Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя
Розв’язано задачу побудови інтегральної залежності функції просторово розподілених поперечних динамічних зміщень точок товстого пружного шару від зовнішньодинамічних навантажень на його граничні поверхні. Отримані результати порівнюються з розв’язком задачі осесиметричної динаміки розглянутого шару,...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Проблемы управления и информатики |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207589 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 70–82. — Бібліогр.: 9 назв. - рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-207589 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2075892025-10-11T00:00:56Z Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя Про інтегральну модель поперечних динамічних зміщень товстого пружного шару On Integral Model of Transverse Dynamic Displacement of Thick Elastic Layer Стоян, В.А. Двирничук, К.В. Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Розв’язано задачу побудови інтегральної залежності функції просторово розподілених поперечних динамічних зміщень точок товстого пружного шару від зовнішньодинамічних навантажень на його граничні поверхні. Отримані результати порівнюються з розв’язком задачі осесиметричної динаміки розглянутого шару, побудованого контурним інтегруванням тривимірних рівнянь Ляме. The problem of constructing an integral dependence of the function of spatially distributed dynamic transverse displacements of points of a thick elastic layer on external dynamic loads on its boundary surfaces is solved. The obtained results are compared with the solution of the axisymmetric dynamics of the considered layer, which was built by the contour integration of three-dimensional Lame equations. 2013 Article Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 70–82. — Бібліогр.: 9 назв. - рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207589 539.3:534.1 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i1.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| spellingShingle |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем Стоян, В.А. Двирничук, К.В. Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя Проблемы управления и информатики |
| description |
Розв’язано задачу побудови інтегральної залежності функції просторово розподілених поперечних динамічних зміщень точок товстого пружного шару від зовнішньодинамічних навантажень на його граничні поверхні. Отримані результати порівнюються з розв’язком задачі осесиметричної динаміки розглянутого шару, побудованого контурним інтегруванням тривимірних рівнянь Ляме. |
| format |
Article |
| author |
Стоян, В.А. Двирничук, К.В. |
| author_facet |
Стоян, В.А. Двирничук, К.В. |
| author_sort |
Стоян, В.А. |
| title |
Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя |
| title_short |
Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя |
| title_full |
Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя |
| title_fullStr |
Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя |
| title_full_unstemmed |
Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя |
| title_sort |
об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математическое моделирование и исследование сложных управляемых систем |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/207589 |
| citation_txt |
Об интегральной модели поперечных динамических смещений толстого упругого слоя / В.А. Стоян, К.В. Двирничук // Проблемы управления и информатики. — 2013. — № 1. — С. 70–82. — Бібліогр.: 9 назв. - рос. |
| series |
Проблемы управления и информатики |
| work_keys_str_mv |
AT stoânva obintegralʹnojmodelipoperečnyhdinamičeskihsmeŝenijtolstogouprugogosloâ AT dvirničukkv obintegralʹnojmodelipoperečnyhdinamičeskihsmeŝenijtolstogouprugogosloâ AT stoânva proíntegralʹnumodelʹpoperečnihdinamíčnihzmíŝenʹtovstogopružnogošaru AT dvirničukkv proíntegralʹnumodelʹpoperečnihdinamíčnihzmíŝenʹtovstogopružnogošaru AT stoânva onintegralmodeloftransversedynamicdisplacementofthickelasticlayer AT dvirničukkv onintegralmodeloftransversedynamicdisplacementofthickelasticlayer |
| first_indexed |
2025-11-24T10:04:17Z |
| last_indexed |
2025-11-24T10:04:17Z |
| _version_ |
1849665684359872512 |
| fulltext |
© В.А. СТОЯН, К.В. ДВИРНИЧУК, 2013
70 ISSN 0572-2691
УДК 539.3:534.1
В.А. Стоян, К.В. Двирничук
ОБ ИНТЕГРАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
ПОПЕРЕЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕЩЕНИЙ
ТОЛСТОГО УПРУГОГО СЛОЯ
Предложенные в [1] и развитые в [2, 3] методы математического моделиро-
вания решений начально-краевых задач динамики распределенных простран-
ственно-временных процессов позволяют построить функцию состояния послед-
них в условиях неполноты наблюдений за их начально-краевым состоянием. Не
менее успешной оказалась методика [1–3] и при решении сложных математиче-
ских задач управления такими процессами: были построены [2, 3] начально-
краевые и пространственно-распределенные функции управления линейными ди-
намическими системами по достижении ими дискретно и непрерывно определен-
ного желаемого состояния. Исходной для решения этих задач есть интегральная
математическая модель процесса, построение которой сопряжено [3] с определен-
ными математическими трудностями, которые увеличиваются с усложнением фи-
зики исследуемых процессов и дифференциальных моделей, если такие имеются.
Один из сложноформализуемых, а следовательно, и сложноуправляемых процес-
сов — классический процесс [4] динамики упругих объектов типа «плита–
пластина». Традиционно дифференциальные уравнения динамики таких объектов
строились на базе простых механических гипотез, которые позволяют восстанав-
ливать поле распределенных по толщине упруго-динамических смещений пла-
стины по смещению ее срединной поверхности, динамика которой описывалась
двумерными дифференциальными уравнениями. Последнее не всегда оказывалось
приемлемым по точности, что стало существенным при рассмотрении упругих
плит-пластин конечной толщины. В работе [6] нами построены дифференциальные
уравнения толстой упругой плиты конечной толщины, но неограниченной в прост-
ранстве и времени. Для исследования динамики плит конечных размеров и успеш-
ного управления такой динамикой (особенно в условиях неполноты информации об
их начально-краевом состоянии) удобной была бы методика решения подобных за-
дач, описанная и апробированная в [2, 3]. Для применения данной методики к объ-
ектам, математической моделью динамики которых есть дифференциальные урав-
нения, построенные в [6], ниже рассматривается переход от этих уравнений к их
интегральному эквиваленту. В декартовой системе координат построена интеграль-
ная зависимость функции поперечных упруго-динамических смещений точек слоя
от поверхностных нагрузок, которые их вызывают. Математические представления
сравниваются с результатами решения проблемы, полученными другими авторами
по другим методикам.
Дифференциальная математическая модель поперечных
динамических смещений толстого упругого слоя
Рассмотрим толстый упругий слой толщиной ,2h точки которого отнесем
к декартовой системе координат x, y, z так, чтобы граничные поверхности его опре-
делялись плоскостями .hz ±= Предполагая, что поверхности эти находятся под
воздействием нормальных и касательных к ним внешнединамических (t — времен-
ная координата) нагрузок ),,(1 tyxq± и ),,,(2 tyxq± через ),,,,( tzyxu ),,,,( tzyxv
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 71
),,,( tzyxw обозначим смещения точек слоя в направлении координатных осей
,Ox ,Oy Oz соответственно. При исследовании динамики такого слоя будем исхо-
дить из уравнений, которые описывают зависимость составляющих ),,,()( tzyxw l
k
)2,1,( =kl поперечных динамических смещений
).,,,(),,,( )(
2
1,
tzyxwtzyxw l
k
kl
∑
=
= (1)
Они будут такими [6]:
),,(),,,(),,,(),,( )()()()( tyxqzdtzyxwQ l
ktyx
l
k
l
ktyx
l ∂∂∂=∂∂∂ ).2,1,( =kl (2)
Здесь и далее
)),,,(),,((
2
1),,( 11
)1(
1 tyxqtyxqtyxq −+ += ),,,(),,(),,( 22
)1(
2 tyxqtyxqtyxq −+ −=
)),,,(),,((
2
1),,( 11
)2(
1 tyxqtyxqtyxq −+ −= ),,,(),,(),,( 22
)2(
2 tyxqtyxqtyxq −+ +=
=∂∂∂ ),,()1(
tyxQ
),(cos)(sin4)(sin)(cos))2)((( 2
1
12
1
2
2
1
2
1
2
2 hD
D
hDD
D
hDhDDD ∆µ−∆λ−µ+λ+∆=
=∂∂∂ ),,()2(
tyxQ
,)(sin)(cos4)(cos)(sin))2()((
2
2
1
2
22
1
12
1
2
2 D
hDhDDhD
D
hDDD ∆µ+µ+λ−∆λ+∆=
,)(sin)(sin2)(sin)(sin)(),,,(
2
2
1
1
2
2
1
12
2
2
1
)1(
1
∆−+∆=∂∂∂
D
zD
D
hD
D
hD
D
zDDDzd tyx
,)(cos)(sin2)(sin)cos())2((1
),,,(
2
1
12
1
2
2
1
2
1
)1(
2
−∆λ−µ+λ
µ
=
=∂∂∂
hD
D
zDD
D
zDhDDd
zd tyx
(3)
),cos()(cos2)cos()cos()(),,,( 2121
2
2
)2(
1 zDhDhDzDDzd tyx ∆−+∆=∂∂∂
=∂∂∂ ),,,()2(
2 tyx zd
µ+λ−∆λ
µ
+= )(cos)(sin))2((1)(sin)(cos2 2
1
12
1
2
2
1
2
2 zD
D
hDD
D
hDzDDd
при ∆, ,2
1D ,2
2D которые соотношениями
),( yxd ∂+∂=∆ ,1 2
2
1
1
2
1 t
с
D ∂+∆= 2
2
2
2
2
2
1
t
c
D ∂−∆=
определяются через
,
22 21 ∆
µ+λ
µ
+∆
µ+λ
µ+λ
=∆ ,22
2 yx ∂+∂=∆
72 ISSN 0572-2691
константы Ляме λ и µ, скорости ρµ= /2с и ρµ+λ= /)2(1с распространения
упругих волн расширения и сдвига в рассматриваемой среде (ρ — удельная плот-
ность материала) и через оператор d, для которого
.)( vuvud yx ∂+∂=+
В частном случае, когда ,vu yx ∂=∂ ,0=∂=∂ vu xy что соответствует осесиммет-
рической деформации рассматриваемого слоя,
,yxd ∂+∂= .22
21 yx ∂+∂=∆=∆=∆
Интегральная математическая модель динамики толстого упругого слоя
Рассмотрим задачу построения интегрального эквивалента дифференциаль-
ной зависимости (2) функций ),,,()( tzyxw l
k поперечных динамических смещений
точек рассматриваемого слоя от внешнединамических силовых характеристик
),,()( tyxq l
k ),2,1,( =kl полагая, что
,)()()(),,(),,( )()( tdydxdttyyxxtyxqtyxq l
k
l
k ′′′′−δ′−δ′−δ′′′= ∫
+∞
∞−
где )(⋅δ — δ-функция Дирака, которую для удобства представим соотношением
dpeip )(
2
1)( ⋅
+∞
∞−
∫π
=⋅δ
(здесь i — мнимая единица). При этом [1]
,),,,(),,(),,,( )()()( tdydxdttzyyxxGtyxqtzyxw l
k
l
k
l
k ′′′′−′−′−′′′= ∫
+∞
∞−
(4)
где
=′−′−′− ),,,()( ttzyyxxG l
k
.
),,(
),,,(
)2(
1
21
)()()(
21
)(
21
)(
3
21 dqdpdpe
qppQ
qzppd
i
ttqyypxxp
l
l
k
i
i
′−+′−+′−
∞+
∞−
∫
π
= (5)
Обозначив
tdydxdetyxqqppq tqypxpl
k
l
k ′′′′′′= ′+′+′−
+∞
∞−
∫ )()(
21
)( 21),,(),,(
преобразованную по Лапласу функцию
,),,(
)2(
1),,( 2121
)(
3
)( 21 dqdpdpeqppq
i
tyxq qtypxpl
k
i
i
l
k
++
∞+
∞−
∫
π
=
соотношение (4) запишем в виде
,),,,(),,,( 2121
)()( 21 dpdptzppUetzyxw l
k
ypxp
i
i
l
k
+
∞+
∞−
∫= (6)
где
.
),,(
),,,(
),,(
)2(
1),,,(
21
)(
21
)(
21
)(
321
)( dqe
qppQ
qzppd
qppq
i
tzppU qt
l
l
kl
k
i
i
l
k ∫
∞+
∞−π
= (7)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 73
Заметим, что выражения (5), (7) для функций )()( ⋅l
kG и )()( ⋅l
kU конкретизируются
и уточняются при осесимметрической деформации рассматриваемого слоя, когда фи-
гурирующий в определении ∆ оператор .yxd ∂+∂= Исходя из последнего, с учетом
приведенных в [6] приближений операторов ),,()(
tyx
lQ ∂∂∂ и ),,,()(
tyx
l
k zd ∂∂∂
)2,1,( =kl заключаем, что выражения ),,( 21
)( qppQ l и ),,,( 21
)( qzppd l
k в (5), (7),
записанные для этого случая в рамках классической и уточненной [4, 5] теории изгиба
упругих плит-пластин, будут следующими:
• для классической теории изгиба упругих пластин (точность порядка h):
,)(
2
)(4),,( 22
2
2
121
)1(
µ
ρ
−+
µ+λ
µ+λ
µ= qpphqppQ ,),,( 2
21
)2( qhqppQ ρ=
,0),,,( 21
)1(
1 =qzppd ,
2
)(),,,( 2121
)1(
2 µ+λ
λ
+= ppzqzppd (8)
,1),,,( 21
)2(
1 =qzppd );(),,,( 2121
)2(
2 pphqzppd +=
• для уточненной теории изгиба упругих плит (точность порядка :)3h
−
µ
ρ
−+
µ+λ
µ+λ
µ= 22
2
2
121
)1( )(
2
)(4),,( qpphqppQ
,
2
5)(
)2(
)782(4)(
2
)(8
!3
2
222
2
2
12
22
22
2
2
1
3
µ
ρ
µ+λ
µ+λ
+
µ
ρ
+
µ+λ
µ+λµ+λ
−+
µ+λ
µ+λ
µ− qqpppph
+ρ= 2
21
)2( ),,( qhqppQ
,
2
73)(
2
)43(4)(
2
)(8
!3
2
222
2
2
1
22
2
2
1
3
µ
ρ
µ+λ
µ+λ
+
µ
ρ
+
µ+λ
µ+λ
−+
µ+λ
µ+λ
µ+ qqpppph
,
2
),,,( 22
2
2
121
)1(
1
µ+λ
ρ
−+= qppzhqzppd
−
µ+λ
ρ
−++
µ+λ
λ
+= 22
2
2
1
2
2121
)1(
2 22
1
2
)(),,,( qpphppzqzppd (9)
,
)2(
24)(
2
23)(
!3
1 2
2
22
2
2
2
121
3
µ
ρ
µ+λ
µ+λµ+λ
−+
µ+λ
µ+λ
+− qppppz
+
µ
ρ
−+
µ+λ
µ+λ
−= 22
2
2
1
2
21
)2(
1 )(
2
43
2
11),,,( qpphqzppd
,
2
)(
22
1 22
2
2
1
2
µ+λ
ρ
++
µ+λ
λ
+ qppz
+
µ
ρ
µ+λ
µ+λ
−+
µ+λ
µ+λ
−+= 22
2
2
1
2
2121
)2(
2 2
32)(
2
43
!3
11)(),,,( qpphpphqzppd
.
2
)(
2
1 22
2
2
121
2
µ
ρ
−+
µ+λ
λ
++ qpppphz
74 ISSN 0572-2691
Нетрудно заметить, что для построения определенных таким образом функ-
ций ),()( ⋅l
kG а следовательно, и )()( ⋅l
kU можно воспользоваться классической тео-
рией интегральных вычетов одномерной функции комплексной переменной, до-
полненной в [7] логическими обобщениями на многомерный случай и условиями
о ее непрерывности, симметричности и затухании на бесконечности.
Сравнение полученных результатов с результатами, известными ранее
Для оценки достоверности предложенного выше интегрального представле-
ния (4), (5) составляющих ),,,()( tzyxw l
k функции ),,,( tzyxw поперечных дина-
мических смещений рассматриваемого слоя сравним выражения (6), (7) этих со-
ставляющих с результатами, полученными Г.И. Петрашенем и Л.А. Молотковым
в [8, 9] путем контурного интегрирования уравнений осесимметрической теории
упругости. Для этого декартовую систему координат x, y, z, к которой отнесены
точки рассматриваемого слоя, заменим цилиндрической системой r, θ, z.
В этом случае соотношение (2), внешнединамические нагрузки )()( ⋅l
kq )2,1,( =kl
и дифференциальные операторы (3) заменятся на
),,(),,(1),,(),( )(12)()(2)( trqzdtzrwQ l
k
k
rt
l
k
l
kt
l −∂∂∆
µ
=∂∆ (10)
)),,(),((
2
1),( 11
)1(
1 trqtrqtrq −+ += )),,(),((
2
1),( 22
)1(
2 trqtrqtrq −+ −=
)),,(),((
2
1),( 11
)2(
1 trqtrqtrq −+ −= )),,(),((
2
1),( 22
)2(
2 trqtrqtrq −+ +=
),(cos)(sin4)(sin)(cos)(),( 2
1
12
1
2
2
1
22
2
2)1( hD
D
hDD
D
hDhDDQ t ∆−+∆=∂∆
,)(sin)(cos4)(cos)(sin)(),(
2
2
1
2
22
1
122
2
2)2(
D
hDhDDhD
D
hDDQ t ∆−+∆=∂∆
,)(cos)(sin2)(sin)(cos)(),,(
,)(sin)(sin2)(sin)(sin)(),,(
2
1
12
1
2
2
1
2
2
2)1(
2
2
2
1
1
2
2
1
12
2
2
1
2)1(
1
−+∆∆=∂∆
∆−+∆=∂∆
hD
D
zDD
D
zDhDDzd
D
zD
D
hD
D
hD
D
zDDDzd
t
t
(11)
),(cos)(cos2)(cos)(cos)(),,( 2121
2
2
2)2(
1 zDhDhDzDDzd t ∆++∆−=∂∆
−+∆∆=∂∆
2
2
1
2
22
1
12
2
2)2(
2
)(sin)(cos2)(cos)(sin)(),,(
D
hDzDDzD
D
hDDzd t
при
,rd∂=∆ ,1
r
d r +∂= 2
2
2 1
t
m
m
c
D ∂−∆= )2,1( =m
(здесь, как и выше, ,1c 2c — скорости распространения волн расширения и сдвига
в бесконечном упругом пространстве). Для решения задачи построения интеграль-
ных зависимостей типа (4) произведение функций Дирака ),( xx ′−δ )( yy ′−δ заме-
ним функцией
,)()()( 11
0
σ′σσσ′=′−δ −−
+∞
∫ drJrJrrr kk
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 75
в которой )(1 rJk σ− — функция Бесселя )1( −k -го порядка. Решением поставлен-
ной задачи при этом будет интегральное представление
,),,,(),(),,( )()(
0
)( rdtdttzrrGtrqrtzrw l
k
l
k
l
k ′′′−′′′′= ∫∫
+∞
∞−
+∞
(12)
функция ),,,()( ttzrrG l
k ′−′ которого определяется уравнением
).()(),,(1),,,(),( 12)()(2)( ttrrzdttzrrGQ k
rt
l
k
l
kt
l ′−δ′−δ∂∂∆
µ
=′−′∂∆ −
Как и выше, это гриновская функция, описывающая упругие смещения точек
слоя, удаленных на расстояние r от оси симметрии, которые возникают там в мо-
мент времени t от действия поверхностных динамических сил единичной интен-
сивности, действующих в момент времени t′ в точках окружности радиуса .r′
Рассмотрим поле динамических смещений (12), полагая, что
).()(
),(
),,(1),,,( 1
2)(
2)(
)( ttrr
Q
zd
ttzrrG k
r
t
l
t
l
kl
k ′−δ′−δ∂
∂∆
∂∆
µ
=′−′ −
Учитывая, что определенные выше операторы ),()( ⋅lQ )()( ⋅l
kd есть целые алгебра-
ические функции своих аргументов,
),(
)(
1)(1
01 rJrJ
r
σ
σ−
=σ
∂
а при любом натуральном N имеют место соотношения
),()()()( 0
2
0 rJrJ NN σσ−=σ∆
,)()( )'(2)'(2 ttiNttiN
t ee −θ−θ θ−=∂
функцию ),,,()( ttzrrG l
k ′−′ представим следующим образом:
=′−′ ),,,()( ttzrrG l
k
.
),(
),,(
)'()(
2
)1( )'(
22)(
22)(
10
2
0
1
σθ
θ−σ−
θ−σ−
σσσ
πµ
−
= −θ
+∞
∞−
−
−
+∞−
∫∫ dde
Q
zd
rJrJ tti
l
l
k
k
k
k
(13)
Заменив внутренний интеграл в (13) на ,θ= ip можно получить интеграл Римана–
Меллина:
,
),(
),,(
2
1 )(
22)(
22)(
dpe
pQ
pzd
i
ttp
l
l
k
i
i
′−
∞+
∞− σ−
σ−
π ∫
в общем случае отличающийся от нуля только при .0>′− tt После этого
.
),(
),,(
)()(
2
)1(),,,( )'(
22)(
22)(
10
2
0
1
)( σ
σ−
σ−
′σσσ
πµ
−
=′−′ −
∞+
∞−
−
−
+∞−
∫∫ dpde
pQ
pzd
rJrJ
i
ttzrrG ttp
l
l
k
i
i
k
k
k
l
k (14)
Решение задачи построения прогибов рассматриваемого слоя, загруженного
произвольными осесимметрическими усилиями ),,( trqk
± нормально (при )1=k и
касательно (при )2=k с момента времени ,0=t действующими на его гранич-
ных поверхностях ,hz ±= будет выражаться соотношением (12), функция
),,,()( ttzrrG l
k ′−′ в котором определяется равенством (14).
76 ISSN 0572-2691
Для сравнения полученного решения с решением задачи, построенным в [8]
путем контурного интегрирования уравнений Лямэ осесимметрической теории
упругости, будем исходить из выражения (14) для функций )()( ⋅l
kG ),2,1,( =kl
дополненного соотношениями (11). Дальше аналогично [8] введем в рассмотрение
следующие обозначения:
);()(2)()(),,()1(
1 βσασ+βσασ−=ησ zshhshhshzshgzD
);()(2)()(),,()1(
2 βσασαβ−βσασ=ησ hchzshzshhchgzD
);()(2)()(),,()2(
1 βσασ−βσασ=ησ zсhhchhchzchgzD
);()(2)()(),,()2(
2 βσασαβ+βσασ−=ησ hshzchzсhhshgzD
);(4)(),( 2)1( ασαβ−βσ=ησ∆ zthhthg
),(4)(),( 2)2( βσαβ−ασ=ησ∆ hthhthg
где
,1
2c
b = ,
1
2
с
с
=γ
,1 22ηγ+=α ,1 2η+=β .2 2η+=g
Последнее позволяет соотношения (12), (14) привести к виду (6), (7). При этом
для составляющих ),,()( tzrw l
k смещения ),,( tzrw получим
,),,()()1(),,( )(
0
0
)( σσσσ
µ
−
= ∫
∞+
dtzUrJtzrw l
k
lk
l
k (15)
где
η
ησΩ
ησα
ση
σ
π
=σ
ση−−−∞+
∞−
∫ de
b
zDb
b
F
i
tzU
t
b
l
l
k
llkk
l
k
i
i
l
k ),(
),,(
,
2
1),,( )(
)()2()(2
)()( )2,1,( =kl
при
),()()(),( )()( ησ∆βσασ=ησΩ ll hchhch )2,1( =l
и ,,)(
ση
σ
b
F l
k которые с функциями ),()( trq l
k связаны такими интегральными
соотношениями:
,),()(, )(
1
0
)( rdtdetrqrJr
b
F
t
bl
kk
l
k ′′′′′σ′=
ση
σ
′ση
−∞+
∞−
−
∞
∫∫
.,1
2
)(),( )(1
2
0
)( ση
ση
σ
π
σσ
=
ση∞+
∞−
−
∞
∫∫ dde
b
F
bi
rJtrq
t
bl
k
i
i
kl
k (16)
Для случая ,1=k что соответствует действию нормальных составляющих
),,(1 trq+ ),(1 trq− поверхностных динамических сил, это представление совпадает
с представлением сил Г.И. Петрашеня [9]. При этом функция ),()( ⋅l
kA рассмотрен-
ная в работе [9], связана с нашей функцией )()( ⋅l
kF соотношением
.,1 )()(
ση
σ=
ση
b
F
bb
A l
k
l
k
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 77
При
,0),( =+ trqk Ftrqk −=− ),( (17)
выражения для динамических смещений ),,()(
1 tzrw l )2,1( =l будут совпадать с
выражениями для аналогичных компонент, которые имеются в работе [9].
Представление (16) составляющих внешнединамических сил, лежащих в
плоскости слоя, несколько отличается от представления этих сил, данного в рабо-
те [9]. Представление (16) требует равенства нулю сдвиговых усилий в центре
симметрии ,0=r что согласуется с физической постановкой задачи. Несколько
отличным от [9] получились и выражения для компонент ),,()(
2 tzrw l ),2,1( =l
которые отвечают действию указанных сил. Выражения для этих компонент, при-
веденные в работе [9], в наших обозначениях и с учетом (16) запишем так:
,),,()()1(),,( )(
0
0
)( σσσ∂
µ
−
= ∫
∞+
dtrUrJtzrw l
kr
lk
l
k (18)
где ),,()( tzU l
k σ определяется формулами, приведенными выше.
Нетрудно видеть, что отличие выражений (18) от (15) проявляется только в
зависимости от радиальной координаты r. Поскольку она дается через функции
Бесселя нулевого и первого рода, то легко видеть, что в любом случае радиальные
динамические смещения ),()(
1 ⋅lw полученные нами и представленные формула-
ми (15), равны нулю на оси симметрии ;0=r составляющие )()(
2 ⋅lw — на оси
,0=r в общем случае отличны от нуля. Смещения (15) точек слоя, вызванные
действием составляющих, касательных к поверхностям hz ±= слоя, в отличие от
смещений (18) полностью удовлетворяют условиям симметрии задачи. Кроме то-
го, они удовлетворяют и другим физическим условиям задачи: затухают со вре-
менем и убывают на бесконечности.
Таким образом, решение задачи динамики упругого слоя, представленное
нами соотношениями (4), (5) или (что эквивалентно) — (6), (7), хорошо согласу-
ется с физикой задачи, а для случая осевой симметрии позволяет получить реше-
ние задачи, которое дано Г.И. Петрашенем и Л.А. Молотковым [8, 9] на основе
контурного интегрирования трехмерных уравнений теории упругости. Отличие
нашего решения задачи от решения, которое находим в [9], оправдано физикой
процесса.
Алгоритмические особенности построения ядра
интегральной математической модели динамики толстого упругого слоя
Рассмотрим особенности программно-алгоритмической реализации соотно-
шений (5) и (14), которыми определяются ядра-функции )()( ⋅l
kG )2,1,( =lk инте-
гральных моделей (4) и (12), составляющих )()( ⋅l
kw )2,1,( =lk функции )(⋅w по-
перечных динамических смещений толстого упругого слоя, загруженного усили-
ями )()( ⋅l
kq на его граничных поверхностях .hz ±= При этом (для упрощения
выкладок) в представлении дифференциальных операторов ),()( ⋅lQ )()( ⋅l
kd мате-
матической модели (2) ограничимся удержанием членов порядка 3h -малости.
Иначе говоря, вместо дифференциальной модели (2) будем рассматривать
уравнения
),,(),,,(),,,(),,( )()()()( tyxqzdtzyxwQ l
ktyx
l
k
l
ktyx
l ∂∂∂=∂∂∂ ),2,1,( =kl
78 ISSN 0572-2691
в которых
+∆−∆∆µ+∆−∆∆+∆λ=∂∂∂ )}(2))((({),,( 2112
)1( hQ tyx
−∆+∆∆∆λ+∂
µ
ρ
∂
µ
ρ
−∆µ−∆µ+λ−∆
µ+λ
µ+λµ+λ
+ )3({
!3
)2(
2
2
21
3
22
21
22 hh tt
+∆∆∆λ+∆∆∆−∆µ+∆−∆λ+∆∆∆+∆λ+∆+∆µ− }))5(2)2(())(3)3(2( 2221221122
−∂
µ
ρ
∂
µ
ρ
µ+λ
µ+λµ
+∆∆+∆λ+∆∆+∆+∆∆µ+ 2
2
2
12112122
3
2
)5()23())53(2(
!3 tt
h
−∆
∆
µ+λ
µ+λµ+λ
+∆
µ+λ
λµ+µ+λ
+∆
µ+λ
µ+λλ
− 2
22
1
223
2
)53(2
2
)48(2
2
)5(
!3
h
,
2
)72()8(
)2(
)65(3)6( 22
212
22
tt ∂
µ
ρ
∂
µ
ρ
∆
µ+λ
µ+λµ
−∆µ+λ−∆
µ+λ
µ+λµ+µ+λλ
−
−∆∆µ−∆+∆∆λ−∆µ+λ−=∂∂∂ }4))()2{((),,( 21
)2( hQ tyx
×µ+λ−∆∆∆+∆λ−∂
µ
ρ
∂
µ
ρ
−∆µ−∆µ+λ−∆µ+λ− )2()3({
!3
)2()3( 21
3
22
21
hh tt
−∆∆∆µ−λ−∆∆∆−∆µ+∆−∆λ+∆∆∆+∆× })62())32(2)(3()( 212211112
+∂
µ
ρ
∆∆µ+∆∆−∆−∆µ−∆+∆+∆λ− 2
2212121
3
}3))72(2)62({(
!3 t
h
−
∂
µ
ρ
µ+λ
µ+λµ
−∆
∆
µ+λ
µ+λµ+λ
+∆
µ+λ
λµ+λ
+
2
2
2
2223
2
)73(
2
22186
2
73
!3 t
h
,
2
136)83(
2
1383 22
2
2
1
22
tt ∂
µ
ρ
∂
µ
ρ
∆
µ+λ
µ+λµ
−∆µ+λ−∆
µ+λ
µ+λµ+λ
−
,
2
),,,( 2
2
2)1(
1
∂
µ
ρ
+∆−∆
∂
µ+λ
ρ
−∆−=∂∂∂ tttyx zhzd
=∂∂∂ ),,,()1(
2 tyx zd
−
∆∆−∆∆
µ
λ
−∆∆
µ
µ+λ
−
∂
µ
ρ
µ+λ
λ
+∆−∆
µ
λ
−= 21111
2
2
1 2
12
22
)( dzhzd t
+
∆−∆∆
µ
λ
+∆−∆∆+∂
µ
ρ
∂
µ+λ
ρ
−∆+∆− )()(2
!32
)(
2
1
2 12211
3
22
2
2
dzdzh
tt
,
)2(
24
2
4
!3
22
2
22
21
3
ttdz
∂
µ
ρ
∂
µ
ρ
µ+λ
µ+λµ+λ
−∆+
∆−∆
µ+λ
µ+λ
µ
λ
+
−∆∆−∆∆+∆∆−∂
µ
ρ
−∆−∆=∂∂∂ }2{
2
),,,( 1222
2
2
2
)2(
1
hzd ttyx
−∆∆+∆∆−∆∆−∂
µ
ρ
∂
µ
ρ
−∆+∆
µ+λ
λ
− }2{
2
2
22 2121
2
22
2
2 zh
tt
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 79
,
222
1
2
32
2
22
21
2
tt
z
∂
µ
ρ
∂
µ+λ
ρ
+∆
µ+λ
µ
−∆−∆
µ+λ
µ+λ
−
−
∂
µ
ρ
−
∆−∆−∆−∆
µ
λ
=∂∂∂ 2
211
)2(
2 )(2)(),,,( ttyx hdzd
+
∂
µ
ρ
∂
µ
ρ
−∆
µ+λ
λ
−∆−∆
µ
λ
−∆∆−∆∆
µ
λ
− 22
21212
2
2
)()(
2 ttdhz
+
∆∆−∆∆
µ
λ
−∆∆−∆∆+ )()(2
!3 1112211
3
dh
.
2
3242
2!3
22
21
3
ttdh
∂
µ
ρ
∂
µ
ρ
µ+λ
µ+λ
−∆+∆−∆
µ+λ
λ
+
В этом случае представление (5) ядра функции )()( ⋅l
kG заменим на
,
),,(
),,,(
)2(
1),,,( 21
21
)(
21
)(
3
)( dqdpdp
qppQ
qzpp
i
ttzyyxxG l
k
l
k
i
i
l
k
ϕ
π
=′−′−′− ∫
∞+
∞−
(19)
где
.),,,(),,,( )()()(
21
)(
21
)( 21 ttqyypxxpl
k
l
k eqzppdqzpp ′−+′−+′−=ϕ
Для вычисления интеграла в (19), т.е. для построения функции )()( ⋅l
kG )2,1,( =lk
воспользуемся методикой, предложенной в [7]. Пусть ]),([Res ippf — интеграль-
ный вычет функции )( pf в точке .ip Будем считать, что функция ),,( 21
)( qppQ l
k
обращается в нуль на поверхностях
),( 21
)()( ppqq l
ki
l
k = ),,1( Ii =
а функции ),,( 21
)(
1 zppl
kiψ такие, что
),,(
),,(
),(,
),,(
),,,(
Res
21
)(
1
21
)(
1
21
)()(
21
)(
21
)(
zpp
zpp
ppqq
qppQ
qzpp
l
ki
l
kil
ki
l
kl
k
l
k
ψ
ϕ
=
=
ϕ
на линиях ),,( 2
)(
1
)(
1 1
zppp l
kii
l
k = ).,1,,1( 1 iIiIi == Пусть )())((
2
1
2
zp iil
ki — 2i -й
),1(
12 iiIi = корень уравнения ,0))(),,((),( 22
)(
1
)(
12
)(
2 11
=ψ=ψ zpzppzp l
kii
l
ki
l
kii где
.),(,
),,(
),,(
Res
),(
),(
2
)(
1
)(
1
21
)(
1
21
)(
1
2
)(
2
2
)(
2
1
1
1
=
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
zppp
zpp
zpp
zp
zp l
kii
l
kl
ki
l
ki
l
kii
l
kii
Определим
,,
),(
),(
Res),,,( ))((
2
2
)(
2
2
)(
2)( 1
2
1
1
21
ψ
ϕ
=′−′−′− iil
kil
kii
l
kiil
ikii p
zp
zp
ttzyyxxR
а следовательно, и
).,,,(),,,( )(
111
)(
21
1
21
ttzyyxxRttzyyxxG l
ikii
I
i
I
i
I
i
l
k
kkk
′−′−′−=′−′−′− ∑∑∑
===
Учитывая специфику функций )()( ⋅lQ и )()( ⋅l
kd )2,1,( =lk (они зависят толь-
ко от четных степеней аргумента t∂ ), соотношение (19) можно представить
80 ISSN 0572-2691
=′−′−′− ),,,()( ttzyyxxG l
k
,
),,(
))((cos),,,(1
)2(
1
21
21
)(
21
)(
0
)()(
2
21 dpdqdp
qppQ
ttqqzppd
e
i l
k
l
kyypxxp
i
i
′−
ππ
= ∫∫
+∞
+→ε
′−+′−
∞+
∞−
(20)
что упрощает алгоритм численной реализации интеграла по q.
Заметим, что алгоритм решения задачи построения функций )()( ⋅l
kG
)2,1,( =kl упростится при осесимметрической динамике упругого слоя. Ограни-
чиваясь, как и выше, 3h -точностью, представим дифференциальную модель (10)
следующими уравнениями:
),(),,(
~
),,(),(~ )()()()( trqzdtzrwQ l
ktr
l
k
l
ktr
l ∂∂=∂∂ ),2,1,( =kl (21)
или, что эквивалентно,
rdtdttzrrGtrqrtzrw l
k
l
k
l
k ′′′−′′′′= ∫∫
+∞
∞−
+∞
),,,(~),(),,( )()(
0
)(
при
,
),(~
),,(
~
)()(
2
)1(),,,(~ )(
22)(
22)(
10
2
0
1
)( σ
σ−
σ−
′σσσ
πµ
−
=′−′ ′−
∞+
∞−
−
−
+∞−
∫∫ dpde
pQ
pzd
rJrJ
i
ttzrrG ttp
l
l
k
i
i
k
k
k
l
k (22)
где
+
µ
ρ
+σ
µ+λ
µ+λ
=σ− 2222)1(
2
)(4),(~ phpQ
,
2
5
)2(
)782(4
2
)(8
!3
2
222
2
22
4
3
µ
ρ
µ+λ
µ+λ
+
µ
ρ
σ
µ+λ
µ+λµ+λ
+σ
µ+λ
µ+λ
+ pph
,
2
73
2
)43(4
2
)(8
!3
),(~ 2
2224
3
222)2(
µ
ρ
µ+λ
µ+λ
+
µ
ρ
σ
µ+λ
µ+λ
+σ
µ+λ
µ+λ
+
µ
ρ
=σ− pphphpQ
,
2
),,,(
~ 22
21
)1(
1
µ+λ
ρ
+σ= pzhqzppd
+
µ+λ
ρ
+σ−
µ+λ
λ
σ=σ− 222222)1(
2 22
1
2
),,(~ phzpzd
,
)2(
24
2
23
!3
1 2
2
22
223
µ
ρ
µ+λ
µ+λµ+λ
+σ
µ+λ
µ+λ
σ+ pz
,
222
1
2
43
2
11),,(
~ 22222222)2(
1
µ+λ
ρ
−σ
µ+λ
λ
−
µ
ρ
+σ
µ+λ
µ+λ
+=σ− pzphpzd
+
µ
ρ
µ+λ
µ+λ
+σ
µ+λ
µ+λ
−σ=σ− 222222)2(
2 2
32
2
43
!3
11),,(
~
phhpzd
.
22
1 2222
µ
ρ
+σ
µ+λ
λ
σ+ phz
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2013, № 1 81
При этом вычисление внутреннего интеграла по p упрощается и
,,
),(~
),,(~
Res
),(~
),,(
~
)(
22)(
22)(
1
)'(
22)(
22)(
σ−
σ−ϕ
=
σ−
σ−
∑∫
=
−
∞+
∞−
l
kil
k
l
k
I
i
ttp
l
l
k
i
i
p
pQ
pz
dpe
pQ
pzd
где )(l
kip ),1( Ii = — корни подынтегральной функции ),,(~ 22)( pQ l
k σ−
а .),,(
~
),,(~ )(22)(22)( ttpl
k
l
k epzdpz ′−σ−=σ−ϕ
Если учесть, что дифференциальные операторы ),,(~ )(
tr
lQ ∂∂ ),,(
~ )(
tr
l
k zd ∂∂
в (21) четные по аргументу ,t∂ то представление (22) ядра )(~ )( ⋅l
kG )2,1,( =kl за-
менится на
=′−′ ),,,(~ )( ttzrrG l
k
.))((cos
),(~
),,(
~
)()()1(
22)(
22)(
0
10
2
0
1
σ′−
σ−
σ−
′σσσ
πµ
−
= ∫∫
+∞
+→ε
−
−
+∞−
dpdttp
pQ
pzd
rJrJ l
l
k
k
k
k
(23)
Это означает, что функцию )(~ )( ⋅l
kG ),2,1,( =kl записанную согласно (23), можно
построить путем численного интегрирования.
Пример. Рассмотрим частный случай математической модели (21), который
описывает поперечные динамические прогибы толстого упругого слоя, загруженно-
го нормальными к поверхностям 1±=z динамическими нагрузками ).,(1 trq± Для
конкретизации вычислений положим ,11782=λ ,8100=µ 7800=ρ и ;1=z заме-
тим, что при этом МПа102 5⋅=E (модуль Юнга). В результате получим
=′−′ ),1,,(~ )2(
1 ttrrG
.
95,055,15,0
))((cos)25,11()()(
8100
1
42242
22
0
00
0 σ+σ++
σ′−σ++′σσσ
π
= ∫∫
+∞
+→ε
+∞
ppp
dpdttpprJrJ (24)
Реализация соотношения (24) средствами Wolfram Mathematica 8.0 дает следую-
щий результат (рисунок):
.
45,0
1092,0),1,0,(~
22
4
)2(
1
tr
trG
+
⋅
=
−
(25)
0,00004
0,00003
0,00002
0,00001
0
5
t
10
10
5
– 5
0
r
– 10
Представление (25) — гриновская функция, описывающая упругие смещения
точек слоя, удаленных на расстояние r от оси симметрии, которые в момент вре-
мени t возникают от действия поверхностных динамических усилий единичной
интенсивности, которые имеют место при 0=′t в точке .0=′r
82 ISSN 0572-2691
В.А. Стоян, К.В. Двірничук
ПРО ІНТЕГРАЛЬНУ МОДЕЛЬ
ПОПЕРЕЧНИХ ДИНАМІЧНИХ ЗМІЩЕНЬ
ТОВСТОГО ПРУЖНОГО ШАРУ
Розв’язано задачу побудови інтегральної залежності функції просторово розпо-
ділених поперечних динамічних зміщень точок товстого пружного шару від зо-
внішньодинамічних навантажень на його граничні поверхні. Отримані резуль-
тати порівнюються з розв’язком задачі осесиметричної динаміки розглянутого
шару, побудованого контурним інтегруванням тривимірних рівнянь Ляме.
V.A. Stoyan, K.V. Dvirnychuk
ON INTEGRAL MODEL OF TRANSVERSE
DYNAMIC DISPLACEMENT
OBTAINED THICK ELASTIC LAYER
The problem of constructing an integral dependence of the function of spatially
distributed dynamic transverse displacements of points on a thick elastic layer of ex-
ternal dynamic loads on its boundary surfaces. We compare the obtained results with
the solution of the axisymmetric dynamics of the considered layer, which was built
by the contour integration of three-dimensional Lame equations.
1. Скопецький В.В., Стоян В.А., Кривонос Ю.Г. Математичне моделювання прямих та обер-
нених задач динаміки систем з розподіленими параметрами. — Київ : Наук. думка, 2002. —
361 с.
2. Скопецький В.В., Стоян В.А., Зваридчук В.Б. Математичне моделювання динаміки розподі-
лених просторово-часових процесів. — Київ : Вид-во «Сталь», 2008. — 316 с.
3. Стоян В.А. Математичне моделювання лінійних, квазілінійних і нелінійних динамічних
систем. — К. : ВПЦ «Київський університет», 2011. — 310 с.
4. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. — Киев : Наук. думка, 1972. — 508 с.
5. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Механика твердых деформируемых тел. Том 5: Неклассиче-
ские теории колебаний стержней, пластин и оболочек. — М. : ВИНИТИ, 1973. — 271 с.
6. Стоян В.А., Двирничук К.В. К построению дифференциальной модели поперечных дина-
мических смещений толстого упругого слоя // Международный научно-технический жур-
нал «Проблемы управления и информатики». — 2012. — № 4. — С. 74–83.
7. Стоян В.А., Двірничук К.В. До побудови інтегрального еквівалента лінійних диференціаль-
них моделей // Доп. НАН України. — 2012. — № 9. — С. 36–43.
8. Петрашень Г.И. К теории колебаний тонких пластин // Уч. записки ЛГУ. — Сер. физ.-мат.
наук. — 1951. — № 149, вып. 24. — С. 121–167.
9. Петрашень Г.И., Молотков Л.А. О некоторых проблемах динамической теории в случае
сред, содержащих тонкие слои // Вест. ЛГУ. — Сер. физ. и хим. — 1958. — № 22, вып. 4.
— С. 137–156.
Получено 24.05.2012
Статья представлена к публикации членом редколлегии доктором техн. наук Ф.Г. Гаращенко.
Дифференциальная математическая модель поперечных динамических смещений толстого упругого слоя
Интегральная математическая модель динамики толстого упругого слоя
Сравнение полученных результатов с результатами, известными ранее
Алгоритмические особенности построения ядра интегральной математической модели динамики толстого упругого слоя
|