Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення
У статті встановлено теореми характеризації екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення. In the article there established the theorems of characterizatio...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18596 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення / В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 23-36. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-18596 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гнатюк, В.О. 2011-04-05T18:19:17Z 2011-04-05T18:19:17Z 2009 Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення / В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 23-36. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. XXXX-0059 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18596 517.5 У статті встановлено теореми характеризації екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення. In the article there established the theorems of characterization of the extremal element for the problem of the best uniform approximation continuous compact-valued maps by single-valued maps, which there is selectors closing convex-valued map. uk Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення |
| spellingShingle |
Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення Гнатюк, В.О. |
| title_short |
Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення |
| title_full |
Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення |
| title_fullStr |
Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення |
| title_full_unstemmed |
Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення |
| title_sort |
найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення |
| author |
Гнатюк, В.О. |
| author_facet |
Гнатюк, В.О. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| description |
У статті встановлено теореми характеризації екстремального елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення.
In the article there established the theorems of characterization of the extremal element for the problem of the best uniform approximation continuous compact-valued maps by single-valued maps, which there is selectors closing convex-valued map.
|
| issn |
XXXX-0059 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/18596 |
| citation_txt |
Найкраща рівномірна апроксимація компактнозначного відображення елементами множини однозначних відображень, які є селекторами опуклозначного відображення / В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2009. — Вип. 2. — С. 23-36. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gnatûkvo naikraŝarívnomírnaaproksimacíâkompaktnoznačnogovídobražennâelementamimnožiniodnoznačnihvídobraženʹâkíêselektoramiopukloznačnogovídobražennâ |
| first_indexed |
2025-11-27T07:46:12Z |
| last_indexed |
2025-11-27T07:46:12Z |
| _version_ |
1850804059009712128 |
| fulltext |
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
23
УДК 517.5
В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук
Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка,
м. Кам’янець-Подільський
НАЙКРАЩА РІВНОМІРНА АПРОКСИМАЦІЯ
КОМПАКТНОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ ЕЛЕМЕНТАМИ
МНОЖИНИ ОДНОЗНАЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ,
ЯКІ Є СЕЛЕКТОРАМИ ОПУКЛОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ
У статті встановлено теореми характеризації екстремального
елемента для задачі найкращої рівномірної апроксимації компак-
тнозначного відображення елементами множини однозначних ві-
дображень, які є селекторами опуклозначного відображення.
Ключові слова: компактнозначне відображення, найкра-
ща рівномірна апроксимація, додаткові обмеження
Вступ. У статті для задачі найкращої рівномірної апроксимації
компактнозначного відображення елементами множини однозначних
відображень, які є селекторами опуклозначного відображення, вста-
новлено необхідні, достатні умови та критерії екстремального елеме-
нта. Отримані результати є узагальненням на випадок вищеназваної
задачі відповідних результатів дослідження задачі найкращої рівно-
мірної апроксимації неперервної на компакті функції елементами
скінченновимірного підпростору, які задовольняють додатковому
обмеженню (див., наприклад, [1—6]).
Постановка задачі. Нехай S — компакт, X — лінійний над по-
лем дійсних чисел нормований простір, ( ),C S X — лінійний над по-
лем дійсних чисел нормований простір однозначних відображень g
компакту S в X, неперервних на S, з нормою ( )max
s S
g g s
∈
= , ( )K X
— сукупність компактів простору X, ( )O X — сукупність опуклих
замкнутих множин простору X, ( )( ),C S K X — множина багатознач-
них відображень a компакту S в ( )K X таких, що для кожного s S∈
( ) ( )sa s K K X= ∈ і вони неперервні на S відносно метрики Хаусдор-
фа H на ( )K X , ( )( ),C S O X — множина багатозначних відобра-
жень b компакту S в ( )O X таких, що для кожного s S∈
( ) ( )sb s O O X= ∈ і вони неперервні на S відносно метрики Хаусдор-
фа на ( )O X , ( ),V C S X⊂ , ( )( ),b C S O X∈ , ( ){ : , ,D g g C S X= ∈
( ) ( ) },g s b s s S∈ ∈ — множина селекторів відображення b.
© В. О. Гнатюк, 2009
Математичне та комп’ютерне моделювання
24
Будемо припускати, що V D ≠ ∅∩ .
Задачею найкращої рівномірної апроксимації відображення
( )( ),a C S K X∈ елементами множини ( ),V C S X⊂ , які є селектора-
ми відображення ( )( ),b C S O X∈ , будемо називати задачу відшукан-
ня величини
( )
( )
( )* inf max maxa g V D s S y a s
V D g s yα
∈ ∈ ∈
= −
∩
∩ . (1)
Якщо існує елемент *g V D∈ ∩ такий, що ( )*
a V Dα =∩
( )
( )*max max
s S y a s
g s y
∈ ∈
= − , то його будемо називати екстремальним еле-
ментом для величини (1).
Надалі будемо припускати, що обмеження g V D∈ ∩ в задачі ві-
дшукання величини (1) є істотним, тобто ( )* *
a a V Dα α< ∩ , де
( ) ( )
( )*
,
inf max maxa g C S X s S y a s
g s yα
∈ ∈ ∈
= − .
Будемо позначати далі через *X простір, спряжений з X, через
*B — замкнуту одиничну кулю простору *X : {* *: ,B f f X= ∈
}1f ≤ , а через ( )*E B — множину крайніх точок *B . Згідно з тео-
ремою Крейна-Мільмана (див., наприклад, [7, с. 497]) ( )*E B ≠ ∅ .
Крім того, для будь-якого елемента z X∈ множина
( ){ }* *: ,zB f f B f z z= ∈ = є непорожньою опуклою слабко * ком-
пактною підмножиною *B та існує функціонал ( )*
zf E B∈ такий, що
( )zf z z= (див., наприклад, твердження 3.1 [8, с. 1608]).
Через int M будемо позначати внутрішність, а через M∂ — ме-
жу множини M топологічного простору.
Для ( )( ),a C S K X∈ та *g V D∈ ∩ покладемо:
( )
( )
* *max maxg
a
s S y a s
g s yα
∈ ∈
= − ,
( )
( )
( )
* *
: , , max maxg g
a as S y a s
C g g C S X g s y α
∈ ∈
= ∈ − <
,
( )
( )
* **: , maxg g
a ay a s
S s s S g s y α
∈
= ∈ − =
,
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
25
( ) ( )
( )
( )
* ** *: , max , ,g g
s ay a s
a y y a s g s y g s y s S
∈
= ∈ − = − ∈
( ) ( )( ) ( ){ } * ** * * * *, , : , , ,g g
a a sB g s y f f B f g s y g s y s S y a= ∈ − = − ∈ ∈ ,
( )( ) ( ) ( )( ) ( ){ }* * * * *, , : , ,aE B g s y f f E B f g s y g s y= ∈ − = −
* *
,g g
a ss S y a∈ ∈ ,
( ) ( ) ( ){ }* *: ,F g s s S g s b s= ∈ ∈ ∂ .
Актуальність теми. Результати загального характеру, отримані
при дослідженні задачі відшукання величини (1), становлять самос-
тійний інтерес, а також слугуватимуть відправним пунктом для
отримання відповідних результатів для конкретних задач, що вкла-
даються у схему її постановки, та для побудови чисельних методів
відшукання величини (1) і її екстремального елемента.
Мета роботи. Отримати подання конуса внутрішніх напрямів
множини селекторів неперервного опуклозначного відображання і за-
стосувати його для встановлення необхідних, достатніх умов та крите-
ріїв екстремального елемента для задачі відшукання величини (1).
Допоміжні твердження.
Лема 1. Множини D , ( ) ( ) ( ){ }: , ,sD g g C S X g s b s= ∈ ∈ ,
,s S∈ є опуклими множинами простору ( ), .C S X
Лема 2. Для будь-якого Ss ∈
( ) ( ) ( ){ }int : , , intsD g g C S X g s b s= ∈ ∈ .
Лема 3. Нехай 0s S∈ , ( )0 0intx b s∈ . Тоді існують окіл ( )0V s
точки 0s ( )( )0V s S⊂ та окіл ( )0xΟ точки 0x ( )( )0x XΟ ⊂ такі, що
( ) ( )0x b sΟ ⊂ для всіх ( )0s V s∈ .
Доведення. Оскільки ( )0 0intx b s∈ , то існує окіл ( )0 ,x εΟ точ-
ки 0x радіуса ε такий, що
( ) ( )0 0,x b sεΟ ⊂ . (2)
Внаслідок неперервності за Хаусдорфом відображення b існує
окіл ( )0V s точки 0s ( )( )0V s S⊂ такий, що
( ) ( )( )0, ,
3
H b s b s ε
< ( )0s V s∈ . (3)
Позначимо через ( )0 0 ,
3
x x ε Ο = Ο
окіл точки 0x радіуса
3
ε
0,
3
x Xε Ο ⊂
. Переконаємось, що ( ) ( )0x b sΟ ⊂ для всіх ( )0s V s∈ .
Математичне та комп’ютерне моделювання
26
Припустимо супротивне. Тоді існують ( )0s V s′∈ , ( )0x x′∈Ο
такі, що ( )x b s′ ′∉ . Оскільки ( )b s′ є опуклою замкнутою множиною
простору X та ( )x b s′ ′∉ , то існує функціонал *f X′∈ , 1f ′ = , який
строго розділяє x ′ та ( )b s′ (див., наприклад, [9, с. 210]), тобто
( )
( )
( )sup
x b s
f x f x
′∈
′ ′ ′> . (4)
Оскільки ( ){ }sup : , 1 1f f y y X y′ ′= ∈ ≤ = , то існує послідо-
вність { } 1 , , 1, 1, 2, ...,k k kky y X y k∞
= ∈ ≤ = така, що
( )lim 1.kk
f y f
→∞
′ ′= = (5)
Для всіх 1,2,...k = маємо, що
0 0
2
3 3 3k kx y x x x yε ε ε′ ′+ − ≤ − + < ,
оскільки ( )0x x′∈Ο , а 1, 1,2,...ky k≤ = . Тому ( )0 ,
3 kx y xε ε′ + ∈ Ο .
Оскільки має місце включення (2), то ( )03 kx y b sε′ + ∈ ,
1,2,...k = .
З урахуванням цього, теореми 2.3.1 [10, с. 28], співвідношення
(4) одержимо, що для всіх 1,2,...k =
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )0
0, sup inf inf
3 kx b s x b sy b s
H b s b s y x x y xε
′ ′∈ ∈∈
′ ′≥ − ≥ + − =
( )
( )
* ,
1
max sup
3 k
f X x b s
f
f x y f xε
∈ ′∈
≤
′= + − ≥
( ) ( )
( )
( ) ( )sup
3 3k k
x b s
f x f y f x f yε ε
′∈
′ ′ ′ ′ ′≥ + − > .
Оскільки має місце рівність (5), то звідси одержимо нерівність
( ) ( )( )0,
3
H b s b s ε′ ≥ , яка суперечить (3), оскільки ( )0s V s′∈ . З одер-
жаної суперечності випливає, що для всіх ( )0s V s∈ ( ) ( )0x b sΟ ∈ .
Лему доведено.
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
27
Лема 4. Нехай ( ),g C S X∈ , 0s S∈ , ( ) ( )0 0intg s b s∈ . Тоді іс-
нує окіл ( )0V s точки 0s ( )( )0V s S⊂ такий, що ( ) ( )intg s b s∈ для
всіх ( )0s V s∈ .
Доведення. Внаслідок леми 3 існує окіл ( )1 0V s точки 0s та окіл
( )( )0 ,g s εΟ точки ( )0g s радіуса ε такі, що ( )( ) ( )0 ,g s b sεΟ ⊂ для
всіх ( )1 0s V s∈ , тобто
( ){ } ( ) ( )0 1 0: , , .x x X x g s b s s V sε∈ − < ⊂ ∈ (6)
Розглянемо функцію ( ) ( ) ( )0 , .s g s g s s SΨ = − ∈ Оскільки
( )0 0s εΨ = < і Ψ є неперервною на S , то існує окіл ( )2 0V s
( )( )2 0V s S⊂ точки 0s такий, що
( ) ( ) ( )0 2 0, .g s g s s V sε− < ∈ (7)
Нехай ( ) ( ) ( )0 1 0 2 0V s V s V s= ∩ . З (6), (7) випливає, що
( ) ( )intg s b s∈ для всіх ( )0s V s∈ .
Лему доведено.
Лема 5. Нехай ( )0 ,g C S X∈ . Для того щоб 0 intg D∈ , необхід-
но і достатньо, щоб ( ) ( )0 int ,g s b s s S∈ ∈ .
Лема 6. Якщо *, 0, ,f X f c R A X∈ ≠ ∈ ⊂ , 0 intx A∈ і
( )f x c≤ для всіх x A∈ , то ( )0f x c< .
Надалі через ( ) ( )( )*
0 0, ,M x M xΓ Γ будемо позначати конус внут-
рішніх (граничних) напрямків для множини M лінійного нормованого
простору з точки 0x цього простору (див., наприклад, [6, с. 12, 13]).
Лема 7. Якщо M є опуклою множиною простору X , int ,M ≠ ∅
0x M∈∂ , то
( ) ( ) ( ){ }0 0, : , 0, ,M x x x X f x f N M xΓ = ∈ < ∈ , (8)
де ( )0,N M x — множина опорних функціоналів множини M в точці x0.
Доведення. Нехай ( )0,x M x∈ Γ , ( )0,f N M x∈ . Тоді
( ) ( )0 ,f z f x z M≤ ∈ .
Згідно з теоремою 1.3.4 [6, с. 19] існує 0λ > таке, що
0 intx x Mλ+ ∈ .
Математичне та комп’ютерне моделювання
28
Відповідно до леми 6 тоді
( ) ( )0 0f x x f xλ+ < .
Звідки випливає, що ( ) 0f x < .Тому
( ) ( ) ( ){ }0 0, : , 0, ,M x x x X f x f N M xΓ ⊂ ∈ < ∈ . (9)
Нехай тепер
( ) ( ){ }0: , 0, ,x x x X f x f N M x∈ ∈ < ∈ . (10)
Переконаємось, що ( )0,x M x∈ Γ . Припустимо супротивне. Внаслі-
док теореми 1.3.4 [6, с. 19] тоді 0 intx x Mλ+ ∉ для всіх 0λ ≥ . Оскільки
{ }0 0: , 0xA u u x xλ λ= = + ≥ є опуклою множиною простору X , а M є
опуклою множиною цього простору, для якої int M ≠ ∅ , та
0
int xM A = ∅∩ , то відповідно до теореми віддільності (див., наприклад,
[9, с. 209]) існує функціонал
0
*
xf X∈ , 0
0xf ≠ , та число c такі, що
( )0xf x c≤ для всіх x M∈ , (11)
( )0xf u c≥ для всіх 0xu A∈ . (12)
Оскільки 00 xx M A∈∂ ∩ , то ( )0 0xf x c= . З урахуванням цього та
(11), (12) матимемо, що
( ) ( )0 0 0x xf x f x≤ , x M∈ , ( ) ( ) ( )0 0 00 0x x xf x f x f xλ+ ≥ , 0λ ≥ .
Тому ( )0 0,xf N M x∈ і ( )0
0xf x ≥ , що суперечить (10). Одержана
суперечність і доводить, що ( )0,x M x∈ Γ . Оскільки x вибрано з мно-
жини ( ) ( ){ }0: , 0, ,x x X f x f N M x∈ < ∈ довільним чином, то
( ) ( ){ } ( )0 0: , 0, , ,x x X f x f N M x M x∈ < ∈ ⊂ Γ ,
що разом з включенням (9) дозволяє зробити висновок щодо справе-
дливості рівності (8).
Лему доведено.
Лема 8. Нехай ( )* ,g C S X∈ , ( ) ( )*g s b s∈ , s S∈ , і ( )*F g =
( ) ( ){ }*: ,s s S g s b s= ∈ ∈ ∂ . Множина ( )*F g є замкнутою підмножи-
ною S .
Доведення. Нехай ( )*
0 \s S F g∈ . Тоді ( ) ( )*
0 0g s b s∉∂ . Звідси
випливає, що ( ) ( )*
0 0intg s b s∈ . Відповідно до леми 4 існує окіл ( )0V s
точки 0s компакту S такий, що ( ) ( )* intg s b s∈ для всіх ( )0s V s∈ .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
29
Тому ( ) ( )*
0 \V s S F g⊂ . Звідси випливає, що ( )*\S F g є відкритою
множиною компакту S . Тому ( )*F g є замкненою множиною S .
Лему доведено.
Основні результати.
Теорема 1. Нехай *g D∈ , ( ) ( ) ( ){ }* *: ,F g s s S g s b s= ∈ ∈ ∂ .
Має місце рівність
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ){ }* * *, : , , 0, , , .D g g g C S X f g s s F g f N b s g sΓ = ∈ < ∈ ∈
Доведення. Маємо, що ( ) ( ) ( ){ }: , , ,D g g C S X g s b s s S= ∈ ∈ ∈ .
Позначимо, як і вище, для s S∈ ( ){ : , ,sD g g C S X= ∈
( ) ( )}g s b s∈ .
Зрозуміло, що s
s S
D D
∈
= ∩ . Тому, внаслідок твердження 1.2.2
[6, с. 14],
( ) ( ) ( )
( )*
* * *, , ,s s
s S s F g
D g D g D g
∈ ∈
Γ ⊂ Γ ⊂ Γ∩ ∩ . (13 )
Нехай ( )*\s S F g∈ . Тоді ( ) ( )* intg s b s∈ .
Згідно з лемою 2 * int sg D∈ . Тому ( ) ( )*, ,sD g C S XΓ = (див.,
наприклад, [6, с. 14] ).
Тоді
( ) ( )
( )*
* *, ,s s
s S s F g
D g D g
∈ ∈
Γ = Γ∩ ∩ .
Звідси та із співвідношення (13) випливає, що
( ) ( ) ( )
( )*
* * *, , ,s s
s S s F g
D g D g D g
∈ ∈
Γ ⊂ Γ = Γ∩ ∩ . (14)
Нехай ( )*,s
s S
g D g
∈
∈ Γ∩ . Тоді для будь-якого s S∈ знайдеться
таке число 0sλ > , що * ints sg g Dλ+ ∈ (див., наприклад, [6, с. 19] ).
Згідно з лемою 2
( ) ( ) ( )* intsg s g s b sλ+ ∈ .
З урахуванням леми 4 звідси робимо висновок, що існує окіл
( )V s точки s компакту S такий, що ( ) ( ) ( )* intsg s g s b sλ′ ′ ′+ ∈ для
Математичне та комп’ютерне моделювання
30
всіх ( )s V s′∈ . Оскільки ( ) ( )*g s b s′ ′∈ , s S′ ∈ , ( )*g s′ +
( ) ( )intsg s b sλ ′ ′+ ∈ , ( )s V s′∈ , то
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *1 ints sg s g s g s g s g s b sα λ α αλ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + − = + ∈
для всіх ( ]0,1α ∈ (див., наприклад, [6, с.18] ).
Звідси випливає, що
( ) ( ) ( )* intg s g s b sλ′ ′ ′+ ∈ , ( ]0, sλ λ∈ , ( )s V s′∈ .
Оскільки S — компакт і ( )
s S
V s S
∈
=∩ , то існують точки kss ,...,1
із S такі, що ( )
1
k
i
i
V s S
=
=∪ . Покладемо
1
min
isi k
λ λ
≤ ≤
= .
Тоді для будь-якого s S∈ існує таке { }1,2,...,si k∈ , що
( )sis V s∈ . Тому ( ) ( ) ( )* intg s g s b sλ+ ∈ , оскільки співвідношення
( ) ( ) ( )* int
sig s g s b sλ+ ∈ має місце для всіх ( )sis V s∈ , (0,
siλ λ ∈ та
(0,
siλ λ ∈ .
Згідно з лемою 5 * intg g Dλ+ ∈ . Внаслідок опуклості множини
D (див. лему 1) та теореми 1.3.4 [6, с. 19] робимо висновок, що
( )*,g D g∈ Γ . Отже, для будь-якого ( )
( )*
*,s
s F g
g D g
∈
∈ Γ∩ маємо, що
( )*,g D g∈ Γ .
Тому ( )
( )
( )
*
* *, , .s
s F g
D g D g
∈
Γ ⊂ Γ∩ З урахуванням співвідношен-
ня (14 ) звідси робимо висновок, що
( ) ( ) ( )
( )*
* * *, , , .s s
s S s F g
D g D g D g
∈ ∈
Γ = Γ = Γ∩ ∩ (15)
Переконаємось, що
( )
( )*
*,s
s F g
D g
∈
Γ =∩
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }* *: , , 0, int , .g g C S X g s g s b s s F gλ λ= ∈ ∃ > + ∈ ∈ (16)
Нехай ( )
( )*
*,s
s F g
g D g
∈
∈ Γ∩ . Тоді ( )*, .s
s S
g D g
∈
∈ Γ∩
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
31
Вище було встановлено, що існує 0λ > таке, що ( )*g s +
( ) ( )intg s b sλ+ ∈ для всіх s S∈ . Тому
( )
( )*
*,s
s F g
D g
∈
Γ ⊂∩
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }* *: , , 0, int , .g g C S X g s g s b s s F gλ λ⊂ ∈ ∃ > + ∈ ∈ (17)
Навпаки, нехай
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }* *: , , 0, int ,g g g C S X g s g s b s s F gλ λ∈ ∈ ∃ > + ∈ ∈ .
Згідно з лемою 2 * int sg g Dλ+ ∈ для всіх ( )*s F g∈ . Оскільки
( )*, ,sD s F g∈ є опуклою множиною (див. лему 1), то ( )*,sg D g∈ Γ
для всіх ( )*s F g∈ (див., наприклад, теорему 1.3.4. [6, с. 19]). Тому
( )
( )*
*,s
s F g
g D g
∈
∈ Γ∩ . Звідси випливає, що
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }* *: , , 0, int ,g g C S X g s g s b s s F gλ λ∈ ∃ > + ∈ ∈ ⊂
( )
( )*
*, .s
s F g
D g
∈
⊂ Γ∩ (18)
З (17), (18) робимо висновок, що має місце рівність (16). З рівно-
стей (15) та (16) випливає справедливість рівності
( )*,D gΓ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }* *: , , 0, int , .g g C S X g s g s b s s F gλ λ= ∈ ∃ > + ∈ ∈ (19)
Нехай тепер ( ) ( )* *, , ,g D g s F g∈ Γ ∈ ( ) ( )( )*,f N b s g s∈ .
Тоді ( ) ( )( )*f x f g s≤ для всіх ( )x b s∈ . Оскільки ( )*,g D g∈ Γ ,
то внаслідок (19) існує 0λ > таке, що
( ) ( ) ( ) ( )* *int ,g s g s b s s F gλ+ ∈ ∈ .
Звідси (див. лему 6) ( ) ( )( ) ( )( )* *f g s g s f g sλ+ < .
Тому ( )( ) 0f g s < .
Отже,
( )*,D gΓ ⊂
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ){ }* *: , , 0, , , .g g C S X f g s s F g f N b s g s⊂ ∈ < ∈ ∈ (20)
Математичне та комп’ютерне моделювання
32
Нехай тепер
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ){ }* *: , , 0, , ,g g g C S X f g s s F g f N b s g s∈ ∈ < ∈ ∈ .
Переконаємось, що ( )*,g D g∈ Γ .
Згідно з лемою 7 ( ) ( ) ( )( ) ( )* *, ,g s b s g s s F g∈ Γ ∈ .
Тоді для кожного ( )*s F g∈ існує 0sλ > таке, що ( )*g s +
( ) ( )intsg s b sλ+ ∈ .
Згідно з лемою 4 існує окіл ( )V s точки s в S такий, що ( )*g s′ +
( ) ( )intsg s b sλ ′ ′+ ∈ для всіх ( )s V s′∈ .
Оскільки ( ) ( )*g s b s′ ′∈ , ( ) ( ) ( )* intsg s g s b sλ′ ′ ′+ ∈ , ( )s V s′∈ ,
то внаслідок опуклості множин ( )b s , s S∈ ,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *1 ints sg s g s g s g s g s b sα λ α αλ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + − = + ∈
для всіх ( ]0,1α ∈ , ( )s V s′∈ (див., наприклад, [6, с. 18]).
Звідси випливає, що
( ) ( ) ( )* intg s g s b sλ′ ′ ′+ ∈ , ( )s V s′∈ , ( ]0, sλ λ∈ . (21)
Оскільки ( )*F g є компактом (див. лему 8) і
( )
( )
( )
*
*
s F g
V s F g
∈
⊃∪ , то існують точки 1 2, ,..., ps s s із ( )*F g , для
яких ( ) ( )*
1
p
i
i
V s F g
=
⊃∪ . Покладемо
1
min
isi p
λ λ
≤ ≤
= . Тоді згідно з (21)
( ) ( ) ( )* intg s g s b sλ′ ′ ′+ ∈ , ( )is V s′∈ , 1, 2,...,i p= . (22)
Нехай тепер ( )*s F g∈ . Оскільки ( ) ( )*
1
p
i
i
F g V s
=
⊂ ∪ , то існує
{ }1,...,si p∈ , що ( )sis V s∈ .
Тоді згідно з (22) ( ) ( ) ( )* intg s g s b sλ+ ∈ .
Оскільки ( )*s F g∈ вибрано з ( )*F g довільно, то ( )*g s +
( ) ( )intg s b sλ+ ∈ для всіх ( )*s F g∈ .
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
33
Звідси та рівності (19) випливає, що
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ){ }* *: , , 0, , ,g g C S X f g s s F g f N b s g s∈ < ∈ ∈ ⊂
( )*,D g⊂ Γ ,
що разом з (20) дозволяє зробити висновок про справедливість рівно-
сті, про яку мова йде в теоремі.
Теорему доведено.
Теорема 2. Для того щоб елемент *g V D∈ ∩ був екстремальним
елементом для величини (1), необхідно, щоб не існувало такого елеме-
нта ( )* *,z V g∈Γ , що для всіх
*
,g
as S∈
*g
sy a∈ , ( )* *, ,af B g s y∈
( )( )( )* * , ,af E B g s y∈ ( )( ) 0f z s < , а для всіх ( )*s F g′∈ ,
( ) ( )( )*,f N b s g s′ ′ ′∈ справджується нерівність ( )( ) 0f z s < .
Доведення. Нехай *g — екстремальний елемент для величини
(1). Згідно з теоремою 1.4.1 [6, с. 22] має місце співвідношення
( ) ( ) ( )* * * * *, , ,g
aC g D g V gΓ Γ Γ = ∅∩ ∩ .
Звідси, враховуючи теорему 1, теорему 8 [7, с. 1611], робимо ви-
сновок, що не існує ( )* *,z V g∈Γ , що для всіх
*
,g
as S∈
*g
sy a∈ ,
( )* *, ,af B g s y∈ ( )( )( )* * , ,af E B g s y∈ справджується нерівність
( )( ) 0f z s < , а для всіх ( )*s F g′∈ , ( ) ( )( )* ,f N g s b s′ ′ ′∈ справджу-
ється нерівність ( )( ) 0f z s′ < . У протилежному випадку отримали б,
що ( ) ( ) ( )* * * * *, , ,g
aC g D g V gΓ Γ Γ ≠ ∅∩ ∩ .
Теорему доведено.
Теорема 3. Якщо *g V D∈ ∩ є екстремальним елементом для
величини (1), то для будь-якого ( )* *,z V g∈Γ існують елементи
,zs S∈ ( )z zy a s∈ , *
zf B∈ ( )( )*
zf E B∈ такі, що
( )( )
( )
( )* *max maxz z z s S y a s
f g s y g s y
∈ ∈
− = − , ( )( ) 0z zf z s ≥ ,
або існують елементи / ,zs S∈ ( ) ( )( )/ / * /,z z zf N b s g s∈ такі, що
Математичне та комп’ютерне моделювання
34
( ) ( )* / /
z zg s b s∈∂ , ( )( )/ / 0z zf z s ≥ .
Надалі будемо користуватись поняттями *Γ — множина (див.,
наприклад, [8, с. 1616]) та Γ — множини (див., наприклад,
[11, с. 20]) .
Теорема 4. Нехай *g V D∈ ∩ і V є *Γ — множиною відносно
*g . Якщо *g є екстремальним елементом для величини (1), то для
будь-якого g V∈ існують елементи gs S∈ , ( )g gy a s∈ , *
gf B∈
( )( )*
gf E B∈ такі, що
( )( )
( )
( )* *max maxg g g s S y a s
f g s y g s y
∈ ∈
− = − , ( ) ( )( )* 0g g gf g s g s− ≥ , (23)
або існують елементи / ,gs S∈ ( ) ( )( )/ / * /,g g gf N b s g s∈ такі, що
( ) ( )* / /
g gg s b s∈∂ , ( ) ( )( )/ / * / 0g g gf g s g s− ≥ . (24)
Теорема 5. Нехай V є Γ — множиною відносно кожного свого
елемента, зокрема опуклою множиною, існує елемент 0g V∈ , для
якого ( ) ( )0g s Intb s∈ для всіх s S∈ . Для того щоб елемент
*g V D∈ ∩ був екстремальним елементом для величини (1) в цьому
випадку, необхідно і достатньо, щоб для кожного g V∈ існували
елементи gs S∈ , ( )g gy a s∈ , *
gf B∈ ( )( )*
gf E B∈ , для яких ви-
конуються умови (23), або існували елементи / ,gs S∈
( ) ( )( )/ * / /,g g gf N g s b s∈ , для яких виконуються умови (24).
Доведення. Необхідність випливає з теореми 4.
Достатність. Припустимо, що *g не є екстремальним елементом
для величини (1). Тоді знайдеться такий елемент g V D∈ ∩ , що
( )
( )
( )
( )*max max max max
s S y a s s S y a s
g s y g s y
∈ ∈ ∈ ∈
− < − .
Це означає, що
*g
ag C∈ . Оскільки
*g
aC є відкритою множиною
простору ( ),C S X , то існує окіл ( )gΟ точки g в просторі ( ),C S X ,
який включається в
*g
aC . Згідно з лемою 5 0 intg D∈ . Оскільки D є
Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 2
35
опуклою множиною, то елементи ( )0g g g g IntDα α= + − ∈ для всіх
( ]0,1α ∈ (див., наприклад, [6, с. 18]).
З урахуванням того, що V є Γ — множиною відносно g , існує
таке ( ]0,1α ∈ , що для g gα= будемо мати
g V∈ , g IntD∈ , ( ) *g
ag g C∈Ο ⊂ .
Оскільки
*g
aC та D є опуклими множинами, то *g g− ∈
( ) ( )* * *, ,g
aC g D g∈ Γ Γ∩ (див., наприклад, [6, с. 19]).
Згідно з теоремою 1 та теоремою 3.1 [8, с. 1611] (теоремою 3.2
[8, с. 1613]) тоді для всіх gs S∈ , ( )g gy a s∈ , *
gf B∈ ( )( )* ,gf E B∈
для яких виконується рівність (23) має місце нерівність
( ) ( )( )* 0g g gf g s g s− < , а для всіх / ,gs S∈ ( ) ( )( )/ / * /,g g gf N b s g s∈ ,
для яких виконуються включення (24), справедлива нерівність
( ) ( )( )* 0g g gf g s g s− < , що суперечить умовам теореми. Тому *g є
екстремальним елементом для величини (1).
Теорему доведено.
Наслідок. Нехай V — підпростір простору ( ),C S X , існує еле-
мент 0g V∈ , для якого ( ) ( )0g s Intb s∈ для всіх s S∈ . Для того щоб
елемент *g V D∈ ∩ був екстремальним елементом для величини (1),
необхідно і достатньо, щоб для кожного g V∈ існували елементи
gs S∈ , ( )g gy a s∈ , *
gf B∈ ( )( )*
gf E B∈ такі, що
( )( )
( )
( )* *max maxg g g s S y a s
f g s y g s y
∈ ∈
− = − , ( )( ) 0g gf g s ≥ ,
або існували елементи / ,gs S∈ ( ) ( )( )/ / * /,g g gf N b s g s∈ такі, що
( ) ( )* / /
g gg s b s∈∂ , ( )( )/ / 0g gf g s ≥ .
Висновки. Для задачі найкращої рівномірної апроксимації ком-
пактнозначного відображення елементами множини однозначних відо-
бражень, які є селекторами опуклозначного відображення встановлено
необхідні, достатні умови та критерії екстремального елемента.
Математичне та комп’ютерне моделювання
36
Список використаних джерел:
1. Taylor G. D. Approximation by polynomials having restricted ranges /
G. D. Taylor. — I. SIAM J. Numer. Anal. — 1968. — Vol. 5. — P. 258—268.
2. Taylor G. D. On approximation by functions having restricted ranges /
G. D. Taylor. — J. Math. Anal. Appl. — 1969. — Vol. 27. — P. 241—248.
3. Shi Y. G. The limits of a Chebyshev-type theory of restricted range approxi-
mation / Y. G. Shi. — J. Approxim. Theory. — 1988. — Vol. 53, № 1 —
P. 41—53.
4. Smirnov G. S. Best uniform restricted ranges approximation of complex-
valued functions / G. S. Smirnov, R. G. Smirnov. — С.R. Math. Rep. Acad.
Sci. Canada. — 1997. — 19, № 2. — P. 58—63.
5. Smirnov G. S. Best uniform approximation of complex-valued functions by
generalized polynomials having restricted ranges / G. S. Smirnov, R. G. Smir-
nov. — J. Approxim. Theory. — 1999. — 100, № 2. — P. 284—303.
6. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. / П.-Ж. Лоран. — М. : Мир,
1975. — 496 с.
7. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир, 1967. —
624 с.
8. Гудима У. В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компакт-
нозначного відображення множинами неперервних однозначних відо-
бражень / У. В. Гудима. — Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 12. —
С. 1601—1619.
9. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа
/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М. : Наука, 1989. — 623 с.
10. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения /
Н. П. Корнійчук. — М. : Наука, 1976. — 320 с.
11. Гнатюк Ю. В. Критерії екстремального елемента та його єдиності для
задачі найкращої рівномірної апроксимації неперервного компактнознач-
ного відображення множинами однозначних відображень / Ю. В. Гнатюк,
У. В. Гудима. — Доп. НАН України, 2005 — № 6 — С. 19—23.
In the article there established the theorems of characterization of the
extremal element for the problem of the best uniform approximation con-
tinuous compact-valued maps by single-valued maps, which there is selec-
tors closing convex-valued map.
Key words: the compact-valued maps, best uniform approximation,
additional restriction.
Отримано: 28.09.2009
|