Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов

Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання із рандомізованою політикою поповнення запасів і нетерплячими витратними вимогами, які можуть утворювати чергу скінченної або нескінченної довжини. Розроблено точний і наближений методи для визначення характеристик таких систем при використанні за...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Меликов, А.З., Пономаренко, Л.А., Багирова, С.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Методы обработки информации
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208260
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, С.А. Багирова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 5. — С. 104-115. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-208260
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2082602025-10-24T00:02:45Z Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов Моделі систем обслуговування-запасання із рандомізованою політикою поповнення запасів Models of queuing-inventory systems with randomized lead policy Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Багирова, С.А. Методы обработки информации Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання із рандомізованою політикою поповнення запасів і нетерплячими витратними вимогами, які можуть утворювати чергу скінченної або нескінченної довжини. Розроблено точний і наближений методи для визначення характеристик таких систем при використанні запропонованих політик поповнення запасів. The models of the queuing-inventory systems with randomized lead policy and either finite or infinite queue of impatient customers are proposed. Exact and approximate methods to calculate the characteristics of the systems under given lead policies are developed. 2016 Article Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, С.А. Багирова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 5. — С. 104-115. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208260 519.872 10.1615/JAutomatInfScien.v48.i9.20 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методы обработки информации Методы обработки информации
spellingShingle	Методы обработки информации Методы обработки информации Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Багирова, С.А. Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов Проблемы управления и информатики
description	Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання із рандомізованою політикою поповнення запасів і нетерплячими витратними вимогами, які можуть утворювати чергу скінченної або нескінченної довжини. Розроблено точний і наближений методи для визначення характеристик таких систем при використанні запропонованих політик поповнення запасів.
format	Article
author	Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Багирова, С.А.
author_facet	Меликов, А.З. Пономаренко, Л.А. Багирова, С.А.
author_sort	Меликов, А.З.
title	Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов
title_short	Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов
title_full	Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов
title_fullStr	Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов
title_full_unstemmed	Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов
title_sort	модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Методы обработки информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/208260
citation_txt	Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов / А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, С.А. Багирова // Проблемы управления и информатики. — 2016. — № 5. — С. 104-115. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT melikovaz modelisistemobsluživaniâzapasaniâsrandomizirovannojpolitikojpopolneniâzapasov AT ponomarenkola modelisistemobsluživaniâzapasaniâsrandomizirovannojpolitikojpopolneniâzapasov AT bagirovasa modelisistemobsluživaniâzapasaniâsrandomizirovannojpolitikojpopolneniâzapasov AT melikovaz modelísistemobslugovuvannâzapasannâízrandomízovanoûpolítikoûpopovnennâzapasív AT ponomarenkola modelísistemobslugovuvannâzapasannâízrandomízovanoûpolítikoûpopovnennâzapasív AT bagirovasa modelísistemobslugovuvannâzapasannâízrandomízovanoûpolítikoûpopovnennâzapasív AT melikovaz modelsofqueuinginventorysystemswithrandomizedleadpolicy AT ponomarenkola modelsofqueuinginventorysystemswithrandomizedleadpolicy AT bagirovasa modelsofqueuinginventorysystemswithrandomizedleadpolicy
first_indexed	2025-11-25T23:13:18Z
last_indexed	2025-11-25T23:13:18Z
_version_	1849805935257583616
fulltext	© А.З. МЕЛИКОВ, Л.А. ПОНОМАРЕНКО, С.А. БАГИРОВА, 2016 104 ISSN 0572-2691 УДК 519.872 А.З. Меликов, Л.А. Пономаренко, С.А. Багирова МОДЕЛИ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ-ЗАПАСАНИЯ С РАНДОМИЗИРОВАННОЙ ПОЛИТИКОЙ ПОПОЛНЕНИЯ ЗАПАСОВ Введение Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [1]. Напомним, что там были предложены точный и приближенный методы анализа моделей систем обслуживания-запасания (СОЗ) с нетерпеливыми расходующими заявками (p-заявками) при использовании ),( Ss -политики пополнения запасов (ППЗ), т.е. предполагалось, что когда уровень ресурсов на складе системы меньше некоторого (известного) уровня s или равен ему, отправляется заказ на вышесто- ящий склад на поставку ресурсов объемом ,sS  где S — максимальный размер склада системы. Там же имеется достаточно подробный обзор работ в этом направлении. В подавляющем большинстве работ по анализу СОЗ политика пополнения запасов заранее определяется в известном классе политик. Зачастую этот класс задается некоторыми параметрами; например, указанный выше класс ),( Ss -поли- тики пополнения запасов при фиксированном объеме склада определяется одним параметром .s Существуют и более сложные ППЗ такого рода со многими пара- метрами. Назовем их параметрическими нерандомизированными ППЗ. Подроб- ный обзор результатов изучения этих политик можно найти в работах [2, 3]. Следует отметить, что определение класса ППЗ заранее сужает возможную область определения оптимальной (в известном смысле) или рациональной поли- тики и тем самым не позволяет максимально повысить эффективность работы изучаемой системы. Поэтому необходимо ввести более широкий класс ППЗ и раз- работать методы расчета и оптимизации изучаемых СОЗ при использовании предложенных политик. В данной работе предложены класс рандомизированных ППЗ и точный и приближенный методы расчета характеристик изучаемых СОЗ. Показано, что многие известные ППЗ являются частными случаями предложенных политик. 1. Описание модели СОЗ Исследуемая система имеет склад ограниченного объема .S В эту систему поступает пуассоновский поток p-заявок с интенсивностью  . Для простоты изложения и не нарушая общности, предположим, что каждая p-заявка требует ресурс единичного размера; обслуживание каждой p-заявки осуществляется с помощью одного канала, при этом время обслуживания p-заявок является по- ложительной случайной величиной, имеющей экспоненциальную функцию распределения (ф.р.) с параметром  . После завершения обслуживания p-заявки уровень ресурсов на складе системы уменьшается на единицу. Описывается модель СОЗ с «живой» очередью p-заявок, т.е. если в момент поступления p-заявки канал системы занят или склад системы пуст, то она стано- вится в очередь и ожидает начала обслуживания непосредственно в системе. Здесь рассматриваются модели с ограниченной и неограниченной очередями p-заявок: в модели с ограниченной очередью максимальная длина очереди p-заявок может Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 105 быть равна N <, т.е. если p-заявка поступила в момент, когда в очереди уже име- ется N таких заявок, то, независимо от уровня запасов на складе системы, она те- ряется с вероятностью 1; в модели с неограниченной очередью, независимо от уровня запасов системы, любая p-заявка с вероятностью 1 присоединяется к оче- реди. Вместе с тем в очереди p-заявки являются нетерпеливыми: допустимые времена ожидания в очереди p-заявок, когда уровень запасов системы равен ,m являются независимыми случайными величинами, имеющими экспоненциальные ф.р. со средними ).(1 m Обслуживание p-заявок продолжается до тех пор, пока склад системы не ста- новится пустым. Пополнение склада запасами выполняется согласно рандомизи- рованной политике, которая является обобщением ряда известных политик по- полнения. Так, когда склад системы оказывается пустым, с вероятностью )(k поступают новые запасы объема ,k ,...,,2,1 Sk  где .1)( 1   S k k Предполагает- ся, что 0)(  S , так как иначе вместимость склада использовалась бы не полно- стью. Сделанный заказ выполняется с некоторой задержкой, вызванной доставкой и выгрузкой запасов на склад системы, т.е. время выполнения заказа является ненулевым. Предположим, что указанное время имеет экспоненциальную ф.р. с параметром v , который не зависит от числа p-заявок в системе. Задача состоит в определении совместного распределения уровня запасов си- стемы и длины очереди p-заявок, решение которой позволяет вычислить характе- ристики изучаемой СОЗ: средний уровень ресурсов на складе ),( avS среднюю длину очереди p-заявок )( avL и вероятность потери p-заявок )(PB (эта характери- стика относится лишь к модели с ограниченной очередью). 2. Методы расчета характеристик СОЗ Вначале рассмотрим модель с ограниченной очередью. Функционирование данной СОЗ описывается двумерной цепью Маркова (ЦМ) с состояниями вида ),,( nm где m — уровень ресурсов на складе, n — число p-заявок в очереди. Эта цепь является конечной, и ее фазовое пространство состояний (ФПС) определяет- ся так (рис. 1): }....,,1,0;...,,1,0:),({ NnSmnmE  (1) µ µ µ µ µ 3,0 3,1 3,2 3,3 2,0 2,1 2,2 2,3 1,0 1,1 1,2 1,3 0,0 0,1 0,2 0,3 4,0 4,2 4,1 4,3 λ λ λ v4 λ λ λ µ µ µ µ µ µ µ µ v v2 v1 4 4 4 Рис. 1 106 ISSN 0572-2691 Определим элементы производящей матрицы (Q-матрицы) данной дву- мерной ЦМ. Интенсивность перехода из состояния Enm ),( 11 в состояние Enm ),( 22 обозначим )).,(),,(( 2211 nmnmq В общем случае переходы между состояниями ФПС (1) связаны со следую- щими событиями: (i) с поступлением p-заявок, (ii) с завершением обслуживания p-заявок, (iii) с уходом p-заявок из очереди из-за их нетерпеливости и (iv) с по- ступлением ресурсов из вышестоящего склада. Исходя из принятой политики по- полнения запасов, необходимо различать следующие случаи при определении ис- ходного состояния :),( 11 Enm  1) ;01 m 2) .01 m Сначала рассмотрим случай :01 m выходы из данного состояния ),( 11 nm из-за событий типа (iv) невозможны, так как в таких состояниях склад не может пополняться запасами. Если поступает некоторая p-заявка (события типа (i)), то она присоединяется к очереди при выполнении условия ;1 Nn  иными словами, осуществляется переход из данного состояния в состояние .)1,( 11 Enm  Ин- тенсивность такого перехода равна  . Если в исходном состоянии выполняется условие ,1 Nn  то поступившая p-заявка теряется. После завершения обслужи- вания p-заявки (события типа (ii)) в исходном состоянии 0,),( 111  nEnm , осуществляется переход в состояние .)1,1( 11 Enm  Интенсивность такого перехода равна  . Если некоторая p-заявка уходит из очереди необслуженной (события типа (iii)), то происходит переход из данного состояния в состояние .)1,( 11 Enm  Интенсивность такого перехода равна ).( 11 mn  Следовательно, для случаев 01 m указанные выше элементы Q-матрицы определяются так (см. рис. 1):              .случаяхостальныхв0 ,0,1,если),( ,0,1,1если, ,1,1,если, )),(),,(( 1121211 11212 11212 2211 nnnmmmn nnnmm Nnnnmm nmnmq (2) Пусть теперь в исходном состоянии Enm ),( 11 выполняется условие .01 m В этих состояниях события типа (ii) невозможны, так как не обслужива- ются p-заявки, а интенсивности переходов для указанных выше событий типа (i) и (iii) определяются аналогично соотношениям (2). Вместе с тем в момент поступ- ления запаса объемом k происходит переход в состояние );,( 1nk интенсивность такого перехода равна ).(kv Следовательно, для случаев 01 m указанные выше элементы Q-матрицы определяются так (см. рис. 1):              .случаяхостальныхв0 ,0,1,0если),0( ,,если),( ,1,1,0если, )),(),,0(( 11221 122 1122 221 nnnmn nnkmk Nnnnm nmnq (3) Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 107 С учетом соотношений (2) и (3) находим, что все состояния этой конечной двумерной ЦМ являются сообщающимися; следовательно, в этой системе суще- ствует стационарный режим. Пусть ),( nmp — стационарная вероятность состояния .),( Enm  Эти вероят- ности удовлетворяют системе уравнений равновесия (СУР), которая составляется на основе соотношений (2) и (3). В явной форме эта СУР записывается так: случай :0m  )0()1,(),())()0()(( nInmpnmpmnnINnI );,0()()()1,()()1()()1,1( npmNnInmpmnSmInmp  (4) случай :0m ).()1,0()0()1()0()1,0(),0())()(( NnInpnnInpnpmnNnI  (5) Здесь и в дальнейшем )(AI — индикаторная функция события .A К этой СУР добавляется условие нормировки: .1),( ),(   nmp Enm (6) После определения совместного распределения уровня запасов на складе си- стемы и длины очереди p-заявок можно вычислить усредненные характеристики исследуемой СОЗ. Так, средняя длина очереди p-заявок )( avL и средний уровень ресурсов на складе )( avS определяются как математические ожидания соответ- ствующих случайных величин, т.е. для их вычисления получим следующие форму- лы: );,( 01 nmpnL S m N n av    (7) ).,( 01 nmpmS N n S m av    (8) Потери p-заявок происходят либо из-за переполнения буфера для ожидания p-заявок, либо из-за их нетерпеливости. Иными словами, p-заявки теряются в сле- дующих случаях: (1) в момент поступления такой заявки в очереди отсутствуют свободные места; (2) до окончания допустимого интервала ожидания не освобожда- ется канал обслуживания. Следовательно, для вычисления вероятности потери p-заявок )( pPB получим следующую формулу: ),,(),(),( 100 nmPNmpNmpPB l N n S m S m    (9) где ),( nmPl — вероятность того, что в состоянии ),( nm p-заявка теряется из-за нетерпеливости. Эта величина определяется так:   . )1()( )( ),( NnImImn mn nmPl    (10) Относительно СУР (4)–(6) отметим, что, к сожалению, из-за сложной струк- туры ее матрицы не удается найти ее аналитического решения. Поэтому прихо- дится использовать стандартные численные методы теории марковских процес- сов. Эти методы являются работоспособными лишь для моделей малой и умерен- ной размерности ФПС (1), которая определяется как ).1)(1(  NS Для моделей большой и сверхбольшой размерности использование СУР становится вообще 108 ISSN 0572-2691 бесполезным. Следует также заметить, что реальные СОЗ являются именно боль- шими системами. Здесь используется приближенный метод расчета стационарного распределе- ния двумерных ЦМ, позволяющий осуществить асимптотический анализ характе- ристик данной модели СОЗ при больших размерностях склада системы и объема буферного накопителя для ожидания p-заявок. При этом принимается, что СОЗ работает в условиях большой нагрузки, т.е. интенсивность поступления p-заявок намного превосходит интенсивность их обслуживания. При выполнении этого допущения рассмотрим следующее расщепление ФПС (1): ,,0, 21 0 21 mmEEEE mmm S m   (11) где }....,,1,0:),{( NnEnmEm  Расщепление (11) означает, что класс состояний mE содержит те состояния ),( nm из исходного ФПС (1), в которых уровень ресурсов равен m независимо от длины очереди р-заявок. Далее в исходном ФПС (1) определяется следующая функция укрупнения: ,)),((  mnmU (12) где m — укрупненное состояние, которое объединяет класс состояний ,mE ....,,1,0 Sm  Обозначим }....,,1,0:{ Smm  Стационарное распределение исходной модели приближенно определяется следующим образом: ),()(),(  mnnmp m (13) где )(nm — вероятность состояния ),( nm внутри расщепленной модели с про- странством состояний ,mE а )(  m — вероятность укрупненного состояния m . Из расщепления (11) видно, что во всех состояниях внутри расщепленной модели с ФПС mE первая компонента является постоянной, и поэтому все состо- яния из этого класса определяются лишь второй компонентой (см. рис. 1). При этом из соотношений (2) и (3) получаем, что стационарные вероятности состоя- ний внутри расщепленной модели с ФПС mE вычисляются как вероятности со- стояний классической модели Эрланга M / M / N / 0 c нагрузкой )(/ mm  , т.е. ),0( ! )( m n m m n n    (14) где . ! )0( 1 0              n n m N n m Интенсивность перехода из укрупненного состояния  1m в укрупненное со- стояние  2m обозначим  2121 ,),,( mmmmq . С учетом (2), (3) и (14) по- сле определенных математических преобразований получаем (рис. 2): Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 109           .случаяхостальныхв0 ,1,1 если)),0(1( ,1,0 если),( ),( 121 212 21 1 mmSm Smmm mmq m (15) 0 1 2 3 4 v4 v v2 v1  1 – 1  1 – 2  1 – 3  1 – 4 Рис. 2 Тогда из соотношений (15) удается выразить вероятности состояний ),(  m ,1 Sm  через вероятность )0(  следующим образом: ).0()( ))0(1( )(       S mim im (16) Вероятность )0(  находится из условия нормировки, т.е. .1)( 0   S m m (17) Тогда, с учетом соотношений (14)–(17), находится совместное распределение уровня ресурсов на складе системы и длины очереди p-заявок. Далее с использо- ванием (7)–(9) находятся следующие формулы для приближенного расчета харак- теристик системы обслуживания-запасания с ограниченной очередью: );()( 01    mnnL m S m N n av (18) );( 1    mmS S m av (19) ).,()()()()( 100 nmPmnmNPB lm N n S m m S m    (20) Теперь рассмотрим модель с неограниченной очередью. Предположим, .N Функционирование данной системы также описывается двумерной ЦМ, но в данном случае бесконечной, с состояниями вида ,),( nm где m — уровень ресурсов на складе, n — число p-заявок в очереди, т.е. ФПС этой модели являет- ся бесконечномерным и задается так: ...}.,1,0;...,,1,0:),{(  nSmnmE (21) Замечание 1. Здесь и в дальнейшем в целях упрощения изложения для обоих типов моделей используются одинаковые обозначения для ФПС, стационарных распределений и характеристик системы. Однако из контекста будет ясно, о каких именно моделях идет речь. 110 ISSN 0572-2691 Элементы Q-матрицы данной двумерной ЦМ определяются аналогично (2) и (3). Средняя длина очереди p-заявок и средний уровень ресурсов на складе также определяются аналогично (6) и (7), но при этом следует иметь в виду, что в фор- муле (7) параметр N принимается равным бесконечности ).( N Относительно определения вероятности потери p-заявок отметим, что в данной модели отсут- ствует первое слагаемое в формуле (10), так как очередь p-заявок имеет бесконеч- ную длину. Следовательно, в данной модели для вычисления вероятности потери p-заявок получим следующую формулу: ).,(),( 10 nmPnmpPB l n s m     (22) Замечание 2. Здесь следует иметь в виду, что при определении функции ),( nmPl в правой части формулы (10) 1)(  NnI для любого ....,2,1n В данной модели для определения стационарного распределения соответ- ствующей бесконечномерной ЦМ не удается использовать соответствующую СУР для стационарных вероятностей состояний. Поэтому для определения стационар- ного распределения этой бесконечномерной ЦМ применяется описанный выше приближенный метод. Специфика его применения для данной модели излагается ниже в краткой форме. Как и выше, рассматривается аналогичное (11) расщепление ФПС (21) и со- ответствующим образом строится функция укрупнения (12). В данном случае стаци- онарные вероятности состояний внутри расщепленной модели с ФПС mE вычисля- ются как вероятности состояний модели M / M / c нагрузкой ,m т.е. ...,2,1,0, ! )(     ne n n m n m m . (23) Интенсивности переходов между состояниями укрупненной модели опреде- ляются аналогично (15), но следует иметь в виду, что в этом случае .1)0( 1 1 mem   Далее вероятности состояний укрупненной модели вычисля- ются в соответствии с формулами (16), (17). Средний уровень ресурсов также определяется с помощью формулы (19). С учетом (23) из (18) при N получим следующую простую формулу для вы- числения средней длины очереди в модели СОЗ с неограниченной очередью: .)( 0 m S m av mL    (24) Вероятность потери p-заявок из-за нетерпеливости в данной модели определяется так: ).,( ! )( 10 nmP n mePB l n m n S m m        (25) 3. Численные результаты Здесь исследуется влияние различных схем рандомизированных ППЗ на ха- рактеристики системы при изменении объема склада, когда размер буфера для ожидания p-заявок является фиксированным, а также при изменении размера бу- фера для ожидания p-заявок, когда объем склада является фиксированным. Для системы с неограниченной очередью анализируется лишь влияние различных схем рандомизированных ППЗ на характеристики системы при изменении объема склада. Во всех экспериментах предполагается, что нагрузочные параметры си- стемы являются фиксированными. Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 111 Изучается три схемы рандомизированных ППЗ: 1) равномерная, где Sk /1)(  для всех ;...,,2,1 Sk  2) однопараметрическая, где  )()( Sm ,5,0 ,Sm  и ,0)(  k если mk  или Sk  (здесь для определенности изло- жения принимается, что ,]2/[Sm  где ][x — целая часть );x 3) схема полного пополнения, где .1)(  S Рассмотрим результаты для системы с ограниченной очередью. Нагрузочные параметры системы выбирались так: .5,0,5  Следует ожидать, что функция нетерпеливости p-заявок должна быть убывающей относительно теку- щего уровня запасов. Потому, для определенности изложения, ниже принимается, что она определяется так: , 2 1 )(   m m ....,,1,0 Sm  Сначала рассмотрим влияние указанных выше трех схем ППЗ на характери- стики системы при изменении объема склада, когда размер буфера для ожидания p-заявок является фиксированным, т.е. принимается, что .100N Соответству- ющие результаты показаны на рис. 3. Отметим, что приведенные ниже графики и их анализ относятся непосредственно к этим исходным данным. 112 ISSN 0572-2691 Из рис. 3, а видно, что средняя длина очереди p-заявок является возрастаю- щей функцией при всех трех схемах ППЗ, при этом во второй и третьей схемах значения этой функции почти полностью совпадают, а в первой они оказываются чуть меньше. Характер этой функ- ции (т.е. ее возрастание) объясняет- ся тем, что с ростом объема склада системы )(S функция, которая оце- нивает степень нетерпеливости p- заявок ),(m ,...,,2,1 Sm  умень- шается с большой скоростью, и, следовательно, уменьшается ин- тенсивность потери p-заявок из очереди вследствие их нетерпели- вости. Это приводит к увеличению средней длины очереди p-заявок. Отметим, что уже при 120S сре- дняя длина очереди составляет бо- лее 90 % всего буфера. Средний уровень запасов яв- ляется возрастающей функцией при всех трех схемах ППЗ, при этом, как и выше, в первой схеме значения этой функции оказывают- ся меньше, чем в остальных двух схемах (рис. 3, б); отметим, что здесь также во второй и третьей схемах значения указанной функ- ции почти полностью совпадают. Этот результат можно считать ожидаемым, но, вместе с тем, ли- нейный вид этой функции во всех схемах представляет собой опреде- ленный интерес. Вероятность потери p-заявок также является возрастающей функцией при всех трех схемах ППЗ (см. рис. 3, в). Здесь, как и выше (рис. 3, а, б), в третьей схе- ме значения этой функции оказы- ваются меньше, чем в остальных двух схемах. Отметим, что во второй и третьей схемах значения указанной функции также почти полностью совпадают. На первый взгляд, характер этой функции (т.е. ее возрастание) кажется неожиданным, так как с ростом объема склада следует ожидать, что p-заявки будут теряться реже. Этот факт имеет сле- дующее объяснение: с ростом объема склада увеличивается средняя длина очере- ди p-заявок (рис. 3, а) и тем самым буфер часто становится полным, поэтому и увеличивается интенсивность потери p-заявок из-за переполнения буфера. Иными словами, несмотря на то что с ростом объема склада уменьшается интенсивность потери p-заявок из очереди вследствие их нетерпеливости, увеличивается интен- сивность их потери из-за переполнения буфера. Поскольку вероятность потери 100 Lav S 10 100 200 0 20 40 60 80 1 2 3 1— — схема 1 2— — схема 2 3— — схема 3  а Sav S 10 100 200 0 20 40 60 80 б PB S 10 100 200 0 0,2 0,4 0,6 0,8 в Рис. 3 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 113 состоит из двух слагаемых (см. формулу (9)), характер изменения их итогового значения определяется скоростями изменения этих слагаемых. Анализ графиков на рис. 3 показал, что для выбранных исходных данных равномерная схема оказывается предпочтительной среди рассматриваемых схем ППЗ для всех трех характеристик системы. Теперь рассмотрим влияние указанных выше трех схем ППЗ на характеристики системы при из- менении размера буфера для ожи- дания p-заявок, когда объем скла- да является фиксированным, т.е. принимается, что .200S Соот- ветствующие результаты показаны на рис. 4. Из рис. 4, а видно, что сред- няя длина очереди p-заявок явля- ется возрастающей функцией при всех трех схемах ППЗ, при этом ее значения во всех схемах почти полностью совпадают и графики этих функций представляют со- бой прямые линии. Этот резуль- тат является ожидаемым, так как увеличение размера буфера для ожидания p-заявок повышает их шансы быть принятыми в очередь. В этих экспериментах сред- ний уровень запасов является по- стоянным при всех трех схемах ППЗ, при этом в первой схеме значение этой функции оказыва- ется существенно меньше, чем в остальных двух (рис. 4, б). Отме- тим, что здесь значения указан- ной функции во второй и третьей схемах почти полностью совпа- дают. Постоянство этой функции является неожиданным резуль- татом. Вместе с тем характер функции, оценивающей вероятности потери p-заявок, вполне ожидаем (см. рис. 4, в), так как с ростом размера буфера вероятность потери p-заявок систематиче- ски уменьшается. При этом здесь равномерная схема также оказывается пред- почтительной среди рассматриваемых схем ППЗ для всех трех характеристик системы. 100 Lav N 10 74 0 20 40 60 80 98 42 а Sav N 0 20 40 60 80 10 74 98 42 б PB N 0 0,2 0,4 0,6 0,8 10 74 98 42 в Рис. 4 114 ISSN 0572-2691 В конце данного раздела рас- смотрим результаты численных экспериментов для системы с не- ограниченной очередью. Здесь, как было отмечено выше, исследу- ется лишь влияние различных схем рандомизированных ППЗ на харак- теристики системы при изменении объема склада. В этих эксперимен- тах нагрузочные параметры систе- мы выбирались так: ,1,0,2  .2,0 Интересным является то, что при всех трех схемах ППЗ все ха- рактеристики системы совпадают (рис. 5, а–в), при этом графики средней длины очереди p-заявок и среднего уровня запасов пред- ставляют собой прямые (возрас- тающие) линии. Вместе с тем гра- фик функции вероятности потери имеет ярко выраженный нели- нейный характер (особенно при малых значениях объема склада системы). Заключение В работе предложены модели систем обслуживания-запасания с рандомизированными политика- ми пополнения запасов и нетерпеливыми расходующими заявками. Расходу- ющие заявки могут образовывать очередь конечной или бесконечной длины, при этом интенсивность потери расходующих заявок из очереди из-за нетер- пеливости зависит от текущего уровня запасов системы. Расходующие заявки обслуживаются, пока в системе уровень запасов является положительной ве- личиной, а когда склад системы опустошается, делается заказ для пополнения склада системы. Объем поставленного заказа является дискретной случайной величиной с известной функцией распределения, а время выполнения заказа — показательно распределенной непрерывной случайной величиной со сред- ним, которое не зависит ни от уровня запасов системы, ни от объема выпол- ненного заказа. Математическими моделями изучаемых систем являются двумерные цепи Маркова. Разработаны точный и приближенный методы определения стационар- ных распределений этих цепей и на их основе определяются характеристики изу- чаемых систем. Точный метод основан на использовании балансовых уравнений, а приближенный метод асимптотического анализа изучаемых систем — на алго- ритмах фазового укрупнения состояний двумерных цепей Маркова. Полученные результаты могут быть использованы для нахождения надлежащих ППЗ в целях 400 Lav S 0 100 200 300 10 100 200 а Sav S 0 100 200 10 100 200 б PB S 0,949 0,95 10 100 200 0,951 0,952 в Рис. 5 Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики», 2016, № 5 115 определения заданных ограничений на характеристики системы. Эти задачи яв- ляются предметами специальных исследований. А.З. Меліков, Л.А. Пономаренко, С.А. Багірова МОДЕЛІ СИСТЕМ ОБСЛУГОВУВАННЯ-ЗАПАСАННЯ ІЗ РАНДОМІЗОВАНОЮ ПОЛІТИКОЮ ПОПОВНЕННЯ ЗАПАСІВ Запропоновано моделі систем обслуговування-запасання із рандомізованою політикою поповнення запасів і нетерплячими витратними вимогами, які мо- жуть утворювати чергу скінченної або нескінченної довжини. Розроблено точ- ний і наближений методи для визначення характеристик таких систем при ви- користанні запропонованих політик поповнення запасів. A.Z. Melikov, L.A. Ponomarenko, S.A. Bagirova MODELS OF QUEUING-INVENTORY SYSTEMS WITH RANDOMIZED LEAD POLICY The models of the queuing-inventory systems with randomized lead policy and either finite or infinite queue of impatient customers are proposed. Exact and approximate methods to calculate the characteristics of the systems under given lead policies are developed. 1. Меликов А.З., Пономаренко Л.А., Багирова С.А. Анализ систем обслуживания-запасания с нетерпеливыми расходующими заявками // Международный научно-технический журнал «Проблемы управления и информатики». — 2016. — № 1. — С. 96–110. 2. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. — СПб. : Питер, 2001. — 384 с. 3. Рубальский Г.Б. Вероятностные и вычислительные методы оптимального управления запа- сами. — М. : Знание, 1987. — 115 с. Получено 17.02.2016 Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. НАН Украины А.А. Чикрием.

Модели систем обслуживания-запасания с рандомизированной политикой пополнения запасов

Репозитарії

Схожі ресурси