Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер

Використання математичних моделей динамічних об’єктів у вигляді інтегральних рівнянь типу Вольтерри дозволяє ефективно розв’язувати широкий клас теоретичних та практичних дослідницьких задач. Традиційним підходом щодо розв’язання цих рівнянь є застосування квадратурних алгоритмів різного порядку точ...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
Hauptverfasser:	Верлань, Д.А., Понеділок, В.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Schriftenreihe:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181478
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер / Д.А. Верлань, В.В. Понеділок // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 20. — С. 131-145. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-181478
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1814782025-02-23T20:16:26Z Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер Numerical Realization of Integral Dynamic Models Based on the Method of Degrade Kernels Верлань, Д.А. Понеділок, В.В. Використання математичних моделей динамічних об’єктів у вигляді інтегральних рівнянь типу Вольтерри дозволяє ефективно розв’язувати широкий клас теоретичних та практичних дослідницьких задач. Традиційним підходом щодо розв’язання цих рівнянь є застосування квадратурних алгоритмів різного порядку точності, яка залежить від вигляду ядра Вольтерри та кроку дискретизації, що часто призводить до значної кількості обчислювальних операцій та труднощів програмної реалізації в загальному випадку. Перспективним є використання алгоритмів методу вироджених ядер для розв’язання рівнянь Вольтерри ІІ роду, які мають суттєву перевагу за обсягом обчислювальних операцій по відношенню до традиційних алгоритмів прямого методу квадратур. Розглянуто алгоритми побудови резольвенти, що дозволяє забезпечити ефективність резольвентного методу розв’язування рівнянь даного класу. Задача застосування даного методу до розв’язування рівнянь Вольтерри (або рівнянь іншого типу) призводить до отримання низки нових чисельних алгоритмів, властивості яких повинні бути дослідженими. Практична цінність алгоритмів, що розробляються, полягає у можливості створення на їх основі відповідних програмних засобів, які не містяться у існуючих серійних пакетах комп’ютерного моделювання. При цьому з’являється можливість порівнювати отримані алгоритми з відомими квадратурними алгоритмами за швидкодією, як найбільш важливому показнику для динамічних моделей систем керування. The use of mathematical models of dynamic objects in the form of Volterra-type integral equations enables us to effectively solve a wide range of theoretical and practical research problems. The traditional approach to solving these equations is to use quadrature algorithms of different order of accuracy, which depends on the form of the Volterra kernel and the sampling step, which often leads to a lot of computational operations and software implementation problems in the general case. It is promising to use degenerate-kernels method algorithms to solve Volterra II kind equations, which have a significant advantage over the volume of computational operations over traditional direct-square algorithms. Algorithms for resolvent construction are considered, which helps to ensure the efficiency of the resolvent method of solving equations of this class. Therefore, the task of applying this method to solving Volterra equations (or equations of another type) leads to several new numerical algorithms whose properties need to be investigated. The practical value of the algorithms under development is the ability to build on them based software that is not contained in existing serial computer simulation packages. This gives the opportunity to compare the obtained algorithms with the known quadrature algorithms for performance, as the most important indicator for dynamic models of control systems 2020 Article Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер / Д.А. Верлань, В.В. Понеділок // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 20. — С. 131-145. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 2308-5916 DOI: https://doi.org/10.32626/2308-5916.2019-20.131-145 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181478 004.94 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Використання математичних моделей динамічних об’єктів у вигляді інтегральних рівнянь типу Вольтерри дозволяє ефективно розв’язувати широкий клас теоретичних та практичних дослідницьких задач. Традиційним підходом щодо розв’язання цих рівнянь є застосування квадратурних алгоритмів різного порядку точності, яка залежить від вигляду ядра Вольтерри та кроку дискретизації, що часто призводить до значної кількості обчислювальних операцій та труднощів програмної реалізації в загальному випадку. Перспективним є використання алгоритмів методу вироджених ядер для розв’язання рівнянь Вольтерри ІІ роду, які мають суттєву перевагу за обсягом обчислювальних операцій по відношенню до традиційних алгоритмів прямого методу квадратур. Розглянуто алгоритми побудови резольвенти, що дозволяє забезпечити ефективність резольвентного методу розв’язування рівнянь даного класу. Задача застосування даного методу до розв’язування рівнянь Вольтерри (або рівнянь іншого типу) призводить до отримання низки нових чисельних алгоритмів, властивості яких повинні бути дослідженими. Практична цінність алгоритмів, що розробляються, полягає у можливості створення на їх основі відповідних програмних засобів, які не містяться у існуючих серійних пакетах комп’ютерного моделювання. При цьому з’являється можливість порівнювати отримані алгоритми з відомими квадратурними алгоритмами за швидкодією, як найбільш важливому показнику для динамічних моделей систем керування.
format	Article
author	Верлань, Д.А. Понеділок, В.В.
spellingShingle	Верлань, Д.А. Понеділок, В.В. Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet	Верлань, Д.А. Понеділок, В.В.
author_sort	Верлань, Д.А.
title	Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер
title_short	Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер
title_full	Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер
title_fullStr	Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер
title_full_unstemmed	Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер
title_sort	чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/181478
citation_txt	Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер / Д.А. Верлань, В.В. Понеділок // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2019. — Вип. 20. — С. 131-145. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv	AT verlanʹda čiselʹnarealízacíâíntegralʹnihdinamíčnihmodelejnaosnovímetoduvirodženihâder AT ponedílokvv čiselʹnarealízacíâíntegralʹnihdinamíčnihmodelejnaosnovímetoduvirodženihâder AT verlanʹda numericalrealizationofintegraldynamicmodelsbasedonthemethodofdegradekernels AT ponedílokvv numericalrealizationofintegraldynamicmodelsbasedonthemethodofdegradekernels
first_indexed	2025-11-25T02:20:47Z
last_indexed	2025-11-25T02:20:47Z
_version_	1849727122330877952
fulltext	Серія: Технічні науки. Випуск 20 131 УДК 004.94 DOI: 10.32626/2308-5916.2019-20.131-145 Д. А. Верлань, канд. техн. наук, В. В. Понеділок, канд. техн. наук ТОВ »Науково-виробниче підприємство «ІНФОТЕХ», м. Київ ** Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський ЧИСЕЛЬНА РЕАЛІЗАЦІЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ ДИНАМІЧНИХ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВІ МЕТОДУ ВИРОДЖЕНИХ ЯДЕР Використання математичних моделей динамічних об’єктів у вигляді інтегральних рівнянь типу Вольтерри дозволяє ефективно розв’язувати широкий клас теоретичних та практичних дослідни- цьких задач. Традиційним підходом щодо розв’язання цих рів- нянь є застосування квадратурних алгоритмів різного порядку то- чності, яка залежить від вигляду ядра Вольтерри та кроку дискре- тизації, що часто призводить до значної кількості обчислюваль- них операцій та труднощів програмної реалізації в загальному ви- падку. Перспективним є використання алгоритмів методу виро- джених ядер для розв’язання рівнянь Вольтерри ІІ роду, які ма- ють суттєву перевагу за обсягом обчислювальних операцій по ві- дношенню до традиційних алгоритмів прямого методу квадратур. Розглянуто алгоритми побудови резольвенти, що дозволяє забез- печити ефективність резольвентного методу розв’язування рів- нянь даного класу. Задача застосування даного методу до розв’я- зування рівнянь Вольтерри (або рівнянь іншого типу) призводить до отримання низки нових чисельних алгоритмів, властивості яких повинні бути дослідженими. Практична цінність алгоритмів, що розробляються, полягає у можливості створення на їх основі відповідних програмних засобів, які не містяться у існуючих се- рійних пакетах комп’ютерного моделювання. При цьому з’являється можливість порівнювати отримані алгоритми з відо- мими квадратурними алгоритмами за швидкодією, як найбільш важливому показнику для динамічних моделей систем керування. Ключові слова: інтегральне рівняння Вольтерри ІІ роду, квадратурний метод, метод вироджених ядер, резольвента. Вступ. Традиційним призначенням методу вироджених ядер є розв’язок лінійних інтегральних рівнянь типу Фредгольма ІІ роду. Тому задача застосування даного методу до розв’язування рівнянь Вольтерри (або рівнянь іншого типу) приводить до отримання низки нових чисельних алгоритмів, властивості яких повинні бути дослі- дженими. При цьому з’являється можливість порівнювати отримані алгоритми з відомими квадратурними алгоритмами за швидкодією, © Д. А. Верлань, В. В. Понеділок, 2019 Математичне та комп’ютерне моделювання 132 як найбільш важливому показнику для динамічних моделей систем керування [1]. Практична цінність алгоритмів, що розробляються, полягає у мож- ливості створення на їх основі відповідних програмних засобів, які не містяться у існуючих серійних пакетах комп’ютерного моделювання. Основна частина. При чисельній реалізації інтегрального рів- няння Вольтерри II роду        , x a x K x s s ds f x   (1) перехід до дискретних обчислювальних схем здійснюються за допо- могою виразу        , . i x i i i a x K x s s ds f x   (2) Беручи значення ix в якості вузлів квадратурної формули і за- мінюючи інтеграл скінченною сумою, отримаємо систему алгебраїч- них рівнянь [2–5]         1 , , i i j i j j i j x A K x x x f x     (3) де ,jx j h  h — крок квадратури,  ix — наближені значення функції  ix в вузлах ix . Для побудови ефективного алгоритму доцільно отримати рекурентний вираз, користуючись тим, що це мо- жна зробити саме для рівнянь Вольтерри, на відміну від рівнянь Фредгольма. Застосовуючи, наприклад, формулу трапецій можна за- писати наступні розрахункові вирази: для змінного кроку (загальний випадок):    1 1 ,x f x            2 2 2 1 1 2 2 2 2 , 2 , 1 , 2 h f x K x x x x h K x x                          1 12 1 1 2 , , 2 2 , 1 , 2 i j j i i i j j j i i i i h hh f x K x x x K x x x x h K x x                     (4) де 3, 4,...,i n ; 1j j jh x x   ; для постійного кроку (h = const): Серія: Технічні науки. Випуск 20 133    1 1 ,x f x                1 1 1 2 , , 2 . 1 , 2 i i i i j j j i i i h f x K x x x h K x x x x h K x x                    (5) Слід відзначити, що при використанні традиційного розрахунково- го виразу (5) час обчислення шуканої функції залежить від кількості кроків дискретизації, збільшення яких призводить до збільшення кілько- сті обчислювальних операцій. Розрахунковий вираз, отриманий у випад- ку ядра, що розділяється, із застосуванням формули трапецій, має ви- гляд: при змінному кроці дискретизації (загальний випадок):    1 1 ,x f x                2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 , 1 2 m l l l m l l l h f x a x x x x h a x x                                   1 12 1 1 1 1 2 1 2 2 , 1 2 i m m i j j i l i l l i l j j l l j m i l i l i l x h hh f x x x x x x x h x x                            (6) де 3, 4,...,i n ; 1j j jh x x   ; при постійному кроці дискретизації  h Const :    0 0 ,f              1 1 1 , 1 0 2 m i i l i j l j j l j i f x h x A x x x h K               (7) де 2,3,...,i n ; 0,5, при 1, 1, при 1.j j A j     Аналогічно можуть бути отримані розрахункові вирази для роз- в'язання систем інтегральних рівнянь Вольтерри II роду. Приклад 1. Розв'язується інтегральне рівняння Вольтерри II роду Математичне та комп’ютерне моделювання 134     0 3 3 i x x x s x x s ds        (8) в інтервалі від 0 до 0,4 з кроком дискретизації 0, 02h  . Використо- вуючи традиційний алгоритм (5), отримуємо співвідношення віднос- но ( )T ix    0 0 ,T      1 1 3 3 , 1 2 i ji i x xx i j n j j T i x h A x x h            (9) а при використанні властивостей виродженості ядра модифіковане розрахункове співвідношення маємо відносно ( )M ix    0 0 ,M      1 1 3 3 . 1 2 ji i xx i j m j j M i x h A x x h                           (10) У таблиці 1. представлені результати обчислень за розрахунко- вими співвідношеннями (9) і (10), а також точний розв'язок 0 ( )ix . Як видно з таблиці 1. по точності обидва алгоритми збігаються; по- хибка отриманого розв’язку не перевищує 0,0008. Таблиця 1 Результати дослідження для прикладу 1 i x  T i x  0 i x    0 ( ) T i i x x x        M i x    0 ( ) T i i x x x    0 0,0000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,02 0,0202 0,02024 0,00004 0,02024 0,00004 0,04 0,0409 0,04097 0,00007 0,04097 0,00007 0,06 0,0622 0,06221 0,00001 0,06221 0,00001 0,08 0,0839 0,08395 0,00005 0,08395 0,00005 0,1 0,1062 0,10622 0,00002 0,10622 0,00002 0,12 0,1290 0,12902 0,00002 0,12902 0,00002 0,14 0,1523 0,15237 0,00007 0,15237 0,00007 0,16 0,1762 0,17628 0,00008 0,17628 0,00008 0,18 0,2007 0,20076 0,00006 0,20076 0,00006 Серія: Технічні науки. Випуск 20 135 Час розв'язання за алгоритмом (9) при кроці h = 0,02 становить 0,08 секунди, а за алгоритмом (10) — становить 0,06 секунди, тобто алгоритми, отримані на основі використання роздільності ядра є більш швидкодіючими, ніж традиційні алгоритми. Резольвентний метод. Резольвента. Загальною аналітичною фо- рмою розв’язання рівняння Вольтерри II роду є вираз [4, 6] ( ) ( ) ( , ) ( ) , x a y x f x R x s f s ds   (11) де функція R(x,s) є резольвентою (резольвентним або розв’язуючим ядром). Ітеровані ядра. Резольвента рівняння (11) визначається виразом 1 0 ( , ) ( , )n n R x s K x s      , (12) де ( , )nK x s — ітеровані (повторні) ядра, які визначаються рекурент- ними співвідношеннями 1( , ) ( , ),K x s K x s 1( , ) ( , ) ( , ) , 1, 2,3,... . x n n s K x s K x t K t s dt n   (13) Визначення резольвенти і чисельна або аналітична реалізація виразу (12) означає, по суті, операцію обернення оператора об'єкта, що моделюється, представленого лівою частиною рівняння (11). Крім того, такий підхід до пошуку розв’язку відкриває можливості отри- мання ряду нових чисельних алгоритмів моделювання, що реалізують явне подання оберненого оператора задачі. Приклад 2. Техніку дій з ітерованими ядрами можна проілюстру- вати на прикладі визначення резольвенти ядра    1, , x s K x s K x s e    . Згідно (13)    2 , x x x z z s x s x s s s K x s e e dz e dz e x s          ,     2 3 ( ) , 2 x x z z s x s s x s K x s e e z s dz e        ,   3 2 4 1 ( ) , ( ) , 2 3! x x z z s x s s x s K x s e e z s dz e        або в загальному вигляді  1 ( ) , , 0,1 , 2 ! n x s n x s K x s e n n       . Математичне та комп’ютерне моделювання 136 Тепер за виразом (12) можна знайти      2 1 0 0 ( ) , , ! n x sx s x s x s n n n x s R x s K x s e e e e n               . Рівняння відносно резольвенти. Для резольвенти може бути отримано інтегральне рівняння, яке її визначає:        , , , , . x s R x s K x s K x t R s t dt   (14) Структура отриманого рівняння (14) збігається зі структурою рів- няння (12), яке розв’язується, причому вихідною інформацією, що поро- джує резольвенту, є задане ядро K(x,s). Використання резольвенти вияв- ляється виключно корисним при якісному аналізі задач і виконанні різ- ного роду еквівалентних і спрощуючих перетворень. Можливі також випадки, коли головною задачею дослідження є саме знаходження резо- львенти, тобто аналітичного або чисельного розв’язку рівняння (14), що має значний практичний сенс. Велике значення має знаходження резоль- венти в задачах, які доводиться розв’язувати багато разів при різних ва- ріантах правої частини f(х) і при одному і тому ж ядрі. Наявність виразу для резольвенти у багатьох випадках дозволяє отримати розв’язок вихі- дного рівняння в аналітичному вигляді. Метод виродженої резольвенти. Розглянемо інтегральне рів- няння 0 ( ) ( ) ( , s) ( ) x y x f x K x f s ds   (15) Введемо поняття виродженої резольвенти 1 ( , ) ( ) ( ) m Ri Ri i R x s x s    , (16) тоді рівняння (11) матиме вигляд 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x m Ri Ri i y x f x x s f s ds      (17) або 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xm Ri Ri i y x f x x s f s ds      . (18) Таким чином, при розв’язанні інтегрального рівняння немає не- обхідності знаходити інтеграл від функції двох змінних, а лише інте- грал від функцій однієї змінної. При чисельній реалізації методу ви- родженої резольвенти маємо співвідношення m n ( n - кількість Серія: Технічні науки. Випуск 20 137 дискретизуючих алгебраїчних рівнянь для методу квадратур), тобто маємо відповідне скорочення кількості операцій при задіянні методу виродженої резольвенти. Є два наступні способи отримання виродженої резольвенти за допомогою методу ітерованих ядер [7–10]. Перший спосіб. Апроксимуємо вхідне ядро інтегрального рів- няння (15) ( , )K x s = 1 1 ( ) ( ) m i i i x s    , а потім застосується метод ітеро- ваних ядер до виродженого ядра. У такому випадку маємо: 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n x m m n i i K j K j i js xm m i Kn j i K j i j s K x s x z z z dz x z z z dz                     . (19) Враховуючи співвідношення ( ) ( ) ( ) dz ( ) ( ) n n n n x x i K j iK j iK j iK j s s z z dz z x s        , (20) рівняння (19) запишемо наступним чином: 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) (s)( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). n n n n n n m m n i Kn j iK j iK j i j m m i iK j K j i K j iK j i j K x s x x s x x s x s s                              (21) Отже, після проведених перетворень ітероване ядро приймає ви- гляд виродженого: 3 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( ), n K in m n K i i K x s x s       (22) де 3 1 22m m m . Це свідчить про істотні витрати ресурсів пам’яті і процесорного часу на кожному кроці обчислення ітерованого ядра. Другий спосіб. Будуємо резольвенту ( , )R x s за допомогою мето- ду ітерованих ядер згідно з (13). Далі використовуємо метод апрок- симації резольвенти у вигляді білінійного ряду [10] (наприклад, іте- раційно-варіаційним або градієнтним методом) і отримаємо резоль- венту у вигляді 1 ( , ) ( ) ( ) m Ri Ri i R x s x s    . Оскільки при цьому безпо- середньо отримуємо співвідношення m n , то даний варіант мето- Математичне та комп’ютерне моделювання 138 ду виродженої резольвенти буде ефективним щодо використання пам’яті та комп’ютерного часу. Отримані висновки підтверджуються багатьма обчислювальними експериментами, в тому числі при розв’язуванні наступного прикладу. Приклад 3. Інтегральне рівняння Вольтерри 2-го роду ( ) 0 (x) ( ) x x s x y e y s ds e     , з точним розв’язком 1y  у квадраті [0, 0.1] [0, 0.1] (квадратури за формулами трапецій при постійному кроці h=0,005) розв’язувалось із застосуванням наступних методів. 1. Методом квадратур: знадобилося 2 0, 2369 10   с. 2. Резольвентний метод: резольвента визначається методом ітерати- вних ядер, потрібно було 5 ітеративних ядер. Витрати часу — 2 0, 2567 10   с. 3. Метод вироджених ядер: знадобилося 2 0,1859 10   с. 4. Метод виродженої резольвенти, резольвента отримана методом ітеративних ядер (2-й спосіб), знадобилося 5 ітеративних ядер, по- трібно було 2 0,1859 10   с. Графіки похибок використаних методів наведені на рис. 1. Ре- зультати розв’язування прикладу достатньо об’єктивно характеризу- ють властивості методів, які застосовувались, в тому числі перевагу методів вироджених ядер і методу виродженої резольвенти. Рис. 1. Графіки похибок до прикладу 3 Серія: Технічні науки. Випуск 20 139 Суттєве практичне значення мають задачі моделювання з табли- чним поданням вихідних даних. Цей випадок розглянемо на наступ- ному прикладі. Приклад 4. Ядро ( , )K x s і права частина ( )Tf x рівняння 0 ( ) ( , ) ( ) ( ) x T Ty x K x s y s f x  подаються таблично відповідно до таблиці 2 і таблиці 3. Розв’язки отримані: методом квадратур за 2 0,9353 10   с, резо- львентним методом (19 ітерованих ядер) за 2 0,7945 10   с, методом вироджених ядер за 2 0,9924 10   с, методом виродженої резольвенти за 2 0,6399 10   с. Результати розв’язків рівняння наведені в таблиці 4, а похибки розв’язків представлені в таблиці 5. Графіки апроксимуючих функцій для ядра наведені на рис. 2. Можна бачити, що у функціях 3 ( )x і 3 ( )s проявляється кусково- лінійний вигляд. Графіки похибок, отриманих вказаними методами, наведені на рис. 3. Приклад ілюструє працездатність алгоритмів при табличному поданні вихідних даних. Рис. 2. Графіки апроксимуючих функцій Математичне та комп’ютерне моделювання 140 Таблиця 2 Табличне подання ядра ( , )K x s K(x, s) 0,0000 0,3491 0,6981 1,0472 1,3963 1,7453 2,0944 2,4435 2,7925 3,1416 0,0000 -1,0000 -0,9848 -0,9397 -0,8660 -0,7660 -0,6428 -0,5000 -0,3420 -0,1736 0,0000 0,3491 -0,9848 -1,0000 -0,9848 -0,9397 -0,8660 -0,7660 -0,6428 -0,5000 -0,3420 -0,1736 0,6981 -0,9397 -0,9848 -1,0000 -0,9848 -0,9397 -0,8660 -0,7660 -0,6428 -0,5000 -0,3420 1,0472 -0,8660 -0,9397 -0,9848 -1,0000 -0,9848 -0,9397 -0,8660 -0,7660 -0,6428 -0,5000 1,3963 -0,7660 -0,8660 -0,9397 -0,9848 -1,0000 -0,9848 -0,9397 -0,8660 -0,7660 -0,6428 1,7453 -0,6428 -0,7660 -0,8660 -0,9397 -0,9848 -1,0000 -0,9848 -0,9397 -0,8660 -0,7660 2,0944 -0,5000 -0,6428 -0,7660 -0,8660 -0,9397 -0,9848 -1,0000 -0,9848 -0,9397 -0,8660 2,4435 -0,3420 -0,5000 -0,6428 -0,7660 -0,8660 -0,9397 -0,9848 -1,0000 -0,9848 -0,9397 2,7925 -0,1736 -0,3420 -0,5000 -0,6428 -0,7660 -0,8660 -0,9397 -0,9848 -1,0000 -0,9848 3,1416 0,0000 -0,1736 -0,3420 -0,5000 -0,6428 -0,7660 -0,8660 -0,9397 -0,9848 -1,0000 Таблиця 3 Табличне подання правої частини ( ) T f x x 0,0000 0,3491 0,6981 1,0472 1,3963 1,7453 2,0944 2,4435 2,7925 3,1416 f(x) 1,0000 0,7053 0,4975 0,3509 0,2475 0,1746 0,1231 0,0869 0,0613 0,0432 Таблиця 4 Отримані результати x 0 0,3491 0,6981 1,0472 1,3963 1,7453 2,0944 2,4435 2,7925 3,1416 y точне 1 0,4605 0,15861 0,0054 -0,0578 -0,0691 -0,053 -0,0244 0,00746 0,03762 М. Квад- ратур 1 0,45419 0,15101 -0,001 -0,0619 -0,0708 -0,0524 -0,022 0,01129 0,04239 М. ре- зольв. 1 0,41001 0,08849 -0,0666 -0,1223 -0,1218 -0,0927 -0,0517 -0,0088 0,03061 М. вир. ядер 1 0,45419 0,15101 -0,001 -0,0619 -0,0708 -0,0524 -0,022 0,01129 0,04239 М. вир. рез. 1 0,46144 0,16036 0,00764 -0,0554 -0,067 -0,0512 -0,0232 0,00804 0,03758 Таблиця 5 Похибки розв’язків М. Квад- ратур 0 -0,0063 -0,0076 -0,0064 -0,0041 -0,0016 0,00063 0,00247 0,00383 0,00476 М. ре- зольв. 0 -0,0505 -0,0701 -0,072 -0,0645 -0,0527 -0,0397 -0,0273 -0,0162 -0,007 М. вир. ядер 0 -0,0063 -0,0076 -0,0064 -0,0041 -0,0016 0,00063 0,00247 0,00383 0,00476 М. вир. рез. 0 0,00094 0,00175 0,00224 0,00236 0,00218 0,00177 0,00121 0,00058 -5E-05 Серія: Технічні науки. Випуск 20 141 Рис. 3. Графіки отриманих похибок Випадок різницевого степеневого ядра. Для знаходження резо- львенти можна скласти та розв'язати визначальне диференціальне рівняння. Це можливо в одному з важливих для практики випадків, коли ядро рівняння (1) є різницевим і має вигляд             1 1 0 1, ( ) 1 ! n na x K x s a x a x x s x s n         . (15) За умови безперервності коефіцієнтів   , 0, 1 ka x k n  в   ,a b резольвента для (15) визначається виразом    , , n n d g x s R x s dx  , (16) де функція g(x, s) є розв'язком рівняння       1 2 0 1 11 2 0 n n n nn n n d g d g d g a x a x a x g dx dx dx              (17) при 2 1 2 1 \| \| \| 0, \| 1. n n x s x s x s x sn n dg d g d g g dx dx dx            (18) Приклад 5. Знайдемо резольвенту рівняння з ядром  ,K x s x s  , яке є окремим випадком ядра (15) при  1 1a x  і рів- них нулю інших коефіцієнтах. Рівняння (17) приймає вигляд Математичне та комп’ютерне моделювання 142   2 2 , 0, d g g x s dx   звідки      1 2, x x g x s C s e C s e    . Умови (18) приводять до системи    1 2 0, s s C s e C s e       1 2 0, s s C s e C s e    розв'язок якої  1 1 2 s C s e   ,  2 1 2 s C s e , що дозволяє записати       1 , . 2 x sx s g x s e e sh x s         Згідно (16) остаточно маємо      2 " , [ ] x R x s sh x s sh x s    . Незважаючи на обмеженість аналітичних способів знаходження резольвенти, її застосування виявляється доцільним для побудови наближених і чисельних алгоритмів розв'язання інтегральних рів- нянь. Розрахункові вирази для чисельного отримання резольвенти можуть бути отримані з виразів (13) і (14), якщо в них покласти , 0,1 ,is s i S   , тобто розбити проміжок [а, b) зміни змінної s на S відрізків. Тоді згідно (13) і (14) отримаємо      1 , , , , i x n i n i s K x s K x t K t s dt   (19)        , , , , . i x i i i s R x s K x s K x t R t s dt   (20) Вираз (19) зводить задачу отримання ітерованих ядер до обчис- лення інтегрального оператора Вольтерри, а вираз (20) являє собою рівняння Вольтерри II роду, де ядро є функцією однієї змінної і збіга- ється з правою частиною. Дещо інший шлях застосування резольвенти має місце при такій апроксимації ядра, коли можна визначити наближену резольвенту ана- літично. Прикладом застосування такого підходу є наступний метод. Якщо для рівняння (12) розбити проміжок зміни змінної x точ- ками , 0, ix x a ih i n    , з кроком b a h n   на n однакових промі- жків iX , де 1i ix x x   і nX — закритий проміжок, тоді прямі Серія: Технічні науки. Випуск 20 143 , 1, , , i j jx x i n s s x    0, 1,j n  розділять основний трикутник  D a s x b   на n трикутників  1 1, i i i i jD x x x s s s     . Піс- ля заміни  ,K x s і  f x в рівнянні (1) функціями:       , , , , 1, , , , , , 2, , 0, 1 i i i i i i ij ij K x s K x s D i n k x s K x s K x s D i n j n          , (21)     , , 1, ,i i if x f x f x X i n    1 , , 2 i i j j h x x s x   отримаємо рів- няння         0 , x y x k x s y s ds f x  . (22) Резольвента ядра (21) має вигляд        1 , , , 1, , , , , 2, , 0, 1 , i i i j j K x s i i K x x K s s ij ij K e x s D i n r x s L e x s D i n j n              де , 1 , 1 , 2, i i i iL K i n   , 1 1 1 , 3, , 2 l K hi ij ij il il ll j e L K K L i n j K         (при 0lK  дріб 1l K h l e K  замінюється на h). Розв'язок наближеного рівняння (22) має вигляд    1 , , 1, i i K x x i iy x C e x X i n     , (23) де 1 1 1 1 1 , , 2, . j K hi i i ij jj e C f C f K i n K        Функція  y x має розриви в точках , 1, , 1ix x j n   зі стриб- ком 1 i K h i i iC C e   . Висновок. Вдосконалено алгоритми методу вироджених ядер для розв’язання рівнянь Вольтерри ІІ роду, які мають суттєву перева- гу за обсягом обчислювальних операцій по відношенню до традицій- них алгоритмів прямого методу квадратур; розроблено алгоритми Математичне та комп’ютерне моделювання 144 побудови резольвенти, що дозволяє забезпечити ефективність резо- львентного методу розв’язування рівнянь даного класу. Таким чином, можливість ефективної апроксимації ядер дові- льного вигляду дозволяє задіяти продуктивний потенціал резольве- нтного методу розв’язування інтегральних рівнянь чисельними ме- тодами з побудовою відповідних програмних засобів комп’ю- терного моделювання динамічних об’єктів. Крім того, даний підхід дозволяє в багатьох випадках використовувати аналітичні перетво- рення з отриманням спрощених шляхів розв’язання задач моделю- вання. Список використаних джерел: 1. Беллман Р. Некоторые вопросы математической теории процессов управ- ления / Р. Беллман, И. Гликсберг, О. Гросс. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1962. — 336 с. 2. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. — К. : Наукова думка, 1986. — 543 с. 3. Никольский С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. — М. : Наука, 1974. — 223 с. 4. Baker C. T. H. Volterra Equations and their Numerical Treatment / C. T. H. Baker // MCCM Technical Report. — 2000. — №366. 5. Pupkov K. А. Functional series in the theory of nonlinear systems / К. А. Pupkov, V. I. Kapalin, А.S. Yushchenko. — М. : Nauka, 1976. — 448 p. 6. Brunner H. Open problems in the discretization of Volterra integral equations / H. Brunner // Numer. Funct. Anal. Optim. — 1996. — № 17. — P. 717–736. 7. Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям / А. Д. Полянин, А. В. Манжиров — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. 8. Іванюк В.А. Аналітичне подання рядів Вольтерри на основі експеримен- тальних даних [Текст] / В.А. Іванюк, В.В. Понеділок // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки : зб. наук. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний універси- тет імені Івана Огієнка, 2014. — Вип. 11. — С. 43–50. 9. Верлань Д.А. Апроксимація функції двох змінних у задачах керування / Д. А. Верлань // Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Тех- нічні науки : зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Поділ. нац. ун-т ім. І. Огієнка, 2011. — Вип. 5. — С. 62–70. 10. Верлань Д. А. Гладка апроксимація функції двох змінних білінійним ря- дом / Д. А. Верлань // Тези доповідей річної звітної конференції ІПМЕ імені Г. Є. Пухова (м. Київ, 15–16 січня 2012 р.). — К. : ІПМЕ НАНУ, 2012. — С. 15. 11. Верлань Д. А. Методи білінійної апроксимації ядер інтегральних рівнянь Вольтери 2-го роду / Д. А. Верлань // Тези доповідей річної звітної кон- ференції ІПМЕ імені Г. Є. Пухова (м. Київ, 13-14 січня 2013 р.). — К. : ІПМЕ НАНУ, 2013. — С. 8. Серія: Технічні науки. Випуск 20 145 NUMERICAL REALIZATION OF INTEGRAL DYNAMIC MODELS BASED ON THE METHOD OF DEGRADE KERNELS The use of mathematical models of dynamic objects in the form of Volterra-type integral equations enables us to effectively solve a wide range of theoretical and practical research problems. The traditional ap- proach to solving these equations is to use quadrature algorithms of differ- ent order of accuracy, which depends on the form of the Volterra kernel and the sampling step, which often leads to a lot of computational opera- tions and software implementation problems in the general case. It is prom- ising to use degenerate-kernels method algorithms to solve Volterra II kind equations, which have a significant advantage over the volume of compu- tational operations over traditional direct-square algorithms. Algorithms for resolvent construction are considered, which helps to ensure the effi- ciency of the resolvent method of solving equations of this class. There- fore, the task of applying this method to solving Volterra equations (or equations of another type) leads to several new numerical algorithms whose properties need to be investigated. The practical value of the algo- rithms under development is the ability to build on them based software that is not contained in existing serial computer simulation packages. This gives the opportunity to compare the obtained algorithms with the known quadrature algorithms for performance, as the most important indicator for dynamic models of control systems. Keywords: Volterra integral equation II kind, quadrature method, de- generate kernels method, resolvent. Отримано: 19.08.2019

Чисельна реалізація інтегральних динамічних моделей на основі методу вироджених ядер

Institution

Ähnliche Einträge