Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою

Розглядаються нелiнiйнi коливання iдеальної нестисливої рiдини в частково заповненому вертикальному пiвкруговому цилiндричному баку. Побудовано наближенi перiодичнi розв’язки для чотиримодової системи, що описує нелiнiйнi коливання у пiвкруговому цилiндричному баку при дiї збурюючої сили у площинi...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2002
Main Author:	Солодун, О.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут математики НАН України 2002
Series:	Нелінійні коливання
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175824
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою / О.В. Солодун // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 90-106. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175824
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1758242025-02-09T22:46:20Z Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою Investigation of forced oscillations in circular cylindrical vessels separated by diametraical barrier Исследование вынужденных колебаний в круговых цилиндрических емкостях, разделенных диаметральной перегородкой Солодун, О.В. Розглядаються нелiнiйнi коливання iдеальної нестисливої рiдини в частково заповненому вертикальному пiвкруговому цилiндричному баку. Побудовано наближенi перiодичнi розв’язки для чотиримодової системи, що описує нелiнiйнi коливання у пiвкруговому цилiндричному баку при дiї збурюючої сили у площинi перегородки. Побудовано i дослiджено областi стiйкостi i нестiйкостi розглядуваних фiзичних процесiв. Проведено чисельну реалiзацiю методу та аналiз гiдродинамiчної взаємодiї рiдини та баку. Задача становить iнтерес для вивчення нелiнiйних процесiв у рiдинi при наявностi в баках дiаметральної перегородки . We study nonlinear oscillations of an ideal incompressible fluid in a partially filled vertical semicylinder container. We construct periodic approximate solutions for the four-mode system that describes nonlinear oscillations in a semicircular cylindric container for a perturbation force acting in the plane of the partition. Stability and instability regions of the considered physical processes are constructed and studied. A numeric realization of the method is given and an analysis of the hydrodynamic interaction between the fluid and the container is carried out. The problem is interesting for studying nonlinear processes in containers with a diameter partition . 2002 Article Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою / О.В. Солодун // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 90-106. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175824 534.1:629.764.7 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розглядаються нелiнiйнi коливання iдеальної нестисливої рiдини в частково заповненому вертикальному пiвкруговому цилiндричному баку. Побудовано наближенi перiодичнi розв’язки для чотиримодової системи, що описує нелiнiйнi коливання у пiвкруговому цилiндричному баку при дiї збурюючої сили у площинi перегородки. Побудовано i дослiджено областi стiйкостi i нестiйкостi розглядуваних фiзичних процесiв. Проведено чисельну реалiзацiю методу та аналiз гiдродинамiчної взаємодiї рiдини та баку. Задача становить iнтерес для вивчення нелiнiйних процесiв у рiдинi при наявностi в баках дiаметральної перегородки .
format	Article
author	Солодун, О.В.
spellingShingle	Солодун, О.В. Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою Нелінійні коливання
author_facet	Солодун, О.В.
author_sort	Солодун, О.В.
title	Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою
title_short	Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою
title_full	Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою
title_fullStr	Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою
title_full_unstemmed	Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою
title_sort	дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2002
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175824
citation_txt	Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою / О.В. Солодун // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 90-106. — Бібліогр.: 24 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT solodunov doslídžennâvimušenihkolivanʹukrugovihcilíndričnihêmnostâhrozdílenihdíametralʹnoûperegorodkoû AT solodunov investigationofforcedoscillationsincircularcylindricalvesselsseparatedbydiametraicalbarrier AT solodunov issledovanievynuždennyhkolebaniivkrugovyhcilindričeskihemkostâhrazdelennyhdiametralʹnoiperegorodkoi
first_indexed	2025-12-01T13:35:26Z
last_indexed	2025-12-01T13:35:26Z
_version_	1850313149467590656
fulltext	УДК 534 .1 : 629 .764 .7 ДОСЛIДЖЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КРУГОВИX ЦИЛIНДРИЧНИХ ЄМНОСТЯХ, РОЗДIЛЕНИX ДIАМЕТРАЛЬНОЮ ПЕРЕГОРОДКОЮ* О. В. Солодун Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3 e-mail: solodun@imath.kiev.ua We study nonlinear oscillations of an ideal incompressible fluid in a partially filled vertical semicylinder container. We construct periodic approximate solutions for the four-mode system that describes nonlinear oscillations in a semicircular cylindric container for a perturbation force acting in the plane of the parti- tion. Stability and instability regions of the considered physical processes are constructed and studied. A numeric realization of the method is given and an analysis of the hydrodynamic interaction between the fluid and the container is carried out. The problem is interesting for studying nonlinear processes in containers with a diameter partition . Розглядаються нелiнiйнi коливання iдеальної нестисливої рiдини в частково заповненому вер- тикальному пiвкруговому цилiндричному баку. Побудовано наближенi перiодичнi розв’язки для чотиримодової системи, що описує нелiнiйнi коливання у пiвкруговому цилiндричному баку при дiї збурюючої сили у площинi перегородки. Побудовано i дослiджено областi стiйкостi i не- стiйкостi розглядуваних фiзичних процесiв. Проведено чисельну реалiзацiю методу та аналiз гiдродинамiчної взаємодiї рiдини та баку. Задача становить iнтерес для вивчення нелiнiйних процесiв у рiдинi при наявностi в баках дiаметральної перегородки . Вступ. Для зменшення негативного впливу коливань вiльної поверхнi рiдини на стiйкiсть руху системи „тiло-рiдина” на практицi застосовують рiзного роду конструктивнi при- строї. Широке застосування отримали пристрої у виглядi жорстких чи пружних перего- родок. Наявнiсть перегородок в ємностi суттєво впливає на характер взаємодiї мiж тiлом та рiдиною. Цю проблему добре вивчено у випадку лiнiйних постановок задач динамi- ки твердиx тiл з рiдиною [1 – 6]. Проте вона призводить до цiлого ряду парадоксiв, якиx можна уникнути при дослiдженнi вiдповiдниx задач тiльки у нелiнiйнiй постановцi. Це пiдтверджено експериментальними дослiдженнями [1, 3, 4, 7], а також деякими теоре- тичними розробками [8 – 13]. Задачi про нелiнiйнi коливання рiдини в основному базуються на потенцiальнiй тео- рiї iдеальної нестисливої рiдини. Зараз розвиваються аналiтичнi та чисельно-аналiтичнi методи, якi в основному використовують асимптотичну та модальну технiку. Широко- го розповсюдження останнiм часом набув модальний пiдхiд, що розвивається на засадаx варiацiйниx принципiв меxанiки [14 – 16]. Вiн полягяє в тому, що виxiдна задача меxанi- ки, сформульована в рiвнянняx з частинними поxiдними, зводиться до систем нелiнiйниx звичайниx диференцiальниx рiвнянь вiдносно залежниx вiд часу параметрiв, що xаракте- ризують еволюцiю вiльної поверxнi рiдини. Цей пiдxiд має суттєвi переваги перед ана- логiчними методами, побудованими на засадаx теорiї збурень [2, 17 – 19]. Сучасний стан ∗ Виконана при частковiй пiдтримцi ДФФД (проект 01.07/096). c© О. В. Солодун, 2002 90 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 ДОСЛIДЖЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КРУГОВИX ЦИЛIНДРИЧНИХ ЄМНОСТЯХ .. . 91 математичниx проблем нелiнiйної теорiї коливань рiдини в руxомиx резервуараx диску- тується в роботi [20]. У данiй роботi наводяться результати теоретичних дослiджень з постановки i розв’яз- ку задачi, пов’язаної з вивченням поведiнки рiдини в рухомiй ємностi у формi прямого кругового цилiндричного баку, роздiленого на двi частини дiаметральною перегородкою. Цi дослiдження ґрунтуються на нелiнiйнiй математичнiй моделi руxу рiдини, побудованiй за допомогою методу Майлса – Луковського в роботi [21]. 1. Математична постановка задачi. Будемо розглядати поступальний рух твердого тi- ла — вертикального пiвкругового цилiндра, що мiстить у собi обмежений об’єм iдеальної нестисливої рiдини густини ρ. Будемо вважати далi, що стiнки баку є абсолютно жорс- ткими. Цей рух розглядається у зв’язанiй з баком цилiндричнiй системi координат x, ξ, η, причому початок координат вибрано на незбуренiй вiльнiй поверхнi Σ0. Вiсь Ox напра- вимо по осi цилiндра у напрямi, протилежному вектору прискорення сил земного тяжiн- ня ~g. Обмежимося розглядом безвихрових рухiв рiдини. Припустимо, що розподiл її швид- костей можна подати у виглядi градiєнта потенцiальної функцiї Φ(x, ξ, η, t) ~v = ∇Φ(x, ξ, η, t), причому потенцiал швидкостей повинен бути розв’язком нелiнiйної крайової задачi з вiльною межею, яка пов’язує (згiдно з [17]) Φ(x, ξ, η, t) i миттєве положення вiльної по- верхнi, форму якої будемо задавати рiвнянням ζ(x, ξ, η, t) = 0 : 4Φ = 0, ~r ∈ Q, (1) ∂Φ ∂ν = ~v0 · ~ν, ~r ∈ S, (2) ∂Φ ∂ν = ~v0 · ~ν − ζt \|∇ζ\|2 , ~r ∈ Σ, (3) ∂Φ ∂t + 1 2 (∇Φ,∇Φ)−∇Φ · ~v0 + U = 0, ~r ∈ Σ, (4) де ~ν — орт зовнiшньої нормалi до поверхнi областi Q, зайнятої рiдиною; S та Σ — вiд- повiдно тверда стiнка (включаючи поверxню перегородки) та збурена вiльна поверхня рiдини; ~r — радiус-вектор точок об’єму рiдини Q у зв’язанiй системi координат; ~v0 — век- тор поступального руху об’єму рiдини Q; U — потенцiал сил земного тяжiння. Розподiл тиску в об’ємi рiдини визначається за допомогою iнтеграла Лагранжа – Кошi, записаного у зв’язанiй цилiндричнiй системi координат Oxξη, ∂Φ ∂t + 1 2 (∇Φ,∇Φ)−∇Φ · ~v0 + gx+ p− p0 ρ = 0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 92 О.В. СОЛОДУН де p0 — тиск газу над вiльною поверхнею рiдини, при умовi збереження об’єму рiдини ∫ Q(t) dQ = 0. (5) Припускаємо, що тиск p на Σ рiвний p0 = const. Умова збереження об’єму (5) є умо- вою розв’язностi крайової задачi Неймана (1) – (3). Еволюцiйна задача з вiльною межею (1) – (4) вимагає початкових умов Кошi, пов’я- заниx iз заданням початкового профiлю вiльної поверхнi Σ(t0) та розподiлу швидкостей на ньому в початковий момент часу t = t0: ζ(x, ξ, η, t0) = ζ0(x, ξ, η), ∂Φ ∂ν ∣∣∣∣ Σ(t0) = Φ0(x, ξ, η), де ζ0(x, ξ, η) та Φ0(x, ξ, η) — вiдомi функцiї. 2. Модальна система. У роботаx [15, 17, 22] показано, що узагальненi розв’язки крайо- вої задачi (1) – (4) надають стацiонарного значення функцiоналу W = t2∫ t1 Ldt, тобто δW = δ t2∫ t1 Ldt = 0, (6) де L = ∫ Q(t) pdQ = −ρ t2∫ t1 ∫ Q(t) [ ∂Φ ∂t + 1 2 (∇Φ,∇Φ)−∇Φ · ~v0 + gx ] dQ. (7) Cкористаємося методом Майлса – Луковського [14, 15] розв’язування варiацiйної за- дачi (6) для визначення вiльної поверхнi та потенцiалу швидкостей в даному об’ємi. Вiн полягає в тому, що форма вiльної поверхнi (за припущень розв’язностi вiдносно однiєї змiнної) x = f(ξ, η, t) та потенцiал швидкостей Φ(x, ξ, η, t) подаються у виглядi розкладу ряду Фур’є по деякiй повнiй ортогональнiй системi функцiй f(ξ, η, t) = ∞∑ i=1 βi(t)fi(ξ, η), (8) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 ДОСЛIДЖЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КРУГОВИX ЦИЛIНДРИЧНИХ ЄМНОСТЯХ .. . 93 Φ(x, ξ, η, t) = ~v0 · ~r + ∞∑ j=1 Rj(t)ϕj(x, ξ, η), (9) де fi(ξ, η) — повна ортогональна до константи в гiльбертовому просторi L2(Σ0) система функцiй, що задана на незбуренiй вiльнiй поверхнi Σ0; βi(t) — узагальненi коефiцiєнти Фур’є, що залежать вiд часу як вiд параметра i мають змiст узагальнених координат (вони характеризують вiдхилення вiльної поверхнi рiдини вiд незбуреного положення);Rj(t) — параметри, що характеризують змiну потенцiалу швидкостi в часi; ϕj(x, ξ, η) — система гармонiчних функцiй в областi Q(t), що задовольняють крайову умову неперетiкання на змочуванiй поверхнi S(t). Пiдставимо розклад (9) для потенцiалу швидкостей з ураxуванням (8) у вираз (7). Про- iнтегрувавши по просторовиx змiнниx „функцiю Лагранжа” L у згаданому вище варiацiй- ному принципi, подамо її у виглядi функцiї змiнниx βi(t), Rj(t) та Ṙj(t). Iз (6) для визначення параметрiв βi(t) та Rj(t) отримаємо систему нелiнiйниx звичай- ниx диференцiальниx рiвнянь загального вигляду ∂L ∂βi = 0, i = 1, 2, ..., d dt ∂L ∂Ṙn − ∂L ∂Rn = 0, n = 1, 2, ... . (10) Практично осяжнi результати вдається отримати при враxуваннi скiнченної кiлькостi параметрiв βi(t) та Rj(t), видiляючи серед ниx тi, якi вiдiграють домiнуючу роль. Аналi- тичний шляx реалiзацiї наведеного тут методу припускає також введення обмежень на порядок малостi циx параметрiв. Iз всiєї множини βi(t) надалi ми обмежимося в (8) ура- xуванням чотирьоx коефiцiєнтiв ряду β0(t), β1(t), β2(t), β3(t), якi в лiнiйнiй теорiї вносять суттєвий вклад у приєднанi маси та моменти iнерцiї системи „тiло-рiдина” i якi для зру- чностi запису перепозначимо таким чином: β0 = p0, β1 = r1, β2 = p2, β0 = r3. За припущень, що r1 ≈ ε, p0 ≈ p2 ≈ ε2, r3 ≈ ε3, обмежимося розглядом математичної моделi з величинами параметрiв до порядку ε3 включно. 3. Вимушенi коливання у вiдсiку пiд дiєю гармонiчної збурюючої сили. Обмежимося в данiй роботi випадком, коли коливання вiдсiку вiдбуваються пiд дiєю збурюючої сили в площинi дiаметральної перегородки. З використанням методики роботи [7], застосова- ної для кругового цилiндра, в роботi [21] одержано iз (10) систему нелiнiйниx звичайних ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 94 О.В. СОЛОДУН диференцiальних рiвнянь, що описує коливання рiдини в даному об’ємi: L0(r1, p0) = p̈0 + σ2 0p0 + d∗14r1r̈1 + d∗8ṙ 2 1 = 0, L1(r1, p0, p2) = r̈1 + σ2 1r1 + d∗1(r1ṙ 2 1 + r2 1 r̈1) + d∗3(p2r̈1 + ṗ2ṙ1) + d∗4r1p̈2+ + d∗5(ṗ0ṙ1 + p0r̈1) + d∗6r1p̈0 + P1ω 2 cos(ωt) = 0, L2(r1, p2) = p̈2 + σ2 2p2 + d∗15r1r̈1 + d∗7ṙ 2 1 = 0, L3(r1, p2, r3) = r̈3 + σ2 3r3 + d∗9r1ṙ 2 1 + d∗10r 2 1 r̈1 + d∗11ṙ1ṗ2 + d∗12p2r̈1 + d∗13r1p̈2 = 0, (11) де d∗1 = d1 µ1 , d∗3 = d3 µ1 , d∗4 = d4 µ1 , d∗5 = d5 µ1 , d∗6 = d6 µ1 , d∗7 = d7 µ2 , d∗8 = d8 µ0 , d∗9 = d9 µ3 , d∗10 = d10 µ3 , d∗11 = d11 µ3 , d∗12 = d12 µ3 , d∗13 = d13 µ3 , d∗14 = d6 µ0 , d∗15 = d4 µ2 , P1 = Hλ23 µ1 . Надалi знак ∗ в коефiцiєнтах di будемо пропускати. Нам потрiбно вiдшукати перiодичнi розв’язки системи (11). Для цього узагальнену координату r1(t) подамо у виглядi вiдрiзка ряду Фур’є з невизначеними коефiцiєнтами [23] r1(t) = α0 + n∑ k=1 (αk cos kωt+ βk sin kωt). (12) Обмежившись у цьому зображеннi лише основними гармонiками r1(t) = A cosωt+B sinωt, (13) з першого i двох останнiх рiвнянь системи (11) (оскiльки вони лiнiйнi вiдносно p0(t), p2(t) i r3(t)) можна знайти явнi вирази для узагальнених координат p0(t), p2(t), r3(t): p0(t) = (A2 +B2)f0 + (A2 −B2)f2 cos 2ωt+ 2ABf2 sin 2ωt, p2(t) = (A2 +B2)g0 + (A2 −B2)g2 cos 2ωt+ 2ABg2 sin 2ωt, r3(t) = (A3 +AB2)h1 cosωt+ (B3 +A2B)h1 sinωt+ + (A3 − 3AB2)h3 cos 3ωt+ (3A2B −B3)h3 sin 3ωt, (14) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 ДОСЛIДЖЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КРУГОВИX ЦИЛIНДРИЧНИХ ЄМНОСТЯХ .. . 95 де f0 = d14 − d8 2σ̄2 0 , f2 = d14 + d8 2(σ̄2 0 − 4) , g0 = d15 − d7 2σ̄2 2 , g2 = d15 + d7 2(σ̄2 2 − 4) , h1 = 1 4(σ̄2 3 − 1) (−d9 + 3d10 + 4d12g0 + 2(−2d11 + d12 + 4d13)g2), h3 = 1 4(σ̄2 3 − 9) (d9 + d10 + 2(2d11 + d12 + 4d13)g2), σ̄2 0 = σ2 0 ω2 , σ̄2 1 = σ2 1 ω2 , σ̄2 2 = σ2 2 ω2 , σ̄2 3 = σ2 3 ω2 . Пiсля пiдстановки спiввiдношень (13) i (14) у рiвняння Бубнова – Гальоркiна 2π/ω∫ 0 L1(p0, r1, p2) cosωtdt = 0, 2π/ω∫ 0 L1(p0, r1, p2) sinωtdt = 0 (15) отримаємо систему алгебраїчниx рiвнянь, з якої визначаються величини амплiтудA таB: A(σ̄2 1 − 1) +A3m1 +AB2m1 + P1 = 0, B(σ̄2 1 − 1) +B3m1 +A2Bm1 = 0, (16) де m1 = −d1 2 − d5f0 − d3g0 + ( 2d6 − d5 2 ) f2 + ( 2d4 − d3 2 ) g2. Ураxування в (12) вищих гармонiк (n > 1) призведе до того, що вирази (14) набе- руть бiльш громiздкого вигляду. Вiдповiдно збiльшиться кiлькiсть умов (15) (до 2n + 1) i кiлькiсть рiвнянь (16). Але, як показано в роботi [17], для випадку кругової цилiндричної порожнини без перегородок це не приводить до суттєвого полiпшення кiнцевого резуль- тату нi в якiсному, нi в кiлькiсному вiдношеннi. Iз аналiзу системи (16) при умовi P1 6= 0 отримуємо A 6= 0, B = 0. Таким чином, враховуючи (13), (14) i (16), приходимо до того, що можливий лише такий наближений перiодичний розв’язок нелiнiйної системи (11): r1(t) = A cosωt, p0(t) = A2f0 +A2f2 cos 2ωt, p2(t) = A2g0 +A2g2 cos 2ωt, r3(t) = A3h1 cosωt+A3h3 cos 3ωt, (17) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 96 О.В. СОЛОДУН де значення амплiтуди A можна знайти з кубiчного рiвняння A3m1 +A(σ̄2 1 − 1) + P1 = 0. (18) Аналогiчнi рiвняння для амплiтудно-частотниx xарактеристик рiдини можна також отримати й iншими методами нелiнiйної меxанiки, зокрема методом Крилова – Боголю- бова – Митропольського, або методом гармонiчного балансу. На рис. 1 зображено графiк залежностi модуля амплiтуд вимушених коливань рiдини (18) вiд параметрiв P1 i ω. Поклавши в (18) P1 = 0, отримаємо рiвняння для визначення залежностi амплiтуд вiльних коливань рiдини вiд частоти (так звану скелетну лiнiю). На рисунку вона зображена тонкою лiнiєю. Рис. 1. Амплiтудно-частотнi xарактеристики коливань рiдини у пiвкруговому цилiндричному баку h/d = 1 в околi основного резонансу з пара- метром χ11 = k11thk11h (k11 = 1, 8412). Аналiз амплiтудно-частотниx xарактеристик для вiльниx коливань рiдини у пiвцилiн- дричному баку показує, що для розглядуваної динамiчної системи в залежностi вiд глиби- ни рiдини h має мiсце нелiнiйнiсть „м’якого” або „жорсткого” типу. Критичне значення безрозмiрної глибини h∗/R, при якому вiдбувається реверс частот, дорiвнює 0, 597, в той час як для не розбитого на вiдсiки цилiндра h∗/R = 0, 52239. 4. Дослiдження на стiйкiсть перiодичних розв’язкiв системи рiвнянь (11). Перiодичнi коливання, що описуються виразами (17), не завжди фiзично реалiзуються. В дiйсностi мають мiсце лише стiйкi рухи. Задачу про динамiчну стiйкiсть вiльної поверхнi рiдини дослiдимо за допомогою ана- лiзу розв’язкiв рiвнянь у варiацiяx. Рiвняння у варiацiях знайдемо для випадку коливань, коли незбуренi за Ляпуновим рухи системи (11) описуються залежностями (17). Разом iз незбуреними рухами (вiдмiче- ними нижче знаком ∼ ) розглянемо близькi до них збуренi, якi мають вигляд r1(t) = r̃1(t) + α(t), p0(t) = p̃0(t) + β(t), p2(t) = p̃2(t) + γ(t), r3(t) = r̃3(t) + δ(t). (19) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 ДОСЛIДЖЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КРУГОВИX ЦИЛIНДРИЧНИХ ЄМНОСТЯХ .. . 97 Для того щоб отримати рiвняння у варiацiях стосовно збурень α, β, γ та δ, пiдставимо збуренi розв’язки (19) у систему (11) з урахуванням того, що незбурений розв’язок (17) задовольняє цю систему . Лiнеаризуючи отриману систему вiдносно збурень, одержуємо таку систему рiвнянь у варiацiях: L0 = β̈(t) + σ2 0β(t) + 2d8α̇(t)ṙ1(t) + d14(r1(t)α̈(t) + α(t)r̈1(t)), L1 = (1 + d5p0(t) + d3p2(t) + d1r 2 1(t))α̈(t) + α̇(t)(d5ṗ0(t) + d3ṗ2(t) + 2d1r1(t)ṙ1(t))+ + α(t)(σ2 1 + d1ṙ1(t)2 + d6p̈0(t) + d4p̈2(t) + 2d1r1(t)r̈1) + d6r1(t)β̈(t) + d4r1(t)γ̈(t)+ + d5β̇(t)ṙ1(t) + d3γ̇(t)ṙ1(t) + d5β(t)r̈1(t) + d3γ(t)r̈1(t), (20) L2 = γ̈(t) + σ2 2γ(t) + 2d7α̇(t)ṙ1(t) + d15(r1(t)α̈(t) + α(t)r̈1(t)), L3 = δ̈(t) + σ2 3δ(t) + (d12p2(t) + d10r 2 1(t))α̈(t) + α̇(t)(d11ṗ2(t) + 2d9r1(t)ṙ1(t))+ + α(t)(d9ṙ1(t)2 + d13p̈2(t) + 2d10r1(t)r̈1) + d11γ̇(t)ṙ1(t) + d12γ(t)r̈1(t) + d13γ̈(t)r1(t). Рiвняння у варiацiях (20) є лiнiйними рiвняннями з перiодичними коефiцiєнтами. Основ- нi вiдомостi про розв’язки цих рiвнянь дає теорiя Флоке. Такi рiвняння в лiтературi на- зивають рiвняннями типу Хiла. Розрiзняють три типи їх розв’язкiв: 1) „нестiйкi”, якi не- обмежено зростають при t → ∞; 2) „стiйкi”, якi залишаються обмеженими при t → ∞; 3) розв’язки, якi мають перiод T чи 2T i називаються нейтральними (їх розглядають як частинний випадок стiйких). Нестiйкi розв’язки займають на площинi параметрiв такиx рiвнянь цiлi областi. При цьому областi нестiйкостi вiддiляються вiд областей стiйкостi перiодичними розв’язка- ми з перiодами T i 2T. Два розв’язки одного перiоду обмежують область нестiйкостi, два розв’язки рiзних перiодiв — область стiйкостi. Отже, визначення меж областей нестiй- костi зводиться до вiдшукання умов, при яких диференцiальне рiвняння має розв’язок з перiодами T i 2T. Таким чином, задача про дослiдження стiйкостi перiодичних розв’язкiв (17) звелася до дослiдження розв’язкiв системи (20). Отриманi рiвняння являють собою систему рiвнянь з перiодичними коефiцiєнтами i фундаментальна система їх розв’язкiв, згiдно з теоремою Флоке – Ляпунова, мiстить розв’язки вигляду α(t) = eλtϕ1(t), β(t) = eλtϕ2(t), γ(t) = eλtϕ3(t), δ(t) = eλtϕ4(t), (21) де λ — характеристичний показник системи, а ϕi — 2π/ω-перiодичнi функцiї. Стiйкiсть розв’язкiв (17), як випливає iз виразiв (21), залежить вiд значень характери- стичного показника λ. Якщо всi характеристичнi показники мають вiд’ємнi дiйснi части- ни, то перiодичнi розв’язки будуть стiйкими. Якщо серед характеристичних показникiв є хоча б один iз додатною дiйсною частиною, перiодичнi розв’язки стають нестiйкими. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 98 О.В. СОЛОДУН Бiльш складним є випадок, коли дiйсна частина характеристичного показника дорiвнює нулевi. Коли характеристичнi показники будуть простими чи кратними, з простим еле- ментарним дiльником, тодi розв’язки системи рiвнянь у варiацiях (20) будуть обмеженими в часi. Для того щоб отримати рiвняння для визначення характеристичних показникiв, перi- одичну функцiю ϕ1(t) подамо у виглядi ряду Фур’є i утримаємо у розкладi лише першi гармонiки ϕ1(t) = a1 cosωt+ b1 sinωt, (22) де a1, b1 — деякi сталi коефiцiєнти. Пiдставимо вирази (22) разом iз (21) у систему рiвнянь у варiацiях (20). При цьому збурення β(t), γ(t) i δ(t) можна явно знайти з першого та двох останнiх рiвнянь системи i виражаються вони через a1 i b1. Для визначення коефiцiєнтiв a1, b1 отримаємо однорiдну систему лiнiйних алгебраї- чних рiвнянь C11a1 + C12b1 = 0, C21a1 + C22b1 = 0. (23) Тут через λ̄ позначено вiдношення λ/ω, а коефiцiєнти C11, C12, C21, C22 виражаються че- рез коефiцiєнти системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (11), величину λ̄ i амплiтуду A узагальненої координати r1(t): C11 = σ̄2 1 − 1 + λ̄2 ( 1 +A2 ( 3 4 d1 + d3 ( g0 + 1 2 g2 ) + d4 ( y1 − 1 2 y3 ) + + d5 ( f0 + 1 2 f2 ) + d6 ( x1 − 1 2 x3 ))) −A2λ̄ (( 1 2 d3 − 2d4 ) y4 + ( 1 2 d5 − 2d6 ) x4 ) + + A2 ( −3 2 d1 − d3(g0 + y1)− d5(f0 + x1) + ( 1 2 d3 − 2d4 ) (g2 − y3)+ + ( 1 2 d5 − 2d6 ) (f2 − x3) ) , C12 = A2λ̄2 ( d4 ( y2 − 1 2 y4 ) + d6 ( x2 − 1 2 x4 )) + ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 ДОСЛIДЖЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КРУГОВИX ЦИЛIНДРИЧНИХ ЄМНОСТЯХ .. . 99 + λ̄ ( 2 +A2 ( d1 + 2d3g0 + 2d5f0 + ( 1 2 d3 − 2d4 ) y3 + ( d5 2 − 2d6 ) x3 )) + + A2 ( −d3y2 − d5x2 − ( 1 2 d3 − 2d4 ) y4 − ( 1 2 d5 − 2d6 ) x4 ) , (24) C21 = A2λ̄2 1 2 (d4y4 + d6x4)− λ̄ ( 2 +A2 ( d1 + d3(2g0 + y1) + d5(2f0 + x1)+ + ( 1 2 d3 − 2d4 ) y3 + ( 1 2 d5 − 2d6 ) x3 )) +A2 (( 1 2 d3 − 2d4 ) y4 + ( 1 2 d5 − 2d6 ) x4 ) , C22 = σ̄2 1 − 1 + λ̄2 ( 1 +A2 ( 1 4 d1 + d3 ( g0 − 1 2 g2 ) − 1 2 d4y3 + d5 ( f0 − 1 2 f2 ) − 1 2 d6x3 )) + + A2λ̄ ( −d3y2 − d5x2 − ( 1 2 d3 − 2d4 ) y4 − ( 1 2 d5 − 2d6 ) x4 ) + + A2 ( −1 2 d1 − d3g0 − d5f0 − ( 1 2 d3 − 2d4 ) (g2 + y3)− ( 1 2 d5 − 2d6 ) (f2 + x3) ) ; x1 = −λ̄2d14 + 2d14 − 2d8 2(λ̄2 + σ̄2 0) , x2 = λ̄(d8 − d14) λ̄2 + σ̄2 0 , x3 = 2d8(4 + 3λ̄3 − σ̄2 0) + d14(λ̄4 + (λ̄2 − 2)(σ̄2 0 + 2) + 12) 2(λ̄4 + 2λ̄2(σ̄2 0 + 4) + (σ̄2 0 − 4)2) , x4 = λ̄(λ̄2(d8 − d14) + (d8 + d14)σ̄2 0) λ̄4 + 2λ̄2(σ̄2 0 + 4) + (σ̄2 0 − 4)2 ; (25) y1 = −λ̄2d15 + 2d15 − 2d7 2(λ̄2 + σ̄2 2) , y2 = λ̄(d7 − d15) λ̄2 + σ̄2 2 , y3 = 2d7(4 + 3λ̄3 − σ̄2 2) + d15(λ̄4 + (λ̄2 − 2)(σ̄2 2 + 2) + 12)) 2(λ̄4 + 2λ̄2(σ̄2 2 + 4) + (σ̄2 2 − 4)2) , y4 = λ̄(λ̄2(d7 − d15) + (d7 + d15)σ̄2 2) λ̄4 + 2λ̄2(σ̄2 2 + 4) + (σ̄2 2 − 4)2 . (26) Оскiльки система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (23) вiдносно сталих a1, b1 повинна мати розв’язок, вiдмiнний вiд нуля (iнакше a1 = b1 = 0), то визначник цiєї системи повинен ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 100 О.В. СОЛОДУН бути рiвним нулевi: D(λ) = ∣∣∣∣∣∣ C11 C12 C21 C22 ∣∣∣∣∣∣ = 0. (27) Характеристичне рiвняння, яке отримується пiсля розкриття визначника (27), буде в загальному випадку полiномом 24-го степеня вiдносно λ̄. Отримання такого рiвняння в явному виглядi, враховуючи вигляд виразiв (24) – (26), є складною процедурою. Тому дос- лiдження значень характеристичних показникiв λ зводиться до знаходження всiх коренiв характеристичного визначника (27) чисельними методами. Таким чином, нестiйким ру- хам вiдповiдає випадок, коли серед характеристичних показникiв є такi, що мають дiйсну частину (Re λ 6= 0). Стiйким коливанням у розглядуваному випадку вiдповiдають уявнi коренi (Re λ = 0) характеристичного визначника (27), якi за класифiкацiєю Хiла нале- жать до розв’язкiв нейтрального типу вiдповiдних рiвнянь у варiацiях. Рис. 2. Стiйкi гiлки амплiтудно-частотних характеристик коливань рiдини. На рис. 2 за допомогою формул (17) побудовано амплiтудно-частотну характеристику коливань рiдини з параметрами R0, R, h i H . Жирною лiнiєю зображено амплiтуду стiй- ких коливань, бiльш тонкою — нестiйких. З вигляду наведених кривих видно, що частота нелiнiйно залежить вiд амплiтуди коливань. Також тонкою лiнiєю наведено лiнiю зале- жностi частоти вiд амплiтуди для вiльних коливань рiдини. Отже, задача про дослiдження на стiйкiсть перiодичних розв’язкiв (17) системи (11), якi описують рухи рiдини в данiй порожнинi, звелася до задачi знаходження коренiв ха- рактеристичного визначника (27). Слiд також вiдмiтити, що до задачi знаходження наближених виразiв для узагальнених координат p0(t), r1(t), p2(t), r3(t) можна також застосувати метод амплiтуд, що повiльно змiнюються [23]. Це дасть змогу вiдслiдкувати також i переxiднi режими, якщо вони iсну- ють. 5. Аналiз амплiтудно-частотних характеристик нелiнiйних коливань вiльної поверхнi рiдини. Амплiтудно-частотнi характеристики нелiнiйних коливань вiльної поверхнi рiди- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 ДОСЛIДЖЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КРУГОВИX ЦИЛIНДРИЧНИХ ЄМНОСТЯХ .. . 101 ни визначаються виразом (18). Для усталених режимiв руху можна в кожному конкретно- му випадку прослiдкувати за еволюцiєю вiльної поверхнi рiдини, скориставшись її зобра- женням x = p0(t)Y0(k0ξ)− r1(t)Y1(k1ξ) sin η − p2(t)Y2(k2ξ) cos 2η+ + r3Y3(k3ξ) cos 3η. (28) Для цилiндричного сектора з кутом пiврозхилу α = π 2 з параметрами R0 = 0, R = 1, d = 2R, h = 2, H = 0, 01094 (29) на рис. 3 наведено амплiтудно-частотнi характеристики коливань рiдини, отриманi за до- помогою формул (17), i нанесено експериментальнi данi роботи [24]. Через a позначено середню амплiтуду (яка дорiвнює пiвсумi амплiтуд двох пiкiв, якi вимiряно бiля стiнки в площинi дiї збурюючої сили), g — прискорення сили тяжiння. У розглядуваному випадку середня амплiтуда вираховується за формулою a = d 2 (\|p0(t) + r1(t)− p2(t)\|+ \|p0(t)− r1(t)− p2(t)\|). Спостерiгається досить хороший збiг теоретичних результатiв з експериментальними да- ними, якi на рис. 3 позначено знаком ×. Рис. 3. Величина середньої амплiтуди. Розгляд еволюцiї вiльної поверхнi рiдини для цилiндричного вертикального сектора з параметрами (29), для профiлю хвилi (28) (побудованих за допомогою формул (17), з урахуванням (18)), для рiзних моментiв часу t показує, що висота „горба”перевищує гли- бину „впадини”, тобто спостерiгається несиметричнiсть збуреної вiльної поверхнi рiдини. Положення вузлової лiнiї змiнюється з часом, в той час як в лiнiйнiй теорiї вузлова лiнiя фiксована. Особливо це помiтно при максимальних значення амплiтуд, якi в розглядуваному ви- падку досягають величин 0, 60476 i 0, 29458, тобто вiдношення висоти „горба” до глибини „впадини” дорiвнює 2, 0529 (для t = 0, 78). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 102 О.В. СОЛОДУН З ростом значень амплiтуди збурень вiдмiннiсть мiж висотою „горба” i глибиною „впадини” стає ще значнiшою. Зауважимо, що перiод коливань для даного випадку до- рiвнює T = 2π/ω = 1, 08008. Таким чином, як видно iз наведених вище прикладiв, методами даної роботи вдається якiсно i кiлькiсно дослiдити кiнематику нелiнiйних коливань рiдини в баку з перегород- кою поблизу основного резонансу. При цьому результати досить добре збiгаються з екс- периментальними [24]. Отже, урахування чотирьох узагальнених координат, що вiдпо- вiдає утриманню у розкладi вiльної поверхнi чотирьох перших власних форм коливань вiльної поверхнi рiдини (двох симетричних i двох несиметричних), дозволяє досить пов- но у кiлькiсному i якiсному вiдношеннi описати нелiнiйнi ефекти, пов’язанi з еволюцiєю вiльної поверхнi. 6. Силова взаємодiя рiдини та ємностi. Розглянемо важливе для практики питання про силову взаємодiю рiдини з частково заповненим баком. Як вiдомо, головний вектор сил, якi дiють з боку рiдини на резервуар, визначається як ~P = ∫ S ∫ p~ndS, (30) де ~n — орт зовнiшньої нормалi до змоченої поверхнi S, p — тиск рiдини, який визнача- ється iз iнтеграла Лагранжа – Кошi ∂Φ ∂t + 1 2 (∇Φ)2 −∇Φ · ~̇u− ~g · ~r + p ρ = 0. Тут g = (−g, 0, 0); ~u = (0, 0, H cosωt) визначає закон руху резервуара. Безпосереднє використання формули (30) на практицi дуже ускладнене. Для отрима- ння виразу гiдродинамiчної сили скористаємося результатами §13 роботи [17], що приво- дить до формули ~P = −m(~̈u− ~g)− d ~K dt , деm— маса рiдини, ~K — вектор кiлькостi руху маси рiдини, який виражається формулою ~K = ρ ∫∫ Q ∫ (∇Φ)dQ. У загальному вападку, коли рiвняння збуреної вiльної поверхнi Σ має вигляд x = ∑ i βi(t)fi(y, z), для проекцiй вектора кiлькостi руху ~K на осi декартової ситеми координат отримуємо вирази Kx = 1 2 ∑ i λi1βi(t)β̇i(t), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 ДОСЛIДЖЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КРУГОВИX ЦИЛIНДРИЧНИХ ЄМНОСТЯХ .. . 103 Ky = ∑ i λi2β̇i(t), Kz = ∑ i λi3β̇i(t), де λi1 = ρ ∫ Σ0 f2 i (y, z)dS, λi2 = ρ ∫ Σ0 yfi(y, z)dS, λi3 = ρ ∫ Σ0 zfi(y, z)dS. У розглядуваному випадку роль узагальнених координат βi(t) вiдiграють величини p0(t), r1(t), p2(t), r3(t). Проекцiї гiдродинамiчної сили на осi зв’язаної системи координат з точнiстю до членiв третього порядку малостi мають вигляд Px = −mg − λ21(r1r̈1 + ṙ2 1), Py = −λ12p̈0 − λ32p̈2, Pz = −mü− λ23r̈1, (31) де λ21 = π 2 ρ R∫ R0 ξY 2 1 (k11ξ)dξ, λ12 = 2ρ R∫ R0 ξ2Y0(k01ξ)dξ, λ32 = 2 3 ρ R∫ R0 ξ2Y2(k21ξ)dξ, λ23 = π 2 ρ R∫ R0 ξ2Y1(k11ξ)dξ. Найбiльш важливою з практичної точки зору в розглядуваному випадку є складова сумарної гiдродинамiчної сили Pz у напрямку осi Oz, вздовж якої сектор здiйснює виму- шенi коливання. Пiдставляючи вирази для u(t) i r1(t) в останнє спiввiдношення системи (31), отримуємо вираз для знаходження амплiтуди сили: \|Pz\| = π 2 ρω2[R2hH +Aj], (32) де j = R∫ R0 Y1(k1ξ)ξ 2dξ. Формула (32) дає можливiсть оцiнити вклад, що вноситься в проекцiю сумарної гiдро- динамiчної сили Pz iнерцiйними силами \|P ifz \| = π 2 ρω2R2hH i хвильовими рухами вiльної поверхнi рiдини \|P vmz \| = π 2 ρω2Aj. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 104 О.В. СОЛОДУН Так, для цилiндричного сектора з розмiрами R = 1 i h = 2, який здiйснює вздовж осi Oz гармонiчнi коливання з плечем H = 0, 01094, вiдносною частотою ω/σ1 = 0, 949 i ам- плiтудою основної узагальненої координати A = 0, 22336, на амплiтуду P vmz приходиться приблизно 84% внеску у величину Pz. Це вказує на важливiсть бiльш точного визначення амплiтудно-частотної характеристики A(ω/σ1) узагальненої координати r1(t) при знахо- дженнi проекцiї(на вiсь Oz) амплiтуди сумарної гiдродинамiчної сили. Розглянемо у рамках викладеної теорiї питання впливу вертикальної дiаметральної перегородки на характер силової дiї рiдини на бак. Вiдомо [24], що переваги баку, розби- того навпiл дiаметральною перегородкою, прибирає просторовий рух у виглядi кругової хвилi. Рис. 4. Амплiтуда сили (H = 0, 01094, × — збiльшення, ◦ — зменшення частоти). На рис. 4 зображено амплiтудно-частотнi характеристики безрозмiрної сили Pz для цилiндра, розбитого вертикальною перегородкою навпiл, з параметрами (29) (знаками × та ◦ вiдмiчено деякi експериментальнi данi роботи [24]). Як i у випадку цилiндричного баку без перегородки [17], теоретичнi та експериментальнi результати узгоджуються з точнiстю до 1, 5− 2%. Окрiм того, при розбиттi цилiндричного баку на два спостерiга- ється зменшення максимального значення проекцiї амплiтуди гiдродинамiчної сили на вiсь Oz приблизно на 23%. Слiд також зазначити, що математична модель (11) приводить до результатiв, якi кра- ще узгоджуються з експериментальними даними, нiж модель Хаттона [18, 24], побудована на основi теорiї збурень. Iз порiвняння рис. 3 i 4 видно, що для проекцiї сумарної гiдродинамiчної сили (рис. 4) експериментальнi данi краще збiгаються з теоретичними значеннями, нiж для середньої амплiтуди (рис. 3). Висновки. В роботi розглянуто нелiнiйнi коливання iдеальної нестисливої рiдини. Ме- тодом Бубнова – Гальоркiна побудовано перiодичнi розв’язки для розглядуваної чотири- модової системи, що описує нелiнiйнi вимушенi коливання рiдини у пiвкруговому цилiн- дричному баку для випадку дiї збурюючої сили вздовж перегородки. Побудовано i до- слiджено областi стiйкостi i нестiйкостi вимушениx коливань. Пiдтверджено, що в околi ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 ДОСЛIДЖЕННЯ ВИМУШЕНИХ КОЛИВАНЬ У КРУГОВИX ЦИЛIНДРИЧНИХ ЄМНОСТЯХ .. . 105 основного резонансу системи амплiтуди вимушених коливань рiдини та амплiтуди сили обмеженi, положення вузлової лiнiї вiльної поверхнi рiдини змiнюється з часом, висота „горба” деформованої поверхнi перевищує глибину „впадини” та iншi нелiнiйнi ефекти. Встановлено, що наявнiсть перегородки покращує стiйкiсть даної системи (окрiм того, що таке розбиття прибирає просторовi рухи у виглядi кругової хвилi). Наведено аналiз гiдродинамiчної взаємодiї рiдини з баком. Результати розраxункiв збiгаються з даними експериментiв. Результати можуть бути використанi при проектуваннi транспортних за- собiв, якi мiстять великi маси рiдини. 1. Абрамсон Х.Н., Чу В.Х., Гарца Л.Р. Движение массы жидкости в цилиндрических баках, разделенных на отсеки// Ракет. техника. — 1962. — N◦6. — 155 с. 2. Моисеев Н.Н. К теории нелинейных колебаний ограниченного объема жидкости// Прикл. математика и механика. — 1958. — 22. — С. 612 – 621. 3. Abramson H.N., Garza L.R. Some measurement of liquid frequencies and damping in compartment cylindri- cal tanks// AIAA J. Spacecraft and Rockets. — 1965. — 2, N◦3. — P. 453 – 455. 4. Dodge F.T., Kana D.D., Abramson H.N. Liquid surface oscillation in longitudinally excited rigid cylindrical containers// AIAA J. — 1965.— 3, N◦4. — P. 685 – 695. 5. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динимика твердого тела с полостями, частично заполненными жидко- стью. — М.: Машиностроение, 1968. — 532 c. 6. Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И. и др. Методы определения присоединенныx масс жид- кости в подвижныx полостяx. — Киев: Наук. думка, 1969. — 250 c. 7. Welt F., Modi V.I. Vibration damping through liquid sloshing. Pt 2. Experimental results// ASME, Trans. J. Vibration and Acoustic. — 1992. — 114. — P. 17 – 23. 8. Faltinsen O.M. A nonlinear theory of sloshing in rectangular tanks// J. Ship Res. — 1974. — 18, N◦4. — P. 224 – 241. 9. Faltinsen O.M., Rongebakke O.F., Lukovsky I.A., Timokha A.N. Multidimentional modal analysis of nonli- near sloshing in a rectangular tanks with finite water depth// J. Fluid Mech. — 2000 . — 407. — P. 201 – 234. 10. Miles J.W. Internally resonant surface waves in a circular cylinder// Ibid. — 1984. — 149. — P. 1 – 14. 11. Miles J.W. Resonantly forced surface waves in a circular cylinder// Ibid. — P. 15 – 31. 12. Solaas F., Faltinsen O.M. Combined numerical and analytical solution for sloshing in two-dimentional tanks og general shape// J. Ship Res. — 1997. — 41. — P. 118 – 129. 13. Welt F., Modi V.I. Vibration damping through liquid sloshing. Pt 1. A nonlinear analysis// ASME, Trans. J. Vibration and Acoustic. — 1992. — 114. — P. 10 – 16. 14. Луковский И.А. Вариационный метод в нелинейных задачах динамики ограниченного объема жидко- сти со свободной поверхностью// Колебания упругих конструкций с жидкостью. — M.: Волна, 1976. — C. 260 – 264. 15. Miles J.W. Nonlinear surface waves in closed basins// J. Fluid Mech. — 1976. — 75. — P. 419 – 448. 16. Лимарченко О.С. Вариационная формулировка задачи о движении резервуара с жидкостью// Докл. АН УССР. Сер. А. — 1978. — N◦10. — С. 904 – 908. 17. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику тел с полостями, частично заполненными жидко- стью. — Киев: Наук. думка, 1990. — 296 с. 18. Hatton R.E. An investigating of nonlinear, nonplanar oscillations of fluid in cylindrical containers// Techn. Note. Washington (NASA; D-1870). — 1963. — P. 145 – 153. 19. Нариманов Г.С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью, учет немалости движения последней // Прикл. математика и меxаника. — 1957. – 21, N◦4. — С. 513 – 524. 20. Луковский И.А., Тимоxа А.Н. Нелинейная теория плесканий в подвижных полостяx: классические и неклассические задачи // Вопросы аналитической меxаники и ее применений. — Киев: Ин-т матема- тики НАН Украины, 1999. — С. 169 – 200. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 106 О.В. СОЛОДУН 21. Луковський I.О., Солодун О.В. Нелiнiйна модель руху рiдини в цилiндричних ємностях, роздiлених на вiдсiки// Допов. НАН України. — 2001. — N◦5. — C. 51 – 55. 22. Luce J.C. A variational principle for a fluid with a free surface// J. Fluid Mech. — 1967. — 27. — P. 395 – 397. 23. Пилькевич А.М. Анализ вынужденных колебаний жидкости в цилиндрических соосных резервуарах// Прикл. методы исслед. физ.-мех. процессов. — Киев, 1979. — C. 49 – 63. 24. Abramson H.N., Chu W.H., Kana D.D. Some studies of nonlinear lateral sloshing in rigid containers// J. Appl. Mech. — 1966. — 33, N◦4. — P. 66 – 74. Одержано 17.11.2001 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1

Дослідження вимушених коливань у кругових циліндричних ємностях, розділених діаметральною перегородкою

Institution

Similar Items