Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью

Рассмотрены пространственно распределенные динамические системы, линейная математическая модель которых дополняется нелинейным дифференциальным членом, полученным произведением линейных дифференциальных преобразований функции состояния или заменой такими преобразованиями коэффициентов линейного приб...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2021
Main Author:	Стоян, В.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2021
Series:	Кібернетика та системний аналіз
Subjects:	Системний аналіз
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190586
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью / В.А. Стоян // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 77–93. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-190586
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1905862025-02-23T18:58:40Z Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью Псевдообернення математичних моделей розподілених диференціальних систем з адитивно визначеною нелінійністю Pseudo-inversion of the mathematical models of distributed differential systems with additively definite nonlinearity Стоян, В.А. Системний аналіз Рассмотрены пространственно распределенные динамические системы, линейная математическая модель которых дополняется нелинейным дифференциальным членом, полученным произведением линейных дифференциальных преобразований функции состояния или заменой такими преобразованиями коэффициентов линейного приближения модели. Построены псевдообращения приведенных математических моделей, которые по среднеквадратическому критерию согласуются с их дифференциальным представлением. Розглянуто просторово розподілені динамічні системи, лінійна математична модель яких доповнюється нелінійним диференціальним членом, отриманим множенням лінійних диференціальних перетворень функції стану або заміною такими перетвореннями коефіцієнтів лінійного наближення моделі. Побудовано псевдообернення наведених математичних моделей, які за середньоквадратичним критерієм узгоджуються з їхнім диференціальним представленням. The author considers spatially distributed dynamic systems whose linear mathematical model is complemented by a nonlinear differential term, obtained as the product of linear differential transformations of state function or by replacing such transformations of coefficients of the linear approximation of the model. Pseudo-inversions of the considered mathematical models, which are consistent with their differential representation according to the root-mean-square criteria, are generated. 2021 Article Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью / В.А. Стоян // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 77–93. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1019-5262 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190586 519.6 ru Кібернетика та системний аналіз application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системний аналіз Системний аналіз
spellingShingle	Системний аналіз Системний аналіз Стоян, В.А. Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью Кібернетика та системний аналіз
description	Рассмотрены пространственно распределенные динамические системы, линейная математическая модель которых дополняется нелинейным дифференциальным членом, полученным произведением линейных дифференциальных преобразований функции состояния или заменой такими преобразованиями коэффициентов линейного приближения модели. Построены псевдообращения приведенных математических моделей, которые по среднеквадратическому критерию согласуются с их дифференциальным представлением.
format	Article
author	Стоян, В.А.
author_facet	Стоян, В.А.
author_sort	Стоян, В.А.
title	Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью
title_short	Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью
title_full	Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью
title_fullStr	Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью
title_full_unstemmed	Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью
title_sort	псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2021
topic_facet	Системний аналіз
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/190586
citation_txt	Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью / В.А. Стоян // Кібернетика та системний аналіз. — 2021. — Т. 57, № 1. — С. 77–93. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Кібернетика та системний аналіз
work_keys_str_mv	AT stoânva psevdoobraŝeniematematičeskihmodelejraspredelennyhdifferencialʹnyhsistemsaditivnoopredelennojnelinejnostʹû AT stoânva psevdoobernennâmatematičnihmodelejrozpodílenihdiferencíalʹnihsistemzaditivnoviznačenoûnelíníjnístû AT stoânva pseudoinversionofthemathematicalmodelsofdistributeddifferentialsystemswithadditivelydefinitenonlinearity
first_indexed	2025-11-24T13:01:47Z
last_indexed	2025-11-24T13:01:47Z
_version_	1849676852355923968
fulltext	ÓÄÊ 519.6 Â.À. ÑÒÎßÍ ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÀÄÈÒÈÂÍÎ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÉ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÑÒÜÞ Àííîòàöèÿ. Ðàññìîòðåíû ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, ëèíåéíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü êîòîðûõ äîïîëíÿåòñÿ íåëèíåé- íûì äèôôåðåíöèàëüíûì ÷ëåíîì, ïîëó÷åííûì ïðîèçâåäåíèåì ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ èëè çàìåíîé òàêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîäåëè. Ïîñòðî- åíû ïñåâäîîáðàùåíèÿ ïðèâåäåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, êîòîðûå ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ ñîãëàñóþòñÿ ñ èõ äèôôåðåíöèàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïñåâäîîáðàùåíèå, íåëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, ñèñòåìû ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèé àâòîðà â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè íåïîëíî íàáëþäàåìûõ ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì, èç- ëîæåííûõ â [1–3], ïîëó÷åíà ìåòîäèêà ðåøåíèÿ (ïî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìó êðèòåðèþ) íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ è çàäà÷ óïðàâëåíèÿ äëÿ ëþáîé ëèíåéíîé äèôôåðåíöèàëüíî îïðåäåëåííîé ëèíåéíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ äèñêðåòíî è íåïðåðûâíî çàäàííûìè íàáëþäåíèÿìè çà åå íà÷àëüíî-êðàåâûì ñîñòîÿíèåì. Âàæíî, ÷òî êîëè÷åñòâî òàêèõ íàáëþäåíèé ïðîèçâîëüíî è íå çàâèñèò îò ïîðÿä- êà äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ åå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Îñíîâà äëÿ ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè äàííîé ìåòîäèêè — íàëè÷èå èíòåãðàëüíîãî ýêâèâà- ëåíòà äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè. Â [3, 4] ïðåäëîæåíà ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ ÿäåð èíòåãðàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé èññëåäóåìûõ ñèñòåì è ïðîöåññîâ ïðè óñëîâèè èõ ëèíåéíîñòè. Ïðåäëîæåííàÿ â [5, 6] ìåòîäèêà ïñåâäîîáðàùåíèé íåëèíåéíûõ äèñêðåòíî ïðåîáðàçóþùèõ ñèñòåì è åå ðàñïðîñòðàíåíèå [7, 8] íà äèíàìèêó íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì ïîçâîëèëè ðåøèòü çàäà÷ó ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëüíûõ ýêâèâàëåíòîâ äâóõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ìîäå- ëåé, íåëèíåéíîñòü â êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå íåîäíîêðàòíîãî óìíîæåíèÿ ëè- íåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû èëè ïî- ñëå çàìåíû òàêèì ïðåîáðàçîâàíèåì êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìî- äåëè. Íàéäåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ÿäåð èíòåãðàëüíûõ ýêâèâàëåíòîâ òàêèõ ìîäåëåé, îäíàêî, îòíîñèëèñü ê ñèñòåìàì, äèíàìèêà êîòîðûõ îïèñàíà äèôôåðåí- öèàëüíûì óðàâíåíèåì áåç ëèíåéíîé ÷àñòè. Ïîñêîëüêó ïðàêòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ÷àñòî âûïîëíÿåò- ñÿ [9, 10] äîáàâëåíèåì íåëèíåéíîãî ÷ëåíà ê èõ ëèíåéíîìó ïðèáëèæåíèþ, âîçíè- êàåò ïîòðåáíîñòü èññëåäîâàíèÿ êëàññè÷åñêè èçâåñòíûõ [11] ëèíåéíûõ äèíàìè- ÷åñêèõ ìîäåëåé, àääèòèâíî äîïîëíåííûõ íåëèíåéíûì ÷ëåíîì. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå èçëîæåíû ðåçóëüòàòû ïñåâäîîáðàùåíèÿ [3] ïðîñòðàíñòâåí- íî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, â êîòî- ðûõ èññëåäîâàííûå â [7, 8] íåëèíåéíîñòè äîïîëíåíû ëèíåéíî ïðåîáðàçóþùèì ñëàãàåìûì. Êàê è â [7, 8], ðàññìîòðåíû (íàñêîëüêî ýòî âîçìîæíî â ðàìêàõ ìåòî- ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 77 � Â.À. Ñòîÿí, 2021 äèêè ïñåâäîîáðàùåíèÿ ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ è ôóíêöèîíàëüíûõ ñèñòåì) âà- ðèàíòû ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëüíûõ çàâèñèìîñòåé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ (èëè âåêòîðà åå çíà÷åíèé) ñèñòåìû êàê îò äèñêðåòíî, òàê è îò íåïðåðûâíî çàäàííîé ôóíêöèè âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ. Ïîñòðîåíû è èññëåäîâàíû íà òî÷- íîñòü è îäíîçíà÷íîñòü ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé ê ðåøåíèþ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷. Ôîðìà ïîëó÷åííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðåøå- íèé ïðèåìëåìà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ èññëåäóåìûõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì â îãðàíè÷åííûõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ îáëàñòÿõ ìåòîäàìè, ïðèâåäåííûìè â [1–3]. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ðàññìîòðèì ðàñïðåäåëåííûé äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ, ôóíêöèÿ y s( ) ñîñòîÿíèÿ êîòîðîãî â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîîðäèíàòàõ s x x t Sn� �( , , , )1 � óäîâ- ëåòâîðÿåò îäíîìó èç äâóõ óðàâíåíèé: L y s L y s u ss j i s j i i N 1 1 12 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� , (1) L y s L y s y s u sN s i s s N i i N ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )� � � � � � � 0 1 . (2) Çäåñü u s( ) — ðàñïðåäåëåííîå âíåøíåäèíàìè÷åñêîå âîçäåéñòâèå íà ïðîöåññ, à Li s( )� ( , )i N� 0 è L j i s ( ) ( )� ( , ; , )j i i N� �1 1 — ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû, êîòîðûå çàâèñÿò îò âåêòîðà ïðîèçâîäíûõ � � � � �s x x tn ( , , , ) 1 � . Çàìåòèì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò èññëåäîâàíèÿ ëèíåéíîé ÷àñòè ìîäå- ëåé (1), (2), êîòîðàÿ ïðè L Ls s1 1( ) ( ) ( )� � � , L LN s s( ) ( )� � � è çàäàííîì N îïèñûâà- åòñÿ óðàâíåíèåì L y s a y s u ss i s N i i N ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � 0 , äåòàëüíî èçëîæåí â [1–3]. Â [5, 6] èññëåäîâàíû âîïðîñû ïñåâäîîáðàùåíèÿ íå- ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé âèäà L y s u sj i s j i i N ( ) ( ) ( ) ( )� � �� 12 , (3) ( ( ) ( )) ( ) ( )L y s y s u si s s N i i N � � � � � 0 1 , (4) êîòîðûå ÿâëþòñÿ ýëåìåíòàìè íåëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ïðåäñòàâ- ëåííûõ ñîîòíîøåíèÿìè (1), (2). Äàëåå ðåøàþòñÿ çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè y s( ) èëè âåêòîðà � y y l Ll� �col( , , )1 åå çíà÷åíèé y s yl l( ) � ( )s Sl � òàêèõ, ÷òîáû ïðè èçâåñòíîé ôóíêöèè u s( ), îïðåäå- ëåííîé íåïðåðûâíî èëè íàáîðîì � u u m Mm� �col ( , , )1 åå çíà÷åíèé u s um m( ) � ( ) �s Sm , âûïîëíÿëîñü îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé: �1 11 2 � � � � � � � � � �� L y s uj i s s s m j i i N ym ( ) ( ) ( )\| min� m M � � 1 , (5) 78 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 �2 11 2 � � � � � � � � � �� L y s uj i s s s m j i i N ym ( ) ( ( ) ( )\| min sm M )� � 1 , (6) �3 11 2 � � � � � � � � � � �� L y s u s dsj i s j i i N y S ( ) ( ) ( ) ( ) min� (7) äëÿ ñèñòåìû (1) è �4 00 � � � � � � � � � � � �� ( ( ) ( )) ( )\|L y s y s ui s s N i s s m i N m M m� � 2 min� y , (8) �5 0 2 0 � � � � � � � � � � � �� ( ( ) ( )) ( )\|L y s y s ui s s N i s s m i N m m M y s � � min ( ) , (9) �6 0 � � � � � � � � � � � � � ( ( ) ( )) ( )\| ( )L y s y s u si s s N i s s i N l m l � � � 1 2 L y min� (10) äëÿ ñèñòåìû (2). Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ (5)–(10) ìàêñèìàëüíî èñïîëüçóåòñÿ ìåòîäèêà ðåøåíèÿ çàäà÷ ïñåâäîîáðàùåíèÿ ñèñòåì (3), (4), èçëîæåííàÿ â [7, 8]. Êàê è ïðè èññëåäîâà- íèè [7, 8] ìîäåëåé (3), (4), áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ L y s u sj i s j i( ) ( )( ) ( ) ( )� � ( , ; , )j i i N� �1 1 (11) â íåîãðàíè÷åííîé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáëàñòè åñòü [3] ôóíêöèÿ y s G s s u s dsj i j i( ) ( ) ( )( ) ( )� � � � , (12) â êîòîðîé ñ ó÷åòîì (11), (12) G s s e L i dj k n i s s j k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � 1 2 1� � � � ïðè � � � �� ( , , ),1 � n , d d d dn� � � �� ( , , )1 � , � � �( ) ( ) ( )s s t t x xk k k k n � � � � 1 (çäåñü i — ìíèìàÿ åäèíèöà). Ïðè ïñåâäîîáðàùåíèè ìîäåëè (1) ðåøåíèå åå ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû y s y s j k k N k ( ) ( )( )� � � 1 , (13) â êîòîðîé ñ ó÷åòîì (11), (12) y s G s s u s ds j k j k j k k k k ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )� � �� , (14) L y s u ss1 1 1 1( ) ( )( ) ( ) ( )� � (15) ïðè u s j k k ( ) ( ) ( , )k N� 2 , óäîâëåòâîðÿþùèì ñîîòíîøåíèþ u s L y s u j k u s j i s j k s s k j k m ( ) ( ) ( ) ( )( ) min ( ) ( )\| ~ ( ) � � � arg m k j i i k m M ( ) �� 11 2 1 (16) ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 79 äëÿ ñèñòåì (3), (4) è ñîîòíîøåíèþ u s L y s u j k u s j i s j k j i k j k ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) min ( ) ( ) ~ ( ) � � � �arg 1 k i k S s ds) ( ) � �� 1 2 (17) äëÿ ñèñòåìû (5), ãäå ~ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )u s u s L y sk j i s j p p k j p � � � � � � � � � � � � 1 1 1 i i k �� 1 , ~ ~ ( )( ) ( )u u s sm k k m m� � , à � sm — øàã äèñêðåòèçàöèè îáëàñòè S òî÷êàìè s m' . ÑÐÅÄÍÅÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÉ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ-ÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÐÈ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÇÀÄÀÍÍÛÕ ÂÍÅØÍÅÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÕ Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (1), (5). Äëÿ åå ðåøåíèÿ óðàâíåíèå (1) ïðåäñòàâèì â âèäå col L y s m M uj i s s s j i i N m ( ) ( ) ( )\| , ,� � � � � � � � � �� 1 11 � èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, � � � � u u ui i i i N 1 1 ( ) ( )� � � � � . (18) Çäåñü � u u m M sm m� � col( , , )1 � , à ñèìâîë �, êàê è â [3, 4], îáîçíà÷àåò îïåðà- öèþ äåêàðòîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ � u u m Mj i j m i( ) , ( )( , , )� �col 1 , â êîòîðûõ u j m i , ( ) — óìíîæåííûå íà � sm i çíà÷åíèÿ u sj i m ( ) ( ) ôóíêöèè u sj i( ) ( ) â òî÷êàõ sm ( , )m M�1 îïðåäåëåíèÿ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé u s( ). Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà � y â êðèòåðèè (5) ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ñîîòíîøåíèå (12) ïðåäñòàâèì â âèäå � � y A uj i j i� ( ) ( ) ( , ; , )j i i N� �1 1 , (19) ãäå A G s s sj i j i l m m ii l L m M ( ) ( ) , , ( ) ( )� � � � 1 1 1 . Ðåøåíèåì � u n kj i( ) ( , ) ( , ; ; , ; )j i j n i N i k� � � �1 1 óðàâíåíèÿ (19) òàêèì, ÷òî � � � u n k uj i u n kj i ( ) ( , ) ( , ) min \| \| \| \| ( ) � � arg � 2 , ãäå � j i j i nk u n k u A u y( ) ( )( , ) :\| \| \| \| min� �{ } � � � � 2 ïðè ôèêñèðîâàííîì � un k( ) è � � y A unk n k n k� ( ) ( ) , áóäåò [11] � � � u n k A y A A uj i j i nk j i n k n k( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )� �� (20) ïðè n k�{ }1 2, , ,� , k N�{ }1 2, , ,� . Ïðè ýòîì min ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) � � � � � � u n k j i j i nk nk nk j i j i A u y y y y � � � 2 T nk j i j i nk j iP P y n kT ( ) ( ) ( )( ) ( ( , ))� � � � 2 , ãäå P A Aj i j i j i( ) ( ) ( )( )� T . 80 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Ñ ó÷åòîì (15), (16) è (19) èç (18) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî âåêòîð � un k( ) ïðè n k�1, äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ � � � � � � �� ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A u A A uj i j i n k n k j k j j n k n k 1 1 � � n k k i i k N u( ) ( )� � � � � 1 , (21) â êîòîðîì � u u m Mk m k( ) ( )(~ , , )� �col 1 , � � � � � � � � � � x x xj j i i 1 1 . Îáîçíà÷èâ A Bnk nki� str ( , i N�1, ), B A Ankk p M j k n k pr jk j � � � col str0 0 1 11 , , , [( ) ] ( ) ( ) ( )� �� j n k � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� , r M s k s ns M pMk k � � � � � � � � � � � � �� 1 1 0 0 1 , , , , , , ,� �� , ,p M� � � � � � � 1 , B A A r Mnki j i n k pr j j i j � � � � � � � � � � � �col str � [( ) ] , ,( ) ( ) 1 1 , , , , , , ( ),� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� r M p M i k1 1 1 � �� nk n r k p j p u r M p N j � � � � � � � � � � � � � � �col col , ( ) , , , ,1 1 1 � � � � , (22) óðàâíåíèå (21) çàïèøåì â âèäå A unk nk k� � � � ( ) . (23) Îòêóäà � � nk ( , , , , , )n k k N� �{ } { }1 1� � òàêîå, ÷òî A unk nk k nk � � �� ( ) min 2 ïðè min ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � nk A u u u u P Pnk nk k k k k nk nk � 2 T T � � � u k n k( ) ( )( )� 2 , P A Ank nk nk � T , îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèåì [11] � � � � � � �nk nk nk k nk nk nk nk nkA P u A P A� � � �T T( ) . (24) Çäåñü âåêòîð � � � nk l N R� ( ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( � �� nk p nk i i M p ip M ip l p q 1 1 1 1 1 1 � � � � � ) ( ) ( )M i M i l p q p p q q � � � � � � 1 1 1 � � , [ ] [ ] ( ) ( ) � � � � � � nk l p p nk l p p � � � 1 1 1 1 (25) ïðè p N� 2, è l p M M M p � ( ) ( ) � 1 1 1 . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 81 Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (22) âåêòîðà � � nk èç (24) ñîîòíîøåíèåì u A P u A P An m k nk m nk k nk m nk m nk nk nk, ( ) ( ) ,[ ] [ ]� � � �T T� � , (26) â êîòîðîì [ ]� m — m-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû [ ]� , íàõîäèì çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò un m k , ( ) ( , )m M�1 âåêòîðà � um k( ) , à ñîãëàñíî (20) — è âåêòîðà � u j i( ) ( , ; , )j i i N� �1 1 . Ñ ó÷åòîì (13) è (14) âåêòîð � y, êîòîðûé ðåøàåò çàäà÷ó (5), îïðåäåëèì ñîîòíî- øåíèåì � � y A u j k j k k N k k � � � ( ) ( ) 1 , èíäåêñû jk ( , )k N�1 â êîòîðîì áóäåì âûáèðàòü èç óñëîâèÿ jk n k nk n k� � � arg min ( ( ) ) , ( ) 1 2 2� � , (27) ãäå � � nk j i j i i N n k2 2 11 � �� ( ( , ))( ) . Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà � y, à òàêæå òîãî, ÷òî u s u sj i m j m i m i( ) ,( ) � � , ñîîòíîøåíèåì y s G s s u s s j k m j k m m m M k N k k ( ) ( ) ( )( ) ( )� �� 11 íàéäåì ôóíêöèþ y s( ), êîòîðàÿ åìó ñîîòâåòñòâóåò. Ýòà ôóíêöèÿ áóäåò ðåøåíè- åì çàäà÷è (1), (5), ïðè êîòîðîì min ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � y k k k j k j k ku u u A A u k k �1 � �T T . ÑÐÅÄÍÅÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÉ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ-ÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÐÈ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÇÀÄÀÍÍÛÕ ÂÍÅØÍÅÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÕ Ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è (1), (6). Èñêîìóþ ñîãëàñíî (6) ôóíêöèþ y s( ) ïî àíàëîãèè ñ (13), (14) ïðåäñòàâèì ñîîòíîøåíèåì y s G s u j k j k k N k k ( ) [ ] ( )( ) ( )� � � � �T 1 , (28) âåêòîðû � u j i( ) êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ â (19) ïðè � G s G s s s m Mj i j i m m ii( ) ( )( ) ( ( ) ( ) , , )� � col � 1 1 , � � �� u uj i j i i N y s ( ) ( ) min 11 2 . Ïîëàãàÿ ïî àíàëîãèè ñ (20) � � u n k P P uj i j i jn ik n k( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( )� � (29) ïðè P G s G s dsjn in j i n k S ( ) ( ) ( )( )[ ( )]� � � � T ( , , , , , )n k k N� �{ } { }1 1� � , 82 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 âåêòîðû � u uj i u j i j i j i ( ) ( )min ( ) ( ) � � arg � ( , ; , )j i i N� �1 1 , ãäå � j i j i j i j i nk u u G s u y s ds j ( ) ( ) ( ) ( ): ([ ( )] ( )) min� � � � � � T 2 ( )i S � � � � �� , y s G s unk n k n k( ) [ ( )]( ) ( )� � �T , ñ òî÷íîñòüþ ( ( , )) min ([ ( )] (( ) ( ) ( ) ( ) � j i u R j i j i nkn k G s u y j i n 2 � � � � �T s ds S ))2 � � � � � y s ds G P G nk yj i j i yj i S 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) � � T (30) îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèåì [11] � � u P Gj i j i yj i( ) ( ) ( )( )� � , â êîòîðîì P G s G s dsj i j i j i S ( ) ( ) ( )( )( ( ))� � � � T , � � G G s y s dsyj i j i nk S ( ) ( ) ( ) ( )� � . Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (1), (6) ïðè ýòîì ýêâèâàëåíòíî ñðåä- íåêâàäðàòè÷åñêîìó îáðàùåíèþ óðàâíåíèÿ (18), âåêòîðû � u j i( ) ( , ; , )j i i N� �1 1 â êîòîðîì îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî (29). Ýòî óðàâíåíèå ïî àíàëîãèè ñ (21) çàïèøåì â âèäå � � � � � � � � �� ( ) (( ) ( ) ( ) ( )P P u Pj i j i jn ik n k i i k N n k j j n k 11 1 � � � �) ( ) ( ) ( )P u ujn ik n k k� � , ãäå � u u m Mk m k( ) ( )(~ , , )� �col 1 . Îòêóäà ïðè � � nk , îïðåäåëåííîì â (22), è A B i Nnk nki * ( , , )� �str 1 , B P Pnkk p M j k jn ik pr jk j � � col str0 0 1 1 , , , [( ) ] ( ) ( ) ( )� �� 1 j n k , r M s k s n p Ms M pMk k � � � � � � � � � � � � �� 1 1 0 0 1 1 , , , , , , , , ,� �� , B P P rnki j k jn ik pr j i ij � � � � � � � � �� col str � [( ) ] ,( ) ( ) 1 1, , ,M � � � � � � � � � � � � � � � � �� , r M p M i ks � � � � � � �1 1, , , ( ) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (23), â êîòîðîì A Ank nk� * . À ýòî çíà÷èò, ÷òî � � � � � � � � nk R nk k nk n l N A u A P� � � � arg Tmin \| \| \| \| ( ) ( ( ) * ( ) * 1 2 k k nku* ( ))� � � � � �( ) ( )* * A P Ank nk nk nk T � � , (31) ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 83 min \| \| \| \| ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � � � � R nk k k k l N A u u u u 1 2 T k nk nk k n kP P u) * * ( )) ( ) ( )T � � � � 2 , ãäå � � � nk l N R� �( )1 óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ (25), à P A Ank nk nk * * ( )� T . Îòêóäà, êàê è â (26), íàõîäèì [11] êîìïîíåíòû u A P u A Pn m k nk m nk k nk m nk m n, ( ) * ( ) , [( ) ] ( ) [( ) ] (� � �T T� � k nk nkA )� � � (32) âåêòîðà � u k( ) , ÷åðåç êîòîðûé ñîãëàñíî (29) îïðåäåëèì � u j i i Nj i( ) ( , ; , )� �1 1 . Êàê è ðàíåå, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè y s( ) âèáåðåì âåêòîðû � u j k k ( ) , äëÿ êîòîðûõ ïðè îïðåäåëåííûõ ñîãëàñíî (30), (31) âåëè÷èíàõ � j i n k( ) ( , ) è � j k( ) âûïîëíÿåòñÿ (27). Ñ ó÷åòîì � � u u m M j k j m k k k ( ) , ( )( , , )� �col 1 ýòó ôóíêöèþ îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèåì (28). Ïðè ýòîì min ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) y x k k k j k j k ku u u A A u k k �2 � �� T T , à � � nk — âåêòîð â ðåøåíèè (32) òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ ïðè det T(( ) )* *A Aj k j kk k � 0. ÑÐÅÄÍÅÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÅ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ ÑÎÑÒÎßÍÈß ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÉ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎ-ÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ ÏÐÈ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÎ ÇÀÄÀÍÍÛÕ ÂÍÅØÍÅÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈßÕ Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ çàäà÷è (1), (7), îãðàíè÷èâøèñü äëÿ óïðîùåíèÿ âûêëàäîê ñëó÷àåì N � 2. Â îòëè÷èå îò (28) ôóíêöèþ y s( ), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò (1), (7), îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèÿìè y s y s y s( ) ( ) ( )( ) ( )� �1 2 , y s G s s u s ds S ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 1� � , y s G s s u s dsj j S ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2� � ïðè u s u s 1 1( ) ( ) ( )� è j�{ }1 2, , âûáîð êîòîðîãî ðàññìîòðèì äàëåå. Ïðè ýòîì áó- äåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî ñîãëàñíî (17) ôóíêöèè u s 1 1( ) ( ), u s 2 2( ) ( ) äîëæíû óäîâ- ëåòâîðÿòü óñëîâèþ ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L y s L y s L y ss s s1 1 2 1 2 2 2 2 2� � � � S y s u s ds� �~( )) min ( ) ( ) 2 2 ïðè ~( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( )u s u s L y s L y s Ls s� � � 1 1 1 1 2 1 2 2 � s y s) ( )( )1 . Ïîñëåäíåå ýêâèâàëåíòíî çàäà÷å ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè u s u s u s un k u sk ( ) , ( ) ( ) ( )( ) min min ( ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 2 2 � � � arg 2 2 2( ) ( ) ~ ( ))s u s ds S � . (33) Çäåñü è äàëüøå n�{ }1 2, . Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è (33) áóäåì èñõîäèòü èç ðåçóëüòàòîâ ïîñòðîåíèÿ ôóíê- öèè y s( ) ïðè u s( ), êîòîðàÿ äëÿ ëèíåéíîãî äèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà îïðåäåëåíà âåêòîðîì ñâîèõ çíà÷åíèé. Âåêòîðû � u 1 2( ) è � u 2 2( ) çíà÷åíèé ôóíêöèé u s 1 2( ) ( ) è 84 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 u s 2 2( ) ( ) àíàëîãè÷íî (21) îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèåì ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A A u A A u A An n n n n1 1 2 2 1 2 2 2 2 2� � �� ( ) ( ) ( )2 2 2� � u un n� ( , )n �1 2 , â êîòîðîì, êàê è ðàíåå, A Rn L M( )2 � ! ( , )n �1 2 , � u u s L y sm s s sm ( ) ( ) ( )(( ( ) ( ) ( )\|2 1 1 1� � � col � �� L y s L y ss s s s s sm m1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )\| ( ) ( )\| ), m M�1, ). Ïðè ýòîì îïðåäåëåííûé ñîãëàñíî (22) âåêòîð � � n n i n i n j u m M u u j M 2 2 2 2 1 1 � � � col col ( , , ) (( , , ), , ( ) , ( ) , ( ) i M� � � � � � � �1, ) ïîñòðîèì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îáðàùåíèåì óðàâíåíèÿ (23), êîòîðîå â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå çàïèøåì â âèäå A un n2 2 2� � � � ( ) . Çäåñü An2 — ( ( ))M M M! � 2 -ìåðíàÿ ìàòðèöà, êîòîðóþ ñîîòíîøåíèåì A B Bn n n2 21 22� ( )� (34) óäîáíî ïðåäñòàâèòü ÷åðåç ( )M M! è ( )M M! 2 -ìåðíûå ìàòðèöû B G s G s n M 21 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) � � T T ( ) ( ( ), , ( ))( )( ) ( ) ( ) /P G s G s sn n M M1 1 2 1 2 3 4� � � � � , B G s P G Gn p n22 1 2 1 2 2 1 2 2� �col T(([ ( )] ( ) ( )[ (( ) ( ) ( ) ( ) � � s P Gp n)] ( ) ( ( ),( ) ( )T 2 2 2 1 � � �� , ( ), , [ ( )] ( ) ( )[( ) ( ) ( ) ( )G G s P G Gn M p n M 2 1 2 1 2 2 2 � �T ( ) ( )( )] ( )2 2 2 !�s Pp T ! �( ( ), , ( ))) , , )( ) ( ) � � � G G s p Mn n M M 2 1 2 1� � � è L-ìåðíûå âåêòîð-ôóíêöèè � G sn ( ) ( )2 , îïðåäåëåííûå ïî àíàëîãè ñ (28). Âåêòîð � � � � � �n a R n M M A u2 2 2 2 2 � � � arg min \| \| \| \|( ) àíàëîãè÷íî (24) çàïèøåì â âèäå � � � � � � �n n n n n n n nA P u A P A2 2 2 2 2 2 2 2 2� � � �T T( ) , (35) ãäå P A A n n n2 2 2 � T , à � � n2 — ( )M M! 2 -ìåðíûé âåêòîð, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ (25) ïðè N � 2 . Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòðèöû Pn2 áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî B B G s G s n n M 21 21 1 1 1 1 1 T T T � � � � � � �[ ( )] [ ( )] ( ) ( ) � � � � � � � � �( ) ( ) ( ( ), , (( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P P G s G sn1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 � � � M Ms))( )� 2 , B B G s G s n n M 22 22 21 22 1 21 22 T T T � � � [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) � � � � � � � � � � � �( ) ( ( ), , ( ( , ) ( ) ( )P G s G s n M2 22 1 21 22 1 21 22 � � � ))( )� sM 2 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 85 ïðè P A A G s G sj i i i j i j i p j i p p M ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ( )]� � � �T T � � 1 � sM , P P P Pni j i j n i j( ) ( ) ( )( ) ( )2 2� � � , P P Pnij rs ni r g g ni s h h g L g ( ) ( ) ( ) , , \| \| [ ] [ ] \| \|2 2 2 11 2 1 2 2 1 � � �1 1 12 1 , , , , L h M h M� � . Ïðè ýòîì P G G G n2 1 1 1 21 22 1 1 1 � [ ( )] [ ( )] [ ( ( ) ( ) ( ) � � � T T � M MG P G G )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) T T � � � � 21 22 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � M M M G G s� � � 21 22 1 21 22 2 � � � � � � � � , P G G G n2 1 1 1 21 22 1 1 1 � � [ ( )] [ ( )] [ ( ) ( ) ( ) � � � � �T T ( )] [ ( )]( ) ( ) , ( , � �M MG P P P P T T � 21 22 1 1 1 21 1 21 � � � � � � � � � � � ) , ( , ) , ( , )P P P 21 1 22 1 21 21 22 22 � � �� " # $ $ % & ' ' ! � ! � � �� P P P P 1 1 1 21 1 21 21 1 22 1 21 21 22 22 ( ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) � � � � � � � � � G G G G M M 1 1 1 1 1 21 22 1 21 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � , (36) ãäå P P P n n � � � � � � � � 1 21 21 22 1 0 0 ( ) ( , ) , P G s G i i i i j j j j i i j j p i i1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4, , , ( , , , ) ( ) ( )[� � � ( ) ( )] j j p M p M s s3 4 1 � � T � , P G s G s i i i j j j i j p i i j j p 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3 , , ( , , ) ( ) ( ) ( )[ (� � � )] ,T � � � sM p M 1 P G s G s i i i j j j i i j j p i j p 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 3 , , ( , , ) ( ) ( ) ( )[ (� � � )] .T � � � sM p M 1 Ñ ó÷åòîì (34), (36) âûðàæåíèå (35) äëÿ âåêòîðà � � n2 çàïèøåì â âèäå � � n p p B B P P P P P P 2 1 2 1 1 1 21 1 21 21 1 22 1 2 � � � � � � � � ( ) , ( , ) , ( , ) 1 21 22 22 1 1 1 21 1 21 21, ( , ) ( ) , ( , )� � �� " # $ $ % & ' ' � P P P P , ( , ) , ( , ) 1 22 1 21 21 22 22P Gu � � �� , (37) ãäå G G u G u u p p M p M p p M p M � � � � � � 1 1 1 21 22 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � �� , B G G Pp n n M 1 2 1 2 1 � � � � � � � � � � � � [ ( )] [ ( )] ( ( ) ( ) ( � � T T 1 1 1 1 21 1 21) ( ) , ( , )) ( )� P P , B b b i M j Mp i j i j2 1 1 1 1� � �col ((( ( , ) ( , )), , ), , )� � , b i j1 ( , )� � � � � �[ ( )] ( ) ( )[ ( )]( ) ( ) ( ) ( ) � � � G P G s Gn i p p M n j 2 2 2 2 2 1 2� T T T( ) ( )[ ( )]( ) ( ) ( )P G s G s sp p M1 2 1 2 1 1� � � � , 86 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 b i j2 ( , )� � � � � � [ ( )] ( ) ( )[ ( )]( ) ( ) ( ) ( ) � � � G P G s Gn i p p M n j 2 2 2 2 2 1 2� T T T( ) ( )[ ( )] .( ) ( ) ( )P G s G s sp p M1 2 1 2 21 22� � � � Èç (37) ïðè M � � íàõîäèì u u u B B n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 1 2 � � � � � � � � � � � �� P P P P P P 1 1 1 21 1 21 21 1 22 1 21 21 22 22 ( ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) � � � �� " # $ $ % & ' ' ! � P ! � � �� P P P P 1 1 1 21 1 21 21 1 22 1 21 21 22 22 ( ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) � � Gu ( , )n �1 2 , ãäå B G P P Pn1 2 1 1 1 1 1 21 1 21( ) [ ( )] ( ) ( )( ) ( ) ( ) , ( , ) � � � T , B b b2 1 2( , ) ( , ) ( , ) � � � � , b G P G s G Pn n1 2 2 2 2 2 2( , ) [ ( )] ( ) ( )[ ( )] (( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � T T 1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( )) ( )[ ( )]� � � � G s G s ds S T , b G P G s G Pn n2 2 2 2 2 2 2 1 ( , ) [ ( )] ( ) ( )[ ( )] (( ) ( ) ( ) ( )� � � �T T � ( ) ( ) ( )) ( )[ ( )]2 1 2 21 22� � � � G s G s ds S T , à P P Pni j nij rs, ,( ) ( )2 2 îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç P G s G s dsj i j i j i S ( ) ( ) ( )( )[ ( )]� � � � T , P G s G i i i i j j j j i i j j i i j 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4, , , ( , , , ) ( ) ( ( )[� � � 3 4j S s ds ) ( )]T � , P G s G s d i i i j j j i j i i j j 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 2 3 , , ( , , ) ( ) ( ) ( )[ ( )]� � � T s S � , P G s G s d i i i j j j i i j j i j 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 3 , , ( , , ) ( ) ( ) ( )[ ( )]� � � T s S � ñîîòíîøåíèÿìè, îïðåäåëåííûìè ðàíåå. ÏÑÅÂÄÎÎÁÐÀÙÅÍÈÅ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎ ÓÒÎ×ÍÅÍÍÛÕ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÌÎÄÅËÅÉ Ñëó÷àé äèñêðåòíî îïðåäåëåííûõ âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùàþùèõ ôàêòî- ðîâ. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó (8) äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (2). Ïðè ýòîì óðàâíåíèå (2) çàïèøåì â âèäå a s y s u sk s N k k N ( ) ( ) ( )� � � � 0 , (38) ãäå a s a L y sk k k s( ) ( ) ( )� � � . (39) Êàê è ðàíåå, èç ñîîòíîøåíèÿ (39) íàõîäèì y s G s s a s a dsk k k( ) ( )( ( ) )� � �� , (40) ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 87 ãäå G s s L i e dk n k i s s( ) ( ) ( ) � � � � � � 1 2 1 1� � �� . Îãðàíè÷èâàÿñü äàëüøå óæå îïðåäåëåííûì âåêòîðîì � y, çàêëþ÷àåì, ÷òî äèñ- êðåòíûì ðåøåíèåì (40) áóäåò [11] � a a m Mk km� � �col ( , , )1 � � � � �arg min ( ( ) ( )( )) ( , )a m M l l L k l m km k km y s G s s a a 1 1 2 k M k k kG y a G � �� 1 ( ), � � (41) ãäå a a skm k m� ( ), G G s sk k l m l m l L m M� � � � [ ( )] , , 1 , � G G s s l Lk k l m m M � � � � � � � � � � �col ( ), ,1 1 , min \| \| ( ) \| \|� � � � a k k k k k G a y a G � �2 � � � � ��( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � � y a G y a G y a G G G y a Gk k k k k k k k k k T T ) � � k 2 . Ñ ó÷åòîì (41) óðàâíåíèå (38) äëÿ s s m Mm� �( , )1 çàïèøåì â âèäå ( ) ( )( ) ( )G y a G y u k m k N k k m N k m � � � � � � � 0 ( , )m M�1 , (42) ãäå, êàê è ðàíåå, ( ) ( )� m — m-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû ( )� , u u sm m� ( ), à ym N k( ) � � � � s N k s sy s m ( )\| . Äëÿ ðåøåíèÿ (42) ñîãëàñóåì îïðåäåëåíèå âåêòîðà � y, ïðîèçâîäíûõ ym N k( ) è çíà÷åíèé ôóíêöèè u s( ). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî u s( ) è ïðîèçâîäíûå � s N k y s( ) îïðåäåëåíû â òî÷êàõ �s m Mm ( , )1 , â ýòèõ æå òî÷êàõ îïðåäåëÿåì è ôóíêöèþ y s( ), ò.å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî � y y s m Mm� �col( ( ), , )1 . Ïðè ýòîì, îáîçíà÷àÿ � �~ (((( ) , , ), , ), , )( )y y a G y l M k N m Ml k kl m N k� � � � � col 1 0 1 , (43) � u u m Mm� �col( , , )1 , ~ ( (( ) , , ), , )( )G G k N m M k m� � ��diag str 0 1 , êàê è ðàíåå, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ~ ~ G y u � � � , ðåçóëüòàòîì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ñ òî÷íîñòüþ �2 2� � �min \| \| ~ ~ \| \| ~ ~ ~� � � � � � � y G y u u u u GG uT T îáðàùåíèÿ êîòîðîãî áóäåò � �~ ~ ( ~ ~ )y G GG u� �T T . (44) Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ñïåöèôèêè ìàòðèöû ~ G âåëè÷èíà �2 0� . Èç (44) ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (43) âåêòîðà �~ y ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî êîìïîíåíòû yl ( , )l M�1 èñ- 88 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 êîìîãî ñîãëàñíî (8) âåêòîðà � y áóäóò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ y y l l l l 2 � �� ( , )l L�1 , ãäå � l k kla G� � , � l k ll j l j l j N lG G G u� � � � � �( ) [( ) ( ) ]( ) ( ) T T 1 0 ïðè col ( , , ) � � G l M Gkl k� �1 , col (( ) , , )( )G l M Gj l j � �� 1 , col str( ([ ] , , ), , )G j M i M Gn ij n � �� 1 1 . Ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è (2), (9), êîòîðàÿ â îòëè÷èå îò çàäà÷è (2), (8) ïî- çâîëÿåò ïðè çàäàííûõ ( , , , ) , ( ( ), , )u u u u u u s m MM m m1 2 1� � � � �T íàéòè ôóíê- öèþ y s( ), à íå âåêòîð � y åå çíà÷åíèé. Êàê è ðàíåå, áóäåì èñõîäèòü èç óðàâíåíèÿ (2) è åãî ïðåäñòàâëåíèÿ (38), (39). Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå âåêòîð � ak çíà÷åíèé a s a s a sk k k M( ), ( ), , ( ) 1 2 � ôóíêöèè a sk ( ) îïðåäåëèì ÷åðåç y s( ), à íå � y. Ïîñëåäíåå íåñëîæíî ñäåëàòü ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêè, îáðàùàÿ äèñêðåòèçèðîâàííîå òî÷êàìè sm ( , )m M�1 ñîîòíîøåíèå (40). Ïðè ýòîì � a G s A s y s ds Pk R k k k k k M � � � � � �� arg Tmin ( ( ) ( ( ) ( )) ) � � 2 G yk , (45) ãäå A s a G s s dsk k k( ) ( )� � � � � , G s G s s m M k k m T str( ) ( ( ), , )� �1 , P G s G s dsk k k � � � � � ( ) ( )T , G G s A s y s dsyk k k� � � �� ( )( ( ) ( )) . Ñ èñïîëüçîâàíèåì (45) äèñêðåòèçèðîâàííîå òî÷êàìè sm ( , )m M�1 óðàâíå- íèå (38) çàïèøåì â âèäå P G s A s y s ds y u m k m k k m N k m( ) ( )( )( ( ) ( )) (� � �� 1 0 , )M k N , (46) ãäå, êàê è ðàíåå, P k m( ) � — m-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû P k � , y y sm N k s N k s sm ( ) ( )\| � � � . Îáîçíà÷èâ ~( ) ((( ( ) ( )) , , )( )y s A s y s y k Nk m N k� � � col 0 , m M�1, ), ~ ( ) ( ( ( ), , ), , ) ( ) G s P G s k N m M k m k� � ��diag str 0 1 , ñèñòåìó óðàâíåíèé (46) ïðèâåäåì ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ~ ( )~ ( )G s y s ds u� � �� , ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêè îáðàùàÿ êîòîðûå, íàõîäèì [11] ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 89 ~( ) ~ ( ) ~ y s G s P u� �T � (47) ïðè ~ ~ ( ) ~ ( )P G s G s ds� � �� T . Ðåøåíèå (47) çàïèøåì â âèäå ( ( ) ( )) ( ) ~ ( , ,( ) ( ) ( ) A s y s y P G s P u k N mk m N k k m k k m � � � � � � � 0 1, )M . (48) Ïîñëåäíåå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî çíà÷åíèÿ ym N k( ) ( , , , )k N m M� �0 1 ìîæíî íàéòè — îíè áóäóò ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ ( )( ) ( )y ym N k km m N k km � �2 � � , (49) â êîòîðîì � km N k k s sA s m � � � ( )\| , � km m N k k k s s m P G A s P u m � �� ( ) ( ) ( )\| ~ � . Ñ÷èòàÿ ym N k( ) ( , , , )k N m M� �0 1 èçâåñòíûìè, ââîäèì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð U y k N m Mm N k� � � col (( , , ), , )( ) 0 1 è âåêòîðíóþ ôóíêöèþ A s( ) � � � � col(( ( ) , , ), , )( )A s y k N m Mk m N k 0 1 , ñ èñïîëüçîâàíèåì êîòîðûõ èç (47) èëè (÷òî ýêâèâàëåíòíî) (48) ïîëó÷àåì Uy s G s P u A s( ) ~ ( ) ~ ( )� �T � , îòêóäà [9] íàõîäèì y s U U U G s P u A s( ) ( ) [ ~ ( ) ~ ( )]� �T T1 � , (50) êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (2), (9). Îáîçíà÷àÿ y ukm ( ) � êîðåíü ( )km -ãî êâàäðàòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (49) è ó÷èòû- âàÿ, ÷òî U U y u km m M k N T � �� 2 10 ( ) � , U G s P G s y u m M k m k N k km T T str ~ ( ) ( ) ( ), , ( ) � � � � � � � � � � � � 0 1 � , U A s A s y uk m M km k N T ( ) ( ) ( )� �� 1 2 0 � , ôóíêöèþ (50) çàïèñûâàåì â âèäå y s P G s P uy u A s y u k m k k m km k km m( ) [ ( ) ~ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) � � � � � � �2 10 2 10 M k N km m M k N y u �� ( ) � , îòêóäà (êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé) ïîëó÷àåì ðåøåíèå çàäà÷è ïñåâäîîáðàùåíèÿ óðàâ- íåíèÿ (4), êîòîðàÿ ðåøåíà â [7]. Ðåøåíèå çàäà÷è ïðè íåïðåðûâíî îïðåäåëåííîì âíåøíåäèíàìè÷åñêîì âîçìóùåíèè. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå çàäà÷è (10) ïî ïñåâäîîáðàùåíèþ äèôôåðåí- öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2), ñ÷èòàÿ ôóíêöèþ u s( ) èçâåñòíîé. 90 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 Êàê è ðàíåå, áóäåì èñõîäèòü èç ïðåäñòàâëåíèÿ (38) óðàâíåíèÿ (2). Â îòëè÷èå îò (41), îäíàêî, êîýôôèöèåíòû a sk ( ) îïðåäåëèì íåïðåðûâíî òàê, ÷òîáû a s G s s a s a ds y sk a s k l k l( ) min ( )( ( ) ) ' ( ) ( ) � � � �� arg � � � � � � � � 2 1l L . (51) Èç (51) ñ òî÷íîñòüþ � k a s k k k k k k G s a s a ds y y y2 2 � � � �� min ( )( ( ) ) ( ) � � �T � � y P P y k k k k T � , ãäå � y — âåêòîð çíà÷åíèé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ y s( ), � y y s a G s s ds l Lk l k l� � � �� col ( ( ) ( ) , , )1 , G s G s s l Lk k l( ) ( ( ), , ) � �col 1 , P G s G s dsk k k � � �� ( ) ( )T , íàõîäèì [11] a s G s P yk k k k( ) ( ' )� �T � . (52) Ñ ó÷åòîì (52) ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå çàïèøåì â âèäå G s P y y s u s k k k s N k k N T ( ) ( ) ( ) � �� 0 . (53) Îáîçíà÷àÿ y y s l N k s N k s sl ( ) ( )\| �� ( , )s N� 0 çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè y s( ) â òî÷êàõ s sl� ( , )l L�1 , èç (53) èìååì G s P y y u s i L k i kl kl i N k i l L k N T ( ) ( ) ( , )( )� �� 10 1 , (54) ãäå ( , , )P P P k kL k1 � � �� , ( , , )y y yk kL k1 � � � T . Íåñëîæíî âèäåòü, ÷òî ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé (54) ëåãêî ïðèâîäèòñÿ ê ñèñ- òåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé A u� � , (55) â êîòîðûõ � � � � � col ((( , , ), , ), , )( )y y l L k N i Lkl i N k 1 0 1 , A G s P l L k N i L k i kl � � � ��diag str T( (( ( ) , , ), , ), , )1 0 1 , u u s l Ll� �col ( ( ), , )1 . Èç (55), êàê è ðàíåå, íàõîäèì � � � �� arg min \| \| \| \|A u A P u A P A2 T T , ãäå P AA� T , A A� �� , � — ïðîèçâîëüíûé âåêòîð ðàçìåðíîñòè L N2 1! �( ), à � � � 2 2� � �min \| \| \| \|A u u u u PP uT T . ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 91 Ïðè ýòîì min \| \| \| \|� � � � � � � � �arg T � 2 A P u � �� col T TG s P G s P u s qp i pq k i kl i l L k N ( ) ( ( ) ) ( ), ,2 10 1 L p N i L � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 1, , . Îòêóäà y y G s P G s P u ski i N k k i ki j i jl i l L j ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) � � �� T T 2 10 N � (56) äëÿ k N� 0, , i L�1, . Ïðè k N� èç (56) íàõîäèì, ÷òî êîìïîíåíòû y y yL1 2, , ,� èñêîìîãî ñîãëàñ- íî (10) âåêòîðà � y îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèåì y y G s P G s P u s i Li Ni i N i Ni j i jl i l 2 2 1 � �� T T( ) ( ( ) ) ( )( , ) 10 L j N �� , â êîòîðîì � ki k ia G s s ds� � �� ( ) . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ðàáîòå â ïðîäîëæåíèå [7, 8] çàâåðøåíî èññëåäîâàíèå ïðîáëåìû ïåðåõîäà îò äâóõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíî îïðåäåëåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ê èõ èíòåãðàëüíîìó ýêâèâàëåíòó. Ðàññìîòðåíû ñëó÷àè, êîãäà ëèíåéíîå ïðèáëèæåíèå ìîäåëè äîïîëíåíî èññëå- äàâàííîé â [7, 8] íåëèíåéíîé ñîñòàâëÿþùåé, ïîëó÷åííîé ïîñëå íåñêîëüêî êðàòíîãî óìíîæåíèÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ èëè ïîñëå çàìåíû òàêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîãî ìàòåìà- òè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ê äèôôåðåíöèàëüíîé ìîäåëè ñèñòåìû. Ïñåâäîîáðàùåíè- åì èññëåäóåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ ñèñòåì ïðè äèñêðåòíî è íåïðåðûâíî çàäàí- íîé ôóíêöèè âíåøíåäèíàìè÷åñêèõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ ïîñòðîåíû àíàëèòè- ÷åñêèå çàâèñèìîñòè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé ê ðåøåíèÿì óêàçàííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Âûïîëíåíà îöåíêà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé òî÷- íîñòè ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé ïî îòíîøåíèþ ê èññëåäóåìîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ. Çàïèñàíû óñëîâèÿ îäíîçíà÷íîñòè ìíîæåñòâ ïîñòðîåííûõ ðåøåíèé. Ïîëó÷åííûå ìàòåìàòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ìîãóò ÿâèòüñÿ îñíîâîé äëÿ ðàñ- ïðîñòðàíåíèÿ èäåé è ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ëèíåéíûõ äèíà- ìè÷åñêèõ ñèñòåì â îãðàíè÷åííûõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ îáëàñòÿõ ïðè íå- ïîëíîòå èíôîðìàöèè îá èõ íà÷àëüíî-êðàåâîì ñîñòîÿíèè íà íåëèíåéíûå äèíàìè- ÷åñêèå ñèñòåìû. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñêîïåöüêèé Â.Â., Ñòîÿí Â.À., Êðèâîíîñ Þ.Ã. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ïðÿìèõ òà îáåðíå- íèõ çàäà÷ äèíàì³êè ñèñòåì ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè. Êè¿â: Íàóêîâà äóìêà, 2002. 361 ñ. 2. Ñêîïåöüêèé Â.Â., Ñòîÿí Â.À., Çâàðèä÷óê Â.Á. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ äèíàì³êè ðîçïîä³ëå- íèõ ïðîñòîðîâî-÷àñîâèõ ïðîöåñ³â. Êè¿â: Âèä-âî «Ñòàëü», 2008. 316 ñ. 3. Ñòîÿí Â.À. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ë³í³éíèõ, êâàç³ë³í³éíèõ ³ íåë³í³éíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñ- òåì. Êè¿â: ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2011. 320 ñ. 92 ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 4. Ñòîÿí Â.À., Äâ³ðíè÷óê Â.Á. Äî ïîáóäîâè ³íòåãðàëüíîãî åêâ³âàëåíòó ë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ìîäåëåé. Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. 2012. ¹ 9. Ñ. 36–43. 5. Ñòîÿí Â.À. Ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ íåëèíåé- íûõ äèñêðåòíî ïðåîáðàçóþùèõ ñèñòåì. ². Ìóëüòèïëèêàòèâíî íåëèíåéíûå ñèñòåìû. Êèáåðíå- òèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 54, ¹ 1. Ñ. 127–134. 6. Ñòîÿí Â.À. Ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ íåêîòîðûõ êëàññîâ íåëèíåé- íûõ äèñêðåòíî ïðåîáðàçóþùèõ ñèñòåì. ²². Ñèñòåìû ñ àäèòèâíî âûäåëåííîé íåëèíåéíîñòüþ. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 54, ¹ 2. Ñ. 102–107. 7. Ñòîÿí Â.À. Ê ïîñòðîåíèþ èíòåãðàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äâóõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. I. Ñëó÷àé äèñêðåòíî îïðåäåëåííûõ âíåøíåäèíàìè- ÷åñêèõ âîçìóùåíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2019. Ò. 55, ¹ 5. Ñ. 115–127. 8. Ñòîÿí Â.À. Ê ïîñòðîåíèþ èíòåãðàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äâóõ êëàññîâ íåëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâåííî ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì. ²I. Ñëó÷àé íåïðåðûâíî îïðåäåëåííûõ âíåøíåäèíà- ìè÷åñêèõ âîçìóùåíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 2020. Ò. 56, ¹ 1. Ñ. 118–128. 9. Áóëàâàöüêèé Â.Ì., Êðèâîíîñ Þ.Ã., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåêëàñè÷í³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â òåïëî- òà ìàñîïåðåíîñó. Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2005. 282 ñ. 10. Áîìáà À.ß., Áóëàâàöüêèé Â.Ì., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåë³í³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â ãåîã³äðîäèíàì³êè. Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2007. 291 ñ. 11. Ìàðêîâè÷ Á.Ì. Ð³âíÿííÿ ìàòåìàòè÷íî¿ ô³çèêè. Ëüâ³â: Âèä-âî ÍÓ «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà», 2010. 383 ñ. 12. Êèðè÷åíêî Í.Ô., Ñòîÿí Â.À. Àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íûõ è èíòåãðàëüíûõ ëè- íåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. 1998. ¹ 3. Ñ. 90–104. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 14.01.2020 Â.À. Ñòîÿí ÏÑÅÂÄÎÎÁÅÐÍÅÍÍß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ ÐÎÇÏÎÄ²ËÅÍÈÕ ÄÈÔÅÐÅÍÖ²ÀËÜÍÈÕ ÑÈÑÒÅÌ Ç ÀÄÈÒÈÂÍÎ ÂÈÇÍÀ×ÅÍÎÞ ÍÅË²Í²ÉÍ²ÑÒÞ Àíîòàö³ÿ. Ðîçãëÿíóòî ïðîñòîðîâî ðîçïîä³ëåí³ äèíàì³÷í³ ñèñòåìè, ë³í³éíà ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü ÿêèõ äîïîâíþºòüñÿ íåë³í³éíèì äèôåðåíö³àëüíèì ÷ëå- íîì, îòðèìàíèì ìíîæåííÿì ë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ïåðåòâîðåíü ôóíêö³¿ ñòàíó àáî çàì³íîþ òàêèìè ïåðåòâîðåííÿìè êîåô³ö³ºíò³â ë³í³éíîãî íàáëèæåííÿ ìîäåë³. Ïîáóäîâàíî ïñåâäîîáåðíåííÿ íàâåäåíèõ ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé, ÿê³ çà ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèì êðèòåð³ºì óçãîäæóþòüñÿ ç ¿õí³ì äèôåðåíö³àëüíèì ïðåäñòàâëåííÿì. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: ïñåâäîîáåðíåííÿ, íåë³í³éí³ äèíàì³÷í³ ñèñòåìè, ñèñòåìè ç ðîçïîä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè, ïðîñòîðîâî ðîçïîä³ëåí³ äèíàì³÷í³ ñèñòåìè. V.À. Stoyan PSEUDO-INVERSION OF THE MATHEMATICAL MODELS OF DISTRIBUTED DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH ADDITIVELY DEFINITE NONLINEARITY Abstract. The author considers spatially distributed dynamic systems whose linear mathematical model is complemented by a nonlinear differential term, obtained as the product of linear differential transformations of state function or by replacing such transformations of coefficients of the linear approximation of the model. Pseudo-inversions of the considered mathematical models, which are consistent with their differential representation according to the root-mean-square criteria, are generated. Keywords: pseudo-inversion, nonlinear dynamic systems, distributed-parameter systems, spatially distributed dynamic systems. Ñòîÿí Âëàäèìèð Àíòîíîâè÷, äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî, e-mail: v_a_stoyans@ukr.net. ISSN 1019-5262. Ê³áåðíåòèêà òà ñèñòåìíèé àíàë³ç, 2021, òîì 57, ¹ 1 93

Псевдообращение математических моделей распределенных дифференциальных систем с адитивно определенной нелинейностью

Institution

Similar Items