Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції
У роботі розглядаються квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції. Отримано оцінку усіх слабких розв’язків таких рівнянь, у тому числі великих розв’язків, які задовольняють нескінченним умовам на параболічний границі області....
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169424 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції / Є.О. Євгеньєва // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 4. — С. 576-591. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-169424 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1694242025-02-23T20:23:22Z Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції Quasilinear parabolic equations with a degenerate absorption potential Євгеньєва, Є.О. У роботі розглядаються квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції. Отримано оцінку усіх слабких розв’язків таких рівнянь, у тому числі великих розв’язків, які задовольняють нескінченним умовам на параболічний границі області. Quasilinear parabolic equations with a degenerate potential of absorption are considered. The estimates of all weak solutions of such equations, including large solutions satisfying the blow-up conditions on the parabolic boundary of a domain, are obtained. 2018 Article Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції / Є.О. Євгеньєва // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 4. — С. 576-591. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 35K59, 35B44, 35K58, 35K65 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169424 uk Український математичний вісник application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У роботі розглядаються квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції. Отримано оцінку усіх слабких розв’язків таких рівнянь, у тому числі великих розв’язків, які задовольняють нескінченним умовам на параболічний границі області. |
| format |
Article |
| author |
Євгеньєва, Є.О. |
| spellingShingle |
Євгеньєва, Є.О. Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції Український математичний вісник |
| author_facet |
Євгеньєва, Є.О. |
| author_sort |
Євгеньєва, Є.О. |
| title |
Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції |
| title_short |
Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції |
| title_full |
Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції |
| title_fullStr |
Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції |
| title_full_unstemmed |
Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції |
| title_sort |
квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/169424 |
| citation_txt |
Квазілінійні параболічні рівняння з виродженим потенціалом абсорбції / Є.О. Євгеньєва // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 4. — С. 576-591. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT êvgenʹêvaêo kvazílíníjníparabolíčnírívnânnâzvirodženimpotencíalomabsorbcíí AT êvgenʹêvaêo quasilinearparabolicequationswithadegenerateabsorptionpotential |
| first_indexed |
2025-11-25T04:49:47Z |
| last_indexed |
2025-11-25T04:49:47Z |
| _version_ |
1849736496893919232 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 15 (2018), № 4, 576 – 591
Квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння з
виродженим потенцiалом абсорбцiї
Євгенiя О. Євгеньєва
(Представлена I. I. Скрипнiком)
Анотацiя. У роботi розглядаються квазiлiнiйнi параболiчнi рiв-
няння з виродженим потенцiалом абсорбцiї. Отримано оцiнку усiх
слабких розв’язкiв таких рiвнянь, у тому числi великих розв’язкiв,
якi задовольняють нескiнченним умовам на параболiчний границi
областi.
2010 MSC. 35K59, 35B44, 35K58, 35K65.
Ключовi слова та фрази. Квазiлiнiйне параболiчне рiвняння, ве-
ликий розв’язок, потенцiал абсорбцiї.
1. Вступ та формулювання основного результату
У роботi розглядаються квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння iз ви-
родженим потенцiалом абсорбцiї:
(|u|p−1u)t −
n∑
i=1
(ai(t, x, u,∇u))xi = −b(t, x)|u|λ−1u в Q, λ > p > 0,
(1.1)
де цилiндрична область Q = (0, T )×Ω, 0 < T <∞, Ω ⊂ Rn (n > 1) –
обмежена область з C2–гладкою межею ∂Ω. Функцiї ai(t, x, s, ξ) (i =
1, 2, ..., n) – неперервнi функцiї, що задовольняють наступним умовам
коерцитивностi та росту:
d0|ξ|p+1
6
n∑
i=1
ai(t, x, s, ξ)ξi
∀(t, x, s, ξ) ∈ Q̄×R1 ×Rn; d0 = const > 0; (1.2)
Стаття надiйшла в редакцiю 25.11.2018
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
Є. О. Євгеньєва 577
|ai(t, x, s, ξ)| 6 d1|ξ|p
∀(t, x, s, ξ) ∈ Q̄×R1 ×Rn; i = 1, ..., n; d1 = const <∞. (1.3)
Модельним представником (1.1) є наступне рiвняння:
(|u|p−1u)t −∆pu = −b(t, x)|u|λ−1u, λ > p > 0, (1.4)
де ∆p(u) =
∑n
i=1
(
|∇xu|p−1uxi
)
xi
– p-лапласiан.
Функцiя b(t, x) (потенцiал абсорбцiї) є неперервною в областi
[0, T ]× Ω та задовольняє умовам виродження:
b(t, x) > 0 в [0, T )× Ω, b(t, x) = 0 на {T} × Ω. (1.5)
У роботi розглядаються слабкi розв’язки рiвняння (1.1).
Означення 1.1. Функцiя u(t, x) ∈ Cloc((0, T );L
p+1
loc (Ω)) називається
слабким розв’язком рiвняння (1.1), якщо:
u(t, x) ∈ Lp+1
loc
(
(0, T );W 1,p+1
loc (Ω)
)
∩ Lλ+1
loc ((0, T ) × Ω) ,
(|u|p−1u)t ∈ L
p+1
p
loc
(
(0, T ); (W 1,p+1
c (Ω))∗
)
+ L
λ+1
λ
loc
(
(0, T ); (Lλ+1
c (Ω))∗
)
i виконується наступна iнтегральна тотожнiсть:
∫ b
a
〈(|u|p−1u)t, η〉dt
+
∫ b
a
∫
Ω
[ n∑
i=1
ai(t, x, u,∇u)ηxi + b(t, x)|u|λ−1uη
]
dxdt = 0 (1.6)
для довiльних 0 < a < b < T та довiльної функцiї
η(t, x) ∈ Lp+1
loc
(
(0, T );W 1,p+1
c (Ω)
)
∩ Lλ+1
loc
(
(0, T );Lλ+1
c (Ω)
)
,
де W 1,p+1
c (Ω), Lλ+1
c (Ω) є пiдпросторами W 1,p+1(Ω), Lλ+1(Ω) функцiй
з компактним носiєм в Ω, а знаком <,> позначається операцiя па-
рування елементiв з просторiв
W 1,p+1
c (Ω) ∩ Lλ+1
c (Ω) i
(
W 1,p+1
c (Ω) ∩ Lλ+1
c (Ω)
)∗
.
Означення 1.2. Функцiя u(t, x) називається великим розв’язком
рiвняння (1.1), якщо вона є слабким розв’язком рiвняння (1.1) та
задовольняє наступним нескiнченим початковим та крайовим умо-
вам:
u = ∞ на {0} × Ω,
тобто u→ ∞ при t→ 0 рiвномiрно ∀x ∈ Ω, (1.7)
578 Квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння з виродженим...
u = ∞ на (0, T ) × ∂Ω,
тобто u→ ∞ при dist(x, ∂Ω) → 0 рiвномiрно ∀ t ∈ (0, T ), (1.8)
Iснування слабких розв’язкiв для таких рiвнянь, як (1.1), з довiль-
ними скiнченими початковими та крайовими умовами було доведено
у класичних роботах 1980-1990-х рокiв, [1, 8, 9].
Iснування великих розв’язкiв та їх властивостi вивчалися бага-
тьма авторами, а саме L. Veron, W. Al Sayed, C. Bandle, G. Diaz,
J.I. Diaz, Y. Du, R. Peng, P. Polaĉik та iншi (див. [2, 3, 11, 12, 18] та
посилання в них). В цих роботах були розглянутi лiнiйнi (p = 1)
або напiвлiнiйнi рiвняння. Для бiльш загального рiвняння (1.1) у ви-
падку p 6= 1 iснування не доведено. У роботi питання iснування не
пiдiймається. Тим не менш, основний результат роботи отримано для
всього класу слабких розв’язкiв, включаючi великi розв’язки (якщо
такi iснують).
У 2012 роцi у роботi [3] Y. Du, R. Peng та P. Polaĉik розглянули
лiнiйний випадок рiвняння (1.4), а саме:
ut −∆u = −b(t, x)|u|λ−1u, (t, x) ∈ Q, λ > 1 (1.9)
з умовами (1.5), (1.7), (1.8). На потенцiал абсорбцiї b(t, x) накладає-
ться також додаткова умова:
a1(t)d(x)
β
6 b(t, x) 6 a2(t)d(x)
β ∀(t, x) ∈ [0, T ]× Ω, β > −2, (1.10)
де a1(t), a2(t) є додатними неперервними функцiями на промiжку
[0, T ), d(x) := dist{x, ∂Ω}. За умови (1.10) доведено iснування макси-
мального u та мiнiмального u додатних розв’язкiв задачi. Бiльш того,
у роботi [3] показано, що за наступної додаткової умови на виродже-
ння функцiї a1(t) бiля t = T :
a1(t) > c0(T − t)µ в [0, T ), c0 = const > 0, µ = const > 0 (1.11)
для всiх t0 ∈ (0, T ), iснує константа C = C(t0) <∞ така, що:
u(t, x) 6 C min
{
(T − t)−
µ
λ−1 , d(x)−
2µ
λ−1
}
d(x)−
2+β
λ−1 ∀(t, x) ∈ [t0, T )× Ω.
(1.12)
Основною метою поточної роботи є узагальнення результату
(1.12) на рiвняння (1.1). Для отримання оцiнки буде використано ме-
тод енергетичних оцiнок, у той час як результат (1.12) було отримано
за допомогою порiвняння з автомодельними розв’язками. Метод енер-
гетичних оцiнок вперше був запропонований у 1999 роцi у роботi [14].
Вiн полягає в оцiнцi перетокiв енергiї у сiмействi часових шарiв, що
Є. О. Євгеньєва 579
накопичуються бiля часу T . Такий пiдхiд дозволяє вiдiйти вiд авто-
модельностi, вiн є бiльш унiверсальним та не вимагає використання
теорем порiвняння. Описаний метод був розроблений для знаходже-
ння умов локалiзацiї граничних режимiв iз загостренням для двiчi
нелiнiйних параболiчних рiвнянь у серiї робiт [4–7]. Пiзнiше у робо-
тах [13, 15, 17] цей метод був застосований для дослiдження великих
квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь з нелiнiйною виродною абсорбцi-
єю. Основним результатом роботи є наступна теорема.
Теорема 1.1. Нехай u – довiльний слабкий розв’язок рiвняння (1.1).
Припустимо, що потенцiал абсорбцiї задовольняє умовi (1.5) та
a1(t)g1(d(x)) 6 b(t, x) 6 a2(t)g2(d(x)) ∀ (t, x) ∈ [0, T )× Ω. (1.13)
Тут g1(s) ≤ g2(s) – довiльнi неспаднi додатнi для всiх s > 0 функцiї.
А функцiя a1(t) задовольняє нерiвнiсть:
a1(t) > κ−1(T − t)µ ∀ t < T,
κ = const > 0, µ >
(p+ 2)(λ − p)
(p+ 1)2
. (1.14)
Тодi для всiх T
2 < t < T має мiсце наступна оцiнка:
h(t, s) + E(t, s) :=
∫
Ω(s)
|u(t, x)|p+1dx+
∫ t
T
2
∫
Ω(s)
|∇xu(τ, x)|p+1dxdτ
6 K κ
p+1
λ−p min
0<s̄<s
{
(s− s̄)−θG1(s̄)
}
∀ s ∈ (0, s̃),
G1(s) :=
(∫ s
0
g1(h)
p+1
1+p(λ+2)dh
)− 1+p(λ+2)
λ−p
, (1.15)
де θ = (p+1)(µ(p+1)−(λ−p))
λ−p , константа K < ∞ залежить тiльки вiд
вiдомих параметрiв задачi, s̃ > 0, область Ω(s) визначається на-
ступним чином:
Ω(s) := {x ∈ Ω : d(x) > s}, s > 0. (1.16)
Для того, щоб бiльш зрозумiло продемонструвати структуру ре-
зультату, приведемо отриманий результат для простого випадку.
Наслiдок 1.1. Нехай g1(s) = as̺, a = const > 0, ̺ = const > 0. Тодi
G1(s) = a
− p+1
λ−p
(
1 +
̺(p+ 1)
1 + p(λ+ 2)
) 1+p(λ+2)
λ−p
s−η, (1.17)
580 Квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння з виродженим...
де η = η(̺) = (̺+1)(p+1)+p(λ+1)
λ−p . У цьому випадку оцiнка (1.15) приво-
дить до:
h(t, s) + E(t, s) 6 K κ
p+1
λ−p s−(θ+η) ∀ t ∈
(
T
2
, T
)
, ∀ s ∈ (0, s̃), (1.18)
де K = K(a, ̺) = K1a
− p+1
λ−p
(
1 + ̺(p+1)
1+p(λ+2)
) 1+p(λ+2)
λ−p (θ+η)θ+η
θθηη
, K1, θ з
(1.15), η з (1.17).
Зауваження 1.1. Важливо вiдзначити, що оцiнка (1.15) отримана
для будь-яких слабких розв’язкiв рiвняння (1.1), не залежно вiд пове-
дiнки на параболiчнiй границi. Тож оцiнка справедлива i для великих
розв’язкiв (за умов (1.7), (1.8)). У роботi не доводиться iснування ве-
ликих розв’язкiв для загального нелiнiйного рiвняння (1.1), тож це
питання залишається вiдкритим.
Отриманий у теоремi 1.1 результат позицiонується, як розширен-
ня уже iснуючого результату (1.12) (Y. Du, R. Peng та P. Polaĉik, [3]).
Наступне твердження показує оцiнку (1.15) для лiнiйного випадку.
Наслiдок 1.2. Розглянемо лiнiйний випадок рiвняння (1.4), коли p =
1. Припустимо також, що за умов теореми 1.1 g1(s) = sβ, β =
const > 0, де функцiя g1 з умови (1.13). Тодi усi слабкi розв’язки
рiвняння (1.4) задовольняють оцiнку:
u(t, x) 6 K̃d(x)−(
2µ+β+2
λ−1
− 1
2) ∀(t, x) ∈
(
T
2
, T
)
× Ω, (1.19)
де K̃ = Kκ
2
λ−1 .
Доведення цього твердження приведено у пунктi 4.
2. Допомiжнi результати
Метод енергетичних оцiнок передбачає аналiз енергетичних фун-
кцiй, тож визначимо їх для слабких розв’язкiв u(t, x) рiвняння (1.1):
E(t) = E(u)(t) :=
∫ t
0
∫
Ω
|∇xu(τ, x)|p+1dxdτ,
h(t) = h(u)(t) := sup
0<τ<t
∫
Ω
|u(τ, x)|p+1dx ∀ t < T,
(2.1)
Цi функцiї визначають поведiнку довiльного розв’язку u. Для то-
го, щоб вивчити поведiнку бiля границi областi Ω, параметризуємо
Є. О. Євгеньєва 581
енергетичнi функцiї за допомогою параметра s, який визначатиме
вiдстань вiд довiльної точки областi до її границi ∂Ω. Розглянемо сi-
мейство пiдобластей Ω(s), якi були визначенi в (1.16), та введемо до
розгляду функцiї E(t, s) та h(t, s), якi визначенi у (1.15).
Слiд вiдмiтити, що в силу гладкостi областi Ω(s), iснує таке чи-
сло sΩ, яке визначає “радiус” цiєї областi. Це таке число, для якого
функцiя d(·) ∈ C2(Ω \ Ω(s)) ∀s 6 sΩ i, вiдповiдно, границя ∂Ω(s) є
C2–гладким многовидом для всiх 0 < s 6 sΩ. Тож параметризованi
енергетичнi функцiї E(t, s), h(t, s) визначаються саме на промiжку
s ∈ (0, sΩ):
E(t, s) :=
∫ t
T
2
∫
Ω(s)
|∇xu(τ, x)|p+1dxdτ,
h(t, s) :=
∫
Ω(s)
|u(t, x)|p+1dx ∀ s ∈ (0, sΩ), ∀ t ∈ (0, T ).
(2.2)
Для доведення теореми 1.1 необхiдно дослiдити функцiї E(t, s),
h(t, s). Для цього розiб’ємо iнтервал [0, T ) за допомогою зростаючої
послiдовностi точок {tj} (j = 1, 2, ..., j0 6 ∞, t0 = 0, tj0 = T ). Таким
чином отримаємо iнтервали [tj−1, tj) довжини ∆j := tj − tj−1 > 0.
Тепер розглянемо наступнi пошаровi енергетичнi функцiї:
Ej(s) :=
∫ tj
tj−1
∫
Ω(s)
|∇xu(t, x)|p+1dxdt,
hj(s) := sup
tj−16t<tj
∫
Ω(s)
|u(t, x)|p+1dx ∀ j 6 j0, ∀ s ∈ (0, sΩ).
(2.3)
Для цих функцiй маємо наступну лему.
Лема 2.1. Нехай u(t, x) – довiльний слабкий розв’язок рiвняння (1.1)
з умовою (1.5) на потенцiал абсорбцiї b(t, x). Тодi для майже всiх
s ∈ (0, sΩ) справедлива система диференцiальних нерiвностей:
Ej(s)+hj(s) 6 C1hj−1(s)+C2∆
1
p+1
j
(
− d
ds
Ej(s)
)
, j = 1, 2, ..., (2.4)
hj(s) 6 (1+γ)hj−1(s)+C3γ
− 1
p+1∆
1
p+1
j
(
− d
ds
Ej(s)
)
, j = 1, 2, ..., (2.5)
для довiльного γ : 0 < γ < 1. Додатнi константи C1 < ∞, C2 <
∞, C3 < ∞ залежать тiльки вiд вiдомих параметрiв задачi i не
залежать вiд γ, функцiї Ej(s) та hj(s) визначенi в (2.3).
582 Квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння з виродженим...
Оскiльки потенцiал абсорбцiї b(t, x) > 0 ∀ (t, x) ∈ Q, то доведення
леми 2.1 є аналогiчним до доведення леми 6.2.3 в [10] або леми 2.2
в [15].
Наступним кроком доведення основної теореми 1.1 є аналiз асим-
птотичних властивостей розв’язкiв системи (2.4). Повторюючи усi
кроки доведення теореми 1.1 з [16] можна отримати наступний ре-
зультат.
Лема 2.2. Нехай u(t, x) – довiльний слабкий розв’язок рiвняння (1.1)
з наступною умовою на енергiю:
E(t) + h(t) 6 Fα(t) := ω0(T − t)−α ∀ t < T, (2.6)
де ω0 > 0, α > 1
p+1 – довiльнi константи. Тодi iснує константа
G <∞, що залежить тiльки вiд вiдомих параметрiв задачi, i число
ŝ > 0 такi, що виконується наступна рiвномiрна апрiорна оцiнка:
E(t, s) + h(t, s) 6 Gω0s
−α(p+1) ∀ t < T, ∀ s ∈ (0, ŝ). (2.7)
де h(t, s), E(t, s) – енергетичнi функцiї, визначенi в (2.2).
Таким чином наступний крок доведення теореми 1.1 є отримання
умов (2.6) для енергетичних функцiй.
3. Доведення теореми 1.1
Нехай Ω(s) – сiмейство пiдобластей з (1.16). Введемо до розгляду
додаткове сiмейство цилiндричних пiдобластей областi Q:
Qτ (s) := (sr, τ)× Ω(s) ∀s ∈ (0, sΩ), ∀τ < T,
1 < r < 1 +
p (λ+ 1)
p+ 1
. (3.1)
Тепер визначимо енергетичнi функцiї для розв’язку u рiвняння (1.1)
з урахуванням потенцiалу абсорбцiї b та умов (1.13) для нього:
hτ (s) = h
(u)
τ (s) :=
∫
Ω(s)
|u(τ, x)|p+1dx, 0 < τ < T, 0 < s < sΩ,
Eτ (s) = E
(u)
τ (s) :=
∫ τ
sr
∫
Ω(s)
(|∇xu|p+1 + a1(t)g1(d(x))|u|λ+1)dxdt.
(3.2)
Лема 3.1. Нехай u – довiльний слабкий розв’язок рiвняння (1.1).
I нехай потенцiал абсорбцiї b(t, x) задовольняє умовам (1.5), (1.13).
Є. О. Євгеньєва 583
Тодi енергетичнi функцiї (3.2) задовольняють наступне спiввiдно-
шення:
Bτ (s) := hτ (s) + Eτ (s) 6 Ĉ Φ(τ)G1(s) ∀ s ∈ (0, ŝ),
Φ(τ) =
∫ τ
0
a1(t)
− p+1
λ−pdt, G1(s) =
(∫ s
0
g1(h)
p+1
1+p(λ+2)dh
)− 1+p(λ+2)
λ−p
(3.3)
де Ĉ = const > 0, ŝ ∈ (0, sΩ) залежать лише вiд вiдомих параметрiв
задачi.
Доведення. Зафiксуємо s > 0, δ > 0 та введемо до розгляду Лiпши-
цеву зрiзаючу функцiю ξs,δ(h) : ξs,δ(h) = 0 для h 6 s, ξs,δ(h) = 1 для
h > s+ δ, ξs,δ(h) =
h−s
δ для h : s < h < s+ δ. Тепер побудуємо тестову
функцiю η(t, x) = u(t, x)ξs,δ(d(x)) для iнтегральної тотожностi (1.6).
Тепер, користуючись формулою iнтегрування частинами (див. [1]),
отримаємо:
p
p+ 1
∫
Ω(s)
|u(b, x)|p+1ξs,δ(d(x))dx
+
∫ b
a
∫
Ω(s)
( n∑
i=1
ai(...,∇xu)uxi + b(t, x)|u|λ+1
)
ξs,δ(d(x))dxdt
=
p
p+ 1
∫
Ω(s)
|u(a, x)|p+1ξs,δ(d(x))dx
−
∫ b
a
∫
Ω(s)\Ω(s+δ)
n∑
i=1
ai(...,∇xu)uξs,δ(d(x))xidxdt. (3.4)
Далi у (3.4) вiзьмемо b = τ < T , a = sr. Тодi, спрямовуючи до нуля
δ → 0 та користуючись умовами (1.2), (1.3), отримаємо наступну
нерiвнiсть:
hτ (s) + Eτ (s) 6 c1
∫ τ
sr
∫
∂Ω(s)
|∇xu|p|u| dσdt+ c2hsr(s) ∀ s ∈ (0, sΩ),
(3.5)
де c1 < ∞, c2 < ∞ залежить тiльки вiд вiдомих параметрiв задачi.
Оцiнимо член у правiй частинi спiввiдношення (3.5). Застосовуючи
584 Квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння з виродженим...
нерiвнiсть Гельдера, отримаємо:
∫
∂Ω(s)
|∇xu|p|u|dσ
=
∫
∂Ω(s)
|u|g1(s)
1
λ+1a1(t)
1
λ+1 |∇xu|pa1(t)−
1
λ+1 g1(s)
− 1
λ+1dσ
6 c3
(∫
∂Ω(s)
|u|λ+1a1(t)g1(s)dσ
) 1
λ+1
×
(∫
∂Ω(s)
|∇xu|p+1dσ
) p
p+1
a1(t)
− 1
λ+1 g1(s)
− 1
λ+1 ,
де c3 = (meas ∂Ω)
λ−p
(λ+1)(p+1) . Iнтегруючи останню нерiвнiсть по t та
застосовуючи нерiвностi Гельдера та Юнга, отримаємо:
∫ τ
sr
∫
∂Ω(s)
|∇xu|p|u|dσdt 6 c4g1(s)
− 1
λ+1
(∫ τ
sr
a1(t)
− p+1
λ−pdt
) λ−p
(λ+1)(p+1)
×
(∫ τ
sr
∫
∂Ω(s)
(
|∇xu|p+1 + a1(t)g1(s)|u|λ+1
)
dσdt
) 1+p(λ+2)
(λ+1)(p+1)
. (3.6)
Оцiнимо другий член правої частини (3.5), користуючись монотоннi-
стю функцiї g1(·) та нерiвнiстю Гельдера:
hsr(s)
=
∫
Ω(s)
|u(sr, x)|p+1a1(s
r)
p+1
λ+1 g1(d(x))
p+1
λ+1a1(s
r)−
p+1
λ+1 g1(d(x))
− p+1
λ+1dx
6 c5
(∫
Ω(s)
|u(sr, x)|λ+1a1(s
r)g1(d(x))dx
) p+1
λ+1
a1(s
r)−
p+1
λ+1g1(s)
− p+1
λ+1 ,
c5 = (meas Ω)
λ−p
λ+1 . (3.7)
Легко перевiрити, що виконується наступна нерiвнiсть:
− d
ds
Eτ (s) >
∫ τ
sr
∫
∂Ω(s)
(
|∇xu|p+1 + a1(t)g1(s)|u|λ+1
)
dσdt
+ rsr−1
∫
Ω(s)
(
|∇xu(s
r, x)|p+1 + a1(s
r)g1(d(x))|u(sr, x)|λ+1
)
dx (3.8)
для майже всiх s : 0 < s < sΩ. Застосовуючи оцiнки (3.6), (3.7) та
Є. О. Євгеньєва 585
спiввiдношення (3.8), отримаємо з (3.5) наступну нерiвнiсть:
Bτ (s) := hτ (s) + Eτ (s)
6 C1g1(s)
− 1
λ+1Φ(τ)
λ−p
(λ+1)(p+1)
(
− d
ds
Eτ (s)
) 1+p(λ+2)
(λ+1)(p+1)
+ C2g1(s)
− p+1
λ+1
(
− d
ds
Eτ (s)
) p+1
λ+1
s−
(r−1)(p+1)
λ+1 для м.в. s ∈ (0, sΩ),
Φ(τ) =
∫ τ
0
a1(t)
− p+1
λ−pdt. (3.9)
де C2 = c2c5
(
min06s6s0 a1(s
r)
)− p+1
λ+1 , C1 = c1c4. Тепер користуючись
монотонним спаданням функцiї hτ (s), отримаємо шляхом нескладних
розрахункiв з (3.9) наступну нерiвнiсть:
− d
ds
Bτ (s) > H(s,Bτ (s)) := min
{
H(1)
τ (s,Bτ (s)),H
(2)
τ (s,Bτ (s))
}
для м.в. s ∈ (0, sΩ), ∀τ < T, (3.10)
H(1)
τ (s,Bτ (s)) :=
(
g1(s)
1
λ+1Bτ (s)
2C1Φ(τ)
λ−p
(λ+1)(p+1)
) (λ+1)(p+1)
1+p(λ+2)
,
H(2)
τ (s,Bτ (s)) :=
(
g1(s)
p+1
λ+1Bτ (s)
2C2s
− (r−1)(p+1)
λ+1
)λ+1
p+1
.
Тепер будемо знаходити розв’язки диференцiальної нерiвностi (3.10)
та отримаємо оцiнку для Bτ (s). Для цього розглянемо область D =
Dτ ⊂ R2, як множину точок (s,B) : 0 < s < sΩ, B > 0, де функцiя
H(s,B) з (3.10) визначається першим членом правої частини спiввiд-
ношення (3.10). Це означає, що
Dτ =
(s,B) :
(
g1(s)
1
λ+1B
2C1Φ(τ)
λ−p
(λ+1)(p+1)
) (λ+1)(p+1)
1+p(λ+2)
<
(
g1(s)
p+1
λ+1B
2C2s
− (r−1)(p+1)
λ+1
)λ+1
p+1
Пiсля нескладних трансформацiй можемо переписати останнє озна-
чення наступним чином:
Dτ = {(s,B) : B > B(0)
τ (s)},
B(0)
τ (s) = C3s
− (r−1)(p+1)(1+p(λ+2))
p(λ+1)(λ−p) g1(s)
− p+1
λ−pΦ(τ)
− p+1
p(λ+1) ,
(3.11)
586 Квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння з виродженим...
де C3 = 2C
− (p+1)2
p(λ−p)
1 C
1+p(λ+2)
p(λ−p)
2 . Далi розглянемо усi можливi випадки
розв’язку Bτ (s) у вiдповiдностi з областю Dτ . Перший впадок:
(s,Bτ (s)) ∈ Dτ for all s ∈ (0, sΩ). (3.12)
У цiй ситуацiї нерiвнiсть (3.10) приймає форму:
− d
ds
Bτ (s) > H(1)
τ (s,Bτ (s)) =
(
g1(s)
1
λ+1Bτ (s)
2C1Φ(τ)
λ−p
(λ+1)(p+1)
) (λ+1)(p+1)
1+p(λ+2)
∀τ < T, ∀ s ∈ (0, sΩ). (3.13)
З припущення (3.12) випливає, що Bτ (0) = ∞. Розв’язуючи диферен-
цiальну нерiвнiсть (3.13) з цiєю початковою умовою, легко отримує-
мо:
Bτ (s) 6 B(1)
τ (s) := C4Φ(τ)
(∫ s
0
g1(h)
p+1
1+p(λ+2)dh
)− 1+p(λ+2)
λ−p
∀ s ∈ (0, sΩ),∀ τ < T, (3.14)
де C4 =
(
1+p(λ+2)
λ−p
) 1+p(λ+2)
λ−p
(2C1)
(λ+1)(p+1)
λ−p .
Тепер перевiримо, що оцiнка (3.14) не заперечує припущенню про
те, що Bτ (s) ∈ Dτ . Для цього маємо гарантувати нерiвнiсть:
B(1)
τ (s) > B(0)
τ (s) ∀ s ∈ (0, sΩ), (3.15)
чи, вiдповiдно до (3.11), (3.14):
C4Φ(τ)
(∫ s
0
g1(h)
p+1
1+p(λ+2)dh
)− 1+p(λ+2)
λ−p
> C3s
− (r−1)(p+1)(1+p(λ+2))
p(λ+1)(λ−p) g1(s)
− p+1
λ−p
× Φ(τ)
− p+1
p(λ+1) ∀ s ∈ (0, sΩ).
З монотонностi функцiї g1(·) випливає, що:
∫ s
0
g1(h)
p+1
1+p(λ+2)dh 6 sg1(s)
p+1
1+p(λ+2)
i тому
(∫ s
0
g1(h)
p+1
1+p(λ+2)dh
)− 1+p(λ+2)
λ−p
> s
− 1+p(λ+2)
λ−p g1(s)
− p+1
λ−p ∀ s ∈ (0, sΩ).
(3.16)
Є. О. Євгеньєва 587
Як наслiдок отримуємо, що для виконання (3.15) необхiдно гаранту-
вати наступну нерiвнiсть:
C4Φ(τ) > C3s
1+p(λ+2)
λ−p
− (r−1)(p+1)(1+p(λ+2))
p(λ+1)(λ−p) Φ(τ)
− p+1
p(λ+1) ,
що еквiвалентна нерiвностi:
Φ(τ) >
(
C3C
−1
4
) p(λ+1)
p(λ+1)+p+1 s
(1+p(λ+2))(p(λ+1)−(r−1)(p+1))
(λ−p)(p(λ+1)+p+1) (3.17)
Враховуючи припущення (3.1) для параметра r та монотоннiсть фун-
кцiї Φ(τ), отримуємо, що нерiвнiсть (3.16) виконується для довiльних
τ ∈ [T2 , T ) та довiльних s з промiжку:
0 < s < s0, s0 := min{sΩ, s̄0},
s̄0 = C4Φ
(
T
2
) (λ−p)(p(λ+1)+p+1)
(1+p(λ+2))(p(λ+1)−(r−1)(p+1))
, (3.18)
де C4 =
(
C−13 C4
) p(λ+1)(λ−p)
(1+p(λ+2))(p(λ+1)−(r−1)(p+1)) . Таким чином, спiввiдноше-
ння (3.15) справедливе для всiх τ > T
2 та s з (3.18). Вiдтак оцiнка
(3.14) виконується, якщо задовольняється умова (3.12).
Припустимо тепер, що оцiнка (3.14) не є справедливою для деяко-
го s ∈ (0, s0). Тодi iснує таке значення s1 ∈ (0, s0), що
Bτ (s1) > B(1)
τ (s1) (3.19)
Якщо припустимо, що Bτ (s) > B
(1)
τ (s) ∀ s ∈ (0, s1), тодi має також ви-
конуватись умова (3.12). В силу попереднiх припущень оцiнка (3.14)
виконується для всiх s ∈ (0, s1), що суперечить припущенню (3.19).
Таким чином, залишається лише одна можливiсть: iснує така точка
s2 ∈ (0, s1)що виконується наступне:
Bτ (s2) = B(1)
τ (s2), Bτ (s) > B(1)
τ (s) ∀ s ∈ (s2, s1). (3.20)
З (3.20) витiкає, що iснує така точка s̄2 ∈ (s2, s1), що
d
ds
Bτ (s̄2) >
d
ds
B(1)
τ (s̄2), Bτ (s̄2) > B(1)
τ (s̄2). (3.21)
Але, з iншого боку, вiдповiдно до (3.13), (3.14) та (3.21), маємо:
588 Квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння з виродженим...
− d
ds
Bτ (s̄2) >
g1(s̄2)
p+1
1+p(λ+2)
C5Φ(τ)
λ−p
1+p(λ+2)
Bτ (s̄2)
(λ+1)(p+1)
1+p(λ+2)
>
g1(s̄2)
p+1
1+p(λ+2)
C5Φ(τ)
λ−p
1+p(λ+2)
B(1)
τ (s̄2)
(λ+1)(p+1)
1+p(λ+2) = − d
ds
B(1)
τ (s̄2),
C5 := (2C1)
(λ+1)(p+1)
1+p(λ+2)
що суперечить (3.21), а отже i (3.20). Таким чином, оцiнка (3.3) спра-
ведлива з Ĉ = C4, ŝ = min{sΩ, s0} для всiх τ ∈
(
T
2 , T
)
.
Доведення теореми 1.1. Згiдно з умовою (1.14) можна отрима-
ти наступну оцiнку для функцiї Φ(·) з (3.9):
Φ(t) 6 Φ0(t) := K1 κ
p+1
λ−p (T − t)
−
(
µ p+1
λ−p
−1
)
∀t < T, K1 > 0. (3.22)
Тепер нерiвнiсть (3.3) приводить до оцiнки:
h(t, s) + E(t, s) 6 ĈΦ0(t)G1(s) ∀t ∈ (t0, T ),
t0 =
T
2
,∀s : 0 < s < s̄Ω := min
(
sΩ, t
1
r
0
)
, (3.23)
де r – значення з (3.1), функцiї E(t, s), h(t, s) – з (2.2). Зафiксуємо
деяке значення s̄ ∈ (0, s̄Ω), тодi з оцiнки (3.23) можемо отримати
“початкову” енергетичну оцiнку:
h(t, s̄) + E(t, s̄) 6 ĈG1(s̄)Φ0(t) ∀ t ∈ (t0, T ). (3.24)
Будемо розглядати u(t, x) як розв’язок рiвняння (1.1) в областi
(t0, T )× Ω(s̄). Використовуючи (3.24) i (3.22), отримаємо:
h(t, s̄) + E(t, s̄) 6 K2 κ
p+1
λ−pG1(s̄)(T − t)−β
∀ t ∈ (t0, T ), β = µ
p+ 1
λ− p
− 1, (3.25)
де K2 = ĈK1, а умова на µ з оцiнки (1.14) дає умову для β: β > 1
p+1 .
Тепер маємо систему (2.4) для функцiй Ej(s), hj(s) та “початкову”
умову (3.25). Застосовуючи лему 2.2, отримуємо наступну оцiнку:
h(t, s) + E(t, s) 6 GK2κ
p+1
λ−p (s− s̄)−θG1(s̄)
∀ t ∈ (t0, T ), ∀ s, s̄ : 0 < s̄ < s < s̃ := min{s̄Ω, ŝ}, (3.26)
де G, ŝ – значення з (2.7), θ – з (1.15). Оптимiзуючи останню оцiнку
за вiльним параметром s̄ : 0 < s̄ < s < s̃, отримаємо оцiнку (1.15) з
K = GK2.
Є. О. Євгеньєва 589
4. Доведення наслiдку 1.2
Для лiнiйного рiвняння (1.1) (p = 1) оцiнки максимума модуля
слабких розв’язкiв мають наступний вигляд (див., наприклад, [19,
20]):
u(T, x) 6 c
∫ T
T−ξ
∫
B d(x)
2
(x)
|u(t, y)|2dy dt
1
2
∀ ξ ∈ (0, T ), (4.1)
де c = const > 0, Br(x) := {y : |x− y| < r}.
Легко бачити, що справедливе включення B d(x)
2
(x) ⊂ Ω
(
d(x)
2
)
.
Тепер приймаючи ξ = T
2 та використовуючи (1.18), оцiнимо iнтеграл
в правiй частинi (4.1):
∫ T
T
2
∫
Ω
(
d(x)
2
) |u(t, y)|2dx 6 sup
T
2
6t<T
∫
Ω
(
d(x)
2
) |u(t, y)|2dx
= h
(
t,
d(x)
2
)
6 K1d(x)
−
(
2(2µ+β+2)
λ−1
−1
)
∀(t, x) ∈
(
T
2
, T
)
× Ω,
де K1 = 2
2(2µ+β+2)
λ−1
−1Kκ
2
λ−1 . В силу отриманої нерiвностi оцiнка (4.1)
приводить до:
u(t, x) 6 u(T, x) 6 K̃d(x)−(
2µ+β+2
λ−1
− 1
2) ∀(t, x) ∈
(
T
2
, T
)
× Ω, (4.2)
де K̃ = K
1
2
1 .
Лiтература
[1] H. W. Alt, S. Luckhaus, Quasilinear elliptic-parabolic differential equations //
Math. Z., 183 (1983), No. 3, 311–341.
[2] C. Bandle, G. Diaz, and J. I. Diaz, Solutions d’equations de reaction-diffusion non
lineaires explosant au bord parabolique // C. R. Acad. Sci. Paris S’er. I Math.,
318 (1994), 455–460.
[3] Y. Du, R. Peng, and P. Polaĉik, The parabolic logistic equation with blow-up initial
and boundary values // Journal D’Analyse Mathematique, 118 (2012), 297–316.
[4] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Saint-Venant’s principle in blow-up for higher
order quasilinear parabolic equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A, 133
(2003), No. 5, 1075–1119.
590 Квазiлiнiйнi параболiчнi рiвняння з виродженим...
[5] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Structure of boundary blow-up for higher-order
quasilinear parabolic equations // Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, Math. Phys. Eng.
Sci., 460 (2004), No. 2051, 3299–3325.
[6] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Self-similar boundary blow-up for higher-
order quasilinear parabolic equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh., 135A (2005),
1195–1227.
[7] V. A. Galaktionov, A. E. Shishkov, Higher-order quasilinear parabolic equations
with singular initisl data // Communications in Contemp. Math., 8 (2006), No. 3,
331–354.
[8] A. V. Ivanov, P. Z. Mkrtychan, and W. Jager, Existence and uniqueness of a
regular solution of the Cauchy-Dirichlet problem for a class of doubly nonlinear
parabolic equations // Zapiski nauchnogo seminara POMI, 213 (1994), 48–65 (in
Russian); J. Math. Sci., 84 (1997), 845–855.
[9] A. V. Ivanov, P. Z. Mkrtychan, Existence of Holder continuous generalized soluti-
ons of the first boundary value problem for quasilinear doubly degenerate parabolic
equations // Zapiski nauchnogo seminara LOMI, 182 (1990), 5–28 (in Russian);
J. Soviet Math., 62 (1992), 2725–2740.
[10] A. A. Kovalevsky, I. I. Skrypnik, and A.E. Shishkov, Singular Solutions in Nonli-
near Elliptic and Parabolic Equations, De Gruyter Series in Nonlinear Analysis
and Applications 24, De Gruyter, Basel, 2016.
[11] W. Al Sayed, L. Veron, On uniqueness of large solutions of nonlinear parabolic
equations in nonsmooth domains // Adv. Nonlinear Stud., 9 (2009), 149–164.
[12] W. Al Sayed, L. Veron, Solutions of some nonlinear parabolic equations with initial
blow-up // On the Notions of Solution to Nonlinear Elliptic Problems: Results
and Development, Department of Mathematics, Seconda Universit‘a di Napoli,
Caserta, (2008), 1–23.
[13] A. E. Shishkov, Large solutions of parabolic logistic equation with spatial and
temporal degeneracies // DCDS, ser.S, 10 (2017), No. 10, 895–907.
[14] A. E. Shishkov, A. G. Shchelkov, Blow-up boundary regimes for general quasilinear
parabolic equations in multidimensional domains // Sbornik: Mathematics, 190
(1999), No. 3, 447–479.
[15] A. E. Shishkov, Ye. A. Yevgenieva, Localized peaking regimes for
quasilinear parabolic equations // Mathematische Nachrichten, 2019,
DOI: 10.1002/mana.201700436
[16] Ye. A. Yevgenieva, Limiting profile of solutions of quasilinear parabolic equations
with flat peaking // Journal of Mathematical Sciences, 234(1) (2018), 106–116.
[17] Ye. A. Yevgenieva, Propagation of singularities for large solutions of quasilinear
parabolic equations // Journal of Mathematical Physics, Analysis and Geometry,
15(1) (2019), 131–144.
Є. О. Євгеньєва 591
[18] L. Veron, A note on maximal solutions of nonlinear parabolic equations with
absorption // Asymptot. Anal., 72 (2011), 189-200.
[19] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа, Москва, Наука, 1967.
[20] E. DiBenedetto Degenerate parabolic equations, New York, Springer–Verlag, 1993.
Вiдомостi про авторiв
Євгенiя
Олександрiвна
Євгеньєва
Iнститут прикладної математики
i механiки НАН України,
Слов’янськ, Україна
E-Mail: yevgeniia.yevgenieva@gmail.com
|