Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями

Досліджено асимптотичну стохастичну стійкість в цілому, асимптотичну p-стійкість в цілому. Розглянуто стійкість при постійно діючих збуреннях. Побудовано оптимальне керування для стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими переключеннями....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Лукашив, Т.О., Ясинская, Л.И., Ясинский, В.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2009
Назва видання:	Проблемы управления и информатики
Теми:	Проблемы динамики управляемых систем
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209480
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями / Т.О. Лукашив, Л.И. Ясинская, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 2. — С. 14-29. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-209480
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-2094802025-11-22T18:26:34Z Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями Стабілізація стохастичних дифузійних динамічних систем з імпульсними марковськими переключеннями і параметрами. Частина 2. Стабілізація динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими переключеннями Stabilization of stochastic diffusion dynamical systems with impulse Markov switchings and parameters. Part II. Stabilization of dynamical systems of random structure with external Markov switchings Лукашив, Т.О. Ясинская, Л.И. Ясинский, В.К. Проблемы динамики управляемых систем Досліджено асимптотичну стохастичну стійкість в цілому, асимптотичну p-стійкість в цілому. Розглянуто стійкість при постійно діючих збуреннях. Побудовано оптимальне керування для стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими переключеннями. The asymptotic stochastic stability on the whole, asymptotic p-stability on the whole are investigated. The stability with constant action of disturbances is considered. The optimal control for the stochastic diffusion dynamical system of random structure with external Markov switchings is constructed. 2009 Article Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями / Т.О. Лукашив, Л.И. Ясинская, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 2. — С. 14-29. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209480 519.217; 519.718; 519.837 10.1615/JAutomatInfScien.v41.i4.30 ru Проблемы управления и информатики application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем
spellingShingle	Проблемы динамики управляемых систем Проблемы динамики управляемых систем Лукашив, Т.О. Ясинская, Л.И. Ясинский, В.К. Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями Проблемы управления и информатики
description	Досліджено асимптотичну стохастичну стійкість в цілому, асимптотичну p-стійкість в цілому. Розглянуто стійкість при постійно діючих збуреннях. Побудовано оптимальне керування для стохастичних дифузійних динамічних систем випадкової структури із зовнішніми марковськими переключеннями.
format	Article
author	Лукашив, Т.О. Ясинская, Л.И. Ясинский, В.К.
author_facet	Лукашив, Т.О. Ясинская, Л.И. Ясинский, В.К.
author_sort	Лукашив, Т.О.
title	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями
title_short	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями
title_full	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями
title_fullStr	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями
title_full_unstemmed	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями
title_sort	стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. часть 2. стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Проблемы динамики управляемых систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/209480
citation_txt	Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 2. Стабилизация динамических систем случайной структуры с внешними марковскими переключениями / Т.О. Лукашив, Л.И. Ясинская, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 2. — С. 14-29. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
series	Проблемы управления и информатики
work_keys_str_mv	AT lukašivto stabilizaciâstohastičeskihdiffuzionnyhdinamičeskihsistemsimpulʹsnymimarkovskimipereklûčeniâmiiparametramičastʹ2stabilizaciâdinamičeskihsistemslučajnojstrukturysvnešnimimarkovskimipereklûčeniâmi AT âsinskaâli stabilizaciâstohastičeskihdiffuzionnyhdinamičeskihsistemsimpulʹsnymimarkovskimipereklûčeniâmiiparametramičastʹ2stabilizaciâdinamičeskihsistemslučajnojstrukturysvnešnimimarkovskimipereklûčeniâmi AT âsinskijvk stabilizaciâstohastičeskihdiffuzionnyhdinamičeskihsistemsimpulʹsnymimarkovskimipereklûčeniâmiiparametramičastʹ2stabilizaciâdinamičeskihsistemslučajnojstrukturysvnešnimimarkovskimipereklûčeniâmi AT lukašivto stabílízacíâstohastičnihdifuzíjnihdinamíčnihsistemzímpulʹsnimimarkovsʹkimipereklûčennâmiíparametramičastina2stabílízacíâdinamíčnihsistemvipadkovoístrukturiízzovníšnímimarkovsʹkimipereklûčennâmi AT âsinskaâli stabílízacíâstohastičnihdifuzíjnihdinamíčnihsistemzímpulʹsnimimarkovsʹkimipereklûčennâmiíparametramičastina2stabílízacíâdinamíčnihsistemvipadkovoístrukturiízzovníšnímimarkovsʹkimipereklûčennâmi AT âsinskijvk stabílízacíâstohastičnihdifuzíjnihdinamíčnihsistemzímpulʹsnimimarkovsʹkimipereklûčennâmiíparametramičastina2stabílízacíâdinamíčnihsistemvipadkovoístrukturiízzovníšnímimarkovsʹkimipereklûčennâmi AT lukašivto stabilizationofstochasticdiffusiondynamicalsystemswithimpulsemarkovswitchingsandparameterspartiistabilizationofdynamicalsystemsofrandomstructurewithexternalmarkovswitchings AT âsinskaâli stabilizationofstochasticdiffusiondynamicalsystemswithimpulsemarkovswitchingsandparameterspartiistabilizationofdynamicalsystemsofrandomstructurewithexternalmarkovswitchings AT âsinskijvk stabilizationofstochasticdiffusiondynamicalsystemswithimpulsemarkovswitchingsandparameterspartiistabilizationofdynamicalsystemsofrandomstructurewithexternalmarkovswitchings
first_indexed	2025-11-24T07:13:59Z
last_indexed	2025-11-24T07:13:59Z
_version_	1849654970905788416
fulltext	© Т.О. ЛУКАШИВ, Л.И. ЯСИНСКАЯ, В.К. ЯСИНСКИЙ, 2009 14 ISSN 0572-2691 УДК 519.217; 519.718; 519.837 Т.О. Лукашив, Л.И. Ясинская, В.К. Ясинский СТАБИЛИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФУЗИОННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИМПУЛЬСНЫМИ МАРКОВСКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ И ПАРАМЕТРАМИ. Часть 2. СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРЫ С ВНЕШНИМИ МАРКОВСКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ Основная теорема об оптимальной стабилизации Метод решения задачи оптимальной стабилизации строится при двух основ- ных ограничениях: 1) синтез оптимального управления ),,,(0 hyxtu строится по принципу полной обратной связи, т.е. существует возможность полного и точного измере- ния фазового вектора mtxtx R ),()( в любой момент времени ;0tt  2) предполагается, что известна структура, в которой находится система в момент времени ,0tt  не зависящий от цепи Маркова k 0( kk  соответствует моменту ).Stk  Отказ от этих двух ограничений приводит к необходимости использования специальных методов оценки состояния (m1)-мерного марковского процесса )}(),({ ttx  по доступному измерению неполного и неточного значения наблюда- емого сигнала [1, 2]. Отметим, что для стохастических динамических систем, в которых отсут- ствуют марковские параметры и марковские переключения, решение задачи оце- нивания [3] проведено в работе [4] с помощью нелинейной фильтрации, а для си- стем случайной структуры эта проблема рассматривается в монографии [5]. Метод решения задачи оптимальной стабилизации [6] основан на непосред- ственной связи между методом функционалов Ляпунова–Красовского [1] и мето- дом динамического программирования Беллмана [1, 7], что послужило основой при создании теории аналитического конструирования регуляторов [8] для детермини- рованных систем. Одновременно в 50–60-е годы XX столетия был обоснован метод функций Ляпунова исследования устойчивости для стохастических систем [9]. Отметим, что указанные исследования дали возможность построить общую теорию оптимального управления для стохастических систем без последействия в серии работ [10]. Принципиально новым моментом, предложенным в [1], стало допущение о разрывах фазовых траекторий динамических систем в случайные моменты време- ни, в результате которых происходят внутренние изменения структуры системы. По-видимому, одно из обобщений в теории оптимальной стабилизации — введение импульсных переключений в фиксированные моменты времени }0,{  ktk с учетом марковских параметров, что и представляет предмет иссле- дований этой работы. Докажем основное утверждение об оптимальной стабилизации. Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 15 Теорема 1. Пусть для импульсной системы )(),),(,(),),(,()( tdwuxttbdtuxttatdx  (1) с импульсными марковскими переключениями )),(),(,()( kkkkk txttgtx  (2) и начальными условиями HYR  hytxtx k m 0 ,)(,)( 000 (3) выполняются такие требования: 1) существует положительно определенный функционал по ),,)([0, mx RD  где ;lim},,{   n n nk tntSt N условие скачка определено выражением (4) где )/,( xzpij  — условная плотность заданного распределения [11]; последова- тельность ),,,(0 hxytv такова, что ),,,(),,( 00 hxythy kk vv  (5) представляет собой функционал Ляпунова, и последовательность r-мерных функ- ций-управлений ),,,,(),,( 00 hxytuhxyu kk  (6) где ,...,,2,1,0,01 nkttt kk    n n tlim (7) ,, HY  hy которые измеримы по всем аргументам; 2) последовательность ),,(0 hxy k v в области ,00  ttt k ,),)([0, DRD  mx ,, HY  hy (8) допускает бесконечно малый высший и бесконечно большой низший пределы; 3) последовательность функционалов 0)),,(,,,,( 0 hxyuhxyt k W (9) из критерия  ),,,( 0000 ku xytI dtxtxyttutxttW kk k tk },)(,)(/])[,],[),(,({ 00000 0       E (10) положительно определена по Dx ],,[ 1 kk ttt ...,...,,2,1,0 nk  ; 4) последовательность слабых инфинитезимальных операторов в силу системы (1) для всех ],,[ 1 kk ttt ,),,,)(( 0 0 kuk uhxyvQ вычисленных при ),,,(00 hxyuu k  удовлетворяет условию );,,,,(),,,()( 00 0 kuk uhxytuhxy k WvQ  (11) 16 ISSN 0572-2691 5) величина ),,,,(),,,)(( 0 uhxytuhy k WQv  достигает минимума при :0uu   ),,,,(),,,()( 00 0 uhxytuhy uk WQv .0)},,,,(),,,(){(min 0   uhxytuhxy uk u r WQv R (12) Тогда управление ,0),,,,(0 khxytu kk стабилизирует решение задачи Коши (1)–(3) с импульсным возмущением (4) до асимптотической устойчивости по ве- роятности, причем выполняется равенство ,)(,)(/])[,],[),(,({),,,( 0 0 0 0 00 0 00 00 0 xtxyttutxttWxyt k k t k k       Ev ).,,,(},,/])[,],[),(,({min} 00 0 0 00 0 hxytIdthxytutxttWdth u k t k u k k r        E R (13) Доказательство. Асимптотическая устойчивость по вероятности в целом импульсной динамической системы (1)–(3) с условием скачка (4) при ,0),,,,(0  khytuu k сразу следует из теоремы 2, содержащейся в части 1 настоящей работы [6] (см. также [12, 15]), ибо функционалы ),,,,(0 hyt v ,0,0  ktttk удовлетворяют условиям этой теоремы. Равенство (13), очевид- но, — тоже следствие этой теоремы. Докажем, что управление ,0,),,,,( 1 0   kttthytu kkk стабилизирует решение системы (1)–(3). Доказательство проведем от противного. Пусть существует управление ),,,,(),,,( 0* hytuhytu kk  которое при подстановке в (1) реализует такое решение ][* tx по некоторому начальному условию (2) из работы [6], что выпол- няется неравенство ).,,,(),,,( 00 0 00 0 0* hxythxyt uu II  (14) Условие (12) приводит к неравенству )).,,,(,,,,(),,()( 0 hxytuhythxy uk  WvQ (15) Усредним (15) по случайным величинам },],[],[{ * kttx  проинтегрируем по t от 0t до Tt  и на основании аддитивности интеграла с учетом формулы Дынкина [2, 14, 15] получим     dtytutxttW xyxyTTxT kk t kkTk },,/])[,],[),(,({ ),,(},,/)),(],[,({ 0 0 00 00** 00000 )( 0 E vvE .},,/])[,],[),(,({ 0 00* 0 dtytutxttW kk k tk       E (16) Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 17 Из (14) следует сходимость интеграла в правой части неравенства (16) при T и соответственно сходимость ряда в (16). Далее, из сходимости ряда (интеграла) в правой части (16) следует, что подынтегральное выражение стремится к нулю при ,t следовательно 0,})(],[,({lim 0   tytxt t vE (17) а значит, 0.}],[),(,({lim )( 0   Tk T TxTTvE (18) Таким образом, неравенство (16) в естественном случае, когда из 0}{   t WE (17) следует 0}{ 0   t vE (18), превращается в неравенство ),,,,(),,,(),,,( 0 * 0 0 0 00 0 00 0 00 00 kukuk xytxytxyt  IIv (19) которое противоречит предположению (14). Это противоречие доказывает опти- мальность управления ).,,,(0 hxytu Теорема доказана. Следствие 1. В случае, когда )( kt — марковская цепь [2], допускающая разложение ,,1,),()(},)()({ kjitοttqyyytytt ijjiij P получаем управление, которому должны удовлетворять оптимальный функционал Ляпунова ),,,(0 hxyt k v и оптимальное управление ).,,,(0 hxytu k На основании формулы (59) из работы [6] первое уравнение для 0 v можно получить, подставив в левую часть (12) выражение для усредненного инфините- зимального оператора .)( * 0 uk Qv Тогда искомое уравнение в точках ),,( xyt jk имеет вид                                     l ij jijjj kk hxytdzxztphyt uxytbuxytb x v t,y,x,ua xt ),,,()/,(),,,( ),,,(),,,,(Sp 2 1 )( 00 T 2 2 T 00 vv vv ,0),,,,()/,(),,,()/,(),,,( 00      uhxytdzxztqhxytdzxztphxyt ijjijj Wvv (20) где ,,...,, 1, 2 2 20 1 0 T 0 m ji jim k xxxxxx                                      vvvvv Sp — след матрицы,  xztpij /, определяется из формулы (4). 18 ISSN 0572-2691 Второе уравнение для оптимального управления ),,,(0 hxytu k получаем из (20) дифференцированием по переменной u (поскольку 0uu  доставляет ми- нимум левой части (20)) ,0 0 TT 0                                      uu uu a x Wv (21) где u a   — ( rm )-матрица Якоби, составленная из элементов ,,1,,1,          rsmn u a s n ....,, 1 T                     ruuu WWW Замечание 1. Методика доказательства теоремы 1 мало отличается от доказа- тельства соответствующей теоремы об оптимальной стабилизации стохастиче- ской системы для непрерывной траектории [16]. Это объясняется тем, что, не- смотря на разрывные траектории марковских процессов ,),(),( kttx  имеет ме- сто стохастическая непрерывность пары ))(),(( ttx  0],,[ 01   kkttt kk [2], которая обеспечивает непрерывность по t функции },,,)),(),(,({ 00 0 hytttxt k  vEv t ).,[ 1 kk ttt Замечание 2. Уравнение (21), из которого находят оптимальное управление r k tu R)( ...,,2,1,0],,[ 1   kttt kk по форме совпадает с ),(tu возникающим в детерминированных задачах оптимальной стабилизации [7], и создается впечат- ление, что не учитываются случайные изменения структуры системы. В действи- тельности случайные факторы )(t и ,0, 0  kkk существенно влияют на уравнение (20), а значит, оптимальное управление ),,,(0 hyxtu и последователь- ность ),,,(0 hxytv определяются из (20), (21), в которых учитываются все воз- можные скачки процессов .),(),( kttx  Замечание 3. Задача оптимальной стабилизации, согласно теореме 1, сводится к решению сложной нелинейной системы уравнений (12) в частных производных для определения неизвестных функционалов Ляпунова–Красовского ),,,(00 ihy  kik vv .,,1 0kkli  Заметим, что эту систему можно получить путем исключения управления ),,(00 hyuu k  из уравнений (20), (21). Решение такой системы даже при наличии мощной компьютерной техники и современных технологий представляет большие трудности. Далее рассмотрим линейные стохастические стационарные дифференциаль- ные системы, для которых можно построить удобные алгоритмы решения. Оптимальная стабилизация линейных импульсных стохастических систем с марковскими параметрами Пусть на вероятностном базисе ),,,( FPF задана управляемая линейная стохастическая система, описываемая импульсным диффузионным стохастиче- ским дифференциальным уравнением (ДСДУ) с марковским параметром [2] для 00  tt )())(()))(())((( twdxtdtutBxtAxd  (22) Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 19 с импульсными марковскими переключениями [17, 18] ),),(),(,()( kkkktt txttgtx k   ,lim},,{   n n nk tntSt N (23) и начальными условиями ;),,)[0,()(,)( 0 00 0 HRDY  hxtxyt k m (24) ),)([0, m RD  — пространство Скорохода непрерывных справа функций, кото- рые имеют левосторонние пределы [11]. Здесь ,)( mtxx R ,ru R ),(),( yByA )(y — известные матрицы-функции, заданные на множестве }...,,,{ 21 kyyyY возможных значений марковской цепи ).(t Предположим, что условие скачка фазового вектора mx R в момент  tt изменения структуры системы за счет перехода iyt   )( в ji yyt  )( ли- нейно и задается в форме равенства ),()()( 1      txtxKtx ss N s ij Q (25) где )( ss — независимые случайные величины, в которых ,0sM ,12 sM ijK — заданные )( mm  -матрицы. Отметим, что равенство (25) может заменять общие условия скачка (4): — неслучайные скачки ((15) в работе [6]) будут при ;0sQ — непрерывное изменение фазового вектора означает, что ,0sQ IKij  (единичная матрица порядка )mm . Качество переходного процесса оценим квадратичным функционалом ,},,][)),((][][)),((][{),,( 00 00TT 0 00 dtxytutDtutxtCtxxy kkk k t ku k       EI (26) где 0),(,0),(  hyDhyC — симметричные матрицы размерности mm и rr соответственно. Согласно теореме 1, следует найти оптимальный функционал Ляпунова–Красов- ского ),,(0 hxy k v и управление ),,(0 hxyu k ],,[ 1 kk ttt ,Stk  ....,2,1,0k Оптимальный функционал Ляпунова–Красовского ищем в виде ),()),(()(),,( T0 txtGtxhxy kk v (27) где ,2,1),,( ihyG — положительно определенная симметричная матрица по- рядка mm. Всюду в дальнейшем )(t описывает марковскую цепь с конечным числом состояний }...,,,{ 21 lyyyY и ,0,  kk — феллеровская цепь Маркова 20 ISSN 0572-2691 со значениями kh в метрическом пространстве H с переходной вероятностью на k-м шаге ).,( GhkP Для упрощения записей будем использовать обозначения ).,,(),,( ),,(),,( kiikkiik kiikkiik hxyhyGG hyBBhyAA vv   (28) Для получения оптимального функционала Ляпунова ),,(0 hxy k v и оптималь- ного управления ),,(0 hxyu k ),[ 1 kk ttt подставляем функционал (27) в урав- нения (20) и (21) и, учитывая вид формулы (61) из [6] ),,,,)(( ki hytv R получаем                ),,,(),()),,,,(,,( )(2 TT kikkkkikik ikikikikikik hxytvdzhzhxytgxyt GuBAGx Pv H ,0)( 0T0 0 TT                   kikkikij l ij N s kisjksijkjij uDuxCqGGKGK QQ (29) .0)(22 T0T  ikikikik DuBGx (30) Заметим, что частная производная по u от разностного оператора vR равна нулю, что подтверждает гипотезу о построении оптимального управления, кото- рое не зависит от импульсных толчков вида (23) на систему (22). Из (30) находим оптимальное управление при iyt  )( и переключени- ях (23): ,)( T10 xGBDxu ikikikik  .0,  khkk (31) Учитывая матричное равенство ,)(2 TTT xGAAGxxAGx ikikikikikik  исключая )(0 xuik из (29) и приравнивая к нулю полученную матрицу квадратич- ной формы, приходим к системе матричных квадратных уравнений для определе- ния искомых матриц ,ikG где ,...,,2,1 li  k соответствует отрезку ),,[ 1kk tt :0k   ikikikikikikikikikikikik GGBDBGGAAG T1T .0 1 TT          ikijik N s siksikikik l ij CqGQGQKGK (32) Таким образом, получено следующее утверждение. Теорема 2. Пусть система матричных квадратных уравнений (32) имеет ре- шения, представляющие собой положительно определенные матрицы порядка mm .0...,,0,0 21  lkkk GGG (33) Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 21 Тогда управление (31) определяет решение задачи об оптимальной стабили- зации системы ДСДУ (22)–(24) с условиями скачка (25) и критерием оптимально- сти (26), причем ,)(),,(min 0T00 xGxhxy ikkiu u I ...,2,1,0k , соответствуют отрезкам ],,[ 1kk tt .,1 li  Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 система ДСДУ (22) при ),,(0 hxyuu  экспоненциально устойчива в среднем квадратическом. Это утверждение основывается на теореме 4 из работы [12], поскольку опти- мальная функция ),,(0 hxykv удовлетворяет всем условиям этой теоремы. Замечание 4. Исключив импульсные марковские переключения (23) для си- стемы ДСДУ (22), получаем теорему 3.1 из работы [1]. Приведем формулировку указанной теоремы. Теорема 3 [1]. Пусть система матричных квадратных уравнений   )()( T1T iiiiiiiii GBDBGGAAG ,,1,0)(( 1 TT liCqGQGQKGK iiji l ij N s sjsijjij      (34) имеет решения, которые заданы положительно определенными матрицами ....,,, 21 lGGG Тогда управление xGBDxu iiii T10 )(  (35) определяет решение задачи об оптимальной стабилизации системы ДСДУ (22) с начальными условиями ,)(,)( 100 0 RY  xtxyt (36) условием скачка (25) и критерием оптимальности ,},][))((][][))((][{),( 0 0TT 0 0 0 dtytutDtutxtCtxyu    EI (37) причем ].[)][(),(min 0T0 0 txGtxy iiu u I (38) Рассмотрим случай, когда выполняются условия теоремы 3, но марковский процесс mt R )( в системе ДСДУ (22) описывает чисто разрывный однородный марковский процесс, допускающий разложения (4), (5) из работы [6]. Тогда условия скачка (25) имеют такой вид (с учетом того, что  Y)(t ],,[ 21  :]),[),( 21  ),()(),()( 1      txtxKtx ss N s Q (39) t — момент изменения структуры системы ДСДУ (22) из состояния   )(t в состояние .)(  t При этом ),( ss sQ имеют тот же смысл, что и в (25). 22 ISSN 0572-2691 Повторяя рассуждения доказательства теоремы 2 для системы ДСДУ (22) с начальными условиями (36), получаем следующее утверждение. Теорема 4. Пусть коэффициенты )(),( yByA системы ДСДУ (22) непрерыв- ны в области ],[ 21 Y и заданы начальные условия (36). Тогда оптимальный функционал Ляпунова–Красовского ...,,2,1,0,)(),( T0  kxGxx kkv определя- ется из нелинейного интегрального уравнения ...,,2,1,0,0),( ,)()((),()(),( )()()()()()()())(()()( 1 TT T1T 2 1                 kdp GQGQKGK CGBDBGGAAG k N s ksksk kkkkkkkkkk (40) при этом оптимальное управление имеет вид (35) с индексом k. Замечание 5. Для нестационарных линейных систем ДСДУ [19–21] вида )()(),(,())())(,()())(,(()( tdwtxttBdttuttBtxttAtdx  (41) с начальными условиями (36) существование оптимального управления приводит не к алгебраическим уравнениям типа (34) и не к интегральным уравнениям (40), а к соответствующим матричным (интегро-дифференциальным) уравнениям типа Риккати. Модельная задача 1. Рассмотрим задачу об оптимальной стабилизации ма- териальной точки, движущейся по горизонтальной прямой в случайной среде, ко- гда в случайные моменты времени t происходит мгновенное присоединение или отбрасывание массы. Решение. Обозначим )(tx — отклонение скорости от номинального значе- ния. Предположим, что сила сопротивления пропорциональна скорости. На ин- тервалах постоянства массы получаем ),()( )( )( tbutkx dt tdx t  (42) ,)0(,)0( 00  xx (43) где )(t — марковская цепь, },...,,,{)( 21 lyyyt  Y и заданные вероятности перехода ).(})()({ tοtqytytt ijij P (44) Предположим, что модель случайной среды [1] определяется случайными ко- эффициентами сопротивления , ),( )( 0 dt tdw ktk   (45) где ,0k — заданные постоянные, dttdw /),(  — стандартный «белый шум» [22]. Пусть в момент  tt происходит скачкообразное изменение массы от iyt   )( к .)( ij yyt   Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 23 Если в случае присоединенной массы ),(0 ijij yyyy  то считаем, что присоединенная масса имела до момента времени t нулевую скорость. Если происходит отбрасывание массы ),(0 ijji yyyy  то эта масса имеет нулевую скорость при . tt Значит, в момент t скачкообразного изменения массы ji yy  происходит скачкообразное изменение скорости по закону ).()(   txytxy ji (46) Отметим, что (46) — следствие теоремы об изменении количества движения; это выражение определяет разрывный характер скорости )(tx уравнения (42). Рассмотрим задачу оптимальной стабилизации решения (42), (43) управлени- ем ),(0 xyuu  до экспоненциальной устойчивости в среднем квадратическом и минимизируем функционал .},][][{),( 00 0 2200 dtxytutxxyu    EI (47) Введя обозначения ),())(();())(();())(( 111 0 tttbtbtkta   представим уравнение (42) в виде ДСДУ ),())(())(())(()( tdwxtdtutbdtxtatdx  (48) где )(tw — скалярный стандартный винеровский процесс. Причем ДСДУ (48) необходимо рассматривать с условием скачка (46). Для определения оптимального управления в соответствии с теоремой 3 сле- дует найти оптимальную функцию Ляпунова .)( 20 xcx ii v Предположим, что марковская цепь }.,{)( 21 yyt  Тогда система квадрат- ных уравнений (34) имеет вид ,01)(2 2222  ijijijiiiiii qcckcbcca (49) где .2,1,,/;;; 111 0   jiyykybybcka jiijiiiiii В таблице приведены разные значения параметров, соответствующие им си- стемы квадратных уравнений и их решения с точностью до .10 6 Оптимальное управление следует определить по формуле (35) .)(0 xcbxu iii  (50) Замечание 6. Результат варианта 2 получен в монографии [1]. Замечание 7. Если в модельной задаче 1 учесть импульсные марковские пе- реключения (2), то матричная система (32) примет вид счетной (или конечной) по k системы уравнений типа (49). 24 ISSN 0572-2691 Таблица Варианты Значения параметров Системы соответствующих уравнений Решения 1 ;5,0;25,00  bk 5,0;25,0;5,0 211221  qqyy 1125,05,14 ,125,0 12 2 2 21 2 1   ccc ccc ;356911,11 c 759828,02 c 2 ;1;5,00  bk 1;5,0;1 211221  qqyy 125,04 ,14 12 2 2 21 2 1   ccc ccc ;538616,11 c 726489,02 c 3 ;5,1;75,00  bk 5,1;75,0;5,1 211221  qqyy 1375,05,04 ,165,1 12 2 2 21 2 1   ccc ccc ;652929,11 c 701928,02 c 4 2;1;2 211221  qqyy 15,04 ,182 1 2 2 21 2 1   cc ccc ;732051,11 c 183013,02 c 5 ;5,2;125,00  bk 5,2;25,1;5,2 211221  qqyy 1625,05,04 ,1105,2 12 2 2 21 2 1   ccc ccc ;79013,11 c 667989,02 c 6 ;3;5,10  bk 3;5,1;3 211221  qqyy 175,04 ,1123 12 2 2 21 2 1   ccc ccc ;834554,11 c 655771,02 c 7 ;5,3;75,10  bk 5,3;75,1;5,3 211221  qqyy 1875,05,14 ,1145,3 12 2 2 21 2 1   ccc ccc ;869604,11 c 645646,02 c 8 ;4;20  bk 4;2;4 211221  qqyy 124 ,1164 12 2 2 21 2 1   ccc ccc ;897942,11 c 637122,02 c 9 ;5,4;25,20  bk 5,4;25,2;5,4 211221  qqyy 1125,15,24 ,1185,4 12 2 2 21 2 1   ccc ccc ;921307,11 c 62985,02 c 10 ;5;5,20  bk 5;5,2;5 211221  qqyy 125,134 ,1205 12 2 2 21 2 1   ccc ccc ;94089,11 c 623576,02 c Заметим, что определение достаточных условий существования допустимого управления, обеспечивающих экспоненциальную устойчивость в среднем квадра- тическом в целом, в импульсной линейной системе ДСДУ (22) с марковскими па- раметрами составляет предмет дальнейших исследований авторов. Проблема метода малого параметра решения задачи об оптимальной стабилизации Возможность алгоритмического решения задачи оптимальной стабилизации линейных систем ДСДУ (22), (24) раскрывается путем введения малого парамет- ра [1, 7, 23] с марковскими переключениями (23). Рассмотрим два случая, когда вводится малый параметр. I. Вероятности переходов ji yy  марковской цепи )(t малы, т.е. интенсив- ности переходов ijq в разложении (6) из [6] малы за счет малого параметра :0 .ijij rq  (51) II. Малые скачки фазового вектора ,)( mtx R т.е. матрицы ijK и sQ из (25) следует представить в виде ., ssijij QQKIK  (52) Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 25 Суть метода малого параметра решения задачи об оптимальной стабилизации с учетом марковских переключений (23) состоит в следующем. В указанных случаях оптимальный функционал Ляпунова ),,(0 hy v ищем в виде сходящегося ряда по степеням 0     0 )(T0 .),(),,( r rr xhyGxhxyv (53) В соответствии с (31) оптимальное управление 0u следует искать в виде схо- дящегося ряда .),()()(),,( )( 0 T10              xhyGyByDhxyu rr r (54) Случай I [6]. Подставляем ряды (53), (54) с учетом (51) в (34) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ,0 получаем ,,2,1,0,...,,2,1,0 )0(T1)0()0()0(T   kliGBDBGAGGA ikikikikikikikii (55)  ik r ik r ikik AGGA ~~ )()(T , 1 1 )1(T1)( 1 )1()1(T)1(T                   r t r ikikikik t ikij l ij N s r iks r iksij r ikij GBDBGqGQGQKGK (56) .,2,1,0,,,2,1, ~ ;1 )0(T1    kliGBDBAAr ikikikikikik Отметим, что система (55) состоит из независимых матричных уравнений, определяющих при фиксированных li ,,2,1  решение задачи об оптимальной стабилизации системы с неизменной структурой dttuBtxAtdx ikik ))()(()(  (57) с учетом марковских переключений и соответствующим критерием оптимальности ,}][][][][{),,( 0 0TT0      k t ikikiu dtxtuDtutxCtxhxy k EI (58) .0,0,0,,,2,1  kDCli ikik Предположим, что система матричных квадратных уравнений (55) имеет единственное положительно определенное решение .0,,,2,1,0 )0(  kliG ik  Уравнения (56) для определения ,1,0 )(  rG r ik линейны, поэтому они име- ют единственное решение при фиксированных ,1,0,,1  rkli и произволь- ных матрицах, стоящих в правой части (56). Итак, система матричных уравнений (55), (56) позволяет последовательно находить коэффициенты 0 )(  r ik G соответствующих рядов (53), (54), начиная с положительного решения .0,,1, )0(  kliG ik Докажем сходимость рядов (53), (54) методом мажорантных рядов [1]. Для этого воспользуемся таким утверждением. Теорема 5 [1]. Пусть: 1) 0,,1  kli система (57) с неизменной структурой имеет линейное до- пустимое управление; 26 ISSN 0572-2691 2) интенсивности переходов ijq однородной марковской цепи )(t удовле- творяют условию (51). Тогда:  существует единственное решение задачи оптимальной стабилизации си- стемы (22)–(24) с условием скачка (25) фазового вектора ;mx R  оптимальная функция Ляпунова ),,(0 hxy k v и оптимальное управление ),,(0 hxyu определяются сходящимися рядами (53), (54), коэффициенты которых определяются из соответствующих систем (55), (56). Модельная задача 2. Рассмотрим задачу об оптимальной стабилизации верхнего положения равновесия маятника в линейном приближении при условии, что в случайные моменты времени t происходит присоединение или отбрасыва- ние массы [1]. Решение. На интервальном времени постоянства массы уравнение можно за- писать в виде ,2  lyly ii  (59) где iy — масса груза, l — длина маятника,  — угол отклонения от вертикали,  — управляющий момент. Обозначив ,,,, 12 21 aglulyxx i   получаем систему , , 12 21 uaxx xx     (60) которая справедлива на интервале постоянства массы. Пусть в момент времени t произошло мгновенное изменение массы .ji yy  Тогда верны соотношения, характеризующие скачки скорости ).()(),()( * 2 1* 2 * 1 * 1   txyytxtxtx ji Значит, .))(),(()(,0 01 ),()( T* 2 * 1 ***           txtxtx y ytxtx j iijij KK Найдем оптимальное управление ),(0 xui минимизирующее функционал    0 0 22 2 0 ,},][][{),( dtmytutxxy iiu EI (61) где }.,{)( 21 yyt  Ищем решение )(0 xui в виде ряда (54), ограничиваясь первыми двумя его членами. Далее подставляем в (55) величины ,1, 00 10 , 1 0 , 0 10                    iiii DCB a A в результате для определения матрицы )0( iG получаем систему квадратных нели- нейных уравнений Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 27 .012 ,0 ,02 2 2212 22122211 2 1212    cc ccacc cac (62) Единственное решение (56) дает положительно определенная матрица .0 142 214)0( 2 )0( 1          aa aaa GG При параметрах 1;2;1;75,0 211221  rryya решением линейной си- стемы (56) будут матрицы [1] . 5,10 0375,0 ; 375,00 0469,0 )1( 2 )1( 1               GG Значит, оптимальное управление с точностью до 2 имеет вид .)5,12(5,1)(),( ,)375,02(5,1)(),( 21 )1( 2 )0( 2 1 22 0 21 )1( 2 )0( 1 1 11 0 xxxGGBxyu xxxGGBxyu   Далее, принимая во внимание значения матриц )1( 2 )1( 1 , GG и решая систе- му (56), находим матрицы . 524,1422,0 422,0987,1 ; 363,0422,0 422,0116,1 )2( 2 )2( 1                GG Тогда оптимальное управление с точностью до 3 имеет вид .)524,15,12()422,05,1( )(),( ,)363,0375,02()422,05,1( )(),( 2 2 1 2 )2( 2 2)1( 2 )0( 2 T 22 0 2 2 1 2 )2( 2 2)1( 2 )0( 1 T 11 0 xx xGGGBxyu xx xGGGBxyu     Оптимальное управление с точностью до 2 получено в [1]. Заметим, что учет импульсных внешних возмущений существенно усложняет выкладки. Случай II. В этих условиях решение задачи оптимального управления анало- гично случаю I [1]. Подставляем ряды     0 )(2 r r ikik GG в (32) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем с учетом (52) уравнения   )0(T1)0()0(T)0( ikikikikikikikikik GBDBGGAAG ,0,0)( )0()0(   kCqGG l ij ikijikjk (63) ,)( ~~ )()()()(T)( r ik l ij ij r ik r jk r ikikik r ik qGGGAAG Φ   (64) 28 ISSN 0572-2691 где , ~ )0(T1 ikikikikikik GBDBAA  , 1 )2(T)2(T)1()1(T 1 1 )(1)()( ij l ij N s s r jksij r jkikij r jk r jkik r p pr ikikikik p ik r ik qQGQKGKKGGK GBDBG                   Φ причем 0 )(  p ik G при .0p Таким образом, верно следующее утверждение. Теорема 6 [1]. Пусть: 1) система матричных уравнений (63) имеет единственное положительно определенное решение ;0;,1,0 )0(  kliG ik 2) скачки фазового вектора mx R удовлетворяют условиям (52). Тогда линейно-квадратичная задача оптимальной стабилизации (22), (24) ми- нимизации функционала (24) имеет единственное решение, представленное в ви- де сходящихся рядов (53), (54), причем матрица ,1;,1, )(  rliG r ik — единствен- ное решение линейных матричных уравнений (64). Заметим, что решение оптимизации для импульсной ДСДУ (22)–(24) с мини- мизацией функционала (26) требует применения современных компьютерных технологий и методов статистического моделирования [24]. Т.О. Лукашів, Л.І. Ясинська, В.К. Ясинський СТАБІЛІЗАЦІЯ СТОХАСТИЧНИХ ДИФУЗІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ІМПУЛЬСНИМИ МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕННЯМИ І ПАРАМЕТРАМИ. Частина 2. СТАБІЛІЗАЦІЯ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ВИПАДКОВОЇ СТРУКТУРИ ІЗ ЗОВНІШНІМИ МАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕННЯМИ Досліджено асимптотичну стохастичну стійкість в цілому, асимптотичну p-стій- кість в цілому. Розглянуто стійкість при постійно діючих збуреннях. Побудова- но оптимальне керування для стохастичних дифузійних динамічних систем ви- падкової структури із зовнішніми марковськими переключеннями. T.O. Lukashiv, L.I. Yasinskaya, V.K. Yasinskiy STABILIZATION OF STOCHASTIC DIFFUSION DYNAMICAL SYSTEMS WITH IMPULSE MARKOV SWITCHINGS AND PARAMETERS. Part II. STABILIZATION OF DYNAMICAL SYSTEMS OF RANDOM STRUCTURE WITH EXTERNAL MARKOV SWITCHINGS The asymptotic stochastic stability on the whole, asymptotic p-stability on the whole are investigated. The stability with constant action of disturbances is considered. The optimal control for the stochastic diffusion dynamical system of random structure with external Markov switchings is constructed. Проблемы управления и информатики, 2009, № 2 29 1. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случай- ной струкутры. — Екатеринбург : Уральская госакадемия путей сообщения, 1998. — 222 с. 2. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. — М. : Наука, 1969. — 859 с. 3. Липцер Я.Ш., Ширяева А.Н. Статистика случайных процессов. — М. : Наука, 1974. — 696 с. 4. Bucy R.S., Jospeh P.D. Optimal Filtering for correlated noise // J. of Mathematical Analysis and Applications. — 1967. — 20, N 1. — P. 1–8. 5. Казаков Н.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. — М. : Наука, 1980. — 382 с. 6. Лукашив Т.О., Ясинский В.К., Ясинский Е.В. Стабилизация стохастических диффузионных динамических систем случайной структуры с импульсными марковскими переключениями и параметрами. Часть 1. Устойчивость импульсных стохастических систем с марковскими параметрами // Проблемы управления и информатики. — 2009. — № 1. — С. 5–28. 7. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. — М. : Наука, 1992. — 336 с. 8. Красовский Н.Н., Летов А.М. К теории аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика. — 1962. — 21, № 6. — С. 11–18. 9. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // При- кланая математика и механика. — 1960. — 24, вып. 5. — С. 809–823. 10. Красовский Н.Н., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами // Автоматика и телемеханика. — 1961. — 22, № 9. — С. 1145–1150; № 10. — C. 1273–1278; № 11. — С. 1425–1431. 11. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М. : Наука, 1977. — 352 с. 12. Королюк В.С., Мусуривский В.И., Юрченко И.В. Устойчивость динамических систем с по- следействием с учетом марковских возмущений // Кибернетика и системный анализ. — 2007. — № 6. — C. 134–146. 13. Беллман Р. Динамическое программирование. — М. : Иностранная литература, 1960. — 324 с. 14. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов : В 2-х т. — М. : Наука, 1994. — Т. 1 — 544 с. 15. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов : В 2-х т. — М. : Наука, 1994. — Т. 2 — 473 с. 16. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых си- стем с последействием. — М. : Наука, 1981. — 448 с. 17. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздей- ствием. — Киев : Вища шк., 1987. — 287 с. 18. Свердан М.Л., Царьков Е.Ф. Устойчивость стохастических импульсных систем. — Рига : Рижский технический университет, 1994. — 300 с. 19. Скороход А.В. Асимптотические методы в теории стохастических дифференциальных уравнений. — Киев : Наук. думка, 1987. — 328 с. 20. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных воз- мущениях от параметров. — М. : Наука, 1969. — 369 с. 21. Царьков Е.Ф., Ясинский В.К. Квазилинейные стохастические дифференциально функцио- нальные уравнения. — Рига : Ориентир, 1992. — 328 с. 22. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. — М. : Наука, 1981. — 423 с. 23. Korolyuk V.S., Limnios W. Stochastic systems in merging phase space. — London : World Scientific, 2006. — 331 p. 24. Юрченко І.В., Ясинський В.К., Ясинська Л.І. Методи стохастичного моделювання систем. — Чернівці : Прут, 2002. — 416 с. Получено 07.10.2008

Репозитарії

Схожі ресурси