Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок
Проаналізовано математичну модель страхової компанії, що працює на фінансовому (B, S)-ринку. Ціна акції описується моделлю Самуельсона і моделлю, в якій базовим процесом для опису ціни акції є процес Орнштейна–Уленбека, з узагальненням класичної моделі ризику, де процес премій і позовів є стохастичн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Проблемы управления и информатики |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2010
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210838 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок / А.В. Баев, Б.В. Бондарев, Т.В. Жмыхова // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 111-122. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860243630723170304 |
|---|---|
| author | Баев, А.В. Бондарев, Б.В. Жмыхова, Т.В. |
| author_facet | Баев, А.В. Бондарев, Б.В. Жмыхова, Т.В. |
| citation_txt | Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок / А.В. Баев, Б.В. Бондарев, Т.В. Жмыхова // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 111-122. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Проблемы управления и информатики |
| description | Проаналізовано математичну модель страхової компанії, що працює на фінансовому (B, S)-ринку. Ціна акції описується моделлю Самуельсона і моделлю, в якій базовим процесом для опису ціни акції є процес Орнштейна–Уленбека, з узагальненням класичної моделі ризику, де процес премій і позовів є стохастичним. Побудовано степеневу оцінку ймовірності банкрутства страхової компанії в залежності від початкового капіталу і знайдено таке програмне керування, при якому ця оцінка ймовірності стала мінімальною.
The mathematical model of the insurance company working on financial (B, S)-market is analyzed. The share price is described by Samuelsson model and the model, where Ornstein–Uhlenbeck process is the basic one for the description of the share price. The classical risk model is generalized, where the process of premiums and claims is the stochastic one. Power estimate of the insurance company bankruptcy probability depending on initial capital is constructed and program control to minimize this probability estimate is found.
|
| first_indexed | 2026-03-21T04:16:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.В. БАЕВ, Б.В. БОНДАРЕВ, Т.В. ЖМЫХОВА, 2010
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 111
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И УПРАВЛЕНЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
УДК 519.21
А.В. Баев, Б.В. Бондарев, Т.В. Жмыхова
ОБ ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТИ РАЗОРЕНИЯ
СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ В МОДЕЛИ
СО СТОХАСТИЧЕСКИМИ ПРЕМИЯМИ
И ИСКАМИ И ВОЗМОЖНОСТЬЮ ИНВЕСТИЦИЙ
В ФИНАНСОВЫЙ (B, S)-РЫНОК
Введение
В данной статье рассмотрено обобщение классической модели риска, где по-
ток премий является стохастическим процессом, независимым от риска, причем
возникает необходимость оценки вероятности разорения и нахождения оптималь-
ных управлений при условии размещения собственного капитала в безрисковые
активы, рассмотрен также случай смешанных инвестиций с возможностью работы
на финансовом (B, S)-рынке. Цена рискового актива описывается геометрическим
броуновским движением, или таким процессом, где основным для описания эво-
люции цены служит процесс Орнштейна–Уленбека. Отметим, что в работах [1, 2]
подобная задача была поставлена и решена для классической модели Крамера–
Лундберга.
1. Постановка задачи и решение балансового уравнения
Рассмотрим страховую компанию, которая на момент времени t имеет капи-
тал )(tX x ),)0(( xX суммарные премии, которые получает страховая компания
на момент времени t, составляют ,)(
)(
0
1
tN
i
it где )(1 tN — процесс Пуассона
с параметром 01 ),0)0(,)(( 111 NttEN )(1 tN интерпретируется как число
премий, полученных страховой компанией за промежуток времени ];;0( t i — не-
зависимые от ),(1 tN одинаково распределенные случайные величины с функци-
ей распределения )(vG ),0)0(( G которые описывают размеры страховых пре-
мий и имеют конечные экспоненциальные моменты, .bE i Суммарные вы-
платы по искам на момент времени t составляют ,)(
)(
0
tN
j
jtR где )(tN —
процесс Пуассона с параметром 0 ),0)0(,)(( NttEN )(tN интерпрети-
руется как число исков, предъявленных страховой компании за промежуток
времени ];;0( t j — независимые от ),(tN одинаково распределенные случай-
ные величины с функцией распределения )(uF ),0)0(( F которые описывают
размеры исков и имеют конечные экспоненциальные моменты, .aE j
Пусть задан финансовый ),( SB -рынок, состоящий из двух активов: B — без-
рискового и S — рискового. Цена безрискового актива (банковского счета) опи-
сывается уравнением
,0)0(,)()( BdttrBtdB (1)
112 ISSN 0572-2691
где r — процентная ставка банка, причем ,0)( rtr )0(B — сумма на депозите
в начальный момент времени. Рассмотрим такие случаи: цена рискового актива
(акции) описывается процессом геометрического броуновского движения:
)),(()()( tdWdttStdS (2)
цена акции описывается моделью:
)],())()[(()( tdWdtttStdS (3)
где )(,0,0 tW — стандартный винеровский процесс; ),(t ,0t — про-
цесс Орнштейна–Уленбека .0)0(),()()( tdWdtttd
Пусть страховая компания размещает свой капитал ),(tX x 0t ))0(( xX
на финансовом ),( SB -рынке, цены активов которого описываются уравнениями
(1)–(3), причем ),(tX x ,10 — это часть средств, вложенных в акции, соот-
ветственно )()1( tXx — это та часть средств, которую страховая компания
размещает на банковском депозите. Будем считать, что страховая компания рабо-
тает только с собственным капиталом, поступление средств извне не рассматри-
вается. Если в момент времени t цена акции составляет ),(tS то на сумму )(tX x
можно будет купить )(/)( tStXx акций. В момент времени tt каждая акция,
цена которой описывается формулой (2), стóит
)),(1)(()( tWttSttS (4)
а каждая акция, цена которой описывается формулой (3), стóит
)),()(1)(()( tWttttSttS (5)
).()()( tWttWtW На банковском депозите на момент времени tt будет
сумма
).1)(()( trtBttB (6)
Таким образом, на момент времени tt от инвестиционной деятельности на
),( SB -рынке страховая компания за счет пакета акций будет иметь
))(1)(())(1((
)(
)(
)(
)(
)(
tWttXtWttS
tS
tX
ttS
tS
tX
x
xx
(7)
или
))()(1)((
)(
)(
)(
)(
)(
tWttttS
tS
tX
ttS
tS
tX xx
))()(1)(( tWttttX x (8)
за счет размещения средств на банковском депозите
).1)(()1( trtXx (9)
Суммарные премии, полученные страховой компанией за время ,t составляют:
.)(
)(
)(
1
1
i
ttN
tNi
t
Суммарные выплаты по искам за время t составляют )(tR
.
)(
)(
j
ttN
tNj
Известно, что величину ,
)(
0
tN
j
j ,00 можно представить в виде
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 113
стохастического интеграла по пуассоновской мере (см. [3]), а именно, имеет место
,),(
0 0
2
)(
0
ttN
j
j dsduu где ),(2 tA — пуассоновская мера, ),(2 tAM
A
xdFt )( , и ,
)(
0
1
tN
i
i 00 в виде:
ttN
i
i dsduu
0 0
1
)(
0
),,(
1
где ),(1 tB —
пуассоновская мера, .)(),( 11
B
xdGttBM Таким образом, на момент времени
tt от инвестиционной деятельности на (B, S )-рынке страховая компания за
счет пакета акций будет иметь сумму
))(1)(()( tWttXttX xx
),(),()1()()1(
0
2
0
1 tduutduutrtX x
).,(),()()()())1(()(
0
2
0
1 tduutduutWtXttXrtX xxx
(10)
Из (10) получим балансовое уравнение
)()()())1(()( tdWtXdttXrtdX xxx
),(),(
0
2
0
1 dtduudtduu
(11)
или вследствие (8) и (9) на момент времени tt капитал компании будет со-
ставлять
)1)(()1())()(1)(()( trtXtWttttXttX xxx
).,(),(
0
2
0
1 tduutduu
(12)
Из (12) получим балансовое уравнение
dttrtXtdX xx ))()1()(()(
).,(),())()(
0
2
0
1 dtduudtduutdWtX x
(13)
Пусть )(x — вероятность разорения на бесконечном интервале, т.е. )(x
},0)({ RttXP x . Будем предполагать, что выполняется условие ,1 ji EE
из закона больших чисел следует, что оно обеспечивает выполнение неравенства
,1)( x следовательно, везде далее будем предполагать, что это условие выполнено.
Задача состоит в нахождении параметрического управления 10 такого,
чтобы можно было построить наименьшую оценку вероятности разорения на ин-
тервале ),0[ для страховой компании, капитал которой описывается уравне-
ниями (11) и (13).
Докажем необходимую в дальнейшем лемму.
114 ISSN 0572-2691
Лемма. Пусть ,0)0(,)(
)(
0
)(
0
1
tN
j
ji
tN
i
t — случайный процесс, для ко-
торого справедливо представление ,),()(
0
t
dsduut где пуассоновская мера
такая, что
,)()(),( 21 dtudFdtduE
.0),(
,0),(
)(
1
1
1
1
1
2
yyG
yyF
yF
Доказательство. Рассмотрим случайный процесс ,)(
)(
0
)(
0
1
tN
j
j
tN
i
it ,0)0(
где случайные величины i независимые, одинаково распределенные, причем
,0,0
,0),(
}{
y
yyG
yP i j — независимые, одинаково распределенные вели-
чины, причем
.0,0
,0),(
}{
y
yyF
yP j
Отметим, что случайные процессы )(tN и )(1 tN независимы между собой,
а также независимы от последовательностей }{ i и }{ j , причем такие, что
,)( 11 ttEN .0,)( tttEN Следовательно, )(t — процесс с независимыми
приращениями. Известно, что )()()( 12 tNtNtN представляет собой пуассон-
новский процесс, причем .0,)()()()( 112 tttENtENtEN Докажем, что
имеет место представление
,),()(
0
t
dsduut (14)
где пуассоновскую меру ),( tC можно построить следующим образом:
.0,0
,0),(1}{}{
)(1
y
yyFyPyP
yF
jj
Пусть
.0),(
,0),(
)(
1
1
1
1
1
2
yyG
yyF
yF
Меру ,),,( dctdс зададим числом тех скачков процесса ),(2 tN величины
которых попали в интервал от a до b . Вероятность попадания скачка в интервал
),,( сd очевидно, будет равна ),()( 22 dFсFp «прореженный» таким образом
процесс ),(2 tN ,0t также будет пуассоновским потоком с интенсивностью
).()]()([)( 1221 dFcFp В силу того, что скачкообразный процесс с
независимыми приращениями имеет представление (9), воспользовавшись обоб-
щенной формулой Ито, получим
),(]1}[exp{)}(exp{)}(exp{ dtduizutiztizd
),,(~]1}[exp{)}(exp{)()(]1}[exp{)}(exp{ 21 dtduizutizdtudFizutiz
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 115
где dtudFdtdudtdu )()(),(),(~
21 — мартингальная мера, в силу чего
математическое ожидание стохастического интеграла равно нулю, тогда
),(~]1}[exp{)}(exp{)}(exp{ dtduizutizMtizdM
dtudFizutizM )()(]1}[exp{)}(exp{ 21
0
1
0
11
1
)(]1}[exp{))((]1}[exp{)}(exp{ dtudGizudtudFizutizM
0
1
0
1 )(]1}[exp{)(]1}[exp{)}(exp{ dtudFizudtudGizutizM
0
1
0
1 )(]1}[exp{)(]1}[exp{)}(exp{ dtudFizudtudGizutizM
.)(]1}[exp{)(]1}[exp{)}(exp{
0
1
0
1
dtudFizudtudGizutizM
Из последнего будем иметь
.)(]1}[exp{)(]1}[exp{exp)}(exp{
0
1
0
1
dsdtudFizudtudGizuttizM
Нетрудно убедиться, что
)]}()([exp{ stizM
.)(]1}[exp{)(]1}[exp{)(exp
0
1
0
1
dsdtudFizudtudGizust
Найдем характеристическую функцию ),(t т.е.
)(
0
)(
0
)(
0
)(
0
expexpexp
11 tN
j
ji
tN
i
tN
j
ji
tN
i
ziMizMizM
0 00
1
0
})({exp})({exp
n
n
i
j
m
m
i
i ntNPziMmtNPizM
00
1 })({}]exp{[})({}]exp{[
n
n
j
m
m
i ntNPizMmtNPizM
0 00
1
0
})({)(}exp{})({)(}exp{
n
n
m
m
ntNPydFyzimtNPydGyzi
.1)(}exp{exp1)(}exp{exp
00
1
ydFyzitydGyzit
116 ISSN 0572-2691
Таким образом, первоначально можно считать, что разность между потоком
премий и исков описывается процессом ,),()(
0
t
dsduut где пуассоновская
мера такая, что ,)()(),( 21 dtudFdtduE где
.0),(
,0),(
)(
1
1
1
1
1
2
yyG
yyF
yF
Лемма доказана.
Введем процесс [4, с. 273],
,)(
2
])1([exp)(
22
1
tdWttrtx (15)
для которого стохастический дифференциал равен
)).(])1([)(()( 22
11 tdWdtdtrtxtdx
Пусть ),()()( 11 tXtxt x тогда
dtrtXtxtd x )))1()(()(()( 11
),()()()()( 1
22 dsduudttXtxtdWtX xx
,),()())())1(()(()( 1
22
1
dsduutxtdWdtdtrtXtx x
откуда
,),(~))(()()( 11
0
1
1
dsduudsabsxxtxtX
t
x (16)
где ),,(),(),(~ tCEtCtC ,)( iEydGyb ,)( jEydFya .1 ab
Аналогично для случая балансового уравнения (13) введем процесс
,)(
2
)(])1([exp)(
22
0
2
tdWtdtrtx
t
(17)
для которого стохастический дифференциал равен
)),())]()1([)(()( 22
22 tdWdtdttrtxtdx
и пусть ).()()( 22 tXtxt x Нетрудно убедиться, что ,),()()( 22
dsduutxtd
откуда
.),(~))(()()()(
0
122
1
2
dsduudsabsxtxtxtX
t
x (18)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 117
2. Получение моментных неравенств для стохастического
интеграла по пуассоновской мере
Пусть ,),(~)()(
0
t
x dsdsxtX где ,)()(),(),(~
21
С
udFttCtC
),( tC — пуассоновская мера со средним ,)()( 21
С
udFt процесс )(tx опре-
делен в (15) или (17).
Теорема 1. Пусть для некоторого целого :0m ,)(2
2
dFm тогда
в случае, когда цена акции описывается уравнением (2), имеет место неравенство
,
)(
2
1
2
)(
)(sup
)1(2
2
21
2
2122
0
mm
m
m
mmm
x
t C
mc
mc
C
ptXE (19)
где
,)(
2/1
2
2
m
m dFp
.1
2
,
2
,1
2
,
2
2
2
22
m
rm
r
m
r
m
r
r
с
В случае, когда цена акции описывается уравнением (3), имеет место неравенство
,
)(
2
1
2
)(
)(sup
)1(2
2
21
2
2122
0
mm
m
m
mmm
x
t C
md
md
C
ptXE
где
.1
)21(
,
2
)21(
,1
)21(
,
)21(2
)(
2
2
22
2
m
rm
r
m
r
m
r
r
d
Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы из [2].
3. Построение неравенств для вероятностей разорения
страховой компании на интервале времени [0, )
Рассмотрим три способа инвестирования: .1,10,0
Приведем необходимые рассуждения из [1]. Пусть ,0 т.е. все средства
страховая компания размещает на банковском депозите и .01 ab В этом
случае очевидно, что
.1}exp{)( trtx (20)
Рассмотрим
,))(()()](1[)(),(
0
1
0
2
)(
1
tt
sx dsabsxdsdFsxet (21)
где .0)(,0 sx Одновременно с (21) при 0 рассмотрим функцию
).()(]1[)()( 121
abdFe
118 ISSN 0572-2691
Нетрудно отметить, что .0)0( Поскольку
),()(]1[)()( 121
abdFe
имеем ,0)()0( 1 ab т.е. функция ),( от начала координат, убывает,
а следовательно, остается некоторое время отрицательной. Очевидно также, что
при некотором 0 производная
)()(]1[)()( 121
abdFe
становится положительной и будет такой оставаться. Таким образом, функция
)( имеет еще один корень. Обозначим его ,0R т.е.
.0)()(]1[)( 121
abRdFRe
Тогда при R0 имеем
.0)()(]1[)()( 121
abdFe (22)
Из (20) и (22) следует, что при R имеем ,0),( t ,R тогда, учитывая (11),
имеем
0)(inf
0
tXP x
Tt
0),(~)())(()(inf
00
1
1
0
tt
Tt
dsdusuxdsabsxxtxP
0),(~)())((inf
00
1
0
tt
Tt
dsdusuxdsabsxxP
RxdsduFsRuxedsduusxRP
t
sRux
t
Tt 0
2
)(
1
00
)()](1[)(),(~)(sup
t
Tt
dsduusxRP
00
),(~)(expsup
.)()](1[)(
0
2
)(
1
RxRx
t
sRux eedsduFsRuxe
(23)
Последнее следует из неравенства Колмогорова и того, что случайный процесс
t
sRux
t
dsduFsRuxedsduusxRt
0
2
)(
1
0
)()](1[)(),(~)(exp)(
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 119
является мартингалом. Далее, если * или 1 при ,1 ab в силу неза-
висимости процесса )(tW и пуассоновской меры ),( tC имеем
0)(inf
0
tXP x
Tt
0),(~))(()(inf
0
1
1
0
t
Tt
dsduudsabsxxtxP
0),(~))((inf
0
1
0
t
Tt
dsduudsabsxxP
.
][
),(~)(
),(~)(sup
2
2
0
00
m
m
T
t
Tt x
dsduusxM
xdsduusxP
Отсюда с учетом (12) получаем
m
m
T
x
Tt x
dsduusxM
tXP
2
2
0
0 ][
),(~)(
0)(inf
,
)(
2
1
2
)(
][
)1(2
2
21
2
21
2
2
mm
m
m
m
m
m
C
mc
mc
C
x
p
(24)
где
.1
2
,
2
,1
2
,
2
2
2
22
m
rm
r
m
r
m
r
r
с
Переходя к пределу при ,Т из (23) имеем [5]
,0)(inflim0)(inf
00
Rx
x
TtT
x
t
etXPtXP
из (24) получаем
0)(inflim0)(inf
00
tXPtXP x
TtT
x
t
.
)(
2
1
2
)(
][
)1(2
2
21
2
21
2
2
mm
m
m
m
m
m
C
mc
mc
C
x
p
Данный результат сформулируем в виде теоремы.
120 ISSN 0572-2691
Теорема 2. Пусть )(tX x ))0(( xX — капитал страховой компании на мо-
мент времени t, динамика капитала описывается уравнением (11), тогда:
1) если ab 1 и все средства размещаются на банковском депозите, т.е.
,0 то для вероятности разорения справедлива оценка
,0)(inf
0
Rx
x
t
etXP
где 0R — решение уравнения
;0)()(]1[)( 121
abRdFRe
2) если ,)(2
2
dFm ,1 ab ,12/)( 2 mr т.е. страховая ком-
пания инвестирует собственный капитал только в рисковые активы и ,1 для
вероятности разорения компании справедлива оценка
,
)(
2
1
2
)(
][
0)(inf
)1(2
2
21
2
21
2
2
0
mm
m
m
m
m
m
x
t C
mc
mc
C
x
p
tXP
где ,
2
2m
rс
;)(
2/1
2
2
m
m dFp
3) если ,)(2
2
dFm ,1 ab ,12/)( *2 mr т.е. *
и %100 собственного капитала страховой компании инвестировано в акции,
а остальные средства переведены на банковский счет, то для вероятности разоре-
ния компании справедлива оценка
,
)(
2
1
2
)(
][
0)(inf
)1(2
2
21
2
21
2
2
0
mm
m
m
m
m
m
x
t C
mc
mc
C
x
p
tXP
где ,
2 2m
r
rс
.)(
2/1
2
2
m
m dFp
В случае когда цена акции описывается процессом Орнштейна–Уленбека,
неравенство (24) можно переписать в виде
m
m
T
x
Tt x
dsduusxM
tXP
2
2
0
0 ][
),(~)(
0)(inf
,
)(
2
1
2
)(
][
)1(2
2
21
2
21
2
2
mm
m
m
m
m
m
C
md
md
C
x
p
(25)
Международный научно-технический журнал
«Проблемы управления и информатики», 2010, № 5 121
где
.1
)21(
,
2
)21(
,1
)21(
,
)21(2
)(
2
2
22
2
m
rm
r
m
r
m
r
r
d
Сформулируем теорему.
Теорема 3. Пусть )(tX x ))0(( xX — капитал страховой компании на мо-
мент времени t, динамика капитала которой описывается (13), тогда:
1) если ab 1 и все средства размещаются на банковском депозите, т.е.
,0 то для вероятности разорения справедлива оценка
,0)(inf
0
Rx
x
t
etXP
где 0R является решением уравнения
;0)()(]1[)( 121
abRdFRe
2) если ,)(2
2
dFm ,1 ab ,12/)( 2 mr т.е. страховая ком-
пания инвестирует собственный капитал только в рисковые активы и ,1 то
для вероятности разорения справедлива оценка
,
)(
2
1
2
)(
0)(inf
)1(2
2
21
2
212
0
mm
m
m
mm
x
t C
md
md
C
ptXP
где ,
2
)21(2 m
rd
;)(
2/1
2
2
m
m dFp
3) если ,)(2
2
dFm ,1 ab ,12/)( *2 mr т.е. *
и %100 собственного капитала страховой компании инвестировано в акции,
а остальные средства переведены на банковский счет, то для вероятности разоре-
ния справедлива оценка
,
)(
2
1
2
)(
0)(inf
)1(2
2
21
2
212
0
mm
m
m
mm
x
t C
md
md
C
ptXP
где ,
)21(2
)(
2
2
m
r
rd
.)(
2/1
2
2
m
m dFp
Заключение
Рассмотрен вопрос о вероятности разорения страховой компании в случае
стохастических премий и исков при условии размещения средств на финансовом
122 ISSN 0572-2691
(B, S )-рынке, цена рискового актива на котором описывается как процессом гео-
метрического броуновского движения, так и процессом Орнштейна–Уленбека;
получены оценки для вероятности разорения, как в случае инвестирования соб-
ственного капитала в безрисковые активы, так и в случае смешанных инвестиций.
А.В. Баєв, Б.В. Бондарев, Т.В. Жмихова
ПРО ОЦІНКУ ЙМОВІРНОСТІ РОЗОРЕННЯ
СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ У МОДЕЛІ
ЗІ СТОХАСТИЧНИМИ ПРЕМІЯМИ
ТА ПОЗОВАМИ ТА МОЖЛИВІСТЮ ІНВЕСТИЦІЙ
У ФІНАНСОВИЙ (B, S)-РИНОК
Проаналізовано математичну модель страхової компанії, що працює на фінан-
совому (B, S )-ринку. Ціна акції описується моделлю Самуельсона і моделлю,
в якій базовим процесом для опису ціни акції є процес Орнштейна–Уленбека,
з узагальненням класичної моделі ризику, де процес премій і позовів є стоха-
стичним. Побудовано степеневу оцінку ймовірності банкрутства страхової
компанії в залежності від початкового капіталу і знайдено таке програмне ке-
рування, при якому ця оцінка ймовірності стала мінімальною.
A.V. Baev, B.V. Bondarev, T.V. Zhmykhova
ON THE PROBABILITY ESTIMATE
OF THE INSURANCE COMPANY BANKRUPTCY
IN THE MODEL WITH STOCHASTIC PREMIUMS
AND CLAIMS AND THE OPPORTUNITY TO INVEST
IN FINANCIAL (B, S)-MARKET
The mathematical model of the insurance company working on financial (B, S )-
market is analyzed. The share price is described by Samuelsson model and the
model, where Ornstein–Uhlenbeck process is the basic one for the description of
the share price. The classical risk model is generalized, where the process of pre-
miums and claims is the stochastic one. Power estimate of the insurance company
bankruptcy probability depending on initial capital is constructed and program
control to minimize this probability estimate is found.
1. Баев А.В., Бондарев Б.В. Функционирование страховой компании на (B, S )-рынке // Прикл.
статистика. Актуарна та фінансова математика. — 2003. — №1-2. — С. 11–26.
2. Баєв А.В., Бондарев Б.В. Про ймовірність банкрутства страхової компанії, що функціонує
на фінансовому (B, S )-ринку // Теорія ймовірностей та математична статистика. — 2006. —
74. — С. 10–22.
3. Бондарев Б.В. Математические модели в страховании. — Донецк : Апекс, 2002. — 116 с.
4. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. — Киев: Наук.
думка, 1968. — 354 с.
5. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая стати-
стика. — Киев: Вища шк.., 1988. — 439 c.
Получено 25.05.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-210838 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0572-2691 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-03-21T04:16:12Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Баев, А.В. Бондарев, Б.В. Жмыхова, Т.В. 2025-12-17T20:20:57Z 2010 Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок / А.В. Баев, Б.В. Бондарев, Т.В. Жмыхова // Проблемы управления и информатики. — 2010. — № 5. — С. 111-122. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0572-2691 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210838 519.21 10.1615/JAutomatInfScien.v42.i9.70 Проаналізовано математичну модель страхової компанії, що працює на фінансовому (B, S)-ринку. Ціна акції описується моделлю Самуельсона і моделлю, в якій базовим процесом для опису ціни акції є процес Орнштейна–Уленбека, з узагальненням класичної моделі ризику, де процес премій і позовів є стохастичним. Побудовано степеневу оцінку ймовірності банкрутства страхової компанії в залежності від початкового капіталу і знайдено таке програмне керування, при якому ця оцінка ймовірності стала мінімальною. The mathematical model of the insurance company working on financial (B, S)-market is analyzed. The share price is described by Samuelsson model and the model, where Ornstein–Uhlenbeck process is the basic one for the description of the share price. The classical risk model is generalized, where the process of premiums and claims is the stochastic one. Power estimate of the insurance company bankruptcy probability depending on initial capital is constructed and program control to minimize this probability estimate is found. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Проблемы управления и информатики Экономические и управленческие системы Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок Про оцінку ймовірності розорення страхової компанії у моделі зі стохастичними преміями та позовами та можливістю інвестицій у фінансовий (B, S)-ринок On the probability estimate of the insurance company bankruptcy in the model with stochastic premiums and claims and the opportunity to invest in financial (B, S)-market Article published earlier |
| spellingShingle | Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок Баев, А.В. Бондарев, Б.В. Жмыхова, Т.В. Экономические и управленческие системы |
| title | Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок |
| title_alt | Про оцінку ймовірності розорення страхової компанії у моделі зі стохастичними преміями та позовами та можливістю інвестицій у фінансовий (B, S)-ринок On the probability estimate of the insurance company bankruptcy in the model with stochastic premiums and claims and the opportunity to invest in financial (B, S)-market |
| title_full | Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок |
| title_fullStr | Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок |
| title_full_unstemmed | Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок |
| title_short | Об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (B, S)-рынок |
| title_sort | об оценке вероятности разорения страховой компании в модели со стохастическими премиями и исками и возможностью инвестиций в финансовый (b, s)-рынок |
| topic | Экономические и управленческие системы |
| topic_facet | Экономические и управленческие системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/210838 |
| work_keys_str_mv | AT baevav obocenkeveroâtnostirazoreniâstrahovoikompaniivmodelisostohastičeskimipremiâmiiiskamiivozmožnostʹûinvesticiivfinansovyibsrynok AT bondarevbv obocenkeveroâtnostirazoreniâstrahovoikompaniivmodelisostohastičeskimipremiâmiiiskamiivozmožnostʹûinvesticiivfinansovyibsrynok AT žmyhovatv obocenkeveroâtnostirazoreniâstrahovoikompaniivmodelisostohastičeskimipremiâmiiiskamiivozmožnostʹûinvesticiivfinansovyibsrynok AT baevav proocínkuimovírnostírozorennâstrahovoíkompanííumodelízístohastičnimipremíâmitapozovamitamožlivístûínvesticíiufínansoviibsrinok AT bondarevbv proocínkuimovírnostírozorennâstrahovoíkompanííumodelízístohastičnimipremíâmitapozovamitamožlivístûínvesticíiufínansoviibsrinok AT žmyhovatv proocínkuimovírnostírozorennâstrahovoíkompanííumodelízístohastičnimipremíâmitapozovamitamožlivístûínvesticíiufínansoviibsrinok AT baevav ontheprobabilityestimateoftheinsurancecompanybankruptcyinthemodelwithstochasticpremiumsandclaimsandtheopportunitytoinvestinfinancialbsmarket AT bondarevbv ontheprobabilityestimateoftheinsurancecompanybankruptcyinthemodelwithstochasticpremiumsandclaimsandtheopportunitytoinvestinfinancialbsmarket AT žmyhovatv ontheprobabilityestimateoftheinsurancecompanybankruptcyinthemodelwithstochasticpremiumsandclaimsandtheopportunitytoinvestinfinancialbsmarket |