Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением
Побудовано асимптотичний розв’язок першої крайової задачi для лiнiйної сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними параболiчного типу з виродженням....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175590 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением / П.Ф. Самусенко // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 244-257. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175590 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1755902025-02-10T00:15:28Z Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением Асимптотичне iнтегрування сингулярно збурених систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними параболiчного типу з виродженням Asymptotic integration of singularly perturbed systems of parabolic type partial differential equations with degenerations Самусенко, П.Ф. Побудовано асимптотичний розв’язок першої крайової задачi для лiнiйної сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними параболiчного типу з виродженням. We construct an asymptotic solution of the first boundary-value problem for a linear singularly perturbed system of parabolic partial differential equations with degenerations. 2012 Article Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением / П.Ф. Самусенко // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 244-257. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175590 517.955.8 ru Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Побудовано асимптотичний розв’язок першої крайової задачi для лiнiйної сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними параболiчного типу з виродженням. |
| format |
Article |
| author |
Самусенко, П.Ф. |
| spellingShingle |
Самусенко, П.Ф. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением Нелінійні коливання |
| author_facet |
Самусенко, П.Ф. |
| author_sort |
Самусенко, П.Ф. |
| title |
Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением |
| title_short |
Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением |
| title_full |
Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением |
| title_fullStr |
Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением |
| title_sort |
асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175590 |
| citation_txt |
Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с вырождением / П.Ф. Самусенко // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 244-257. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT samusenkopf asimptotičeskoeintegrirovaniesingulârnovozmuŝennyhsistemdifferencialʹnyhuravneniivčastnyhproizvodnyhparaboličeskogotipasvyroždeniem AT samusenkopf asimptotičneintegruvannâsingulârnozburenihsistemdiferencialʹnihrivnânʹzčastinnimipohidnimiparaboličnogotipuzvirodžennâm AT samusenkopf asymptoticintegrationofsingularlyperturbedsystemsofparabolictypepartialdifferentialequationswithdegenerations |
| first_indexed |
2025-12-02T02:27:50Z |
| last_indexed |
2025-12-02T02:27:50Z |
| _version_ |
1850361745751670784 |
| fulltext |
УДК 517.955.8
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО
ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
С ВЫРОЖДЕНИЕМ
П. Ф. Самусенко
Нац. пед. ун-т им. М. П. Драгоманова
Украина, 01030, Киев, ул. Пирогова, 9
e-mail: psamusenko@ukr.net
We construct an asymptotic solution of the first boundary-value problem for a linear singularly perturbed
system of parabolic partial differential equations with degenerations.
Побудовано асимптотичний розв’язок першої крайової задачi для лiнiйної сингулярно збуреної
системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними параболiчного типу з виродженням.
Различные задачи теории линейных параболических систем рассматривались в работах
И. Г. Петровского, О. А. Олейник, О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н. Ураль-
цевой, М. С. Аграновича, М. И. Вишика, С. Д. Эйдельмана, В. Ф. Бутузова, С. Д. Иваси-
шена. В частности, О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой установлены достаточные
условия существования и единственности классического и обобщенного решения основ-
ных краевых задач в линейном случае. При этом обосновано применение метода Фурье
для их решения [1, с. 295 – 299].
Аналогичные результаты о существовании и единственности решений соответствую-
щих задач для сингулярно возмущенных уравнений получены О. А. Олейник [2].
Оригинальный метод решения краевых задач для сингулярно возмущенных уравне-
ний в частных производных предложил В. Ф. Бутузов [3]. Согласно разработанному им
методу угловых погранфункций, асимптотические решения краевых задач строятся в ви-
де регулярной и погранслойной частей. При этом функции погранслойной части — ре-
шения определенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,
удовлетворяющие некоторым краевым условиям.
В данной работе рассматривается первая краевая задача для вырожденной линейной
сингулярно возмущенной параболической системы. По постановке задача близка к ис-
следованиям Ю. А. Митропольского и Г. П. Хомы регулярно возмущенных квазилиней-
ных и нелинейных уравнений гиперболического типа [4, с. 137 – 225].
С. Ф. Фещенко и Н. И. Шкиль при решении первой краевой задачи для гиперболиче-
ских уравнений с медленно меняющимися коэффициентами использовали метод
Фурье [5, с. 226 – 245]. При этом вопрос о сходимости соответствующих рядов и возмож-
ности их почленного дифференцирования оставался открытым. Заметим, что уравнения
с медленно меняющимися коэффициентами заменой независимой переменной сводятся
к сингулярно возмущенным.
c© П. Ф. Самусенко, 2012
244 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ . . . 245
Итак, рассмотрим задачу
εB(t)
∂u
∂t
= A(t)
∂2u
∂x2
+ εC(x, t)u+ f(x, t), t > 0, 0 < x < L, (1)
u(x, 0, ε) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L, (2)
u(0, t, ε) = u(L, t, ε) = 0, t ≥ 0, (3)
где u = u(x, t, ε) — искомая двумерная вектор-функция, A(t), B(t), C(x, t) — квадратные
матрицы 2-го порядка, f(x, t), ϕ(x) — двумерные вектор-функции с действительными
или комплекснозначными компонентами, ε ∈ (0; ε0], ε0 � 1, — малый параметр. При
этом наличие вырожденной матрицы B(t) значительно усложняет процесс решения за-
дачи (1) – (3), так как можно считать, что система (1) при расщеплении приводит к двум
дифференциальным уравнениям в частных производных различного типа.
1. Допустим, что выполняются условия:
1) A(t), B(t) ∈ C∞[0;∞), C(x, t), f(x, t) ∈ C∞([0;L]× [0;∞));
2) ϕ(x) ∈ C4[0;L];
3) ϕ(2k)(0) = ϕ(2k)(L) = 0, k = 0, 1;
4) пучок матриц A(t)− λB(t) регулярный для всех t ∈ [0;∞), имеет один конечный и
один бесконечный элементарные делители;
5) λ0(t) > 0, где λ0(t) — собственное значение матрицы A(t) относительно B(t).
Пусть T > 0 — произвольная фиксированная постоянная. Решение задачи (1) – (3) в
прямоугольнике DT ,
DT = {(x, t) : 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T},
будем искать в виде ряда
u(x, t, ε) =
∞∑
s=1
zs(t, ε)vs(x), (4)
где zs(t, ε) — искомая двумерная вектор-функция, а vs(x) — скалярная функция, удовле-
творяющая уравнению
v′′s (x) + ω2
svs(x) = 0, ωs =
sπ
L
, (5)
с краевыми условиями
vs(0) = vs(L) = 0.
Положим
vs(x) =
√
2
L
sinωsx, ωs =
sπ
L
, s ∈ N.
Тогда
L∫
0
vk(x)vs(x)dx = δks,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
246 П. Ф. САМУСЕНКО
где δks — символ Кронекера.
Подставляя (4) в (1), учитывая при этом (5), умножая полученное равенство на vs(x)
и интегрируя обе его части по x в пределах от 0 до L, приходим к системе
εB(t)z′s + ω2
sA(t)zs = ε
∞∑
k=1
Csk(t)zk + fs(t), s ∈ N, (6)
где
Csk(t) =
L∫
0
C(x, t)vk(x)vs(x) dx, fs(t) =
L∫
0
f(x, t)vs(x) dx.
Из условий 1, 4 следует существование неособенных матриц P (t), Q(t), t ∈ [0;T ], таких,
что [6, с. 24]
P (t)B(t)Q(t) = H ≡
(
0 0
0 1
)
, P (t)A(t)Q(t) = Ω(t) ≡
(
1 0
0 λ0(t)
)
.
При этом P (t), Q(t) ∈ C∞[0;T ].
Полагая zs(t, ε) = Q(t)rs(t, ε) и умножая обе части системы (6) слева на P (t), полу-
чаем
εHr′s + ω2
sΩ(t)rs = ε
∞∑
k=1
D0sk(t)rk + εD1(t)rs + P (t)fs(t), (7)
где D0sk(t) = P (t)Csk(t)Q(t), s, k ∈ N, D1(t) = −P (t)B(t)Q′(t).
Предположим, что выполняется условие
6) f(0, t) = f(L, t) = 0, t ∈ [0;T ].
Тогда, интегрируя по частям, находим
‖D0sk(t)‖ ≤
M
(ωk − ωs)2
, k 6= s, k, s ∈ N,
‖fs(t)‖ ≤
M
ω3
s
, s ∈ N,
причем постоянная M не зависит от k, s. В дальнейшем в случае, когда важен только
факт ограниченности, а не величина соответствующей постоянной, будем использовать
одну и ту же постоянную M.
Запишем систему (7) следующим образом:
εH̃r′ + Ω̃(t)r = εD̃(t)r + f̃(t), (8)
где r(t, ε) и f̃(t) — бесконечномерные векторы с компонентами rs(t, ε) и P (t)fs(t) со-
ответственно, H̃ = diag {H,H, . . .}, Ω̃(t) = diag {ω2
1Ω(t), ω2
2Ω(t), . . .}, D̃(t) = D̃0(t) +
+D̃1(t), D̃0(t) — бесконечная матрица, состоящая из блоков D0sk(t), s, k ∈ N, D̃1(t) =
= diag {D1(t), D1(t), . . .}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ . . . 247
Решение системы (8) будем искать в виде
r(t, ε) = Π(t, ε)ξ(t, ε) + g(t, ε), (9)
где ξ(t, ε) — бесконечномерная вектор-функция, являющаяся решением задачи
ε
dξ
dt
= Λ(t, ε)ξ, ξ(0, ε) = a, (10)
a — бесконечномерный вектор, все компоненты которого равны 1; Π(t, ε) — бесконеч-
ная матрица, Λ(t, ε) — бесконечная диагональная матрица и g(t, ε) — бесконечномерная
вектор-функция вида
Π(t, ε) =
m∑
i=0
εiΠ(i)(t), Λ(t, ε) =
m∑
i=0
εiΛ(i)(t), g(t, ε) =
m∑
i=0
εig(i)(t). (11)
Подставим (9) с учетом (10) в систему (8). Тогда, сравнивая матрицу при ξ(t, ε) и сво-
бодный член соответственно с нулевой матрицей и нулевым вектором, получаем
H̃Π(t, ε)Λ(t, ε) + Ω̃(t)Π(t, ε) = εD̃(t)Π(t, ε)− εH̃Π′(t, ε), (12)
Ω̃(t)g(t, ε) = εD̃(t)g(t, ε) + f̃(t)− εH̃g′(t, ε). (13)
Сравним коэффициенты при одинаковых степенях εi, i = 0,m, в тождестве (12):
H̃Π(0)(t)Λ(0)(t) + Ω̃(t)Π(0)(t) = 0, (14)
H̃Π(i)(t)Λ(0)(t) + Ω̃(t)Π(i)(t) = D̃(t)Π(i−1)(t)− H̃(Π(i−1)(t))′−
− H̃
i−1∑
j=0
Π(j)(t)Λ(i−j)(t), i = 1,m. (15)
Докажем разрешимость матричных уравнений (14), (15). Пусть p(0)l (t), l ∈ N,— столб-
цы матрицы Π(0)(t), Λ(0)(t) = diag {0, λ(0)1 (t), 0, λ
(0)
2 (t), . . .}. Тогда систему (14) можно за-
писать следующим образом:
(Ω̃(t) + λ
(0)
l (t)H̃)p
(0)
2l (t) = 0, Ω̃(t)p
(0)
2l−1(t) = 0, l ∈ N.
Положим
λ
(0)
l (t) = −ω2
l λ0(t), l ∈ N,
p
(0)
2l−1(t) ≡ 0, {p(0)2l (t)}2j−1 ≡ 0, t ∈ [0;T ], j, l ∈ N,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
248 П. Ф. САМУСЕНКО
{p(0)2l (t)}2j ≡ 0, t ∈ [0;T ], j 6= l, j, l ∈ N,
{p(0)2l (t)}2l, l ∈ N, определим ниже.
Из системы (15) получаем
(Ω̃(t) + λ
(0)
l (t)H̃)p
(i)
2l (t) = b
(i)
2l (t), Ω̃(t)p
(i)
2l−1(t) = b
(i)
2l−1(t), l ∈ N,
где
b
(i)
2l (t) = D̃(t)p
(i−1)
2l (t)− H̃(p
(i−1)
2l (t))′ − H̃
i−1∑
j=0
λ
(i−j)
l (t)p
(j)
2l (t),
l ∈ N, p(i)l (t), i = 1,m, — столбцы матрицы Π(i)(t), Λ(i)(t) = diag {0, λ(i)1 (t), 0, λ
(i)
2 (t), . . .}.
Тогда
p
(i)
2l−1(t) ≡ 0, t ∈ [0;T ],
{p(i)2l (t)}2j−1 =
{b(i)2l (t)}2j−1
ω2
j
,
i = 1,m, j, l ∈ N,
{p(i)2l (t)}2j =
{b(i)2l (t)}2j
λ0(t)(ω2
j − ω2
l )
, i = 1,m, j 6= l, j, l ∈ N,
{p(i)2l (t)}2l ≡ 0, t ∈ [0;T ], i = 1,m, l ∈ N,
λ
(i)
l (t) =
1
{p(0)2l (t)}2l
∞∑
h=1
{D̃(t)}2l,h{p
(i−1)
2l (t)}h − {p
(i−1)
2l (t)}′2l −
i−1∑
j=1
λ
(i−j)
l (t){p(j)2l (t)}2l
,
i = 1,m, l ∈ N.
Рассмотрим теперь тождество (13). Сравнивая в нем коэффициенты при одинаковых
степенях εi, i = 0,m, находим
Ω̃(t)g(0)(t) = f̃(t),
Ω̃(t)g(i)(t) = D̃(t)g(i−1)(t)− H̃(g(i−1)(t))′, i = 1,m.
Таким образом,
g(0)(t) = (Ω̃(t))−1f̃(t),
g(i)(t) = (Ω̃(t))−1
(
D̃(t)g(i−1)(t)− H̃(g(i−1)(t))′
)
, i = 1,m.
Оценим p
(i)
l (t), λ
(i)
l (t), i = 0,m, l ∈ N. Допустим, что p(0)l (t) ≡ const, t ∈ [0;T ], l ∈ N.
Будем считать, что пара натуральных чисел (j, l) принадлежит множеству A ((j, l) ∈ A),
если j = 2q − 1, 2q, l = 2r − 1, 2r, q 6= r, q, r ∈ N.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ . . . 249
По построению
|{D̃(t)p
(0)
2l }k| ≤
M |{p(0)2l }2l|
(ωj − ωl)2
, (k, 2l) ∈ A,
M |{p(0)2l }2l|, (k, 2l) 6∈ A, k = 2j − 1, 2j, j, l ∈ N,
(16)
причем постоянная M не зависит от j, l. Тогда p(1)l (t), λ
(1)
l (t), l ∈ N , для всех t ∈ [0;T ]
существуют и
|{p(1)2l (t)}2j−1| ≤
M |{p(0)2l }2l|
ω2
j (ωj − ωl)2
, (2j − 1, 2l) ∈ A,
M |{p(0)2l }2l|
ω2
j
, (2j − 1, 2l) 6∈ A, j, l ∈ N,
|{p(1)2l (t)}2j | ≤
M |{p(0)2l }2l|
|ω2
j − ω2
l |(ωj − ωl)2
, (2j, 2l) ∈ A, j, l ∈ N,
|λ(1)l (t)| ≤ M, l ∈ N,
постоянная M не зависит от j, l.
Используя метод математической индукции, доказываем существование p(i)l (t), λ
(i)
l (t),
l ∈ N, i = 2,m. При этом
|{p(i)2l (t)}2j−1| ≤
M |{p(0)2l }2l|
ω2
j (ωj − ωl)2
, (2j − 1, 2l) ∈ A,
M |{p(0)2l+}2l|
ω2
jωl
, (2j − 1, 2l) 6∈ A, j, l ∈ N,
(17)
|{p(i)2l (t)}2j | ≤
M |{p(0)2l }2l|
|ω2
j − ω2
l |(ωj − ωl)2
, (2j, 2l) ∈ A, j, l ∈ N, (18)
|λ(i)l (t)| ≤ M, l ∈ N, (19)
i = 2,m, постоянная M не зависит от j, l.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
250 П. Ф. САМУСЕНКО
Действительно, допустим, что оценки (17) – (19) справедливы при i = k, k ≥ 2. Тогда
{D̃(t)p
(k)
2l (t)}2j−1 =
∞∑
h=1
{D̃(t)}2j−1,h{p
(k)
2l (t)}h =
=
∞∑
h=1
(2j−1,h)∈A
{D̃(t)}2j−1,h{p
(k)
2l (t)}h +
∞∑
h=1
(2j−1,h)6∈A
{D̃(t)}2j−1,h{p
(k)
2l (t)}h =
=
∞∑
h=1
(2j−1,h)∈A
h=2p−1, p∈N
{D̃(t)}2j−1,h{p
(k)
2l (t)}h +
∞∑
h=1
(2j−1,h)∈A
h=2p, p∈N
{D̃(t)}2j−1,h{p
(k)
2l (t)}h+
+ {D̃(t)}2j−1,2j−1{p(k)2l (t)}2j−1 + {D̃(t)}2j−1,2j{p(k)2l (t)}2j =
=
∞∑
h=1
(2j−1,h)∈A
h=2p−1, p∈N
(2p−1,2l)∈A
{D̃(t)}2j−1,h{p
(k)
2l (t)}h +
∞∑
h=1
(2j−1,h)∈A
h=2p−1, p∈N
(2p−1,2l)6∈A
{D̃(t)}2j−1,h{p
(k)
2l (t)}h+
+
∞∑
h=1
(2j−1,h)∈A
h=2p, p∈N
{D̃(t)}2j−1,h{p
(k)
2l (t)}h + {D̃(t)}2j−1,2j−1{p(k)2l (t)}2j−1+
+ {D̃(t)}2j−1,2j{p(k)2l (t)}2j .
Таким образом,
∣∣∣{D̃(t)p
(k)
2l (t)}2j−1
∣∣∣ ≤ K1
∣∣∣{p(0)2l }2l
∣∣∣
∞∑
p=1
p 6=j, p6=l
1
(ωj − ωp)2ω2
p(ωp − ωl)2
+
1
ω2
l (ωj − ωl)2
+
+
∞∑
p=1
p6=j, p6=l
1
(ωj − ωp)2|ω2
p − ω2
l |(ωp − ωl)2
+
1
ω2
j (ωj − ωl)2
+
1
|ω2
j − ω2
l |(ωj − ωl)2
≤
≤
K2|{p(0)2l }2l|
(ωj − ωl)2
для всех (2j − 1, 2l) ∈ A, j, l ∈ N (постоянные K1, K2 не зависят от j, l ∈ N). Если же
(2j − 1, 2l) 6∈ A, j, l ∈ N, то
|{D̃(t)p
(k)
2l (t)}2j−1| ≤
M2|{p(0)2l }2l|
ωl
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ . . . 251
Тогда по построению для i = k + 1 имеет место оценка (17). Аналогично показываем
справедливость оценок (18), (19).
Заметим, что
|{g(i)(t)}k| ≤
M
ω4
j
, i = 0,m, k = 2j − 1, 2j, j ∈ N.
Пусть w(t, ε) = Π(t, ε)ξ(t, ε) + g(t, ε). Построим вектор-функцию
um(x, t, ε) = Q(t)
∞∑
s=1
ws(t, ε)vs(x), (20)
где
ws(t, ε) =
(
{w(t, ε)}2s−1
{w(t, ε)}2s
)
, s ∈ N,
{w(t, ε)}j =
∞∑
l=1
{Π(t, ε)}jl{ξ(t, ε)}l + {g(t, ε)}j , j = 2s− 1, 2s, s ∈ N.
Величины {p(0)2l }2l, l ∈ N, определим из системы
{w(0, ε)}2l =
2∑
j=1
{Q−1(0)}2j{al}j , l ∈ N. (21)
Здесь {al}j — компоненты вектора al =
∫ L
0
ϕ(x)vl(x) dx, l ∈ N.
Согласно формулам Крамера запишем систему (21) следующим образом:
{p(0)2l }2l = f
(
{p(0)2l }2l
)
, l ∈ N, (22)
где ∥∥f({p(0)2l }2l
)∥∥ ≤ M1
ω4
l
+ εM2
∞∑
h=1
h6=l
|{p(0)2h }2h|
|ω2
l − ω2
h|(ωl − ωh)2
,
постоянные M1, M2 не зависят от l.
Таким образом, на множествах
Sl4 =
{
{p(0)2l }2l ∈ R
1 : |{p(0)2l }2l| ≤
M0
ω4
l
}
, M0 < M1, l ∈ N,
функции f({p(0)2l }2l) удовлетворяют условиям теоремы о существовании и единственнос-
ти неподвижной точки [7, с. 609], т. е. система (22) на множестве Sl4 имеет единственное
решение.
Предположим, что выполняются такие условия:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
252 П. Ф. САМУСЕНКО
7) {p(0)2l }2l 6= 0, l ∈ N ;
8) {w(0, ε)}2l−1 =
∑2
j=1{Q−1(0)}1j{al}j , l ∈ N.
Для найденных {p(0)2l }2l ряд (20) в прямоугольнике DT сходится абсолютно и равно-
мерно. При этом возможно почленное дифференцирование ряда (20) до двух раз вклю-
чительно; полученные таким образом ряды сходятся абсолютно и равномерно для всех
(x, t) ∈ DT .
Заметим, что
um(x, 0, ε) = ϕ(x).
По построению вектор-функция ws(t, ε) удовлетворяет системе (6) с точностью
O
(
εm+1
ω2
s
)
, s ∈ N, т. е. ‖cs(t, ε)‖ ≤
k0ε
m+1
ω2
s
, t ∈ [0;T ], где cs(t, ε) — соответствующий
остаток, постоянная k0 не зависит от ε, s.
Пусть
rs(t, ε) = ws(t, ε) + ys(t, ε). (23)
Тогда
εHy′s + ω2
sΩ(t)ys = ε
∞∑
k=1
D0sk(t)yk + εD1(t)ys +O
(
εm+1
ω2
s
)
, (24)
или
ys1(t, ε) =
ε
ω2
s
∞∑
k=1
2∑
j=1
{D0sk(t)}1jykj +O
(
εm
ω2
s
) , (25)
εy′s2 + ω2
sλ0(t)ys2 = ε
∞∑
k=1
2∑
j=1
{D0sk(t)}2jykj + ε
2∑
j=1
{D1(t)}2jysj +O
(
εm+1
ω2
s
)
, s ∈ N, (26)
где ysi — i-я компонента вектор-функции ys.
Положим
ys(0, ε) = 0, s ∈ N. (27)
Таким образом,
ys2(t, ε) =
t∫
0
exp
−ω2
s
ε
t∫
τ
λ0(v)dv
×
×
∞∑
k=1
2∑
j=1
{D0sk(τ)}2jykj +
2∑
j=1
{D1(τ)}2jysj +O
(
εm
ω2
s
) dτ, s ∈ N. (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ . . . 253
Пусть выполняется следующее условие:
9) {D̃0(0)}2l−1,j = 0, {f̃(0)}2l−1,j = 0, j, l ∈ N.
Тогда для достаточно больших k1,
k1 > k0 max
{
1,
1
β
}
, 0 < β < λ0(t), t ∈ [0;T ],
оператор, определяемый с помощью (25), (28), отображает выпуклое замкнутое множе-
ство Ds4,
Ds4 =
{
ys(t, ε) ∈ C[0;T ] : ‖ys(t, ε)‖ ≤
k1ε
m+1
ω4
s
}
, s ∈ N, ε ∈ [0; ε1],
полного нормированного пространства C[0;T ] в его компактное подмножество и явля-
ется неперервным на D
(2)
s4 . Поэтому он имеет неподвижные точки на множестве Ds4
[7, с. 628]. Таким образом, система (25), (28) совместна. При этом справедливы равенст-
ва (27).
Используя метод доказательства от противного, показываем единственность найден-
ного решения системы (25), (28) [8, с. 147 – 149].
Из полученных оценок для функций ysi(t, ε) следует абсолютная и равномерная схо-
димость ряда
∞∑
s=1
ys(t, ε)vs(x) (29)
в прямоугольникеDT .При этом возможно почленное дифференцирование ряда (29) по t
и x до двух раз включительно; полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно вDT .
По построению
εB(t)
∞∑
k=1
z′k(t, ε)
L∫
0
vk(x)vs(x) dx+A(t)
∞∑
k=1
ω2
kzk(t, ε)
L∫
0
vk(x)vs(x) dx ≡
≡ ε
∞∑
k=1
L∫
0
C(x, t)vk(x)vs(x)dx
zk(t, ε) +
L∫
0
f(x, t)vs(x) dx, s ∈ N,
или
L∫
0
(
εB(t)
∂u(x, t, ε)
∂t
−A(t)
∂2u(x, t, ε)
∂x2
− εC(x, t)u(x, t, ε)− f(x, t)
)
vs(x) dx ≡ 0, s ∈ N,
где вектор-функция u(x, t, ε) определяется по формуле (4).
Положим
q(x, t, ε) = εB(t)
∂u(x, t, ε)
∂t
−A(t)
∂2u(x, t, ε)
∂x2
− εC(x, t)u(x, t, ε)− f(x, t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
254 П. Ф. САМУСЕНКО
Рассмотрим ряд
∞∑
s=1
qs(t, ε)vs(x),
где
qs(t, ε) =
L∫
0
q(x, t, ε)vs(x) dx, s ∈ N.
По построению qs(t, ε) ≡ 0, t ∈ [0;T ], s ∈ N.
Поскольку вектор-функция q(x, t, ε) непрерывна по переменной x, x ∈ [0;L] (t, ε счи-
таем параметрами), и
q(0, t, ε) = q(L, t, ε) = 0, t ∈ [0;T ],
продолжая нечетным способом компоненты q(x, t, ε) на отрезок [−L; 0], приходим к выво-
ду, что q(x, t, ε) ≡ 0, (x, t) ∈ DT [9, с. 578].
Таким образом, вектор-функция (4) в прямоугольнике DT — решение задачи (1) – (3),
причем
‖u(x, t, ε)− um(x, t, ε)‖ = O(εm+1). (30)
В силу произвольности T решение задачи (1) – (3) определяется на множествеD∞, D∞ =
= {(x, t) : 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0}.
Теорема 1. Пусть A(t), B(t) ∈ Cm+1[0;∞), C(x, t), f(x, t) ∈ Cm+1([0;L] × [0;∞)) и
выполняются условия 2 – 9. Тогда существует такое число ε1, 0 < ε1 ≤ ε0, что для
всех ε ∈ (0; ε1] задача (1) – (3) на множестве D∞ имеет единственное решение (4), для
которого в DT ⊂ D∞ справедлива оценка (30).
2. В части 1 мы построили классическое решение задачи (1) – (3). При этом условия 1 –
3, 6 позволяли дважды почленно дифференцировать соответствующие ряды.
Допустим теперь, что выполняются следующие условия:
10) ϕ(x) ∈ C2[0;L];
11) ϕ(0) = ϕ(L) = 0.
Тогда аналогично показываем, что на множествах
Sl2 =
{
{p(0)2l }2l ∈ R
1 : |{p(0)2l }2l| ≤
M0
ω2
l
}
, l ∈ N,
система (22) имеет единственное решение {p(0)2l }2l.
В данном случае вектор-функция ws(t, ε) удовлетворяет системе (6) с точностью
O
(
εm+1
ωs
)
, s ∈ N, а для решения ysi = ysi(t, ε), i = 1, 2, системы (25), (28) имеет ме-
сто оценка ysi(t, ε) = O
(
εm+1
ω3
s
)
, s ∈ N .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ . . . 255
По построению
εB(t)
m∑
k=1
z′k(t, ε)
L∫
0
vk(x)vs(x) dx+A(t)
m∑
k=1
ω2
kzk(t, ε)
L∫
0
vk(x)vs(x)dx ≡
≡ ε
∞∑
k=1
L∫
0
C(x, t)vk(x)vs(x)dx
zk(t, ε) +
L∫
0
f(x, t)vs(x) dx, s = 1,m,
т. е.
L∫
0
(
εB(t)
∂um(x, t, ε)
∂t
−A(t)
∂2um(x, t, ε)
∂x2
− εC(x, t)u(x, t, ε)− f(x, t)
)
vs(x) dx ≡ 0,
s = 1,m,
um(x, t, ε) =
m∑
k=1
zk(t, ε)vk(x).
Рассмотрим ряд
∞∑
s=1
qms(t, ε)vs(x), (31)
где
qms(t, ε) =
L∫
0
qm(x, t, ε) vs(x) dx, s ∈ N,
qm(x, t, ε) = εB(t)
∂um(x, t, ε)
∂t
−A(t)
∂2um(x, t, ε)
∂x2
− εC(x, t)u(x, t, ε)− f(x, t).
По построению qms(t, ε) ≡ 0, t ∈ [0;T ], s = 1,m. Оценим остальные коэффициенты
qms(t, ε), s ≥ m+ 1. Для этого заметим, что
qm+1(x, t, ε) = qm(x, t, ε) + εB(t)z′m+1(t, ε)vm+1(x)−A(t)zm+1(t, ε)v
′′
m+1(x).
Поскольку qm+1,s(t, ε) ≡ 0, t ∈ [0;T ], s = 1,m+ 1, то
qm,m+1(t, ε) = −(εB(t)z′m+1(t, ε) + ω2
m+1A(t)zm+1(t, ε)).
Таким образом,
‖qm,m+1(t, ε)‖ ≤
M
ω2
m+1
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
256 П. Ф. САМУСЕНКО
c постоянной M, не зависящей от m. И вообще, учитывая, что
qm+i(x, t, ε) = qm(x, t, ε) +
i∑
j=1
(εB(t)z′m+i(t, ε)vm+i(x)−A(t)zm+i(t, ε)v
′′
m+i(x)),
откуда
qm,m+i(x, t, ε) = −(εB(t)z′m+i(t, ε) + ω2
m+iA(t)zm+i(t, ε)), i ∈ N,
получаем
‖qms(t, ε)‖ ≤
M
ω2
s
, s ≥ m+ 1,
где постоянная M не зависит от m, s.
Таким образом, ряд (31) в прямоугольнике DT сходится абсолютно и равномерно к
функции qm(x, t, ε) [10, с. 68].
Поскольку um(x, t, ε) — решение задачи
εB(t)
∂um(x, t, ε)
∂t
= A(t)
∂2um(x, t, ε)
∂x2
+ εC(x, t)u(x, t, ε) + f(x, t) +
∞∑
s=m+1
qms(t, ε)vs(x),
um(0, t, ε) = um(L, t, ε) = 0,
um(x, 0, ε) = ϕm(x),
где
ϕm(x) =
m∑
s=1
asvs(x),
то вектор-функция (4) в прямоугольнике DT будет обобщенным решением задачи (1) –
(3) [11, с. 315].
Теорема 2. Пусть A(t), B(t) ∈ Cm+1[0;∞), C(x, t), f(x, t) ∈ Cm+1([0;L] × [0;∞)) и
выполняются условия 4 – 6, 7 – 11. Тогда существует такое число ε1, 0 < ε1 ≤ ε0, что
для всех ε ∈ (0; ε1] задача (1) – (3) на множестве D∞ имеет единственное обобщенное
решение (4), для которого в DT ⊂ D∞ справедлива оценка (30).
1. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. — М.: Наука, 1967.
2. Олейник О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными с малым параметром при
старших производных и задача Коши для нелинейных уравнений в целом // Успехи мат. наук. — 1955.
— 10, вып. 3 (65). — С. 229 – 234.
3. Бутузов В. Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными //
Дифференц. уравнения. — 1979. — 15, № 10. — С. 1848 – 1862.
4. Митропольский Ю. А., Хома Г. П., Громяк М. И. Асимптотические методы исследований квазиволно-
вых уравнений гиперболического типа. — Киев: Наук. думка, 1991.
5. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных диффе-
ренциальных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1966.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ . . . 257
6. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с вырождениями. — Киев: Вища шк., 1991.
7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977.
8. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: Физматгиз, 1959.
9. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. — М.: Наука, 1969.
— Т. 3.
10. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. — М.: Физматгиз, 1961.
11. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966.
Получено 11.10.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
|