Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами
Using refined Timoshenko's hypotheses and similar hypotheses for electric field quantities, a thermomechanical model of thin-walled shells with distributed transversely isotropic actuators is presented with taking the dissipative heating and physical nonlinearities into account.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1820 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами / В.Г. Карнаухов, Я.О. Жук, Т.В. Карнаухова // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 50–55. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1820 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18202025-02-09T23:55:29Z Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами Карнаухов, В.Г. Жук, Я.О. Карнаухова, Т.В. Механіка Using refined Timoshenko's hypotheses and similar hypotheses for electric field quantities, a thermomechanical model of thin-walled shells with distributed transversely isotropic actuators is presented with taking the dissipative heating and physical nonlinearities into account. 2007 Article Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами / В.Г. Карнаухов, Я.О. Жук, Т.В. Карнаухова // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 50–55. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1820 539.3 uk application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Карнаухов, В.Г. Жук, Я.О. Карнаухова, Т.В. Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами |
| description |
Using refined Timoshenko's hypotheses and similar hypotheses for electric field quantities, a thermomechanical model of thin-walled shells with distributed transversely isotropic actuators is presented with taking the dissipative heating and physical nonlinearities into account. |
| format |
Article |
| author |
Карнаухов, В.Г. Жук, Я.О. Карнаухова, Т.В. |
| author_facet |
Карнаухов, В.Г. Жук, Я.О. Карнаухова, Т.В. |
| author_sort |
Карнаухов, В.Г. |
| title |
Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами |
| title_short |
Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами |
| title_full |
Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами |
| title_fullStr |
Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами |
| title_full_unstemmed |
Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами |
| title_sort |
уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1820 |
| citation_txt |
Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними актуаторами / В.Г. Карнаухов, Я.О. Жук, Т.В. Карнаухова // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 50–55. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT karnauhovvg utočnenatermomehaníčnamodelʹvimušenihgarmoníčnihkolivanʹfízičnonelíníinoíobolonkizrozpodílenimitransversalʹnoízotropnimiaktuatorami AT žukâo utočnenatermomehaníčnamodelʹvimušenihgarmoníčnihkolivanʹfízičnonelíníinoíobolonkizrozpodílenimitransversalʹnoízotropnimiaktuatorami AT karnauhovatv utočnenatermomehaníčnamodelʹvimušenihgarmoníčnihkolivanʹfízičnonelíníinoíobolonkizrozpodílenimitransversalʹnoízotropnimiaktuatorami |
| first_indexed |
2025-12-01T23:19:21Z |
| last_indexed |
2025-12-01T23:19:21Z |
| _version_ |
1850349887816728576 |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2007
В.Г. Карнаухов, Я. О. Жук, Т.В. Карнаухова
Уточнена термомеханiчна модель вимушених
гармонiчних коливань фiзично нелiнiйної оболонки
з розподiленими трансверсально-iзотропними
актуаторами
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
Using refined Timoshenko’s hypotheses and similar hypotheses for electric field quantities, a
thermomechanical model of thin-walled shells with distributed transversely isotropic actuators
is presented with taking the dissipative heating and physical nonlinearities into account.
Тонкостiннi оболонки знаходять широке застосування в багатьох галузях сучасної науки
i технiки. Часто на них дiють стацiонарнi та нестацiонарнi механiчнi й тепловi наванта-
ження. Для демпфiрування викликаних ними коливань в останнi роки почали iнтенсивно
розвиватися активнi методи з використанням п’єзоактивних матерiалiв — п’єзоелектричних,
п’єзомагнiтних та матерiалiв з пам’яттю форми. Найчастiше застосовують п’єзоелектричнi
матерiали, якi мають ряд переваг порiвняно з iншими матерiалами. Останнi досягнення
в цих питаннях наведено в роботах [1–4]. Ефективнiсть роботи актуаторiв та активного
демпфiрування за їх допомогою залежить вiд багатьох факторiв: їх геометричних розмi-
рiв, розмiщення в структурi оболонки, електромеханiчних властивостей, зокрема залеж-
ностi комплексних характеристик вiд амплiтуд деформацiй або напружень. Внаслiдок iсто-
тної чутливостi властивостей багатьох пасивних (без п’єзоефекту) i активних матерiалiв до
змiни температури значний вплив на ефективнiсть роботи актуаторiв та на ефективнiсть
демпфiрування за їх допомогою мають тепловi ефекти. Джерелом пiдвищення температури
може бути як теплообмiн iз зовнiшнiм середовищем, так i дисипативний розiгрiв, виклика-
ний гiстерезисними втратами в матерiалах. При значних вiдношеннях товщини оболонки
до радiуса кривини та при великiй рiзницi в значеннях механiчних характеристик матерiа-
лiв шарiв виникає необхiднiсть в розробцi уточнених моделей шаруватих оболонок. Проте
уточненi моделi тонкостiнних елементiв з урахуванням фiзичної нелiнiйностi та температу-
ри дисипативного розiгрiву розвинутi недостатньо.
Дана робота присвячена розробцi уточненої термомеханiчної моделi типу Тимошенка
для в’язкопружних тонкостiнних тришарових композитних оболонок з розподiленими п’є-
зоелектричними актуаторами з урахуванням фiзичної нелiнiйностi та дисипативного розi-
грiву.
1. Нехай оболонка складена по товщинi з середнього iзотропного пасивного шару i двох
зовнiшнiх поляризованих по товщинi трансверсально-iзотропних п’єзоактивних шарiв, якi
виконують функцiї актуаторiв. При цьому мiж пасивним i п’єзоактивними шарами можуть
бути розмiщенi внутрiшнi електроди або вони можуть бути вiдсутнiми. Нехай товщина
пасивного шару дорiвнює h0, а верхнiй та нижнiй п’єзоактивнi шари мають вiдповiдно тов-
щини h1 та h2. Загальна товщина пластини h = h0 + h1 + h2. На оболонку дiє гармонiчне
за часом нормальне механiчне навантаження. Дисипацiя енергiї в матерiалах при моногар-
монiчному навантаженнi в оболонцi приводить до дисипативного розiгрiву. При досягненнi
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
температурою точки Кюрi п’єзоактивнi шари втрачають п’єзоефект i вони не виконують
свого функцiонального призначення. Це явище можна назвати тепловим руйнуванням п’є-
зоелемента.
Для моделювання механiчної поведiнки такої композитної оболонки використаємо гi-
потези Тимошенка, вiдповiдно до яких тангенцiальнi складовi вектора перемiщень змiню-
ються по товщинi оболонки за лiнiйним законом, а для деформацiй зсуву задається деякий
закон. Пасивний шар може бути як металiчним, так i дiелектричним. П’єзоактивнi шари
вважаються поляризованими по товщинi. Для них приймається додаткова гiпотеза, згiдно
з якою тангенцiальнi складовi вектора iндукцiї набагато меншi вiд нормальної складової.
В результатi з рiвняння електростатики матимемо, що нормальна складова iндукцiї постiй-
на по товщинi п’єзошару. При переходi через електрод вона має розрив першого роду. Для
рiвняння енергiї приймається припущення, що нормальна складова вектора теплового пото-
ку змiнюється по товщинi за степеневим законом. Використовуючи закон Фур’є, знаходимо
розподiл температури по товщинi кожного шару.
Вiдповiдно до концепцiї комплексних характеристик, визначальнi рiвняння для пасив-
ного матерiалу матимуть вигляд [5–8]
σkm = 2µεkm + λεllδkm,
де комплекснi параметри Ламе λ, µ залежать вiд iнтенсивностi деформацiй або напружень,
частоти та температури.
Рiвняння енергiї в моногармонiчному наближеннi має вигляд звичайного рiвняння теп-
лопровiдностi з джерелом тепла, яке породжується дисипативною функцiєю D = ω(σ′′ε′ −
−σ′ε′′)/2. Кiнематичнi спiввiдношення, рiвняння руху, механiчнi та тепловi граничнi умови
мають стандартний вигляд [9]. Використовуючи цi спiввiдношення та рiвняння i визначаль-
нi рiвняння (1), (2), матимемо складну нелiнiйну систему диференцiальних рiвнянь вiдносно
змiщень i температури, яка описує термомеханiчний стан шару iз фiзично нелiнiйного па-
сивного матерiалу.
Для в’язкопружних п’єзоактивних трансверсально-iзотропних матерiалiв рiвняння ста-
ну мають такий же вигляд, як i рiвняня стану пружних матерiалiв [10], в яких дiйснi
електромеханiчнi характеристики слiд замiнити на залежнi вiд частоти i температури комп-
лекснi характеристики [5, 6]. Кiнематичнi спiввiдношення, рiвняння руху, рiвняння енергiї,
рiвняння електростатики, граничнi механiчнi, тепловi та електричнi умови наведено в ро-
ботах [5, 6, 10]. З їх використанням одержимо складну нелiнiйну систему диференцiальних
рiвнянь вiдносно змiщень, температури та електричного потенцiалу, яка описує термоелект-
ромеханiчний стан п’єзоелектричних шарiв.
Зауважимо, що для багатьох п’єзоактивних матерiалiв точка Кюрi лежить набагато
нижче тiєї температури, для якої потрiбно враховувати залежнiсть властивостей пасивно-
го матерiалу вiд температури. Це зауваження стосується в першу чергу металiчних па-
сивних матерiалiв. Тодi можна не враховувати цю залежнiсть i вказана вище нелiнiйна
задача розпадається на двi окремi задачi — задачу механiки для в’язкопружного матерiа-
лу i задачу теплопровiдностi з вiдомим джерелом тепла, який визначається дисипативною
функцiєю.
Для лiнеаризацiї вказаних вище нелiнiйних задач можна використати рiзного типу iте-
рацiйнi методи — метод послiдовних наближень, метод квазiлiнеаризацiї або метод змiнних
параметрiв [5, 8]. Детально розглянемо останнiй метод. Вiдповiдно до цього методу лiне-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 51
аризацiя задачi на i-й iтерацiї досягається шляхом розрахунку коефiцiєнтiв визначальних
рiвнянь пасивного та п’єзоактивного шарiв i дисипативної функцiї за формулами типу
λ = λ(ε′i−1, ε
′′
i−1, θi−1),
µ = µ(ε′i−1, ε
′′
i−1, θi−1),
D = D(ε′i−1, ε
′′
i−1, θi−1).
Тут ε′i−1, ε
′′
i−1, θi−1 — дiйснi та уявнi частини деформацiй та температура, розрахованi
на (i − 1)-й iтерацiї. Для прискорення збiжностi iтерацiйного процесу використовується
метод Ейткена–Стеффенсена [8]. Таким чином, на кожнiй iтерацiї матимемо тривимiрну
лiнеаризовану задачу механiки та теплопровiдностi з вiдомим джерелом тепла.
Щоб звести цi тривимiрнi лiнеаризованi задачi до двовимiрних, для композитної обо-
лонки застосуємо гiпотези типу Тимошенка для механiчних польових величин та вказанi
вище адекватнi їм гiпотези для електричних польових величин i температури.
Необхiдно вiдзначити, що використана в данiй роботi концепцiя комплексних характе-
ристик широко застосовується в механiцi пасивних дисипативних матерiалiв при моногар-
монiчному деформуваннi. Для її обгрунтування використовуються як моделi лiнiйної та не-
лiнiйної в’язкопружностi, так i моделi пластичностi та в’язкопружнопластичностi [7, 8, 11].
Останнi досягнення з розробки цiєї концепцiї для пасивних та п’єзоактивних матерiалiв
наводяться в роботi [6].
За аналогiєю з викладеним в [9] i вiдповiдно до вказаного, змiщення змiнюються по
товщинi пасивного шару оболонки за лiнiйним законом
uz
1 = u1 + ϕ1z; vz
1 = v1 + ϕ21z; uz
3 = u3. (1)
Вирази для всiх кiнематичних характеристик через компоненти вектора перемiщень ui
(i = 1, 2, 3) i зсуви φi подано в роботi [12]. Згiдно з цим, спiввiдношення (1) доповнюються
спiввiдношеннями
σ13 = f1(z)
0
σ13; σ23 = f1(z)
0
σ23.
Вирази для
0
σ13 i
0
σ23 знаходяться з варiацiйного принципу Рейснера або методом Бубно-
ва–Гальоркiна з таких спiввiдношень:
∫
(h0)
(
εzi3 −
f1(z)
Gi3(z)
0
σi3
)
f1(z) dz = 0, i = 1, 2.
В результатi знаходимо:
0
σi3 =
I1εi3
I2i
,
де
I1 =
∫
(h0)
f1(z) dz, I2i =
∫
(h0)
f2
1 (z)
Gi3(z)
dz.
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Складовi рiвнянь стану оболонки (зусилля, моменти, перерiзуючi сили), якi вносяться
пасивним iзотропним шаром у загальнi рiвняння стану оболонки, визначаються традицiй-
ним спiввiдношенням [9]:
T̃1 = C̃11ε1 + C̃12ε2 + K̃11κ1 + K̃12κ2, T̃2 = C̃12ε1 + C̃22ε2 + K̃12κ1 + K̃22κ2,
M̃1 = K̃11ε1 + K̃12ε2 + D̃11κ1 + D̃12κ2, M̃2 = K̃12ε1 + K̃22ε2 + D̃12κ1 + D̃22κ2,
S̃ = C̃66ε12 + K̃66κ12, H̃ = K̃66ε12 + D̃66κ12,
Q̃1 = G̃13ε13, Q̃2 = G̃23ε23, G̃i3 =
I2
1
I2i
.
(2)
Для п’єзоактивного транcверсально-iзотропного шару пiсля нехтування у визначальних
рiвняннях нормальною складовою тензора напряжень σ33 та тангенцiальними складовими
вектора iндукцiї спрощенi визначальнi рiвняння набуваають вигляду:
k
σ11 =
k
B11(z)ε
z
11 +
k
B12(z)ε
z
22 −
k
γ31(z)
k
E3,
k
σ22 =
k
B12(z)ε
z
11 +
k
B22(z)ε
z
22 −
k
γ31(z)
k
E3,
k
σ12 =
k
B66(z)ε12,
k
σ13 =
k
B13(z)ε13,
k
σ23 =
k
B23(z)ε23,
k
D3 =
k
γ33(z)
k
E3 +
k
γ31(z)[(ε
z
11 + εz22)].
(3)
Тут прийнято позначення [5, 10]. Як видно з (3), в подальшому рiвняння стану для пе-
рерiзуючих сил матимуть такий самий вигляд, як i для пасивних шарiв з модифiковани-
ми жорсткiсними характеристиками i “коефiцiєнтами зсуву”. Тому їх наводити не будемо,
а звернемо увагу лише на зусилля i моменти.
2. Розглянемо випадок, коли внутрiшнi електроди присутнi. Використовуючи останнє
з рiвнянь (3), матимемо
D3
γ33
= −
∂ψ
∂z
+
γ31
γ33
[(ε1 + ε2) + (κ1 + κ2)z]. (4)
Для пасивного шару γ31 = 0, D3 = C0 = 0.
Для верхнього та нижнього п’єзоактивних шарiв D3 = C1(α, β) та D3 = C2(α, β) вiдпо-
вiдно. Нехай ψ(h0/2 + h1) = V1, ψ[−(h0/2 + h1)] = V2. Пiсля iнтегрування (4) по товщинi
верхнього та нижнього п’єзоактивних шарiв матимемо
C1(α, β) = −
V1
v10
+
v11
v10
(ε1 + ε2) +
w11
v10
(κ1 + κ2),
C2(α, β) =
V2
v20
+
v21
v20
(ε1 + ε2) +
w21
v20
(κ1 + κ2).
(5)
Враховуючи (5), знайдемо з останнього з рiвнянь (3) E3, одержаний результат пiдста-
вимо в першi три рiвняння (3) i використаємо формули для iнтегральних характеристик
оболонки:
T(1,2,12) =
∫
(h)
(σ1, σ2, σ12) dγ, M(1,2,12) =
∫
(h)
(σ1, σ2, σ12)γ dγ. (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 53
В результатi одержимо складовi визначальних рiвнянь для зусиль i моментiв, якi поро-
джуються п’єзоактивними шарами:
T (1,2) = C11,21ε1 +C12,22ε2 +K11,21κ1 +K12,22κ2 −
0
T (1,2),
M (1,2) = K11,21ε1 +K12,22ε2 +D′
11,21κ1 +D12,22κ2 −
0
M (1,2),
T 12 = S = C66ε12 +K66κ12, M12 = H = K66ε12 +D66κ12.
(7)
Тут введено позначення роботи [5] i, крiм того,
0
T (1,2) = −
v(11,12)
v10
V1 +
v(21,22)
v20
V2,
0
M (1,2) = −
w(11,12)
v10
w(21,22)
v20
V2. (8)
До наведених вище рiвнянь потрiбно додати рiвняння руху, наведенi в [9].
3. Розглянемо другий випадок, коли середнiй пасивний шар дiелектричний, а внутрiшнi
електроди вiдсутнi. При цьому iндукцiя постiйна по товщинi оболонки, розмiщеної мiж
електродами:
D3 = C(α, β). (9)
Використовуючи (9), за аналогiєю з вищевикладеним, матимемо:
C(α, β) = −
V0
v10
+
v11
v10
(ε1 + ε2) +
w11
v10
(κ1 + κ2). (10)
Тут V0 — прикладена до зовнiшнiх електродiв рiзниця потенцiалiв, а величини vij , wij розра-
ховуються за формулами, наведеними в [5]. За аналогiєю з [5], одержимо спрощенi рiвняння
для напружень. Пiсля їх iнтегрування по товщинi одержимо рiвняння стану вигляду (7),
коефiцiєнти яких розраховуються за формулами, наведеними в [5].
4. Двовимiрнi рiвняння енергiї представлено в [5]. Вважаючи, що температура постiйна
по товщинi оболонки, одержимо стацiонарне рiвняння енергiї вигляду:
λ
AB
[
∂
∂α
(
B
∂
∂α
)
+
∂
∂β
(
B
∂
∂β
)]
θ −
2δθ −D
h
= 0, (11)
де θ = T−T 0, δ = (α3+α4)/2, T
0 = (α3θ3+α4θ4)/(α3+α4); α3, α4 — коефiцiєнти теплообмiну
на поверхнях z = ±h/2 iз зовнiшнiм середовищем з температурами θ3, θ4; λ — коефiцiєнт
теплопровiдностi матерiалу [12]. Якщо знехтувати розiгрiвом в активних шарах, то в (11)
дисипативна функцiя D розраховується за формулою
D =
ω
2
[(T ′′
1 ε
′
1 − T ′
1ε
′′
1) + (T ′′
2 ε
′
2 − T ′
2ε
′′
2) + 2(S′′ε′′12 − S′ε′′12) + (M ′′
1 χ
′
1 −M ′
1χ
′′
1) +
+ (M ′′
2 χ
′
2−M ′
2χ
′′
2) + 2(H ′′
1χ
′
12−H ′
1χ
′′
12) + (Q′′
1ε
′
13−Q′
1ε
′′
13) + (Q′′
2ε
′
23−Q′
2ε
′′
23)]. (12)
При врахуваннi розiгрiву в активних шарах в (12) потрiбно додати члени, наведенi в [5].
Згадана вище модель є теоретичною основою для дослiдження впливу фiзичної нелi-
нiйностi та температури дисипативного розiгрiву на ефективнiсть роботи п’єзоелектричних
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
актуаторiв та на ефективнiсть активного демпфiрування коливань композитних оболонок
за їх допомогою.
Для розрахунку рiзницi потенцiалiв, яку необхiдно пiдвести до актуатора для компенса-
цiї механiчного навантаження при резонансних коливаннях, потрiбно побудувати за описа-
ною вище iтерацiйною процедурою амплiтудно-частотну та фазочастотну характеристики
при дiї на оболонку тiльки механiчного гармонiчного навантаження. Потiм побудувати ана-
логiчнi характеристики для рiзних значень електричного навантаження, пiдiбравши таке
значення рiзницi потенцiалiв, яке найближче до побудованої ранiше амплiтудно-частотної
характеристики при силовому навантаженнi. Приклавши до оболонки знайдену таким чи-
ном рiзницю потенцiалiв з протилежною фазою, скомпенсуємо дiю механiчного наванта-
ження. Для розв’язання вказаних крайових задач розроблено чисельнi методи на основi
методу дискретної ортогоналiзацiї та методу скiнченних елементiв. Проте зауважимо, що
рiзниця потенцiалiв, яку необхiдно пiдвести до актуатора для компенсацiї механiчного на-
вантаження, є iнтегральною характеристикою. Тому для її розрахунку можна використати
класичнi варiацiйнi методи. Цi методи особливо ефективнi при активному демпфiруваннi
вимушених резонансних коливань пластин та оболонок.
1. Rao S. S., Sunar M. Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control оf structure: A survey //
Appl. mech. reviews. – 1994. – 47, No 44. – P. 113–123.
2. Tani J., Takagi T., Qiu J. Intelligent material systems: Applications of functional materials // Ibid. –
1998. – 51, No 8. – P. 505–521.
3. Tzou H. S., Bergman L.A. Dynamics and control of distributed systems. – Cambridge: Cambr. Univ. Press,
1998. – 400 p.
4. Tzou H. S. Piezoelectric shells (distributed sensing and control of сontinua). – Dordrecht: Kluver Academic
Pub., 1993. – 400 p.
5. Карнаухов В. Г., Киричок И.Ф. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электротер-
мовязкоупругость. Т. 4. – Киев: Наук. думка, 1988. – 320 с.
6. Карнаухов В. Г., Михайленко В. В. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении. – Житомир: ЖГТУ, 2005. – 428 с.
7. Термомеханика эластомерных элементов конструкций при циклическом нагружении / Потураев В.Н.,
Дырда В. И., Карнаухов В. Г. и др. / Под ред. В.Н. Потураева. – Киев: Наук. думка, 1987. – 288 с.
8. Gabbert U., Tzou H. S. Smart structures and structronic systems. – Dordrecht / Boston / London: Kluiwer
Academic Pub., 2001. – 384 p.
9. Матвеев В. В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. – Киев: Наук. думка, 1985. – 264 с.
10. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций.
Электроупругость. Т. 5. – Киев: Наук. думка, 1989. – 290 с.
11. Сенченков И.К., Жук Я.А., Карнаухов В. Г. Моделирование термомеханического поведения физи-
чески нелинейных материалов при моногармоническом нагружении // Прикл. механика. – 2004. –
40, № 9. – С. 3–34.
12. Луговой П.З., Мейш В.Ф., Штанцель Э.А. Нестационарная динамика неоднородных оболочечных
конструкций. – Киев: ИПЦ “Киевский университет”, 2005. – 536 с.
Надiйшло до редакцiї 19.09.2006Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 55
|