Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц

Сформульовано задачі ідентифікації параметрів моделей фільтрації–консолідації в стискуваних середовищах мікропористих частинок з використанням функціоналів-нев’язок, що враховують зміну сумарного потоку рідини на поверхні спостереження. Запропоновано високопродуктивні методи реалізації задач ідентиф...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автор:	Петрик, М.Р.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы идентификации и адаптивного управления
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208061
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц / М.Р. Петрик // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 1. — С. 18-31. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208061
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2080612025-10-19T00:01:25Z Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц Високошвидкісні методи ідентифікації параметрів моделей фільтрації-консолідації стискуваних середовищ вологонасиченних мікропористих частинок High velocity identification methods of the model parameters of filtration-consolidation of compressible media of moisture-saturated micro-porous particles Петрик, М.Р. Методы идентификации и адаптивного управления Сформульовано задачі ідентифікації параметрів моделей фільтрації–консолідації в стискуваних середовищах мікропористих частинок з використанням функціоналів-нев’язок, що враховують зміну сумарного потоку рідини на поверхні спостереження. Запропоновано високопродуктивні методи реалізації задач ідентифікації на основі аналітичних розв’язків прямих і спряжених задач. Отримано явні вирази компонентів градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації параметрів моделі градієнтними методами. The identification problems of the model parameters of filtration-consolidation in compressible media of micro–porous particles using residual functionals, taking into account the total liquid flow changes on the observation surface are formulated. Highly productive methods of identification problems implementation based on the analytical solutions of the direct and conjugate problems are proposed. Explicit analytical expressions of components of residual functional gradients for the model parameters identification by gradient methods are obtained. 2016 Article Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц / М.Р. Петрик // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 1. — С. 18-31. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208061 519.6:541.18 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i1.80 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления
spellingShingle	Методы идентификации и адаптивного управления Методы идентификации и адаптивного управления Петрик, М.Р. Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц Проблемы управления и информатики
description	Сформульовано задачі ідентифікації параметрів моделей фільтрації–консолідації в стискуваних середовищах мікропористих частинок з використанням функціоналів-нев’язок, що враховують зміну сумарного потоку рідини на поверхні спостереження. Запропоновано високопродуктивні методи реалізації задач ідентифікації на основі аналітичних розв’язків прямих і спряжених задач. Отримано явні вирази компонентів градієнтів функціоналів-нев’язок для ідентифікації параметрів моделі градієнтними методами.
format	Article
author	Петрик, М.Р.
author_facet	Петрик, М.Р.
author_sort	Петрик, М.Р.
title	Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц
title_short	Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц
title_full	Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц
title_fullStr	Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц
title_full_unstemmed	Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц
title_sort	высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Методы идентификации и адаптивного управления
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208061
citation_txt	Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц / М.Р. Петрик // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 1. — С. 18-31. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT petrikmr vysokoskorostnyemetodyidentifikaciiparametrovmodelejfilʹtraciikonsolidaciisžimaemyhsredvlagonasyŝennyhmikroporistyhčastic AT petrikmr visokošvidkísnímetodiídentifíkacííparametrívmodelejfílʹtracííkonsolídacíístiskuvanihseredoviŝvologonasičennihmíkroporistihčastinok AT petrikmr highvelocityidentificationmethodsofthemodelparametersoffiltrationconsolidationofcompressiblemediaofmoisturesaturatedmicroporousparticles
first_indexed	2025-11-24T07:12:18Z
last_indexed	2025-11-24T07:12:18Z
_version_	1849654864613736448
fulltext	© М.Р. ПЕТРИК, 2016 18 ISSN 0572-2691 МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ УДК 519.6:541.18 М.Р. Петрик ВЫСОКОСКОРОСТНЫЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ–КОНСОЛИДАЦИИ СЖИМАЕМЫХ СРЕД ВЛАГОНАСЫЩЕННЫХ МИКРОПОРИСТЫХ ЧАСТИЦ Введение Математическое моделирование исследования процессов экстрагирования жидкости из микропористых биоматерилов в химической, перерабатывающей, фармакологической и других отраслях применяется не только для построении их адекватных моделей, но и для задания их кинетических параметров. Рабочие среды исследуемых процессов состоят из сети частиц и клеток, междучастичных и междуклеточных пространств, образующих пути транспорта жидкости. Механизмы фильтрации–консолидации зависят от комплекса сложных факторов: размера частиц [1–4], структуры биологических тканей, их проницаемости, проницаемости междучастичных путей, что существенно влияет на поведение твердой и жидкой фаз. Эти агломераты и каналы сильносжимаемые и могут быть полностью или ча- стично закрытыми в течение процесса вытеснения. Механизмы разделения твердой и жидкой фаз из бипористих биологических материалов малоизучены. В настоящее время большинство статей по моделированию таких процессов бази- руется на фильтрации–консолидации грунтов [5, 6] и минеральных фильтрах [7], описывающих движение макропотоков жидкости в пористых средах по аналогии с диффузией Фика. Однако когда слой микропористых частиц подвержен внешнему давлению, частицы, состоящие из «мягких» тканей, начинают сжи- маться и наблюдается уменьшение пространства каналов в междучастичном (interparticle space) и внутричастичном (intraparticle space) пространствах, что влияет на суммарную проницаемость слоя. В [8] для оценки консолидации и пол- зучести компонентов слоя предложена приближенная модель, базирующаяся на допущении, что интенсивность потока из частицы в междучастичное простран- ство пропорциональна разнице давлений: давления внутри частицы, усредненного по координате размера и давления снаружи частицы. Более реальны модели твер- дой и жидкой фаз в бипористом слое микропористых частиц и каналов транспорта, учитывающие влияние изменения проницаемости частиц на общую проницае- мость слоя [9, 10]. В [11] c помощью предложенных и линеаризованных нами моделей фильтрации– консолидации [12] получены отдельные задачи идентификации и численные методы их дискретизации, а также выражения градиентов функционалов-невязок 60 1956 2016 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 19 для идентификации параметров. Однако описанные в [11] подходы имеют в неко- тором смысле более узкий диапазон применения. Во-первых, рассматриваемые здесь критерии идентификации в виде распределений давлений в слое и частице не совсем удовлетворяют условиям реальных наблюдений. В частности, не пред- ставляется возможным физически наблюдать изменение давления в жидкости для отдельно взятых частиц. Другой ограничивающий фактор — ограничение на скорость идентификации за счет большого количества внутренних итераций при по- строении модельных решений, что также существенно замедляет идентификацию большого количества параметров. В настоящей статье для линеаризированных моделей фильтрации–консоли- дации в средах микропористых частиц сформулированы задачи идентификации параметров моделей с использованием функционала-невязки, учитывающего из- менение суммарного потока жидкости на поверхности наблюдения. Предложены высокопродуктивные методы реализации задач коэффициентной идентификации на основе аналитических решений прямых и сопряженных задач, получены явные выражения компонентов градиентов функционалов-невязок для идентификации параметров модели. Математическая формулировка проблемы Считается, что клеточные частицы, содержащие жидкость, как микропористый слой подвергаются сжатию. Жидкость течет во внутричастичном пространстве, за пределами частиц — в междучастичном. Слой частиц рассматривается как бипористостая среда. Сеть макропор во внутричастичном пространстве образует область первой пористости с низкой емкостью и высокой гидравлической проницае- мостью. Частицы, содержащие жидкость, образовывают область второй пористости: с высокой емкостью и низкой гидравлической проницаемостью. Потоки жидкости возникают как отдельно в каждой из двух областей пористости, так и между ними. Дискретная и непрерывная концептуализация двойной пористости среды хорошо наблюдается в механике горных пород, применяемых в сети трещин в естественно трещиноватых коллекторах [4]. Основные допущения. Задача строится на основе уравнений неразрывности и закона фильтрации Дарси для междучастичного и внутричастичного пространств. Уравнения консолидации базируются на начальных и граничных уравнениях для системы с двойной пористостью. Здесь приняты следующие допущения [9].  Уравнения неразрывности для жидкой фазы в междучастичном и внутрича- стичном пространствах соответственно запишем 0121          z q tt , .0 )1()1( 121          z v tt (1)  Уравнения неразрывности для жидкой и твердой фаз во внутричастичном пространстве имеют вид ,022       x q t .0 )1( 22       x v t (2) Здесь ,1 2 — соответственно междучастичная и внутричастичная пористости, 2 — средняя внутричастичная пористость, ,),,( 1 2 0 2 dxzxt R R   ,1q 2q и ,1v 2v — локальные скорости жидкости (local liguid velocities) и скорости движения твер- дой фазы (local solid velocities) в междучастичном и внутричастичном пространствах. 20 ISSN 0572-2691  Относительные скорости потоков жидкой фазы по отношению к твердой (relatives liquid to solid flow velocities) в междучастичном (u1) и внутричастичном (u2) пространствах подчиняются закону фильтрации Дарси: z P r vqu        1 1 1 1 1 11 1 1 , , 1 1 2 2 2 2 2 22 x P r vqu        (3) где P1 , P2 и ,1 11 rk  22 1 rk  — давление в жидкой фазе и проницаемости в междучастичном и внутричастичном пространствах соответстенно,  — вязкость жидкости.  Контакты между влагосодержащими частицами упругие. Общие внешние напряжения в междучастичном и внутричастичном пространствах соответственно 1111)1( P , ,)1( 22221 P (4) где 2 — напряжение на твердой матрице частицы, содержащей жидкость.  Эффективное давление на частицы для бипористой системы (разность меж- ду общим напряжением и давлением жидкости в порах) на скелет )( 1sP и частицу )( 2sP соответственно запишем [4, 8] ),()1( 11111 PPPs  , 1 22 1 1 1212 PP P PPPs     (5) где EP (вызывается внешним давлением), 11 PPP Es  и .22 PPP Es   Средняя внутричастичная пористость — функция среднего эффективного давления ,22 PPP Es  где dxzxtP R P R ),,( 1 2 0 2  — среднее давление жидкости во внутричастичном пространстве. Уравнения неразрывности (1), (2) с учетом (3) и использованием координат на основе объема влагосодержащих частиц (liquid containing particles — LCP) 11 e dz dzm   и нерастворимой твердой фазы (insoluble solids — IS) 21 e dx dxm   имеют вид: ,0 )1( 1 12 2 2 1           mz u t e et e ,022       mx u t e (6) где , 1 1 1 1 t P Gt e      , 1 2 2 2 t P Gt e      , 1 2 2 2 t P Gt e      , 1 1 1 e P G s    1 2 2 e P G s    — модули сжимаемости, , 1 1 1 1   e , 1 2 2 2   e . 1 2 2 2   e Линеаризация зависимостей (6) согласно схемам, предложеным в [10, 12], приводит к уравнениям консолидации в междучастичном и внутричастичном пространствах. Прямая задача В областях ),0(),0( hTT  и ),0( RT  распределения давлений в жидкой фазе ),(1 ztP и ),,(2 zxtP соответственно удовлетворяют системе уравнений кон- солидации в частных производных: Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 21 , ),(),( 2 2 1 2 1 1 t ztP z P b t ztP         ),0( hz , (7) , ),,( 2 2 2 2 2 x P b t zxtP      ,),0( Rx ,),0( hz .),0( Tt (8) Приведем начальные условия: ,),( 01 Et PztP  ,),( 02 Et PztP  (9) и краевые условия: ,0),( 01 zztP ;01    hz z P (10) ,00 2    x x P ,),(),,( 12 ztPzxtP Rx  (11) где , )1( 11 1 1 er G b   )1( 22 2 2 er G b   — коэффициенты консолидации в междуча- стичном и внутричастичном пространствах соответственно, 2 1 2 2 )1( 1 G G e  — фак- тор эластичности материала, h — толщина слоя, R — полутолщина частицы. Условие наблюдения. Считается, что на поверхности измерения ,z ],0[ h , известен поток жидкости .),0(,)( ),,;,( 1 ),,;,( 1 ),( exp 212 2 211 1 TttM bbztP zr bbztP zr ztu zer z z                     (12) Выбор функционала-невязки. Функционал-невязку, минимизирущий от- клонение модельного решения от значений экспериментального следа на , ис- пользующийся для реализации процедуры идентификации неизвестных кине- тических параметров влагопереноса в междучастичном и внутричастичном пространствах (коэффициентов консолидации и фактора эластичности), запи- шем в виде [13] .]),,,,([ 2 1 ),,( 2 21error 0 21 dttbbEbbJ T   (13) Здесь ),,,,( 21error  tbbE — выражение невязки между модельными и экспери- ментальными значениями искомых параметров, ,)(),,;,( 1 ),,;,( 1 ),,,,( exp212 2 211 1 21error                            z er tMbbztP zr bbztP zr tbbE (14) )(exp tM er — вектор экспериментальных данных на поверхности измерений . 22 ISSN 0572-2691 В результате получена задача идентификации (7)(12): нахождение неизвест- ных функций ,1 Tb  ,2 Tb  ,T 1DT  ,)0,0,0( 21  bb где ),(),( 21 ztPztP  удовлетворяют условиям (10) для поверхности наблюдения  среды [13]. Градиентный метод решения задачи коэффициентной идентификации. Решение задачи идентификации (7)–(12) сводится к задаче оптимизации функци- онала-невязки (13) с постепенным совершенствованием решения посредством особой процедуры регуляризации с использованием градиентных методов. Следуя [13, 14] и используя градиентный метод минимизации погрешности для иденти- фикации распределений коэффициентов консолидации в междучастичном 2b и внутричастичном 1b пространствах и коэффициента эластичности материала , получим регуляризационные выражения для 1n -го шага идентификации: 222 2 21 1 1 1 )()()( ),;,,( )()()( 21 1 tJtJtJ tbbE tJtbtb nn b n b nn errorn b nn      , ),0( Tt , 222 2 21error 2 1 2 )()()( ),;,,( )()()( 21 2 tJtJtJ tbbE tJtbtb nn b n b nn n b nn      , ),0( Tt , (15) 222 2 21error1 )()()( ),;,,( )()()( 21 tJtJtJ tbbE tJtt nn b n b nn nnn       , ).,0( Tt Здесь ),,,( 21 bbJ — функционал-невязка на поверхности изменений T (13), ),( 1 tJ n b  ),( 2 tJ n b  )(tJ n  — компоненты градиента функционала-невязки ),,,( 21 bbJ по искомым функциям TTT bb  ,, 21 ,  2 )(tJ n n ,)]([ 2 0 dttJ n n T   },,,{ 21  bbu — квадрат нормы u-компоненты градиента функционала–невязки. Точное аналитическое решение прямой задачи (7)–(11) для моделирования распределений давлений без учета условия наблюдения (12) в предположении, что известны коэффициенты консолидации 21, bb , фактор эластичности  и другие параметры, построены с помощью интегральных преобразований Фурье и опера- ционного метода Хевисайда в [10, 15]. Технология получения аналитических выражений компонентов градиента функционала-невязки Построение расширенного функционала. Перейдем к безусловной экстре- мальной форме рассматриваемой задачи идентификации, вводя расширенный функционал [14, 16 ] ,),,,(Ф 2121 IIJbb  (16) в котором 21, II — составляющие, учитывающие специфику основных уравнений баланса (7), (8) соответственно для выходной задачи идентификации (7)–(12): dzdt t P z P b t P ztI T h                    0 2 2 1 2 1 1 0 1 ),( , (17) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 23 .),,( 1 0 0 2 2 2 2 2 0 2 dxdzdt x P b t P zxt R I T h R                  (18) Здесь J — функционал-невязка, определямый формулой (13), , — неизвесные множители Лагранжа, подлежащие определению из условия стационарности функционала ),(Ф 21 bb (равенства нулю его полной вариации) [14 ,16 ]: .0),,(Ф 2121  IIJbb (19) Отдельные члены в (16) вычисляем в предположении, что величины ,, 21 bb получили приращения  ,, 21 bb . В результате давление ),(1 ztP изменится на некоторое приращение ),(1 ztP , а давление ),,(2 zxtP — на ),,(2 zxtP . Начально-краевая задача в приращениях. Подставляя в исходную начально- краевую задачу (7)–(12) вместо ,, 21 bb и ),(1 ztP , ),,(2 zxtP , ),(),( 11 ztPztP  соответствующие величины с приращениями ,,, 2211  bbbb ),,(2 zxtP ),,(2 zxtP и вычитая из преобразованных уравнений и условий задачи соответ- ствующие компоненты уравнений и условий задачи (7)–(12), пренебрегая членами второго порядка малости, получаем постановку начально-краевой задачи в при- ращениях для определения величин ),(1 ztP и ),,(2 zxtP (которая будет исполь- зоваться для определения аналитических выражений компонентов градиентов функ- ционала ),( 1 tJ n b  ),( 2 tJ n b  )(tJ n  : t P P z b zt P P z b z ztP t                               2 11 2 111 ),( , (20)                          22222 ),,( P x b x P x b x zxtP t , (21) ,0),( 01  tztP ,0),,( 02  tzxtP (22) ,0),,( 02    xzxtP x ,),(),,( 12 ztPzxtP Rx   (23) ,0),(1  hztP .0)0,(1    ztP z (24) Вычисление приращений расширеного функционала Лагранжа. Предпо- логая, что искомые вектор-функции ),(),(( 11 ztPztP  , )),,(),,( 22 zxtPzxtP  получили приращения (вариации) по всем составляющим расширенного функци- онала ),,(Ф 21 bb , пренебрегая членами второго порядка малости, получим при- ращение функционала-невязки (14): ,),( 1 ),( 1 )()(),,( 0 2 2 1 1 error 0 21 dzdtztP zr ZtP zr ztEbbJ T h                    (25) где .)(),,;,( 1 ),,;,( 1 ),;,,( exp212 2 211 1 21error                             z er tMbbztP zr bbztP zr tbbE 24 ISSN 0572-2691 Адаптируя общую формулу для вычисления приращения функционала- невязки [16] к (25)   AuAuAOuAqAuuJuuJ (2(),(2)()( 2   uOuq )), , где A — оператор, сопряженный с оператором ,A получим dzdtztP r ztP r ztE z bbJ T hm                  0 2 2 1 1 error 0 21 ),( 1 ),( 1 )(),(),,( (26) и приращения составляющих функционала 21, II (в результате интегрирования по частям с использованием начальных и краевых условий прямой задачи (7)–(11)): , ),(),( 0 212 2 1 0 1 dzdtP t zt P z b t zt I hT                            (27) . ),,(1 22 2 2 000 2 dxdzdtP x b t zxt R I RhT                 (28) Постановка сопряженной краевой задачи. Согласно исходной начально- краевой задаче (7)–(12) с учетом (26)–(28) для каждого приближения nnn bb ,, 21 решения ,, 21 bb получаем постановку сопряженной краевой задачи: ,)(),( 1),(),( error 1 2 2 1              ztE zrt zt z b t zt n (29) ,)(),( 1),,( error 1 2 2 2           ztE zrx b t zxt n (30) ;0),(  Ttzt 0),,(  Ttzxt при t = T; (31) ,0),(    hzt z ,)0,(  zt (32) ,0),,( 0    xzxt x .),(),,( ztzxt Rx   (33) Здесь )(error tEn — n-е приближение невязки (11) (минимизируемое на каждом шаге регуляризации): ,),,( 1 ),( 0 dxzxt R zt R   )(z — дельта-функция Дирака. Построение аналитического решения сопряженной задачи. По определе- нию аналитическое решение сопряженной задачи выполнено с использованием операционного метода Хевисайда подобно решению прямой задачи, изложенной в [9]. Применяя к задаче (30), (31), (33) интегральное преобразование Фурье (cos) по переменной x, получим [15, 17]:           dzeb R zxt tb T t m m m m ),()1( 2 ),,( )( 2 1 0 2 2 .cos)( )1(1 )( 2 2 2 xdFe r m tb T tm m m             (34) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 25 Предполагается, что искомые функции  и  — оригиналы по Лапласу по временной переменной t. Подставляя (34) в уравнение (29), произведя замену Ttt  в задаче (29)–(32) и применяя к ней преобразованное интегральное преобразование Лапласа, получаем задачу Коши: ),(* 1 )),(),(( ),(* 1 2 2 1     F r zszss dz zsd b (35) 0),(* 0  zzs ; .0),(*  hzzs dz d (36) Здесь изображение ),(* zs имеет вид . )(* )1(1 ),(* 1 2 ),(* 2 2 222 2 0 2                              sF b sbr zs b s R zs mm m mm (37) Находя пределы рядов 2 2 0 1 m m b s     и 2 2 0 )1( m m m b s      и подставляя преобра- зованное выражение (37) в (35), получаем [18]              ),(* ),(* 2 22 2 1 ZsR b s thsb R s dZ Zsd b )(* 1 11 1 2 2 1 1                               F R b s ch Rr r r . (38) Применяя к (38) конечное интегральное преобразование Фурье по пере- менной z с учетом краевых условий [9, 15], имеем ,)( 1 11 )( 11 )( * 2 2 1 1 * sF R b s ch Rr r sr s nn                              (39) где ,)( 2 2 2 1 R b s thsb R bss nn    , 2 12    h n n , 2 12    R m m m ~ ,,0,, 2 12 2    mnb R m },{ jnv ,,1 j ,,0 n — корни трансцендентного уравнения .0 2 22 1 2  R b v tg R b vbv n (40) Переход к оригиналу по Лапласу по переменной t в (39) осуществляем со- гласно формуле )(* )( 1 )( 1 )( 11 )( 2 11 2 11 1 *                                                         F R b s chs L s L Rr r s L r tn , (41) 26 ISSN 0572-2691 где ; )( cos 1 2 1 )( 1 22 1 2 22 22 1 1 jn tv j jn jn jn tv j v e b Rvb Rv tg Rv b e s L jnjn                               (42)                          0 22 1 22 1 )(sin)()( 1 22 k kn kn t j jn jn tv b R b R e v b Rv ch e R b s chs L knjn , (43) . cos 1 2 1)( 2 22 2                b vRb vR tg vR b v Осуществляя обратный переход к оригиналу по переменной z, с учетом (42), (43) получаем единственное решение сопряженной краевой задачи (29)–(33) [9, 15]:                                        )( 1 11 )( 21 ),( 2 2 1 )( 1001 2 jnn jnjnn tv j t n v b Rv ch Rr r v e hr zt jn .sin)( )(sin 22 )( 02 1 2 zdF b R b R e Rr r n kn k t k k               (44) Теорема о разрешимости сопряженной краевой задачи. Если выполняется условие однозначной разрешимости сопряженной краевой задачи (29)–(33), заданные и искомые функции — это оригиналы по Лапласу по временной переменной t и удовлетворяют условиям применения конечного интегрального преобразования Фурье по геометрической переменной z и дополнительно по переменной x для функции , то решение краевой задачи (29)–(33) существует и единственно и опре- деляется формулами (34), (44). Получение формул выражений градиентов функционала-невязки Связь между прямой задачей и сопряженной. Базовые уравнения в прира- щениях (20), (21) и сопряженной задаче (29), (30) запишем в операторной форме: ,),,( XzxtLw  TRw  ),0( , ,),(),,(*  tzxtL n TR  ),0( , (45) где                                             x b xt dx tRz b zt L R 2 0 1 0 1  ,                                             x b xt dx tRz b zt L R 2 0 1 * 0 1  ,            ),,( ),( ),,( 2 1 zxtP ztP zxtw ,            ),,( ),( ),,( zxt zt zxt . Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 27 Правые части формулы (45) имеют вид                                      ),,( ),(),( ),,( 22 211 zxtP x b x ztP t ztP z b z zxtX , , )(),( 1 )(),( 1 ),,( error 2 error 1                        ztE zr ztE zr zxtY n n n (46) где L — оператор Лагранжа, сопряженный с оператором L . Введем скалярное произведение . ),,( ),( ),,( 1 ),(),( 2 1 2 000 1 00                    zxtv ztv dxdzdtzxtw R dzdtztwvw RhThT  (47) Приращение функционала-невязки (26), пренебрегая членами второго порядка малости, с учетом (47) для удобства последующих преобразований представим в виде ,)),(),,,(~(),( 21  tYzxtwbbJ . ),,( 1 ),( 1 ),,(~ 2 2 1 1                    zxtP r ztP r zxtw (48) С учетом равенства (45) правую часть (48) запишем .)),,(),,,(~()),(),,,(~(),,( 21 zxtLzxtwtYzxtwbbJ  (49) С учетом тождества Лагранжа [16] )),,(*),,,(~()),,(),,,(~ zxtLzxtwzxtzxtwL  (50) и равенства (44) получаем приращение функционала-невязки в следующем виде: .)),,(),,,( ~ (),,( 21 zxtzxtXbbJ  (51) Подставляя в уравнение (51) компоненты ),,( ~ zxtX , получаем формулу, устанавливающую связь между прямой задачей (1)–(9) и сопряженной задачей (23)–(26), соответствующую получению явных выражений компонентов градиента функционала-невязки: .),,( 1 ),,( ),(),( 1 ),(),,( 22 2 211 1 21                                                   zxtP x b xr zxt ztP t ztP z b zr ZtbbJ (52) Аналитические выражения градиентов функционала-невязки. Дифферен- цируя выражение (52) по ,1b 2b и  соответственно и раскрывая скалярное произведение согласно (47), получаем требуемые аналитические выражения компо- нентов градиентов функционала-невязки для необходимых компонентов коэффици- ентов консолидации и параметра как функций от времени соответственно: ,),,( ),(11 )( 2 2 2 002 2 dxdzzxt x xtP Rr tJ Rh b       (53) 28 ISSN 0572-2691 ,),( ),(1 )( 2 1 2 01 1 dzzt z ztP r tJ h b       (54) .),( ),(1 )( 2 01 dzzt t ztP r tJ h       (55) Формулы градиентов ),( 1 tJ n b  )( 2 tJ n b  включают аналитические решения прямой задачи (7)–(12) и сопряженной задачи (29)–(33). Использование высоко- скоростных аналитических методов обеспечивает высокую продуктивность вычислительного процесса, сокращение большого количества итераций для каждого регуляризационного цикла. Еще одно преимущество формул (53)–(55): они позволяют идентифицировать неизвестные кинетические параметры как функции от времени ))(),(( 21 tbtb и дру- гих координат. Это обеспечивает определение внутренней кинетики консоли- дации в междучастичном и внутричастичном пространствах и дает новую ви- зию процесса в целом. Численный анализ Результаты численного моделирования и идентификации параметров показаны на рис. 1–4. Рис. 1 иллюстрирует процесс сходимости кривых распределения без- размерного потока жидкости на выходе из сжатого слоя влагосодержащих частиц на поверхности наблюдения z = 0 к кривой наблюдения (№ 8) при реализации процедуры пошаговой идентификации коэффициентов консолидации в междуча- стичном и внутричастичном пространствах b1 и b2 соответственно согласно (15). Значения входных параметров, свойств частиц и данные наблюдения взяты из работ [9, 10], поскольку в данной публикации продолжается дальнейшее развитие изло- женных результатов. В [9] исследованы компрессионно-консолидирующие свойства для двух видов биологических тканей: легко разрушаемых (better disrupted tissue) и тяжело разрушаемых (less disrupted tissue). 0 0,2 0,4 0,6 0,8 100 200 300 400 t u(t, z) 1 2 7 6 5 4 3 8 Рис. 1 Начальные приближения коэффициентов консолидации в междучастичном и внутричастичном пространствах взяты для случая легко разрушаемых тканей, которые здесь принимались соответственно b1=6,010 -8 м 2 /с и b2=1,010 -8 м 2 /с. Числа 1–7 на графиках рис. 1 соответствуют номерам блоков регуляризационных итераций, по обоим параметрам (b1 и b2) одновременно. Суммарное количество итераций по внешнему (b1) и внутреннему контуру (b2) для каждого блока в рамках функциональной модели регуляризации в среднем составляет 700–900 итераций. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 29 0 4E-8 1E-7 1,4E-7 1,8E-7 b1 0,2 0,4 0,6 0,8 0 1E-8 5E-8 8E-8 1,05E-7 b2 0,2 0,4 0,6 0,8 а б Рис. 2 На рис. 2 а, б показаны соответствующие эволюциннные изменения усредненных на временном интервале процесса консолидации и вытеснения влаги из слоя коэффициентов консолидации в междучастичном прострастве b1 и во внутри- частичном b2, восстанавливаемых согласно регуляризационным зависимостям (15) от приведенных к общему количеству выполняемых итераций. Как видно из рис. 2, для двух последних блоков итераций (позиции 0,6–0,8) наблюдается стабилизация усредненных профилей коэффициентов консолидации. Для коэффициента консоли- дации b1 получаем значение 1,810-7 м2/c, для коэффициента консолидации b2 значение равно 1,010 -7 м2/c. Аналогичные результаты получены при выборе других начальных приближений. В часности, при задании начальных приближений аналогичный процеес сходимости модельных распределений потоков жидкости к кривой наблюдения можно наблюдать с противоположной стороны (процес «снизу») (рис. 3). При этом обеспечивается аналогичная картина эволюции коэффициентов консолидации в пространствах макро- и микропор b1 и b2 соответственно до тех же значений: 1,810 -7 м 2 /с и 1,010 -7 м 2 /с (рис. 4, а, б). 0 0,2 0,4 0,6 0,8 100 200 300 400 t u(t, z) 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 3 0 1E-7 2E-7 3E-7 4E-7 b1 0,2 0,4 0,6 0,8 0 1E-7 1,4E-7 1,8E-7 2,2E-7 b2 0,2 0,4 0,6 0,8 а б Рис. 4 30 ISSN 0572-2691 Заключение В настоящей работе для разномасштабных неклассических моделей фильтра- ции–консолидации в сжимаемых средах микропористых частиц сформулированы задачи идентификации кинетических параметров моделей с использованием функ- ционалов-невязок, учитывающих изменение суммарного потока жидкости на по- верхности наблюдения. Предложены высокопродуктивные методы реализации задач идентификации (коэффициент консолидации во внутричастичном и меж- дучастичном пространствах b1, b2 и фактор эластичности материала ) как функ- ций от времени на основе аналитических решений прямых и сопряженных задач, получены явные выражения компонентов градиентов функционалов-невязок для реализации высопродуктивных процедур идентификации параметров модели. Та- кой подход при реализации адекватных схем линеаризации моделей обеспечивает более полное описание механизма влагопереноса из пространства микропор и вза- имовлияния микро- и макропотоков на поведение жидкой и твердой фазы в целом, явную аналитическую связь между определяющими и лимитирующими параметрами переноса (давлениями в жидкой фазе в пространстве микро- и макропор P1, P2 и компрессионно-кинетическими параметрами b1, b2, ). Выполнена численная идентификация и анализ указанных параметров модели. М.Р. Петрик ВИСОКОШВИДКІСНІ МЕТОДИ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛЕЙ ФІЛЬТРАЦІЇ–КОНСОЛІДАЦІЇ СТИСКУВАНИХ СРЕДОВИЩ ВОЛОГОНАСИЧЕНИХ МІКРОПОРИСТИХ ЧАСТИНОК Сформульовано задачі ідентифікації параметрів моделей фільтрації–консолі- дації в стискуваних середовищах мікропористих частинок з використанням функціоналів-нев’язок, що враховують зміну сумарного потоку рідини на пове- рхні спостереження. Запропоновано високопродуктивні методи реалізації задач ідентифікації на основі аналітичних розв’язків прямих і спряжених задач. Отримано явні вирази компонентів градієнтів функціоналів-нев’язок для іден- тифікації параметрів моделі градієнтними методами. М.R. Petryk HIGH VELOCITY IDENTIFICATION METHODS OF THE MODEL PARAMETERS OF FILTRATION–CONSOLIDATION OF COMPRESSIBLE MEDIA OF MOISTURE- SATURATED MICRO-POROUS PARTICLES The identification problems of the model parameters of filtration-consolidation in compressible media of micro–porous particles using residual functionals, taking into account the total liquid flow changes on the observation surface are formulated. Highly productive methods of identification problems implementation based on the analytical solutions of the direct and conjugate problems are proposed. Explicit analytical expressions of components of residual functional gradients for the model parameters identification by gradient methods are obtained. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 1 31 1. Zhuw H. X., Melrose, J. R. A mechanics model for the compression of plant and vegetative tissues // Journal of Theoretical Biology. — 2003 — N 221. — P. 89–101. 2. Schwartzberg H.G. Expression of fluid from biological solids // Separation and Purification Methods. — 1997. — N 26 (1). — P.1–213. 3. Barenblatt G.I., Entov V.M., Ryzhik V. Theory of fluid flows through natural rocks. — Dordrecht: Kluwer, 1990. — 303 p. 4. Grimi N., Vorobiev E., Lebovka N., Vaxelaire J. Solid–liquid expression from denaturated plant tissue: Filtration–consolidation behavior // Journal of Food Engineering. — 2010. — N 96 (1). — P. 29–36. 5. Terzaghi K. Erdbaumechanik auf Bodenphysikalischer Grundlage. — Wien: Deuticke, 1925. — 399 p. 6. Suclje L. Rheological aspects of soil mechanics. — New York: Wiley Iinterscience, 1970. — 570 p. 7. Shirato M., Murase T., Iwata, M., Nakatsuka S. The Terzaghi–Voigt combined model for constant pressure consolidation of filter cakes and homogeneous semi–solid materials // Chemical Engineering Science. — 1986. — N 41. — P. 3213–3218. 8. Lanoisell, J.–L., Vorobyov E. Bouvier J.–M., Piar G. Modelling of solid / liquid expression for cellular materials // AIChE Journal. — 1996. — N 42(7). — P. 2057–2067. 9. Petryk M., Vorobiev E. Numerical and analytical modelling of solid–liquid expression from soft plant materials // Ibid. — 2013. — N 59(12). — P. 4762–4771. 10. Petryk M., Vorobiev E. Liquid flowing from porous particles during the pressing of biological materials // Computer & Chem. Eng. — 2007. — N 31(10). — P. 1336–1345. 11. Сергиенко И.В., Дейнека В.С. Идентификация параметров некоторых задач фильтрации– консолидации влагонасыщенных микропористых сред // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — № 2. — С. 89–107. 12. Петрик М.Р., Михалик Д.М. Нелинейная математическая модель двухуровневого переноса типа «фильтрация–консолидация» // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2010. — № 2. — С. 74–85. 13. Сергиенко И.В., Дейнека В. Системный анализ. — Киев: Наук. думка, 2013. — 500 с. 14. Высокопродуктивные методы идентификации параметров компетитивной диффузии в неодно- родных средах нанопористых частиц / И.В. Сергиенко, М.Р. Петрик, Ж. Фрессар, С. Леклерк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — № 4. — С. 44–61. 15. Ленюк М.П. Інтегральні перетворення Фур’є, Бесселя із спектральним параметром в задачах математичного моделювання масопереносу в неоднорідних середовищах. — Київ: Наук. думка, 2000. — 372 с. 16. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. — М.: Машиностроение, 1988. — 280 с. 17. Математичне моделювання масопереносу в середовищах частинок нанопористої структури / І.В. Сергієнко, М.Р. Петрик, О.М. Хіміч, Д. Кане, Д.М. Михалик, С. Фресар Леклерк. — Kиїв: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2014. — 210 с. 18. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 800 с. Получено 26.10.2015 Статья представлена к публикации чл.-корр. НАН Украины А.Н. Химичем.

Высокоскоростные методы идентификации параметров моделей фильтрации–консолидации сжимаемых сред влагонасыщенных микропористых частиц

Репозитарії

Схожі ресурси