Poincaré problem with measurable data for semilinear Poisson equation in the plane

• Published in: Доповіді НАН України
• Date: 2022
• ISSN: 1025-6415
• Main Authors: Gutlyanskiĭ, V.Ya., Nesmelova, O.V., Ryazanov, V.I., Yefimushkin, A.S.
• Format: Article
• Language: English
• Published: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2022
• Subjects: Математика
• Online Access: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/187169
• Journal Title: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Cite this: Poincaré problem with measurable data for semilinear Poisson equation in the plane / V.Ya. Gutlyanskiĭ, O.V. Nesmelova, V.I. Ryazanov, A.S. Yefimushkin // Доповіді Національної академії наук України. — 2022. — № 4. — С. 10-18. — Бібліогр.: 11 назв. — англ.

We study the Poincaré boundary-value problem with measurable in terms of the logarithmic capacity boundary data
 for semilinear Poisson equations defined either in the unit disk or in Jordan domains with quasihyperbolic boundary
 condition. The solvability theorems as well as their applications to some semilinear equations, modelling diffusion
 with absorption, plasma states and stationary burning, are given. Крайова задача Гільберта належить до найважливіших з огляду на її численні застосування, зокрема, до
 крайових задач Діріхле, Пуанкаре та Неймана в гідромеханіці. Перший підхід до її розв’язання був запропонований самим Гільбертом і заснований на теорії сингулярних інтегральних рівнянь. На цьому шляху
 доведено існування її розв’язків для неперервних за Гельдером граничних даних. Лузін уперше встановив
 існування розв’язків задачі Діріхле при довільних вимірних даних для гармонічних функцій в одиничному
 крузі в термінах кутових (недотичних) границь м. в. на одиничному колі. Раніше нами були сформульовані теореми існування розв’язків крайової задачі Гільберта при довільних вимірних даних для узагальнених
 гармонічних функцій з джерелами. Знайдені розв’язки не були класичними, оскільки наш підхід ґрунтувався на інтерпретації граничних значень у сенсі кутових (недотичних) границь, що стало традиційним інструментом геометричної теорії функцій, але не PDE. Представлена стаття містить аналогічні теореми існування розв’язків задачі Пуанкаре про похідні за напрямками на межі і, зокрема, задачі Неймана при довільних граничних даних вимірних відносно логарифмічної ємності уздовж недотичних шляхів для напівлінійних рівнянь Пуассона. Наведено застосування цих результатів до деяких напівлінійних рівнянь математичної фізики, що моделюють різні фізичні процеси, такі як дифузія з абсорбцією, процес стаціонарного горіння та стани плазми.