Задача типу Стефана для циліндричної області

Процес термічної обробки рухомого стрижня моделюємо нелінійною крайовою задачею теплопровідності для рухомої циліндричної області з внутрішнім джерелом тепла. Один із геометричних розмірів області є змінна величина, значення якої зменшується від деякої сталої до нуля. Запропоновано метод розв’язуван...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Authors:	Ляшенко, В., Кобильська, О.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2010
Series:	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22473
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Задача типу Стефана для циліндричної області / В. Ляшенко, О. Кобильська // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 122-127. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-22473
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-224732025-02-23T18:01:57Z Задача типу Стефана для циліндричної області Stefan type problem for cylindrical domain Задача типа Стефана для цилиндрической области Ляшенко, В. Кобильська, О. Процес термічної обробки рухомого стрижня моделюємо нелінійною крайовою задачею теплопровідності для рухомої циліндричної області з внутрішнім джерелом тепла. Один із геометричних розмірів області є змінна величина, значення якої зменшується від деякої сталої до нуля. Запропоновано метод розв’язування сформульованої задачі Стефана, який полягає у застосуванні інтегральних перетворень i числових методів Роте та Ньютона розв’язування диференціальних рівнянь. Сформульовані та доведені теореми існування єдиного розв’язку різницевої задачі та зроблено оцінку її збіжності до розв’язку крайової задачі. На основі отриманого розв’язку крайової задачі визначені умови, за яких температурне поле в області зі змінними межами буде стале упродовж процесу нагрівання. Проведені розрахунки розподілів температури. The process of heat treatment of a mobile shank is modeled the nonlinear regional problem for the equation of heat conductivity in a cylindrical area with the internal source of heat. One of geometrical sizes of area is variable quantity with value diminishes from some constant to zero. The method of solution stated problems is offered. It consists in use of integral transformations and numerical methods of Rote and Newton for solution of differential equations. Theorems of existence of the unique solution difference problems are formulated and proved. The estimated convergence of it’s to the solution of boundary problem is made. On basis of the received solution of boundary problem are defined conditions at which the temperature field in an area with trailing boundaries will be constant during the process of heating. The calculations of distributing of temperature are realized. Процесс термической обработки движущегося стержня моделируем нелинейной краевой задачей для уравнения теплопроводности в цилиндрической области с внутренним источником тепла. Один из геометрических размеров области является переменной величиной, значение которой уменьшается от некоторой постоянной до нуля. Предложен метод решения сформулированной задачи типа Стефана, состоящий в применении интегральных преобразований и численных методов Роте и Ньютона решения дифференциальных уравнений. Сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения разностной задачи, сделана оценка ее сходимости к решению краевой задачи. На основе решения краевой задачи определены условия, при которых температурное поле в области с движущимися границами будет постоянным на протяжении процесса нагревания. Проведены расчеты распределений температуры. 2010 Article Задача типу Стефана для циліндричної області / В. Ляшенко, О. Кобильська // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 122-127. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1816-1545 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22473 517.929.7 uk Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології application/pdf Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Процес термічної обробки рухомого стрижня моделюємо нелінійною крайовою задачею теплопровідності для рухомої циліндричної області з внутрішнім джерелом тепла. Один із геометричних розмірів області є змінна величина, значення якої зменшується від деякої сталої до нуля. Запропоновано метод розв’язування сформульованої задачі Стефана, який полягає у застосуванні інтегральних перетворень i числових методів Роте та Ньютона розв’язування диференціальних рівнянь. Сформульовані та доведені теореми існування єдиного розв’язку різницевої задачі та зроблено оцінку її збіжності до розв’язку крайової задачі. На основі отриманого розв’язку крайової задачі визначені умови, за яких температурне поле в області зі змінними межами буде стале упродовж процесу нагрівання. Проведені розрахунки розподілів температури.
format	Article
author	Ляшенко, В. Кобильська, О.
spellingShingle	Ляшенко, В. Кобильська, О. Задача типу Стефана для циліндричної області Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
author_facet	Ляшенко, В. Кобильська, О.
author_sort	Ляшенко, В.
title	Задача типу Стефана для циліндричної області
title_short	Задача типу Стефана для циліндричної області
title_full	Задача типу Стефана для циліндричної області
title_fullStr	Задача типу Стефана для циліндричної області
title_full_unstemmed	Задача типу Стефана для циліндричної області
title_sort	задача типу стефана для циліндричної області
publisher	Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2010
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/22473
citation_txt	Задача типу Стефана для циліндричної області / В. Ляшенко, О. Кобильська // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. — 2010. — Вип. 12. — С. 122-127. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT lâšenkov zadačatipustefanadlâcilíndričnoíoblastí AT kobilʹsʹkao zadačatipustefanadlâcilíndričnoíoblastí AT lâšenkov stefantypeproblemforcylindricaldomain AT kobilʹsʹkao stefantypeproblemforcylindricaldomain AT lâšenkov zadačatipastefanadlâcilindričeskojoblasti AT kobilʹsʹkao zadačatipastefanadlâcilindričeskojoblasti
first_indexed	2025-11-24T07:15:42Z
last_indexed	2025-11-24T07:15:42Z
_version_	1849655078754975744
fulltext	122 Задача типу Стефана для циліндричної області Віктор Ляшенко1, Олена Кобильська2 1 к. ф.-м. н., Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського, вул. Першотравнева, 20, Кременчук, e-mail: conon-v@yandex.ru 2 Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського, вул. Першотравнева, 20, Кременчук, e-mail: leca91@yandex.ru Процес термічної обробки рухомого стрижня моделюємо нелінійною крайовою задачею тепло- провідності для рухомої циліндричної області з внутрішнім джерелом тепла. Один із гео- метричних розмірів області є змінна величина, значення якої зменшується від деякої сталої до нуля. Запропоновано метод розв’язування сформульованої задачі Стефана, який полягає у застосуванні інтегральних перетворень i числових методів Роте та Ньютона розв’язування диференціальних рівнянь. Сформульовані та доведені теореми існування єдиного розв’язку різнице- вої задачі та зроблено оцінку її збіжності до розв’язку крайової задачі. На основі отриманого розв’язку крайової задачі визначені умови, за яких температурне поле в області зі змінними межами буде стале упродовж процесу нагрівання. Проведені розрахунки розподілів температури. Ключові слова: математична модель, нелінійна крайова задача, задача типу Стефана, методи Роте й Ньютона, температурний розподіл. Вступ. У порошковій металургії, однією із технологічних операцій виробництва стрижнів і дроту з тугоплавких металів, наприклад вольфраму, є операція ротацій- ного кування [1]. Перед цією операцією стрижень завдовжки L спочатку розігрі- вають електричним струмом до технологічної температури Tl, а потім подають у машину для кування зі швидкістю v(t) ≠ 0. При цьому до одного кінця стрижня підключають нерухомий провідник струму, а до іншого — рухомий. Із техноло- гічної точки зору необхідно, щоб під час операції кування упродовж часу 0 < t < t0 довжина стрижня змінювалася згідно закону ξ(t) = L – v(t)t, тоді як температура повинна залишатися сталою і не меншою, ніж Tl. Суть керування температурним полем полягає у підтриманні у зоні нагрівання стрижня сталого розподілу темпе- ратури, тоді як довжина у зоні нагрівання зменшується та прямує до нуля. Для підтримування сталого значення температури необхідно керувати потужністю діючого у стрижні джерела тепла, а саме, силою струму I(t). До теперішнього часу як у вітчизняній, так і у зарубіжній науковій літературі, математичні моделі процесу термічної обробки такого типу не розглядали. У мате- матичній моделі, що пропонується, стрижень розглядаємо у вигляді скінченної циліндричної області з ізотропними фізико-механічними характеристиками. 1. Мета роботи Метою роботи є розв’язування оберненої задачі теплопровідності та визначення параметра керування I(t) температурним полем у циліндричній області УДК 517.929.7 ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 122-127 123  0 0: 0 ( ),0 ,0t z t r r t t        за умови сталого розподілу температури, якщо один із розмірів області ξ(t) = L – v(t)t є змінна величина, що прямує до нуля упродовж часу 0 < t < t0. 2. Матеріали та результати дослідження Для визначення температурного поля циліндричної області розглядаємо задачу теплопровідності в області  0 0: 0 ( ),0 ,0t z t r r t t          2 2 1 ( ) ,n n T T T Tr v t c c W t T r r r z tz                    , (1) ( , ,0) lT r z T ,  ( ,0, ) , ( ), lT r t T r t t T   , (2)      0 4 4, , c c T r z t T T T T r          , (0, , ) 0T z t r    , (3) де  2 0 2 4 0 ( ) 1 ( , ) I t T W T t r      — густина діючих джерел тепла, , ,c  — тепло- фізичні параметри циліндра, Tc — температура навколишнього середовища, σ — стала Стефана-Больцмана. Час t0 визначаємо з умови L – v(t)t = 0, v(t) — непе- рервна додатна функція. Задача полягає у визначенні функції T(r, z, t) при 0 < t < t0 у замкненій області Ω, що задовольняє умовам (2), (3). Оскільки область  змінюється в часі, а її температурне поле повинно бути стале, то джерела тепла W(T, t) — змінні. Потрібно визначити початкове значення параметра I(t), яке б задовольнило першу з умов (2). Для цього необхідно розв’язати обернену до (1)-(3) задачу за умови, що 0, ( ) 0T t v t    . Розглянемо відповідну до (1)-(3) стаціонарну задачу і визначимо значення параметра І0, за якого нерухомий циліндр нагрівається до температури Tl. Потім розв’язуємо обернену задачу для 0 < t < t0 і визначаємо значення I(t), необ- хідне для підтримання температури Tl, якщо висота циліндра прямує до нуля. Знайдемо температурний розподіл уздовж координати z. Застосувавши до рівняння (1) оператор усереднення [2] 0 2 0 0 2( , ) ( , , ) r u z t T r z t rdr r   , за врахування умов на границі (3) отримаємо таку крайову задачу в області  1 0: 0 ( ),0t z t t t       2 4 12 0 2( ) n n u u uv t c u u c z r tz                 , (4) ( ,0) lu z T ,  (0, ) ( ), lu t u t t T   , (5) де 2 2 40 0 12 4 2 4 0 0 00 0 2 2 2, c c I I T T r r rr r               . Віктор Ляшенко, Олена Кобильська Задача типу Стефана для циліндричної області 124 Приймемо у рівнянні (4), що ( ) 0, 0v t u t    , і розглянемо нелінійну крайову задачу для звичайного диференціального рівняння 2 2 ( )d u F u dz   , (6) (0) ( ) lu u l T  , (7) де 4 1 0 2( )F u u u r           . Її розв’язок отримаємо методом Ньютона [3] у вигляді  ( ) ( )nF u F u z     ( ) ( )n n dF u z u u z du   . Шукаємо наближення un + 1(z) до розв’язку (6) як розв’язок такої крайової задачі      1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n n dF u z u z F u z u u z du      , (8) 1 1(0) 0, ( ) 0n l n lu T u l T     . (9) Розглянемо сіткову апроксимацію задачі (8), (9)  1 1 2 2 0, 1, 1k k k k u u u F u k N h         , 0 0, 0l l lu T u T    , де h = L / N, uk — наближення до значень u(kh). В околі n-ого наближення справ- джуються співвідношення       n n n k k k k kF u F u F u u u   . Наступне наближення шукаємо з такої системи рівнянь      1 1 1 11 1 2 2 0, 1, 1 n n n n n n nk k k k k k k u u u F u F u u u k N h              , 1 1 0 0, 0n n l N lu T u T     . Початкове наближене значення параметра I0 отримаємо з розв’язку спроще- ної задачі Коші (4), (5), знехтувавши в останній перерозподілом тепла вздовж осі циліндра за рахунок теплопровідності та втратами тепла з поверхні внаслідок випромінювання і поклавши ( ) 0, 0, 0v t      , 1, 0n uc u t t t          , (10) 0(0)u T , (11) де 2 0 2 4 00 2 cI T rr       . ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 122-127 125 Розв’язок задачі Коші (10), (11) має вигляд 0( ) n t cu t T e           . (12) На основі формули (12) визначаємо почат- кове значення параметра I0. Далі, скориставшися початковим значенням параметра І0, для 0 < t < t0 розв’язуємо числовим методом обернену задачу до задачі (4), (5) і визначаємо значення параметра I(t) (рис. 1), необхідного для підтримання темпе- ратури Tl у разі прямування координати z до нуля. У задачі (4), (5) замінимо стале значення параметра I знайденою функцією I(t). Отримаємо задачу в області  1 0: 0 ( ),0t z t t t       2 2 ( ) ( , ) z n n u u uv t c c F t u z t            , (13) ( ,0) lu z T , (14)  (0, ) ( ), lu t u t t T   , (15) де   2 2 4 40 0 2 4 2 4 0 0 00 0 ( ) ( )2 2 2( , ) c c I t I tF t u u T u T r r rr r                      . Розв’язок задачі (13), (15) шукаємо методом Роте [4] — дискретизації за часом. Для цього введемо в області  1 0: 0 ( ), 0t z t t t       рівномірну сітку за часом  0, 0,j j j j      . На кожному часовому кроці підставимо замість I(t) відповідне значення I(t j) та отримаємо напівдискретний аналог задачі (13), (15) у вигляді системи диференціально-різницевих крайових задач для зви- чайних диференціальних рівнянь другого порядку   2 12 ( ) j j jn j n cd u duv t c u F u dzdz        , (16)    0 j j jz t L v t t const      , 0 ( ) lu z T ,   (0) j lu u t T   ,   1 1 1 1( ) j jF u F u u    . (17) Розв’язок задач (16), (17) шукаємо скінченно-різницевим методом [5]. Вве- демо рівномірну сітку    . Поставимо у відповідність задачі (16), (17) квазілінійну різницеву задачу. Розглянемо схему y F  , z , (18) 0 n ly y T  , z , (19) де  1 2z zzy a y a y    . Рис. 1. Залежність величини I(t) від часу для ξ(t) → 0 t 42 0 20 40 60 36 48 54 I(t) Віктор Ляшенко, Олена Кобильська Задача типу Стефана для циліндричної області 126 Теорема 1. Нехай для задачі (17), (18) справджується умова: 1( ) 0dF u du  , де F1(u) — достатньо гладка функція. Тоді задача (17), (18) має єдиний розв’язок. Доведення. Нехай існує два розв’язки y1, y2. Для величини v(z) = y2(z) – y1(z) отримуємо задачу 1( )( ) ( )dF uz z du    , ( ) 0z  , де  1 11 0 ( ) tdF udF u dt du du   ,  2 1( ) ( ) 1 ( )ty z ty z t y z   . На основі принципу максимуму для сіткової задачі (18), (19) за умови 1( ) 0dF u du  отримаємо ( ) 0,v z z  . Отже існує єдиний розв’язок різницевої задачі (18), (19). Для визначення похибки ( ) ( ) ( ),Z z y z u z z   , різницевої задачі маємо  1dF y Z Z dy     , z , (20)  (0) ( )j lZ Z t T   , z , (21) де    1 11 0 tdF ydF y dt dy dy   ,  2 1( ) ( ) 1 ( )ty z ty z t y z   , 1( ) ( )z u F u    . Причому для достатньо гладких коефіцієнтів отримаємо оцінку 2( ) ( )z O h  [5]. Теорема 2. Якщо z , ( ) 0z  , z , то за виконання умови 1( ) 0dF u du  у рівномірній нормі для розв’язку лінійної задачі (20), (21) спра- ведлива оцінка ( ) ( )( ) ( )C CZ z M z   , де ( )( ) CM z   1  . Вона встанов- лює збіжність нелінійної різницевої схеми (20), (21) із другим порядком точності. На рис. 2 зображені температурні розподіли, знайдені на основі розв’язку задачі (18), (19), для t = 50 c. Крива 1 описує розподіл температури, отриманий iз використан- ням параметра І(t), і це дозволяє стабільно підтримувати температуру Tl = 1000 K у кінці зони нагрівання, а крива 2 описує розподіл температури для сталого значення параметра I0, при цьому температура постійно зростає. Із рис. 2 видно, що змінне зна- чення параметра I(t) дозволяє підтримувати стале значення температури за зменшення зони нагрівання. Крива 1 описує розподіл температу- ри, отриманий iз використанням параметра І(t), за якого температура Tl = 1000 K у кінці зони нагрівання є постійна, а крива 2 описує розпо- діл температури за сталого значення парамет- ра I0, при цьому температура постійно зрос- тає. Бачимо (див. рис. 2), що змінне значення параметра I(t) дозволяє підтримувати стале значення температури за зменшення зони нагрівання. 1001,5 1001,0 1000,5 1000,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 x 2 1 Рис. 2. Розв’язок задачі (13), (14) для змінного I(t) (крива 1) і сталого І (крива 2) значень параметра ISSN 1816-1545 Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології 2010, вип. 12, 122-127 127 Висновки. Розв’язані пряма й обернена задачі теплопровідності. Побудовано графік зміни у часі значення параметра керування температурним полем (рис. 1). Проведені числові розрахунки температурних розподілів рухомої циліндричної області з діючим у ній джерелом тепла. Результати, отримані у цій роботі, можна використати для проектування систем автоматичного керування та контролю розподілів температури. Література [1] Крупин, А. В. Пластическая деформация тугоплавких металлов / А. В. Крупин, В. Я. Соло- вьев. — Москва: Металлургия, 1971. — 352 с. [2] Ляшенко, В. П. Моделювання однієї оберненої задачі Стефана / В. П. Ляшенко, О. Б. Кобильська // Вісник Харківського національного університету. — 2009. — Bип. 11, № 847. — С. 206-212. [3] Березовський, А. А. К определению оптимальных параметров устройств электроконтактного нагрева. Методы и средства моделирования физических полей / А. А. Березовський, В. П. Ляшенко. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1979. — C. 43-48. [4] Мартисон, Л. К. Дифференциальные уравнения математической физики / Л. К. Мартисон, Ю. И. Малов. — Москва: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. — 368 с. [5] Самарский, А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. — Москва: Едиториал УССР, 2003. — 784 с. Stefan type problem for cylindrical domain Victor Lyashenko, Elena Kobilskaya The process of heat treatment of a mobile shank is modeled the nonlinear regional problem for the equation of heat conductivity in a cylindrical area with the internal source of heat. One of geometrical sizes of area is variable quantity with value diminishes from some constant to zero. The method of solution stated problems is offered. It consists in use of integral transformations and numerical methods of Rote and Newton for solution of differential equations. Theorems of existence of the unique solution difference problems are formulated and proved. The estimated convergence of it’s to the solution of boundary problem is made. On basis of the received solution of boundary problem are defined conditions at which the temperature field in an area with trailing boundaries will be constant during the process of heating. The calculations of distributing of tem- perature are realized. Задача типа Стефана для цилиндрической области Виктор Ляшенко, Елена Кобыльская Процесс термической обработки движущегося стержня моделируем нелинейной краевой зада- чей для уравнения теплопроводности в цилиндрической области с внутренним источником тепла. Один из геометрических размеров области является переменной величиной, значение которой уменьшается от некоторой постоянной до нуля. Предложен метод решения сформулированной задачи типа Стефана, состоящий в применении интегральных преобразований и численных методов Роте и Ньютона решения дифференциальных уравнений. Сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения разностной задачи, сделана оценка ее сходимости к решению краевой задачи. На основе решения краевой задачи определены условия, при которых температурное поле в области с движущимися границами будет постоян- ным на протяжении процесса нагревания. Проведены расчеты распределений температуры. Представлено професором Б. Герою Отримано 25.03.10

Задача типу Стефана для циліндричної області

Institution

Similar Items