Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням
In this paper we satisfy the averaging method for multifrequency systems with delay on asimptoticly big and infinit intervals. The vector of frequencies is depend on slow variables. Also study the estimate of error of averaging method on small parameter. На асимптотично великому i нескiнченному ч...
Saved in:
| Date: | 1999 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175326 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням / Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 162-169. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175326 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1753262025-02-09T16:40:15Z Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням Grounding of the averaging method for nonlinear resonance systems with delay Обоснование метода усреднения для нелинейных резонансных систем с запаздыванием Бігун, Я.Й. In this paper we satisfy the averaging method for multifrequency systems with delay on asimptoticly big and infinit intervals. The vector of frequencies is depend on slow variables. Also study the estimate of error of averaging method on small parameter. На асимптотично великому i нескiнченному часових iнтервалах обгрунтовано метод усереднення для багаточастотних систем iз запiзненням. Одержано явно залежну вiд малого параметра оцiнку похибки методу усереднення у випадку, коли вектор частот залежить вiд повiльних змiнних. 1999 Article Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням / Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 162-169. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175326 517.929 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
In this paper we satisfy the averaging method for multifrequency systems with delay on asimptoticly big
and infinit intervals. The vector of frequencies is depend on slow variables. Also study the estimate of
error of averaging method on small parameter.
На асимптотично великому i нескiнченному часових iнтервалах обгрунтовано метод усереднення для багаточастотних систем iз запiзненням. Одержано явно залежну вiд малого параметра оцiнку похибки методу усереднення у випадку, коли вектор частот залежить вiд повiльних змiнних. |
| format |
Article |
| author |
Бігун, Я.Й. |
| spellingShingle |
Бігун, Я.Й. Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бігун, Я.Й. |
| author_sort |
Бігун, Я.Й. |
| title |
Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням |
| title_short |
Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням |
| title_full |
Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням |
| title_fullStr |
Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням |
| title_full_unstemmed |
Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням |
| title_sort |
обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175326 |
| citation_txt |
Обґрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням / Я.Й. Бігун // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 162-169. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT bígunâj obgruntuvannâmetoduuserednennâdlânelíníjnihrezonansnihsistemízzapíznennâm AT bígunâj groundingoftheaveragingmethodfornonlinearresonancesystemswithdelay AT bígunâj obosnovaniemetodausredneniâdlânelinejnyhrezonansnyhsistemszapazdyvaniem |
| first_indexed |
2025-11-28T01:29:57Z |
| last_indexed |
2025-11-28T01:29:57Z |
| _version_ |
1849995721844981760 |
| fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 517.929
ОБГРУНТУВАННЯ МЕТОДУ УСЕРЕДНЕННЯ
ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ РЕЗОНАНСНИХ СИСТЕМ
IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ
Я.Й. Бiгун
Iн-т математики НАН України,
Україна, 252601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: bigun@math.chdu.cv.ua
In this paper we satisfy the averaging method for multifrequency systems with delay on asimptoticly big
and infinit intervals. The vector of frequencies is depend on slow variables. Also study the estimate of
error of averaging method on small parameter.
На асимптотично великому i нескiнченному часових iнтервалах обгрунтовано метод усеред-
нення для багаточастотних систем iз запiзненням. Одержано явно залежну вiд малого параме-
тра оцiнку похибки методу усереднення у випадку, коли вектор частот залежить вiд повiль-
них змiнних.
Ефективним методом дослiдження багаточастотних систем є метод усереднення [1]. Але
резонанснi явища, характернi для таких систем, значно ускладнюють його обгрунтуван-
ня. Тому необхiдно накладати деякi додатковi умови, якi б забезпечували незастрягання
траєкторiї повiльних змiнних в малому околi резонансiв [2 – 4]. Дослiдженню асимпто-
тичним методом Крилова – Боголюбова – Митропольського багаточастотних коливань
в системах iз запiзненням присвяченi монографiї [5, 6]. В роботах [7, 8] побудованi явно
залежнi вiд малого параметра оцiнки похибки методу усереднення, як наслiдок оцiнок
вiдповiдних осциляцiйних iнтегралiв. Для резонансних систем з запiзненням i вектором
повiльно змiнних частот аналогiчний результат одержано в [9]. В данiй роботi метод усе-
реднення обгрунтовано на скiнченному вiдрiзку i пiвосi для систем iз постiйним запiзнен-
ням i вектором частот, залежним вiд повiльних змiнних розв’язку системи i ,,повiльного
часу”.
Розглядається система диференцiальних рiвнянь вигляду
dx
dτ
= a(τ, x, xh, ϕ, ϕ∆) + εA(τ, x, xh, ϕ, ϕ∆, ε),
dϕ
dτ
=
1
ε
ω(τ, x, ε) + b(τ, x, xh, ϕ, ϕ∆, ε),
(1)
де τ ∈ [0, L] = I , L = const > 0, ε ∈ (0, ε0], ε0 << 1, x, xh ∈ D, D — область в Rn,
ϕ,ϕ∆ ∈ Rm, m ≥ 1; xh(τ) = x(τ − εh), ϕ∆(τ) = ϕ(τ − ε∆), h i ∆ — додатнi сталi, якi
характеризують запiзнення. Вектор-функцiї a, A, b 2π-перiодичнi по кожнiй iз компонент
ϕν , ϕ∆ν , ν = 1,m. Внаслiдок залежностi вектора частот ω(τ, x, ε) вiд параметра ε система
(1) може включати системи з iєрархiєю частот [10].
162 c© Я.Й. Бiгун, 1999
Замiнимо систему (1) значно простiшою усередненою системою першого наближен-
ня для повiльних змiнних
dξ
dτ
= a0(τ, ξ), (2)
де
a0(τ, ξ) = (2π)−m
2π∫
0
. . .
2π∫
0
a(τ, ξ, ξ, ϕ, ϕ− θ)dϕ1 . . . dϕm =
=
∑
k+l=0
akl(τ, ξ, ξ) exp[i(k, θ)], θ = ω(τ, ξ(τ), 0)∆.
Права частина усередненої системи (2) мiстить доданки, якi вiдповiдають цiлочисло-
вим резонансним векторам k, l таким, що k + l = 0, ‖k‖ + ‖l‖ 6= 0, |k| = |k1| + . . . + |km|.
Нагадаємо, що умовою резонансу для системи (1) в точцi τ ∈ I є виконання спiввiдно-
шення (k + l, ω(τ , x(τ, ε), ε)) = 0 (≈ 0), якщо ‖k‖+ ‖l‖ 6= 0.
В данiй роботi наведено умови, якi забезпечують близькiсть на вiдрiзку I та R+ =
= [0,∞) повiльних змiнних x(τ, ε) розв’язку системи (1), побудованого за початковими
функцiями x(0) ∈ C[−εh, 0], ϕ(0) ∈ C[−ε∆, 0], x(0)(0) = ξ(0), i розв’язком ξ(τ, ε) усередненої
системи (3). Одержано оцiнку вiдхилення цих розв’язкiв, яка має порядок εd, d ∈ (0, 1/2].
Як вiдомо, оцiнка похибки методу усереднення є наслiдком оцiнки вiдповiдних осци-
ляцiйних iнтегралiв [7]. Системi (1) вiдповiдає осциляцiйний iнтеграл вигляду
Ikl(τ, τ , s, ε) =
τ+s∫
τ
f(τ, ε) exp
i
ε
s∫
τ
γkl(z, x(z, ε), ε)dz
ds, (3)
де τ ∈ R+, s ∈ I , τ ∈ R+, ε ∈ (0, ε0], γkl(τ , x(τ, ε), ε) = (k + l, ω(τ, x(τ, ε), ε)), (· , ·) —
скалярний добуток.
Зробимо деякi припущення вiдносно систем (1) i (2).
1. Нехай в областi G = I×D×D×Rm×Rm× (0, ε0] функцiї a(τ ,x,z,u,v), A(τ ,x,z,u,v,ε),
b(τ, x, z, u, v, ε), ω(τ, x, ε) для кожного фiксованого ε ∈ (0, ε0] неперервно диференцiйовнi
по τ , x, z, u, v i обмеженi разом з похiдними сталою a1.
2. Iснує розв’язок усередненої системи (1) для всiх τ ∈ I , який лежить в D разом з
деяким ρ-околом Dρ(ξ) = {x : x ∈ D, ‖ξ(τ)− x‖ < ρ}.
Позначимо через P множину векторiв p = [k, l], для яких коефiцiєнти Фур’є функцiї
a(τ, x, x, ϕ, ϕ∆) тотожно не рiвнi нулю в ρ1-околi усередненого розв’язку ξ(τ), τ ∈ I , ρ1 ∈
∈ (0, ρ]. Введемо такi функцiї:
Ω(τ, z, x, ϕ, ϕ∆, ε) =
∂ω(τ, x, ε)
∂τ
+
∂ω(τ, x, ε)
∂x
δ(τ, x, ϕ, ϕ∆, ε),
δ(τ, x, ϕ, ϕ∆, ε) =
∑
p∈P
akl(τ, x, x)hq(γkl(τ, x, ε))ei(p,ψ), ψ ∈ [ϕ,ϕ∆],
функцiя hq ∈ C1(R), рiвна 1 при |t| ≤ q, 0 при |t| ≥ 2q i cos
π
2q
(t− q) при q < |t| < 2q.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 163
3. Для всiх p ∈ P , τ ∈ I , x ∈ Dρ(ξ(τ, ε)), u ∈ Rm, v ∈ Rm, ε ∈ (0, ε0] справджується
нерiвнiсть
|γkl(τ, x, ε)|+ |(k + l,Ω(τ, x, ϕ, ϕ∆, ε))| ≥ a2‖p‖−χεβ, (4)
де ‖p‖ = ‖k‖ + ‖l‖, q = εα, a2 = const > 0, χ ∈ Z, χ ≥ −1. Числа α i β задовольняють
умови: α ∈ [0, 1/2), β ∈ [0, 1/3), 2α+ β < 1.
4. Для l1 ≥ 2m + 2 + max
{
0, χ,
(1− 3β)(χ+ 1)
1− 2α− β
− 2
}
, l2 ≥ 2m + max{0, χ} функцiя
a(τ ,x,x,u,v) та її похiднi задовольняють умови a ∈ C l1ψ (G),
∂a
∂τ
∈ C l2ψ (G),
∂a
∂x
∈ C l2ψ (G),
∂a
∂xh
∈ C l2ψ (G) i обмеженi сталою a1.
Теорема 1. Нехай для кожного ε ∈ (0, ε0], f ∈ C1
τ (R+),
sup
Gτ
‖f‖+ sup
Gτ
∥∥∥∥ dfdτ
∥∥∥∥ <∞, Gτ = [τ, τ + L]× (0, ε0],
виконуються умови 1 – 4, iснує розв’язок {x(τ, ε), ϕ(τ, ε)} системи (1) i x(τ, ε) ∈
∈ D0,5ρ1(ξ(τ, ε)) для кожного ε ∈ (0, ε0].
Тодi для всiх p ∈ P , якщо χ = −1, i p ∈ PN = {p : p ∈ P , ‖p‖ ≤ N} (N — досить
велике число), якщо χ > −1, для всiх τ ∈ R+, τ ∈ R+, s ∈ I , ε ∈ (0, ε0] для iнтеграла (3)
виконується оцiнка
‖Ikl‖ ≤ c10ε
1−3β
2
[
(‖p‖χ + 1)‖p‖χ+1 sup
Gτ
‖f(τ, ε)‖+ ‖p‖χ sup
Gτ
∥∥∥∥df(τ, ε)
ds
∥∥∥∥] , (5)
де сталi c10 i ε4 ∈ (0, ε0] не залежать вiд τ , τ , s, ε k i l.
Доведення. Використаємо схему доведення, запропоновану в [11]. Для τ ∈ R+, ε ∈
∈ (0, ε0] i компоненти x(τ, ε) розв’язку (1) введемо функцiю
y(τ, ε) = x(τ, ε) + εi
∑
p∈P
akl(τ, x(τ, ε), x(τ, ε))
γkl(τ, x(τ, ε), ε)
×
×[1− hεα(γkl(τ, x(τ, ε), ε))] exp[i(p, ψ)] ≡ x(τ, ε) + εU(τ, ε). (6)
Iз умови 4 i оцiнки коефiцiєнтiв Фур’є [9, с. 88, 89] одержимо
ε‖U(τ, ε)‖ ≤ ε1−α
∑
p∈P
sup
G1
‖akl(τ, x, x)‖ ≤ c(0)
1 ε1−α.
Зауважимо, що y(τ, ε) ∈ Dρ(ξ(τ)) для τ ∈ I , як тiльки ε ≤ min
(
ε0,
(
ρ1/2c
(0)
1
)1/(1−2α)
)
=
= ε1. Продиференцiюємо рiвнiсть (6):
dy(τ, ε)
dτ
= δ(τ, x, ϕ, ϕ∆, ε) + εA(τ, x, ϕ, ϕ∆, ε) + (a(τ, x, xh, ϕ, ϕ∆)−
−a(τ, x, x, ϕ, ϕ∆)) + εi
∑
p∈P
dakl(τ, x, x)
dτ
1− hεα(γkl(τ, x, ε))
γkl(τ, x, ε)
ei(p,ψ)−
164 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
−ε
∑
p∈P
akl(τ, x, x)
{
dhεα
dτ
1
γkl(τ, x, ε)
+
1− hε(γkl(τ, x, ε))
γ2
kl(τ, x, ε)
[
d
dτ
γkl(τ, x(τ, ε), ε)−
−iγkl(τ, x, ε)
(
1
ε
(l, ω(τ∆, x∆, ε)− ω(τ, x, ε)) + (k, b) + (l, b∆)
)]
ei(p,ψ)
}
≡
≡ δ(τ, x, ϕ, ϕ∆, ε) +B(τ, x, xh, ϕ, ϕ∆, ϕ∆∆, ε).
Враховуючи, що ‖x − xh‖ ≤ 2a1hε = c2ε для τ ≥ τ∗ = εmax(h,∆) i∑
p∈P
(
sup
G1
∥∥∥∥∂akl(τ, x, x)
∂τ
∥∥∥∥+ sup
G1
∥∥∥∥∂akl(τ, x, x)
∂x
∥∥∥∥) ‖p‖χ ≤ c(χ)
3 (m, l2, a1), знаходимо
‖B‖ ≤ c4ε
1−2α, (7)
де c4 = a1(1 + c2 + c
(0)
3 + c
(0)
1 + c
(1)
1 (1 + a1 + ∆)) +
π
2
c
(0)
1 + c
(0)
3 .
Оцiнимо вираз
|γkl(τ, y(τ, ε), ε)|+
∣∣∣∣ ddτ γkl(τ, y(τ, ε), ε)
∣∣∣∣ ≥ |γkl(τ, y(τ, ε), ε)|+
+|k + l,Ω(τ, y(τ, ε), ϕ(τ, ε), ϕ∆(τ, ε), ε)|−
−|(k + l, B(τ, x, xh, ϕ, ϕ∆, ϕ∆∆, ε))|−
−
∣∣∣∣(k + l,
∂ω(τ, y(τ, ε), ε)
∂y
(δ(τ, x, ϕ, ϕ∆, ε)− δ(τ, y, ϕ, ϕ∆, ε)
)∣∣∣∣ .
Звiдси
|γkl(τ, y(τ, ε), ε)|+
∣∣∣∣ ddτ γkl(τ, y(τ, ε), ε)
∣∣∣∣ ≥ 1
2
a2‖p‖−χεβ . (8)
Для χ = −1 нерiвнiсть (8) справедлива для всiх p ∈ P , як тiльки ε ≤ min(ε1, c1/(β+2α−1)
5 =
= ε2, c−1
5 = 2a1(c4 + c
(0)
1 c
(0)
3 )/a2.
Якщо χ > −1, то оцiнка (8) виконується при ‖p‖ ≤ N ≤ E
(
c
1
χ+1
5 ε
2α+β−1
χ+1
)
, ε ∈ (0, ε2].
Тут E(s) — цiла частина числа s.
Iз (8) випливає, що для p ∈ PN1 у випадку χ > −1 i довiльного p ∈ P для χ = −1
τ0 ∈ [τ, τ + s], y0 = y(τ0, ε) виконується одна iз двох нерiвностей
|γkl(τ0, y0, ε)| ≥
1
4
a2‖p‖−χεβ, (91)∣∣∣∣ ddτ γkl(τ0, y0, ε)
∣∣∣∣ ≥ 1
4
a2‖p‖−χεβ. (92)
Нехай виконується нерiвнiсть (91). Тодi нескладно одержати
|γkl(τ, y(τ, ε), ε)| ≥ 1
8
‖p‖−χεβ (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 165
на вiдрiзку [τ0, τ0 + δkl], δkl(ε) = c6ε
β‖p‖−χ−1, c6 = a2/(8a1(1 + c
(0)
1 + c4)).
З цiєї нерiвностi, використавши (6) i оцiнку (7), для τ ∈ [τ0, τ0 + δkl] знаходимо
|γkl(τ, x(τ, ε), ε)| ≥ a2
16
‖p‖−χεβ ,
якщо χ > −1 i p ∈ PN2 , N2 = min
(
N1, E
(
c
1
χ+1
7 ε
α+β−1
χ+1
))
, c7 = 16a1c
(0)
1 /a2. У випадку
χ = −1 i ε ≤ ε3 = min
(
ε2, c
1/(1−α−β
7
)
нерiвнiсть (10) виконується для всiх p ∈ P .
Якщо ж нерiвнiсть (91) порушується, то∣∣∣∣ ddτ γkl(τ, y(τ, ε), ε)
∣∣∣∣ ≥ 1
8
a2‖p‖−χεβ (11)
на деякому вiдрiзку [τ, λkl] найбiльшої довжини, λkl−τ0 ≤ δkl. Нехай τkl — точка мiнiмуму
функцiї |γkl(τ, y(τ, ε), ε)| на [τ0, λkl]. Тодi iз (92) для τ ∈ [τ0, λkl] отримуємо оцiнку
|γkl(τ, y(τ, ε), ε)| ≥ 1
8
a2‖p‖−χεβ|τ − τkl|.
Звiдси для χ > −1, τ ∈ [τ0, τkl − εd] ∪ [τkl + εd, λkl], d =
1− β
2
одержуємо
|γkl(τ, x(τ, ε), ε)| ≥ a2
16
ε
β+1
2 ‖p‖−χ, (12)
якщоN3 = min
(
N2, E
(
c
1
χ+1
7 ε
2α+β−1
χ+1
))
. Якщо ж χ = −1, то нерiвнiсть (12) справджується
для ε ≤ min
(
ε3, c
2/(1−2α−β)
7
)
= ε4 i всiх p ∈ P .
Подамо вiдрiзок [τ, τ + s] у виглядi
(
rkl−1
∪
ν=0
[τ + νδkl, τ + (ν + 1)δkl]
)
∪ [rklδkl + τ, s], де
rkl ≤
L
δkl
= Lc−1
6 ‖p‖
χ+1ε−β = c8‖p‖χ+1ε−β .
Якщо в точцi τ0 = τ + νδkl виконується нерiвнiсть (91), то, iнтегруючи частинами,
одержуємо∥∥∥∥∥∥∥
∫
τ+νδkl
F (s, ε)ds
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
16
a2
ε1−2β
[
δkl sup
Gτ
∥∥∥∥df(s, ε)
dτ
∥∥∥∥+
+
(
3 + δkl
16a1
a2
(1 + 2a1)‖p‖χ+1
)
sup
Gτ
‖f(s, ε)‖
]
‖p‖χ, (13)
де
F (s, ε) = f(s, ε) exp
i
ε
s∫
τ
γkl(z, y(z, ε), ε)dz
ds.
Якщо ж нерiвнiсть (91) порушується, то на вiдрiзку [τ + νδkl, τkl − ε
1−β
2 ]∪
∪
[
τkl + ε
1−β
2 , αkl
]
вiрна оцiнка (12). На вiдрiзку [τkl − ε(1−β)/2, τkl + ε(1−β)/2] iнтеграл оцi-
нюється величиною 2ε(1−β)/2 sup
Gτ
‖f(τ, ε)‖.
166 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Остаточно отримуємо∥∥∥∥∥∥∥
αkl∫
τ+νδkl
F (s, ε)ds
∥∥∥∥∥∥∥ ≤ 2ε
1−β
2
{
(2(1 + δkl)‖p‖χ + 1) sup
Gτ
‖f(s, ε)‖+
+δkl‖p‖χ sup
Gτ
∥∥∥∥df(s, ε)
ds
∥∥∥∥} . (14)
У випадку αkl < τ+(ν+1)δkl для h(τ, ε) вiрна нерiвнiсть (91), тому iнтеграл оцiнюється
згiдно з (12). Об’єднуючи (13) i (14) для N ≤ N3 i ε ∈ (0, ε4], одержуємо оцiнку (5), в якiй
c10 = max
(
64
a2
c8, 2c8 + 2a1L
(
16
a2
)
,
32
a2
L
)
.
Зауваження 1. Якщо в умовi (4) β = 0, то d = 1/2 i оцiнка O(
√
ε) має вигляд, як i в
роботi [11].
Похибка методу усереднення.
Теорема 2. Нехай iснує розв’язок усередненої задачi (2) при τ ∈ [0, L], виконуються
умови 1 – 4 i sup
(τ,x)∈I×D
‖ω(τ, x, ε)− ω(τ, x, 0)‖ ≤ a3
√
ε.
Тодi iснують ε∗ ∈ (0, ε0] i c15 > 0, незалежна вiд ε, такi, що для всiх τ ∈ [0, L], χ(0) ∈
∈ C[−hε, 0], χ(0) = ξ(0), ϕ(0) ∈ C[−εδ, 0] i ε ∈ (0, ε∗] виконується оцiнка
‖x(τ, ξ, ε)− ξ(τ)‖ ≤ c15ε
1−3β
2 . (15)
Доведення. Iз диференцiйовностi правих частин (1) i малостi ε випливає, що x(τ, ε) ∈
∈ D0,5ρ1(ξ(τ)) для τ ∈ [0, L1], де ρ1 визначене в умовi 3, L1 ≤ L. Iз першого з рiвнянь (1) i
системи (2) для τ ≥ τ∗ одержимо
‖x(τ, ε)− ξ(τ)‖ ≤
[
εc11 + L sup
G
‖RN (τ, ξ, ξ, ϕ, ϕ∆)‖+
+
∑
p∈P
sup
τ∈[0,L1]
∥∥∥∥∥
τ∫
0
gkl(s, ε) exp
{
i
ε
s∫
τ∗
γkl(z, x(z, ε), ε)dz
}
ds
∥∥∥∥∥
]
ec
(0)
3 L, (16)
де
c11 = a1L(1 + c2 + 0, 5c(1)
1 ∆(2 + a3 + ∆(1 + 2a1))),
gkl(s, ε) = akl(s, ξ(s), ξ(s)) exp
i
s∫
τ∗
[(k, b) + (l, b∆)]dz
ds,
RNa(τ, ξ, ξ, ϕ, ϕ∆) =
∑
‖p‖>N
akl(τ, ξ, ξ) exp[i(k, ϕ) + i(l, ϕ∆)]
для s > −1 i
RNa(τ, ξ, ξ, ϕ, ϕ∆) ≡ 0
для s = −1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 167
Iз умови 4 i оцiнки залишкового члена ряду Фур’є [9] для χ > −1 i N , визначеного в
теоремi 1, випливає
‖RNa(τ, ξ, ξ, ϕ, ϕ∆)‖ ≤ c12N
2m−l1 ≤ c13ε
(2α+β−1)(2m−l1)
2(χ+1) ≤ c13ε
1−3β
2
якщо ε ≤ min
(
ε4, c
2(χ+1)
1−2α−β
12
)
= ε5. Тут c12 = c12(m,a1, l1), c13 = c12c
−2m−l1
12 , c12 =
= min
(
c
1
χ+1
5 , c
1
χ+1
7
)
.
Застосуємо теорему 1 для оцiнки iнтегралiв в (16), де f(τ, ε) = gkl(τ, ε). Одержимо
∑
p∈P
sup
τ∈[0,L1]
∥∥∥∥∥∥
τ∫
0
gkl(s, ε) exp
i
ε
s∫
τ∗
γkl(z, x(z, ξ0, ε), ε)dz
ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ c14ε
1−3β
2 ,
де c14 = c10(a1 + 2)(c(χ)
3 + c
(χ+1)
3 + c
(2χ+1)
3 ). Тодi в оцiнцi (15) c15 = (c11 + Lc13 + c14)×
× exp(c(0)
3 L). Якщо ε ≤ min
(
ε5, (ρ1/4c15)2/(1−3β)
)
= ε∗, то розв’язок може бути продов-
женим на вiдрiзок [0, L] i твердження теореми залишається справедливим. Теорему дове-
дено.
Обгрунтування методу усереднення на R+. Позначимо через ξ(τ, τ0, ξ0) розв’язок усе-
редненої системи (2) такий, що ξ(τ0, τ0, ξ0) = ξ0 ∈ D0, τ0 ≥ 0.
Теорема 3. Нехай: 1) розв’язок ξ(τ) = ξ(τ, 0, ξ0), ξ(0, 0, ξ0) = ξ0, системи (2) визначе-
ний для всiх τ ≥ 0, належить областi D разом з ρ-околом i рiвномiрно асимптотично
стiйкий; 2) виконуються умови 1, 3, 4 п. 1 для τ ∈ R+.
Тодi для довiльного σ, 0 < σ < ρ, знайдеться ε ∈ (0, ε∗] таке, що для ε ∈ (0, ε],
неперервних початкових функцiй x(0)(s) i ϕ(0)(s), x(0)(0) = ξ0, i всiх τ ≥ 0 розв’язок
(x(τ, 0, ξ0, ε), ϕ(τ, 0, ξ0, ε)) може бути продовжений i при цьому виконується нерiвнiсть
‖x(τ, 0, ξ0, ε)− ξ(τ, 0, ξ0)‖ ≤ σ. (17)
Доведення. Iз рiвномiрної стiйкостi розв’язку ξ(τ, τ0, z) для кожного τ ≥ 0 знайдеться
µ(σ) ∈ (0, 0, 5σ] таке, що для довiльних z1, z2 ∈ D0,5ρ(ξ(τ)) iз нерiвностi ‖z1 − z2‖ < µ
випливає ‖ξ(τ, τ0, z1) − ξ(τ, τ0, z2)‖ < σ/2. Зафiксуємо µ i знайдемо L(µ) > 0 таке, що для
всiх τ ≥ τ0 +L справедлива оцiнка ‖ξ(τ, τ0, z1)−ξ(τ, τ0, z2)‖ < 0, 5µ. На пiдставi оцiнки (15)
для кожного фiксованого ε ∈ (0, ε], ε = min
(
ε∗, (σ/2c15)
2
1−3β
)
i τ ∈ [τ0, τ0 + L] одержимо
‖x(τ , τ0, ξ(τ0), ε)− ξ(τ , τ0, ξ(τ0))‖ < µ. Iз одержаних оцiнок на вiдрiзку [L, 2L] випливає
‖x(τ, 0, ξ0, ε)− ξ(τ, 0, ξ0)‖ ≤ ‖x(τ, 0, ξ0, ε)− ξ(τ, L, x(L, 0, ξ0, ε))‖+
+‖ξ(τ, L, x(L, 0, ξ0, ε))− ξ(τ, 0, ξ0)‖ < µ+ σ/2 ≤ σ.
Методом математичної iндукцiї оцiнка (17) встановлюється на довiльному вiдрiзку
[νL, (ν + 1)L], ν ≥ 2, що пiдтверджує справедливiсть теореми 3.
Зауваження 2. Якщо вiдома швидкiсть притягання до асимптотично стiйкого розв’яз-
ку усередненої системи, то в оцiнцi (17) можна одержати явну залежнiсть вiд параметра
ε. Припустимо, що для α > 0 i M ≥ 1, всiх z1, z2 ∈ D0,5ρ(ξ(τ)) i всiх τ ≥ τ0 ≥ 0 вико-
нується нерiвнiсть ‖ξ(τ, τ0, z1) − ξ(τ, τ0, z2)‖ ≤ Me−α(τ−τ1)‖z1 − z2‖. Тодi, якщо покласти
168 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
L =
1
α
ln 2M i ε ≤ ε = (ρ/4c15)
2
1−3β , то на кожному вiдрiзку [τk, τk+1], τk = kL, k = 0, 1, . . .,
враховуючи нерiвнiсть (15), одержуємо
‖x(τ, 0, ξ0, ε)− ξ(τ, 0, ξ0)‖ ≤ ‖x(τ, 0, ξ0, ε)− ξ(τ, τk, x(τk, 0, ξ0, ε))‖+
+‖ξ(τ, τk, x(τk, 0, ξ0, ε))− ξ(τ, 0, ξ0)‖ ≤ c11ε
1−3β
2 +Me−α‖x(τk, 0, ξ0, ε)−
−ξ(τk, 0, ξ0)‖ ≤ c11ε
1−3β
2 +Me−αL max
τ∈[τk−1,τk]
‖x(τ, 0, ξ0, ε)− ξ(τ, 0, ξ0)‖ ≤
≤ c11ε
1−3β
2 /(1−Me−αL) = 2c11ε
1−3β
2 .
1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колеба-
ний. — М.: Наука, 1974. — 504 с.
2. Арнольд В.И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые
в процессе эволюции проходят через резонанс // Докл. АН СССР. — 1965. — 161, № 1. — C. 9 – 12.
3. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. — М.: Наука, 1971. —
432 с.
4. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. — М.: Наука, 1986. — 192 с.
5. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с
запаздыванием. — Киев: Выща шк., 1979. — 248 с.
6. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. — М.: Наука, 1984. — 288 с.
7. Самойленко А.М. К вопросу обоснования метода усреднения для многочастотных колебательных си-
стем // Дифференц. уравнения. — 1987. — 23, № 2. — С. 267 – 278.
8. Самойленко А.М., Петришин Р.И. Метод усреднения в многочастотных системах с медленно меняю-
щимися параметрами // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, № 4. — С. 493 – 500.
9. Бiгун Я.Й. Метод усереднення в багаточастотних системах з запiзненням // Там же. — 1998. — 50,
№ 2. — С. 299 – 303.
10. Печенев А.В. Об усреднении систем с иерархией скоростей вращения фаз // Прикл. математика и
механика. — 1992. — 56, вып. 1. — С. 24 – 28.
11. Петришин Р.I. Дослiдження розв’язкiв багаточастотних систем за допомогою методу усереднення //
Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач. — 1993. — Вип. 2. — С. 188 – 201.
12. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. Метод ускоренной сходимости в нелиней-
ной механике. — Киев: Наук. думка, 1969. — 248 с.
Одержано 13.09.98
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 169
|