 1,m, k ̸= j, 0 6 δ 6 0, 7,
Ψ′
δ(x) = 2x ln(2x) + (2− x) ln(2− x)− (2 + x) ln(2 + x) +
2
x
− 2δ
x
(см. Рис. 1).
Убедимся, что при выше принятых соотношениях будет выполня-
ться условие
x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x(0)m .
Пусть
σ1 := σ1(δ, γ) = min
16k6m
x
(0)
k (δ, γ),
σ0 := σ0(δ, γ) = max
16k6m
x
(0)
k (δ, γ),
σ1 6 σk 6 σ0, k = 1,m, 0 6 δ 6 0, 7, γ ∈ (0; 3
√
m].
И. В. Денега, Я. В. Заболотный 39
Рис. 1: График функции y = Ψ′
δ(x) при δ ∈ (0; 0, 7)
Функция Ψ′′
δ (x) монотонно возрастает на промежутке (0, 2) при
каждом фиксированном δ и существует x0(δ, γ) ∈ (1, 084419; 1, 324661)
такое, что
signΨ′′
δ (x) ≡ sign(x− x0(δ, γ)).
Если σ0 6 x0(δ, γ), тогда в силу строгой монотонности Ψ′
δ(x) на
[0, x0(δ, γ)] и из условий задачи имеем, что x(0)1 = . . . = x
(0)
m .
Пусть x0(δ, γ) < σ0 6 1, 95. Тогда
σ1 6
1
m− 1
m−1∑
k=1
x
(0)
k =
2
√
γ − σ0
m− 1
6 2 6
√
m− σ0
m− 1
.
Отсюда дляm > 7, γ ∈ (0; 3
√
m], 0 6 δ 6 0, 7, справедливо неравенство
σ1 6 (2 6
√
m− x0(δ, γ))/6 6 (2, 766175− 1, 08441)/6 < 0, 280294.
Таким образом,
Ψ′
δ(σ1) > Ψ′
δ(0, 280294) > Ψ′
0,7(0, 280294) = 0, 868846
> 0, 757486 = Ψ′
0(1, 95) > Ψ′
δ(σ0).
Отсюда, σ0 /∈ (x0(δ, γ); 1, 95].
Далее, пусть 1, 95 < σ0 6 2. Тогда для m > 7, γ ∈ (0; 3
√
m], 0 6 δ 6
0, 7, мы имеем, что σ1 6 (2 6
√
m− 1, 95)/6 < 0, 136029. Таким образом,
Ψ′
δ(σ1) > Ψ′
δ(0, 136029) > Ψ′
0,7(0, 136029) = 3, 596251
> 1 = Ψ′
0(2) > Ψ′
δ(σ0).
40 Задача о неналегающих полицилиндрических...
Отсюда, σ0 /∈ (x0(δ, γ); 2]. Из всего выше сказанного следует, что для
экстремального набора точек
{
x
(0)
k
}m
k=1
возможен только случай, ко-
гда
x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x(0)m .
Отсюда получаем, что справедливо соотношение
m∏
k=1
Fδ
(
α(k)
p
√
γ
)
6
[
Fδ
(
2
m
√
γ
)]m
.
Используя последнее неравенство и неравенство (2.1), имеем что
для каждого фиксированного p = 1, n справедливо неравенство
Imp (γ) 6 γ−
δm
2
(
m∏
k=1
α(k)
p
)δ [
Fδ
(
2
m
√
γ
)]m
2
.
Окончательно получаем, что
Im(γ) =
n∏
p=1
Imp (γ)
1
n
6 γ−
δm
2
m∏
k=1
n∏
p=1
α(k)
p
δ
n [
Fδ
(
2
m
√
γ
)]m
2
.
Знак равенства проверяется непосредственно. Теорема 2.1 доказана.
Литература
[1] В. Н. Дубинин, Е. Г. Прилепкина, Об экстремальном разбиении пространс-
твенных областей // Зап. науч. семин. ПОМИ, 254 (1998), 95–107.
[2] А. К. Бахтин, Обобщение некоторых результатов теории однолистных
функций на многомерные комплексные пространства // Доп. НАН Укра-
їни, 3 (2011), 7–11.
[3] Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ, Ч.II, М., Наука, 1976.
[4] Е. М. Чирка, Комплексные аналитические множества, М., Наука, 1985.
[5] Б. В. Фукс, Введение в теорию аналитических функций многих комплексных
переменных, М., Физматгиз, 1962.
[6] М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР., 5 (1934), 159–245.
[7] Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного,
М., Наука, 1966.
[8] В. К. Хейман, Многолистные функции, М., Изд-во иностр. лит., 1960.
[9] В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций
комплексного переменного // Успехи мат. наук., 49 (1994), № 1(295), 3–76.
И. В. Денега, Я. В. Заболотный 41
[10] А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические
структуры и геометрические методы в комплексном анализе // Працi iн-ту
мат-ки НАНУ, 2008.
[11] Дж. А. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, М.,
Издательство иностр. лит., 1962.
[12] V. N. Dubinin, Condenser capacities and symmetrization in geometric function
theory, Birkhäuser, Springer, Basel, 2014.
[13] Л. В. Ковалев, К задаче об экстремальном разбиении со свободными полю-
сами на окружности // Дальневосточный матем. сборник, 2 (1996), 96–98.
[14] A. K. Bakhtin, I. V. Denega, Addendum to a theorem on extremal decomposition
of the complex plane // Bulletin de la société des sciences et des lettres de Lódź,
Recherches sur les déformations, LXII (2012), No. 2, 83–92.
[15] И. В. Денега, Квадратичные дифференциалы и разделяющее преобразование
в экстремальных задачах о неналегающих областях // Доп. НАН України,
4 (2012), 15–19.
Сведения об авторах
Ирина
Викторовна
Денега
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: iradenega@yandex.ru
Ярослав
Владимирович
Заболотный
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: yaroslavzabolotnii@mail.ru
|