Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації
Розглянуто математичну модель процесу бродіння виноградного сусла з урахуванням залежності параметрів від температури. Встановлено аналітичну форму залежності параметрів моделі від температури (експоненціальну та лінійну). Розглянуто задачі ідентифікації параметрів та оптимального керування. Наведен...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2006
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/42190 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації / Я.Є. Мацьонг, Я.Г. Савула, М.В. Щербатий // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2006. — № 3. — С. 89–98. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860017106729304064 |
|---|---|
| author | Мацьонг, Я.Є. Савула, Я.Г. Щербатий, М.В. |
| author_facet | Мацьонг, Я.Є. Савула, Я.Г. Щербатий, М.В. |
| citation_txt | Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації / Я.Є. Мацьонг, Я.Г. Савула, М.В. Щербатий // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2006. — № 3. — С. 89–98. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Розглянуто математичну модель процесу бродіння виноградного сусла з урахуванням залежності параметрів від температури. Встановлено аналітичну форму залежності параметрів моделі від температури (експоненціальну та лінійну). Розглянуто задачі ідентифікації параметрів та оптимального керування. Наведено числові результати розв’язування задач оптимального керування (задача на швидкодію) та ідентифікації параметрів при бродінні сусла сорту Ркацителі.
Рассмотрена математическая модель процесса брожения виноградного сусла, учитывающая зависимость параметров модели от температуры. Определена аналитическая форма зависимости параметров модели от температуры (экспоненциальная и линейная). Описаны задачи идентификации параметров и оптимального управления. Приведены численные результаты решения задач оптимального управления (задача на быстродействие) и идентификации параметров при брожении сусла сорта Ркацители.
A mathematical model of must fermentation taking into account the dependence of model parameters on temperature is considered. An analytic form of this dependence (exponential and linear) is determined. The problems of parameter identification and optimal control are described. The numerical results for the problem of optimal control (the speed problem) and identification of parameters of the Rkatsiteli wine must fermentation are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:45:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Я.Є. Мацьонг, Я.Г. Савула, М.В. Щербатий, 2006
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 89
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 531.8
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ЗАЛЕЖНОЮ ВІД
ТЕМПЕРАТУРИ МОДЕЛЛЮ ПРОЦЕСУ ФЕРМЕНТАЦІЇ
Я.Є. МАЦЬОНГ, Я.Г. САВУЛА, М.В. ЩЕРБАТИЙ
Розглянуто математичну модель процесу бродіння виноградного сусла з ура-
хуванням залежності параметрів від температури. Встановлено аналітич-
ну форму залежності параметрів моделі від температури (експоненціальну та
лінійну). Розглянуто задачі ідентифікації параметрів та оптимального керуван-
ня. Наведено числові результати розв’язування задач оптимального керування
(задача на швидкодію) та ідентифікації параметрів при бродінні сусла сорту
Ркацителі.
ВСТУП
Математична модель процесу бродіння виноградного сусла, яка дає можли-
вість прогнозувати цей процес при різних умовах (температурі, тиску вугле-
кислого газу, кислотності і т.ін.), є невід’ємною складовою частиною систе-
ми контролю за процесом. Незважаючи на те, що існують вже розроблені та
визнані моделі процесу, питання моделювання спиртового бродіння у вин-
ному суслі залишається актуальним і на сьогоднішній день [1, 2]. Вважаєть-
ся, що основний параметр, який повинен регулюватися в процесі бродін-
ня — це температура [3]. Мета даної роботи:
• встановлення аналітичної форми залежності параметрів математич-
ної моделі процесу бродіння від температури, що дозволяє спрогнозувати
поведінку системи в інших температурних режимах та оптимізувати процес;
• постановка та розв’язування задач ідентифікації параметрів, а також
оптимального керування (максимізації продуктивності процесу).
ОПИС МОДЕЛІ
Вважатимемо, що процес бродіння відбувається в анаеробних умовах реак-
тора періодичної дії (на протязі всього процесу не здійснюється доливан-
ня/відливання речовин, які беруть участь у процесі бродіння, за винятком
відведення вуглекислого газу) з ідеальним перемішуванням (бродильне се-
редовище однорідне).
У математичній моделі процесу бродіння виноградного сусла врахову-
вався вплив температури на кінетику процесу. У загальному вигляді розроб-
Я.Є. Мацьонг, Я.Г. Савула, М.В. Щербатий
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 90
лювана математична модель є задачею Коші для системи звичайних дифе-
ренціальних рівнянь відносно концентрацій дріжджів X , субстрату S та
продуктів метаболізму iP , ni ,1= , n — кількість продуктів метаболізму, які
враховуються в моделі ( 1P — спирт, 2P — гліцерин, 3P — лактат) [4].
XuSPtX ),,()( 1µ=′ , (1)
nitXtXtP iii ,1 ),()()( '' =+= βα , (2)
XtPYtXYtS
n
i
i
S
P
S
X i
ξ−−−= ∑
=1
''' )()/1()()/1()( , (3)
000 )0(,)0(,)0( SSPPXX ii === , ],0[ ett = , (4)
де niYY SPSXii i
,1,,,,,, // =ξβαµ — параметри моделі у вигляді функцій
від температури; mRUUtuu ∈∈= ,)( , U — деяка обмежена замкнена об-
ласть допустимих значень керувань; pL Upppp ∈= )21 ,...,,( — L - вимір-
ний параметр, L
p RU ∈ .
Рівняння (1) описує швидкість росту дріжджів, яка характеризується
питомою швидкістю росту мікроорганізмів, тобто залежністю, що враховує
ефекти насичення субстратом (глюкозою, фруктозою) та неконкурентного
інгібірування росту дріжджів продуктом (етанолом)
)/1()(
11 PS
m
KPKS
S
++
=
µ
µ , (5)
де SK і
1PK — відповідно константи насичення та інгібірування (залежні
від температури). Константа насичення SK чисельно дорівнює концентрації
цукру в середовищі, при якій питома швидкість росту клітин дорівнює по-
ловині максимальної питомої швидкості. Константа
1PK чисельно дорівнює
концентрації етанолу, при якій швидкість росту сповільнюється вдвічі.
Співвідношення (5) є відомою формулою Моно-Ієрусалимського [5].
Доведено, що інгібірування росту дріжджових клітин етанолом не змінює
константу насичення по субстраті SK , тобто спирт у випадку виноградного
бродіння є типовим неконкурентним інгібітором [6].
Рівняння (2) описує швидкість утворення етанолу та інших продуктів
метаболізму дріжджів, що залежить від швидкості росту клітин (перший
доданок) і від синтезу продуктів метаболізму клітинами, які знаходяться у
стаціонарній фазі свого розвитку (другий доданок).
Рівняння (3) описує швидкість споживання дріжджами цукру у процесі
росту біомаси (1-й доданок), утворення етанолу та інших продуктів метабо-
лізму, які враховуються у моделі (2-й доданок) і підтримки життєдіяльності
клітин (3-й доданок). У цьому рівнянні
S
XY і
S
PY
1
— економічні коефіцієн-
ти, що показують, яка частина спожитого клітинами цукру переходить від-
повідно у біомасу та продукти метаболізму дріжджів.
Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 91
ВИБІР ТЕМПЕРАТУРНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ
Питанню впливу температури на ріст дріжджів присвячені багаточисель-
ні експериментальні дослідження [8, 9]. У результаті експериментів [8] на
температурному проміжку C308 − встановлено лінійну залежність від те-
мператури питомої швидкості росту дріжджів 085,0011,0 −= Tmµ , де
T ( C° ) — температура, але отримане рівняння справедливе лише для
конкретних умов досліду. Більшість моделей росту мікроорганізму ба-
зується на експоненціальній залежності на основі рівняння Арреніуса
[1,2,7].
У даній роботі запропоновано вважати залежними від температури всі
параметри моделі. Розглянемо два види залежностей параметрів від темпе-
ратури — експоненціальну та лінійну. У випадку експоненціальної залежно-
сті параметри моделі вибираємо у вигляді [2]
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−=
S
SaS
SS T
TT
TR
E
KK
0
0
0 exp , ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−=
1
11
11
P0
P0aP
P0P T
TT
RT
E
expKK ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
µ
µµ
µ
µ
µµ
µµ
0
0
0
0 expexp
T
TT
RT
E
B
T
TT
RT
E
A ba
m , (6)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
i
ii
i
i
ii
i T
TT
RT
E
B
T
TT
RT
E
A ba
i
β
βα
α
α
αα
αα
0
0
0
0 expexp , ni ,1= ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−=
ξ
ξξξξ
0
0
0 exp
T
TT
RT
Ea ; ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−+=
XS
XSaXS
XS
SXSX T
TT
RT
E
A
YY 0
0
)0(
//
exp11 ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−+=
i
ii
i
ii YP
YPaYP
YP
SPSP T
TT
RT
E
A
YY 0
0
)0(
//
exp11 , n,1i = ,
де KT , — температура бродіння.
У випадку лінійної залежності параметрів від температури використо-
вуємо такі співвідношення:
)( 0PkPkPkk TTBAp −+−= , 4,1 += nk ,
де T
nPSm aaKKp ),,,,,,( 11
…ξµ= ,
)(/1 0PkPkPkPkk TTBACp −+−= , )1()14(,1)4( ++++++= nnnk , (7)
де T
SPSPSX n
YYYp ),,,( /// 1
…= .
ЗАДАЧА ІДЕНТИФІКАЦІЇ ПАРАМЕТРІВ
Постановка задачі. Побудована модель (1)–(5), (6) або (1)–(5), (7) містить
ряд параметрів, незалежних від температури. Для визначення характерних
особливостей досліджуваного процесу бродіння необхідно ідентифікувати
Я.Є. Мацьонг, Я.Г. Савула, М.В. Щербатий
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 92
параметри моделі, яка описує реальний процес. Тобто потрібно підібрати
параметри таким чином, щоб вони якнайкраще узгоджувалися з даними
спостережень за певним критерієм.
Як критерій оцінки знайдених параметрів використовуємо функціонал
виду
2)(
1 1 1
)()( e
ijk
r
i
M
j
K
k
ijki yycp −=Φ ∑∑∑
= = =
, (8)
де ic — вагові множники; )(e
ijky — експериментальне значення концентрації
i -ї речовини )2,,,2,1( +== nrri … ) в момент часу jt ( Mj ,,1…= ) для k -
го значення температури бродіння ( K,,1k …= ); ijky — відповідне значення
концентрації, отримане за допомогою математичної моделі.
На межі змінних параметрів p накладаються двосторонні обмеження
},,1,,{~,~ LipppRpPPp iii
L …=≤≤∈=∈ +− .
Таким чином, задача ідентифікації параметрів моделі (1)–(5), (6) або
(1)–(5), (7) полягає в знаходженні P~p*∈ із умови мінімуму функціоналу (8)
[10].
Pp
pp
~* )(min)(
∈
Φ=Φ .
Задачу ідентифікації параметрів розв’язуємо шляхом зведення до задачі
нелінійного математичного програмування, яку розв’язуємо методом зовні-
шніх штрафних функцій у поєднанні з методом спряжених градієнтів [10].
Результати числових досліджень у випадку врахування утворення
спирту та гліцерину. Вірно вибрана і достатньо точна математична модель
є надійним інструментом для оптимізації технологічного процесу. Проте,
будь-яка модель «має право на життя» лише за умови перевірки її на адеква-
тність шляхом узгодження з результатами експерименту.
На основі експериментальних даних, отриманих в умовах мікровино-
робства в інституті винограду і вина «Магарач», розв’язано задачу ідентифі-
кації параметрів для сусла з винограду сорту Ркацителі (бродіння на дріж-
джах 5271− ).
При ідентифікації параметрів були використані дані концентрацій дрі-
жджів, субстрату, спирту та гліцерину за 16 моментів часу на проміжку
2160… годин при температурі бродіння 17 та C26° і наповненості ємкості
субстратом приблизно на 3/2 . Наявність двох наборів спостережень на
температурному діапазоні C109 °… дозволяє знайти параметри моделі, які
будуть адекватно описувати процес, принаймні, в межах даного температу-
рного проміжку.
Дані спостережень отримані при таких концентраціях дріжджів,
продуктів метаболізму та субстрату в початковий момент часу: 0 =X
клітин/мл101,2 6⋅= ; мг/мл388,0 ;0 2010 == PP ; мг/мл2020 =S при =CT
C17°= та клітин/мл1095,1 6
0 ⋅=X ; 010 =P ; мг/мл388,0 20 =P ; =0S
мг/мл202= при C26°=CT .
Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 93
У моделі (1)–(5), (6) незалежні від температури параметри прийма-
ли значення: 0=iβ ; KTTTTT
ii
3000000 ===== ξβαβµ ; ==
100 PS TT
KTT
iYPXS 3,29300 === , ni ,1= , 2=n ; 3100,2 −⋅=R ; 15,273+= CK TT ;
1=ic , 4,...,1=i .
Параметри моделі, які підлягають ідентифікації, утворюють вектор
µµµµ ba EBEAp ,,,(= , SK0 , aSE ,
10PK ,
1PEα ,
1αA ,
1ααE ,
1αB ,
1αbE ,
)0(
/ SXY , SXA / , aXSE , )0(
/1 SPY , SPA /1
, SaPE
1
,
2αA ,
20αE ,
2αB ,
2αbE , )0(
/2 SPY ,
SPA /2
, SaPE
2
, 0ς , T
aE )ξ . Як початкові наближення параметрів моделі ви-
користано літературні дані 11;127;121;000574,0;2,14;246,00 −=p ; 27 ;
;4,0;5,5;1;42,4;21,1;5;004,0;51,0;9,5;0001,0;90;4;1,3;5,4;2,4;11− 5,4 ;
T)10;0005,0;2 [1, 8,11].
У результаті розв’язування задачі ідентифікації отримано такі значен-
ня параметрів моделі: ;07,222;98,123;000204,0;91,15;2570,0(* =p 7,19− ;
;318,1;5;005,0;7,0;02,5;000634,0;33,98;4;23,3;82,4;37,4;34,15;44,25 −
T)10;000605,0;2;45,4;406,0;49,5;18,1;47,4 .
На рис. 1, a-г наведено графіки зміни з часом розподілу концентрацій
дріжджів, субстрату та продуктів метаболізму (етанолу та гліцерину) для
процесу бродіння виноградного сусла з винограду сорту Ркацителі (бродін-
ня на культурі дріжджів 5271− ) при експоненціальній (задача І) та лінійній
(задача ІІ) залежності параметрів, а також відповідні експериментальні зна-
чення при температурі 17 та C°26 . На цьому температурному проміжку
при використанні як лінійної, так і експоненціальної залежностей отримує-
мо добре узгодження теоретичних залежностей з експериментальними да-
ними.
У моделі (1)–(5), (7) незалежні від температури параметри приймали
такі значення: 0=iβ ; KT Pk 5,2730 = , )1()14(,1 ++++= nnk ; 2=n , =KT
15,273+= CT , 4,...,1,1 == ici .
Параметри моделі, які підлягають ідентифікації, утворюють вектор
m
BAp
m µµ ,(= ,
sKA ,
sKB , ,,,,
1111
αα BABA
pp KK ,,
22 αα BA ξA , ξB ,
s
x
Cγ ,
s
x
Aγ ,
s
x
Bγ ,
s
P
C
1
γ ,
s
P
A
1
γ ,
s
P
B
1
γ ,
s
P
C
2
γ ,
s
P
A
2
γ , T
s
P
B )
2
γ . Отримано зна-
чення параметрів моделі: 5648,20;4068,207;0097,0;0672,0(* −−=p ;
1682,32− ; ;1124,3 0147,0− ; 612,0 ; 00097,0− ; 0427,1;0,0;0,0;0052,0 ;
6889,0− ; ;5793,0;03108,0 T)0275,0;5045,0;3618,0;00162,0;6809,0 −− .
На рис. 2 показано графік залежності максимальної швидкості росту
мікроорганізмів від температури при лінійній та експоненціальній залежно-
стях.
Я.Є. Мацьонг, Я.Г. Савула, М.В. Щербатий
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 94
Температурні залежності mµ добре узгоджуються з відомими факта-
ми про те, що при температурах бродильного сусла вище C30° ( K303 )
починається масове відмирання клітин, а при C4037 °… ( K313310… )
бродіння зупиняється. На температурному проміжку C268 °… значення
параметра mµ для експоненціальної та лінійної залежностей є досить
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
273 283 293 303 313
ТЕМПЕРАТУРА(К)експоненціальна залежність
лінійна залежність
M
m
(г
-1
)
Експоненціальна та
лінійна залежності
Рис. 2. Зміна mµ від температури
0
20
40
60
80
100
120
0 50 100 150 200
б і
0
20
40
60
80
100
0 50 100 150 200
К
он
це
нт
ра
ці
я
др
іж
дж
ів
,
мл
н
к
лі
то
к
/м
л
С
пи
рт
,
г/
л
Час бродіння, години
▲ Експериментальні дані, 17°С
● Експериментальні дані, 26°С
- - - - - Розв’язок, 17°С. Задача I
— — — Розв’язок, 26°С. Задача I
________ Розв’язок, 17°С. Задача II
________ Розв’язок, 26°С. Задача II
Час бродіння, години
▲ Експериментальні дані, 17°С
● Експериментальні дані, 26°С
- - - - - Розв’язок, 17°С. Задача I
— — — Розв’язок, 26°С. Задача I
________ Розв’язок, 17°С. Задача II
________ Розв’язок, 26°С. Задача II ба
0
50
100
150
200
0 50 100 150 200
Е і і 17С
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
0 50 100 150 200
С
уб
ст
ра
т,
г
/л
Гл
іц
ер
ин
,
г/
л
Час бродіння, години
▲ Експериментальні дані, 17°С
● Експериментальні дані, 26°С
- - - - - Розв’язок, 17°С. Задача I
— — — Розв’язок, 26°С. Задача I
________ Розв’язок, 17°С. Задача II
________ Розв’язок, 26°С. Задача II
Час бродіння, години
▲ Експериментальні дані, 17°С
● Експериментальні дані, 26°С
- - - - - Розв’язок, 17°С. Задача I
— — — Розв’язок, 26°С. Задача I
________ Розв’язок, 17°С. Задача II
________ Розв’язок, 26°С. Задача II гв
Рис. 1. Динаміка зміни концентрацій спирту (а), дріжджів (б), субстрату (в), гліце-
рину (г)
0 0
0 0
M
m
(г
–1
)
Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 95
близькими. Тому на даному діапазоні можна використовувати як експонен-
ціальну, так і лінійну залежність mµ від температури.
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
Задача (1)–(5), (6) та (1)–(5), (7) є математичною моделлю процесу бродіння,
яка за заданих керувань Uu∈ та параметрів pUp∈ , знайдених у результаті
розв’язування задачі ідентифікації, дає змогу однозначно визначити по-
ведінку (стан) системи.
У ролі керування вибираємо температуру процесу ферментації
[ ])()( tTtu = . Функцію )(tu апроксимуємо кусково-лінійною або кусково-
постійною функцією, побудованою по вузлових значеннях == T
mbbb ),,( 1 …
))(,),(( 1 mtTtT …= , розміщених на проміжку ],0[ et . На компоненти вектора
b накладаємо двосторонні обмеження
mjbbb jjj ,...,1, =≤≤ +− .
Розглянемо функціонали
τϕ /)]0()([),(~
111 PtPQyu e −== , (9)
де τ — час процесу бродіння; Q — продуктивність процесу.
ee PtPyu −= )(),(~
12ϕ , (10)
де eP — задане значення.
Задача отримання максимальної продуктивності полягає у знаходженні
вектора Ub ∈* , який надає максимуму функціоналу (9).
))((max)( 1
*
0 bb
Ub
ϕϕ
∈
= , (11)
},...,1,:{ mjbbbbU jjj =≤≤= +− .
Задачу оптимального керування розв’язуємо шляхом зведення до задачі
нелінійного математичного програмування [10].
Якщо в (9) концентрації )(1 etP та )0(1P задані, то задача отримання
максимального Q зводиться до задачі на швидкодію — задачі мінімізації
інтервалу керування ],0[ et , тобто мінімізації et , яку розв’язуємо шляхом
зведення до задачі з фіксованим інтервалом керування.
Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь у загальному
вигляді.
),,,()( puytfty =′ , ],[,)( 000 etttyty ∈= .
Якщо довжина інтервалу керування ],[ 0 ett не фіксована і et є ресурсом
керування поряд з функцією керування )(tu , то зручно зробити заміну змін-
них ett /=τ (особливо з точки зору організації обчислень). Отримуємо за-
Я.Є. Мацьонг, Я.Г. Савула, М.В. Щербатий
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 96
дачу на фіксованому інтервалі часу 1/0 ≤≤ τett з параметром керування et
для системи
),,,()( puyfty e ττ =′ , ]1,/[,)/( 000 ee ttytty ∈= τ .
Задача (11) зводиться до задачі мінімізації параметру керування et :
знайти такий вектор Ub ∈* , який надає мінімуму функціоналу
)(min)( *
0 eUb
tb
∈
=ϕ , (12)
},...,1,:{ mjbbbbU jjj =≤≤= +−
при умові
0)()( 12 =−= ee PtPbϕ . (13)
Зауважимо, що параметр керування et виступає ресурсом керування
поряд із температурою.
Числові результати. У моделі (1)–(5), (6) робимо заміну змінних
216/t=τ , покладаємо ,)15,310;;15,310(;)15,288;;15,288( T
j
T
j bb …… == +−
mj ,...,1= ; 7,93=eP та розв’язуємо задачу (12) , (13). Знайдено розв’язок
5,96=et . Обмеження (13) задовольняється з точністю =−= ee PtPb )()( 12ϕ
001,0= .
На рис. 3 зображено криву зміни температури )(tT в залежності від ча-
су для оптимального процесу. На рис 4. наведено графіки зміни концентра-
цій спирту з часом для початкового (при сталій температурі C°17 ) та опти-
мального процесів.
Для порівняння на рис. 5 показані криві Q для початкового та опти-
мального процесів, на рис. 6 — порівняння продуктивності Q в залежності
від часу для цих же процесів.
Отримані результати показують ефективність застосування керування
за температурою. Є сенс глибше вивчати залежності констант моделей пері-
одичних процесів від температури, оскільки існує можливість значного під-
вищення продуктивності мікробіологічних процесів.
31
32
33
34
0 20 40 60 80 100
Час, години
T,
K
Рис. 3. Крива зміни температури )(tT з часом для оптимального процесу
Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 97
Рис. 4. Графіки зміни концентрацій спирту з часом початкового та оптимального
процесів
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 25 50 75 100
Час, години
С
пи
рт
, г
/л
концентрація спирту при оптимальній
температурі
концентрація спирту при температурі 17С17°C
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 25 50 75 100
Час,години
П
ро
ду
кт
ив
ні
ст
ь
продуктивність при оптимальній температурі
продуктивність при сталій температурі 17С при сталій температурі 17°C
Рис. 5. Криві порівняння Q з часом для початкового та оптимального процесів
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 20 40 60 80 100
Спирт, г/л
П
ро
ду
кт
ив
ні
ст
ь
продуктивність при оптимальній температурі
продуктивність при сталій температурі 17С
продуктивність при оптимальній температурі
при сталій температурі 17°C
Рис. 6. Криві порівняння продуктивності для початкового та оптимального проце-
сів
0
Я.Є. Мацьонг, Я.Г. Савула, М.В. Щербатий
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 98
ВИСНОВКИ
У результаті розв’язування задачі ідентифікації параметрів на основі даних
спостережень отримано значення параметрів моделі для експоненціальної та
лінійної залежностей параметрів від температури. Здійснено постановку за-
дачі оптимального керування. З використанням отриманих параметрів мо-
делі розв’язано задачу оптимального керування — задачу максимізації про-
дуктивності процесу (задачу на швидкодію). Показано, що для конкретної
моделі, застосовуючи керування по температурі, можна отримати значне
збільшення продуктивності. У випадках, коли технологічно важко організу-
вати керування температурою, варто вибирати оптимальне значення темпе-
ратури, орієнтуючись на кінцеве значення концентрації продукту.
Розглянуту модель можна застосовувати не лише для моделювання
процесу бродіння винного сусла, а й для будь-якого мікробіологічного про-
цесу, де відбувається переробка субстрату та утворюються продукти мета-
болізму.
ЛІТЕРАТУРА
1. Caro I., Perez L., Cantero D. Development of a Kinetic Model for the Alcoholic
Fermentation of Must // Biotechnol. Bioeng. — 1991. — 38.— P. 742–748.
2. Marin M.R. Alcoholic Fermentation Modelling: Current State and Perspectives //
Am. J. Enol. Vitic. — 1999. — 50, № 2. — P. 166–178.
3. Валуйко Г.Г. Технология виноградных вин. — Симферополь: Таврида, 2002. —
624 с.
4. Савула Я.Г., Щербатий М.В. Математичне моделювання процесів бродіння
виноградного сусла // Вестн. Херсонского гос. техн. ун-та. — 2003. —
Вып. 3 (19). — С. 377–380.
5. Иерусалимский Н.Д., Неронова Н.М. Количественные закономерности между
продуктами обмена и скоростью роста микроорганизмов // Докл. АН СССР.
Сер. Биол. — 1965. — 161, № 6. — С. 1437–1440.
6. Guthke K., Knorre W.A. Bistability in a model microbial product formation // Zeit.
Allg. Mikrobiol. — 1980. — 20, № 7. — Р. 441–447.
7. Бейли Дж., Оллис Д. Основы биохимической инженерии. В 2-х ч. Ч. 1. — М.:
Мир, 1989. —590 с.
8. Разуваев В.С. Исследование кинетики и оптимизации процесса спиртового
брожения виноградного сусла. Автореф. дисс. на соискание ученой степени
канд. техн. наук. — Краснодар, 1977. — 20 с.
9. Позмогонова И.Н., Пожарницкая Л.М., Холер В.А. Тепловыделение в процессе
окисления парафина дрожжами Candida tropicalis при разных температурах
// Прикладная биохимия и микробиология. — 1967. — 3, № 4. —
С. 496–498.
10. Щербатий М.В., Мацьонг Я.Є. Оптимальне керування та ідентифікація па-
раметрів в системах звичайних диференціальних рівнянь // Вісн. Львівсько-
го ун-ту. Серія прикл. мат. та інформ. — 2003. — Вип. 7. — C. 224–233.
11. Яровенко В.Л., Ровинский Л.А. Математическое моделирование и оптимизация
микробиологических процессов спиртового производства. — М.: Пищевая
промышленность, 1978. — 248 с.
Надійшла 26.07.2005
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-42190 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:45:44Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мацьонг, Я.Є. Савула, Я.Г. Щербатий, М.В. 2013-03-12T16:08:07Z 2013-03-12T16:08:07Z 2006 Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації / Я.Є. Мацьонг, Я.Г. Савула, М.В. Щербатий // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2006. — № 3. — С. 89–98. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/42190 531.8 Розглянуто математичну модель процесу бродіння виноградного сусла з урахуванням залежності параметрів від температури. Встановлено аналітичну форму залежності параметрів моделі від температури (експоненціальну та лінійну). Розглянуто задачі ідентифікації параметрів та оптимального керування. Наведено числові результати розв’язування задач оптимального керування (задача на швидкодію) та ідентифікації параметрів при бродінні сусла сорту Ркацителі. Рассмотрена математическая модель процесса брожения виноградного сусла, учитывающая зависимость параметров модели от температуры. Определена аналитическая форма зависимости параметров модели от температуры (экспоненциальная и линейная). Описаны задачи идентификации параметров и оптимального управления. Приведены численные результаты решения задач оптимального управления (задача на быстродействие) и идентификации параметров при брожении сусла сорта Ркацители. A mathematical model of must fermentation taking into account the dependence of model parameters on temperature is considered. An analytic form of this dependence (exponential and linear) is determined. The problems of parameter identification and optimal control are described. The numerical results for the problem of optimal control (the speed problem) and identification of parameters of the Rkatsiteli wine must fermentation are presented. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації Оптимальное управление зависимой от температуры моделью процесса ферментации Optimal control of temperature-dependent model for fermentation process Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації Мацьонг, Я.Є. Савула, Я.Г. Щербатий, М.В. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| title | Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації |
| title_alt | Оптимальное управление зависимой от температуры моделью процесса ферментации Optimal control of temperature-dependent model for fermentation process |
| title_full | Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації |
| title_fullStr | Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації |
| title_full_unstemmed | Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації |
| title_short | Оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації |
| title_sort | оптимальне керування залежною від температури моделлю процесу ферментації |
| topic | Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| topic_facet | Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/42190 |
| work_keys_str_mv | AT macʹongâê optimalʹnekeruvannâzaležnoûvídtemperaturimodellûprocesufermentacíí AT savulaâg optimalʹnekeruvannâzaležnoûvídtemperaturimodellûprocesufermentacíí AT ŝerbatiimv optimalʹnekeruvannâzaležnoûvídtemperaturimodellûprocesufermentacíí AT macʹongâê optimalʹnoeupravleniezavisimoiottemperaturymodelʹûprocessafermentacii AT savulaâg optimalʹnoeupravleniezavisimoiottemperaturymodelʹûprocessafermentacii AT ŝerbatiimv optimalʹnoeupravleniezavisimoiottemperaturymodelʹûprocessafermentacii AT macʹongâê optimalcontroloftemperaturedependentmodelforfermentationprocess AT savulaâg optimalcontroloftemperaturedependentmodelforfermentationprocess AT ŝerbatiimv optimalcontroloftemperaturedependentmodelforfermentationprocess |