О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения

На основе полуаналитического метода конечных элементов предложен подход, позволяющий рассматривать задачи линейной механики разрушения для пространственных тел вращения и призматических тел с трещинами, которые находятся под действием динамического нагружения. Предложена комбинация специального коне...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Баженов, В.А., Вабищевич, М.О., Солодей, И.И., Чепурная, Е.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2018
Назва видання:	Прикладная механика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174224
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения / В.А. Баженов, М.О. Вабищевич, И.И. Солодей, Е.А. Чепурная // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 35-46. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174224
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1742242025-02-09T17:06:17Z О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения On Semi-Analytical Finite Element Method in Dynamical Problems of Linear Fracture Mechanics Баженов, В.А. Вабищевич, М.О. Солодей, И.И. Чепурная, Е.А. На основе полуаналитического метода конечных элементов предложен подход, позволяющий рассматривать задачи линейной механики разрушения для пространственных тел вращения и призматических тел с трещинами, которые находятся под действием динамического нагружения. Предложена комбинация специального конечного элемента с трещиной, как модели с прямой коррекцией тензора напряжений обычного конечного элемента, и алгоритма усреднения полученных решений по эффективной привершинной подобласти, что позволяет сохранить регулярную структуру дискретной модели и значительно уменьшить вычислительные расходы. На основі напіваналітичного методу скінченних елементів розроблено ефективний підхід моделювання пошкоджень типу тріщин, а також алгоритми визначення параметрів тріщиностійкості в задачах руйнування пружних просторових тіл обертання і призматичних тіл під дією нестаціонарних навантажень різного рівня інтенсивності та тривалості у часі. Викладено теорію та особливості обчислення параметрів механіки руйнування на основі енергетичного підходу із використанням спеціальних призматичного та кільцевого скінчених елементів з тріщиною в умовах динамічних навантажень. Проведено аналіз ефективності запропонованих алгоритмів. Basing on the semi-analytical finite element method, the effective approach to modeling the crack type damages is developed. Also the algorithms are offered that permit to determine the fracture strength parameters in problems of fracture of elastic spatial bodies of revolution and prismatic bodies under action of the non-stationary forces of different level of intensity and duration in time. A theory and features of fracture mechanics parameters calculation are presented basing on an energy approach using a special prismatic and ring finite elements with crack in conditions of dynemocal loadings. An analysis of effectiveness of proposed algorithms is carried out. 2018 Article О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения / В.А. Баженов, М.О. Вабищевич, И.И. Солодей, Е.А. Чепурная // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 35-46. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174224 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основе полуаналитического метода конечных элементов предложен подход, позволяющий рассматривать задачи линейной механики разрушения для пространственных тел вращения и призматических тел с трещинами, которые находятся под действием динамического нагружения. Предложена комбинация специального конечного элемента с трещиной, как модели с прямой коррекцией тензора напряжений обычного конечного элемента, и алгоритма усреднения полученных решений по эффективной привершинной подобласти, что позволяет сохранить регулярную структуру дискретной модели и значительно уменьшить вычислительные расходы.
format	Article
author	Баженов, В.А. Вабищевич, М.О. Солодей, И.И. Чепурная, Е.А.
spellingShingle	Баженов, В.А. Вабищевич, М.О. Солодей, И.И. Чепурная, Е.А. О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения Прикладная механика
author_facet	Баженов, В.А. Вабищевич, М.О. Солодей, И.И. Чепурная, Е.А.
author_sort	Баженов, В.А.
title	О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения
title_short	О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения
title_full	О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения
title_fullStr	О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения
title_full_unstemmed	О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения
title_sort	о полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2018
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174224
citation_txt	О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения / В.А. Баженов, М.О. Вабищевич, И.И. Солодей, Е.А. Чепурная // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 35-46. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT baženovva opoluanalitičeskommetodekonečnyhélementovvdinamičeskihzadačahlinejnojmehanikirazrušeniâ AT vabiŝevičmo opoluanalitičeskommetodekonečnyhélementovvdinamičeskihzadačahlinejnojmehanikirazrušeniâ AT solodejii opoluanalitičeskommetodekonečnyhélementovvdinamičeskihzadačahlinejnojmehanikirazrušeniâ AT čepurnaâea opoluanalitičeskommetodekonečnyhélementovvdinamičeskihzadačahlinejnojmehanikirazrušeniâ AT baženovva onsemianalyticalfiniteelementmethodindynamicalproblemsoflinearfracturemechanics AT vabiŝevičmo onsemianalyticalfiniteelementmethodindynamicalproblemsoflinearfracturemechanics AT solodejii onsemianalyticalfiniteelementmethodindynamicalproblemsoflinearfracturemechanics AT čepurnaâea onsemianalyticalfiniteelementmethodindynamicalproblemsoflinearfracturemechanics
first_indexed	2025-11-28T09:52:29Z
last_indexed	2025-11-28T09:52:29Z
_version_	1850027344971956224
fulltext	2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 5 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 5 35 В . А . Б а ж е н о в 1 , 2 , М . О . В а б и щ е в и ч 1 , И . И . С о л о д е й 1 , 2 , Е . А . Ч е п у р н а я 1 O ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ 1 Киевский национальный университет строительства и архитектуры; 2 Научно-исследовательский институт строительной механики, пр-т Воздухофлотский, 31, 03680, Киев, Украина; e-mail: isolodey@gmail.com Abstract. Basing on the semi-analytical finite element method, the effective approach to modeling the crack type damages is developed. Also the algorithms are offered that per- mit to determine the fracture strength parameters in problems of fracture of elastic spatial bodies of revolution and prismatic bodies under action of the non-stationary forces of differ- ent level of intensity and duration in time. A theory and features of fracture mechanics pa- rameters calculation are presented basing on an energy approach using a special prismatic and ring finite elements with crack in conditions of dynemocal loadings. An analysis of ef- fectiveness of proposed algorithms is carried out. Key words: dynamics, crack, dynamic stress intensity factor, J-integral, prismatic body, body of revolution, semi-analytical finite element method. Введение. Стремление к увеличению срока эксплуатации ответственных объектов совре- менной техники обусловливает необходимость обоснования прочности и сопротивле- ния разрушению конструктивных элементов и деталей при наличии в них трещино- подобных дефектов. Во многих случаях исследуемые конструкции находятся под действием произвольно распределенных в пространстве и времени нестационарных динамических нагрузок различной длительности. Определение параметров трещино- стойкости данных объектов является одним из решающих факторов получения адек- ватных результатов расчетной оценки конструкционной прочности и предотвращения возможных аварийных ситуаций. Учитывая технические трудности и высокую стоимость проведения натурных ис- пытаний, решение указанной проблемы с привлечением экспериментальных методов является крайне сложным, а иногда невозможным. В связи с этим, возникает необхо- димость более глубокого теоретического изучения особенностей поведения таких конструкций и создания соответствующих численных средств по определению дина- мических параметров механики разрушения. Многие узлы и детали, используемые в машиностроении, энергетике и других от- раслях техники, представляют собой пространственные тела вращения или призмати- ческие тела сложной формы. К ним относятся элементы крепежных систем, демпфер- ных устройств, сосуды давления, образцы для определения динамических параметров механики разрушения и т.д. Отметим, что наиболее распространенным и универсальным численным методом исследования данного класса объектов является полуаналитический метод конечных элементов (ПМКЭ) [3, 6 – 8]. Основные положения, современные подходы решения задач механики разрушения и связанные с ними аспекты численной реализации рас- смотрены в [1, 9 – 11, 13 – 16]. Широко представлены вычислительные алгоритмы и результаты определения коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для дву- мерных и пространственных задач теории трещин при статическом нагружении. 36 Целью данной работы является развитие полуаналитического метода конечных элементов в задачах механики разрушения для призматических тел и тел вращения при анализе переходных динамических процессов нагружения. 1. Постановка задачи. Основные уравнения. Рассмотрим однородные изотропные тела вращения и призматические тела, нахо- дящиеся под действием произвольной импульсной нагрузки или смещений, на неко- тором интервале времени. Описание геометрических и механических характеристик, начальных и гранич- ных кинематических условий, внешних нагрузок осуществляется в ортогональной круговой цилиндрической или декартовой системе координат, которую в дальнейшем называем базисной. Для представления напряженно-деформированного состояния тела (далее НДС) со сложной формой поперечного сечения вводится местная криво- линейная система координат, которая связана с геометрией тела. Принимаем, что в произвольной точке тела известна однозначная связь между базисной и местной си- стемами координат, которая определяется с помощью тензоров преобразования коор- динат [5]: , ; i i j j Z c x      , ; i i j j x x Z     , , ;m n ij i j m ng c c g    ( ) .ijij g g g   Здесь и далее, индексы, обозначенные латинскими буквами, принимают значения 1, 2, 3; греческими – 1, 2; запятая перед индексом показывает операцию дифференцирования; ( )ijg – алгебраическое дополнение к элементу , detij ijg g g    – определитель мат- рицы. Отличные от нуля компоненты метрического тензора, определяющие масштабы базисных векторов, имеют такой вид: ортогональной цилиндрической системе координат – 1 1 2 2 1;g g     2 2 3 3 ( ) ;g Z     декартовой системе – 1 1 2 2 3 3 1.g g g        Ненулевые символы Кристоффеля второго рода k l m    в ортогональной цилиндри- ческой системе координат имеют вид 2 2 3 3 ;Z      3 3 3 2 2 3 2 1 , Z           а в декартовой системе – 0k l m     . Компоненты тензора деформаций в местной системе координат через компоненты перемещений в базисной ku  представим в виде  , , , , , , 1 . 2 k k m n k ij k i j k j i k i j m nu c u c u c c              (1) Компоненты тензора напряжений в местной системе координат представим через компоненты тензора деформаций на основе обобщенного закона Гука [5], т.е. ;ij ijkl kld   .ijkl ij kl jl ik il jkd g g g g g g    В каждый момент времени упруго-деформированное состояние удовлетворяет ва- риационному уравнению движения, которое, согласно принципу Лагранжа – Далам- бера, представим в виде 37 0. p i ij i i i ij i i V V V S u u dV dV f u dV p u dS                 Начальные условия формулируем в виде распределения перемещений и скоростей в фиксированный момент времени 0t , который принимаем за начало временной коор- динаты, т.е. 0 0( , ) ( ),i iu Z t u Z  0 0( , ) ( ),i iu Z t u Z   .iZ V При этом предполагаем, что на части поверхности uS заданы кинематические граничные условия ( , ) ( , ),i iu Z t u Z t   i uZ S , а на поверхности pS с нормалью j jn n e  – произвольно ориентированная в пространстве и во времени система нагрузок , ( , );k ij k i jz n p Z t   .k pZ S Для прямолинейных призматических тел и тел вращения рассмотрим трещины, фронт которых совпадает по направлению с образующей тела. Фрагменты тел с тре- щинами показаны на рис. 1. Рис. 1 Выделяют три типа трещин: нормального отрыва, поперечного и продольного смещения. В зависимости от типа трещины формулы связи между компонентами тен- зора напряжений, вектора перемещений и значениями динамического КИН имеют следующий вид: трещина нормального отрыва (тип I) –  ( ) ( ) , ;i j i j I It K t H r       , 1, 2;i j   (2)  ( ) ( ) , ; u i i I Iu t K t H r    (3) трещина поперечного сдвига (тип II) –  ( ) ( ) , ;i j i j II IIt K t H r       , 1, 2;i j   (4)  ( ) ( ) , u i i II IIu t K t H r    ; (5) трещина продольного сдвига (тип III) –  ( ) ( ) , ;i j i j III IIIt K t H r       , 1, 3;i j   (6)  ( ) ( ) , , u i i III IIIu t K t H r    (7) где H – известные функции асимптотических формул компонент тензора напряжений и перемещений вблизи вершины трещины [13]. Для формулирования J-интеграла в задаче динамики используем определение: 38      30 3 ( )1 ( ) lim ( ) ( ) ( )ij i k jk k S u t J t W t T t n t n d S y                ( 1, 2),k  (8) где W – потенциальная; T – кинетическая энергии соответственно; S – поверхность малого объема, охватывающего сегмент фронта трещины (рис. 2) протяженностью  ; jn – компоненты вектора внешней нормали к поверхности ;F iu , ij – перемещения и напряжения; iy  – локальная система координат трещины. Сегмент фронта трещины для тел вращения и прямолинейных призматических тел представлен на рис 2, а, б. а б Рис. 2 Далее для удобства представления опускаем индекс времени. Согласно работе [13] связь между КИН и J-интегралом (8) имеет вид:  2 2 2 1 1 1 2I II IIIJ K K K H     , 2 2 I IIJ K K H   , при этом 1 ,I II IIIJ G G G   где IG , IIG , IIIG – интенсивности освобождения упругой энергии. Следует также отметить, что ;I IK EG  ;II IIK EG  2III IIIK G или 1 2 1 2 1 ( ), 2I II III IIIK E J J G J J G      где E E – в случае плоского напряженного состояния, 2(1 )E E   – при плоской деформации. Для моделирования трещины вводится тонкий контактный слой, в пределах кото- рого НДС описывается в дополнительной системе координат ,iy  связанной с конфи- гурацией фронта трещины (рис. 3). Толщина слоя конечных элементов должна удо- влетворять двум условиям. С одной стороны, она должна иметь относительно не- большую величину по сравнению с габаритными размерами объекта, поскольку слой вводится фиктивно с целью упрощения численного моделирования трещины; с дру- гой – численная устойчивость результатов расчета зависит от соотношения сторон конечного элемента. Рассмотрим специальные призматический (рис. 3, а) и кольцевой замкнутый (рис. 3, б) конечные элементы (КЭ) с поперечным сечением (рис. 3, в) в виде криволинейного четырехугольника произвольного очертания, который разрезан трещиной (рис. 3). Полагаем, что область, которую занимает элемент, отображается на квадрат с единич- ными сторонами, внутренние свойства которого определяются механическими и гео- метрическими характеристиками элемента. 39 а б в Рис. 3 Специальные конечные элементы с трещиной (СКЭТ)построены на основе за- мкнутого кольцевого и призматического КЭ полуаналитического метода конечных элементов [12]. Для учета отрезка трещины, которая проходит через поперечное сечение КЭ, должны дополнительно выполняться условия 1 1 0,   1 2 0,   1 3 0.   Решение задачи динамики для тел с трещинами требует введения в уравнения движения ограничений от взаимного проникновения берегов трещины 1 1 0    , по- скольку нестационарные задачи предусматривают наличие силовых факторов различ- ных знаков. Подобный аспект возникает также и в задачах статики; например, при рассмотрении изгиба пластины со сквозной трещиной, когда ее берега стремятся рас- крыться на растянутой стороне пластины и сомкнуться на стороне сжатия. СКЭТ обеспечивает естественно легкое решение этой проблемы варьированием напряжений 1 1 ,   нормальных к поверхности контакта берегов трещины. Необходимость выполнения условий равенства нулю напряжений на поверхности трещины приводит к коррекции тензора упругих констант * mn mnst std  . Составляющие корректирующих членов тензора упругих констант * mnst mnst mnst mnst mnst p c qd d d d d    (9) вычисляются через коэффициенты Ляме и тензоры преобразований, которые определя- ют связь между базисной системой координат iZ  и системой координат трещины .iy  2 ; 1 2 mnst mn st pd S S      1" 1";2 mn mn m nS g c c     1" 2" 1" 2" 1" 2" 1" 2"( );mnst ns mt ms nt nt ms mt ns cd r r r r r r r r    1" 3" 1" 3" 1" 3" 1" 3"( );mnst ns mt ms nt nt ms mt ns qd r r r r r r r r    ' " ' '' ; m m k i k ic c c " ( ") ( ") ; ms m s i i ir c c ;m m k kc x Z      ' " cos ;k ic  ' "( ^ ).k iZ y  40 Для тел вращения: 3 3 0c c    , 3 3 1c   , а для призматических тел: 3 3 0c c    , 3 3 1c a  . Важным преимуществом предложенного подхода, основанного на изменении со- ответствующим образом физико-механических характеристик материала, является то, что система деформируемых тел аппроксимируется как единое тело с помощью раз- работанных типов КЭ. При этом, вычисление коэффициентов эффективной матрицы жесткости специального конечного элемента выполняется по тем же формулам, что и для обычных КЭ, ограничиваясь коррекцией элементов матриц упругих постоянных. В силу замкнутости кольцевого КЭ, постоянства его геометрических параметров вдоль окружной координаты и для обеспечения выполнения граничных условий для шарнирно опертых призматических тел, распределение неизвестных (перемещения, ско- рости, ускорения) в направлении 3x (рис. 3) проводится 2 -периодическими функ- циями 3x и их узловые значения представляются отрезками тригонометрических ря- дов Фурье 1 2 1 2 0 ( , ) ( , ) ( )( : : ) ( : : ) , L l l k S S k S S k l l u u u u u u          (10) где: для кольцевого КЭ – 3 1 2 cosl l lx    , 3 3 sinl lx   , 0 0l  , 30 2 ;x   для призматического КЭ – 3 1 2 sin 2 l l l x     , 3 3 cos 2 l l x    , 0 1l  , 30 2x  . Компоненты тензоров деформаций и напряжений в центре КЭ определяем со- гласно формул: 0 1 3 ; L l l l l ij ij ij l l           0 , , 1 , 3 ; L l l l l ij ij ij l l                 1 2 1 2 , , ;k S Sl l l ij ij k S SB u        1 2 1 2 , , , , ;k S Sl l l ij ij k S SB u         1 2 1 2 , , ;k S Sl l l ij ij k S SB u        1 2 1 2 , , , , ;k S Sl l l ij ij k S SB u     0 1 3 ; L ij ij l ij l l l l l           0 , , 1 , 3 ; L ij ij l ij l l l l l             (11) ;ij ijkm l l kmd    , , ;ij ijkm l l kmd     ;ij ijkm l l kmd    , , .ij ijkm l l kmd     Коэффициенты матриц  B вычисляем в соответствии с формулами (1) и исполь- зованием разложения (10). Построение амплитудной обобщенной матрицы жесткости для 2-х типов КЭ осу- ществляется на основе выражения для вариации потенциальной энергии – 1 2 3 1 2 3ij ij x x x W gdx dx dx    . Представив компоненты тензоров напряжений и деформаций через разложения в ряд Маклорена и выполнив интегрирование по 1,x 2,x учитывая, что коэффициенты разложения напряжений связаны с коэффициентами разложения приращений дефор- маций законом Гука, получим 3 2 3 , , 1 1 . 12 ij ij ij ij x W gdx                      41 Учитывая зависимости между коэффициентами разложения приращений дефор- маций и коэффициентами разложения перемещений, представим выражение вариации энергии КЭ в амплитудном виде (на основе рядов Фурье) т.е. 0 ; L l l l W W     2 , , , , 1 1 12 ij l ij l ij l ij l l l ij l ij l ij l ijW g                                        . Выполнив численное интегрирование по направлению 3x для обобщенной ам- плитудной матрицы жесткости обоих КЭ, получим   2 2 1 1 1 . 12 T T ll l l l lK B D B B D B g                                         Заметим, что матрица D   корректируется в соответствии с выражением (9). Вариация кинетической энергии в местной системе координат описывается соот- ношением 1 2 3 1 2 3.k k x x x T u u gdx dx dx        Если использовать предположение об усреднении массы в окрестности узла, и учесть, что каждая узловая масса соответствует части масс элементов, примыкающих к рассматриваемому узлу сетки, вариацию кинетической энергии представим в виде: 3 31 . 4 k k x T u u gdx      С учетом (10) имеем: 0 , L l l l T T     где     1 21 2 1 2 ( , ), , 1 4 l l k k l S Sk S S k S ST u u g g        . Тогда выражение для обобщенной амплитудной матрицы масс принимает вид   1 . 4 k k ll M g g      Интегрирование уравнений движения по времени выполняем с помощью двух из- вестных подходов: метода Ньюмарка или разложения решения по формам собствен- ных колебаний конструкции, модификации которых записываются в амплитудных подсистемах ПМКЭ. Специфика ПМКЭ такова, что за неизвестные принимаются амплитудные компо- ненты векторов перемещений, скоростей и ускорений. При этом задача их определе- ния для однородных в направлении образующей тел сводится к решению системы независимых обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка для момента времени τ, которая записывается в форме          , ,l l ll ll l M U K U Q     0( , ... , ),l l L (12) где  Q – вектор усилий, определяемый на основе вариации работы внутренних и внешних сил. Следуя общему подходу метода Ньюмарка [4], неизвестные значения амплитуд- ных перемещений и скоростей в момент времени t t  представим через значения этих же параметров на предыдущем шаге по времени в соответствии с конечно- разностными формулами:    , , t t t tl t t lll К U Q        42 где    0 ; t t t t ll llll K K a M                    , , , 0 2 3 . t t t t l t l t l t llll Q Q M a U a U a U        Решая систему уравнений, получаем амплитудные значения перемещений в мо- мент времени t t  , по которым вычисляем амплитуды скоростей и ускорений для момента времени t t  :           , , ,, , 0 2 3 ; l t t l t l tl t t l t U a U U a U a U               , , , , 6 7 , l t t l t l t l t t U U a U a U         где 2 0 1 ( ) ,a t  2 1 ( ) ,a t  3 1 2 1,a   6 (1 ),a t    7a t  , 0,5,     2 0,25 0,5   – условия, определяющие устойчивость схемы интегрирования. Рассмотрим алгоритм разложения по формам собственных колебаний. Переход к нормальным координатам осуществляется в результате линейного преобразования      , ,l l lr rU X   ( 1, ... , ).r   (13) Здесь   l r – l амплитуда r собственной формы дискретной модели, вычисленной с помощью модального анализа; ( )rx t – неизвестные весовые коэффициенты, решенные для r собственной формы;  – число собственных форм, удерживаемых при линей- ном преобразовании. Выполнив подстановку (13) в (12) и умножив слева на  Tlr , получим систему уравнений, которая с учетом ортогональности собственных форм         ;T lr ll lr rrM I           ,T lr ll lr rrK    превращается в ряд независимых дифференциальных уравнений вида            , , , , Tl l l rr r rr r rlr I X X Q      (14) с такими начальными условиями:        0 0, ;i i l T l lr llr Z Z X M U          0 0, .i i l T l lr llr Z Z X M U    Решение обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка (14) пред- ставим интегралом Дюамеля:                0 0 0 , ,, , , t l t l tl t t t t T l r r r lr r t X CC X SS X SS Q d      где    diag cos ;rCC      sin diag ;r r SS            .r r  Интегрирование выполним численно на основе формулы прямоугольников. Используя формулы (2) – (7) в качестве начальных и принимая во внимание раз- ложения (10) и (11), можно получить формулы для вычисления амплитудных значе- ний КИН для каждой из подсистем ПМКЭ, т.е. 1 3 ; ( , ) i j l i j l l l l i j K H r                     1 . ( , ) l lu l i u i u K H r         43 Координатные величины определяются по формулам 0 ; L l l l K K        0 ; Lu u l l l K K     , , .I II III  Конечное расчетное значение КИН вычисляем усреднением по области 6 6 эле- ментов (рис. 4): 0 ; L l l l К К     1 2 u l l lК K K           , где K  – КИН по напряжениям, u K – по перемещениям. Кружками обозначены точки определения КИН по напряжениям, крестиками – по перемещениям. Рис. 5 отображает схему проведения численных исследований при изменении параметра k в части зоны, граничащей с поверхностью трещины, и соответствует ранее приведенной методике вычисления КИН. На основе полученных решений по- строен график изменения погрешности  вычисления КИН прямым методом для задачи динамики, который уточняет оптимальный показатель размера стороны КЭ 1 15 1 20k   по сравнению с вариантом статической нагрузки [3]. Традиционно для вычисления энергетического интеграла в пределах сеточных методов используется формулировка (15, см. выше). Принимается, что трещина свя- зана с системой координат x (рис. 6), где индекс  определяет продольное направ- ление трещины, jN – стороны выбранного контура интегрирования. 3 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) N N N ik j j i k j j j j W T ds W T ds n ds              Рис. 4 Рис. 5 44 32 4 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . NN N ik ik ik i k j i k j i k j j j j n ds n ds n ds                (15) В данной статье используем метод реакций [2], в соответствии с которым все чле- ны, входящие в (15), определяются с помощью узловых реакций и перемещений се- точной области для момента времени t t    . Представим компоненты из (15) через амплитудные значения:     ( ) ; 2( ) Т l j l jl l j j u R W T dS x    2 4 2 4 ; 2 ik i lk l n dS R     1 3 1 3 ; 2 ik i lk l n dS R     2 4 2 4 1 ( ); 2 k k k l l lR R R   2 4 4 2 2 4 1 ( );l ikl k k l lk u u u x x             1 3 1 3 1 ( ); 2 k k k l l lR R R   1 3 3 1 1 3 1 ( ).l ikl k k l lk u u u x x             Таким образом, окончательно можно записать:         3 1 1 1 1 1 2( ) 2( ) N N T T l j l jl j l j j jj j u R u R x x        1 1 ( )( ) 2 k k k kN l q l q l q l q j j R R u u x             2 1 ( )( ) 2 k k k kN l q l q l q l q j j R R u u x             3 4 1 1 ( )( ) ( )( ) . 2 2 k k k k k k k kN N l q l q l q l q l q l q l q l q j j j j R R u u R R u u x x                             Формулы для вычисления амплитудных значений узловых реакций зависят от ал- горитма решения уравнений движения. В соответствии с формулировкой метода Ньюмарка [4] систему уравнений (12) можно представить в виде         , t t t tt t t w l lll R R Q R      где       , ; t t l t t w lll R K U         , 0 ; l t tt t l ll R a M U   Рис. 6 45           , , , 0 2 3 . l tt l t l t l ll R M a U a U a U     Исходя из этого, узловые реакции для задачи динамики с трещиной при использо- вании прямого метода интегрирования уравнений движения будем вычислять на ос- нове выражения        t t t t t w l ll l R R R R        . (16) и включать статическую и динамическую составляющие. Следует отметить, что для различных методов прямого интегрирования уравне- ний движения (Вилсона, Хаболта и др.) динамическая составляющая реакции (16) не будет однозначной, и она определяется в соответствии с выбранным подходом. В случае, когда динамическое решение задачи формируется на основе собствен- ных форм конструкции, узловые реакции вычисляются по формуле      w l ll R R R      , где       , ;l w l llR K U        , .r l l r llR M U    Результаты решения задачи о динамическом растяжении прямоугольной пласти- ны с центральной трещиной выявили хорошую сходимость решений на основе пред- ложенного подхода (рис. 7).Исследования проведено для различных длин трещин, результаты для двух из них представлены в виде графиков сходимости по погрешно- сти  определения КИН. Рис. 7 Следует отметить, что решение на основе метода реакций сходится значительно быстрее и требует меньшего сгущения сетки вблизи вершины трещины. Заключение. На основе полуаналитического метода конечных элементов предложен подход, позволяющий рассматривать задачи линейной механики разрушения для простран- ственных тел вращения и призматических тел с трещинами, которые находятся под действием динамического нагружения. Предложена комбинация специального конечного элемента с трещиной, как мо- дели с прямой коррекцией тензора напряжений обычного КЭ, и алгоритма усреднения полученных решений по эффективной привершинной подобласти, что позволяет со- хранить регулярную структуру дискретной модели и значительно уменьшить вычис- лительные расходы. Разработан подход к определению энергетического интеграла в дискретных моде- лях ПМКЭ на основе метода реакций для задач динамики. 46 РЕЗЮМЕ. На основі напіваналітичного методу скінченних елементів розроблено ефективний підхід моделювання пошкоджень типу тріщин, а також алгоритми визначення параметрів тріщино- стійкості в задачах руйнування пружних просторових тіл обертання і призматичних тіл під дією не- стаціонарних навантажень різного рівня інтенсивності та тривалості у часі. Викладено теорію та особливості обчислення параметрів механіки руйнування на основі енергетичного підходу із викорис- танням спеціальних призматичного та кільцевого скінчених елементів з тріщиною в умовах динаміч- них навантажень. Проведено аналіз ефективності запропонованих алгоритмів. 1. Атлури С. Вычислительные методы в механике разрушения. – М.: Мир, 1990. – 392с. 2. Баженов В.А., Гуляр О.І., Пискунов С.О., Сахаров О.С., Шкриль О.О. Метод реакцій для обчислен- ня J- інтеграла в просторових нелінійних задачах механіки руйнування// Опір матеріалів і теорія споруд. – К.: КНУБА, 2006. – Вип. 79. – С. 3 – 17. 3. Баженов В.А., Гуляр А.И., Сахаров А.С., Топор А.Г. Полуаналитический метод конечных элементов в механике деформируемых тел. – К.: Випол, 1993, 376 с. 4. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. – М.: Стройиздат, 1982. – 447с. 5. Блох В.И. Теория упругости. – Харьков: Изд-во Харьк. ун-та. – 1964. – 483 c. 6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 539 с. 7. Золотов А.Б. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве / Научное издание – М.: Издательство АСВ, 2010. – 336 с. 8. Кантор Б.Я., Гнитько В.И. Об одном методе изучения напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций вращения, циклически неоднородных в окружном направлении // Харьков: ИПМаш АН УССР, 1982, препринт – 171. – 20 с. 9. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. – М.: Наука, 2007. – 256 с. 10. Неклассические проблемы механики разрушения / В четырех томах под общей редакцией акаде- мика АН Украины А.Н.Гузя – К.: Наук. думка, 1993. – 237с. 11. Саврук М.П. Механика разрушения и прочность материалов: Справ. пособие, т.2: Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. – К.: Наук. думка, 1988. – 620 с. 12. Солодей І.І. Ефективність скінченноелементної бази напіваналітичного метода скінченних елементів для апроксимації тіл обертання та призматичних тіл в задачах динаміки // Опір матеріалів і теорія споруд: наук.-техн. збірник. – К.: КНУБА, Вип. 82, 2008. – С. 154 – 163. 13. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с. 14. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния в области вершины трещи- ны в компактном образце для испытаний на растяжение [на англ.яз.] / А.А.Котляренко, Т.А.Прач, В.В.Харченко, А.Ю.Чирков // Пробл. прочности. – 2009. – № 1. – С. 134 – 140. 15. BogdanovV.L., GuzA.N., NazarenkoV.M. Spatial Problems of the Fracture of Materials Loaded Along Cracks (Review) // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 5. – P. 3 – 89. 16. Rice J. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentrations by notches and cracks // J. Appl. Mech. – 1968. – 35, №2. – P. 379 – 386. Поступила 22.0.2016 Утверждена в печать 22.05.2018

О полуаналитическом методе конечных элементов в динамических задачах линейной механики разрушения

Репозитарії

Схожі ресурси