Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях
The appearance of a section with slowly increasing current in the transient process of an RL circuit is substantiated. The expansion of jump-like input voltages in a series is proposed. The problem concerning the transient processes in electrocircuits is solved on the basis of the new conception.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1825 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях /А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 81–87. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1825 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18252025-02-09T17:44:23Z Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях Божко, А.Е. Енергетика The appearance of a section with slowly increasing current in the transient process of an RL circuit is substantiated. The expansion of jump-like input voltages in a series is proposed. The problem concerning the transient processes in electrocircuits is solved on the basis of the new conception. 2007 Article Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях /А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 81–87. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1825 621.3(0758) ru application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Енергетика Енергетика |
| spellingShingle |
Енергетика Енергетика Божко, А.Е. Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| description |
The appearance of a section with slowly increasing current in the transient process of an RL circuit is substantiated. The expansion of jump-like input voltages in a series is proposed. The problem concerning the transient processes in electrocircuits is solved on the basis of the new conception. |
| format |
Article |
| author |
Божко, А.Е. |
| author_facet |
Божко, А.Е. |
| author_sort |
Божко, А.Е. |
| title |
Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_short |
Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_full |
Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_fullStr |
Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_full_unstemmed |
Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| title_sort |
аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Енергетика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1825 |
| citation_txt |
Аргументированная детализация новой концепции о переходных процессах в электрических цепях /А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 6. — С. 81–87. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT božkoae argumentirovannaâdetalizaciânovojkoncepciioperehodnyhprocessahvélektričeskihcepâh |
| first_indexed |
2025-11-28T22:28:52Z |
| last_indexed |
2025-11-28T22:28:52Z |
| _version_ |
1850074924798967808 |
| fulltext |
УДК 621.3(0758)
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
Аргументированная детализация новой концепции
о переходных процессах в электрических цепях
The appearance of a section with slowly increasing current in the transient process of an RL
circuit is substantiated. The expansion of jump-like input voltages in a series is proposed. The
problem concerning the transient processes in electrocircuits is solved on the basis of the new
conception.
При исследовании переходных процессов в электрических цепях наблюдается некоторое не-
соответствие между экспериментальными и теоретическими результатами. Реальный (экс-
периментальный) переходный процесс, например, электрического тока i в RL электроце-
пи, где R, L — резистор и индуктивность соответственно, осциллографируется на экране
осциллографа в виде кривой 1, изображенной на рис. 1, а, а выведенный теоретически
(классическим или операционным методом) переходный процесс тока в той же электроце-
пи изображается кривой 2 (рис. 1, б ). В этих случаях входное постоянное напряжение Uвх
включалось в цепь скачком через ключ (механический или электронный (полупроводнико-
вый)), т. е. после включения
Uвх = E · 1(t),
где
1(t) =
{
1 при t > 0
0 при t < 0
}
—
единичная функция; E — постоянная величина; t — время.
Как видно из рис. 1, разница в кривых 1 и 2 заключается в участке ∆t, являющемся
зоной медленного нарастания тока i в начале переходного процесса. Такой участок ∆t на-
блюдается в ряде работ, например, в [1]. Возникает вопрос — почему? Ответ может быть
следующий. На интервале ∆t входное напряжение при включении в цепь встречает реально
сопротивление большее, чем R, учитываемое в нахождении тока i по существующей теории.
Причем это большое сопротивление, как видно из рис. 1, а, экспоненциально исчезает и пос-
ле интервала ∆t остается в цепи сопротивление R. Из этого факта напрашивается вывод:
либо сопротивление в цепи меняется при включении Uвх = E ·1(t) по закону R+ z0e
−αt, где
α — коэффициент затухания, либо входное напряжение Uвх = E · 1(t) имеет в себе состав-
ляющую Ue−αt cos ωt, которая обусловливает появления в цепи z0e
−αt в виде реактивного
сопротивления e−αtωL, где ω — круговая частота. Появляется еще один вопрос — каким
образом возникают эти затухающие компоненты? Ответ можно представить, опираясь на
следующие теоретические и экспериментальные результаты исследований.
Представим, что на вход RL цепи одновременно подается полигармоническое напряже-
ние Uвх =
n
∑
k=1
Uak sin ωkt. В этом случае дифференциальное уравнение RL цепи имеет вид
n
∑
k=1
Uak sinωkt = Ri + L
di
dt
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 81
Рис. 1 Рис. 2
Считаем, что RL цепь является линейной. Тогда i =
n
∑
k=1
ik, где ik — ток k-й гармоники,
определяемый из уравнения
Uak sin ωkt = Rik + L
dik
dt
. (1)
В результате решения (1) классическим методом получим [2]
ik =
Uak
√
R2 + (ωkL)2
[sin(ωkt − ϕk) + (sin ϕk)e
−δt], (2)
где ϕk = arctg
ωkL
R
; δ =
R
L
— коэффициент затухания и общий ток
i =
n
∑
k=1
Uak
√
R2 + (ωkL)2
[sin(ωkt − ϕk) + e−δt sin ϕk]. (3)
Как видно из (2), токи ik, k = 1, n, обратно пропорциональны zk =
√
R2 + (ωkL)2,
а это значит, с учетом (3), ток i, в принципе, обратно пропорционален общему полному
сопротивлению цепи
z =
n
∑
k=1
Uak sin ωkt
n
∑
k=1
Uak[sin(ωkt − ϕk) + e−δt · sin ϕk]
√
R2 + (ωkL)2
,
или при Ua1 = Ua2 = · · · = Uan = Ua
z =
n
∑
k=1
sin ωkt
n
∑
k=1
sin(ωkt − ϕk) + e−δt · sinϕk
√
R2 + (ωkL)2
. (4)
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Из (4) следует, что при n = 1
z1 =
sin ω1t
sin(ω1t − ϕ1)
√
R2 + (ω1L)2. (5)
Сравнивая z из (4) и z1 из (5), видим, что z ≫ z1, т. е. при полигармоническом вхо-
дном напряжении в RL цепи полное сопротивление увеличивается по сравнению с сопро-
тивлением RL цепи при включении моногармонического напряжения. Этот вывод приводит
к мысли, что в реальном переходном процессе в электроцепях с реактивными элементами,
в том числе и в RL цепи, временной интервал ∆t медленно нарастающего тока i как-то свя-
зан с появлением во входном напряжении Uвх = E ·1(t) экспоненциально затухающего ряда
гармоник, например, в виде e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. Многократный экспериментальный анализ
на анализаторе спектра фирмы “Брюль и Къер” скачкообразных постоянных напряжений
вида E · 1(t) и переменных вида Ua cos(ωt±ϕ) при ϕ 6= 0 показал на осциллограммах нали-
чие экспоненциально затухающих спектров гармоник, соответствующих переднему фронту
входного напряжения (рис. 2, а) и заднему фронту (рис. 2, б ).
Для переменного входного напряжения при ϕ 6= 0 возникает ряд дополнительных гармо-
ник, соответствующих переднему фронту. При ϕ = 0 дополнительных гармоник на анали-
заторе не было видно. Удостоверившись в результате эксперимента, автор решил теорети-
чески обосновать факт разложения E ·1(t) на определенные составляющие, в том числе и на
ряд экспоненциально затухающих гармоник. Известно [1–4], что единичная функция 1(t), ее
производная d1(t)/dt = δ(t), функции прямоугольной и другой формы могут быть разложе-
ны в соответствующий гармонический ряд
n
∑
k=1
Uak sin ωkt, где Uak ≈ Ua1/(πωk), т. е. литера-
турные источники [1, 2, 4, 5] подтверждают возможность представления E ·1(t) в виде ряда
гармоник. Эвритически, исходя из экспериментально-теоретического анализа и убеждения
в возможности разложения E ·1(t) на составляющие, и с учетом увеличения полного сопро-
тивления RL цепи при входном полигармоническом напряжении, автор представил E · 1(t)
и Ua sin(ωt + ϕ) при |ϕ| > 0 в следующих видах:
Uвх = E · 1(t) = E(1 − e−αt) + e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, (6)
Uвх = Ua sin(ωt + ϕ) = Ua(1 − e−αt) sin(ωt + ϕ) + e−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, (7)
где для (6)
n
∑
k=1
Uak = E, для (7)
n
∑
k=1
Uak = Ua, Uak = Ua1/(πωk), α — коэффициент затухания.
Проверим правильность такого разложения по двум точкам t = 0 и t = ∞. Для (6)
при t = 0 Uвх = E · 1(t), при t = ∞ Uвх = E · 1(t). Для (7) при t = 0 Uвх = Ua sinϕ, при
t = ∞ Uвх = Ua sin(ωt + ϕ). Данная проверка подтверждает правомочность разложений (6)
и (7). Далее обоснуем эти разложения математически. Помощью в объяснении являются
рис. 3, а, б, в, г, д.
На рис. 3, а функция f1 представляет собой прямоугольный импульс с амплитудой E
и длительностью τ , а f2 = E · 1(t − τ).
На рис. 3, б f11 = Ee−αt, f12 = E(1 − α−αt), t = 0 ÷ τ при t > τ f12 = 0, f11 ≈ 0,
причем f11 + f12 = f1 = E.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 83
Рис. 3
На рис. 3, в показано сложение функций f12 и f2. В результате имеем f12 + f2 = E(1 −
− e−αt).
На рис. 3, г осталась функция f11 = Ee−αt, которую представим в виде f11 = Ee−αt =
= e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, где
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = f1, Uak = Ua1/(πωk), т. е. функция f11 заменена
эквиваелнтным экспоненциально затухающим рядом гармоник. Его спектр представлен на
рис. 3, д. В каждый момент времени, вплоть до затухания f1, этот ряд гармоник присутству-
ет во входном напряжении Uвх электроцепи. Такое обоснование отражает справедливость
разложения (6). В разложении (7) берется в качестве гармонического ряда функция
Ua1(t)e
−αt sin ϕ = e−αt sinϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, Ua =
n
∑
k=1
Uak; Uak =
Ua1
πωk
.
Перейдем к определению в RL цепи функций тока i при включении цепи на напряже-
ние (6) и (7). В обоих случаях дифференциальное уравнение этой цепи будет иметь вид
Uвх = Ri + Ldi/dt. Будем представлять решение последовательно. Вначале для Uвх = (6),
а затем Uвх = (7). При включении (6) в RL цепь процесс описывается системой уравнений
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
E = Ri1 + L
di1
dt
,
−Ee−αt = Ri2 + L
di2
dt
,
e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = Ri3 + L
di3
dt
.
(8)
Так как RL — цепь линейная, то общий ток i в этой цепи при включении ее на напря-
жение (6) равен сумме всех токов, т. е. i = i1 + i2 + i3. Ток i3 =
n
∑
k=1
ik, где ik — ток в RL цепи
при действии напряжения e−αtUak cos ωkt, k = 1, n. В результате решения (8) получили [5]
i1 =
E
R
(1 − e−δt), (9)
i2 =
E
R − Lα
(e−δt − e−αt), (10)
ik =
−Uak
(R − αL)2 + (ωkL)2
×
×
{
(R − αL)e−δt + e−αt
[
(R − αL) sin
(
ωkt −
π
2
)
− ωkL cos
(
ωkt −
π
2
)]}
. (11)
Общий ток i в RL цепи с учетом (9), (10), (11) запишется в виде
i(t) =
E
R
(1 − e−δt) +
E
R − αL
(e−δt − e−αt) −
n
∑
k=1
Uak
(R − αL)2 + (ωkL)2
×
×
{
(R − αL)e−δt + e−αt
[
(R − αL) sin
(
ωkt −
π
2
)
− ωkL cos
(
ωkt −
π
2
)]}
;
δ =
R
L
; α ≫ δ.
(12)
Проверим справедливость (12). При t = 0 i(0) = 0, при t = ∞ i(∞) = i = E/R. Таким
образом, считаем, что (12) справедлива.
Количественный расчет по формуле (12) удовлетворяет по форме функцию, изобра-
женную на рис. 1, а.
Далее перейдем к определению тока i в RL цепи при подключении ее к напряжению,
описываемому выражением (7). При подключении RL цепи на напряжение (7) дифферен-
циальное уравнение цепи разбивается на систему уравнений
Ua sin(ωt + ϕ) = Ri4 + L
di4
dt
,
−Uae
−αt sin(ωt + ϕ) = Ri5 + L
di5
dt
,
e−αt sinϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = Ri6 + L
di6
dt
.
(13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 85
Из (13) видно, что общий ток i в RL цепи в этом случае i = i4 + i5 + i6, а ток i6, в свою
очередь, определяется как i6 =
n
∑
k=1
i6k, где i6k находится в результате решения уравнения
e−αt sin ϕ
n
∑
k=1
Uak cos ωkt = Ri6 + L
di6
dt
, k = 1, n. (14)
В результате решения (13), (14) получим [5]
i4 =
Ua
√
R2 + (ωL)2
[sin(ωt + Ψ) − e−δt sinΨ], (15)
где Ψ = ϕ − ϕL, ϕL = arctg
ωL
R
;
i5 =
−Ua
(R − αL)2 + (ωL)2
×
× {[(αL−R) sin ϕ+ωL cos ϕ]e−δt + e−αt[(R−αL) sin(ωt+ϕ)−ωL cos(ωt+ϕ)]}, (16)
i6k =
−Uak sin ϕ
(R − αL)2 + (ωkL)2
×
×
{
(R − αL)e−δt + e−αt
[
(R − αL) sin
(
ωkt −
π
2
)
− ωkL cos
(
ωkt −
π
2
)]}
. (17)
Общий ток i = i4 + i5 + i6 с учетом (15), (16), (17) определяется выражением
i =
Ua
√
R2 + (ωL)2
[sin(ωt + Ψ) − e−δt sin Ψ] −
−
−Ua
(R − αL)2 + (ωL)2
{[(αL − R) sin ϕ + ωL cos ϕ]e−δt +
+ e−αt[(R−αL) sin(ωt + ϕ)−ωL cos(ωt + ϕ)]}−sin ϕ
n
∑
k=1
Uak
(R−αL)2+(ωkL)2
×
×
{
(R − αL)e−δt + e−αt
[
(R − αL) sin
(
ωkt −
π
2
)
− ωkL cos
(
ωkt −
π
2
)]}
. (18)
Проверим справедливость (18).
При t = 0 i(0) = 0,
при t = ∞ i(∞) =
Ua
√
R2 + (ωL)2
sin(ωt + ϕ).
Данная проверка подтверждает справедливость формулы (18).
График тока i в цепи RL при подключении ее на напряжение Ua sin(ωt + ϕ) в соответ-
ствии с формулой (18) изображен на рис. 4, где четко виден интервал медленного нараста-
ния тока i. Необходимо подчеркнуть, что коэффициент затухания α значительно больше
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №6
Рис. 4
коэффициента затухания δ. Время ∆t медленно нарастающего участка равно примерно
3/α. При α = ∞ формула (6) = E · 1(t), а (7) = Ua sin[ωt + ϕ]. Соответственно переход-
ный процесс тока i в RL цепи запишется следующим выражениями. Для цепи с входным
E ·1(t) i = (E/R)(1− e−δt), а для цепи с Uвх = Ua sin[ωt+ϕ] i = (Ua/
√
R2 + (ωL)2)[sin(ωt+
+ Ψ) − e−δt sin Ψ], т. е. в этом случае переходный процесс i(t) в RL цепи математически
выражается соотношениями, выведенными на основании существующей теории, но здесь
∆t = (3 ÷ 4)/α = 0. Заметим, что для RC цепей были определены напряжения на емкости
при подключении цепи на напряжение (6) и (7). Результаты сходные с результатами для
RL цепи, но в них вместо тока i фигурирует напряжение U на емкости C.
Таким образом, проведенные теоретико-экспериментальные исследования переходных
процессов электроцепей с реактивными элементами (L,C) с учетом реальных условий яви-
лись основанием для формулирования новой концепции о переходных процессах в электро-
цепях на основе представления скачкообразных входных напряжений постоянного и пере-
менного токов в виде составляющих, представленных в выражениях (6) и (7). Поводом
к обоснованию новой концепции послужила выявленная автором автоматическая реструк-
туризация электрических цепей при полигармонических входных сигналах [6]. Данная ра-
бота является существенным развитием работ [7–9].
1. Андре Анго. Математика для электрорадиоинженеров. – Москва: Наука, 1965. – 780 с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с.
3. Белецкий А.Ф. Основы теории линейных электрических цепей. – Москва: Связь, 1967. – 608 с.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1972. – 736 с.
5. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1959. – 404 с.
6. Божко А. Е. Об автоматической реструктуризации электроцепей с реактивными элементами при
полигармонических входных сигналах // Доп. НАН України. – 2002. – № 11. – С. 101–103.
7. Божко А. Е. К концепции о переходных процессах в электрических цепях // Там же. – 2003. – № 12. –
С. 72–75.
8. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Там же. – 2004. –
№ 9. – С. 83–87.
9. Божко А. Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях // Там же. – 2005. –
№ 4. – С. 81–86.
Поступило в редакцию 07.11.2005Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №6 87
|