On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations
Вивчається задача Діріхле для виродженого рівняння Бельтрамі з неперервними межовими даними у довільній однозв’язній області комплексної площини. Встановлені критерії існування регулярних дискретних відкритих розв’язків цієї задачі, що відбулося шляхом використання функцій класів BMO — обмеженого се...
Saved in:
| Date: | 2023 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2023
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/195861 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations / V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 3. — С. 9-16. — Бібліогр.: 14 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-195861 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1958612025-02-09T20:16:05Z On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations Про задачу Діріхле для виродженого рівняння Бельтрамі Gutlyanskiĭ, V.Ya. Ryazanov, V.I. Sevost’yanov, E.A. Yakubov, E. Математика Вивчається задача Діріхле для виродженого рівняння Бельтрамі з неперервними межовими даними у довільній однозв’язній області комплексної площини. Встановлені критерії існування регулярних дискретних відкритих розв’язків цієї задачі, що відбулося шляхом використання функцій класів BMO — обмеженого середнього коливання та FMO — скінченного середнього коливання, а також ряду ефективних інтегральних критеріїв. Більше того, нами показано, що вказані розв’язки можуть бути зображені у вигляді композиції регулярних гомеоморфних розв’язків рівнянь Бельтрамі з гідродинамічним нормуванням у нескінченно віддаленій точці та голоморфного розв’язку відповідної задачі Діріхле, яка є асоційованою з цим рівнянням. Головні критерії сформульовані в термінах дотичної і максимальної дилатацій. Отримані результати можуть бути застосовані для для механіки рідин в сильно анізотропних і неоднорідних середовищах, оскільки рівняння Бельтрамі є складною формою основного рівняння гідромеханіки. The first two authors authors are partially supported by the project “Mathematical modelling of complex dynamical systems and processes caused by the state security”, No. 0123U100853, of National Academy of Sciences of Ukraine and by the Grant EFDS-FL2-08 of the fund of the European Federation of Academies of Sciences and Humanities (ALLEA). 2023 Article On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations / V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 3. — С. 9-16. — Бібліогр.: 14 назв. — англ. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2023.03.009 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/195861 517.5 en Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
English |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Gutlyanskiĭ, V.Ya. Ryazanov, V.I. Sevost’yanov, E.A. Yakubov, E. On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations Доповіді НАН України |
| description |
Вивчається задача Діріхле для виродженого рівняння Бельтрамі з неперервними межовими даними у довільній однозв’язній області комплексної площини. Встановлені критерії існування регулярних дискретних відкритих розв’язків цієї задачі, що відбулося шляхом використання функцій класів BMO — обмеженого середнього коливання та FMO — скінченного середнього коливання, а також ряду ефективних інтегральних критеріїв. Більше того, нами показано, що вказані розв’язки можуть бути зображені у вигляді
композиції регулярних гомеоморфних розв’язків рівнянь Бельтрамі з гідродинамічним нормуванням у
нескінченно віддаленій точці та голоморфного розв’язку відповідної задачі Діріхле, яка є асоційованою з
цим рівнянням. Головні критерії сформульовані в термінах дотичної і максимальної дилатацій. Отримані
результати можуть бути застосовані для для механіки рідин в сильно анізотропних і неоднорідних середовищах, оскільки рівняння Бельтрамі є складною формою основного рівняння гідромеханіки. |
| format |
Article |
| author |
Gutlyanskiĭ, V.Ya. Ryazanov, V.I. Sevost’yanov, E.A. Yakubov, E. |
| author_facet |
Gutlyanskiĭ, V.Ya. Ryazanov, V.I. Sevost’yanov, E.A. Yakubov, E. |
| author_sort |
Gutlyanskiĭ, V.Ya. |
| title |
On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations |
| title_short |
On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations |
| title_full |
On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations |
| title_fullStr |
On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations |
| title_full_unstemmed |
On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations |
| title_sort |
on the dirichlet problem for degenerate beltrami equations |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2023 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/195861 |
| citation_txt |
On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations / V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov // Доповіді Національної академії наук України. — 2023. — № 3. — С. 9-16. — Бібліогр.: 14 назв. — англ. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT gutlyanskiivya onthedirichletproblemfordegeneratebeltramiequations AT ryazanovvi onthedirichletproblemfordegeneratebeltramiequations AT sevostyanovea onthedirichletproblemfordegeneratebeltramiequations AT yakubove onthedirichletproblemfordegeneratebeltramiequations AT gutlyanskiivya prozadačudíríhledlâvirodženogorívnânnâbelʹtramí AT ryazanovvi prozadačudíríhledlâvirodženogorívnânnâbelʹtramí AT sevostyanovea prozadačudíríhledlâvirodženogorívnânnâbelʹtramí AT yakubove prozadačudíríhledlâvirodženogorívnânnâbelʹtramí |
| first_indexed |
2025-11-30T10:21:00Z |
| last_indexed |
2025-11-30T10:21:00Z |
| _version_ |
1850210320323182592 |
| fulltext |
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3: 9—16
https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.03.009
UDC 517.5
V.Ya. Gutlyanskiĭ1,2, https://orcid.org/0000-0002-8691-4617
V.I. Ryazanov1,2, https://orcid.org/0000-0002-4503-4939
E.A. Sevost’yanov1,3, https://orcid.org/0000-0001-7892-6186
E. Yakubov4, https://orcid.org/0000-0002-2744-1338
1 Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Slov’yansk
2 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv
3 Zhytomyr Ivan Fanko State University, Zhytomyr
4 Holon Institute of Technology, Holon, Israel
E-mail: vgutlyanskii@gmail.com, vl.ryazanov1@gmail.com,
esevostyanov2009@gmail.com, eduardyakubov@gmail.com
On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations
Presented by Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.Ya. Gutlyanskiĭ
We study the Dirichlet problem R ( ) = ( )lim
z
e f z
as ,z , ,z D D with continuous boundary data ( )
in arbitrary simply connected bounded domains D of the complex plane , where f satisfies the degenerate Beltrami
equation = ( ) ,z zf z f | ( ) |<1,z a. e. in D. We give in terms of the BMO and FMO criteria as well as a number of
other integral criteria on the existence and representation of regular discrete open solutions to the stated above problem.
Keywords: BMO, bounded mean oscillation, FMO, finite mean oscillation, Dirichlet problem, degenerate Beltrami
equations, simply connected domains
1. Introduction. Let D be a domain in the complex plane , and : D be measurable with
| ( ) |<1z a. e. in D . A Beltrami equation is an equation of the form
= ( )z zf z f (1)
with the formal complex derivatives = ( ) / 2z x yf f if , = ( ) / 2z x yf f if , =z x iy , where xf
and yf are partial derivatives of f in x and y , correspondingly. The dilatation quotient of the
equation (1) is the quantity
1 | ( ) |
( ) := .
1 | ( ) |
z
K z
z
(2)
C i t a t i o n: Gutlyanskiĭ V.Ya., Ryazanov V.I., Sevost’yanov E.A., Yakubov E. On the Dirichlet problem for de ge ne rate
Beltrami equations. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3. С. 9—16. https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.03.009
© Publisher PH «Akademperiodyka» of the NAS of Ukraine, 2022. Th is is an open access article under the CC BY-
NC-ND license (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3
V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov
The Beltrami equation is called degenerate if ess sup ( ) =K z . The quantity
2
0
0
0 2
1 ( )
( , ) :=
1 | ( ) |
T
z z z
z z
K z z
z
(3)
is called the tangent dilatation quotient of (1). Note that
–1
0 0( ) ( , ) ( ) , .TK z K z z K z z D z (4)
The Dirichlet problem by [1] and [2] for the nondegenerate Beltrami equations (1) in a domain
D is the problem on the existence of a continuous function :f D in the Sobolev class
1, 1
locW , satisfying (1) a. e., such that, for each prescribed continuous function : D ,
R ( ) = ( ) .lim
z
e f z D
(5)
Recall that mapping :f D is called discrete if the preimage –1( )f y consists of isolated
points for every y , and open if f maps every open set U D onto an open set in . Further,
if ( ) const , then the regular solution of the Dirichlet problem (5) for the Beltrami equation
(1) is a continuous, discrete and open mapping :f D of the Sobolev class 1, 1
locW with its Jaco-
bian 2 2( ) =| | | | 0f z zJ z f f a. e. satisfying (1) a.e. and the condition (5).
If D is the unit disk, some criteria for the solvability of the Dirichlet problem for the degener-
ate Beltrami equation can be found in a monograph [3]. The case of Jordan domains have been
studied e.g. in papers [4] and [5]. With the help of the concept of the Carathéodory prime ends, we
have extended the above criteria to more general domains in [6]. However, this approach can be
quite complex and difficult to apply in practice. The following proposition, together with appro-
priate existence theorems for the degenerate Beltrami equation in the whole complex plane, offers
another approach to studying the Dirichlet problem in the classic setting (5) in arbitrary bounded
domains .D These results are provided in the following sections.
Proposition 1. Let D be an arbitrary bounded simply connected domain in and let
: D be a measurable function with | ( ) |<1z a. e. in D . Suppose that there exists a homeo-
morphic 1, 1 ( )locW solution g to the Beltrami equation (1), with the same in D extended by zero
outside of .D Then the Beltrami equation (1) has a regular solution f of the Dirichlet problem (5)
in D for each continuous function : D , ( ) const . Moreover, such a solution f can be
represented as the composition = ,f h g where * *: , ( ),h D D g D is a holomorphic solution
of the Dirichlet problem
–1
* * *R ( ) = ( ) , with := .lim e h D g
Proof. First note that the domain *D is also bounded. Then, by Theorem 4.2.1 and Corollary
4.1.8 in [7], there is a unique harmonic function *:u D that satisfies the Dirichlet boundary
condition
–1
* * *( ) := ( ) , where := .lim u D g
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3
On the Dirichlet problem for de ge ne rate Beltrami equations
On the other hand, there is a conjugate harmonic function *:v D such that *:= :h u iv D
forms a holomorphic function, because the domain *D is simply connected, see e.g. arguments
at the beginning of the book [8]. Thus, the function =f h g gives the desired solution of the
Dirichlet problem (5) in D for the Beltrami equation (1).
A wide range of effective criteria is well known for the existence of homeomorphic so lutions to
the degenerate Beltrami equation, defined in the whole complex plane, see e. g. historic comments
with relevant references in monographs [3] and [9]—[11]. Assuming, for example, that the complex
dilatation ( )z has a compact support and the corresponding regular homeomorphic solution g to
the Beltrami equation (1) is normalized by the condition ( ) (1)g z z o at the infinity, we can apply
to the study of the Dirichlet problem some criteria established in our last paper [12].
From now on, we assume that the functions 0( , )TK z z and ( )K z are extended by 1 outside
of the domain D .
Proposition 2. Let D be a bounded simply connected domain in . Suppose that : D is
a measurable function with | ( ) |<1z a. e., 1 ( )K L D and
2 2
0 , 0 00 0
<| |<0 0
( , ) (| |) ( ) = ( ( )) a 0T
z z
z z
K z z z z dm z o I s z D
(6)
for some 0 0= ( ) > 0z and a family of measurable functions , 00
: (0, ) (0, )z with
0
, 00 0
( ) := ( ) < (0, ).z zI t dt
(7)
Then the Beltrami equation (1) has a regular solution f of the Dirichlet problem (5) in D for each
continuous function : D , ( ) const .
Moreover, such a solution f can be represented as the composition
= , ( ) = (1) ,f h g g z z o as z (8)
where :g is a regular homeomorphic solution of the Beltrami equation (1) in with extended
by zero outside of D and *: ,h D * := ( )D g D , is a holomorphic solution of the Dirichlet problem
–1
* * *R ( ) = ( ) , where := .lim e h D g
(9)
Proof. By Lemma 1 in [12], there is a regular homeomorphic solution g to the Beltrami
equation (1) in with hydrodynamic normalization ( ) := (1)g z z o as z . Consequently,
by Proposition 1, the function :=f h g gives the desired solution of the Dirichlet problem (5) in
D for the Beltrami equation (1).
Remark 1. Note that if the family of the functions ,0 0
( ) ( )z zt t is independent on the
parameter , then condition (6) implies that
0
( )zI as 0 . This follows immediately
from arguments by contradiction, apply for it (4) and the condition 1 ( )K L D . Note also that
(6) holds, in particular, if, for some 0 0= ( )z ,
2
0 0 00
| |<0 0
( , ) (| |) ( ) <T
z
z z
K z z z z dm z z D
(10)
12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3
V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov
and
0
( )zI as 0 . In other words, for the solvability of the Dirichlet problem (5) in
D for the Beltrami equation (1) for all continuous boundary functions , it is sufficient that
the integral in (10) converges for some nonnegative function
0
( )z t that is locally integrable
over 0(0, ] but has a nonintegrable singularity at 0 . The functions 0( / | |)log e z z , (0,1) ,
z, 0z , and ( ) =1/( log( / ))t t e t , (0,1)t , show that the condition (10) is compatible
with the condition
0
( )zI as 0 . Furthermore, condition (6) shows that (10) is sufficient
for the solvability of the Dirichlet problem, even if the integral in (10) is divergent in a control-
led way.
2. Existence theorems. The definitions of classes BMO, which denotes functions of bounded
mean oscillation, and FMO, which denotes functions of finite mean oscillation, can be found e.
g., in the paper [12]. Choosing ( ) =1/( log(1/ ))t t t in Proposition 2 and applying Lemma 2 from
[12], we obtain the following result.
Theorem 1. Let D be a bounded simply connected domain in and let a function : D
be measurable with | ( ) |<1z a. e. and 1 ( )K L D . Suppose also that 0 0
( , ) ( )T
zK z z Q z a. e. in
0zU for every point 0z D , a neighborhood
0zU of 0z and a function
0 0
: [0, ]z zQ U in the
class 0( )FMO z . Then the Beltrami equation (1) has a regular solution of the Dirichlet problem (5) in
D with the representation (8) for each continuous function : D , ( ) const .
In particular, by Proposition 1 in [12] the conclusion of Theorem 1 holds if every point 0z D
is the Lebesgue point of the function
0zQ .
Corollary 1. Let D be a bounded simply connected domain in , : D be a measurable
function with | ( ) |<1z a.e. and K have a majorant : [1, )Q in the class BMO. Then the
Beltrami equation (1) has a regular solution of the Dirichlet problem (5) in D with the representa-
tion (8) for each continuous function : D , ( ) const .
By Corollary 2 in [12], we obtain the following nice consequence of Theorem 1.
Corollary 2. Let D be a bounded simply connected domain in and let : D be a mea-
surable function with | ( ) |<1z a. e., 1 ( )K L D and
0
0 020 ( , )
1 ( , ) ( ) < .lim T
B z
K z z dm z z D
(11)
Then the Beltrami equation (1) has a regular solution of the Dirichlet problem (5) in D with the
representation (8) for each continuous function : D , ( ) const .
Similarly, choosing in Proposision 2 ( ) =1/t t , we come to the next statement.
Theorem 2. Let D be a bounded simply connected domain in and let : D be a mea-
surable function with | ( ) |<1z a. e. and 1 ( )K L D . Suppose also that, for some 0 0= ( ) > 0z ,
as 0
2
0 02
0<| |<0 0
( ) 1( , ) = log .
| |
T
z z
dm z
K z z o z D
z z
(12)
Then the Beltrami equation (1) has a regular solution of the Dirichlet problem (5) in D with the
representation (8) for each continuous function : D , ( ) const .
13ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3
On the Dirichlet problem for de ge ne rate Beltrami equations
Remark 2. Choosing in Lemma 1 the function ( ) =1/( log1/ )t t t instead of ( ) =1/t t , we
can replace (12) by
2
0
2
<| |<0 0
0
0
( , ) ( ) 1= log log
1| | log
| |
T
z z
K z z dm z
o
z z
z z
. (13)
In general, we are able to give here the whole scale of the corresponding conditions using func-
tions ( )t of the form 1/( log1/ log log1/ log log1/ )t t t t .
Now, choosing in Proposition 2 , 00 0
( ) ( ) =1/[ ( , )]T
z zt t tk z t , where 0( , )Tk z r is the in-
tegral mean of 0( , )TK z z over circle 0 0( , ) = { :| |= }S z r z z z r , we obtain one more important
conclusion.
Theorem 3. Let D be a bounded simply connected domain in and let : D be a mea-
surable function with | ( ) |<1z a. e. and 1 ( )K L D . Suppose also that, for some 0 0= ( ) > 0z ,
0
0
00
= , .
( , )T
dr z D
rk z r
(14)
Then the Beltrami equation (1) has a regular solution of the Dirichlet problem (5) in D with the
representation (8) for each continuous function : D , ( ) const .
Corollary 3. Let D be a bounded simply connected domain in and let : D be a mea-
surable function with | ( ) |<1z a. e., 1 ( )K L D and
0 0
1( , ) = log 0 .Tk z O as z D
(15)
Then the Beltrami equation (1) has a regular solution of the Dirichlet problem (5) in D with the
representation (8) for each continuous function : D , ( ) const .
Remark 3. In particular, the conclusion of Corollary 3 holds if
0 0 0
0
1( , ) = log a .
| |
TK z z O s z z z D
z z
(16)
The condition (15) can be also replaced by the whole series of weaker conditions
0 0
1 1 1( , ) = log log log log log .Tk z O z D
(17)
Combining Theorems 2.5 and 3.2 in [13] and Theorems 3, we obtain the following result.
Theorem 4. Let D be a bounded simply connected domain in and let : D be a measur-
able function with | ( ) |<1z a .e. and 1 ( )K L D . Suppose also that, for a neighborhood
0zU of 0z ,
0 00
0
( ( , )) ( ) < ,T
z
Uz
K z z dm z z D (18)
14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3
V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov
where
0
:[0, ] [0, ]z is a convex non-decreasing function such that
20
( )0
log ( ) =z
z
dtt
t
(19)
for some 0( ) > 0z . Then Beltrami equation (1) has a regular solution of the Dirichlet problem (5) in
D with the representation (8) for each continuous function : D , ( ) const .
Corollary 4. Let D be a bounded simply connected domain in and let : D be a mea-
surable function with | ( ) |<1z a. e. and 1 ( )K L D . Suppose also that
( ( )) ( ) <
D
K z dm z (20)
for a convex non-decreasing function :[0, ] [0, ] such that, for > 0 ,
2log ( ) = .dtt
t
(21)
Then the Beltrami equation (1) has a regular solution of the Dirichlet problem (5) in D with the
representation (8) for each continuous function : D , ( ) const .
Remark 4. By the Stoilow theorem (see [14]), a regular solution f of the Dirichlet prob-
lem (5) in D for the Beltrami equation (1) with 1
l ( )ocK L D can be represented in the form
=f h F where h is a holomorphic function and F is a homeomorphic regular solution of (1)
in the class 1, 1
locW . Thus, as shown in Theorem 5.1 of [13], condition (21) is not only sufficient
but also necessary for the existence of a regular solution of the Dirichlet problem (5) in D for
arbitrary Beltrami equations (1) with the integral constraints (20) for all continuous functions
: D , ( ) const .
Corollary 5. Let D be a bounded simply connected domain in and let : D be a mea-
surable function with | ( ) |<1z a. e., 1 ( )K L D and
( ) ( , )0 0
0
0
( ) <
Tz K z z
Uz
e dm z z D
(22)
for some 0( ) > 0z and a neighborhood
0zU of the point 0z . Then the Beltrami equation (1) has a
regular solution of the Dirichlet problem (5) in D with the representation (8) for each continuous
function : D , ( ) const .
Corollary 6. Let D be a bounded simply connected domain in and let : D be a mea-
surable function with | ( ) |<1z a. e. and, for some > 0 ,
( )
( ) < .
K z
D
e dm z
(23)
Then the Beltrami equation (1) has a regular solution of the Dirichlet problem (5) in D with the
representation (8) for each continuous function : D , ( ) const .
15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2023. № 3
On the Dirichlet problem for de ge ne rate Beltrami equations
The first two authors authors are partially supported by the project “Mathematical modelling
of complex dynamical systems and processes caused by the state security”, No. 0123U100853, of Na-
tional Academy of Sciences of Ukraine and by the Grant EFDS-FL2-08 of the fund of the European
Federation of Academies of Sciences and Humanities (ALLEA).
REFERENCES
1. Bojarski, B. (2009). Generalized solutions of a system of differential equations of the first order of the elliptic
type with discontinuous coefficients. Report of Univ. of Jyväskylä. Dept. Math. and Stat., Vol. 118. https://www.
jyu.fi/science/en/maths/research/reports/rep118.pdf .
2. Vekua, I. N. (1962). Generalized analytic functions. London: Pergamon Press.
3. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2012). The Beltrami Equation: A Geometric Approach.
Developments in Mathematics. 26. Berlin: Springer.
4. Bojarski, B., Gutlyanskii, V. & Ryazanov, V. (2013). Dirichlet problem for the general Beltrami equation in
Jordan domains. J. Math. Sci. (USA), 190, No. 4, pp. 525-538. https://link.springer.com/article/10.1007/s10958-
013-1269-x .
5. Kovtonyuk, D. A., Petkov, I. V. & Ryazanov, V. I. (2012). On the Dirichlet problem for the Beltrami equations in
finitely connected domains. Ukr. Math. J., 64, No. 7, pp. 1064-1077. https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/
article/view/2629 .
6. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2015). The Beltrami equations and prime ends. J. Math.
Sci. (USA), 210, No. 1, pp. 22-51. https://link.springer.com/article/10.1007/s10958-015-2546-7 .
7. Ransford, Th. (1995). Potential theory in the complex plane. London Mathematical Society Student Texts 28,
Univ. Press. Cambridge.
8. Koosis, P. (2008). Introduction to Hp spaces. Cambridge Tracts in Mathematics, 115. Cambridge Univ. Press.
9. Astala, K., Iwaniec, T. & Martin, G. (2009). Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings
in the plane. Princeton Math. Series, 48. Princeton Univ. Press.
10. Bojarski, B., Gutlyanskii, V., Martio, O. & Ryazanov, V. (2013). Infinitesimal geometry of quasiconformal and
bi-Lipschitz mappings in the plane. EMS Tracts in Math. (Vol. 19). Zürich: European Math. Society (EMS).
11. Martio, O., Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2009). Moduli in modern mapping theory. Springer Mono-
graphs in Mathematics. New York: Springer.
12. Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Sevost’yanov, E. & Yakubov, E. (2023). Hydrodynamic normalization conditions
in the theory of degenerate Beltrami equations. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 2, pp.10-17. https://doi.
org/10.15407/dopovidi2023.02.010
13. Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2012). Integral conditions in the theory of the Beltrami equations.
Complex Var. Elliptic Equ., 57, No. 12, pp. 1247-1270. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/1747693
3.2010.534790?journalCode=gcov20
14. Stoilow, S. (1956). Lecons sur les Principes Topologue de le Theorie des Fonctions Analytique. Gauthier-Villars.
Riemann, Gauthier-Villars, Paris.
Received 12.12.2022
16 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2023. No 3
V.Ya. Gutlyanskiĭ, V.I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov, E. Yakubov
В.Я. Гутлянський 1, 2, https://orcid.org/0000-0002-8691-4617
В.І. Рязанов 1, 2, https://orcid.org/0000-0002-4503-4939
Є. О. Севостьянов 1, 3, https://orcid.org/0000-0001-7892-6186
Е. Якубов 4, https://orcid.org/0000-0002-2744-1338
1 Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Слов’янськ
2 Інститут математики НАН України, Київ
3 Житомирський національний університет ім. Івана Франка, Житомир
4 Технологічний інститут Холона, Холон, Ізраїль
E-mail: vgutlyanskii@gmail.com, vl.ryazanov1@gmail.com, esevostyanov2009@gmail.com,
eduardyakubov@gmail.com
ПРО ЗАДАЧУ ДІРІХЛЕ ДЛЯ ВИРОДЖЕНОГО РІВНЯННЯ БЕЛЬТРАМІ
Вивчається задача Діріхле для виродженого рівняння Бельтрамі з неперервними межовими даними у до-
вільній однозв’язній області комплексної площини. Встановлені критерії існування регулярних дискрет-
них відкритих розв’язків цієї задачі, що відбулося шляхом використання функцій класів BMO — обмеже-
ного середнього коливання та FMO — скінченного середнього коливання, а також ряду ефективних інте-
гральних критеріїв. Більше того, нами показано, що вказані розв’язки можуть бути зображені у вигляді
композиції регулярних гомеоморфних розв’язків рівнянь Бельтрамі з гідродинамічним нормуванням у
нескінченно віддаленій точці та голоморфного розв’язку відповідної задачі Діріхле, яка є асоційованою з
цим рівнянням. Головні критерії сформульовані в термінах дотичної і максимальної дилатацій. Отримані
результати можуть бути застосовані для для механіки рідин в сильно анізотропних і неоднорідних серед-
овищах, оскільки рівняння Бельтрамі є складною формою основного рівняння гідромеханіки.
Ключові слова: BMO, обмежене середнє коливання, FMO, скінченне середнє коливання, задача Діріхле, виро-
джені рівняння Бельтрамі, однозв’язні області
|