Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події

Запропоновано підхід, який надає змогу (за потреби) обчислювати міри індивідуальних імовірностей нечітких подій. Наведено результати застосування цього підходу до розв'язання ймовірнісних задач у нечіткому формулюванні....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2021
Hauptverfasser:	Провотар, О.І., Провотар, О.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Schriftenreihe:	Кібернетика та системний аналіз
Schlagworte:	Кібернетика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190580
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події / О.І. Провотар, О.О. Провотар // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 3–11. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190580
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1905802025-02-23T17:46:48Z Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події О приближенном вычислении меры вероятности нечеткого события Approximate calculation of the probability measure of a fuzzy event Провотар, О.І. Провотар, О.О. Кібернетика Запропоновано підхід, який надає змогу (за потреби) обчислювати міри індивідуальних імовірностей нечітких подій. Наведено результати застосування цього підходу до розв'язання ймовірнісних задач у нечіткому формулюванні. Предложен подход, который позволяет (при необходимости) вычислять меры индивидуальных вероятностей нечетких событий. Приведены результаты использования этого подхода при решении конкретных вероятностных задач в нечеткой формулировке. An approach which allows (if necessary) calculating the measures of individual probabilities of fuzzy events is proposed. The results of using this approach to solve specific probabilistic problems in fuzzy formulation are given. 2021 Article Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події / О.І. Провотар, О.О. Провотар // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 3–11. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190580 681.3 uk Кібернетика та системний аналіз application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Кібернетика Кібернетика
spellingShingle	Кібернетика Кібернетика Провотар, О.І. Провотар, О.О. Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події Кібернетика та системний аналіз
description	Запропоновано підхід, який надає змогу (за потреби) обчислювати міри індивідуальних імовірностей нечітких подій. Наведено результати застосування цього підходу до розв'язання ймовірнісних задач у нечіткому формулюванні.
format	Article
author	Провотар, О.І. Провотар, О.О.
author_facet	Провотар, О.І. Провотар, О.О.
author_sort	Провотар, О.І.
title	Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події
title_short	Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події
title_full	Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події
title_fullStr	Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події
title_full_unstemmed	Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події
title_sort	про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Кібернетика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190580
citation_txt	Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події / О.І. Провотар, О.О. Провотар // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 3–11. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Кібернетика та системний аналіз
work_keys_str_mv	AT provotaroí pronabliženeobčislennâmírijmovírnostínečítkoípodíí AT provotaroo pronabliženeobčislennâmírijmovírnostínečítkoípodíí AT provotaroí opribližennomvyčisleniimeryveroâtnostinečetkogosobytiâ AT provotaroo opribližennomvyčisleniimeryveroâtnostinečetkogosobytiâ AT provotaroí approximatecalculationoftheprobabilitymeasureofafuzzyevent AT provotaroo approximatecalculationoftheprobabilitymeasureofafuzzyevent
first_indexed	2025-11-24T05:06:36Z
last_indexed	2025-11-24T05:06:36Z
_version_	1849646955968331776
fulltext	Î.². ÏÐÎÂÎÒÀÐ, Î.Î. ÏÐÎÂÎÒÀÐ ÓÄÊ 681.3 ÏÐÎ ÍÀÁËÈÆÅÍÅ ÎÁ×ÈÑËÅÍÍß Ì²ÐÈ ÉÌÎÂ²ÐÍÎÑÒ² ÍÅ×²ÒÊÎ¯ ÏÎÄ²¯ Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ï³äõ³ä, ÿêèé äàº çìîãó (çà ïîòðåáè) îá÷èñëþâàòè ì³ðè ³íäèâ³äóàëüíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé íå÷³òêèõ ïîä³é. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè çà- ñòîñóâàííÿ öüîãî ï³äõîäó äî ðîçâ’ÿçàííÿ éìîâ³ðí³ñíèõ çàäà÷ ó íå÷³òêîìó ôîðìóëþâàíí³. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: íå÷³òê³ ìíîæèíè, éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïîä³¿, íå÷³òê³ òðè- êóòí³ ÷èñëà. ÂÑÒÓÏ Ðîçãëÿíåìî äóæå ïðîñòèé ïðèêëàä âèêîðèñòàííÿ ³íòåðâàëüíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé, çàïîçè÷åíèé ç ðîáîòè [1]. Íåõàé X x x x� { }1 2 3, , — ñê³í÷åííà ìíîæèíà ³ P — ôóíêö³ÿ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé [2], òîáòî P x p p ii i i( ) , ,{ } � � � � �0 1 1 3, pi i� � � 1 3 1. Ïðèïóñòèìî, ùî äåÿê³ çíà÷åííÿ pi º íåâèçíà÷åíèìè, íàïðèêëàä, òàêèìè, ùî çàäàþòü ³íòåðâàëàìè p1 �[0.1, 0.3], p2 �[0.3, 0.7], p3 �[0.2, 0.4]. Ó öüîìó âèïàä- êó éìîâ³ðí³ñòü, íàïðèêëàä, ïîä³¿ A x x� { }1 2, òåæ áóäå íàëåæàòè ³íòåðâàëó [ , ]A A1 2 , ÿêèé çàäàþòü òàê: [ , ] /A A p p p1 2 1 2 1� � �{ [0.1, 0.3], p2 �[0.3, 0.7], p3 �[0.2, 0.4], p p p1 2 3 1� � � }. Ëåãêî áà÷èòè, ùî [ , ]A A1 2 � [0.6, 0.8] ³ íå º ñóìîþ [0.1, 0.3] � [0.3, 0.7] � [0.4, 1]. ²íòåð- âàë [0.4, 1] íå îäåðæàíî, îñê³ëüêè ñóìà éìîâ³ðíîñòåé ïîâèííà äîð³âíþâàòè îäèíèö³. Ó âèïàäêàõ, êîëè çíà÷åííÿ pi çàäàþòü ³íòåðâàëàìè [ , ]a bi i , òèì ñàìèì âèçíà- ÷àþòü íàéìåíø³ ³ íàéá³ëüø³ ìîæëèâ³ çíà÷åííÿ pi . ßêùî, íàïðèêëàä, ci º íàéá³ëüø ³ìîâ³ðíèì çíà÷åííÿì äëÿ pi , òî öþ éìîâ³ðí³ñòü ìîæíà îïèñàòè íå÷³òêèì òðèêóò- íèì ÷èñëîì ( , , )a c bi i i [3, 4]. Ó ðîáîò³ [1] çàïðîïîíîâàíî ï³äõ³ä, ÿêèé äàº çìîãó çíàõîäèòè íå÷³òê³ éìîâ³ðíîñò³ ñêëàäíèõ ïîä³é çà ïåâíèõ îáìåæåíü. Âîäíî÷àñ â³í íå çàáåçïå÷óº ìîæëèâ³ñòü çíàõîäèòè ì³ðè ³íäèâ³äóàëüíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé ñêëàäíèõ ïîä³é. Òîìó â ö³é ñòàòò³ îñíîâíó óâàãó ïðèä³ëåíî ñàìå ðîçðîáëåííþ ìåòîä³â îá÷èñëåííÿ éìîâ³ðíîñòåé íå÷³òêèõ ïîä³é ç îáìåæåííÿìè, ÿê³ á çàáåçïå÷óâàëè (ó ðàç³ ïîòðå- áè) çíàõîäæåííÿ ì³ð ³íäèâ³äóàëüíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé ñêëàäíèõ àáî íå÷³òêèõ ïîä³é. Êð³ì òîãî, ðîçãëÿíóòî çàñòîñóâàííÿ öèõ ìåòîä³â äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ êîíêðåòíèõ ³ìîâ³ðí³ñíèõ çàäà÷ ó íå÷³òêèõ ïîñòàíîâêàõ. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 3 © Î.². Ïðîâîòàð, Î.Î. Ïðîâîòàð, 2021 ÍÅ×²ÒÊ² ÒÐÈÊÓÒÍ² ×ÈÑËÀ Ó òåîð³¿ íå÷³òêèõ ìíîæèí [3–7] âèä³ëÿþòü íå÷³òê³ ìíîæèíè, ÿê³ âèçíà÷àþòüñÿ íà îñ³ ä³éñíèõ ÷èñåë R ³ º íîðìàëüíèìè, îïóêëèìè òà ìàþòü íåïåðåðâí³ ôóíêö³¿ íàëåæíîñò³. Òàê³ íå÷³òê³ ìíîæèíè íàçèâàþòü íå÷³òêèìè ÷èñëàìè. ²íøèìè ñëîâàìè, íå÷³òêèì ÷èñëîì íàçèâàþòü íå÷³òêó ìíîæèíó À, âèçíà÷åíó íà ìíîæèí³ ä³éñíèõ ÷èñåë R , ôóíêö³ÿ íàëåæíîñò³ ÿêî¿ � : [ , ]R � 0 1 çàäîâîëü- íÿº óìîâè: 1) sup ( ) x A x � � R � 1, òîáòî íå÷³òêà ìíîæèíà º íîðìàë³çîâàíîþ; 2) � � � � �[ ( ) ] min ( ), ( )x x1 2 1 21� { }, òîáòî ìíîæèíà À º îïóêëîþ; 3) �( )x º íåïåðåðâíîþ ôóíêö³ºþ. Äàë³ áóäåìî ðîçãëÿäàòè íå÷³òê³ òðèêóòí³ ÷èñëà, ôóíêö³¿ íàëåæíîñò³ ÿêèõ âèçíà÷àþòüñÿ ð³âí³ñòþ �( ) , , , , , , , x x a x a a a a x a a x a a a x a � � � � � � 0 0 1 1 2 1 1 2 3 3 2 2 3 x a� � � � � � � � � 3 . Òàê³ òðèêóòí³ ÷èñëà áóäåìî ïîçíà÷àòè òð³éêîþ ( , , )a a a1 2 3 . Îñíîâí³ àðèôìåòè÷í³ îïåðàö³¿ — äîäàâàííÿ, â³äí³ìàííÿ, ìíîæåííÿ ³ ä³ëåííÿ äâîõ íå÷³òêèõ òðèêóòíèõ ÷èñåë A a a a� ( , , )1 2 3 ³ B b b b� ( , , )1 2 3 âèçíà÷àþòü ÿê A B a b a b a b� � � � �( , , )1 1 2 2 3 3 , A B a b a b a b � ( , , )1 3 2 2 3 1 , A B c c c� � ( , , )1 2 3 , A B a a a b b b � � � � �� ( , , ) , ,1 2 3 1 2 3 1 1 1 , äå c a a a b b a b b1 1 2 1 2 1 2 1 2� min ( , , , ), c a a2 2 2� , c a a a b b a b b3 1 2 1 2 1 2 1 2� max ( , , , ) . Íàïðèêëàä, ñóìó íå÷³òêèõ ÷èñåë A � ( , , )3 2 4 ³ B � ( , , )1 0 6 ç ä³àãðàìàìè Çàäå [5] â³äïîâ³äíî çàäàþòü ä³àãðàìîþ Çàäå âèãëÿäó 4 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 1 2 BA 4 6 3 � A � B 10 4 Éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïîä³¿. Áóäü-ÿêó íå÷³òêó ïîä³þ ïðåäñòàâëÿþòü íå÷³òêîþ ìíîæèíîþ. Íàïðèêëàä, ïîä³ÿ «âåëèêå ÷èñëî» ìîæå áóòè ïðåäñòàâëåíà íå÷³òêîþ ìíîæèíîþ B �{(6, 0.9), (5, 0.7), (4, 0.5)} � � �0 9 6 0 7 5 0 5 4. / . / . / . Îá÷èñëåííÿ éìîâ³ðíîñòåé òàêèõ ³ ïîä³áíèõ ïîä³é çàïðîïîíîâàíî ó [8]. Òàê, ÿêùî À — íå÷³òêà ïîä³ÿ ó ïðîñòîð³ Õ ç³ ñê³í÷åííîþ ê³ëüê³ñòþ åëåìåíò³â, òîáòî A x x x XA� �{ }( , ( )),� , òî éìîâ³ðí³ñòü ö³º¿ ïîä³¿ ìîæíà îá÷èñëèòè çà ôîðìóëîþ P A x P xA x A ( ) ( ) ( )� � � � , äå P x( ) — ôóíêö³ÿ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé ó ïðîñòîð³ X . Ïîñòàíîâêà çàäà÷³. Íåõàé X x x xn� { }1 2, , ,� — ñê³í÷åííà ìíîæèíà ³ P — ôóíêö³ÿ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé, òîáòî P x p p i ni i i( ) , ,{ } � � � � �0 1 1 , pi i n � � � 1 1. Ïðèïóñòèìî, ùî éìîâ³ðíîñò³ pi çàäàþòüñÿ íå÷³òêèìè òðèêóòíèìè ÷èñëàìè ( , , )a m bi i i . Íà ìíîæèí³ íå÷³òêèõ òðèêóòíèõ ÷èñåë óâåäåìî â³äíîøåííÿ ÷àñòêîâî- ãî ïîðÿäêó � ó òàêèé ñïîñ³á: ( , , ) ( , , )a m b c n d m n� � � . Òîä³ äëÿ òîãî, ùîá çíàéòè íå÷³òêó éìîâ³ðí³ñòü ñêëàäíî¿ ïîä³¿ A x xi ik �{ } 1 , ,� , ÿêà çàäàºòüñÿ íå÷³òêèì òðèêóòíèì ÷èñëîì, òðåáà çíàéòè ì³í³ìàëüíå òà ìàêñè- ìàëüíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ min / max ( , , ) ( , , ) ( , , )f m m a m b a m bi i i i i i i ik k k k1 1 1 1 � �� çà óìîâè, ùî ( , , ) ( , , ) , ,a m b a m b a bn n n i i n i i n 1 1 1 1 1 1� � � � � � � � � � � � � � �� . ÏÐÈÊËÀÄÈ ÇÀÄÀ× ÇÍÀÕÎÄÆÅÍÍß Ì²ÐÈ ÉÌÎÂ²ÐÍÎÑÒ² ÍÅ×²ÒÊÎ¯ ÏÎÄ²¯ Ïðèêëàä 1. Íåõàé X x x x x� { }1 2 3 4, , , — ñê³í÷åííà ìíîæèíà ïîä³é ³ P — ôóíêö³ÿ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé, òîáòî P x p p ii i i( ) , ,{ } � � � � �0 1 1 4 , pi i � � � 1 1 4 . Ïðèïóñòèìî, ùî éìîâ³ðíîñò³ pi çàäàþòüñÿ íå÷³òêèìè òðèêóòíèìè ÷èñëàìè (0.1, m1, 0.3), (0.3, m2 , 0.7), (0.2, m3 , 0.4), (0.0, m4 , 0.1). Äëÿ çíàõîäæåííÿ íå÷³òêî¿ éìîâ³ðíîñò³ ñêëàäíî¿ ïîä³¿ A x x x� { }1 2 3, , òðåáà îá÷èñëèòè min {( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , . )}0 1 0 3 0 3 0 7 0 2 0 41 2 3m m m� � , max {( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , . )}0 1 0 3 0 3 0 7 0 2 0 41 2 3m m m� � çà îáìåæåíü ( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , .0 1 0 3 0 3 0 7 0 2 0 4 0 0 0 11 2 3 4m m m m� � � ) � (0.6, 1, 1.5). ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 5 Öÿ çàäà÷à çâîäèòüñÿ äî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ç ïîäàëü- øèì çíàõîäæåííÿì íå÷³òêîãî òðèêóòíîãî ÷èñëà, ÿêå âèçíà÷àº éìîâ³ðí³ñòü ñêëàäíî¿ ïîä³¿. Ôîðìàëüíà ìîäåëü çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ìàº òàêèé âèãëÿä. Çíàéòè min / max ( , , )f m m m m m m1 2 3 1 2 3� � � çà îáìåæåíü m m m m1 2 3 4 1� � � � , 0.1 � �m1 0.3, 0.3 � �m2 0.7, 0.2 � �m3 0.4, 0.0 � �m4 0.1. Ðîçâ’ÿçóþ÷è öþ çàäà÷ó ñèìïëåêñ-ìåòîäîì ó ñèñòåì³ Octave [9], çíàéäåìî, ùî min ( , , )f m m m1 2 3 � 0.8, max ( , , )f m m m1 2 3 1� . Ïðè÷îìó ì³í³ìóì ôóíêö³¿ äîñÿãàºòüñÿ äëÿ m1 � 0.1, m2 � 0.5, m3 � 0.2, à ìàê- ñèìóì — äëÿ m1 � 0.3, m2 � 0.5, m3 � 0.2. Îòæå, éìîâ³ðí³ñòü ñêëàäíî¿ ïîä³¿ áóäå íàëåæàòè ïðîì³æêó [0.8, 1]. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ì³ðè äîâ³ëüíî¿ éìîâ³ðíîñò³ ç öüîãî ïðîì³æêó âèêîíàºìî äîäàâàííÿ íå÷³òêèõ ÷èñåë: (0.1, 0.1, 0.3) � (0.3, 0.5, 0.7) � (0.2, 0.2, 0.4) � (0.6, 0.8, 1.4), (0.1, 0.3, 0.3) � (0.3, 0.5, 0.7) � (0.2, 0.2, 0.4) � (0.6, 1, 1.4). Îäåðæèìî äâà íå÷³òêèõ òðèêóòíèõ ÷èñëà, íàâåäåíèõ íà ä³àãðàì³ Çàäå: Îòæå, äëÿ çíàõîäæåííÿ ì³ðè éìîâ³ðíîñò³ ñêëàäíî¿ ïîä³¿ ç ïðîì³æêó [0.8, 1] ïîòð³áíî ñïî÷àòêó çíàéòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè (0.6, 0), (1, 1) òà ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè (1.4, 0), (0.8, 1). Ö³ ð³â- íÿííÿ ìàþòü òàêèé âèãëÿä: 0 4 0 6. .y x� , 0 6 1 4. .y x� � . Äàë³ ñë³ä çíàéòè òî÷êó ïåðåòèíó öèõ ïðÿìèõ ³ çàäàòè îö³íêè äëÿ ì³ð ³ìîâ³ðíîñ- òåé íå÷³òêî¿ ñêëàäíî¿ ïîä³¿. Îñê³ëüêè òî÷êà (0.92, 0.8) º øóêàíîþ òî÷êîþ ïåðåòè- íó ïðÿìèõ, òî â³äïîâ³äí³ îö³íêè çàäàþòüñÿ òàêèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè: p p p � � �0 6 0 4 1 4 0 6 . . ( ) . . � , ÿêùî 0.8 � �p 0.92, � � � p p p1 4 0 6 0 6 0 4 . . ( ) . . � , ÿêùî 0.92 � �p 1, Îòæå, âèêîðèñòîâóþ÷è íàâåäåí³ îö³íêè, ìîæíà çíàõîäèòè ì³ðè äîâ³ëüíèõ ³ìîâ³ðíîñòåé ñêëàäíèõ ïîä³é. Ïðèêëàä 2. Íåõàé X x x x x x x� { }1 2 3 4 5 6, , , , , — ñê³í÷åííà ìíîæèíà ïîä³é ³ P — ôóíêö³ÿ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé, òîáòî P x pi i( ){ } � , 0 1� �pi ,1 6� �i , pi i� � � 1 6 1. 6 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 � 1.40.6 0.8 Ïðèïóñòèìî, ùî éìîâ³ðíîñò³ pi çàäàþòüñÿ íå÷³òêèìè òðèêóòíèìè ÷èñëàìè (0.1, mi , 0.2), 1 6� �i . Äëÿ çíàõîäæåííÿ íå÷³òêî¿ éìîâ³ðíîñò³ íå÷³òêî¿ ïîä³¿ A x� �0 5 3. / � �0 8 12 1. / /x x òðåáà îá÷èñëèòè min {( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , . )}0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 23 2 1m m m� � , max {( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , . )}0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 023 2 1m m m� � çà îáìåæåíü 1 0 1 0 2 08 0 1 0 2 0 5 0 1 0 21 2 3� � � � � �( . , , . ) . ( . , , . ) . ( . , , . )m m m � � � �( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , . )0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 24 5 6m m m (0.53, 1, 1.06). ßê ³ â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàä³, öÿ çàäà÷à çâîäèòüñÿ äî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ç ïîäàëüøèì çíàõîäæåííÿì íå÷³òêîãî òðèêóòíîãî ÷èñëà, ÿêå âèçíà÷àº éìîâ³ðí³ñòü ñêëàäíî¿ ïîä³¿. Ôîðìàëüíà ìîäåëü çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ìàº òàêèé âèãëÿä. Çíàéòè min / max ( , , )f m m m m m m3 2 1 3 2 1� � � çà îáìåæåíü mi i� � � 1 6 1, 0.1 � �m1 0.2, 0.08 � �m2 0.16, 0.05 � �m3 0.1, 0.1 � �m4 0.2, 0.1 � �m5 0.2, 0.1 � �m6 0.2. Ðîçâ’ÿçóþ÷è öþ çàäà÷ó ñèìïëåêñ-ìåòîäîì, çíàéäåìî, ùî min ( , , )f m m m1 2 3 � 0.4, max ( , , )f m m m1 2 3 � 0.46. Ïðè÷îìó ì³í³ìóì ôóíêö³¿ äîñÿãàºòüñÿ äëÿ m1 � 0.14, m2 � 0.16, m3 � 0.1, à ìàêñèìóì — äëÿ m1 � 0.2, m2 � 0.16, m3 � 0.1. Îòæå, éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïîä³¿ áóäå íàëåæàòè ïðîì³æêó [0.4, 0.46]. Äëÿ çíàõîäæåííÿ ì³ðè äîâ³ëüíî¿ éìîâ³ðíîñò³ ç öüîãî ïðîì³æêó âèêîíàºìî äîäàâàííÿ íå÷³òêèõ ÷èñåë: (0.1, 0.14, 0.2) � (0.08, 0.16, 0.16) � (0.05, 0.1, 0.1) � (0.23, 0.4, 0.46), (0.1, 0.2, 0.2) � (0.08, 0.16, 0.16) � (0.05, 0.1, 0.1) � (0.23, 0.46, 0.46). Îäåðæóºìî äâà íå÷³òêèõ òðèêóòíèõ ÷èñëà, íàâåäåíèõ íà ä³àãðàì³ Çàäå Äëÿ âèçíà÷åííÿ ì³ðè éìîâ³ðíîñò³ ñêëàäíî¿ ïîä³¿ ç ïðîì³æêó [0.4, 0.46] ïîòð³áíî çíàéòè ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè (0.23, 0), (0.46, 1) òà ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè (0.46, 0), (0.4, 1). Ö³ ð³âíÿííÿ ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 7 0.40.23 0.46 ìàþòü òàêèé âèãëÿä: 0.23 y x� 0.23, 0.06 y x� � 0.46. Äàë³ çíàõîäèìî òî÷êó ïåðåòèíó öèõ ïðÿìèõ. Îñê³ëüêè òî÷êà (0.4124, 0.7931) º øóêàíîþ òî÷êîþ ïåðåòèíó ïðÿìèõ, â³äïîâ³äí³ îö³íêè äëÿ éìîâ³ðíîñòåé íå- ÷³òêî¿ ïîä³¿ A çàäàþòüñÿ òàêèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè: p p p � � �0 23 0 23 0 46 0 06 . . ( ) . . � çà óìîâè 0.4 � �p 0.4124, � � � p p p0 46 0 06 0 23 0 23 . . ( ) . . � çà óìîâè 0.4124 � �p 0.46. ßêùî, íàïðèêëàä, ïîä³¿ ìíîæèíè Õ ³íòåðïðåòóâàòè ÿê âèïàä³ííÿ ÷èñåë ìíî- æèíè {1, 2, … , 6} ï³ä ÷àñ ï³äêèäàííÿ êóáèêà, òî íå÷³òêà ïîä³ÿ À â öüîìó âèïàä- êó — öå âèïàä³ííÿ ìàëîãî ÷èñëà. Ïðèêëàä 3. Ðîçãëÿíåìî îäíó ç ãîëîâíèõ ñõåì òåîð³¿ éìîâ³ðíîñòåé — ñõåìó Áåðíóëë³. Â³äïîâ³äíî äî ö³º¿ ñõåìè ðîçãëÿäàþòü ïîñë³äîâí³ñòü âçàºìíî íåçàëåæ- íèõ âèïðîáóâàíü, â êîæíîìó ç ÿêèõ ìîæå íàñòàòè (àáî íå íàñòàòè) äåÿêà ïîä³ÿ À ç ³ìîâ³ðí³ñòþ p, ÿêà íå çàëåæèòü â³ä íîìåðà âèïðîáóâàííÿ. Íåîáõ³äíî çíàéòè éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî â ñåð³¿ ç n íåçàëåæíèõ âèïðîáóâàíü k ðàç³â íàñòàíå ³ n k ðàç³â íå íàñòàíå ïîä³ÿ À. Öþ éìîâ³ðí³ñòü îá÷èñëþþòü çà ôîðìóëîþ P k C p pn n k k n k( ) ( )� 1 , â³äîìîþ ÿê ôîðìóëà Áåðíóëë³ [2]. Íåõàé, ÿê ³ â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàä³, X x x x x x x� { }1 2 3 4 5 6, , , , , — ñê³í÷åííà ìíîæèíà ïîä³é ³ P — ôóíêö³ÿ ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé, òîáòî P x p p ii i i( ) , ,{ } � � � � �0 1 1 6, pi i� � � 1 6 1. Ïðèïóñòèìî, ùî éìîâ³ðíîñò³ pi çàäàþòüñÿ íå÷³òêèìè òðèêóòíèìè ÷èñëàìè (0.1, mi , 0.3), 1 6� �i . Ðîçãëÿíåìî íå÷³òêó ïîä³þ A x x� �1 0 81 2/ . / . Òðåáà çíàé- òè íå÷³òêó éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî â ñåð³¿, íàïðèêëàä, ç ÷îòèðüîõ âèïðîáóâàíü äâà ðàçè íàñòàíå ³ äâà ðàçè íå íàñòàíå ïîä³ÿ À. Ïåðøèì êðîêîì äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ö³º¿ çàäà÷³ º çíàõîäæåííÿ íå÷³òêî¿ éìîâ³ðíîñò³ íå÷³òêî¿ ïîä³¿ A x x� �1 0 81 2/ . / . Äëÿ öüîãî òðåáà çíàéòè min {( . , , . ) ( . , , . )}0 1 0 3 0 1 0 31 2m m� , max {( . , , . ) ( . , , . )}0 1 0 3 0 1 0 31 2m m� çà îáìåæåíü 1 0 1 03 0 8 0 1 0 3 0 1 0 31 2 3� � � � �( . , , . ) . ( . , , . ) ( . , , . )m m m � � � �( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , . )0 1 0 3 0 1 03 0 1 0 34 5 6m m m (0.58, 1, 1, 74). Öÿ çàäà÷à çâîäèòüñÿ äî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ç ïîäàëü- øèì çíàõîäæåííÿì íå÷³òêîãî òðèêóòíîãî ÷èñëà, ÿêå âèçíà÷àº éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïîä³¿. Ôîðìàëüíà ìîäåëü çàäà÷³ ë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ìàº òàêèé âèãëÿä. Çíàéòè min / max ( , )f m m m m1 2 1 2� � , çà îáìåæåíü mi i� � � 1 6 1, 0.1 � �m1 0.3, 8 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 0.08 � �m2 0.24, 0.1 � �m3 0.3, 0.1 � �m4 0.3, 0.1 � �m5 0.3, 0.1 � �m6 0.3. Ðîçâ’ÿçóþ÷è öþ çàäà÷ó ñèìïëåêñ-ìåòîäîì, çíàéäåìî, ùî min ( , )f m m1 2 � 0.18, max ( , )f m m1 2 � 0.54. Ïðè öüîìó ì³í³ìóì ôóíêö³¿ äîñÿãàºòüñÿ äëÿ m1 � 0.1, m2 � 0.08, à ìàêñèìóì — äëÿ m1 � 0.3, m2 � 0.24. Îòæå, éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïîä³¿ À áóäå íàëåæàòè ïðîì³æêó [0.18, 0.54]. Äàë³ çíàõîäèìî íå÷³òêó éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïîä³¿ A x x� � �0 2 12 3. / / � � �1 1 14 5 6/ / /x x x . Äëÿ öüîãî òðåáà îá÷èñëèòè min {( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , . ) ( . ,0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 3 0 12 3 4 5m m m m� � � , . ) ( . , , . )}0 3 0 1 0 36� m , max {( . , , . ) ( . , , . ) ( . , , . ) ( . ,0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 3 0 12 3 4 5m m m m� � � , . ) ( . , , . )}0 3 0 1 0 36� m çà îáìåæåíü mi i� � � 1 6 1, 0.1 � �m1 0.3, 0.02 � �m2 0.06, 0.1 � �m3 0.3, 0.1 � �m4 0.3, 0.1 � �m5 0.3, 0.1 � �m6 0.3. Ðîçâ’ÿçóþ÷è öþ çàäà÷ó ñèìïëåêñ-ìåòîäîì, çíàéäåìî, ùî min ( , )f m m1 2 � 0.7, max ( , )f m m1 2 � 0.9. Ïðè÷îìó ì³í³ìóì ôóíêö³¿ äîñÿãàºòüñÿ äëÿ m2 � 0.06, m3 � 0.3, m4 � 0.14, m5 � 0.1, m6 � 0.1, à ìàêñèìóì — äëÿ m2 � 0.06, m3 � 0.3, m4 � 0.3, m5 � 0.14, m6 � 0.1. Îòæå, éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïîä³¿ A áóäå íàëåæàòè ïðîì³æêó [0.7, 0.9]. Âðàõîâóþ÷è, ùî ïîâèííî âèêîíóâàòèñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ P A P A( ) ( )� �1, ìîæíà çíàéòè íå÷³òêó éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî â ñåð³¿ ³ç ÷îòèðüîõ âèïðîáóâàíü äâà ðàçè íàñòàíå ³ äâà ðàçè íå íàñòàíå ïîä³ÿ À. Äëÿ öüîãî òðåáà çíàéòè min ( , ) ( . , , . ) ( . , , . )f m m C m m1 2 4 2 1 2 2 20 18 0 54 0 7 0 9� � � , max ( , ) ( . , , . ) ( . , , . )f m m C m m1 2 4 2 1 2 2 20 18 0 54 0 7 0 9� � � çà îáìåæåíü ( . , , . ) ( . , , . )0 18 0 54 0 7 0 91 2m m� � (0.88, 1, 1.44). Öÿ çàäà÷à çâîäèòüñÿ äî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ íåë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ç ïîäàëü- øèì çíàõîäæåííÿì íå÷³òêîãî òðèêóòíîãî ÷èñëà, ÿêå âèçíà÷àº éìîâ³ðí³ñòü íå÷³òêî¿ ïîä³¿. Ôîðìàëüíà ìîäåëü çàäà÷³ íåë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ ìàº òàêèé ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 9 âèãëÿä. Çíàéòè min / max ( , )f m m C m m1 2 4 2 1 2 2 2� çà îáìåæåíü 0.18 � �m1 0.54, 0.7 � �m2 0.9, m m1 2 1� � . Ðîçâ’ÿçóþ÷è öþ çàäà÷ó ìåòîäîì íåë³í³éíîãî ïðîãðàìóâàííÿ, çíàéäåìî, ùî min ( , )f m m1 2 � 0.13071, max ( , )f m m1 2 � 0.26460. Ïðè÷îìó ì³í³ìóì ôóíêö³¿ äîñÿãàºòüñÿ äëÿ m1 � 0.18, m2 � 0.82, à ìàêñèìóì — äëÿ m1 � 0.3, m2 � 0.7. Îòæå, éìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî â ñåð³¿ ç ÷îòèðüîõ âèïðîáó- âàíü äâà ðàçè íàñòàíå ³ äâà ðàçè íå íàñòàíå ïîä³ÿ À, áóäå íàëåæàòè ïðîì³æêó [0.13071, 0.26460]. Äëÿ îá÷èñëåííÿ ì³ðè äîâ³ëüíî¿ éìîâ³ðíîñò³ ç öüîãî ïðîì³æêó çíàéäåìî íå÷³òê³ ÷èñëà: C 4 2 2 20 18 0 18 0 54 0 7 0 82 0 9� � �( . , . , . ) ( . , . , . ) � �C 4 2 (0.0324, 0.0324, 0.2916) � (0.49, 0.6724, 0.81) � (0.01587, 0.13071, 1.41718), C 4 2 2 20 18 0 3 0 54 0 7 0 7 0 9� � �( . , . , . ) ( . , . , . ) � C 4 2(0.0324, 0.09, 0.2916) � (0.49, 0.49, 0.81) � (0.01587, 0.2646, 1.41718). Îäåðæèìî äâà íå÷³òêèõ òðèêóòíèõ ÷èñëà, íàâåäåíèõ íà ä³àãðàì³ Çàäå: Íàñòóïíèì êðîêîì º çíàõîäæåííÿ ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷- êè (0.01587, 0), (0.2646, 1) òà ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿, ÿêà ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êè (1.41718, 0), (0.13071, 1). Ö³ ð³âíÿííÿ ìàþòü òàêèé âèãëÿä: 0.24873 y x� 0.01587, 1.28647 y x� � 1.41718. Äàë³ çíàõîäèìî òî÷êó ïåðåòèíó öèõ ïðÿìèõ. Îñê³ëüêè òî÷êà (0.2429, 0.9128) º øóêàíîþ òî÷êîþ ïåðåòèíó ïðÿìèõ, òî â³äïîâ³äí³ îö³íêè äëÿ éìîâ³ðíîñòåé íå÷³òêî¿ ïîä³¿ A çàäàþòüñÿ òàêèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè: p p p � � �0 01587 0 24873 1 41718 1 28647 . . ( ) . . � çà óìîâè 0.13071 � �p 0.2429, � � � p p p1 41718 1 28647 0 01587 0 24873 . . ( ) . . � çà óìîâè 0.2429 � �p 0.2646. ßêùî, íàïðèêëàä, ïîä³¿ ìíîæèíè Õ ³íòåðïðåòóâàòè ÿê âèïàä³ííÿ ÷èñåë ìíî- æèíè {1, 2, … , 6} ï³ä ÷àñ ï³äêèäàííÿ êóáèêà, òî ì³ðó éìîâ³ðíîñò³ òîãî, ùî â ñåð³¿ ç ÷îòèðüîõ âèïðîáóâàíü äâà ðàçè íàñòàíå ³ äâà ðàçè íå íàñòàíå íå÷³òêà ïîä³ÿ À , ìîæíà ïðèáëèçíî îö³íèòè çà äîïîìîãîþ íàâåäåíèõ íåð³âíîñòåé. 10 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 0.01587 0.13071 0.2646 1.41718 ÂÈÑÍÎÂÊÈ Çàïðîïîíîâàíèé ï³äõ³ä äàº çìîãó îá÷èñëþâàòè ì³ðè éìîâ³ðíîñòåé íå÷³òêèõ ïîä³é ó âèïàäêó, êîëè éìîâ³ðíîñò³ åëåìåíòàðíèõ ïîä³é çàäàþòüñÿ íå÷³òêèìè òðèêóòíèìè ÷èñëàìè. Çíàõîäæåííÿ ðîçâ’ÿçêó òàêèõ çàäà÷, ÿê âèäíî, ïîòðåáóº âåëèêîãî îáñÿãó îá÷èñëþâàëüíî¿ ðîáîòè. Öå ïðîäåìîíñòðîâàíî íà ê³ëüêîõ ïðèêëàäàõ ðîçâ’ÿçóâàííÿ êëàñè÷íèõ éìîâ³ðí³ñíèõ çàäà÷ â íå÷³òêèõ ïîñòàíîâ- êàõ. Óñ³ îá÷èñëåííÿ âèêîíàíî â ñèñòåì³ Octave âåðñ³¿ 4.2.1. ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ 1. Buckley J.J. Fuzzy probabilities. Heidelberg: Physica-Verlag, 2003. 162 p. 2. Ãíåäåíêî Á.Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ìîñêâà: Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2005. 448 ñ. 3. Rutkowski L. Metody i techniki sztucznej inteligencji. Warszawa: Wydawnictwo Naukove PWN, 2009. 452 s. 4. Ðóòêîâñêàÿ Ä., Ïèëèíüñêèé Ì., Ðóòêîâñêèé Ë. Íåéðîííûå ñåòè, ãåíåòè÷åñêèå àëãîðèòìû è íå÷åòêèå ñèñòåìû. Ìîñêâà: Òåëåêîì, 2006. 382 ñ. 5. Zadeh L.A. Fuzzy sets. Information and Control. 1965. Vol. 8, N 3. P. 338–353. 6. Siler W., Buckley J.J. Fuzzy expert systems and fuzzy reasoning. Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2005. 402 p. 7. Ross T.J. Fuzzy logic with engineering applications. Chichester: John Wiley & Sons, Ltd, 2017. 583p. 8. Ïðîâîòàð À.È., Ëàïêî À.Â. Î íåêîòîðûõ ïîäõîäàõ ê âû÷èñëåíèþ íåîïðåäåëåííîñòåé. Ïðîáëåìè ïðî- ãðàìóâàííÿ. 2010. ¹ 2-3. Ñ. 22–27. 9. Eaton J.W., Bateman D., Hauberg S., Wehbring R. GNU Octave. Boston: Free Software Foundation, 2017. 990 p. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 08.04.2020 À.È. Ïðîâîòàð, Î.À. Ïðîâîòàð Î ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎÌ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÈ ÌÅÐÛ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÍÅ×ÅÒÊÎÃÎ ÑÎÁÛÒÈß Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ïîäõîä, êîòîðûé ïîçâîëÿåò (ïðè íåîáõîäèìîñòè) âû÷èñëÿòü ìåðû èíäèâèäóàëüíûõ âåðîÿòíîñòåé íå÷åòêèõ ñîáûòèé. Ïðèâåäå- íû ðåçóëüòàòû èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ïîäõîäà ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ âåðî- ÿòíîñòíûõ çàäà÷ â íå÷åòêîé ôîðìóëèðîâêå. Êëþ÷åâûå ñëîâà: íå÷åòêèå ìíîæåñòâà, âåðîÿòíîñòü íå÷åòêîãî ñîáûòèÿ, íå- ÷åòêèå òðåóãîëüíûå ÷èñëà. O.I. Provotar, O.O. Provotar APPROXIMATE CALCULATION OF THE PROBABILITY MEASURE OF A FUZZY EVENT Abstract. An approach which allows (if necessary) calculating the measures of individual probabilities of fuzzy events is proposed. The results of using this approach to solve specific probabilistic problems in fuzzy formulation are given. Keywords: fuzzy event, probability of fuzzy event, triangular fuzzy number. Ïðîâîòàð Îëåêñàíäð ²âàíîâè÷, äîêòîð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîôåñîð Êè¿âñüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³âåðñèòåòó ³ìåí³ Òàðàñà Øåâ÷åíêà, e-mail: aprowata1@bigmir.net. Ïðîâîòàð Îëüãà Îëåêñàíäð³âíà, êàíäèäàò ô³ç.-ìàò. íàóê, ìîëîäøèé íàóêîâèé ñï³âðîá³òíèê ²íñòèòóòó ê³áåðíåòèêè ³ìåí³ Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, Êè¿â, e-mail: olga.provotar@gmail.com. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 11

Про наближене обчислення міри ймовірності нечіткої події

Institution

Ähnliche Einträge